El Operador de Traslación

8/17/2019 El Operador de Traslación

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El operador de traslación

Tener una función de onda Ψ(r,t) especicada en un espacio tridimensional nos

lleva eventualmente a una interrogante como la siguiente: ¿que se requiere

hacer para poder seguir teniendo especicada la función de onda en caso de

que se lleve a cabo un desplaamiento espacial del centro de origen de las

coordenadas, o en caso de que el tiempo ha!a avanado hacia adelante" #a

respuesta ingenua a estas interrogantes consisitir$a en llevar a cabo un simple

cambio de variables que en el caso de una traslación espacial en un sistema

rectangular de coordenadas %artesianas implicar$a reemplaar las variables de

las coordenadas aumentando o disminu!endo cada variable en la cantidad

requerida, esto es:

&' & a

!' ! b

' c

haci*ndose algo similar en el caso de la variable del tiempo:

t' t+ t

-n e.emplo sencillo consistir$a en tomar al c$rculo centrado en el origen:

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cu!a ecuación en coordenadas rectangulares %artesianas es:

! desplaarlo a una distancia R//(a,b) con respecto a su posición original

mediante la transformación:

obteniendo as$ el mismo c$rculo trasladado espacialmente:

! cu!a nueva ecuación en coordenadas %artesianas es:

0in embargo, esta simple prescripción para llevar a cabo el desplaamiento

espacial de una función de onda est1 condenada al fracaso no sólo porque la


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función de onda Ψ, como hemos visto, puede estar dada por una e&presión que

contenga cantidades imaginarias o comple.as, sino por el hecho de que es

el cuadrado de la función de onda, o sea 2Ψ23, lo que nos d1 la probabilidad de

encontrar a la part$cula en cierta región del espacio tridimensional/

4abiendo visto con anterioridad que pr1cticamente todo lo que tiene que vercon la función de onda Ψ requiere el uso de operadores que act5an de alguna

manera multiplicativa sobre la función de onda, ¿por qu* habr$an de ser

diferentes las operaciones de desplaamiento espacial o temporal" Estas

consideraciones nos llevan a conclu$r que el esquema simplista que vimos al

principio pasa por alto el hecho de que cuando tenemos una función de onda

Ψ(r,t) lo que se requiere para llevar a cabo una operación de

desplaamiento espacial es un operador de traslación espacial que act5e

sobre la función de onda, produciendo una nueva función de onda desplaada

Ψ(r',t)/ 6 del mismo modo, si lo que se require es llevar a cabo una operación

de desplaamiento temporal sobre una función de onda, tambi*n debe de

e&istir un operador de desplazamiento temporal que act5e sobre la

función de onda produciendo el efecto del paso del tiempo sobre una función

de onda/ 0uponemos que este tipo de operadores de desplaamiento espacial

! temporal deben e&istir siempre ! cuando puedan ser denidos de una

manera correcta que funcione/ ¿7ero qu* podremos utiliar como gu$a para la

especicación de estos operadores"

8%ongelando9 la variable del tiempo para nes de simplicidad, empearemos

por suponer que es factible constru$r un operador de traslación que sea

capa de desplaar espacialmente una función de onda en una distancia a, al

cual representaremos de la siguiente manera:

#a aplicación (operacionalmente multiplicativa) de este operador de traslación

sobre una función de onda Ψ(&) debe producir una nueva función de onda

Ψ(&a):

Esto mismo, e&presado en notación bra;et de


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En lo anterior, se ha supuesto impl$citamente que el desplaamiento se est1

llevando a cabo en una sola dimensión en la dirección positiva del e.e&/ 7ero

no es necesario estar limitados a una sola dimensión= el desplaamiento se

puede llevar a cabo tambi*n en tres dimensiones, en cu!o caso eleigenket de

posición estar1 referenciado a un vector x, en cu!o caso el efecto de la

aplicación del operador de traslación sobre un eigen;et de posición

tridimensional se puede e&presar de la siguiente manera en notación bra;et:

4a! que poner atención cuidadosa en esto 5ltimo ! en el hecho de que no es

una ecuación eigen/ >o puede serlo, !a que un desplaamiento traslacional en

cierta dirección no puede de.ar a una función de onda Ψ en la misma posición

que la que ten$a antes de llevarse a cabo el desplaamiento/ (0in embargo, si

el desplaamiento no es un moviento de traslación en cierta dirección sino

unarotación, denitivamente sí es posible que la función de onda pueda

quedar e&actamente en la misma posición que la que ten$a antes de llevarse a

cabo la rotación, lo cual a su ve tendr1 implicaciones profundas !a que a

trav*s de rotaciones es posible anticipar que se podr1n teneroperadores de

rotación que al ser aplicados sobre cierta función de onda Ψ o sobre cierto

eigen;et, que es lo mismo la girar1n haci*ndola regresar a su posición

original, lo cual implica que ser1 posible tener ecuaciones eigen mediante

operaciones de rotación, lo cual a su ve nos llevar1 inevitablemente a la

8e&tra?a ecuación de @orn9 al estar asociadas las rotaciones con el momento

angular/)

