Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
El sistema de numeración indo-arábigo
Nuestro sistema de numeración actual, con sus diez cifras decimales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Representación sencilla y absolutamente racional de cualquier número utilizando únicamente diez símbolos.
Permite realizar muy fácilmente cálculos muy complejos.
Las cifras romanas: una invención de pastores
Suma utilizando cifras romas
+
CCCXXXIIDCXIII
MCCXXIVMMDLI
? ? ?
MMMMDCCXX
Las cifras romanas: una invención de pastores
Suma utilizando cifras romas
+
CCCXXXIIDCXIII
MCCXXIVMMDLI
+
332613
12242551
MMMMDCCXX 4720
El sistema de numeración indo-arábigo
Utilización de nueve símbolos gráficos desvinculados de cualquier intuición visual para representar las nueve unidades básicas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Utilización del principio posicional.
Existencia del concepto de cero, como indicador de la nada.
El sistema posicional
El valor de una cifra depende de la posición que ocupe.
Número Unidades de millar Centenas Decenas Unidades
45 4 5
53 5 3
573 5 7 3
5438 5 4 3 8
El sistema posicional en base 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
El sistema posicional en base 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
10 = 1 x 10 + 0 x 1 = 1 x 101 + 0 x 100
El sistema posicional en base 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
10 = 1 x 10 + 0 x 1 = 1 x 101 + 0 x 100
11 = 1 x 101 + 1 x 100
12= 1 x 101 + 2 x 100
13= 1 x 101 + 3 x 100
14= 1 x 101 + 4 x 100 … 19= 1 x 101 + 9 x 100
El sistema posicional en base 10
20 = 1 x 10 + 10 x 100 = 2 x 10 + 0 x 100
21 = 2 x 101 + 1 x 100 …29 = 2 x 101 + 9 x 100
30= 2 x 10 + 10 x 100 = 3 x 10 + 0 x 100
99= 9 x 101 + 9 x 100
El sistema posicional en base 10
20 = 1 x 10 + 10 x 100 = 2 x 10 + 0 x 100
21 = 2 x 101 + 1 x 100 …29 = 2 x 101 + 9 x 100
30= 2 x 10 + 10 x 100 = 3 x 10 + 0 x 100
99= 9 x 101 + 9 x 100
100= 9 x 101 + 10 x 100 = 10 x 10 = 102 =
1 x 102 + 0 x 101 + 0 x 100
El sistema posicional en base 10
101 = 1 x 102 + 0 x 101 + 1 x 100
437 = 4 x 102 + 3 x 101 + 7 x 100
999= 9 x 102 + 9 x 101 + 9 x 100
El sistema posicional en base 10
101 = 1 x 102 + 0 x 101 + 1 x 100
437 = 4 x 102 + 3 x 101 + 7 x 100
999= 9 x 102 + 9 x 101 + 9 x 100
1000= 9 x 102 + 9 x 101 + 10 x 100 =
= 9 x 102 + 10 x 101 = 9 x 102 + 102 = 103
= 1 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 0 x 100
El sistema de numeración indo-arábigo
Surgió hace unos 1500 años (siglo V) en el norte de la India.
Utilización de nueve símbolos gráficos desvinculados de cualquier intuición visual para representar las nueve unidades básicas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Utilización del principio posicional.
Existencia del concepto de cero, como indicador de la ausencia de unidades de un cierto orden.
El sistema de numeración indo-arábigo
Técnicas operacionales sencillas y rápidas.
Perfeccionamiento definitivo de la numeración escrita.
Democratización del cálculo.
El sistema de numeración indo-arábigo
Bastante generalizado en la India a mediados del siglo V.
Difundido en el mundo árabe.
“Sobre el cálculo con numerales hindúes” de Al-Khwarizmi, publicado en el año 825.
“Liber Abbaci” de Leonardo de Pisa (Fibonacci), publicado en el año 1202.
Todavía se necesitaron varios siglos para que desplazara definitivamente el ábaco tradicional.
Las primeras numeraciones posicionales
de la historia
Babilonia (comienzos del milenio II a.C. En base 60)
China (dinastía de los Han, del siglo II a.C. al siglo III d.C. En base 10)
Civilización maya (hacia el siglo IV a.C. En base 20)
La numeración de los sabios de Babilonia
Descubrieron el principio posicional entre los años 3.000 y 2.000 a.C.
Base sexagesimal: base 60.
Unidades de primer orden: números del 1 al 59.
Representados mediante un sistema de agrupación simple utilizando únicamente dos símbolos:
1 clavo = = una unidad
1 espiga = = diez unidades
La numeración de los sabios de Babilonia
Símbolos cuneiformes
7 = 7 clavos =
17 = 10 + 7 = 1 espiga + 7 clavos =
56 = 50 + 6 = 5 espigas + 6 clavos =
Los números babilónicos del 1 al 59
Los números babilónicos a partir del 60
Base sexagesimal: base 60.
Unidades del segundo orden: 601 = 60 .
