EL MODELO ESTÁNDAR Y SU FENOMENOLOGÍA Parte 1: La

Métodos y Técnicas Avanzadas en Física

EL MODELO ESTÁNDAR Y SU FENOMENOLOGÍA

Parte 1:

La teoría electrodébil y herramientas de cálculo

José Ignacio IllanaDepartamento de Física Teórica y del Cosmos

Universidad de Granada

Programa

La teoría electrodébil

El Modelo Estándar (SM)

La simetría gauge: origen de las interacciones

Rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas

Réplicas de familias fermiónicas

Autoestados de masa y de interacción

Conservación de sabor en corrientes neutras y GIM

Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM

Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos

Fermiones de Dirac y de Majorana

Seesaw: ¿por qué los neutrinos son tan ligeros?

Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS

Oscilaciones de neutrinos

Test de violación de número leptónico: 0νββ

2

Observables

Sección eficaz

Anchura de desintegración

Reglas de Feynman

Reglas generales

Algunos vértices genéricos

Vértices del SM

Cálculo de correcciones cuánticas a un loop

Estructura de las amplitudes a un loop

Cálculo explícito de las integrales

Algunos casos sencillos

Aplicación: factores de forma dipolares a un loop

El vértice vector-fermión más general

El momento magnético anómalo en QED y en el SM

El proceso raro µ→ eγ en el SM con neutrinos masivos

3

Capítulo 1La teoría electrodébil

4

El Modelo Estándar (SM) [Glashow ’61, Weinberg ’67, Salam ’68; Gell-Mann, Zweig ’64]

Teoría gauge basada en el grupo de simetrías locales SU(3)c ⊗ SU(2)L ⊗U(1)Y

• Interacciones ↔ intercambio de bosones de gauge (spin 1)

– Fuerte: 8 gluones sin masa.

– Electromagnética: 1 fotón sin masa (γ).

– Débil: 3 bosones débiles masivos (W± y Z).

• Contenido de materia fermiónica (spin 12): 3 familias de quarks y 3 de leptones.

– Cada familia formada por dos partículas, f y f′, con carga eléctrica Qf = Qf′ + 1en unidades de la carga del protón, y sus corrrespondientes antipartículas.

– Los quarks aparecen en tres posibles estados de color [RGB].

• Los campos se agrupan en multipletes (representaciones irreducibles):

– Bajo SU(3)c los quarks son tripletes y los leptones singletes de color.

– Bajo SU(2)L los campos left son dobletes y los right singletes de isospin débil.

• Las tres familias con idénticas interacciones, sólo difieren en masas y sabor.

• Simetría rota espontáneamente ↔ bosones débiles y fermiones masivos⇒ Higgs

El Modelo Estándar 5

Fermiones I II III Q

spin 12 Quarks f uuu ccc ttt 2/3

f′ ddd sss bbb −1/3

Leptones f νe νµ ντ 0

f′ e µ τ −1

Bosones

spin 1 8 gluones Int. fuerte

γ Int. electromagnética

W±, Z Int. débil

spin 0 Higgs Origen de las masas

Multipletes SU(3)c ⊗ SU(2)L ⊗U(1)Y I II III

Quarks (3, 2, 16 )

⎛

⎝ uL

dL

⎞

⎠

⎛

⎝ cL

sL

⎞

⎠

⎛

⎝ tL

bL

⎞

⎠

(3, 1, 23 ) uR cR tR

(3, 1, − 13 ) dR sR bR

Leptones (1, 2, − 12 )

⎛

⎝ νeL

eL

⎞

⎠

⎛

⎝ νµL

µL

⎞

⎠

⎛

⎝ ντL

τL

⎞

⎠

(1, 1, −1) eR µR τR

(1, 1, 0) νeR νµR ντR

Q = T3 + Y

Q: carga eléct.T: isospin débilY: hipercarga


• A continuación construiremos el lagrangiano del Modelo Estándar de lasinteracciones electromagnéticas y débiles (teoría electrodébil) para una solafamilia de quarks y leptones.

• Ignoraremos las interacciones fuertes, que son independientes del sabor.


La simetría gauge: origen de las interacciones• Sea un mundo con sólo dos fermiones (quarks o leptones) de spin 1

2 f y f′ libres ysin masa (campos f (x) y f ′(x), resp.). Descrito por el lagrangiano de Dirac:

L0F = i f (x)/∂ f (x) + i f ′(x)/∂ f ′(x) = i ∑

j=1,3ψj(x)/∂ψj(x) , con /∂ ≡ γµ∂µ ,

agrupando las componentes left en un doblete y las right en dos singletes,

ψ1 =

⎛

⎝ fL

f ′L

⎞

⎠ , ψ2 = fR , ψ3 = f ′R ,

donde f(′)R,L = PR,L f (

′), f(′)R,L = f (

′)PL,R, con PR,L = 12(1 ± γ5).

• Para que el lagrangiano sea invariante bajo transformaciones gauge (locales) bajoG = SU(2)L ⊗U(1)Y:

ψ1(x)G−→ UL(x) expiy1β(x)ψ1(x) , UL(x) = exp

iσi

2αi(x)

, i = 1, 2, 3 ,

ψ2(x)G−→ expiy2β(x)ψ2(x) ,

ψ3(x)G−→ expiy3β(x)ψ3(x) ,

El Modelo Estándar La simetría gauge 8

hemos de reemplazar ∂µ por la derivada covariante (convención de signos):

Dµψ1(x) ≡[∂µ − igWµ(x) + ig′y1Bµ(x)

]ψ1(x) ,

Dµψ2(x) ≡[∂µ + ig′y2Bµ(x)

]ψ2(x) ,

Dµψ3(x) ≡[∂µ + ig′y3Bµ(x)

]ψ3(x) ,

donde se introducen g y g′, las σi son las tres matrices de Pauli y

Wµ(x) ≡ σi

2Wi

µ(x) .

• Las propiedades de transformación de los campos de gauge (Bµ, Wiµ) quedan

fijadas. Son las que hacen que los Dµψj(x) se transformen igual que los ψj(x):

Bµ(x)G−→ Bµ(x)− 1

g′∂µβ(x) ,

Wµ(x)G−→ UL(x)Wµ(x)U†

L(x)− ig

(∂µUL(x)

)U†

L(x) .


Nota: En general, si Ta son los generadores del grupo, Aaµ(x) los bosones de

gauge asociados y θa(x) los parámetros de la transformación, es fácilcomprobar que la derivada covariante es

Dµ = ∂µ − igAµ, con Aµ = Ta Aaµ

si los campos se transforman

ψ → Uψ, U = expiTaθa(x)

Aµ → UAµU† − ig(∂µU)U†

De este modo, Dµψ→ UDµψ y ψ/Dψ queda invariante.

• Como hay cuatro parámetros de gauge, αi(x) y β(x), para mantener la invarianciagauge, hemos tenido que introducir tres bosones vectoriales, Wi

µ(x), uno por cadagenerador de SU(2), y otro más, Bµ(x), para el grupo U(1).

• Nótese que la simetría dicta la forma de las interacciones. Los acoplamientos g yg′, así como las hipercargas yi, son parámetros libres.


• El lagrangiano resultante es invariante bajo las transformaciones gauge de G:

LF = i3

∑j=1

ψj(x)/Dψj(x)

• Para que la teoría sea completa han de añadirse los términos cinéticos para losbosones de gauge:

LG = −14

BµνBµν − 12

Tr

WµνWµν= −1

4BµνBµν − 1

4Wi

µνWµνi

donde

Bµν ≡ ∂µBν − ∂νBµ ,

Wµν ≡ig

[(∂µ − igWµ

),(

∂ν − igWν

)]= ∂µWν − ∂νWν − ig[Wµ , Wν] ,

Wµν ≡σi

2Wi

µν , Wiµν = ∂µWi

ν − ∂νWiµ + gϵijkW

jµWk

ν .

y hemos sustituido las constantes de estructura de SU(2):[

σi

2,

σj

2

]= iϵijk

σk

2.


• El tensor Bµν es invariante bajo las transformaciones de G, mientras que Wµν setransforma covariantemente,

BµνG−→ Bµν , Wµν

G−→ ULWµνU†L ,

así que LG es también invariante gauge.

• Como SU(2) es no abeliano, LG da lugar a autointeracciones cúbicas y cuárticasentre sus bosones de gauge. La intensidad de tales interacciones viene dada porel mismo acoplamiento g que aparece en la parte fermiónica LF.


Interacciones de corrientes cargadas

• El lagrangiano LF contiene interacciones entre fermiones y bosones de gauge,

LF ⊃ gψ1γµWµψ1 − g′Bµ

3

∑j=1

yjψjγµψj .

• El término que contiene la matriz

Wµ =σi

2Wi

µ =12

⎛

⎝ W3µ

√2W†

µ√2Wµ −W3

µ

⎞

⎠

da lugar a interacciones de corrientes cargadas con el campo vectorial cargado delas W±, Wµ ≡ (W1

µ + iW2µ)/√

2 y su complejo conjugado W†µ ≡ (W1

µ − iW2µ)/√

2,

LCC =g

2√

2

W†

µ f (x)γµ(1− γ5) f ′(x) + h.c.

.

ℓ

ν

W

ν

ℓ

W

d

u

W

u

d

W


Interacciones de corrientes neutras

• El término anterior

LF ⊃ gψ1γµWµψ1 − g′Bµ

3

∑j=1

yjψjγµψj

también contiene interacciones con los campos de gauge neutros W3µ y Bµ. Nos

gustaría identificar estos campos con los del Z y el fotón, respectivamente.

Sin embargo, como el fotón tiene las mismas interacciones con ambas quiralidadesfermiónicas, el bosón de gauge Bµ no puede ser el campo electromagnético Aµ.Para ello habría que imponer y1 = y2 = y3 y g′yj = eQj, lo que es imposible.

• Como ambos campos son neutros, probemos con una combinación de ellos:⎛

⎝ W3µ

Bµ

⎞

⎠ ≡

⎛

⎝ cos θW − sin θW

sin θW cos θW

⎞

⎠

⎛

⎝ Zµ

Aµ

⎞

⎠ .


• En términos de Zµ y Aµ el lagrangiano de corrientes neutras quedaría:

LNC =3

∑j=1

ψjγµ −Aµ

[gT3 sin θW + g′yj cos θW

]+ Zµ

[gT3 cos θW − g′yj sin θW

]ψj ,

donde T3 = σ3/2 (0) es la tercera componente del isospin del doblete (singlete).

• Para obtener la electrodinámica cuántica (QED) de la parte con Aµ imponer:

g sin θW = g′ cos θW = e , Y = Q− T3

donde Q1 =

⎛

⎝ Q f 0

0 Q f ′

⎞

⎠ , Q2 = Q f , Q3 = Q f ′ es el operador de carga eléctrica.

La primera igualdad relaciona los acoplamientos g y g′ de SU(2) y U(1), con elacoplamiento electromagnético e: unificación de las interacciones electrodébiles.

La segunda fija las hipercargas fermiónicas Y en términos de las cargas eléctricasy los números cuánticos de isospin débil:

y1 = Q f −12= Q f ′ +

12

, y2 = Q f , y3 = Q f ′ .


• Sustituyendo las cargas de los quarks y los leptones, observamos que losneutrinos right tienen carga e hipercarga nulas, es decir no se acoplan ni al fotónni a la Z, y tampoco se acoplan a los W±, pues sólo lo hacen los campos left. Portanto los νR son estériles y, si los neutrinos no tuvieran masa, no haría faltaintroducirlos.

• El lagrangiano de corrientes neutras queda finalmente:

LNC = LQED + LZNC ,

dondeLQED = −eAµQ f (′) f (

′)(x)γµ f (′)(x) ,

LZNC = eZµ f (

′)(x)γµ(v f − a f γ5) f (′)(x) ,

con v f = (T fL3 − 2Q f sin2 θW)/(2 sin θW cos θW) y a f = T

fL3 /(2 sin θW cos θW).

f = u, d, ℓ

f

γ

f = u, d, ν, ℓ

f

Z


Autointeracciones de bosones de gauge

• Del lagrangiano LG se extraen los términos de autointeracción triple y cuártica:

L3 = −ie cot θW

WµνW†

µZν −W†µνWµZν −W†

µWνZµν

+ie

WµνW†µ Aν −W†

µνWµAν −W†µWνFµν

W

W

γ

W

W

Z


L4 = − e2

2 sin2 θW

(W†

µWµ)2−W†

µWµ†WνWν

−e2 cot2 θW

W†

µWµZνZν −W†µ ZµWνZν

+e2 cot θW

2W†

µWµZν Aν −W†µ ZµWν Aν −W†

µ AµWνZν

−e2

W†µWµAν Aν −W†

µ AµWν Aν

W

WW

W γ

γW

W Z

γW

W Z

ZW

W

• Nótese que siempre hay como mínimo un par de bosones cargados W y que nohay ningún vértice neutro con sólo fotones y bosones Z.


La rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas• La simetría gauge, que ha determinado cómo son las interacciones, prohibe

términos de masa para los bosones de gauge. También para los fermiones.

• La rotura espontánea de la simetría (SSB) aparece cuando el vacío del sistema(estado de mínima energía) está degenerado. El vacío físico es uno entre losposibles estados de mínima energía conectados por las simetrías del lagrangiano.Cuando la naturaleza lo elige se rompe la simetría de los estados físicos, aunquese preserva la del lagrangiano.

• El resultado de la SSB depende del tipo de simetrías.