Atro hecho trascendental que no debe perderse de vista es que el ket de

posición representa una variable continua que no está sujeta a

discretización alguna/ 7odemos .ar l$mites al espacio f$sico en el cual se

lleva a cabo un fenómeno de naturalea cu1ntica, como lo hacemos en el casode una part$cula encerrada dentro de una ca.a unidimensional a la cual le

asignamos una longitud #, pero el espacio en s$ comprendido dentro de la ca.a

no est1 su.eto a ninguna discretiación, !a que en principio

! conceptualmente ese espacio unidimensional puede ser subdividido hasta el

innito/ Esta conceptualiación siempre conlleva el riesgo, desde luego, de que

una nueva teor$a sobre la naturalea del espaciotiempo pueda poner un l$mite

absoluto a la subdivisión de un espacio f$sico (en cu!o caso el intervalo


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espacial entre dos puntos en ve de poderse corresponder en una relación bi

un$voca de uno a uno con un subcon.unto del con.unto de los n5meros reales

se corresponder$a con un subcon.unto de los n5meros enteros)/ 0in embargo,

a estas alturas, no ha! raón para meternos en comple.idades losócas !

matem1ticas que sólo desviar1n la atención de las ideas que estamos

intentando desarrollar/

Bl igual que como lo hemos visto previamente con otros operadores como el

operador 4amiltoniano de energ$a 4, el operador de traslación es algo que

siempre act5a sobre lo que est1 a su derecha/ Esto implica que si hacemos

un compuesto de varios operadores de traslación, el primer operador que

act5a sobre la funcion de onda Ψ es el que est1 m1s a la derecha de los

operadores, tras lo cual el siguiente operador en actuar sobre la función de

onda trasladada es el operador que estaba a la izquierda del primer operador,

! as$ sucesivamente:

Bunque trat1ndose de operadores de traslación, el orden en el cual sean

aplicados sobre la función de onda Ψ no tiene ma!or trascendencia, esto !a no

ser1 v1lido cuando entremos de lleno al tema de los operadores de rotación en

donde la noconmutatividad es la regla del .uego/ %on la nalidad de evitar

confusiones a medida que la notación va!a creciendo en comple.idad, se

mantendr1 vigente todo el tiempo la prescripción de que los operadores

sucesivos m5ltiples se deben ir escribiendo de derecha a iquierda siguiendo el

orden en el cual ir1n actuando uno tras otro sobre la función de onda/

4abiendo denido al operador de traslación, el siguiente paso consiste en .ar

las 8reglas del .uego9/ Tenemos que de.ar en claro de antemano cu1les son las

propiedades que debe cumplir el operador de traslación, propiedades que en

caso de no cumplirse servir1n para desechar los operadores de traslación que

sean considerados como posibles candidatos/

#a primera propiedad que debe cumplir el operador de traslación, la m1s

esencial, la m1s b1sica, es que cuando el desplaamiento espacial a que


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produce sobre una función de onda Ψ se apro&ima a cero el efecto sobre la

función de onda en la cual act5a debe ser tal que la función de onda venga

quedando en la misma posición/ En efecto, estamos requiriendo que para un

desplaamiento espacial igual a cero el operador de traslación se convierta en

un operador identidad:

En este caso, el operador identidad lo podemos tomar simplemente como el

n5mero C/ 0in embargo, podemos de.ar abierta la posibilidad de que el

operador de traslación pueda ser un operador matricial, en cu!o caso la

condición anterior estipula que al reducirse a a cero el operador de traslación

se debe convertir en la matriz identidad:

¿0ignica esto que estamos traba.ando !a en el 1mbito de la Dec1nica

Datricial"


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Esto es evidente/ 0i se aplica un desplaamiento aC de C mil$metro en cierta

dirección, seguido de otro desplaamiento a3 de 3 mil$metros en la misma

dirección, el efecto que se obtiene debe ser el mismo que el que se obtenga

aplicando un desplaamiento aCa3 de mil$metros en la misma dirección/

#a tercera propiedad que se debe de cumplir en todo momento al usar

operadores de traslación es que los operadores de traslación deben ser

conmutativos/ En efecto, si se aplica primero un desplaamiento aC de Cmil$metro en cierta dirección, seguido de otro desplaamiento a3 de 3

mil$metros en la misma dirección, el efecto que se obtenga sobre la función de

onda Ψ(&) debe ser el mismo que si se aplica primero un desplaamiento a3 de

3 mil$metros en cierta dirección, seguido de otro desplaamiento aC de

C mil$metro en la misma dirección:

4asta aqu$ hemos considerado operadores de traslación que act5an

unidimensionalmente, moviendo a la función de onda sobre el e.e&/ 7ero igual

podemos postular un operador de traslación bidimensional que sea capa de

desplaar una función de onda Ψ(&) en cualquier dirección sobre un plano/ A

podemos ir hasta la situación f$sica real postulando un operador de traslación

que pueda desplaar una función de onda tridimensional Ψ(r) en cualquier

dirección de un espacio tridimensional, especicando por separado comoun vector de desplazamiento x (a,b,c) las magnitudes de los

desplaamientos ortogonales (a 1ngulos rectos) en un sistema de e.es

coordenados %artesianos:


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#a acción de este operador de traslación tridimensional es la siguiente:

6 una cosa que destaca de inmediato es que las traslaciones sucesivas en

direcciones diferentes(por e.emplo, el e.e& ! el e.e!) conmutan, / 7odemos ver

esto con ma!or claridad en la siguiente gura en la cual se tienen dos

recorridos diferentes, uno de color verde ! el otro de color magenta, ! no

importa cu1l de los dos recorridos se tome el resultado nal ser1 el mismo:

Fegresando al caso especial unidimensional para mantener las cosas simples,de lo anterior se deduce que los operadores de traslación deben cumplir

necesariamente con la propiedad asociativa/


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Atra propiedad que aqu$ puede parecer trivial pero que no lo ser1 tanto al

momento de resolver problemas que involucren otros tipos de operadores es

que debe ser posible invertir cualquier operación de desplaamiento aplicando

un desplaamiento de la misma magnitud pero en la dirección contraria/ 7uesto

de otra manera, debe e&istir un operador inverso de traslación/ B

continuación se muestra del lado iquierdo de la igualdad la representación

simbólica del operador de traslación inverso utiliando el e&ponente C que se

acostumbra utiliar (sin que ello implique ni remotamente hablando una

operación aritm*tica de inversión como ocurre cuando se traba.a con

n5meros), mostr1ndose del lado derecho de la igualdad que esta operación de

inversión de traslación se debe poder llevar a cabo con un operador detraslación en el cual se le ha invertido el signo a la magnitud del

desplaamiento:

#as propiedades dadas arriba son las que debe cumplir el operador de

desplaamiento espacial que estamos buscando/ B tales propiedades debemos

agregar otra que veremos m1s aba.o/

0in duda alguna, la caracter$stica principal que distinguir1 al operador de

traslación que estamos tratando de constru$r es que el producto sucesivo de

dos operadores de traslación (uno de ellos aplicando un desplaamiento

espacial aC ! el otro aplicando un desplaamiento espacial a3 a la función de

onda ó ;et) deber1 ser combinado de modo tal que la traslación equivalente

5nica se lleve a cabo sobre una distancia aCa3/ En pocas palabras, se requiere

equipar notacionalmente un producto operacional con una suma, !a que como

puede verse:


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si ignoramos a la función de onda ! nos enfocamos directamente sobre el

aspecto operacional, es obvio que:

#a 5nica función matem1tica que cumple este requerimiento, la 5nica función

matem1tica capa de llevar esto a cabo es la función exponencial (esta es la

raón por la cual en otros tiempos en los que no hab$a calculadoras de bolsillo

! mucho menos computadoras personales de escritorio se recurr$a a las tablas

de logaritmos ! a las ho! obsoletas reglas de c1lculo, !a que permit$an

efectuar multiplicaciones ! divisiones mediante simples sumas ! restas, habido

el hecho de que los logaritmos, basados a su ve en la función e&ponencial

tienen tal propiedad):

Esto nos sugiere que el operador de traslación tiene que tener un aspecto

como el siguiente:

Gueda, desde luego, la posibilidad de que a este operador de traslación va!aane&ado como multiplicador un factor de fase eH similar al 1ngulo de fase H que

usualmente aparece como un ap*ndice en la solución general de las

ecuaciones de onda/ 0in embargo, este factor de fase se toma como

irrelevante, !a que no ha! signicado f$sico alguno que se le pueda adscribir a

la fase de una función de onda (el valor calculado de una observable no puede

depender de un valor particular de la fase)/ Es por ello que usualmente se toma

eH como igual a la unidad:


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El 8esqueleto9 del operador de traslación que estamos constru!endo parece

irse acercando a su forma ideal con las propiedades que le e&igimos que tenga/

0in embargo, falta tomar en cuenta un detalle importante: la conservación de

la probabilidad/ Es raonable esperar que si un ;et general de posición 2IJ est1

normaliado a la unidad:

el ;et trasladado tambi*n estar1 normaliado a la unidad:

Tomando un ket general de posición:

! obteniendo de lo anterior la e&presión que le es dual, o sea el bra general de

posición que est1 siendo actuado por el con.ugado comple.o del operador de

traslación:

entonces, traba.ando 8hacia atr1s9, vemos que:

7ara que esto 5ltimo sea cierto, se requiere que:


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En palabras, se requiere que el operador de traslación sea unitario, ! esto

requiere que el con.ugado comple.o del operador de traslación sea tambi*n el

operador inverso del operador de traslación/ Esta caracter$stica mu! especial

de unitaridad es lo que motiva a representar al inverso del operador de

traslación con un s$mbolo alterno en el cual se le agrega una daga como super$ndice en lugar del e&ponente C:

6 llegamos as$ a la propiedad que nos faltaba de agregar a la lista de las

propiedades que debe satisfacer el operador de traslación: se requiere que el

operador de traslación multiplicado por su con.ugado comple.o produca

un operador identidad/ 7ero el operador e&ponencial que hemos estado

investigando arriba no es capa de hacer tal cosa, !a que:

Knevitablemente, tenemos que introducir el n5mero imaginario i como un factor

en el e&ponente del operador de traslación, con lo cual se puede satisfacer la

condición de que el operador de traslación sea unitario:

Tenemos !a una buena idea sobre el tipo de operador de traslación que

estamos buscando/ 0in embargo, el procedimiento anterior, intuitivo, no nos


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revela la forma matem1tica e&acta del operador de traslación/ -na posibilidad,

la m1s sencilla posible, es la que veremos a continuación/

PROBL!": Demuéstrese que si se supone que el desplazamiento espacial

de una función de onda se lleva a cabo sobre una distancia tan peque!a que

esta distancia puede ser considerada casi como un desplazamientoin"nitesimal la siguiente expresión para el operador de traslación:

en la cual la cantidad # es Hermitiana cumple con todas las propiedades que

esperamos que tenga un operador de desplazamiento espacial/

Traba.aremos sobre la base de que el desplaamiento espacial es tan peque?o

que casi puede tomarse como un desplaamiento innitesimal:

7ara el operador de traslación proporcionado, la primera propiedad ciertamente

se cumple, !a que cuando el desplaamiento espacial a que se produce sobre

una función de onda Ψ se apro&ima a cero el operador de traslación se

convierte en un operador identidad:

#a segunda propiedad del operador de traslación, seg5n la cual debe ser

posible aplicar dos o m1s operadores de traslación en sucesión (uno tras otro)

sobre una función de onda Ψ(&), siendo el efecto resultante obtenible tambi*n

mediante la aplicación de una sola operación de traslación, tambi*n se cumple,

si despreciamos el t*rmino de segundo orden (lo cual es v1lido habido el hecho

de que se supone que a es casi innitesimalmente peque?o):


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otacionalmente, esto implica que:

Bhora bien, suponiendo que la cantidad L es 4ermitiana (lo cual requiere que el


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con.ugado comple.o de la misma LM sea igual a dicha cantidad L, o sea

que LM//L) el con.ugado comple.o del operador de traslación espacial

propuesto en el enunciado del problema es:

7or lo tanto, se tiene tambi*n para este operador que el operador inverso es

igual al con.ugado comple.o del operador:

El operador indudablemente es unitario, !a que si tomamos el producto del

operador con su con.ugado comple.o ! despreciamos t*rminos de segundo

orden en a, se obtiene el operador identidad:

El operador es, por lo tanto, un operador unitario, cumpliendo entonces con

todas las propiedades que hemos .ado para un operador de traslación/ #uego

el operador propuesto en este problema es un operador de traslación

v1lido para desplazamientos mu$ peque!os/

Bceptando al operador CiL a como un operador de traslación v1lido, estamos

en condiciones de poder obtener una relación fundamental entre L ! a/

Abs*rvese por un lado que:


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en donde en la primera l$nea al lado iquierdo de la igualdad se tiene a

un operador posición actuando sobre un operador de traslación que a su ve

est1 actuando sobre un eigen;et de posición, dando como resultado (en la

primera l$nea, como consecuencia de la acción del operador de traslación) un

eigen;et trasladado= mientras que en la segunda l$nea como resultado

del operador de posición actuando sobre un eigen;et de posición trasladado (en

la primera l$nea) se produce en virtud de la eigenecuación el eigenvalor que

multiplica al eigen;et de posición/ Knvirtiendo el orden de los operadores

(posición ! traslación) que act5an sobre el ;et de posición, se tiene por otro

lado:

en donde en la segunda l$nea se tiene al eigenvalor de la posición comoresultado del operador posición actuando (en la primera l$nea) sobre el

eigen;et de posición, eigenvalor que por ser una observable f$sica conmuta con

el operador de traslación, el cual act5a sobre el eigen;et de posición

traslad1ndolo (cuarta l$nea)/ -sando los dos resultados obtenidos, si formamos

un conmutador de @orn con el operador posición ! con el operador de


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traslación, haciendo actuar al conmutador sobre un eigen;et de posición, se

tiene:

o bien:

-sando el operador de traslación C iL a en esto, se obtiene:

Esto nos conrma que tanto & como L son operadores, !a que si cualquiera de

ellos fuera una simple constante num*rica el resultado del conmutador ser$a

cero en lugar de i/ #o anterior supone un desplaamiento espacialunidimensional llevado a cabo por un operador de traslación unidimensional/

Neneraliando esto a un espacio de tres dimensiones en el sistema de

coordenadas rectangulares %artesianas, se puede escribir lo siguiente con la

a!uda del O de Lronec;er:


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Esta e&presión nos dene la relación que ha! entre los tres operadores de

posición ! los tresoperadores L respectivos/

>o se ha denido a5n la naturalea del operador L que sirve para denir a su

ve al operador de traslación/ En virtud del n5mero C que aparece en el primert*rmino, carente de dimensiones en alg5n sistema de unidades, el segundo

t*rmino en:

tambi*n debe ser adimensional/ %areciendo el n5mero imaginario i de

dimensión alguna en un sistema de unidades, ! siendo a una longitud (medida

en metros, cent$metros, etc/), esto impone el requerimiento de que L est*

medido en unidades inversas de longitud (metroC, cmC, etc/)/ 6 si el operador

de traslación ha de ser un verdadero operador mec1nicocu1ntico, esperamos

que L incorpore de alguna manera la constante reducida de 7lanc; %/ Esto nos

motiva a recurrir a la relación de


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las dimensiones de unidades inversas de longitud (metro C, cmC, etc/)/


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considerarse .as, lo que realmente nos est1 generando la traslación es el

operador del momentum p&, un resultado que concuerda con la misma

conclusión a la cual se llega mediante la f$sica cl1sica: el operador del

momentum es el generador de los desplazamientos espaciales/

Bhora echaremos mano del resultado obtenido previamente:

En tres dimensiones, conociendo !a la relación que e&iste entre cada operador

L . ! la componente respectiva p . del momentum, podemos escribir la siguiente

relación fundamental:

Esta conclusión es de importancia fundamental/ 4emos obtenido la 8e&tra?a

ecuación9 de Da& @orn/ ' la hemos obtenido sin recurrir en lo absoluto a

ninguna de las matrices que se utilizan en la (ec)nica (atricial, siendo por lo

tanto el resultado cien por ciento v1lido dentro la Dec1nica Andulatoria/

7odemos ir m1s le.os con lo que hemos obtenido/ 7ara ello, recurriremos al

operador identidad(conocido tambi*n como la relación de

completitud o cerradura) para el caso continuo (v*ase la entrada titulada 8El

espacio de 4ilbert KK9):

B continuación, se aplicar1 al operador de traslación sobre un ;et general de

estado, in.ertando primero al operador identidad ! tras ello e.erciendo la acción

del operador sobre el ;et que est1 situado a su derecha:


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0i efectuamos las siguientes substituciones (recu*rdese que a representa un

desplaamiento .o, constante):

entonces lo siguiente debe ser cierto:

7ero de hecho esto m1s que una implicación es una igualdad, ambas relaciones

son iguales, !a que la integración es llevada a cabo sobre todo el espacio

(desde S hasta S) ! la variable (posición) de la integración se elimina al

llevarse a cabo la integración entre los l$mites/ Es como si se llevara a cabo la

integración de un 8pulso de onda rectangular9, no importa si el pulso de onda

es relocaliado (trasladado) en una cantidad nita a en cierta dirección, al

llevarse a cabo la integración desde S hasta S el resultado de la integración

ser1 e&actamente el mismo/ -sando entonces:


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se tiene:

7uesto que:

entonces:

Feemplaando ahora (en el lado iquierdo de la igualdad) al operador de

traslación que est1 actuando sobre el ;et general de estado por el operador de

traslación casi innitesimal que tenemos arriba:

%omparando ambos lados de la igualdad, resulta obvio por la presencia del

factor a que el segundo t*rmino al lado iquierdo de la igualdad debe ser igual


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al segundo t*rmino en el lado derecho de la igualdad, ! si igualamos ambas

cantidades de hecho a se elimina:

7odemos premultiplicar ambos miembros de lo anterior por un bra general de

estado de la siguiente manera:

0i hacemos las siguientes identicaciones:

mediante las cuales se hace denida a una función de onda U como unafunción de onda cualquiera en el espacioposición, ! como VM al con.ugado

comple.o de otra función de onda tambi*n en el espacioposición, entonces la

relación se convierte en lo siguiente:

Esta relación nos debe resultar familiar, !a que es la esperana matem1tica del

operador p& tomada entre los dos estados U ! V, .usto en el orden de t*rminosque hemos estado utiliando desde un principio/ 7ero lo m1s importante es que

nos dice que el operador del momentum p& est1 dado por:


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o es un postulado/ 0e trata

m1s bien de algo que hemos derivado a partir de la propiedad mec1nico

cu1ntica del momentum como el generador de traslaciones/

El operador de traslación que tenemos en nuestras manos es v1lido para

desplaamientos mu! peque?os, casi innitesimales/ 7ero a5n considerando

que las dimensiones f$sicas t$picas de los fenómenos propios de la Dec1nica

%u1ntica son bastante peque?as (del orden de los Bngstroms o inclusive m1s

peque?as a5n) estamos interesados en saber lo que sucede trat1ndose de

desplaamientos nitos medibles a escala macroscópica con aparatos de

laboratorio/ ¿%ómo podemos mane.ar esta situación" #a respuesta consiste en

que si a un desplaamiento peque?o, casi innitesimal, le aplicamos otro

desplaamiento igualmente peque?o, seguido de otro ! muchos m1s,

eventualmente tendremos un producto formado por una cantidad bastante

grande de operadores de traslación que en con.unto equivaldr1n a una

traslación nita que de peque?o no tendr1 nada/ #a pregunta ahora es: ¿puede

e&presarse esto en una forma e&ponencial, que seg5n lo que vimos arriba, es

la forma a la que eventualmente queremos llegar" 7ara responder a esto en

forma adecuada, tenemos que repasar una manera alterna de obtener el

n5mero e(apro&imadamente igual a 3/WCX3XC) que es algo distinta a la

e&pansión usual en series de Ta!lor:

Entre m1s grande sea el n5mero n, tanto me.or ser1 la apro&iamación hecha

con esta relación al n5mero e/ B continuación se dan los resultados de la

evaluación para valores de n iguales a , Y+ ! C++:


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%omo puede verse, la apro&imación va me.orando ! el error que se comete en

la evaluación de e va disminu!endo conforme aumenta el valor de n/

Bceptando como v1lida la relación anterior, puede demostrarse mediante la

inducción matem1tica la siguiente generaliación de lo anterior:

Tomando en consideración esto 5ltimo, el operador de traslación compuesto

puede ser constru$do de la siguiente manera como el producto creciente de

una cantidad cada ve ma!or de factores (obs*rvese que dentro de cada factor

la cantidad a va disminu!endo conforme aumenta n, pero el producto sucesivo

creciente se encarga de amortiguar la disminución de a):

En el l$mite conforme n/Z/S, se debe tener entonces, con e&actitud

matem1tica:

*n el lado derecho de la igualdad se tiene +usto el operador de traslación que

est)bamos buscando/


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El operador de traslación de la Dec1nica Andulatoria es entonces,

conrmando que el operador del momentum es el generador de traslaciones:

Este resultado parece elemental, sin chiste, no parece ser gran cosa, hasta que

tomamos en cuenta el hecho de que el momentum p& es el operador

diferencial que hemos estado usando con antelación:

6 puesto que k & es igual al operador diferencial p& dividido entre %, se deducenuevamente que la cantidad L de la que se hablaba en el operador de

traslación en el que hemos traba.ando no era una simple cantidad cualquiera,

era tambi*n un operador, el operador L/

#a aplicación del operador de traslación as$ denido arriba, actuando sobre una

función de onda Ψ a su derecha, debe ser entonces:

B5n sin escribir a p& en su forma e&pl$cita como un operador diferencial en esta

e&presión, lo que tenemos aqu$ se anto.a formidable/ ¿%ómo vamos a llevar a

cabo la operación que est1 siendo especicada" #a 5nica forma de poder

sacarle sentido a esto es desarrollando el operador exponencial como una

serie de ,a$lor:


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7uesto que, operacionalmente:

metiendo entonces estas relaciones del operador del momentum en la

e&presión desarrollada para el operador de traslación, vemos que:

0implicando:

Este es el operador que tenemos que aplicar sobre una función de onda Ψ(&)


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para desplaarla una distancia a con respecto a su posición original/

El siguiente paso consiste en someter a prueba el operador de traslación que

hemos obtenido/

PROBL!": .pl/quese el operador de traslación a una función de ondarepresentativa de una part/cula libre manteniéndose la variable del tiempo

constante/

#a ecuación general de una onda plana móvil es:

4aciendo t //+ ! manteniendo la variable del tiempo .a, la función de onda

sobre la cual traba.aremos es la siguiente:

7odemos considerar esto 5ltimo como la ecuación de onda de una part$cula

cu!o momentum p& se conoce en forma precisa pero cu!a posición e&acta se

desconoce (al e&tenderse la función de onda que representa a la part$cula

desde S hasta S)/ Bplicando el operador de traslación a esta función de

onda ! desarrollando:


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Esta es precisamente la función de onda original, pero desplaada a unidades

hacia la derecha/ Esto verica que el operador de traslación que hemos

obtenido es el operador correcto/

7ara quienes no est1n mu! familiariados con las propiedades deln5mero e pero que est1n familiariados con la denición b1sica de la derivada

innitesimal, ha! otra derivación alterna del operador de traslación en su forma

e&ponencial que puede resultar m1s satisfactoria/ %onsid*rense los siguientes

pasos, basados en las propiedades del operador de traslación que hemos visto

arriba:


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%onsiderando un desplaamiento espacial llevado a cabo en tres dimensiones:

un operador de traslación m1s general, en el espacio tridimensional, ser1,

efectuando traslaciones independientes en cada uno de los e.es coordenados

%artesianos:

-sando el operador de traslación tridimensional, supóngase que se lleva a

cabo un desplaamiento espacial en una magnitud & sobre el e.e&

%artesiano:


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#levaremos a cabo ahora la evaluación del siguiente conmutador:

Efectuando el c1lculo ! despreciando t*rminos de segundo orden en adelante:

7ero !a hemos visto arriba que las operaciones de traslación llevadas a cabo

sobre e.es %artesianos distintos (ortogonales) son conmutativas, lo cual implica

que el conmutador con el cual hemos empeado debe ser igual a cero, lo cual a

su ve implica que:


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Este mismo resultado se puede obtener para cualquier otro par de e.es

%artesianos, lo cual podemos generaliar como:


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#a contraparte de esta operación, llevada a cabo en el espacio dual, us1ndose

un bra en lugar de un ;et, es la siguiente:

Tomando el producto interno de estas dos operaciones en la forma

convencional, se tiene:

%omo no se ha llevado a cabo desplaamiento alguno sobre observable alguna,

esto simplemente nos conrma la conservación de la probabilidad/ Bhora bien,

la esperana matem1tica de un operador mec1nicocu1ntico G que representa

a una observable f$sica con respecto al ;et general de estado que hemos usado

arriba ser1, por denición:

Fecurriendo a los ket ! bra trasladados de arriba, la esperana matem1tica dela observabletrasladada ser1 entonces:

#a esperana matem1tica de la observable G trasladada, recurriendo a la base

losóca fundamental de la Dec1nica %u1ntica de reemplaar observables

por operadores, lo cual nos permite considerar en este caso a G como

un operador de car1cter general, nos va sugiriendo aqu$ otra posibilidad de

enorme potencia teórica: la posibilidad de describir los cambios de un sistema

f$sico mec1nicocu1ntico no mediante cambios llevados a cabo sobre una

función de onda sino sobre el operador que est* act5e sobre una función de

onda/ En otras palabras, en lugar de considerar al operador como inmutable !

a la función de onda como algo variable, se considerar$a al operador como algo

variable, ! a la función de onda como inmutable/


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0ea una función de onda Ψ(r), ! apl$quese sobre dicha función de onda el

operador combinado:

0e ha hecho actuar arriba al operador de traslación sobre la función de

onda Ψ(r) que est1 inmediatamente a su derecha, obteni*ndose la función de

onda trasladada espacialmente Ψ(r])/ En la 5ltima l$nea se ha hecho unreagrupamiento para resaltar el hecho de que el transcon.ugado del operador

de traslación actuar1 tanto sobre el operador )(r) como sobre la función de

ondaΨ(r]), lo cual producir1 el siguiente efecto:

0e deduce entonces que:

7uesto que la función de onda puede ser una función de onda arbitraria

cualquiera, lo anterior sólo podr1 ser cierto si:


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Este resultado nos conrma que se ha llevado a cabo una traslación espacial

del operador )(r), ! nos d1 tambi*n la prescripción general para llevar a cabola traslación espacial de cualquieroperador / El procedimiento para llevar a cabo

la traslación espacial de un operador debe ser reminiscente del

procedimiento *$+"* con el cual una matri " es convertida en una matri

diagonal, e&cepto que aqu$ podemos estar hablando de operadores

diferenciales en lugar de estar hablando de matrices/

PROBL!": 1sando el operador de traslación en tres dimensiones eval&ese

el siguiente conmutador:

7ara la evaluación de este conmutador, recurriremos a la siguiente relación

obtenida previamente en otras entradas (v*ase, por e.emplo, la entrada

titulada 8El espacioposición ! el espaciomomentum KK9):


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PROBL!": 1sando el resultado del problema anterior encuéntrese la

manera en la cual cambiar) el valor esperado de la posición ba+o una

operación de traslación/

#a esperana matem1tica de la posición sobre cualquiera de los tres e.es

coordenados, usando un ;et general de posición, se dene como:

%onsid*rese el resultado de la evaluación de la siguiente e&presión:


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#a misma e&presión puede ser evaluada de una manera distinta aplicando al

pie de la letra la denición del conmutador:

Detiendo aqu$ el resultado obtenido previamente, se tiene:


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PROBL!": Detem/nense los cambios que puedan ocurrir en el valor

esperado del operador del momentum ba+o una operación de traslación/

-sando el operador de traslación en tres dimensiones, evaluaremos primero el

siguiente conmutador en donde pi es la componente del vectormomentum p en cualquiera de los tres e.es coordenados rectangulares

%artesianos:

7ara la evaluación de este conmutador, recurriremos a la siguiente relación

obtenida previamente en otras entradas, siendo 2 (x) cualquier función del

vector posición x:

%on esto se tiene:

para lo cual se han considerado a las tres componentes del vector de

traslación l:


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como cantidades constantes (representando un desplaamiento espacial .o)/

7or lo tanto:

Bplicando la denición del conmutador en esto 5ltimo:

lo cual nos dice que cada una de las tres componentes del momentum

conmutan con el operador de traslación tridimensional/


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f$sico es invariante ba.o traslaciones espaciales/ -n e&perimento 0ternNerlach

llevado a cabo en >ueva 6or; debe dar los mismos resultados que el mismo

e&perimento 0ternNerlach llevado a cabo en Blemania o inclusive en la #una/

^ormalmente, el principio de la homogeneidad del tiempo es e&presado

matem1ticamente por el hecho de que la función cl1sica conocida como

el 3agrangianode un sistema de part$culas permanece invariante cuando lascoordenadas r i de las part$culas son reemplaadas por r iai (en donde las ai son

las componentes de un vector arbitrario constante no depende e&pl$citamente

del tiempo)/ 0in embargo, cualquiera que ha!a tomado conocimiento de los

fundamentos de la Teor$a *special de la Felatividad !a sabe que el espacio no

es una cosa absoluta, !a que depende de los marcos de referencia en los

cuales se encuentren ubicados distintos observadores que se est1n moviendo

el uno con respecto al otro/ En cierta forma, esto es tomado en cuenta en el

desarrollo de una forma m1s avanada de Dec1nica %u1ntica conocida como

la ,eor/a del 4ampo 4u)ntico en donde se incorporan los efectos de la Teor$a

Especial de la Felatividad dentro de las ecuaciones cu1nticas/ 7ero ha! otro

problema m1s comple.o tanto desde el punto de vista matem1tico como desde

el punto de vista losóco al tomar en cuenta a la Teor$a 5eneral de la

Felatividad ! sus efectos en la curvatura del espaciotiempo en la pro&imidad

de campos gravitacionales de simetr$a esf*rica/ @a.o esta perspectiva, dos

observadores distintos, a5n ! cuando est*n en estado de reposo absoluto el

uno con respecto al otro, muestran alteraciones espaciales de longitud ante un

tercer observador si ambos est1n situados a diferentes distancias del centro de

gravedad/ En principio, debe ser posible incorporar los efectos gravitacionales

de la Teor$a Neneral de la Felatividad a la Dec1nica %u1ntica, ! para campos

gravitacionales d*biles esperamos que las e&presiones obtenidas concuerden

con las e&presiones mec1nicocu1nticas que tanto *&ito han tenido en suspoderes predictivos en innumerables e&perimentos/ 7ero el problema

fundamental al principio del Tercer Dilenio es que no ha sido posible llevar a

cabo esta unión/ Bfortunadamente, los efectos gravitacionales en los

fenómenos del mundo submicroscópico solo adquieren relevancia ba.o la

acción de campos gravitacionales intensos como los que ha! en la cercan$a de

los agu.eros negros o los que ha! en estrellas con una gran cantidad de masa,

! se puede seguir traba.ando en el planeta Tierra con lo que !a se tiene

mientras se busca la manera de llevar a cabo la unión de la Teor$a Neneral de

la Felatividad con la Dec1nica %u1ntica para crear una nueva ,eor/a del 4ampo

1ni"cado que Blbert Einstein no pudo lograr en vida/

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El Operador de Traslación