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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela Profesional de Matemática e Informática
MONOGRAFÍA
El sistema Q de números racionales. Extensión de Z. La axiomática usual del sistema de números racionales. Orden y
densidad de Q. Representación decimal de Racionales. Generatriz. Construcción del
conjunto Q de números racionales a través de una relación de equivalencia. Adición y
Multiplicación en Q. Orden en Q. Sustracción y División. Ecuaciones e inecuaciones
en Q. Didáctica del sistema de números racionales. Resuelve problemas de cantidad
en Q.
Examen de Suficiencia Profesional Resolución Nº 1030-2019-D-FAC
Presentada por:
Fiorella Aracelli Gallo Gavilán
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación
Especialidad: Matemática e Informática
Lima, Perú
2019
2
3
Dedicatoria
A mis padres, Carlos y Clotilde, y principalmente a mis
abuelos Gabina y Francisco por su apoyo incondicional.
iii
4
Agradecimiento
A Dios, por cada detalle e instante durante la ejecución de mi monografía. Gracias a él por
ser el que inspira mi moral y porque cada día me permite despertar no solo con vida, sino
también con salud, fortaleza y empeño. Por él, cada desarrollo, cada experiencia y episodio
de mi vida, ha sido un momento de formación, una oportunidad para crecer como persona,
y, como en este caso, una ocasión precisa para culminar con éxito uno de mis más
anhelados proyectos.
iv
5
Índice de contenidos
Hoja de firmas de Jurado ..................................................................................................... ii
Dedicatoria.......................................................................................................................... iii
Agradecimiento .................................................................................................................. iv
Índice de contenidos………………………………...….……………….………….…….v
Lista de figuras……………………………………………………………………..……..vii
Introducción ...................................................................................................................... viii
Capítulo I. Extensión de Z ................................................................................................. 10
1.1 El sistema de los números racionales .......................................................................... 10
1.2 Extensión de Z ............................................................................................................. 11
1.3 El sistema de los números racionales .......................................................................... 12
1.4 Teoremas ..................................................................................................................... 14
Capítulo II. Desigualdades ................................................................................................ 18
2.1 Definición .................................................................................................................... 18
2.2 Teorema de desigualdades ........................................................................................... 18
2.3 Construcción de los racionales .................................................................................... 21
2.3.1 Relación de equivalencia en Z*Z ...................................................................... 21
Capítulo III. Adición y multiplicación en Q ...................................................................... 26
3.1 Operaciones en Z x Z* y compatibilidad en Q ............................................................ 26
3.2 Adición y multiplicación en Q..................................................................................... 29
3.2.1Adición en Q ...................................................................................................... 29
3.3 Homomorfismo de (Z x Z*, x ) en (Q, ϫ ) ................................................................ 31
3.4 Orden en Q .................................................................................................................. 34
v
6
3.5 Sustracción y división en Q ......................................................................................... 37
Capítulo IV. Densidad en Q .............................................................................................. 39
4.1 Definición .................................................................................................................... 39
4.2 Relación menor ............................................................................................................ 39
4.3 Representación decimal de números racionales .......................................................... 41
4.4 Las expresiones decimales........................................................................................... 45
4.5 Representación decimal de los números racionales (Q) .............................................. 46
Capítulo V. Generatriz ....................................................................................................... 47
5.1 Generatriz de una expresión decimal periódica ........................................................... 47
5.2 Generatriz de una expresión decimal exacta ............................................................... 47
5.3 Generatriz de una expresión decimal periódica pura................................................... 48
5.4 Generatriz de una expresión decimal periódica mixta............................................... 49
Capítulo VI. Didáctica del sistema de números racionales ...................................................... 51
6.1 Enfoque parte – todo.................................................................................................... 53
6.2 Enfoque como operador............................................................................................... 53
6.3 Enfoque como medida ................................................................................................. 54
Aplicación didáctica .......................................................................................................... 55
Sesión de aprendizaje ........................................................................................................ 55
Síntesis ............................................................................................................................... 62
Apreciación crítica y sugerencias ...................................................................................... 64
Conclusiones ...................................................................................................................... 66
Referencias ........................................................................................................................ 67
vi
7
Lista de figuras
Figura 1. Propiedad de irracionales Q 13
Figura 2. Propiedad de irracionales Q 14
Figura 3. Desigualdades 18
Figura 4. Teorema de equivalencia 23
Figura 5. Número racional 24
Figura 6. Ejemplo 25
vii
8
Introducción
Sabemos que el conjunto de los números racionales unido con el de los irracionales forma
el conjunto de los números reales. Cuando se estudia el conjunto de los números racionales
como parte de los cursos de Álgebra, básicamente se estudia para explicar la construcción
de este sistema numérico, así como también la construcción de los naturales, enteros,
reales y complejos.
El autor Mendoza (2007) deduce que “por su facilidad y necesidad, los primeros
números que utilizó el hombre fueron los naturales; sin embargo, estos números no son
suficientes para representar todas las situaciones cotidianas” (p. 56).
El estudio del conjunto de los números racionales se ha desarrollado desde épocas
muy remotas de acuerdo al quehacer diario de las distintas sociedades como hacer el
conteo de cosas, realizar repartos de tierras o bienes; en tal sentido, forma parte del ser
humano en su entorno social y económico.
Los matemáticos sistematizaron y formalizaron necesariamente los sistemas
numéricos, porque éstos se desempeñan como cimiento para ejecutar otras hipótesis
matemáticas para el avance de las personas.
Iniciando el estudio observamos cómo se van entrelazando los conocimientos
previos como: grupos, anillos, relación de equivalencia, partición, homomorfismo,
función, etc. que cumplen un papel sumamente importante para construir y desarrollar el
tema de los racionales.
El presente trabajo desarrolla en su primera parte la construcción de los racionales,
es decir, la extensión de Z, la axiomática usual del sistema de números racionales.
x
xx
viii
9
Se estudian las operaciones inducidas en Q como la Adición y la Multiplicación,
Sustracción y División. Luego, se continúa con la representación decimal de racionales,
relación de orden y densidad de los racionales y algunos ejemplos.
A continuación, se habla de la representación decimal de los Racionales para luego
hablar de la representación decimal de dichos números.
Seguidamente trataremos las operaciones: Adición, Multiplicación, Sustracción y
División de los números Q. Representación decimal, Orden, Densidad y Generatriz.
Terminaremos presentando una aplicación didáctica de una parte del tema, en la
cual se presenta una sesión de los racionales, como las definiciones, ejemplos de algunas
propiedades, también algunos ejercicios para que los estudiantes se entrenen. Se presenta
luego una síntesis del tema y algunas sugerencias.
Esperamos que este trabajo sea de utilidad para nuestros lectores y que los aportes
en él contenidos sirvan para ampliar el estudio, análisis y crítica sobre estos
conocimientos.
ix
10
Capítulo I
Extensión de Z
1.1 El sistema de los números Racionales
En el sistema de los números Enteros, la suma, la diferencia y el producto de dos números
enteros siempre existen y es otro número entero. En cambio, el cociente de dos números
enteros no siempre es un número entero, por ejemplo, ½ ó ¾. En términos algebraicos es
imposible resolver en Z las ecuaciones como por ejemplo 3x = 5 (Armando, 1981).
Por esta razón surge la necesidad de ampliar el sistema de los números Enteros,
creando un nuevo sistema que sea una extensión de Z; es decir, consideren un nuevo
conjunto que contenga al de los números enteros, y por lo tanto, al de los números
naturales, en el cual la suma, diferencia, producto y el cociente (con denominador diferente
de cero) de dos elementos de este nuevo conjunto, sea otro elemento del mismo. Tal
conjunto será, precisamente, el conjunto de los números racionales. Los elementos son
también llamados fracciones o quebrados y además poseen otra forma de representación,
los números decimales.
Las aplicaciones de estos números son varias; por ejemplo, para calcular longitudes
usamos como unidad de medida el metro, pero no todos los objetos miden un número
entero de metros como 3 m, 8 m, 15 m, etc. Podemos también encontrar objetos que midan
medio metro, dos metros y medio, un metro y un quinto, etc. Al dividir una unidad de
11
medida en n partes iguales, cada una de las partes se representa con la fracción n
1 , y m
veces n
1, se representa por
n
m, donde m y n son números naturales (Armando, 1981).