– Si el lagrangiano es invariante bajo un grupo continuo G, pero el vacío esinvariante sólo bajo un subgrupo H ⊂ G, aparecen tantos estados sin masa yspin 0 (bosones de Goldstone) como generadores de G que no lo son de H, esdecir, el número de simetrías que se han roto (teorema de Goldstone).

[Nambu ’60, Goldstone ’61]

– Si las simetrías del lagrangiano son locales (gauge) estos bosones de Goldstoneson comidos por los bosones de gauge asociados a las simetrías rotas y se hacenmasivos (mecanismo de Higgs-Kibble). [Higgs; Englert, Brout; Guralnik, Hagen, Kibble ’64]

El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 19

• Ejemplo más sencillo de SSB: un campo escalar complejo φ(x) con lagrangiano

L = ∂µφ†∂µφ−V(φ) , V(φ) = µ2φ†φ + λ(φ†φ)2 ,

donde λ > 0 para que exista un estado de mínima energía (el vacío).

Este lagrangiano es invariante bajo transformaciones globales de fase U(1),

φ(x)U(1)−→ expiθφ(x) .

Si µ2 > 0, el potencial tiene sólo un mínimo trivial, en φ(x) = 0. Se trata entoncesde un campo escalar de masa µ y acoplamiento cuártico λ.


Si µ2 < 0, el mínimo corresponde a las configuraciones del campo que satisfacen

|⟨0|φ(x)|0⟩| ≡ |φ0(x)| =√−µ2

2λ≡ v√

2> 0 , V(φ0) = −

λ

4v4 .

Existe entonces un número infinito de vacíos, conectados por transformaciones

φ0(x) =v√2

expiθ .

Eligiendo uno como el estado fundamental del sistema (vacío físico), por ejemploθ = 0, la simetría se rompe espontáneamente.


Si parametrizamos las excitaciones del campo sobre el vacío físico como

φ(x) =1√2[v + ϕ1(x) + iϕ2(x)] ,

donde ϕ1(x) y ϕ2(x) son campos reales, el potencial toma la forma

V(φ) = V(φ0)− µ2 ϕ21 + λvϕ1(ϕ2

1 + ϕ22) +

λ

4(ϕ2

1 + ϕ22)

2 .

– Vemos que ϕ1 tiene masa mϕ1 =√−2µ2, mientras que ϕ2 no tiene masa.

– La aparición de esta partícula sin masa (bosón de Goldstone) es fácil de entender:ϕ2 describe las excitaciones a lo largo de una dirección plana del potencial, esdecir a estados que tienen la misma energía del estado fundamental. Estasexcitaciones no cuestan energía y corresponden por tanto a un estado sin masa.

– En este caso hay un solo bosón de Goldstone porque al elegir un vacío hemos rotola única simetría (bajo transformaciones de fase) del vacío.


Masas para los bosones de gauge débiles

• Veamos ahora cómo implementar este mecanismo para dar masa a los bosones degauge débiles del SM. En el SM la simetría está rota del siguiente modo,

SU(2)L ⊗U(1)YSSB−→ U(1)QED .

• Para lograr este esquema de SSB hemos de introducir un doblete de camposescalares complejos (cuatro campos reales: dos cargados y dos neutros):

Φ =

⎛

⎝ φ(+)

φ(0)

⎞

⎠

y el lagrangiano invariante bajo SU(2)L ⊗U(1)Y:

LS = (DµΦ)†DµΦ−V(Φ) , V(Φ) = µ2Φ†Φ + λ(Φ†Φ)2

con λ > 0, µ2 < 0 y

DµΦ =[∂µ − igWµ + ig′yΦBµ

]Φ , yΦ = QΦ − T3 =

12

.


• El potencial escalar es similar al anterior y el mínimo degenerado corresponde a

|⟨0|Φ(x)|0⟩| ≡ |Φ0(x)| = 1√2

⎛

⎝ 0

v

⎞

⎠ , v =

√−µ2

λ.

Sólo los campos escalares neutros pueden adquirir un valor esperado en el vacío(vev) pues la carga es una cantidad conservada.

Nótese que el fotón sólo se acopla a los campos escalares cargados, cuyo vev esnulo, lo que será crucial para que el fotón no adquiera masa, como veremos.

Al elegir uno entre los posibles estados fundamentales, todos ellos conectados portransformaciones SU(2)L ⊗U(1)Y (cuatro generadores), se rompeespontáneamente esta simetría quedando como remanente U(1)QED (ungenerador), lo que da lugar a la aparición de tres escalares sin masa.

• Parametrizamos el doblete escalar como excitaciones sobre el vacío físico,

Φ(x) = exp

iσi

2θi(x)

1√2

⎛

⎝ 0

v + H(x)

⎞

⎠ ,

donde sigue habiendo cuatro campos escalares reales, θi(x) y H(x).El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 24

• Los tres campos θi(x), son los que serían bosones de Goldstone pero haciendo usode la invariancia gauge del langrangiano podemos transformar Φ(x) en cadapunto x por un campo en el que éstos desaparecen, preservándose como únicocampo escalar físico el bosón de Higgs H(x). Así, en el llamado gauge unitario,

Φ(x)G−→ exp

−i

σi

2θi(x)

Φ(x) =

1√2[v + H(x)]

⎛

⎝ 0

1

⎞

⎠ .

• Los tres grados de libertad que aparentemente se pierden se convierten en elestado de polarización longitudinal de W± y Z pues, tras la SSB, Wµ y Zµ seconvierten en campos masivos de spin 1. En efecto,

(DµΦ)†DµΦG−→ 1

2∂µH∂µH + (v + H)2

g2

4W†

µWµ +g2

8 cos2 θWZµZµ

,

que contiene los términos de masa para los bosones débiles,

MZ cos θW = MW =12

vg ,

mientras que el fotón permanece sin masa. Todo ello preservándose la simetríagauge del lagrangiano. El precio a pagar es la introducción del campo de Higgs.


El bosón de Higgs

• LS incluye el bosón de Higgs y sus autointeracciones (cúbicas y cuárticas), LH, asícomo las interacciones del Higgs con los bosones de gauge, LHV2:

LS ⊃14

λv4 + LH + LHV2 ,

donde

LH =12

∂µH∂µH − 12

M2H H2−

M2H

2vH3 −

M2H

8v2 H4 ,

LHV2 = M2WW†

µWµ

1 +2v

H +H2

v2

+

12

M2ZZµZµ

1 +

2v

H +H2

v2

y la masa de Higgs viene dada por

MH =√−2µ2 =

√2λv .


W

W

H

Z

Z

H

H

HW

W H

HZ

Z

H

H

H

H

HH

H

• El LHC anunció en julio de 2012 el descubrimiento de una partícula conpropiedades consistentes con las esperadas para el bosón de Higgs del SM y unamasa de unos 125 GeV. Los datos de Tevatron son compatibles con estedescubrimiento. [ATLAS; CMS; CDF, D0 ’12]


Parámetros del modelo: predicciones y medidas

• Hasta ahora hemos introducido cuatro parámetros libres:g, g′, λ y µ o equivalentemente α = e2/(4π), sin2 θW , MZ y MH.

• Nótese que el modelo predice que MW < MZ, lo que está de acuerdo con losvalores experimentales:

MZ = 91.1876 ± 0.0021 GeV , MW = 80.385 ± 0.015 GeV .

• De estos valores experimentales se deduce el ángulo de mezcla electrodébil

sin2 θW = 1−M2

W

M2Z

= 0.223 ,

valor que está de acuerdo con el que se obtiene a partir de la medida de laconstante de Fermi GF = (1.1663787 ± 0.0000006) · 10−5 GeV−2, que a su vez seobtiene de la medida de la vida media del muón,τµ = (2.1969811 ± 0.0000022) · 10−6 s:

1τµ

= Γµ =G2

Fm5µ

192π3 f (m2e /m2

µ) , f (x) ≡ 1− 8x + 8x3 − x4 − 12x2 log x ,


recordando que, a partir del modelo de Fermi de cuatro fermiones,

g2

M2W − q2 ≈

g2

M2W

=4πα

sin2 θW M2W

≡ 4√

2GF .

Usando las medidas de α−1 = 137.035999074 (44), MW y GF se obtienesin2 θW = 0.215, en bastante buen acuerdo con el valor obtenido anteriormente.La pequeña discrepancia se resuelve cuando se incluyen las correccionesradiativas (cuánticas).

• La constante de Fermi también proporciona directamente el vev del campoescalar (la llamada escala electrodébil),

v =(√

2GF

)−1/2≈ 246 GeV .


Masas para los fermiones

• Consideremos por el momento sólo una familia de quarks y leptones.Un término de masa fermiónico Lm = −mψψ = −m(ψLψR + ψRψL) no estápermitido porque rompe explícitamente la simetría gauge. Sin embargo, comohemos introducido un doblete escalar adicional en el modelo, podemos escribir elsiguiente acoplamiento fermión-escalar invariante gauge:

LY = −y1(u, d)

L

⎛

⎝ φ(+)

φ(0)

⎞

⎠ dR − y2(u, d)

L

⎛

⎝ φ(0)∗

−φ(−)

⎞

⎠ uR − y3 (νe, e)L

⎛

⎝ φ(+)

φ(0)

⎞

⎠ eR + h.c. ,

donde el segundo término involucra el campo escalar conjugado de cargaΦc ≡ iσ2Φ∗ (que se transforma bajo SU(2) de la misma forma que Φ) y hemossupuesto que no existe el νR.

• Después de la SSB, este lagrangiano tipo Yukawa toma la forma

LY = − 1√2(v + H)

y1dd + y2uu + y3 ee

en el gauge unitario.


• Así que la SSB también genera las masas de los fermiones, proporcionales a loscorrespondientes acoplamientos de Yukawa:

md = y1v√2

, mu = y2v√2

, me = y3v√2

.

• Las masas de los fermiones se determinan experimentalmente. Los acoplamientosde Yukawa se fijan en términos de las masas:

LY = −(

1 +H

v

)mddd + muuu + meee

f = u, d, ℓ

f

H


Réplicas de familias fermiónicas• En la naturaleza existen tres familias de quarks y leptones. Son copias idénticas

de la misma estructura SU(2)L ⊗U(1)Y. Sólo difieren en los valores de las masas.

• Consideremos el caso general de nG generaciones de fermiones y denotemosνI

j , ℓIj , uI

j , dIj los miembros de la familia j (j = 1, . . . , nG), con propiedades de

transformación bien definidas bajo el grupo de gauge. Hasta ahora habíamosomitido el superíndice I.

• El lagrangiano de Yukawa invariante gauge más general tiene la forma

LY = −∑jk

⎧⎨

⎩

(uI

j , dIj

)

L

⎡

⎣y(d)jk

⎛

⎝ φ(+)

φ(0)

⎞

⎠ dIkR + y(u)jk

⎛

⎝ φ(0)∗

−φ(−)

⎞

⎠ uIkR

⎤

⎦

+(

νIj , ℓI

j

)

Ly(l)jk

⎛

⎝ φ(+)

φ(0)

⎞

⎠ ℓIkR

⎫⎬

⎭+ h.c.,

donde y(d)jk , y

(u)jk and y

(l)jk son constantes de acoplamiento arbitrarias y seguimos

suponiendo que no existen neutrinos right.

El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 32

Autoestados de masa y de interacción• Después de la SSB, the el lagrangiano de Yukawa puede escribirse

LY = −(

1 +H

v

) d I

L Md d IR + u I

L Mu u IR + lI

L Ml lIR + h.c.

.

Los símbolos d I , u I y lI denotan vectores en el espacio de sabor nG-dimensional.

• Las matrices de masa vienen dadas por

(Md)ij ≡ y(d)ij

v√2

, (Mu)ij ≡ y(u)ij

v√2

, (Ml)ij ≡ y(l)ij

v√2

.

• La diagonalización de estas matrices determina los autoestados de masa dj, uj y ℓj,combinaciones lineales de autoestados de interacción dI

j , uIj y ℓI

j , respectivamente.

• Las tres matrices M f pueden escribirse como

M f = H f U f = S†f M f S f U f ⇐⇒ M f M†

f = H2f = S†

f M2f S f

donde H f ≡√

M f M†f es una matriz hermítica definida positiva y U f es unitaria.

Cada H f puede diagonalizarse mediante una matriz unitaria S f . La matrizresultante, M f , es diagonal y definida positiva.


• En términos de las matrices diagonales

Md = diag(md, ms, mb, . . .) ,

Mu = diag(mu, mc, mt, . . .) ,

Ml = diag(me, mµ, mτ, . . .)

el lagrangiano de Yukawa toma la forma

LY = −(

1 +H

v

) dMd d + u Mu u + lMl l

,

donde los autoestados de masa se definen mediante

dL ≡ Sd dIL, uL ≡ Su uI

L, lL ≡ Sl lIL,

dR ≡ SdUd dIR, uR ≡ SuUu uI

R, lR ≡ SlUl lIR.

• Nótese, que los acoplamientos con el Higgs son proporcionales a las masas.


Conservación del sabor en corrientes neutras y GIM

• Como f IL f I

L = fL fL y f IR f I

R = fR fR ( f = u, d, ℓ), la forma del lagrangiano decorrientes neutras es la misma en términos de los autoestados de masa.

• Por tanto, no existen corrientes neutras que cambien el sabor (FCNC) en el SM(mecanismo GIM). [Glashow, Iliopoulos, Maiani ’70]

Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM

• Sin embargo, u IL d I

L = uL Su S†d dL = uL dL, pues en general Su = Sd . Se define la

matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM): [Cabibbo ’63; Kobayashi, Maskawa ’73]

V ≡ Su S†d ⇒ u I

L d IL = uLV dL .