67 = 60 + 7 = 1 x 601 + 7 x 600 = [1,7]60 =
165 = 120 + 45 = 2 x 601 + 45 x 600 = [2,45]60 =
1220 = 1200 + 20 = 20 x 601 + 20 x 600 = [20,20]60 =
2715 = 2700 + 15 = 45 x 601 + 15 x 600 = [45,15]60 =
3599 =3540+59 = 59 x 601 + 59 x 600 = [59,59]60=
Los números babilónicos a partir del 60
Numerosos equívocos y confusiones.
2 = = 2 clavos en las unidades.
61 = 1 x 601 + 1 x 600 = = 1 clavo en la sesentenasy 1 clavo en las unidades.
25 = = 2 espigas + 5 clavos.
615 = 10 x 601 + 15 x 600 = = 1 espiga en las sesentenas y 1 espiga + 5 clavos en las unidades.
1205 = 20 x 601 + 5 x 600 = = 2 espigas en las sesentenas y 5 clavos en las unidades.
El cero babilónico
Necesidad de un símbolo para representar la ausencia de unidades de un determinado orden.
60 = 1 x 601 + 0 x 600 = ??
En el siglo III a.C. introdujeron un símbolo para representar dicha ausencia: el cero babilónico (el cero más antiguo de la humanidad ??)
0 =
60 = 1 x 601 + 0 x 600 =
Los números babilónicos a partir del 3600
El número 3600 sería el primer número que precisaría de tres órdenes de unidades.
Unidades del tercer orden: 602 = 3600 .
3600 = 602 = 1 x 602 + 0 x 601 + 0 x 600 = [1,0,0]60 =
=
Unidades del cuarto orden: 603 = 216000.
3600 = 603 = 1 x 603 + 0 x 602 + 0 x 601 + 0 x 600 =
= [1, 0,0,0]60 =
Ventajas de utilizar base 60 para expresar fracciones
La base 60 es el menor número divisible por 1, 2, 3, 4 y 5, por lo que tiene un gran número de divisores.
Esto permite expresar fácilmente muchas fracciones.
En base decimal 1/2 = 0,5 porque
1/2 = 5/10 = 0 x 100 + 5 x 10-1
En base sexagesimal
1/2 = 30/60 = 0 x 600 + 30 x 60-1 = [0;30]60
Ventajas de utilizar base 60 para expresar fracciones
1/3 = 20/60 = 0 x 600 + 20 x 60-1 = [0;20]60
1/12 = 5/60 = 0 x 600 + 5 x 60-1 = [0;5]60
1/15 = 4/60 = 0 x 600 + 4 x 60-1 = [0;4]60
1/9 = 400/3600 =(6 x 60 +40)/3600 = 6/60 + 40/3600 =
= 0 x 600 + 6 x 60-1 + 40 x 60-2 = [0;5,40]60
Tablilla YBC 7289 (c. 1.800 –1.600 a.C.)
[30]60= 30
[42;25,35]60 = 42x600+25x60-
1+35x60-2 = 42,42638888888
[1;24,51,10]60=1x600+24x60-1
+51x60-2+10x60-3=1,41421296296297
Lado del cuadrado = 30
Diagonal del cuadrado = 30 =
Diagonal/Lado =
2
2
El sistema posicional chino
En la época de la dinastía de los Han (del siglo II a.C. al siglo III de nuestra era).
Base decimal: base 10
Las cinco primeras unidades: trazos verticales
El sistema posicional chino
El número 6:
Los números 7, 8 y 9:
El sistema posicional chino
El número 9753:
9753 = 9 x 103 + 7 x 102 + 5 x 101 + 3 x 100 =
Sistema con varias ambigüedades.
Ausencia del cero durante varios siglos.
En el siglo VIII de nuestra aparece el cero en el sistema de numeración chino.
El prestigio de la civilización maya
Independientemente de cualquier influencia extranjera y en el otro extremo del mundo los mayas hicieron los mismos descubrimientos.
La civilización maya alcanzó las más altas cimas en los más variados ámbitos: arte, escultura, arquitectura, educación, comercio, matemáticas, astronomía…
Gran precisión en movimientos del Sol, la Luna y los planetas.
Descubrimientos astronómicos, cálculo del tiempo, calendario maya.
Revolución sinódica de Venus: 584 días (valor exacto 583,92 días)
El prestigio de la civilización maya
Duración del año solar maya: 365,242 días (valor actual más preciso 365,242198 días).
Periodo lunar determinado con tan solo 24 segundos de diferencia con respecto a cálculos actuales.
Gracias a la existencia de un herramienta matemática potente y precisa dotada de:
Sistema posicional (en base 20).
Símbolo para el cero.
La civilización maya fue la primera en conocer la abstracción del cero (siglo IV a.C.)
La numeración de los sacerdotes mayas
Base vigesimal: base 20.
Unidades de primer orden: números del 1 al 19.
Representados mediante un sistema de agrupación simple utilizando únicamente dos símbolos:
1 punto = = una unidad
1 raya = = cinco unidades
1 caracol = = el cero maya (siglo IV a.C.)