1.2 Extensión de Z
Se ha visto la necesidad de extender de Z a Q, es decir, se observa la necesidad de utilizar
fracciones, por ejemplo, si queremos figurar que la cuantía de semilla de una fabricación
colmo la medio deposito, y es complicado decirlo si solo podemos usar los naturales o
enteros; lo mejor es expresarlo como 1/2 (Armando, 1981).
2 x = 1→ x = 2
1
4 x = 2 → x = 4
2
6 x = 3 → x = 6
3
8 x = 4 → x = 8
4
10 x = 5 → x = 10
5
b x = a → x = b
a
d x = c → x = d
c
12
Entonces
d
c
b
a======== ......
10
5
8
4
6
3
4
2
2
1
(1,2) ≈ (2,4) ≈ (3,6) ≈ (4,8) ≈ (5,10) ≈ (6,12) ≈ ... ≈ (a, b) ≈ (c, d) ≈ ···
1.3 El sistema de los números racionales
¿Cuáles son los números reales?
Para dar respuesta a esta interrogación, empezaremos identificando a los siguientes
conjuntos:
• Números Naturales N
N = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . . .}
• Números Enteros Z
Z = { . . . . -3,- 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Z = Z- {0 } Z+
• Números Racionales q
Q = {n
m / m Z n z , n 0 }
• Números Irracionales Q’ o I
Según Walter (1821) “es el conjunto de los números No Racionales, es decir,
aquellos números que no pueden expresarse como fracciones de la forma n
m, con m y n
Z , n 0” (p. 77).
13
Ejemplo:
,.....3
1,...,
2
1,...,
2
1,...,9,...,2,...,2,...,,...,3,....,...,
5
3
335
1
3
2
−−−−− e
Walter agrega: “por tanto, el conjunto de números Reales R, es la reunión de los
números naturales, enteros, racionales e irracionales” (p. 88) es decir:
R = N Z Q I ó R = Q Q’
Definimos números racionales Q, a los cuales asociamos las operaciones de la
Adición, Multiplicación, relación de orden (<) y de igualdad ( = ).
Observación.- (Axioma es una proposición Verdadera evidente por sí misma que no
requiere o precisa demostración, ni argumentación alguna.)
En este caso, a los axiomas los llamaremos propiedades; como se sabe, éstas
constituyen el sostén básico de los teoremas.
Estas propiedades son las siguientes:
Si a, b, c Q
Figura 1. Propiedad de irracionales Q. Fuente: Autoría propia
14
Figura 2. Propiedad de irracionales Q. Fuente: Autoría propia
1.4 Teoremas
Según Walter (1821) “un teorema es una proposición que para ser aceptada como
verdadera, antes debe ser demostrada” (p. 87). Entre los teoremas más importantes están:
T1: Si a + c = b + c a = b
T2: Si a c = b c a = b
T3: Si a + x = b x = b – a
T4: Si a + x = a x = 0
T5: a ∙ 0 = 0
T6: a b = 0 a = 0 o b = 0
T7: a (– b ) = – (a b) = ( –a ) b
15
T8: – (– a ) = a
T9: ( a b ) = (– a ) ( – b )
T10: a ( b – c ) = a b – a c
T11: a x = b , a 0 x = b / a
T12: ( a b )-1 = a -1 b-1
T13: a + a = 2 a
T14: – a = ( –1 ) a
T15: a0 = 1
T16: a ∙ a = a2
T17: a -n = 1 / an
T18: ( am ) ( an ) = am+n
T19: ( am )n = am∙ n
Demostración de algunos teoremas:
Demostración.- T1: Si a + c = b + c a = b
a + c = b + c Partimos
a + c + (– c) = b + c + (– c) Sumando el opuesto aditivo
a + [c + (– c)] = b + [c + (– c)] Asociatividad de la suma
a + 0 = b + 0 Existencia del opuesto aditivo
a = b Existencia del Neutro aditivo
16
Demostración.- T2: Si a c = b c ; c0 a = b
a c = b c Partimos
a c ( c-1) = b c ( c-1 ) Inverso Multiplicativo
a ( c c-1) = b ( c c-1 ) Asociatividad del producto
a ∙ 1 = b ∙ 1 Existencia del inverso multiplicativo
a = b Existencia del Neutro multiplicativo
Definición.- Para todo a y b en R
a + (– b) = a – b
Demostración.- T3: Si a + x = b x = b – a
a + x = b
[a + x ]+ (– a) = b + (– a) Opuesto aditivo
[x + a ]+ (– a) = b + (– a) Conmutatividad
x + [a + (– a)] = b + (– a) Asociatividad
x + 0 = b + (– a) Opuesto aditivo
x = b + (– a) Neutro aditivo
x = b – a Por definición.
Demostración: T5: a ∙ 0 = 0
0 + 0 = 0
a ( 0 + 0 ) = a ∙ 0
a ∙ 0 + a ∙0 = a ∙ 0
17
[a ∙ 0 + a ∙0] +(– a ∙ 0) = a ∙ 0 + (– a ∙ 0)
a ∙ 0 + [a ∙ 0 +(– a ∙ 0)] = a ∙ 0 + (– a ∙ 0)
a ∙ 0 + 0 = 0
a ∙ 0 = 0
Demostración. (– a)](– b) = a b
(– a)](– b) = [(–1) a] [(– 1) b]
= (–1) [a (– 1) b]
= (–1) [(– 1) a b]
= – [– a b]
= a b
18
Capítulo II
Desigualdades
2.1 Definición
Bagoly (1982) afirma que “para realizar operaciones con desigualdades (> mayor, <
menor) es importante tomar los axiomas A10, A11, A12 e incluir las siguientes definiciones”
(p. 65).
Figura 3. Desigualdades. Fuente: Autoría propia
2.2 Teorema de desigualdades
TD1 : Si a > b , b > c a > c (Ley de transitividad)
TD2 : Si a > b a + c > b + c
TD3 : Si a > 0 a2 > 0
19
TD4 : Si a > b – a < – b
TD5 : Si a b > 0 a > 0 y b > 0
a < 0 y b < 0
TD6: Si a > b , c > 0 a c > b c
a > b , c < 0 a c < b c
TD7: Si a > b , c > d a + c > b+ d
Demostración.
TD1 : Si a > b , b > c a > c
a > b b > c
a – b > 0 b – c > 0 Por definición
(a – b) R+ (b – c) Q+
(a – b) + (b – c) Q+ Por clausura de la suma
a (– b + b) – c Q+
(a – c) Q+
a – c > 0 a > c Por definición
20
Demostración.
TD2 : Si a > b a + c > b + c
a > b
a – b > 0 Por definición
(a – b) Q+
(a – b + c – c) Q+
(a + c ) – (b + c) Q+
(a + c ) – ( b + c) > 0
a + c > b + c
Demostración. Si a < b y c < d a + c < b + d
• a < b Aplicando TD2 tenemos: a + c < b + c
• c < d Aplicando TD2 tenemos: c + b < d + b
Aplicando TD1 (Ley de transitividad)
a + c < b + c y b + c < b + d
a + c < b + d Por tanto queda demostrado.
Demostración. Si a > b – a < – b
Observación.- Decir a > b significa decir b < a
21
Prosiguiendo con la demostración tenemos:
a > b
( – a) + a + ( – b) > ( – a) + b + ( – b)
[( – a) + a ]+ ( – b) > ( – a) + [b + ( – b)]
0 + ( – b) > ( – a) + 0
– b > – a
– a < – b
Ejemplo:
– 2 x + 1 < 2
–2 x + 1 – 1 < 2 – 1
–2 x + 0 < 1 Dividiendo por (– 1)
2 x > – 1
2 ∙ 2–1 x > – 1 ∙ 2–1
x > – ½
2.3 Construcción de los racionales
2.3.1 Relación de equivalencia en Z*Z.
Sea Z* = Z - {0} el conjunto de los enteros no nulos. Consideramos
Z x Z* = {(𝑎, 𝑏) / 𝑎 ∈ 𝑍 ∧ 𝑏 ∈ 𝑍 ∗}
Según Carlos (s.f.) “es decir, la totalidad de los pares ordenados de enteros de
segunda componente no nula. En Z x Z* definimos la siguiente relación” (p. 76).