• La matriz nG × nG de CKM es unitaria y aparece en interacciones de corrientescargadas de quarks:

LCC =g

2√

2

W†µ

[

∑ij

ui γµ(1− γ5) Vij dj + ∑ℓ=e,µ,τ

νℓ γµ(1− γ5) ℓ

]

+ h.c.

.


• La matriz V acopla cada quark tipo up a todos los quarks de tipo down.

ui

dj

W Vij

dj

ui

W V∗

ij

• Hemos supuesto que los neutrinos no tienen masa. En ese caso, siempre podemosredefinir los sabores de los neutrinos de modo que eliminamos la mezcla análogaen el sector leptónico: ν I

L l IL = ν I

L Sl lL ≡ νL lL y tenemos conservación de sabor.

• Nótese que si los ui o los dj tuvieran masas degeneradas podríamos igualmenteredefinir los campos y habría conservación de sabor en el sector de quarks.

• Si se incluyen campos νR podrían introducirse acoplamientos de Yukawa para los

neutrinos, dando lugar a una matriz de masas (Mν)ij ≡ y(ν)ij v/

√2 y

obtendríamos violación del sabor leptónico a través de una matriz de mezclaanáloga a la CKM.

El fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, que estudiaremos en la siguientesección, nos indica que en realidad los neutrinos tienen masa, aunque diminuta.


• Las masas de los fermiones y la matriz de mezcla V de los quarks vienen

determinadas por las correpondientes matrices de acoplamientos de Yukawa y( f )ij ,

que son parámetros libres.

• Una matriz nG × nG unitaria general se caracteriza por n2G parámetros reales:

nG(nG − 1)/2 módulos y nG(nG + 1)/2 fases. Varias de estas fases sonirrelevantes, porque uno puede redefinir las fases de los campos (no son físicas):ui → eiφi ui y dj → eiθj dj, de modo que Vij → Vij ei(θj−φi). Esto significa que hay2nG − 1 fases inobservables. Por tanto, el número de parámetros libres físicos sereduce a (nG − 1)2: nG(nG − 1)/2 módulos y (nG − 1)(nG − 2)/2 fases.

• Así, si sólo se mezclan dos generaciones V viene determinada por un soloparámetro, el ángulo de Cabibbo:

V =

⎛

⎝ cos θC sin θC

− sin θC cos θC

⎞

⎠ .


• Para nG = 3, la matriz de CKM viene descrita por 3 ángulos y una fase. Existendiferentes (pero equivalentes) representaciones. La parametrización estándar es:

V =

⎡

⎢⎢⎣

Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

⎤

⎥⎥⎦

=

⎡

⎢⎢⎣

1 0 0

0 c23 s23

0 −s23 c23

⎤

⎥⎥⎦

⎡

⎢⎢⎣

c13 0 s13e−iδ13

0 1 0

−s13eiδ13 0 c13

⎤

⎥⎥⎦

⎡

⎢⎢⎣

c12 s12 0

−s12 c12 0

0 0 1

⎤

⎥⎥⎦

=

⎡

⎢⎢⎢⎣

c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ13

−s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ13 c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ13 s23 c13

s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ13 −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ13 c23 c13

⎤

⎥⎥⎥⎦,

donde cij ≡ cos θij y sij ≡ sin θij (i, j = 1, 2, 3).

• Los ángulos θ12, θ13 y θ23 pueden hacerse yacer todos en el primer cuadrante,mediante redefinición de fases de los campos. Así cij ≥ 0 , sij ≥ 0 y 0 ≤ δ13 ≤ 2π .


• Nótese que δ13 es la única fase compleja del lagrangiano del SM. Por ello, es laúnica fuente posible de violación de CP. De hecho, fue por esta razón que sesupuso existía una tercera generación, antes del descubrimiento del bottom y el τ.Con sólo dos generaciones, el SM no podría explicar la violación de CP en elsistema de kaones, por ejemplo.

• Experimentalmente se tiene acceso sólo a los módulos de Vij. En la siguientetabla se presentan los valores que se han podido determinar directamente. Elresto se obtienen utilizando la unitariedad de la matriz.


[A. Pich ’05]CKM Valor Fuente

|Vud | 0.9740 ± 0.0005 Desintegración β nuclear

0.9729 ± 0.0012 n→ p e− νe

0.9749 ± 0.0026 π+ → π0 e+νe

0.9739 ± 0.0005 promedio

|Vus | 0.2220 ± 0.0025 K→ πe+νe

0.2199 ± 0.0026 Desintegraciones de hiperones

0.2208 ± 0.0034 Desintegraciones de τ

0.2219 ± 0.0025 K+/π+ → µ+νµ y retículo

0.2212 ± 0.0025 promedio

|Vcd | 0.224 ± 0.012 ν d→ c X

|Vcs | 0.97 ± 0.11 W+ → cs

0.975 ± 0.013 W+ → had. , Vuj , Vcd , Vcb

|Vcb | 0.0414 ± 0.0021 B→ D∗ℓνℓ

0.0410 ± 0.0015 b→ c ℓ νℓ

0.0411 ± 0.0015 promedio

|Vub | 0.0033 ± 0.0006 B→ ρ ℓ νl , π ℓ νℓ

0.0047 ± 0.0009 b→ u ℓ νℓ

0.0037 ± 0.0005 promedio

|Vtb | /√

∑q |Vtq |2 0.97 +0.16−0.12 t→ b W/q W

δ13 60 ± 14 sistemas K y B


Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos• Hemos visto que si los neutrinos no tuvieran masa (o si todos tuvieran la misma

masa aunque no fuera nula) no habría mezcla de sabores en el sector leptónico, seconservaría el sabor leptónico: el número de electrones, el de muones y el de taus.

• Sin embargo, debido el fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, sabemos quelos neutrinos no están degenerados en masa.

• Podrían entonces darse procesos tales como µ→ eγ, y otros parecidos, queestudiaremos en otro capítulo.

• En éste nos centraremos en qué son las oscilaciones, en qué experimentos se hanobservado y qué información nos aportan sobre las masas de los neutrinos y lamatriz de mezcla de los leptones.

• Previamente necesitamos introducir el concepto de fermión de Majorana.

El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 41

Fermiones de Dirac y de Majorana

• A diferencia de los quarks y los leptones cargados, los neutrinos pueden ser supropia antipartícula (fermiones de Majorana), porque todas sus cargas son nulas.Esto abre la posibilidad de que neutrinos y antineutrinos se mezclen,enriqueciendo aún más la mezcla de sabores.

• Recordemos que un fermión de Dirac es un campo (espinor) con cuatrocomponentes independientes: dos estados de quiralidad (left y right) para losestados de partícula y antipartícula:

ψL = PLψ , ψR = PRψ , ψcL ≡ (ψL)

c = PRψc , ψcR ≡ (ψR)

c = PLψc ,

donde ψc ≡ CψT = iγ2ψ∗ es el espinor conjugado (transformado bajo conjugaciónde carga) con C = iγ2γ0, ψ = ψ†γ0 y PR,L = 1

2(1 ± γ5).

• Un fermion de Majorana tiene en cambio dos grados de libertad pues ψc ≡ η∗ψ:

ψL = ηψcR , ψR = ηψc

L ,

donde |η|2 = 1. Veremos que η es proporcional a la CP-paridad, η = −iηCP.


Nótese que: C† = CT = C−1 = −C y CγµC−1 = −γTµ .

Veamos que la CP-paridad de un campo de Majorana es ηCP = ±i:

Nota: Los operadores sobre el espacio de Dirac (ej. C) conmutan con los que actúan sobre el espacio de Fock (ej. UCP).

UCPψ(x)U†CP ≡ ηCPγ0ψ(xP) , donde x ≡ (x0, x) , xP ≡ (x0,−x)

⇒ UCPψ∗(x)U†CP = η∗CPγ0Tψ∗(xP) , pues (γ0ψ)∗ = (ψ†γ0)

T = γ0Tψ∗

⇒ UCPCψT(x)U†CP = η∗CPCγ0TψT(xP) , pues ψT = (ψ†γ0)T = γ0Tψ∗

⇒ UCPCψT(x)U†CP = −η∗CPγ0CψT(xP) , pues Cγ0TC−1 = −γ0

⇒ UCPψc(x)U†CP = −η∗CPγ0ψc(xP) .

Comparando la primera y la última igualdad y utilizando que ψ = ηψc:

ηCP = −η∗CP ⇒ ηCP = ±i q.e.d.


• Veamos que hay tres tipos de términos de masa podemos construir a partir detodos los bilineales escalares posibles:

ψLψR = ψcRψc

L, ψRψL = ψcLψc

R (∆F = 0)

ψLψcL, ψc

LψL

ψRψcR, ψc

RψR

⎫⎬

⎭(|∆F| = 2)

• El término de masa tipo Dirac conecta componentes L y R del mismo campo,

−LD = mDψRψL + h.c.

Los de tipo Majorana conectan componentes L y R de campos conjugados,

−LM =12

mLψcLψL +

12

mRψcRψR + h.c. .

Nótese que ψc = ψTC.


• Vemos que el término de masa de Dirac conserva el número fermiónico (∆F = 0)mientras que los de Majorana lo violan en dos unidades (|∆F| = 2).

• En general, ambos tipos de términos pueden estar presentes y entonces

−LDM = mDψRψL +12

mLψcLψL +

12

mRψcRψR + h.c. .

• Conviene introducir un doblete de campos de Majorana autoconjugados(χ0c

i = χ0i ):

χ0 =

⎛

⎝ χ01

χ02

⎞

⎠ = χ0L + χ0

R , χ0L =

⎛

⎝ ψL

ψcR

⎞

⎠ , χ0R = χ0c

L =

⎛

⎝ ψcL

ψR

⎞

⎠ .

• Entonces

−LDM =12

χ0cL Mχ0

L + h.c. =12

χ0TL CMχ0

L + h.c. =12

χ0RMχ0

L + h.c. ,

donde M =

⎡

⎣ mL mD

mD mR

⎤

⎦ .


• M es una matriz cuadrada, simétrica (y real si se conserva CP).Puede diagonalizarse con una matriz unitaria U (u ortogonal U = O) mediante:

U TMU = M = diag(m′1, m′2) , χ0L = UχL , χ0

R = χ0cL = U ∗χR .

• Para conseguir que los autovalores sean reales y positivos, la matriz U puedemultiplicarse por una matriz diagonal de fases complejas

√η:

U → U ≡ U√η , ηij = ηiδij, ηi ∈ R,

que corresponde a elegir los campos físicos como

ξi = χiL + ηiχciL ,

de donde ξci = ηiξi. Comprobaremos que si se conserva CP las ηi son los signos

de los correspondientes autovalores m′i:

ηi = signo(m′i) ,

mi = ηim′i .


Veamos ahora que si hay invariancia CP entonces: UCPξL(x)U†CP = iγ0CξL

T(xP).

En efecto:

Sea UCPξL(x)U†CP ≡ ργ0CξL

T(xP), donde ρ es una fase que vamos a determinar.

Si el lagrangiano LDM es invariante bajo CP entonces:UCPLDM(x)U†

CP = LDM(xP). Por tanto:

UCPξTL (x)CMξL(x)U†

CP = ξTL (xP)CMξL(xP)

ξL(xP)ρMρCξLT(xP) = ξT

L (xP)CMξL(xP)

⇒ ρMρ = −M† , pues C† = −C

de donde ρ = ±i. Elegimos ρ = i.

También obtenemos que M es real (M = M∗) pues es simétrica.


Veamos finalmente que si ξ = ηξc entonces la CP-paridad de ξ es ηCP = iη.En efecto:

UCPξL(x)U†CP = U †UCPξ0

L(x)U†CP , pues ξL = U †ξ0

L ⇐ ξ0L = UξL

= iU †γ0Cξ0L

T(xP) , pues UCPξ0

L(x)U†CP = iγ0Cξ0

L

T(xP)

= iU †U ∗γ0CξLT(xP) , pues ξ0

L

T= U ∗ξL

T ⇐ ξ0L = UξL

= iηγ0CξLT(xP) , pues U † =

√ηOT ,U ∗ = O√η ⇐ U = O

√η∗

= iηγ0ξR(xP) .

Por otro lado, tenemos que

UCPξ(x)U†CP ≡ ηCPγ0ξ(xP)

⇒ UCPξL(x)U†CP = ηCPγ0ξR(xP) .

Por tantoηCP = iη


El fermión de Dirac como caso particular de dos de Majorana

• Si los términos de masa de Majorana son mL = mR = 0 encontramos que

m′1 = −mD , m′2 = mD , O =1√2

⎡

⎣ 1 1

−1 1

⎤

⎦ .

• Los autoestados

χ1 =1√2(χ0

1 − χ02) ⇒ χ1L =

1√2(ψL − ψc

R) , χ1R = χc1L ,

χ2 =1√2(χ0

1 + χ02) ⇒ χ2L =

1√2(ψL + ψc

R) , χ2R = χc2L ,

deben ser reemplazados por los estados físicos:

ξ1 = χ1L + η1χc1L [η1 = −1] ,

ξ2 = χ2L + η2χc2L [η2 = +1] .


• Los estados físicos tienen masa positiva,

−L =12

mD(−χ1χ1 + χ2χ2)

=12

mD(ξ1ξ1 + ξ2ξ2)

= mD(ψRψL + ψLψR) .

• Vemos que dos fermiones de Majorana de igual masa y CP-paridades opuestasforman un fermión de Dirac.

• Nótese que la transformación que proporciona directamente los estados físicos esen efecto

U = O√η = O

⎡

⎣ i 0

0 1

⎤

⎦ =1√2

⎡

⎣ i 1

−i 1

⎤

⎦ ,

como queríamos comprobar.