Números mayas del 1 al 19
Números mayas del 0 al 19
Números mayas en base 20
20 = 1 x 201 + 0 x 200 21 = 1 x 201 + 1 x 200 22 = 1 x 201 + 2 x 200
1 x 20 201 1 x 20 201 1 x 20 201
0 x 1 200 1 x 1 200 2 x 1 200
23= 1 x 201 + 3 x 200 24 = 1 x 201 + 4 x 200 25 = 1 x 201 + 5 x 200
1 x 20 201 1 x 20 201 1 x 20 201
3 x 1 200 4 x 1 200 5 x 1 200
Números mayas en base 20
60 = 3 x 201 +0 x 200 79 = 3 x 201 +19 x 200 111 = 5 x 201 +11 x 200
3x20 201 3x20 201 5x20 201
0 x 1 200 19x 1 200 11 x 1 200
202=10 x 201+2 x 200 300=15 x 201+0 x 200 399 =19x201+19 x 200
10x20 201 15x 20 201 19x20
201
2 x 1 200 0 x 1 200 19 x 1 200
Números mayas en base 20
400=1x202+0x201+0x200 2014=5x202+0x201+14x200
1 202 5 202
0 201 0 201
0 200 14 200
4060=10x202+3x201+0x200 6021=15x202+1x201+1x200
10 202 15 202
3 201 1 201
0 200 1 200
Números mayas en base 10
Números mayas en base 10
10 = 1 x 101 + 0 x 100 11 = 1 x 101 + 1 x 100 12 = 1 x 101 + 2 x 100
1 101 1 101 1 101
0 100 1 100 2 100
13= 1 x 101 + 3 x 100 14 = 1 x 101 + 4 x 100 15 = 1 x 101 + 5 x 100
1 101 1 101 1 101
3 100 4 100 5 100
Números mayas en base 10
30 = 3 x 101 +0 x 100 39 = 3 x 101 +9 x 100 56 = 5 x 101 +6 x 100
3 101 3 101 5 101
0 100 9 100 6 100
72=7 x 101+2 x 100 80=8 x 101+0 x 100 99 =9x101+9 x 100
7 101 8 101 9 101
2 100 0 100 9 100
Números mayas en base 10
100=1x102+0x101+0x100 506=5x102+0x101+6x100
1 102 5 102
0 101 0 101
0 100 6 100
870=8x102+7x101+0x100 916=9x102+1x101+6x100
8 102 9 102
7 101 1 101
0 100 6 100
Reglas para operar en base 10
Cinco puntos en un nivel equivalen a una raya en el mismo nivel.
Una raya en un nivel equivale a cinco puntos en el mismo nivel.
Dos rayas en un nivel equivalen a un punto en el nivel superior.
Un punto en un nivel equivale a dos rayas en el nivel inferior.
No puede haber más de cuatro puntos ni más de una raya en un mismo nivel.
Cuando un nivel se quede vacío, colocar un caracol.
Suma: 357 + 846
357 846
Suma: 357 + 846
357 846
Suma: 357 + 846
357 + 846
Suma: 357 + 846
357 + 846
Suma: 357 + 846
357 + 846
Suma: 357 + 846
357 + 846
Suma: 357 + 846
357 + 846
Suma: 357 + 846
357 + 846
Suma: 357 + 846
357 + 846
Resultado: 357 + 846=1203
1203
Resta: 752 - 644
752 644Reglas básicas de la resta:
Un punto elimina a otro punto en el mismo nivel.
Una raya elimina a otra raya en el mismo nivel.
Empezamos por el nivel inferior.
Si no hay puntos suficientes para hacer la eliminación, los bajamos del nivel superior teniendo presente que un punto del nivel superior equivale a dos rayas del inferior.
Resta: 752 - 644
752 644
Resta: 752 - 644
752 644
Resta: 752 - 644
752 644
Resta: 752 - 644
752 644
Resta: 752 - 644
752 644
Resta: 752 - 644
??8 644
Resta: 752 - 644
??8 644
Resta: 752 - 644
?08 644
Resta: 752 - 644
?08 644
Resultado: 752 – 644=108
108 644
Resta múltiple: 9845-1211-5021-2502
9845 1211 5021 2502
Resta múltiple: 9845-1211-5021-2502
9845 1211 5021 2502
Resta múltiple: 9845-1211-5021-2502
???1 1211 5021 2502
Resta múltiple: 9845-1211-5021-2502
???1 1211 5021 2502
Resta múltiple: 9845-1211-5021-2502
??11 1211 5021 2502
Resta múltiple: 9845-1211-5021-2502
??11 1211 5021 2502
Resta múltiple: 9845-1211-5021-2502
?111 1211 5021 2502
Resta múltiple: 9845-1211-5021-2502
?111 1211 5021 2502
Resultado: 1111
1111 1211 5021 2502
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Multiplicación: 59x65
Resultado: 59x65=3.835
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Multiplicación: 408x75
Resultado: 408x75=30600
División: 180/12=???
? ?
División: 180/12=???
?
División: 180/12=???
?
División: 180/12=???
?
División: 180/12=???
?
Resultado: 180/12=15
División: 155/11=???
? ?
División: 155/11=???
?
División: 155/11=???
?
División: 155/11=???
?
División: 155/11=???
División: 155/11=???
Resultado: 155/11=14 y resto=1