(a, b) ≈ (a’, b’) ↔ ab’ = ba’
22
La relación es de equivalencia, pues verifica
i) Reflexividad: (a, b) ∈ Z x Z* / (a, b) ≈ (a, b)
Demostración:
Tomamos (a, b) ∈ Z x Z*
⟹ ab = ab
⟹ ab = ba
∴ (a, b) ≈ (a, b) l.q.q.d.
ii) Simetría: (a, b); (a’, b’) ∈ Z x Z* / (a, b) ≈ (a’, b’) ⟹ (a’, b’) ≈ (a, b)
Demostración:
(a, b) ≈ (a’, b’)
⟹ ab’ = ba’
⟹ b’a = ab’
⟹ a’b = b’a
∴ (a, b) ≈ (a’, b’) l.q.q.d.
iii) Transitividad:
(a, b); (a’, b’); (a”, b”); ∈ Z x Z* / (a, b) ≈ (a’, b’) ∧ (a’, b’) ≈ (a, b) ⟹
(a, b) ≈ (a, b)
Demostración:
(a, b); (a’, b’) ∧ (a’, b’) ≈ (a”, b”) ⟹ (a, b) ≈ (a”, b”)
⟹ ab’ = ba’ ∧ a’b” = b’a”
⟹ ab’a’b” = b’a’b’a”
⟹ ab” = ba”
23
∴ (a, b) ≈ (a’, b’) l.q.q.d.
Se cumple trivialmente si alguna de las primeras componentes es 0.
Figura 4. Teorema de equivalencia. Fuente: Autoría propia
Se tiene:
(𝑥, 𝑦) ≈ (a, b) ⟹ 𝑏𝑥 = 𝑎𝑦
En particular:
K(1,2) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑍𝑥𝑍 ∗/ 𝑦 = 2𝑥} = {(𝑥, 2𝑥)/𝑥 ∈ 𝑍 ∗}
Donde x puede tomar todos los valores enteros no nulos, y resulta
K(1,2) = {… , (−2, −4), (−1, −2), (−1, −2), (1,2), (2,4), (3,6)}
Esta clase de equivalencia es el llamado número racional K(1,2), también conocido
como la fracción 2
1.
Análogamente
K(0,1) = {(0, 𝑦) / 𝑦 ∈ 𝑍 ∗ }
Es decir
0 ∈ 𝑄 → K(0,1) = {… , (0, −2), (0, −1), (0,1), (0,2), (0,3), … )}
24
Esta clase de equivalencia es el llamado número racional K (0,1), también conocido
como el número racional 0, cero. Y como fracción 1
0.
Mendoza (2017) afirma que “es claro que, dado un elemento de Z x Z*, sus
equivalentes se obtienen multiplicando ambas componentes por todos los enteros distintos
de cero” (p. 100).
Según Mendoza (2017) “un conjunto de índices está dado por la totalidad de los
pares (p, q) de elementos coprimos, tales que p ∈ Z y q ∈ Z+” (p. 34).
Definición
Figura 5. Número racional . Fuente: Autoría propia
Armando (1981) señala “Los números racionales es el cociente de Z x Z* por la
relación de equivalencia ≈ 𝑄 ≈ Z x Z ∗; para denotar los números racionales, es decir, las
clases K(p,q) de acuerdo con la definición del conjunto de índices, se escribe 𝑝
𝑞.” (p. 44).
Según Carlos (2017) “excluyendo el caso obviamente, en que q sea cero, ¿por qué?
Pues, no se puede dividir por cero” (p. 89).
25
Por ejemplo:
Figura 6. Ejemplo. Fuente: Autoría propia
26
Capítulo III
Adición y multiplicación en Q
3.1 Operaciones en Z x Z* y compatibilidad en Q
En Z x Z* definimos la adición y multiplicación mediante
+: (Z x Z*) x (Z x Z*) ⟶ Z x Z*
(a, b); (a’, b’) ⟶ (a, b) + (a’, b’)
Definido por:
(a, b) + (a’, b’) = (ab’ + ba, bb’)
∴ (Z x Z*) x (Z x Z*) ⟶ Z x Z*
(a, b), (a’, b’) ⟶ (a, b’) ∙ (a’, b’)
Definido por:
(a, b) ∙ (a’, b’) = (aa’, bb’)
La verificación es muy fácil ya que las leyes que forman la parte interna en Z x Z*
son asociadas, y conmutativas, pero la 2da distributiva depende dela 1ra.
i. (Z x Z*, +) es asociativa
∀(a, b); ∀(a’, b’); ∀(a”, b”) ∈ Z x Z*
[(a, b) + (a’, b’)] + (a”, b”) = (a, b) + (a, b) + [(a′, b′) + (a", b")]
27
Demostración
Resolviendo
[(𝑎, 𝑏) + (a′, b′)] + (a", b") = (𝑎, 𝑏) + [(a′, b′)] + (a", b")
= (𝑎𝑏′ + 𝑏𝑎′; 𝑏𝑏′) + ( a", b") = (𝑎, 𝑏) + (a′b" + b′a", b′b")
= [(𝑎𝑏′ + 𝑏𝑎′)𝑏" + 𝑏𝑏′a", bb′b"] = [𝑎𝑏′𝑏" + 𝑏(a′b" + b′a"), bb′b"]
= [𝑎𝑏′𝑏+ba'b"+bb′a, bb′b"] = [𝑎𝑏′𝑏" + 𝑏a′b" + bb′a", bb′b"]
∴ (Z x Z*, +) es asociativa por transitividad
ii. (Z x Z*, +) es conmutativa
∀(a, b); ∀(a’, b’) ∈ Z x Z*: (a, b) + (a’, b’) = (a′, b′) + (a, b)
Demostración
Resolviendo
Tomemos (a, b) + (a′, b′) en Z x Z*
( 𝑎𝑏′ + 𝑏𝑎′, 𝑏𝑏′) = (a′ b + b′𝑎, 𝑏𝑏′)
= (ba′ + ab′, bb′)
= (ab′ + ba′, bb′)
∴ (Z x Z*, +) es conmutativa por transitividad
También es sencilla la verificación de que la ley de composición interna
(multiplicación) en Z x Z* es asociativa y conmutativa.
iii. La segunda ley es distributiva respecto a la primera
∀(a, b); ∀(a’, b’) ∈ Z x Z*:
(a, b)x [(𝑎′, 𝑏′) + (𝑎", 𝑏")] = (𝑎, 𝑏)𝑥(a′b′) + (a, b)x(a", b")
28
Demostración:
Resolviendo
(𝑎, 𝑏)[(a′, b′) + (a", b")] = (𝑎, 𝑏)𝑥(a′, b′) + (a, b)x(a", b")
= (𝑎, 𝑏)𝑥[ a′, b" + b′a", bb"] = (aa′, bb′) + (ab", bb")
= 𝑎(𝑎′𝑏" + 𝑏′𝑎"), 𝑏(𝑏′𝑏") = (𝑎𝑎′𝑏𝑏+ aa"𝑏𝑏′, bb′bb")
= 𝑎𝑎′𝑏"+ ab'a", bb′b" = 𝑎𝑎′𝑏" + a′a"b′, bb′b"
= 𝑎𝑎′𝑏" + aa"b′, bb′b"
∴ (Z x Z*, +) es distributiva por transitividad
Según Mendoza (2017) esto se da “al verificar que estas leyes de composición
interna en Z x Z* son asociativas, conmutativas y la segunda distributiva respecto a la
primera” (p. 77).