Seesaw: ¿por qué los neutrinos son tan ligeros?• En el SM con un doblete de Higgs es imposible construir un término de masas del

tipo νcLνL que sea invariante gauge. Por tanto, necesariamente mL = 0.

• En cambio, un término del tipo νcRνR (singlete) puede introducirse a mano sin

romper la simetría.

• Consideremos por tanto la matriz de masas

M =

⎡

⎣ 0 mD

mD mR

⎤

⎦

que es diagonalizada por la matriz

O =

⎡

⎣ cos θ sin θ

− sin θ cos θ

⎤

⎦ , tan 2θ =2mD

mR, cos 2θ =

mR√m2

R + 4m2D

,

• Sus autovalores son:

m′1,2 =12

[mR ∓

√m2

R + 4m2D

].


• Si mD ≪ mR obtenemos un neutrino ligero (ν) y otro muy pesado (N) conCP-paridades opuestas y un pequeñísimo ángulo de mezcla(mecanismo de seesaw): [Yanagida ’79; Gell-Mann, Ramond, Slansky ’79; Mohapatra, Senjanovic ’80]

mν ≡ m1 ≈m2

D

mR, mN ≡ m2 ≈ mR ≫ mν , θ ≈

√mν/mN ≪ 1 ,

ν ≡ ξ1 ≈ νL + η1νcL [η1 = −1] , N ≡ ξ2 ≈ νc

R + η2νR [η2 = +1] .

• Sabemos que existen nG = 3 generaciones de neutrinos left [νiL (i = 1, . . . , nG)] ypuede haber un número arbitrario nR de campos right [νjR (j = 1, . . . , nR)].

La matriz de masas es entonces la matriz cuadrada, compleja y simétrica(nG + nR)× (nG + nR),

M =

⎡

⎣ 0 mDT

mD mR

⎤

⎦ , con mD : nR × nG y mR : nR × nR .


• Así, si suponemos que mD es del orden de la escala electrodébil (∼ 200 GeV) y laescala a la que se violaría el número leptónico, es muy alta (del orden de la escalade gran unificación, mR ∼ 1015 GeV) obtenemos:

– nG = 3 neutrinos ligeros (νi) con masas mν ∼ (10−2− 10−1) eV, que es justamenteel orden de magnitud correcto para explicar las diminutas masas de los neutrinosque son compatibles con los experimentos de oscilaciones, y

– nR extremadamente pesados (Nj) que jugarían un papel muy importante paragenerar la asimetría bariónica del universo a partir de sus desintegraciones fueradel equilibrio (leptogénesis).


Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS

• Si el mecanismo de seesaw fuera cierto, los neutrinos serían partículas deMajorana (νi = ηiν

ci , Nj = ηjN

cj ).

• Los tres autoestados de masa más ligeros νi (i = 1, 2, 3) corresponderían a unamezcla de autoestados de interacción να (α = e, µ, τ),

|να⟩ = ∑i

Uαi|νi⟩ , o bien |νi⟩ = ∑α

U∗αi|να⟩ .

Pondremos una letra griega como subíndice en vez de un superíndice I para indicar que autoestados de interacción.Los de masa tendrán como subíndice una letra latina.

• Esta matriz unitaria (la mezcla con los neutrinos pesados es despreciable) esanáloga a la definida para los quarks y los leptones cargados, pero hay dosimportantes diferencias:

– los campos ν contienen ambas quiralidades, y

– la matriz U contiene dos fases físicas adicionales α1, α2 (fases de Majorana),que no pueden ser absorbidas mediante redefinición de fases de los campos,ya que la relación νi = ηiν

ci lo impide.


• U se conoce como la matriz de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS).[Pontecorvo ’57; Maki, Nakagawa, Sakata ’62; Pontecorvo ’68]

• En la parametrización estándar:

U =

⎡

⎢⎢⎣

Ue1 Ue2 Ue3

Uµ1 Uµ2 Uµ3

Uτ1 Uτ2 Uτ3

⎤

⎥⎥⎦

=

⎡

⎢⎢⎢⎣

c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ13

−s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ13 c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ13 s23 c13

s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ13 −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ13 c23 c13

⎤

⎥⎥⎥⎦

⎡

⎢⎢⎣

eiα1 0 0

0 eiα2 0

0 0 1

⎤

⎥⎥⎦ .

• Estos parámetros se determinan experimentalmente (distintos a los de quarks).

• Ésta es la matriz que aparece en la interacción de corrientes cargadas de leptones,

LCC =g

2√

2

Wµ

[

∑αi

ℓα γµ(1− γ5) Uαi νi

]

+ h.c.

,

en la base en la que los leptones cargados son diagonales.El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 55

ℓj

νi

W Uji

νi

ℓj

W U∗

ji

• Veremos en seguida que los experimentos de oscilaciones de neutrinos no sonsensibles a las fases de Majorana, y por tanto son incapaces de discenir si losneutrinos son partículas de Dirac o de Majorana.

Excepto si existen nuevas interacciones de los neutrinos right, pues entonces se propagan de forma diferente en materia.[del Águila, Syska, Zrałek ’07]

• Para ello se necesita un experimento que compruebe la conservación del númeroleptónico, violado por los términos de Majorana.


Oscilaciones de neutrinos

• Se trata de un fenómeno mecano-cuántico debido a que los autoestados de masa|νi⟩ (de energía bien definida) no coinciden con los de interacción |να⟩ (los que seproducen en una corriente cargada acompañando al leptón cargado ℓα = e, µ, τ),

|να⟩ = ∑i

Uαi|νi⟩ .

• La evolución en el tiempo del estado inicial |να⟩ viene dada por el operadorevolución temporal, que es diagonal en la base de autoestados de masa:

t = 0 : |να(0)⟩ = |να⟩t : |να(t)⟩ = ∑

i

e−iEitUαi|νi⟩ .

• En la práctica, los neutrinos son relativistas (mi ≪ Ei), así que t ≈ L (distanciarecorrida). Si se han producido con momento p ≈ E entonces:

Ei =√

p2 + m2i ≈ p +

m2i

2p≈ p +

m2i

2E.


• Por tanto, al cabo de una distancia L el neutrino να puede oscilar a cualquiersabor νβ con una probabilidad:

P(να → νβ; L) = |⟨νβ|να(L)⟩|2 =

∣∣∣∣∣∑ij

⟨νj|U∗βje−iEiLUαi|νi⟩

∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∑i

U∗βiUαie−iEiL

∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∑i

U∗βiUαie−im2i L/2E

∣∣∣∣∣

2

= ∑ij

UβjU∗αjU∗βiUαie

−i∆m2ijL/2E

= δαβ + 2 ∑i>j

Re(UβjU∗αjU∗βiUαi)[cos(∆m2

ijL/2E)− 1]

+2 ∑i>j

Im(UβjU∗αjU∗βiUαi) sin(∆m2

ijL/2E) .


• Se ha usado ⟨νj|νi⟩ = δij, se ha definido ∆m2ij ≡ m2

i −m2j , se ha separado

∑ij

= ∑i=j

+∑i>j

+∑i<j

,

y se ha utilizado la unitariedad de U que lleva a la igualdad:

∑i=j

(UβjU∗αjU∗βiUαi) = ∑

j

(UβjU∗αj)∑i

(U∗βiUαi)−∑i =j

(UβjU∗αjU∗βiUαi)

= δαβ − 2 ∑i>j

Re(UβjU∗αjU∗βiUαi) .

• Finalmente, conviene escribir

P(να → νβ; L) = δαβ − 4 ∑i>j

Re(UβjU∗αjU∗βiUαi) sin2[1.27∆m2

ijL/E]

+2 ∑i>j

Im(UβjU∗αjU∗βiUαi) sin[2.54∆m2

ijL/E] ,

donde se ha introducido

∆m2ijL/4E ≈ 1.27∆m2

ij [eV2]L [km]

E [GeV].


• Nótese que las fases de Majorana son irrelevantes y que

P(νβ → να; U) = P(να → νβ; U∗)

de modo que si la invariancia CPT se satisface,

P(να → νβ) = P(νβ → να)

tenemos que

P(να → νβ; U) = P(να → νβ; U∗) ,

y si CP se conserva (U = U∗) entonces

P(να → νβ) = P(να → νβ) ,

de lo contrario, el último término de P(να → νβ) expresa la violación de CP.


• En la naturaleza parece haber tres sabores y, por tanto, dos diferencias de masas∆m2

21 ≪ ∆m232 ≃ ∆m2

31, que resultan ser muy distintas. Entonces,

P(να → νβ = να) ≈ Pcortaαβ + P

largaαβ

con

Pcortaαβ = 4U2

β3U2α3 sin2[1.27∆m2

32L/E]

Plargaαβ = −4Uβ1Uα1Uβ2Uα2 sin2[1.27∆m2

21L/E]

donde se han despreciado por simplicidad efectos de violación de CP y se hausado la unitariedad de U.

• Seleccionando el rango apropiado de L/E la oscilación es sensible sólo a lacomponente corta o a la larga, con lo que ambos tipos de oscilaciones estándesacopladas y se pueden tratar como si de forma efectiva sólo hubiera mezcla dedos sabores.


• En el caso de oscilaciones entre dos sabores να y νβ, la matriz unitaria U se reducea

U =

⎡

⎣ cos θ sin θ

− sin θ cos θ

⎤

⎦ ,

y las probabilidades de oscilación entre estos dos sabores son

P(να → να) = 1− sin2 2θ sin2[1.27∆m2L/E] ,

P(να → νβ = να) = sin2 2θ sin2[1.27∆m2L/E] .

• Si ∆m2L/E≫ 1 la probabilidad de transición es muy sensible a la distancia(piénsese en una fuente extensa, por ejemplo) y entonces resulta una probabilidadpromediada, independiente de ∆m2,

P(να → να) = 1− 12

sin2 2θ ,

P(να → νβ = να) =12

sin2 2θ .


• En la siguiente tabla se ilustran los ∆m2 que pueden explorarse en distintosexperimentos. SBL (LBL) significa short (long) baseline, respectivamente.

Experimento L [m] E [MeV] ∆m2 [eV2]

Reactores SBL 102 1 10−2

Reactores LBL 103 1 10−3

Aceleradores SBL 103 103 1

Aceleradores LBL 106 103 10−3

Atmosféricos 107 103 10−4

Solares 1011 1 10−11

• Cuando los neutrinos viajan en materia densa (atravesando el Sol, la Tierra o unasupernova, por ejemplo) interaccionan con el las partículas del medio de formadiferente según el sabor. Es el efecto Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein (MSW). Lasprobabilidades de transición anteriores se ven modificadas para acomodar esteefecto, pero siguen dependiendo de diferencias de cuadrados de masas, siendotambién independientes de las fases de Majorana.


Experimentos de oscilaciones de neutrinos

Son sensibles generalmente a un rango determinado de energías (limitado por elsistema de detección). Existen esencialmente dos tipos de experimentos:

Experimentos de aparición: En los que se detectan sabor(es) νβ que no estabanpresentes en el haz de να inicial. Es decir, miden P(να → νβ = να).

Experimentos de desaparición: En los que se detectan menos να de los que seesperaban procedentes del haz inicial. Es decir, miden P(να → να).

Las fuentes de neutrinos son variadas, unos de origen natural y otros producidos enreacciones nucleares o en aceleradores de partículas:

• Los neutrinos solares son νe y se producen en reacciones termonucleares: ciclospp y CNO. El primero produce el 98% de la energía que emite el Sol. Su flujo y suenergía son variados.


– Ciclo pp:


– Ciclo CNO:


– Flujo de neutrinos solares (a una unidad astronómica de distancia):


• Los atmosféricos son producidos por rayos cósmicos (p, núcleos, etc) en laatmósfera terrestre:

rayo cósmico + nucleón → π±(K±) + X

π±(K±) → µ± + νµ(νµ)

µ± → e± + νe(νe) + νµ(νµ) .

Por tanto, si no hubiera oscilaciones, uno esperaría el doble de νµ que de νe.

Su energía varía entre unos pocos MeV y 100 GeV.

El baseline varía dependiendo del ángulo cenital ϑ con que se observen:

L ≈ 15 km [ϑ = 0, downgoing]

L ≈ 13000 km [ϑ = 180, upgoing atravesando la Tierra] .

Su flujo es aproximadamente de 100 m2sr−1s−1.


• Otros neutrinos naturales son los producidos por supernovas (colapso estelar),

e− + p → n + νe

e− + e+ → νℓ + νℓ

n + p → n + p + νℓ ,

con energías típicas del orden de 10 MeV, y los producidos por Núcleos GalácticosActivos (AGN), del orden de 1 TeV.

• En reactores nucleares se producen νe en la desintegración β de productos defisión inestables. Su flujo es del orden de 1020 s−1GW−1 y su energía del ordendel MeV. Los detectores se sitúan a una distancia de la central nuclear del ordende 1 km.

• Finalmente, en aceleradores de partículas se producen haces de neutrinoshaciendo colisionar protones de unos 100 GeV contra un blanco.Así se producen νµ (de π±, K±) y νe,µ (de µ±), con una energía del orden del GeV.


Resultados

• Todos los experimentos son consistentes con la oscilaciones entre tres sabores deneutrinos. Los análisis implican 2 diferencias de masa, 3 ángulos de mezcla y 1fase que viola CP. De las oscilaciones de neutrinos solares y atmosféricos sededuce que

∆m221 = ∆m2

⊙ ≪ ∆m2atm = |∆m2

31| ≃ |∆m232| .

Hasta 2012 sólo ∆m221, |∆m2

31|, θ12 y θ23 estaban relativamente bien medidos,mientras que de θ13 se conocía una cota superior y casi nada se sabía de la fase deCP δCP ni del signo de ∆m2

31. La situación ha cambiado drásticamente en el últimoaño gracias a los datos de los experimentos de reactores Daya Bay, Reno y DoubleChooz que, junto con la mejora en estadística de los experimentos de long baseline

T2K y MINOS, han permitido la determinación clara de θ13.

• A continuación se muestran los resultados del fit global a las oscilaciones de 3ν.Los diferentes contornos corresponden a regiones permitidas a 1σ, 90%, 2σ, 99% y3σ CL. [M.C. González García et al., arXiv: 1209.3023]



• Se encuentran los siguientes rangos de valores: [M.C. González García et al. ’12]

∆m221 = (7.50 ± 0.185)× 10−5 eV2 ,

∆m231 =

(2.47 +0.069

−0.067

)× 10−3 eV2 (jerarquía normal) ,

∆m232 =

(−2.43 +0.042

−0.065

)× 10−3 eV2 (jerarquía invertida) ,

θ12 = (33.3 ± 0.8) ,

θ23 =(

40.0 +2.1−1.5

)⊕(

50.4 +1.2−1.3

),

θ13 =(

8.6 +0.44−0.46

),

δCP =(

300 +66−138

).


• Los experimentos actuales son prácticamente insensibles a la fase de CP. Nóteseque la mezcla entre νµ y ντ es (compatible con) máxima, la de νe y νµ es casimáxima y la de νe y ντ es muy pequeña.

• Por tanto nuestro conocimiento actual de la matriz de PMNS es

|U|3σ =

⎛

⎜⎜⎜⎝

0.795→ 0.846 0.513→ 0.585 0.126→ 0.178

0.205→ 0.543 0.416→ 0.730 0.579→ 0.808

0.215→ 0.548 0.409→ 0.725 0.567→ 0.800

⎞

⎟⎟⎟⎠.


• En cuanto al espectro de masas de los neutrinos:

m2

0

solar~7.6×10–5eV2

atmospheric~2.5×10–3eV2

atmospheric~2.5×10–3eV2

m12

m22

m32

m2

0

m22

m12

m32

νe

νµ

ντ

? ?

solar~7.6×10–5eV2


– Nótese que el fenómeno de las oscilaciones no permite conocer más quediferencia de masas y por tanto no nos da información sobre su escala.

– Por otro lado el signo de ∆m231 no se conoce todavía, así que el espectro podría ser

normal (como el de la Figura) o invertido (intercambiando las dos masasinferiores con la superior) o incluso degenerado si el neutrino más ligero tuviera

una masa mucho mayor que√

∆m2atm ∼ 0.05 eV.

– Tenemos acceso a los valores individuales de las masas (actualmente cotassuperiores) a partir de otros tipos de experimentos. En particular, la noobservación de distorsión alguna en el punto final del espectro de electrones en la

radiación β del tritio impone√

∑i m2i |Uei|2 < 2 eV. Finalmente de los datos de

astrofísica y cosmología obtenemos información (dependiente del modelo) sobrela suma de las masas de los neutrinos, ∑i mi <∼ (0.36− 1.5) eV.


Test de la violación del número leptónico: 0νββ

• Se llama 0νββ al proceso (A, Z)→ (A, Z + 2) + 2e−, en el que un núcleo con A

nucleones, de los cuales Z son protones, se desintegra a otro núcleo con Z + 2protones emitiendo dos electrones.

• Este proceso viola la conservación del número leptónico y compite con el procesodoble beta estándar, en el que además se emiten dos antineutrinos, el cual estácinemáticamente más suprimido por disponer de menor espacio fásico.

• La amplitud de 0νββ es proporcional a la masa de Majorana efectiva,⟨m⟩ ≡ ∑i miU2

ei. Hay varios grupos experimentales intentando medir este proceso,pero de momento sin resultados concluyentes.


Masa de Majorana efectiva ⟨m⟩ en función de min(mj) (incluyendo una incertidumbre de 2σ)compatible con de los experimentos de oscilaciones. Las fases de Majorana se varían en elintervalo [0, π] y la de Dirac se ha tomado cero. Las bandas verdes y azules corresponden acombinaciones que conservan CP y las rojas son zonas donde se viola CP.


Capítulo 2Observables

78

Sección eficaz¿Qué significa?

Haz

Blanco

NH

NB

A

vt

v

• La sección eficaz σ es el área efectiva de una partícula (en el blanco) vista por unproyectil (en el haz incidente).

• Si en el blanco hay NB partículas y la superficie de colisión es A, entonces

Probabilidad de colisión =NBσ

A.

• Si en el haz hay NH partículas, entonces

(# sucesos) = NHNBσ

A⇒ σ =

(# sucesos)NH NB

A .

Sección eficaz ¿Qué significa? 79

• En la práctica, el haz está formado por una nube de partículas de densidad ρ quese mueve con velocidad v, así que

NH = ρvtA ⇒ σ =(# sucesos)

ρvtANBA =

(# sucesos)ρv tNB

=probabilidad de transición por unidad de t

flujo incidente,

donde

probabilidad de transiciónpor unidad de t = (# sucesos) por unidad de t y por cada dispersor ,

flujo incidente = ρv .

Sección eficaz ¿Qué significa? 80

Probabilidad de transición y matriz S

p3, m3

pn+2, m

n+2

.

.

.

p1, m1

p2, m2

• Sean los estados inicial (antes) y final (después) de la colisión:

|i⟩ ≡ |p1p2⟩ ,

| f ⟩ ≡ |p3p4 . . . pn+2⟩ ,

y sea pi (p f ) la suma de los cuadri-momentos iniciales (finales), respectivamente.

• La matriz S conecta los estados asintóticos in (t→ −∞) y out (t→ ∞),

out⟨ f |i⟩in ≡ S f i = ⟨ f |S|i⟩ ≡ δi f + i(2π)4δ4(pi − p f )T f i .

Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 81

• S es unitaria,∫ ∣∣S f i

∣∣2 dNf = 1. Por tanto, la probabilidad de transición a | f ⟩ = |i⟩es

∣∣S f i

∣∣2 dNf = (2π)8δ4(pi − p f )δ4(0)|T f i|2dNf

= (2π)4δ4(pi − p f )VT|T f i|2dNf ,

donde hemos usado que

δ4(p) =∫

d4x

(2π)4 e−ip·x ⇒ (2π)4δ4(0) = VT .

• VT es un cuadri-volumen infinito que no aparecerá en la magnitud observable.La probabilidad de transición por unidad de tiempo será:

probabilidad de transición =

∣∣S f i

∣∣2 dNf

T= (2π)4δ4(pi − p f )|T f i|2VdNf .

• Calcularemos ahora dNf . Primero hemos de recordar cómo se define el estado deuna partícula de momento p:

|p⟩ =√

2Epa†p|0⟩ ,

donde el operador a†p (ap) crea (aniquila) una partícula de momento p.


• Estos operadores verifican la regla de conmutación:

[aq, a†p] = (2π)3δ3(p− q) ,

• El factor√

2Ep es necesario para que

⟨q|p⟩ = 2Ep(2π)3δ3(p− q)

sea invariante Lorentz.

En efecto, hagamos un boost β de p en la dirección del eje z. Entonces,

δ3(p′ − q′) =δ3(p− q)

γ(β dEdp3

+ 1)=

Eδ3(p− q)γ(βp3 + E)

=E

E′δ3(p− q)

⇒ Ep′δ3(p′ − q′) = Epδ3(p− q) .


En el primer paso se ha usado

δ( f (x)− f (x0)) =δ(x− x0)∣∣∣∣

d f

dx

∣∣∣∣x=x0

, f (x) = p′3(p3) = γ(βE + p3) ,

en el segundo,

dE

dp3=

p3

E, pues E =

√m2 + |p|2 ,

y en el tercero,

E′ = γ(E + βp3) .

• Así el operador unidad sobre estados de un partícula es

1 =∫ d3p

(2π)32Ep|p⟩⟨p| .

En efecto:

1|q⟩ =∫ d3p

(2π)32Ep|p⟩⟨p|q⟩ =

∫ d3p

(2π)32Ep|p⟩(2π)32Epδ3(p− q) = |q⟩ .


• Con esta normalización y usando que

δ3(p) =∫ d3x

(2π)3 e−ip·x ⇒ (2π)3δ3(0) = V ,

tenemos que

⟨p|p⟩ = (2π)32Epδ3(0) = 2EpV ,

(probabilidad de encontrar una partícula con momento entre p y p + dp.)

• Entonces, el número de estados de una partícula con momentos ∈ [p, p + dp] es

dN = ⟨p|p⟩ d3p

(2π)32Ep=

Vd3 p

(2π)3 .

• Así, el número de estados de n partículas finales con momentos ∈ [pj, pj + dpj] es

dNf =n+2

∏j=3

Vd3 pj

(2π)3 .

• Por tanto

probabilidad de transición = (2π)4δ4(pi − p f )|T f i|2Vn+2

∏j=3

Vd3 pj

(2π)3 .


Flujo incidente

• Consideremos un haz de densidad igual a una partícula por unidad de volumen:

ρ =1V

.

• El flujo incidente será entonces

ρv = ρ|v1 − v2| =1V

∣∣∣∣p1

E1− p2

E2

∣∣∣∣ =|E2p1 − E1p2|

VE1E2.

• Para un sistema colineal (p1||p2) es fácil comprobar que

|E2p1 − E1p2| = ( p1 · p2)2 −m2

1m221/2 ,

así que

ρv =( p1 · p2)2 −m2

1m221/2

VE1E2.

Sección eficaz Flujo incidente 86

Fórmula final• Uniendo las expresiones anteriores queda

dσ =(2π)4δ4(pi − p f )|T f i|2

4 ( p1 · p2)2 −m21m2

21/2 2E12E2V2n+2

∏j=3

Vd3 pj

(2π)3 .

• Introduciendo la amplitud invariante de scattering M f i

M f i ≡n+2

∏j=1

(2EjV)1/2T f i (directamente relacionada con las reglas de Feynman)

tenemos finalmente

dσ =1

4 ( p1 · p2)2 −m21m2

21/2 |M f i|2(2π)4δ4(pi − p f )n+2

∏j=3

d3pj

(2π)32Ej.

Si hay ki partículas idénticas de la especie i en el estado final la sección eficaz total(integrado el espacio fásico) debe dividirse por el factor de simetría S = ∏

i

ki!.

Si el estado incial no está polarizado y/o la polarización del estado final no semide debe promediarse sobre las polarizaciones iniciales y/o sumarse sobre lasfinales, respectivamente.

Sección eficaz Fórmula final 87

Caso 2→ 2 en el sistema centro de masas

p1, m1

p2, m2

p3, m3

p4, m4

• Consideremos el caso de un estado inicial i = 1, 2 a uno final f = 3, 4 en elsistema centro de masas (CM). Entonces la integral sobre el espacio fásico sereduce a

∫dΦ2 ≡ (2π)4

∫δ4(p1 + p2 − p3 − p4)

d3p3

(2π)32E3

d3p4

(2π)32E4

=∫

δ(ECM − E3 − E4)d3p3

(2π)22E32E4

=∫ |p|2dΩ

(2π)24E3E4

E3E4

|p|(E3 + E4)

=∫ |p|dΩ

16π2ECM,

Sección eficaz Caso 2→ 2 en el sistema centro de masas 88

donde se ha usado:

d3p3 ≡ |p3|2d|p3|dΩ

δ(ECM − E3 − E4) = δ( f (|p3|)) =δ(|p3|− |p|)

| f ′(|p3| = |p|)|

f ′(|p3|) =∂ f

∂E3

∂E3

∂|p3|+

∂ f

∂E4

∂E4

∂|p3|=

|p3|E3

+|p3|E4

= |p3|(

E3 + E4

E3E4

)

E3 =√

m23 + |p3|2

E4 =√

m24 + |p1 + p2 − p3|2 .

• El factor de flujo se simplifica si las partículas que colisionan tienen la mismamasa m ≡ m1 = m2, pues entonces

p1 ≡ (E, q) , p2 = (E,−q) , 2E = ECM ,

4 ( p1 · p2)2 −m2

1m221/2 = 4ECM|q| .

• En este caso

dσ

dΩ(1, 2→ 3, 4) =

164π2E2

CM

|p||q| |M f i|2 .

Sección eficaz Caso 2→ 2 en el sistema centro de masas 89

Anchura de desintegración• El ritmo de desintegración (anchura) de una partícula de masa M a n partículas

finales viene dado, en su sistema de referencia en reposo, por

dΓ(i→ f ) =1

2M|M f i|2(2π)4δ4(P− p f )

n

∏j=1

d3pj

(2π)32Ej,

análoga a la expresión de dσ cambiando el factor 4(p1 · p2)−m2

1m221/2 por 2M.

Se obtiene tomando como flujo ρv = 1.

Anchura de desintegración 90

Caso 1→ 2

p1, m1

p2, m2

P, M

• Si n = 2 basta aplicar el resultado de 2→ 2 con ECM = M para obtener

dΓ

dΩ(i→ 1, 2) =

132π2

|p|M2 |M f i|2 .

• Nótese que las masas M, m1 y m2 fijan la energía y los momentos finales:

E1 =M2 −m2

2 + m21

2M, E2 =

M2 −m21 + m2

22M

,

|p| ≡ |p1| = |p2| =[M2 − (m1 + m2)2][M2 − (m1 −m2)2]

1/2

2M.