Por otra parte, Carlos (s.f.) afirma que “la relación de equivalencia ya definida en
(1) es compatible con la Adición y la Multiplicación en Z x Z*” (p. 67). En efecto:
i) Por la definición de la relación de equivalencia en Z x Z*
(𝑎, 𝑏) ≈ (𝑐, 𝑑) ⋀ (𝑎′, 𝑏′) ≈ (𝑐′, 𝑑′) ⇒
(𝑎, 𝑏) + (𝑎′, 𝑏′) ≈ (𝑐, 𝑑) + (𝑐′, 𝑑′)
En efecto:
(𝑎, 𝑏) ≈ (𝑐, 𝑑) ∧ (𝑎′, 𝑏′) ≈ (𝑐′, 𝑑′) ⇒ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 ∧ 𝑎′𝑑 = 𝑏′𝑐′
Multiplicando estas igualdades por b’d’ y bd, respectivamente, tenemos:
𝑎𝑑𝑏′𝑑′ = 𝑏𝑐𝑏′𝑑′ ∧ 𝑎′𝑑′𝑏𝑑 = 𝑏′𝑐′𝑏𝑑
Sumando:
𝑎𝑑𝑏′𝑑′ + 𝑎′𝑑′𝑏𝑑 = 𝑏𝑐𝑏′𝑑′ + 𝑏′𝑐′𝑏𝑑
Por distributividad en (Z, +, x)
(𝑎𝑏′ + 𝑏𝑎′)𝑑𝑑′ = (𝑐𝑏′ + 𝑑𝑐′)𝑏𝑏′
29
Por definición de la relación de equivalencia en Z x Z*
(𝑎𝑏′ + 𝑏𝑎′, 𝑏𝑏′) = (𝑐𝑑′ + 𝑑𝑐′, 𝑑𝑑′)
Por definición de adición en Z x Z*
(𝑎, 𝑏) + (𝑎′, 𝑏′) ≈ (𝑐, 𝑑) + (𝑐′, 𝑑′)
Lo que prueba la compatibilidad de la relación de equivalencia respecto de la
Adición en Z x Z*
3.2 Adición y multiplicación en Q
Bagoly (2018) afirma que “dado que la relación de equivalencia es compatible con
las leyes de composición interna definidas en Z x Z*” (p. 89) y de acuerdo con el teorema
de Walter (1821):
La importancia de entendimiento, que hay en los conjuntos de cociente Q has 2
normas de componer que son las internas incitadas, que se llaman adición y
multiplicación de los racionales, siendo las únicas que dan como resultado la
aplicación canónica f: Z x Z* ⟶𝑍𝑥𝑍∗
≈= 𝑄 (p. 87).
Aplicación canónica f: Z x Z* ⟶𝑍𝑥𝑍∗
≈= 𝑄, es un homomorfismo:
3.2.1 Adición en Q.
La Adición en Q es la L.C.I. – T.D.
ʘ: Q x Q ⟶ Q
(K(a, b), K(a’,b’)) ⟶ K(a,b)
Definida por: K(a, b) ʘ K(a, b) = K((a,b)+(ar,br))
30
Homomorfismo de (Z x Z*, +) en (Q, ʘ )
Se establece la aplicación canónica:
f: Z x Z* ⟶𝑍𝑥𝑍∗
≈= 𝑄
(𝑎, 𝑏) ⟶ 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑘(𝑎, 𝑏)
𝑓((𝑎, 𝑏) + (𝑎′, 𝑏′)) = 𝑓(𝑎, 𝑏) ʘ 𝑓(𝑎′, 𝑏′)
En efecto:
𝑓((𝑎, 𝑏) + (𝑎′, 𝑏′)) = 𝑓(𝑎𝑏′ + 𝑏𝑎′, 𝑏𝑏′)
= 𝑘(𝑎𝑏′ + 𝑏𝑎′, 𝑏𝑏′)
= 𝑘((𝑎, 𝑏′) + (𝑎′, 𝑏′))
= 𝑘(𝑎𝑏′) ʘ 𝑘(𝑎′, 𝑏′)
= 𝑓(𝑎, 𝑏′) ʘ 𝑓(𝑎′, 𝑏′)
∴ l.q.q.d.
1. Multiplicación en Q
La multiplicación en Q es la L.C.I. – T.D.
ϫ : Q x Q → Q
(K(a, b), K (a’, b’)) ⟶ K(a, b) ϫ K (a’, b’)
Definida por: K(a, b ) ϫ K (a’, b’) = K ((a, b) + (a’, b’))
31
3.3 Homomorfismo de (Z x Z*, x) en (Q, ϫ)
Se establece la aplicación canónica:
f: Z x Z* ⟶𝑍𝑥𝑍∗
≈= 𝑄
(𝑎, 𝑏) ⟶ 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑘(𝑎, 𝑏)
𝑓((𝑎, 𝑏) 𝑥 (𝑎′, 𝑏′)) = 𝑓(𝑎, 𝑏) ϫ 𝑓(𝑎′, 𝑏′)
En efecto:
𝑓((𝑎, 𝑏) 𝑥 (𝑎′, 𝑏′)) = 𝑓(𝑎𝑎′, 𝑏𝑏′)
= 𝑘(𝑎𝑎′, 𝑏𝑏′)
= 𝑘((𝑎, 𝑏) 𝑥 (𝑎′, 𝑏′))
= 𝑘(𝑎, 𝑏) ϫ 𝑘(𝑎′, 𝑏′)
= 𝑓(𝑎, 𝑏) ϫ 𝑓(𝑎′, 𝑏′) ∴ l.q.q.d.
La realización de la Adición y Multiplicación en Q es la siguiente:
i. En la Adición
(−2
3) +
5
6
= K(-2,3) + K(5,6)
= f(-2,3) + f(5,6)
= f [(−2,3) + (5,6)]
= f [−2 𝑥 6 + 3 𝑥 5,3 𝑥 6]
= f [−12 + 15,18]
= f (3,18)
32
= f (1,6)
= K (-2,3)
= 1
6
ii. En la Multiplicación:
(−2
3) .
5
6
= f (-2,3) . f (5,6)
= f[(−2,3) . (5,6)]
= f (-2 x 5,3 x 6)
= f (-10,18)
= f (-5,9)
= K (-5,9)
= −5
9
Según Mendoza (2017) afirma que “la definición de aplicación canónica, el
homomorfismo y las definiciones de adición y multiplicación en Z x Z*. Por el mismo
teorema fundamental, las operaciones inducidas en Q son conmutativas y asociativas” (p.
76).
Investigamos la existencia de elemento neutro para la Adición en Q, se trata de
determinar, si existe K(x, y) tal que cualquiera que sea K(a, b) se verifique:
∀K(a, b) ∈ Q, ∃ K(x, y): K(a, b) + K(x, y) = K(a, b)
En efecto:
K(a, b) + K(x, y) = K(a, b)
⇒ f (a, b) + f(x, y) = f(a, b)
33
Por definición de aplicación canónica
Por ser f un homomorfismo
f [(a, b) + (x, y)] = 𝑓(𝑎, 𝑏)
Por Adición en Z x Z*
f (𝑎𝑦 + 𝑏𝑥, 𝑏𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏)
Por definición de aplicación canónica
Por definición de la relación de equivalencia
aby + b²x = aby
Cancelando en (Z, +) se tiene b²x = 0, y como b ≠ 0 resulta x = 0, y en
consecuencia neutro para la Adición en Q, es
𝐾(0, 1) = 0
1
∴ Si existe el elemento neutro para la adición en Q
El inverso aditivo u opuesto de 𝐾(𝑎, 𝑏) 𝑒𝑠 𝐾(−𝑎, 𝑏)
∀K(a, b) ∈ Q, ∃ K(−a, b) ∈ Q ∶ K(a, b) + K(x, y) = K(0, 1)
K(a, b) + K(−a, b)
f (𝑎, 𝑏) = 𝑓(−𝑎, 𝑏)
f (𝑎, 𝑏) = 𝑓(−𝑎, 𝑏)
= f [(𝑎, 𝑏) + (−𝑎, 𝑏)]
= f (𝑎𝑏 − 𝑎𝑏, 𝑏𝑏)
= f (0, 𝑏𝑏)
= f (0, 1)
34
= K (0, 1)
= 0
1
∴ Si existe el inverso aditivo en Q
Concluimos así que (Q, +) es un grupo abeliano.
Según Bagoly (2018) “con relación a la Multiplicación en Q, ya hemos visto que es
una ley de composición interna asociativa y conmutativa” (p. 100).
Además, Baginski (1982) afirma que “existe elemento identidad o unidad;
𝐾(1, 1) = 1
1 y todo racional no nulo 𝐾(𝑎, 𝑏) admite inverso multiplicativo o recíproco
𝐾(𝑎, 𝑏) ; la comprobación queda como ejercicio” (p. 99).
Entonces (Q – {0}, x ) es grupo abeliano.
Teniendo en cuenta, además, la distributividad de la Multiplicación respecto de la
Adición, resulta:
(Q, +, x ) el cuerpo de los números racionales.
3.4 Orden en Q
Concepto
Bagoly (2018) afirma que “todo racional puede representarse como una fracción de
denominador positivo” (p. 65).
Definimos en Q la relación ≤ mediante.