Anchura de desintegración Caso 1→ 2 91

• La anchura total se obtiene sumando las anchuras parciales a todos los canales dedesintegración. Su inversa es la vida media de la partícula, τ = Γ−1.

Nota sobre las dimensiones de las distintas magnitudes utilizadas:

S f i = δi f + i(2π)4δ4(p f − pi)T f i ⇒ [S f i] = [energía]0, [T f i] = [energía]4

M f i =ni+n

∏j=1

(2EjV)1/2T f i ⇒ [M f i] = [energía]4−ni−n

dΦn = (2π)4δ4(pi − p f )n+2

∏j=2

d3pj

(2π)32Ej⇒ [dΦn] = [energía]−4+2n

dσ(ni = 2→ n) =|M f i|2dΦn

4 ( p1 · p2)2 −m21m2

21/2 ⇒ [energía]−2

dΓ(ni = 1→ n) =1

2M|M f i|2dΦn ⇒ [energía]

Resultan convenientes los factores de conversión [1 ≡ hc ≈ 200 MeV fm]:

h = 6.582× 10−22 MeV s

(hc)2 = 0.389 GeV2 mbarn

Anchura de desintegración Caso 1→ 2 92

Capítulo 3Reglas de Feynman

93

Reglas generalesPara el cálculo de funciones de Green o de amplitudes invariantes de scattering M f i.

1. Dibujar todos los diagramas conectados y topológicamente distintos en el ordendeseado de teoría de perturbaciones.

En cada diagrama:

2. Asociar momentos externos a todas las líneas externas y L momentos internos alos L loops. Determinar los momentos de las líneas internas de modo que elcuadri-momento se conserve en cada vértice.

3. Asignar un propagador a cada línea interna:

[bosón escalar]i

p2 −m2

[fermión spin 1/2]i(/p + m)p2 −m2

µ ν [bosón vectorial]−i

p2 −m2

[gµν +

(ξ − 1)pµ pν

(p2 − ξm2)

](Rξ)

(ξ = 1: gauge ’t Hooft-Feynman; ξ = 0: gauge de Landau; ξ = ∞: gauge unitario)Reglas generales 94

4. A cada vértice asignar un peso compuesto por los siguientes factores:

(a) La constante de acoplamiento que aparezca en iLint.

(b) Por cada derivada de un campo φ cualquiera ∂µφ asociar (−ipµ) donde p es elcorrespondiente momento entrante.

(c) Un factor proviniente de la degeneración de partículas idénticas en cada vértice.(Por ejemplo, ×2 para ZZH, ×4 para ZZHH.)

Los vértices genéricos más frecuentes y los vértices del SM se listan más abajo.

5. Por cada momento interno q no fijado por la conservación de momento en cadavértice (loops), introducir un factor

∫ d4q

(2π)4

e integrar, (si es necesario) después de regularizar.

Reglas generales 95

6. Multiplicar la contribución de cada diagrama por:

(a) Un factor (−1) entre diagramas que difieren entre sí solo por el intercambio dedos fermiones externos idénticos. (Por ejemplo, los dos diagramas del scatteringde Møller, e−e− → e−e−, o los dos del scattering de Bhabha, e+e− → e+e−, anivel árbol.)

(b) Un factor de simetría 1/S donde S el número de permutaciones de líneas internasy vértices que deja invariante el diagrama si las líneas externas permanecenfijadas.

(c) Un factor (−1) por cada loop fermiónico.

Reglas generales 96

7. Para obtener iM f i, poner las líneas externas sobre su capa de masas, es decirp2

i = m2i . Poner por cada línea fermiónica externa un espinor: u(p) [o v(p)] para

fermiones [o antifermiones] entrantes con momento p; u(p) [o v(p)] parafermiones [o antifermiones] salientes con momento p. Poner vectores depolarización εµ(p, λ) [o ε∗µ(p, λ)] para bosones vectoriales entrantes [o salientes]con momento p.

u(p)

u(p)

v(p)

v(p)

p

εµ(p)

ε∗µ(p)

Reglas generales 97

Algunos vértices genéricos• Consideremos el siguiente lagrangiano de interacción (hermítico) que contiene las

interacciones entre campos escalares, fermiónicos y vectoriales más habituales,con acoplamientos genéricos:

L = e Vµψiγµ(gV − gAγ5)ψj +

e φψi(gS − gPγ5)ψj + e KφVµV′µ + h.c.

+ie GVµφ†i

←→∂µ φj − ie J

(WµνW†

µVν −W†µνWµVν −W†

µWνVµν)

,

donde φ†←→∂µ φ ≡ φ†∂µφ− (∂µφ†)φ.• Las reglas de Feynman para los correspondientes vértices, con todos los

momentos entrantes, e ignorando posibles factores de degeneración de partículasidénticas, son entonces:

[VµFF]: ieγµ(gV − gAγ5) = ieγµ(gLPL + gRPR)

[SFF]: ie(gS − gPγ5) = ie(cLPL + cRPR)

[SVµVν]: ieKgµν

[VµS(p1)S(p2)]: ieG(p1 − p2)µ

[Vµ(k1)Vν(k2)Vρ(k3)]: ieJ[gµν(k2 − k1)ρ + gνρ(k3 − k2)µ + gµρ(k1 − k3)ν

]

Algunos vértices genéricos 98

Vértices del Modelo Estándar• Los acoplamientos genéricos anteriores toman los siguientes valores en el SM.

Se han incluido los bosones de Goldstone φ± y χ pues es necesario tenerlos en cuenta si no se trabaja en el gauge unitario.Éstos corresponden a parametrizar las excitaciones sobre el vacío como

Φ(x) =

⎛

⎝ φ+(x)1√2[v + H(x) + iχ(x)]

⎞

⎠ , φ−(x) = [φ+(x)]† .

Introduciremos las abreviaturas: sW ≡ sin θW y cW ≡ cos θW .

•

VFF γ fi f j Z fi f j W+uidj W−djui W+νiℓj W−ℓjνi

gL −Q f δij gf+δij

1√2sW

Vij1√2sW

V∗ij1√2sW

U∗ji1√2sW

Uji

gR −Q f δij gf−δij 0 0 0 0

donde gL,R ≡ gV ± gA y gf± ≡ v f ± a f con v f = (T fL

3 − 2Q f s2W)/(2sWcW) y

a f = TfL

3 /(2sWcW).En el viejo SM los neutrinos no tienen masa, y entonces Uij = δij.

Vértices del Modelo Estándar 99

•

SFF H fi fj χ fi f j φ+uidj φ−djui

cL − 12sW

m fi

MWδij −

i2sW

2TfL

3m fi

MWδij +

1√2sW

mui

MWVij −

1√2sW

mdj

MWV∗ij

cR − 12sW

m fi

MWδij +

i2sW

2TfL

3m fi

MWδij −

1√2sW

mdj

MWVij +

1√2sW

muj

MWV∗ij

SFF φ+νiℓj φ−ℓjνi

cL +1√2sW

mνi

MWU∗ji −

1√2sW

mℓj

MWUji

cR − 1√2sW

mℓj

MWU∗ji +

1√2sW

mνi

MWUji

donde cL,R ≡ gS ± gP. En el viejo SM mνi = 0 y Uij = δij.

•SVV HZZ HW+W− φ±W∓γ φ±W∓Z

K MW/sWc2W MW/sW −MW −MWsW/cW

•VSS ZχH γφ±φ∓ Zφ±φ∓ W±φ∓H W±φ∓χ

G − i2sWcW

∓1 ±c2

W − s2W

2sWcW∓ 1

2sW− i

2sW


•VVV γW+W− ZW+W−

J −1 cW/sW

• Por completitud, listamos a continuación las reglas de Feynman para los demásvértices que aparecen en el SM, en el gauge unitario.

[SSS]: ieC3

[SSSS]: ie2C4

[SSVµVν]: ie2C2gµν

[Vµ(k1)Vν(k2)Vρ(k3)Vσ(k4)]: ie2C[2gµνgρσ − gµρgνσ − gµσgνρ

]

Son las siguientes:

•SSS HHH

C3 −3M2

H

2MWsW

SSSS HHHH

C4 −3M2

H

4M2Ws2

W

SSVV HHW−W+ HHZZ

C21

2s2W

12s2

Wc2W

•VVVV W+W+W−W− W+W−ZZ W+W−γZ W+W−γγ

C1

s2W

−c2

W

s2W

cW

sW−1


Nota: En un gauge más general hay también vértices con bosones de Goldstoneen [SSS], [SSSS] y [SSVV] así como nuevas interacciones con los campos fantasmade Faddeev-Popov de tipo [SUU] y [UUV].


Capítulo 4Cálculo de correcciones

cuánticas a un loop

103

Estructura de las amplitudes a un loop• Consideremos el siguiente diagrama genérico a un loop con N patas externas:

q + kN−1

q + k1

q

p1

pN pN−1

p2

m1

mN−1

m0

k1 = p1, k2 = p1 + p2, . . . kN−1 =N−1

∑i=1

pi

• Este diagrama contiene en general integrales del tipo

i16π2 TN

µ1...µP≡ µ4−D

∫ dDq

(2π)D

qµ1 · · · qµP

[q2 −m20][(q + k1)2 −m2

1] · · · [(q + kN−1)2 −m2N−1]

Estructura de las amplitudes a un loop 104

La integración en D dimensiones es propia de regularización dimensional.

Las integrales son simétricas bajo permutaciones de los índices de Lorentz.

La escala µ se introduce para que la integral tenga las dimensiones correctas.

P es el número de q’s en el numerador y determina la estructura tensorial de laintegral (escalar si P = 0, vectorial si P = 1, etc.). Nótese que P ≤ N.

Se usa la notación A para T1, B para T2, etc.

Por ejemplo, las integrales escalares son A0, B0, etc.

• Las integrales tensoriales pueden descomponerse en una combinación lineal delos tensores covariantes Lorentz que puedan construirse con el tensor métrico gµν

y un conjunto linealmente independiente de momentos. [Pasarino, Veltman ’79]

La elección de la base no es única.

Usaremos la base formada por gµν y los momentos ki, que presenta la ventaja deque los coeficientes tensoriales son totalmente simétricos en sus índices. [Denner ’93]

Esta base es la empleada por el paquete informático LoopTools.[www.feynarts.de/looptools]


• Nos centraremos, por simplicidad, en la descomposición de las siguientesintegrales tensoriales:

Bµ = k1µB1 ,

Bµν = gµνB00 + k1µk1νB11 ,

Cµ = k1µC1 + k2µC2

Cµν = gµνC00 +2

∑i,j=1

kiµkjνCij ,

Cµνρ = . . . no la haremos . . .

• Veremos que las integrales escalares A0 y B0 y los coeficientes de las integralestensoriales B1, B00, B11 y C00 son divergentes en D = 4 dimensiones (divergenciaultravioleta, equivalente a tomar un corte Λ→ ∞ en q).

• Es posible expresar cada uno de esos coeficientes en términos de integralesescalares (reducción tensorial), pero aquí no lo haremos. [Denner ’93]


Cálculo explícito de las integralesIntroduzcamos previamente algunos ingredientes básicos:

• La función Gamma de Euler:

Γ(x + 1) = xΓ(x)

Desarrollo en serie de Taylor en torno a sus polos (x = 0,−1,−2, . . . ):

x = 0 : Γ(x) =1x− γ +O(x),

x = −n : Γ(x) =(−1)n

n!(x + n)− γ + 1 + · · ·+ 1

n+O(x + n),

donde γ ≈ 0.5772 . . . es la constante de Euler-Mascheroni.

• Parámetros de Feynman:

1a1a2 · · · an

=∫ 1

0dx1 · · ·dxn δ

(n

∑i=1

xi − 1

)(n− 1)!

[x1a1 + x2a2 + · · · xnan]n

Cálculo explícito de las integrales Ingredientes básicos 107

• Las integrales, con ϵ→ 0+:

∫ dDq

(2π)D

1(q2 − ∆ + iϵ)n =

(−1)ni(4π)D/2

Γ(n− D/2)Γ(n)

(1∆

)n−D/2

⇒∫ dDq

(2π)D

q2

(q2 − ∆ + iϵ)n =(−1)n−1i(4π)D/2

D

2Γ(n− D/2− 1)

Γ(n)

(1∆

)n−D/2−1

Hagamos la primera integral en el espacio euclídeo: q0 = iq0E, q = qE, q2 = −q2

E,∫ dDq

(2π)D

1(q2 − ∆ + iϵ)n = i(−1)n

∫ dDqE

(2π)D

1(q2

E + ∆)n

que es equivalente a rotar el contorno de integración en el plano complejo de q0

un ángulo de 90 (rotación de Wick).Im q0

Re q0

+√δ − i

ϵ

2√δ

−√δ + i

ϵ

2√δ

90

δ = q2 +∆

Nota: En adelante omitiremos el ‘iϵ’ de los propagadores. No confundir con ϵ ≡ 4− D.


Esta integral es resoluble en coordenadas esféricas en D dimensiones:∫ dDqE

(2π)D

1(q2

E + ∆)n=

∫dΩD

∫ ∞

0dqEqD−1

E

1(q2

E + ∆)n≡ IA × IB

donde

IA =∫

dΩD =2πD/2

Γ(D/2)

pues (√

π)D =

(∫ ∞

−∞dx e−x2

)D

=∫

dDx e−∑Di=1 x2

i =∫

dΩD

∫ ∞

0dx xD−1e−x2

=

(∫dΩD

)12

∫ ∞

0dt tD/2−1e−t =

(∫dΩD

)12

Γ(D/2)

y haciendo un par de cambios de variables: t = q2E, z = ∆/(t + ∆), tenemos

IB =12

(1∆

)n−D/2 ∫ 1

0dz zn−D/2−1(1− z)D/2−1 =

12

(1∆

)n−D/2Γ(n− D/2)Γ(D/2)

Γ(n)

usando la función Beta de Euler, B(α, β) =∫ 1

0dz zα−1(1− z)β−1 =

Γ(α)Γ(β)Γ(α + β)

.