𝑥
𝑦 ≤
𝑥′
𝑦′ ⇔ 𝑥𝑦′ ≤ 𝑦𝑥′
35
Es claro que
0 ≤ 𝑥
𝑦 ⇔ 0 ≤ 𝑥 ⇔ 𝑥𝑦 ≥ 0
La relación (1) satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva:
i. Reflexividad:
∀𝑥
𝑦 ∈ 𝑄 ⇒
𝑥
𝑦 ≤
𝑥
𝑦
En efecto:
𝑥
𝑦 ≤
𝑥
𝑦
⇒ 𝑥𝑦 ≤ 𝑥𝑦
⇒ 𝑥
𝑦 ≤
𝑥
𝑦
∴ Es reflexiva
ii. Antisimétrica:
∀𝑥
𝑦 ∀
𝑥′
𝑦′ ∈ 𝑄 ∶ 𝑥
𝑦 ≤
𝑥′
𝑦′ ∧ 𝑥′
𝑦′ ≤ 𝑥
𝑦 ⇒
𝑥
𝑦 =
𝑥′
𝑦′
En efecto:
𝑥
𝑦 ≤
𝑥′
𝑦′ ∧
𝑥′
𝑦′
⇒ 𝑥𝑦′ ≤ 𝑦𝑥′ ∧ 𝑥′𝑦 ≤ 𝑦′𝑥
⇒ 𝑥𝑦′𝑥′𝑦 ≤ 𝑦𝑥′𝑦′𝑥
⇒ 𝑥𝑦′𝑥′𝑦 = 𝑦𝑥′𝑦′𝑥
⇒ 𝑥
𝑦 ≤
𝑥′
𝑦′
∴ Es antisimétrica
36
iii. Transitiva:
∀𝑥
𝑦 ∀
𝑥′
𝑦′ ∀
𝑥"
𝑦" ∈ 𝑄 ∶
𝑥
𝑦 ≤
𝑥′
𝑦′ ∧
𝑥′
𝑦′ ≤
𝑥"
𝑦" ⇒
𝑥
𝑦 ≤
𝑥"
𝑦"
En efecto:
𝑥
𝑦 ≤
𝑥′
𝑦′ ∧
𝑥′
𝑦′ ≤
𝑥"
𝑦"
⇒ 𝑥𝑦′ ≤ 𝑦𝑥′ ∧ 𝑥′𝑦" ≤ 𝑦′𝑥"
⇒ 𝑥𝑦′𝑥′𝑦" ≤ 𝑦𝑥′𝑦′𝑥"
⇒ 𝑥𝑦" ≤ 𝑦𝑥"
⇒ 𝑥
𝑦 ≤
𝑥"
𝑦"
∴ Es transitiva
Según Bagoly (2018b) “en consecuencia (1) caracteriza un orden amplio y total en
Q, la relación ≤ es compatible con la Adición y Multiplicación en Q” (p. 45). En el
sentido siguiente:
i) 𝑎
𝑏 ≤
𝑎′
𝑏′ ⇒ 𝑎
𝑏 +
𝑐
𝑑 ≤
𝑎′
𝑏′ + 𝑐
𝑑
𝑎
𝑏 ≤
𝑎′
𝑏′
En efecto:
⇒ 𝑎𝑏′ ≤ 𝑎′𝑏
⇒ 𝑎𝑏′𝑑² ≤ 𝑎′𝑏𝑑²
⇒ 𝑎𝑏′𝑑2 + 𝑏𝑐𝑏′𝑑 ≤ 𝑎′𝑏𝑑2 + 𝑏𝑐𝑏′𝑑
⇒ 𝑎𝑏′𝑑𝑑 + 𝑏𝑐𝑏′𝑑 ≤ 𝑎′𝑏𝑑𝑑 + 𝑏𝑐𝑏′𝑑
⇒ (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑏′𝑑 ≤ (𝑎′𝑑 + 𝑏′𝑐)𝑏𝑑
⇒𝑎𝑑 + 𝑏𝑑
𝑏𝑑 ≤
𝑎′𝑑 + 𝑏′𝑐
𝑏′𝑑
∴ Lo que prueba la compatibilidad de la relación definida en (1)
respecto de la Adición en Q.
37
ii) 𝑎
𝑏 ≤
𝑎′
𝑏′ ∧ 𝑐
𝑑 > 0 ⇒
𝑎𝑐
𝑏𝑑 ≤
𝑎′
𝑏′ .𝑐
𝑑
𝑎
𝑏 ≤
𝑎′
𝑏′
En efecto:
⇒ 𝑎𝑏′ ≤ 𝑎′𝑏
⇒ 𝑎𝑏′𝑐𝑑 ≤ 𝑎′𝑏𝑐𝑑
⇒ (𝑎𝑐)(𝑏′𝑑) ≤ (𝑎′𝑐)(𝑏𝑑)
𝑎𝑐
𝑏𝑑 ≤
𝑎′𝑐
𝑏′𝑑
𝑎
𝑏.𝑐
𝑑 ≤
𝑎′
𝑏′.𝑐
𝑑
∴ Lo que prueba la compatibilidad de la relación definida en (1) respecto de la
multiplicación en Q.
Además:
𝑐
𝑑 > 0 ⇔ 0 ≤
𝑐
𝑑 ∧
𝑐
𝑑 ≠ 0
3.5 Sustracción y división en Q
✓ Sustracción en Q:
Definición: Se llama sustracción en Q a la correspondencia unívoca de Z x Z* en Q,
que a cada par ordenado (a, b) y (c, d) le hace corresponder su diferencia
𝑎
𝑏−
𝑐
𝑑
Con esto se define también la sustracción de números racionales como la operación
inversa de la adición de números.
38
✓ División en Q:
Definición: Se llama sustracción en Q a la correspondencia unívoca de Z x Z* en
Q, que a cada par ordenado (a, b) y (c, d) de dos números racionales le hace corresponder
su cociente:
𝑎
𝑏 ÷
𝑐
𝑑
La división se denomina también operación inversa de la multiplicación.
39
Capítulo IV
Densidad en Q
4.1 Definición
Bagoly (2018) señala que “los números racionales cumplen la propiedad de la densidad, la
cual dice que para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional
situado entre los dos en la recta real” (p. 65).
Además, son densos, o sea que entre dos racionales distintos, siempre cabe otro
racional
4.2 Relación menor
𝑎
𝑏<
𝑐
𝑑↔
𝑎
𝑏 ≤
𝑐
𝑑∧
𝑎
𝑏≠
𝑐
𝑑
Definición
Un cuerpo k es denso respecto de la relación < si y solo si
𝑥 < 𝑦 →∋ 𝑧 ∈𝐾
𝑥< 𝑧 < 𝑦
40
Propiedad.
“El conjunto Q es denso con la relación <. trata de probar que entre dos racionales
distintos existe otro. Para esto demostramos que, sumando los numeradores y
denominadores de dos racionales distintos, se obtiene otro comprendido entre los mismos”
(Bagoly, 2018, p.66).
Hipótesis
𝑎
𝑏<
𝑐
𝑑
Tesis
𝑎
𝑏<
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑<
𝑐
𝑑
Demostración:
𝑎
𝑏<
𝑐
𝑑
→ 𝑎𝑑 < 𝑏𝑐
→ 𝑎𝑑 + 𝑎𝑏 < 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 ∧ 𝑎𝑑 + 𝑐𝑑 < 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑
→ 𝑎(𝑏 + 𝑑) < 𝑏(𝑎 + 𝑐) ∧ (𝑎 + 𝑐)𝑑 < (𝑏 + 𝑑)𝑐
→𝑎
𝑏<
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑 ∧
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑<
𝑐
𝑑
→ 𝑎
𝑏<
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑 <
𝑐
𝑑
41
i) Idem entre −3
2𝑦
3
2
Se tiene
−3
2< −
4
3< −1 < −
1
2< 0 < 0
3
2
4.3 Representación decimal de números racionales
Fraccionarios (Q+)
Partimos para ello de que todos los números fraccionarios z = cumplen esa condición;
cuando 0 < b
a
< 1.
De esto se infiere que es necesario analizar las pequeñas potencias de base 10, como 100
= 1, para poder expresar tales números fraccionarios en notación decimal (Walter, 1982).
Determinamos que:
42
0,1 es la notación de 1
1 1;
10 10=
0,01 es la notación de 2
1 1;
100 10=
0,001 es la notación de 3
1 1;
1000 10=
Las fracciones de la forma 1
10𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑁∗ las denominamos fracciones decimales.
Solo falta determinar si siempre existe, para cualquier número fraccionario z = b
a
con a <
b, un representante cuyo denominador sea una fracción decimal (Walter, 1982).
Teorema
Sea 𝑧 ∈ 𝑄+y [a; b] un representante [c; d] de z con d = 10n, n N si y solo si b =
2P . 5P con p,q N
Ejemplo 1:
Sea z1 = 2
1
[1; 2] es entonces un representante de z1, siendo 2 = 21 . 50
Según el teorema, existe entonces un representante de z1 cuyo denominador es una
potencia de base 10 con exponentes naturales.
[c ; d] = [5;10] o’ [c1 ; d1 ] = [50 ; 100] ó ….
Por tanto: 1
1 5 5z
2 10 100= = =
Escribimos: 1
1z 5 .
10=
ó más brevemente z1 = 0,5; …
43
Ejemplo 2:
Sea z3 = 140
31
[31; 140] es un representante de z3, siendo 140 = 22 . 51 . 7 por eso no existe, según
el teorema, ningún representante de z3, cuyo denominador sea una potencia de base 10.
Según nuestras consideraciones anteriores no se+ puede hacer ninguna presentación
de z3 = 140
31
en notación decimal
Para un número fraccionario como ese hacemos el procedimiento siguiente:
𝑧3
31
140=
2.14
140+
3
140
= 2.14
140+
30
140
=2.14
140=
2.14
1400+
2
140
=2.14
140=
2.14
1400+
1.14
14000+
6
14000= …
𝑧3
31
140=
2
10+
2
100+
1
1000+ ⋯
En la conclusión de ese proceso tenemos:
z3 = 0,221428571428571…
44
De esta forma indicamos que la cifra obtenida, 1428571, se repite
consecutivamente. Escribimos brevemente: z3 = 0,22142857 y leemos “0 como 2-2-1-4-
2-8-5-7 período (1-4-2-8-5-7)”
Sabemos del teorema que este desarrollo no puede ser finito, ya que para el número
fraccionario
31
140 no existe ninguna representación de z3 mediante una fracción decimal.
z3 puede ser representada solamente por un desarrollo infinito. Esto debe ser así para cada
número fraccionario, pues cuando hacemos una descomposición del número fraccionario,
considerado en una suma de dos fracciones, de forma tal, que uno de los sumandos sea
siempre una fracción decimal, entonces debemos formar en el numerador de este sumando
un producto cuyo factor m (en el ejemplo m = 14) es siempre una 10n partes del
denominador. El otro factor debe ser entonces menor que m, para que este factor existen
solamente finitas posibilidades, a lo sumo m -1.
Después del paso (m - 1) del procedimiento debe hacer una repetición de la
presentación del producto en el numerador, la cual requiera un desarrollo continuo
periódico.
En esto se pone de manifiesto que el proceso de la división escrita, explicado en la
escuela, depende de ese desarrollo. Esto significa que podemos lograr también, con ayuda
de ese algoritmo, un resultado análogo, y necesariamente de una forma rápida. Ahora bien,
se debe tener claro que no puede decir nada más, que se dividen los números naturales 31
y 140, y se obtiene el número fraccionario dado en la escritura decimal (Walter, 1982).
45
4.4 Las expresiones decimales
Un número fraccionario, expresado en notación decimal, se denomina expresión decimal.
Luego explicaremos la conversión de expresiones decimales en los números
fraccionarios correspondientes.
Para el caso de las fracciones decimales finitas, esto es sencillo.
z = 3,75 = 3 + 0,75
0.75 = 70.1
1005.
1
100=
75
100
Por tanto: 3 + 0,75 =
300 75 375
100 100 100+ =
Para el caso de las fracciones decimales finitas (no periódicas) el proceso representado en el
siguiente ejemplo es siempre posible:
z = 0,712
z = 0,712 = 0,71212
100z = 71,212 = 71,21212…
99z = 70,5
990z = 705
z = 705 47
990 63=
La validez de un proceso semejante se puede demostrar fácilmente. Ante todo se
debe demostrar cómo se puede calcular con las fracciones decimales, especialmente con
las periódicas, pero no vamos a hacer estas condiciones (Walter, 1982).
46
4.5 Representación decimal de los números racionales (Q)
La escritura para los números racionales es:
Si r es positivo: r = +z
Si r es negativo: r = -z
Con esto se utilizan, para z, precisamente las cifras que sirven también para las
notaciones de los números fraccionarios. Utilizamos para la representación de los números
racionales en el sistema decimal.
Ejemplo:
𝑟1=+1637
9900 ó 𝑟1 = +0,1653
𝑟2= − 1
2 ó 𝑟2 = −0,5
47
Capítulo V
Generatriz
5.1 Generatriz de una expresión decimal periódica
Se llama generatriz de una expresión decimal periódica, al número racional que le ha dado origen.
Ejemplos:
a.
1
7 es la generatriz de 0.142857
b. La generatriz de3.42 , es
308
90
5.2 Generatriz de una expresión decimal exacta
Definición. Se llama expresión decimal exacta a toda expresión con período 0
Ejemplos:
a. 89.56740 ó simplemente 89.5674 es exacta.
b. 837.0 = 837
c. 0.5 = 0.50
48
Regla: Según Mendoza (2017) “para hallar la generatriz de una expresión decimal exacta, se
escribe la expresión sin punto decimal y como denominador se coloca la unidad seguida de tantos
ceros como cifras tiene la parte decimal (antes del período)” (p. 77).
Ejemplos:
a. La generatriz de 3.45 es
345
100
b.
7895
100 es generatriz de 78.95
(No olvidar que 4.5 = 4.50 y que 73 = 73.0 )
5.3 Generatriz de una expresión decimal periódica pura
Se llama expresión decimal periódica pura a toda expresión cuyo período,
diferente del 0, aparece inmediatamente después del punto decimal (Mendoza, 2017).
Ejemplos:
a. 5.73
b. -468.234765
Resulta así que una expresión decimal periódica pura consta de la parte entera, el
punto decimal y el período. Ya hemos representado con z a la parte entera.
Representaremos con P al periodo. En consecuencia, una expresión decimal periódica pura
es de la siguiente forma: i (Mendoza, 2017).
z.P
49
Regla:
Para encontrar la generatriz de una expresión decimal periódica pura z.P , se utiliza
la fórmula siguiente:
Si n
Pz 0, z . P z
10 1 = +
−
Donde n es el número de cifras del período. Aplicación:
Calcular la generatriz de 5.23
Solución:
23 23 5185.23 5 5
99 99 99= + = =
El número 99 resulta así:
10n - 1 = 102 - 1 = 100 - 1 = 99
Puesto que el número, n, de cifras del período es 2.
5.4 Generatriz de una expresión decimal periódica mixta
Se llama expresión decimal periódica mixta a toda expresión decimal cuya parte decimal
está constituida por una parte no periódica seguida por el período.
Si representamos con N a la parte no periódica podremos decir que una expresión
decimal periódica mixta es de la forma: z . N P (Mendoza, 2017).
50
Ejemplos:
a. 5.4785
b. 1.678.4361852
c. 0.234156824132
Regla: Para calcular la generatriz de una expresión decimal mixta, z.N P , se usa la
siguiente fórmula:
m n
NP NSi z 0, z . N P z
(10 1)10
− = +
−
Donde n es el número de cifras de la parte no periódica y m es el número de cifras de
la parte periódica.
Ejemplos:
a. La generatriz de
51 318 3 3152.318, es pues 2.318 2 2
22 990 990
−= + = +
105 7 512 2
330 22 22= + = + =
El número 990 resultó de:
(10m– 1)10n = (102 - 1)101 = (100 - 1)10 = 99 x 10 = 990
b. La generatriz de0.17327 , es
557
3330
Pues:
17327 17 17310
0.17327999000 99900
−= =
557
3330=
El número 99900 resultó así:
(10m - 1)10n = (103 - 1)102 = 999 x 100 = 99900
51
Capítulo VI
Didáctica del sistema de números racionales
Los números racionales son utilizados desde la antigüedad, tal como lo muestra el papiro
de Rhind, el documento más antiguo que existe de las matemáticas egipcias, donde
aparecen operaciones aritméticas que incluyen números racionales como fracciones
unitarias en problemas de medida y de reparto. Según Mendoza (2017) “en el antiguo
Egipto se hacían cálculos utilizando fracciones con numerador uno y denominador un
entero positivo, representadas con el jeroglífico de la boca abierta que representaba el
número uno como numerador” (p. 56).