Funciones de dos puntos

m0

m1

q + k1

q

p p

i16π2 B0, Bµ, Bµν (args) = µ4−D

∫ dDq

(2π)D

1, qµ, qµqν(q2 −m2

0) [

(q + p)2 −m21]

k1 = p

Las integrales dependerán de las masas m0, m1 y del invariante p2,

(args) = (p2; m20, m2

1).

Cálculo explícito de las integrales Funciones de dos puntos 110

• Utilizando los parámetros de Feynman,

1a1a2

=∫ 1

0dx

1

[a1x + a2(1− x)]2,

⇒ i16π2 B0, Bµ, Bµν = µ4−D

∫ 1

0dx∫ dDq

(2π)D

1, −Aµ, qµqν + Aµ Aν(q2 − ∆2)2

con

∆2 = x2p2 + x(m21 −m2

0 − p2) + m20,

donde se han identificado

a1 = (q + p)2 −m21,

a2 = q2 −m20,

y se ha desplazado la variable de integración para obtener un cuadrado perfectoen el denominador,

qµ → qµ − Aµ, Aµ = xpµ .


• Por tanto la función escalar es:

i16π2 B0 = µ4−D

∫ 1

0dx

∫ dDq

(2π)D

1(q2 − ∆2)2

⇒ B0 = ∆ϵ −∫ 1

0dx ln

∆2

µ2 +O(ϵ) [D = 4− ϵ]

donde ∆ϵ ≡2ϵ− γ + ln 4π y se ha desarrollado en serie de Taylor la Gamma de

Euler en torno a x = 0 para D = 4− ϵ:

µ4−D iΓ(2− D/2)(4π)D/2

(1

∆2

)2−D/2=

i16π2

(∆ϵ − ln

∆2

µ2

)+O(ϵ)

ya que xϵ = expϵ ln x = 1 + ϵ ln x +O(ϵ2).

• Comparando con las definiciones de los coeficientes tensoriales tenemos:

i16π2 Bµ = −µ4−D

∫ 1

0dx

∫ dDq

(2π)D

Aµ

(q2 − ∆2)2

⇒ B1 = −12

∆ϵ +∫ 1

0dx x ln

∆2

µ2 +O(ϵ) [D = 4− ϵ]


i16π2 Bµν = µ4−D

∫ 1

0dx∫ dDq

(2π)D

(q2/D)gµν + AµAν

(q2 − ∆2)2

⇒ B00 = − 112

(p2 − 3m20 − 3m2

1)(∆ϵ + 2γ− 1) +O(ϵ) [D = 4− ϵ]

B11 =13

∆ϵ −∫ 1

0dx x2 ln

∆2

µ2 +O(ϵ) [D = 4− ϵ]

donde se ha cambiado qµqν por (q2/D)gµν en el integrando y se ha desarrolladola Gamma de Euler en torno a x = −1 para D = 4− ϵ:

−µ4−D iΓ(1− D/2)(4π)D/22Γ(2)

(1

∆2

)1−D/2=

i16π2

12

∆2(∆ϵ + 2γ− 1) +O(ϵ)


Funciones de tres puntos

m1

m2

m0

q + k2

q

q + k1

p1

p2 − p1

−p2

i16π2 C0, Cµ, Cµν (args) = µ4−D

∫ dDq

(2π)D

1, qµ, qµqν(q2 −m2

0) [

(q + p1)2 −m21] [

(q + p2)2 −m22]

Por conveniencia, hemos elegido los momentos externos de forma que:

k1 = p1, k2 = p2.

Las integrales dependerán de las masas m0, m1, m2 y de los invariantes:

(args) = (p21, Q2, p2

2; m20, m2

1, m22), Q2 ≡ (p2 − p1)

2.

Cálculo explícito de las integrales Funciones de tres puntos 114

• Utilizando los parámetros de Feynman,

1a1a2a3

= 2∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

1

[a1x + a2y + a3(1− x− y)]3,

⇒ i16π2 C0, Cµ, Cµν = 2µ4−D

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ dDq

(2π)D

1, −Aµ, qµqν + Aµ Aν(q2 − ∆3)3

con

∆3 = x2p21 + y2p2

2 + xy(p21 + p2

2 −Q2) + x(m21 −m2

0 − p21) + y(m2

2 −m20 − p2

2) + m20,

donde se han identificado

a1 = (q + p1)2 −m2

1,

a2 = (q + p2)2 −m2

2,

a3 = q2 −m20,

y se ha desplazado la variable de integración para obtener un cuadrado perfectoen el denominador,

qµ → qµ − Aµ, Aµ = xpµ1 + yp

µ2 .


• Comparando con las definiciones de los coeficientes tensoriales tenemos:

i16π2 C0 = 2µ4−D

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ dDq

(2π)D

1(q2 − ∆3)3

⇒ C0 = −∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

1∆3

[D = 4]

i16π2 Cµ = −2µ4−D

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ dDq

(2π)D

Aµ

(q2 − ∆3)3

⇒ C1 =∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

x

∆3[D = 4]

C2 =∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

y

∆3[D = 4]


i16π2 Cµν = 2µ4−D

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ dDq

(2π)D

(q2/D)gµν + Aµ Aν

(q2 − ∆3)3

⇒ C11 = −∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

x2

∆3[D = 4]

C22 = −∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

y2

∆3[D = 4]

C12 = −∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

xy

∆3[D = 4]

C00 =14

∆ϵ −12

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy ln

∆3

µ2 +O(ϵ) [D = 4− ϵ]

donde ∆ϵ ≡2ϵ− γ + ln 4π y se ha cambiado qµqν por (q2/D)gµν en el integrando.

En el cálculo de C00 se ha desarrollado en serie de Taylor la Gamma de Euler entorno a x = 0 para D = 4− ϵ:

µ4−D iΓ(2− D/2)(4π)D/2Γ(3)

(1

∆3

)2−D/2=

i16π2

12

(∆ϵ − ln

∆3

µ2

)+O(ϵ) .


• Nota sobre Diracología en D dimensiones:

Hay que tener cuidado con las trazas de matrices de Dirac cuando se trabaja en D

dimensiones (regularización dimensional), ya que

γµγν + γνγµ = 2gµν14×4, gµνgµν = Trgµν = D

Así, pueden demostrarse las siguientes identidades que involucran contracciones:

γµγµ = D

γµγνγµ = −(D− 2)γν

γµγνγργµ = 4gνρ − (4− D)γνγρ

γµγνγργσγµ = −2γσγργν + (4− D)γνγργσ

Cálculo explícito de las integrales 118

Algunos casos sencillos• Para el cálculo del momento dipolar magnético anómalo del electrón en QED,

necesitaremos las siguientes funciones de tres puntos, evaluadas en:

p21 = p2

2 = m2 (electrones on-shell)

Q2 = 0 (fotón on-shell)

m0 = 0 (masa del fotón)

m1 = m2 = m (masa del electrón)

⇒ ∆3 = m2(x + y)2.

Las integrales básicas son entonces

C0 = divergente en el infrarrojo (no se necesita),

C1 = C2 =1

2m2 ,

C11 = C22 = 2 C12 = − 16m2 .

C00 = divergente en el ultravioleta (no se necesita),

donde C ≡ C(m2, 0, m2; 0, m2, m2).Algunos casos sencillos Integrales para (g− 2)e en QED 119

• Para el cálculo de las contribuciones débiles (y de supersimetría) a los momentosdipolares magnéticos se necesitan las siguientes funciones de tres puntos,evaluadas en:

p21 = p2

2 = 0 (se desprecian las masas de los fermiones externos)

Q2 = 0 (fotón on-shell)

m0 = M1 (masa de la partícula virtual no acoplada al fotón externo)

m1 = m2 = M2 (masa de las otras partículas virtuales)

⇒ ∆3 = (M22 −M2

1)(x + y) + M21.

Las integrales básicas son

C0 =1

M21

1− x21 + ln x21

(1− x21)2 ,

C1 = C2 =1

M21

−3 + 4x21 − x221 − 2 ln x21

4(1− x21)3 ,

C11 = C22 = 2 C12 =1

M21

11− 18x21 + 9x221 − 2x3

21 + 6 ln x21

18(1− x21)4 ,

C00 = divergente en el ultravioleta (no se necesita).

Algunos casos sencillos Integrales para (g− 2)ℓ en SM y MSSM 120

O bien

C0 =1

M21

−1 + x21 − x21 ln x21

(1− x21)2 ,

C1 = C2 =1

M21

1− 4x21 + 3x221 − 2x2

21 ln x21

4(1− x21)3 ,

C11 = C22 = 2 C12 =1

M21

−2 + 9x21 − 18x221 + 11x3

21 − 6x321 ln x21

18(1− x21)4 ,

donde C ≡ C(0, 0, 0; M21, M2

2, M22), C ≡ C(0, 0, 0; M2

2, M21, M2

1) y x21 ≡ M22/M2

1.

Algunos casos sencillos Integrales para (g− 2)ℓ en SM y MSSM 121

• Para el cálculo de las contribuciones débiles (y de supersimetría) a las transicionesradiativas del tipo µ→ eγ se usan las funciones de tres puntos anteriores.

Para comprobar que esta transición es puramente magnética, es decir nocontribuyen las auto-energías de las patas externas, conviene conocerexplícitamente C00 evaluada en la misma configuración anterior:

C00(0, 0, 0; M21, M2

2, M22) = −1

2B1(0; M2

1, M22)

y las siguientes funciones de dos puntos evaluadas en p2 = 0, m0 = M1, m1 = M2:

B0(0; M21, M2

2) = ∆ϵ + 1−M2

1 lnM2

1µ2 −M2

2 lnM2

2µ2

M21 −M2

2

B1(0; M21, M2

2) = −12

∆ϵ +

4M41 − 3M4

2 −M21 M2

2 − 2 lnM2

1M2

24(M2

1 −M22)

2

= −B0(0; M22, M2

1)− B1(0; M22, M2

1)

Algunos casos sencillos Integrales para transiciones magnéticas en SM y MSSM 122

Capítulo 5Aplicación: factores de forma

dipolares a un loop

123

El vértice vector-fermión más general

i

j

V µ

p2

p1

iΓµ(p1, p2)

• La estructura Lorentz más general del vértice vector-fermión contiene 24 términosindependientes, que son combinaciones de los cuadrivectores p ≡ p1 + p2,q ≡ p2 − p1 y las 16 matrices de Dirac (indicadas abajo entre paréntesis):

(1) : pµ, qµ,

(γ5) : γ5pµ, γ5qµ,

(γα) : γµ, pµ/p, pµ/q, qµ/p, qµ/q, ϵµναβγν pαqβ,

(γ5γα) : γ5γµ, γ5 pµ/p, γ5 pµ/q, γ5qµ/p, γ5qµ/q, γ5ϵµναβγν pαqβ,

(σαβ) : σµνpν, σµνqν, pµσαβ pαqβ, qµσαβ pαqβ,

ϵµναβσαβ pν, ϵµναβσαβqν, pµϵαβρσσαβ pρqσ, qµϵαβρσσαβ pρqσ.

El vértice vector-fermión más general 124

• Con frecuencia el vértice se escribe de la siguiente forma:

iΓµ(p1, p2) = ie [γµ(FV − FAγ5) + (iFM + FEγ5)σµνqν + (iFS + FPγ5)q

µ

+(FMV + iFEVγ5)pµ + (FTS + iFTPγ5)σµν pν + . . . ] .

Los factores de forma Fi son en general funciones de todos los escalaresindependientes (invariantes Lorentz) que se puedan construir con los vectores p1

y p2, es decir, Fi(p21, p2

2, q2). La constante e se ha introducido por conveniencia, demodo que los acoplamientos quedan normalizados a los de la electrodinámicacuántica (QED).

• Si ambos fermiones están on-shell (es decir, p2 = m2), la ecuación de Dirac nospermite eliminar los términos omitidos anteriormente y también FMV, FEV FTS yFTP, pues ya no son independientes y entonces

ij on-shell : iΓµ(p1, p2) = ie[γµ(FV − FAγ5) + (iFM + FEγ5)σµνqν + (iFS + FPγ5)qµ

].


Basta usar la siguiente relación entre matrices de Dirac:

γ5γρϵρµνσ =i6(γµγνγσ + γσγµγν + γνγσγµ − γνγµγσ − γµγσγν − γσγνγµ),

la ecuación de Dirac (ED): /p1u(p1) = m1u(p1), /p2u(p2) = m2u(p2), y lasidentidades de Gordon (que se deducen de la ED y γµγν + γνγµ = 2gµν):

u(p2)σµν(p2 ± p1)νu(p1) = u(p2) −i(m2 ∓m1)γ

µ + i(p2 ∓ p1)µ u(p1),

u(p2)γ5σµν(p2 ± p1)νu(p1) = u(p2) −i(m2 ± m1)γµγ5 + iγ5(p2 ∓ p1)

µ u(p1).

• Si el bosón vectorial V también está on-shell, su polarización satisface qµεµ = 0 ypor tanto los factores de forma FS, FP no contribuyen, y el vértice se reduce a:

Vij on-shell : iΓµ(p1, p2) = ie [γµ(FV − FAγ5) + (iFM + FEγ5)σµνqν] .