Ruiz (2011) afirma:
Dichos números que son llamados racionales se expresan de 2 maneras diversas,
como fracción y como decimales, siendo escritas de manera fraccionaria que tiene
como inicio las interacciones con la geometría y la aritmética siendo su utilización
para poder medir magnitudes como por ejemplo el tiempo y la notación decimal (p.
100).
52
Centeno (1998) dice que “la representación de los números racionales en forma de
fracción es la más usual en los libros de texto, de allí que la mayoría de los problemas en la
enseñanza y aprendizaje de los racionales surge en este aspecto” (p. 89).
Según Baginsky (1982) “el autor recalca que la dificultad inicia cuando el alumno
afronta a estudiar las fracciones y que no tiene ningún conocimiento anterior referente al
tema” (p. 99).
Mendoza (2017) afirma que “de estas dificultades se habla en un estudio realizado
sobre libros de textos para la enseñanza de los racionales en el nivel de educación
secundaria en España” (p. 78).
Las dificultades en el aprendizaje de las fracciones se deben a la pobreza
conceptual motivada por definir las fracciones a partir del fraccionamiento de la unidad,
como un solo número; de allí que también se tengan dificultades para entender la
equivalencia entre ellas, pues una fracción es una pareja de números (Bagoly, 2018).
Al investigar la comprensión del número racional positivo, encuentran que los
estudiantes de secundaria tienen un conocimiento impreciso de número racional;
consideran que los racionales están formados por cocientes de números enteros sin tener
conciencia del porqué el denominador es diferente de cero (Bagoly, 2018).
Por otra parte, Pruzzo (2012) estudia los problemas en la enseñanza y aprendizaje
de las fracciones, comparando el aprendizaje esperado con el desempeño del estudiante en
el nivel educativo secundario.
53
Díaz (1998) coincide en afirmar que:
Algunos estudiantes presentan dificultades para comprender el concepto de número
racional como un número formado por otros dos números; además de esto, es de
amplio conocimiento que los textos escolares y las creencias de los profesores sobre
la matemática repercuten en los procesos de enseñanza y aprendizaje, cuando los
racionales se presentan de esta manera, determinando los contenidos del currículo de
matemática (p. 89).
6.1 Enfoque parte – todo
Es el significado manifestado al considerar la fracción a/b como la relación existente entre
dos cantidades específicas a y, donde b es el número de partes en las que se divide el todo
o unidad presentado en forma discreta o continua, y a es el número de partes tomadas del
todo.
Se conviene entonces que el denominador de la fracción indica el número de partes
en que está dividido dicho entero y el numerador las partes consideradas, haciéndose el
paso de lo concreto a la representación matemática; así, la idea inicial de fracción consiste
en dividir un todo en partes iguales o congruentes; ya sea discreto cuando involucra
colecciones de objetos, o continuo si el todo es un segmento, un área o un volumen
(Kieren, 1980).
6.2 Enfoque como operador
Carlos (s.f.) sostiene que se “hace actuar a la fracción como transformador o función
de cambio de un determinado estado inicial; así, la fracción a/b empleada como operador,
54
es el número que modifica un valor particular n multiplicándolo por a y dividiéndolo por
b” (p. 57).
La composición de operadores que definen la acción de m/n sobre la cantidad
puede ser entendida como multiplicar por m y dividir entre n , o dividir entre n y
multiplicar por m ; de acuerdo con lo anotado, el número racional como operador le da un
significado funcional a la preposición de, y justifica el significado de función, actuando
sobre un número modificándolo.
6.3 Enfoque como medida
La fracción a/b resulta de dividir la unidad en b partes iguales y tomar solamente a partes
de ella; así de esta manera, al decir la mitad de un tercio, se está describiendo una cantidad
o un valor de magnitud por medio de otro.
Según Díaz (1998), respecto “a las representaciones de los números racionales, se
ha encontrado que las fracciones pueden representarse de manera geométrica, discreta,
numérica y literal” (p. 99).
55
Aplicación Didáctica
Sesión de aprendizaje
I.- Datos informativos:
1.1. Institución Educativa : I.E.P.
1.2. Nivel : Secundaria
1.3. Grado y Sección : Primero “A”
1.4. Área : Matemática
1.5 Nombre de la Unidad : “Conociendo el conjunto de los números racionales”
1.6 Nombre de la sesión : Elaboramos el presupuesto familiar
1.7 Duración (en minutos) : 90 minutos
II.- Aprendizajes esperados:
III. Secuencia didáctica
Inicio (10 minutos)
Competencia Capacidades Indicadores
- Actúa “y piensa
matemáticamente en
situaciones de
cantidad.”
- Comunica y
representa ideas
matemáticas.
- Emplea “estrategias
heurísticas, recursos gráficos
y otros, para resolver
problemas relacionados al
aumento o descuento
porcentual sucesivo.”
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- Los estudiantes responden a las interrogantes a manera de lluvia de ideas, y luego,
muestran y comentan el presupuesto elaborado en el Formato de la Superintendencia
de Banca y Seguros y AFP (Opción 1 - archivo adjunto; opción 2 - hoja impresa) que
fue encargado la clase anterior.
Para continuar la sesión, el docente plantea las siguientes pautas que serán consensuadas
con los estudiantes:
Desarrollo (60 minutos)
- El docente plantea situaciones que permitan realizar operaciones empleando
estrategias.
- Los estudiantes, organizados en grupos, desarrollan la Actividad 1: Consignando
los presupuestos familiares (Anexo 1). La actividad consiste en simular un
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presupuesto para el presente mes empleando la tabla 1 de un integrante del grupo,
considerando los montos del presupuesto del mes anterior y empleando el Formato
de la Superintendencia de Banca y Seguros y AFP asumiendo que: (Opción 1 -
Archivo adjunto; opción 2 - hoja impresa).
a. El alquiler de vivienda subió en un 5%.
b. Los servicios básicos (agua, energía eléctrica, teléfono en casa, teléfono celular,
internet y cable) tuvieron un descuento del 10%.
c. En alimentación y alimentos en horas laborales aumentó 8,5%.
d. En ropa y calzado, entretenimiento y restaurant, tuvieron un descuento del 10%
más el 20%.
Los demás gastos y el pago de deudas se mantienen.
- En base al presupuesto simulado para el presente mes, los estudiantes responden:
a. ¿Cuál es la diferencia del saldo del mes anterior con el saldo del mes actual?
b. ¿En cuánto se incrementa el saldo final si tu papá recibe un aumento del 20% más el 20% por
haber laborado dos domingos en el mes?
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- El docente está atento para orientar a los estudiantes a establecer el presupuesto del mes
anterior y el actual.
Los estudiantes eligen a un representante del equipo para que explique los procedimientos y las
estrategias que han utilizado para realizar el presupuesto familiar.
Cierre (10 minutos)
• El docente promueve la reflexión de los estudiantes sobre la experiencia vivida y
da énfasis a la importancia de elaborar un presupuesto familiar. Luego, refuerza el
aprendizaje de los estudiantes presentándoles el siguiente problema:
1. El Sr. Pérez recibió su sueldo del mes y dispuso que 3/7 se destine para la
educación de sus hijos, 1/7 para alimentación, 1/5 para atención médica y el
resto para el ahorro.
a. ¿Qué parte del sueldo fue destinada para el ahorro?
b. ¿En cuánto se debe incrementar lo dispuesto para alimentación para que
sumado con lo dispuesto para atención médica se iguale a lo dispuesto para
educación?
c. Si el sueldo del Sr. Pérez es de s/. 2 100.00 ¿cuánto destina para el ahorro?
El docente gestiona y acompaña a cada uno de los grupos en la solución del problema y refuerza
las operaciones con los racionales.
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- El docente induce a los estudiantes a llegar a las siguientes conclusiones:
- Además, plantea las siguientes interrogantes: ¿Qué aprendimos? ¿Cómo lo
aprendimos?
¿Nos sirve lo que aprendimos? ¿Dónde podemos utilizar lo que aprendimos?
Fuente: Autoría propia.
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ANEXO 01
FICHA DE TRABAJO 1
Propósito: Obtener el presupuesto del mes que pasó y del actual, considerando los datos de la
actividad.
Integrantes:
Actividad 01: Consignando los presupuestos familiares
1. Considerando los montos del presupuesto del mes anterior y empleando el Formato de la
Superintendencia de Banca y Seguros y AFP, simula un presupuesto para el presente mes
empleando la tabla 01 de un integrante del grupo asumiendo que: (Opción 1 - Archivo adjunto;
opción 2 - hoja impresa)
a. El alquiler de vivienda subió en un 5%.
b. Los servicios básicos (agua, energía eléctrica, teléfono en casa, teléfono celular, internet y
cable) tuvieron un descuento del 10%.
c. En alimentación y alimentos en horas laborales aumentó 8,5%.
d. En ropa y calzado, entretenimiento y restaurant, tuvieron un descuento del 10% más el 20%.
e. Los demás gastos y el pago de deudas se mantienen.
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- Con base en el presupuesto simulado para el presente mes, los estudiantes responden:
a. ¿Cuál es la diferencia del saldo del mes anterior con el saldo del mes actual?
b. ¿En cuánto se incrementa el saldo final si tu papá recibe un aumento del 20% más el 20% por
haber laborado dos domingos en el mes?
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Síntesis
En Z x Z* definimos la relación de equivalencia que verifica: reflexividad, simetría y
transitividad.
Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia existe una partición
de z x z* en clases de equivalencias, cada una de las cuales se llama número racional.
El conjunto de números racionales es el cociente de z x z* por la relación de
equivalencia Q = Z x Z* /
En Z x Z* definimos la Adición y la Multiplicación (estas leyes son asociativas y
conmutativas, y la segunda distributiva respecto a la primera); por otra parte la relación de
equivalencia es compatible con la adición y la multiplicación.
Las operaciones en Q son conmutativas y asociativas, además la multiplicación es
distributiva respecto de la adición.
Para la adición en Q hay existencia del elemento neutro y por lo tanto hablamos de
un inverso aditivo.
(Q +)es un grupo abeliano.
Con relación a la multiplicación en Q se cumple la ley de composición interna,
identidad o unidad multiplicativo asociativa y conmutativa. Existe elemento y todo
racional no nulo admite un inverso multiplicativo.
(Q*,) es grupo abeliano; además con la distributividad de la multiplicación respecto
de la adición resulta (Q, +,.) es el cuerpo de los racionales.
El conjunto Q es denso con la relación <, es decir, que entre dos racionales
distintos se puede intercalar infinitos si el orden está dado por la relación.
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En la sucesión de números racionales existe una correspondencia unívoca (función)
del conjunto de los números naturales en el conjunto de los números racionales.
Los términos de una sucesión tal, los denominadores con an, y a la sucesión por
{an}, donde n es el número o el índice del término.
Una sucesión {an} es convergente, si y solo si existe un número racional de forma
tal que {Ian - ll} es una sucesión nula. Entonces se dice: {an} converge, cuando n tiende a
infinito, al valor l.
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Apreciación crítica y sugerencias
El conjunto de los racionales es el sistema numérico que tiene muchas utilidades en la vida
diaria del ser humano, como cuando tenemos cifras decimales, o al dividir dos números
que no sean múltiplos entre sí, al realizar repartos de objetos, bienes, etc.
Por esa necesidad y utilidad que tenía el hombre, los científicos emprendieron el
estudio y comprensión de los sistemas numéricos, en especial el conjunto de los números
racionales.
El conjunto de los números racionales es tema complejo estudiado por el álgebra
abstracta. Desde luego, como en otras áreas de la ciencia, se requiere poseer conocimientos
previos para entender cabalmente estos conceptos, pues no sólo interviene el álgebra, sino
también conocimientos de análisis como límite; también sobre sucesiones, convergencia de
una sucesión, etc. El estudiante está en la obligación de complementar todos estos
conocimientos para poder entender cómo debe ser este tema que es objeto de la presente
monografía.
Cuando vamos a las aulas explicamos mal a nuestros estudiantes porque no hemos
logrado entender y diferenciar los conceptos de este sistema de números racionales. Nos
corresponde entonces aprovechar al máximo nuestros años de universidad para salir muy
bien formados como profesores de matemática porque a partir de ahora nuestra obligación
es formar buenos estudiantes, como reclama la sociedad.
Todo profesor de matemática cuando revisa libros para educación secundaria se da
cuenta de que en varios, o en casi todos, las definiciones que se dan se caracterizan por un
uso excesivo del lenguaje; si bien este es un recurso que se puede utilizar para que nuestros
alumnos puedan entendernos mejor, lo que importa es que el docente debe ser consciente
de lo que está diciendo y tener muy presente por qué lo está haciendo.
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Sin olvidar nuestra tarea como docentes en la enseñanza, se hace necesario que se
seleccione textos para que nuestros alumnos realicen actividades que promuevan la
construcción de conceptos a partir de sus experiencias.
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Conclusiones
Los Números Racionales son utilizados desde la antigüedad, tal como lo muestra el papiro
de Rhind, el documento más antiguo que existe de las Matemáticas Egipcias, donde
aparecen operaciones aritméticas que incluyen números racionales como fracciones
unitarias en problemas de medida y de reparto. En el antiguo Egipto se hacían cálculos
utilizando fracciones con numerador uno y denominador un entero positivo, representadas
con el jeroglífico de la boca abierta que representaba el número uno como numerador.
Alrededor del año 1000 antes de nuestra era, los babilónicos utilizaban fracciones
cuyo denominador era una potencia de 60, y los romanos trabajaban con fracciones cuyo
denominador era 12.
La representación de los números racionales en forma de fracción es la más usual
en los libros de texto, de allí que la mayoría de los problemas en la enseñanza y
aprendizaje de los racionales surgen en este aspecto, siendo el problema tan antiguo como
dichos números.
Respecto a la problemática señalada existe una diversidad de investigaciones en los
niveles de enseñanza primaria, secundaria y universitaria, y desde diferentes puntos de
vista, donde esta problemática se expone junto con una aproximación a su solución; así por
ejemplo, en los niveles educativos de enseñanza primaria, secundaria y superior.
En resumen, es necesario aprender a usar los racionales desde muchos puntos de
vista.
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Referencias
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edición. La Habana-Cuba: Editorial Pueblo y Educación.
Bagoly C. (2018). Contaminación marina por microplásticos, del mar a nuestra mesa.
Oceana. Recuperado de https://peru.oceana.org
Cabrera, C. y Zúñiga, O. (s.f.). La nueva matemática 2. Lima, Perú.
Centeno J. (1998). Números decimales ¿Por qué? ¿Para qué?. Madrid, España: Síntesis
Editorial, pp. 208.
Díaz L. (1998). Reflexiones didácticas: en torno a fracciones, razones y proporciones.
Grupos profesionales de trabajo. Santiago de Chile, Chile: Ministerio de Educación,
pp. 66.
Lst, G., Walter, M., Baginski, M., Lóschau, G., Mertens, A., Schwanits, G., Glaewe, W.,
Goll, P. (1982). Lógica matemática, teoría de conjuntos y dominios numéricos. 2ª
edición. La Habana, Cuba: Editorial Pueblo y Educación.
Mendoza, E. (2017). Fracciones presentación. Recuperado de
https://www.slideshare.net/EdgarMendozaCrdenas/fracciones-presentacion-
72480774
Mendoza, T. (2007). Estudio didáctico de la noción de porcentaje. (Tesis inédita de
Maestría). México: DIE-CINVESTAV-IPN.
Ministerio de Educación de Chile (2017). Fracciones de la unidad. Recuperado de
https://www.curriculumnacional.cl/614/w3-propertyvalue-58004.html
Pinterest.
68
Pruzzo V. (2012). Las fracciones: ¿Problema de aprendizaje o problemas de enseñanza?
Pilquen. 14(8):1-14.
Rojo, A. (1981). Álgebra 1. Buenos Aires: El Ateneo.
Ruiz C. (2011). Sobre el origen de los números decimales. Universidad Nacional de
Colombia. Recuperado de http://carc1975.files.wordpress.com/2011/11/sobre-el-
origen-de-los-nc3bameros-decimales.pdf