Los factores de forma FV , FA y FM,E se denominan vectorial, axial y dipolares,respectivamente.

Una partícula masiva de spin 1 de momento pµ tiene tres grados de libertad de polarización εµ(λ = 1, 2, 3) que verificanpµεµ(λ) = 0 y εµ(λ)εµ(λ′) = −δλλ′ . En reposo: pµ = (M, 0, 0, 0), ε

µ1 = (0, 1, 0, 0), ε

µ2 = (0, 0, 1, 0), ε

µ3 = (0, 0, 0, 1).

En movimiento: pµ = (E, 0, 0, p), εµx = (0, 1, 0, 0), ε

µy = (0, 0, 1, 0), ε

µL = (p/M, 0, 0, E/M) [circular: ε

µ± = 1/

√2(ϵµ

x ± iϵµy )].

Si tiene masa nula (ej. el fotón) no existe el s.r. en reposo y sólo existen las dos polarizaciones transversales.


• Si V = γ (fotón) la invariancia gauge U(1) impone la conservación de la corriente,qµΓµ = 0, y por tanto para fermiones on-shell:

[V = γ] (mi −mj)FV + iq2FS = 0,

ij on-shell − (mi + mj)FA + q2FP = 0.

• En consecuencia, si también el fotón está on-shell (q2 = 0) y los fermiones sonidénticos (m = mi = mj), necesariamente FA = 0. El vértice electromagnéticoviene entonces descrito por tres constantes, relacionadas con la carga y losmomentos dipolar magnético y dipolar eléctrico:

γii on-shell : iΓµi=j = ie [γµFV + (iFM + FEγ5)σµνqν]

donde, de acuerdo con nuestra convención para la derivada covariante,

eQ f ≡ −eFV(0) = carga eléctrica del fermión f ,

µ ≡ −( e

2mFV(0) + eFM(0)

)= momento dipolar magnético (MDM),

a ≡ 2mFM(0)FV(0)

= momento dipolar magnético anómalo (AMDM),

d = −eFE(0) = momento dipolar eléctrico (EDM).El vértice vector-fermión más general 127

• Así, a nivel árbol (electrodinámica clásica), un electrón tiene acoplamientosFV = 1, FA = FM = FE = 0, y por tanto carga Qe = −1 y momento dipolarmagnético

µ ≡ µS = − e

2mgS, g = 2 ⇐ interacción no relativista µ · B = − e

2mσ · B

donde S = 12 σ es el spin y g es la razón giromagnética o factor de Landé.

Nótese que el momento anómalo y la razón giromagnética se definen sólo para partículas cargadas.Sin embargo una partícula neutra puede tener momento magnético dado por µ = −eFM(0).

• Las correcciones cuánticas inducen valores no nulos de AMDM y EDM. Lascondiciones de renormalización fijan FV(0) = −Q f (a todo orden de teoría deperturbaciones), pero aparece un AMDM que viene dado por

a =g− 2

2= −2m

FM(0)Q f

⇒ µ =eQ f

2m(1 + a).

• Por otro lado, las ecuaciones anteriores implican FV = FA = 0 para fermionesdistintos. Es decir, procesos tales como µ→ eγ se deben sólo a transicionesdipolares,

γij on-shell : iΓµi =j = ie(iFM + FEγ5)σµνqν


• En general, todos los factores de forma son reales a nivel árbol para fermionesexternos iguales, por la hermiticidad del lagrangiano de interacción, pero sepueden hacer complejos al introducir las correcciones cuánticas(regla de Cutkosky).La amplitud se hace compleja cuando sea posible cortar el diagrama en dos diagramas tales que ambos describan procesosfísicos. Se trata de una aplicación del teorema óptico. Es fácil darse cuenta de que si V = γ la amplitud ha de ser siemprereal porque el fotón tiene masa nula.

• Los factores de forma que acompañan a los operadores de dimensión mayor quecuatro (todos menos FV y FA), por ejemplo los dipolares, son nulos a nivel árbolen cualquier teoría renormalizable. Por tanto sus correcciones a un loop sonfinitas.

Además acoplan fermiones de quiralidades contrarias, por lo que deben serproporcionales a alguna masa fermiónica, ya sea interna o externa.

• Los factores de forma FV , FA y FM multiplican sendos bilineales pares bajo CP,mientras que FE acompaña a uno impar. Esto significa que si CP se conserva elmomento dipolar FE se anula si i = j, aunque esto no ocurre si los fermionesexternos son distintos.

• Similarmente, si P se conserva (ej. en QED) FA y FE son nulos.El vértice vector-fermión más general 129

• Los diagramas que contribuyen a un loop al vértice efectivo vector-fermiónpueden agruparse en seis clases o topologías distintas:

i

r

k

j

l

V

i

r

k

j

l

V

i

r

k

j

l

V

I II III

i

r

k

j

l

V

i

r

k

j

l

V

i

r

l

j

k

V

IV V VI


El momento magnético anómalo• Los momentos magnéticos anómalos de electrón y muón son observables

medidos con gran precisión. Como se deben enteramente a correcciones cuánticasponen especialmente a prueba la consistencia de la teoría.

• El momento magnético del electrón se ha medido en un ciclotrón en Harvard conuna precisión impresionante: [Particle Data Group, Phys. Rev. D86 (2012) 010001]

ge

2= 1.001 159 652 180 76 (27)

• El momento magnético del muón se obtiene a partir de la frecuencia de precesióndel spin respecto a un campo magnético homogéneo en un anillo dealmacenamiento de muones:

ωa = aµeB

2m, aµ =

(gµ − 2)2

.

Se ha medido con gran precisión en el experimento E821 de Brookhaven:

[G.W. Bennett et al., Phys. Rev. D 73 (2006) 072003]

gµ

2= 1.001 165 920 80 (63)

El momento magnético anómalo 131

El momento magnético anómalo en QED

e

γ

e

ee

γ

• En QED sólo existe un diagrama a un loop (clase I) y el único acoplamiento nonulo es del tipo [VFF] con gV = 1, gA = 0. La configuración de masas ymomentos es también muy simple. El AMDM del electrón es entonces:

FM(0) =α

4π2m(C1 + C2 + C11 + C22 + 2C12) =

α

4π

1m

,

a =g− 2

2= 2m FM(0) =

α

2π,

donde α = e2/4π es la constante de estructura fina ye hemos utilizado lasfunciones de tres puntos con argumentos (m2, 0, m2; 0, m2, m2) evaluadas en elcapítulo anterior.

El momento magnético anómalo en QED 132

El momento magnético anómalo en el SM

• Los diagramas a un loop en el gauge de ’t Hooft-Feynman (incluyendo QED) son:

ℓ

γ, Z

ℓ

ℓ

ℓ

γ

ℓ

ℓ

γ

W

W

νℓ

ℓℓ

ℓ

ℓ

γ H, χ

I II III

ℓφ

ℓφ

γ νℓ

ℓ

ℓ

γ νℓ

W

φℓ

ℓ

γ νℓ

φ

W

IV V VI

• Para los nuevos, necesitaremos más paciencia, las reglas de Feynman del SM y lasfunciones de tres puntos con argumentos del tipo (0, 0, 0; M2

1, M22, M2

2) evaluadasen el capítulo anterior (se puede despreciar la masa del leptón ℓ).

El momento magnético anómalo en el SM 133

• Sumando todas las contribuciones a un loop:

aℓ =(gℓ − 2)

2=

α

2π︸︷︷︸QED

+GF

8π2√

2m2

ℓ

103︸︷︷︸W

−13

[5− (1− 4s2

W)2]

︸︷︷︸Z

+O(

m2ℓ

M2H

lnM2

H

m2ℓ

)

︸︷︷︸H

donde

GF =πα√

2s2W M2

W

(1 + ∆r) = 1.1663787 (6)× 10−5 GeV−2 ⇐ comparando con τµ

α−1 = 137.035 999 074 (44)⇐ comparando con (ge − 2) en QED a 8 loops!

s2W = 1−

M2W

M2Z

= 0.223, me = 0.511 MeV, mµ = 0.106 GeV, mτ = 1.777 GeV.

Nótese que (1− 4s2W)2 ≃ 0.012 por lo que la Z contribuye aproximadamente la

mitad que la W y con signo opuesto. La contribución del Higgs es despreciable.

• A continuación resumimos las predicciones del SM y las medidas actuales delmomento anómalo del muón aµ [Particle Data Group, Phys. Rev. D86 (2012) 010001]


CÁLCULOS TEÓRICOS Contribución a aµ(×1011)

QED coeficiente de(

απ

)n

n = 1 0.5 116 140 973

n = 2 0.765 857 410 (27) . . .

n = 3 24.050 509 64 (87) . . .

n = 4 130.991 6 (80) . . .

n = 5 663. (20) . . .

Total 116 584 718

Débil 1. loop 195

2. loop −41

Hadrónica hadronic vacuum polarization 6 803

light by light [NLO] 117

TOTAL ateoµ = 116 591 792 (49)

MEDIDA EXPERIMENTAL: E821 (Brookhaven ’06) aexpµ = 116 592 080 (63)

⇒Discrepancia de 3.6σ !! de σ(e+e− → hadrones) (2.4σ de τ → ντ + hadrones)


El proceso raro µ → eγ

• Se trata de un proceso con violación de sabor leptónico (LFV), que en el SM conneutrinos sin masa está prohibido.

• Sin embargo, en el SM con neutrinos masivos o en otras extensiones del SM, comosupersimetría, este proceso puede darse.

• La colaboración MEG lleva acabo un experimento en el PSI (Suiza) desde el 2004con el haz de muones más intenso del mundo. No han observado ningún suceso,lo que pone una cota actualmente de B(µ→ eγ) < 2.4× 10−12. El objetivo esllegar en unos años hasta 10−14.

• Los experimentos BaBar en el PEP-II de SLAC (EE UU) y Belle en el KEKB(Japón) ponen cotas a desintegraciones similares del τ. Las más actuales sonB(τ → µγ) < 4.4× 10−8 y B(τ → eγ) < 3.3× 10−8.

El proceso raro µ→ eγ 136

• Recordemos que se trata de transiciones dipolares, lo que puede comprobarseexplícitamente hallando las contribuciones a FV y FA, que son nulas.

• Las anchuras y fracciones de desintegración relevantes son

Γ(ℓj → ℓiγ) =α

2m3

ℓj

(|FM|2 + |FE|2

),

Γ(ℓj → ℓiνjνi) =G2

Fm5ℓj

192π3 , GF =παW√2M2

W

,

B(ℓj → ℓiγ)

B(ℓj → ℓiνjνi)=

Γ(ℓj → ℓiγ)

Γ(ℓj → ℓiνi νj)

=12α

π

M4W

m2ℓj

(4π

αW

)2 (|FM|2 + |FE|2

),

donde B(ℓj → ℓiνjνi) = 1/0.17/0.17 para ℓjℓi = µe/τµ/τe.

El proceso raro µ→ eγ 137

µ → eγ en el SM con neutrinos masivos

• Los diagramas a un loop en el gauge de ’t Hooft-Feynman son:

e

µ

γ

W

W

νi

eφ

µ

φ

γ νi

e

µ

γ νi

W

φe

µ

γ νi

φ

W

II IV V VI

• A continuación listamos las contribuciones de cada clase de diagramas que seobtienen usando las funciones de tres puntos con argumentos(0, 0, 0; m2

νi, M2

W , M2W).

El proceso raro µ→ eγ en el SM con neutrinos masivos 138

• Definiendo xi ≡ m2νi

/M2W

II: FM = −iFE = − αW

16πmµ ∑

i

UeiU∗µi

[3C11 − C1

]

IV: FM = −iFE = − αW

16πmµ ∑

i

UeiU∗µi xi

[C0 + 3C1 +

32

C11

]

V: FM = −iFE = 0

VI: FM = −iFE =αW

16πmµ ∑

i

UeiU∗µi C1

Total: FM = −iFE =αW

16π

mµ

M2W

∑i

UeiU∗µi FW(xi)

donde FW(x) =10− 33x + 45x2 − 4x3

12(1− x)3 +3x3

2(1− x)4 ln x → 56− x

4+O(x2)

• Por tanto, para neutrinos ligeros y usando la unitariedad de U,

B(µ→ eγ)|SM =3α

2π

∣∣∣∣∣∑i

UeiU∗µiFW(xi)

∣∣∣∣∣

2

≃ 3α

32π

∣∣∣∣∣∑i

UeiU∗µi xi

∣∣∣∣∣

2

<∼ 10−54 ,

donde se han sustituido los ángulos de mezcla y ∆m2ij medidos en oscilaciones.

El proceso raro µ→ eγ en el SM con neutrinos masivos 139

B Nota importante: En las expresiones anteriores se ha despreciado me. Pararecuperar la contribución de la W al momento magnético anómalo convienereinsertar me:

FM =aW16p

Âi

n

mµ

UeiUµi + meU

eiUµi

o

[. . . ]

iFE =aW16p

Âi

n

mµ

UeiUµi meU

eiUµi

o

[. . . ]

Entonces encontramos que en efecto, para ` = µ = e, la contribución de la W a a`es

a` = 2m`FM(0) =GF

8p

2p

24m2

`FW(0) =103

GF

8p

2p

2m2

`

pues, despreciando las correcciones radiativas de GF,

GF

8p

2p

2=

aW16p

1M2

W,

y d` = 0 si no hay fases complejas en U o si los neutrinos no tienen masa.

El proceso raro µ ! eg en el SM con neutrinos masivos 140

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EL MODELO ESTÁNDAR Y SU FENOMENOLOGÍA Parte 1: La