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El teorema fundamental del cálculo. El teorema fundamental del cálculo. El teorema fundamental del cálculo. El teorema fundamental del cálculo. El teorema fundamental del cálculo. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales ordinarias. - PowerPoint PPT Presentation
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Definimos la función
donde es una constante
y
es la variable independiente
x
a
F x f d
a
x
x
a
F x f d f x
a
x
Se tiene
x
a
F x f d
dF x f x
dx
b
a
f x dx F b F a
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm F
dt
it m x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm F
dt
it m x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable
0
32 2
3
sin cosdf x
x xf x xdx
dvav x
dt
d y dyx xy y x ydx dx
Una ecuación diferencial es parcial si la función desconocida depende de varias variables
2 2
2
2
2
22
2 2 2 2 2
2
2
, ,, 0
1 1 1sin 4 , ,
sin sin
ˆ
it m x
q x y q x yq x y
x y
r rr r r r r
r
r
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparezca en ella
22
2
3
3
5
0
i
i ii
d f x dfkf x x
dx dx
b at x
d za b
dz
d g p
dp
Segundo orden
Tercer orden
Primer orden
Orden 5
Una solución de una ecuación diferencial
en la función desconocida f(x) y en la
variable independiente x en el intervalo I,
es una función f(x) que satisface la
ecuación diferencial idénticamente para
toda x en I
Ya veremos más adelante ejemplos
Una ecuación diferencial con condiciones
subsidiarias en la función desconocida y sus
derivadas, todas ellas dadas para el mismo
valor de la variable independiente, constituye
un problema de condiciones iniciales (initial-
value problem).
Las condiciones subsidiarias son las
condiciones iniciales.
Si las condiciones subsidiarias se dan para más de
un valor de la variable independiente, el problema
se llama de valores a la frontera (boundary-value
problem) y las condiciones se llaman de frontera
(boundary conditions).
Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función
desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor
de la variable independiente, constituye un problema de condiciones
iniciales (initial-value problem). Las condiciones subsidiarias son las
condiciones iniciales.
,dy
y f x ydx
A xdyy
dx B y
Se dice que es de
variables separables si
,dy
y f x ydx
0
,
0
0
dyB y A x
dxx
dyB y dx A x dx
dx
B y dy A x dx
En este caso
Integramos respecto a
y por la regla de la cadena
A xdyy
dx B y
2
2
31
3
dydx x
dyx
d
dxdx
x
y x x c
3
3
3
3
1
3
1
31
531
23
y x c
y x
y x
y x
es la solución general
es una solución particular
es una solución particular
es una solución particular
2dyx
dx
3
3
0 4
10 0 4,
34.
14
3
y x
y x c
c
y x x
Condición inicial:
Ahora
por lo tanto,
La solución que satisface la condicióninicial es
2 31
3
dyx y x x c
dx ;
31
3y x c
0 i
dva
dt
v t v
con la condición inicial
dv dva dt adt
dt dt
v at c
0 i
dva v t v
dt con la condición inicial
0 i i
i
v t c v c v
v t v at
0 i
dva v t v
dtv at c
con la condición inicial
0 i
i
dva v t v
dtv at c v t v at
con la condición inicial
2 4 6 8 1 0
1 5
1 0
5
5
,,
,
, , 0
, , 0
, , 0
M x ydy dyy f x y
dx dx N x y
dyN x y M x y
dxdy
N x y dx M x y dxdx
N x y dy M x y dx
lim
es un simbolo, no una fracción
y "no existen" independientemente
x x
y x y xdyx
dx x x
dy
dx
dx dy
,,
,
, , 0
, , 0
M x ydy dyy f x y
dx dx N x y
N x y dy M x y dx
N x y dy M x y dx
, , 0N x y dy M x y dx
, , 0
, ,
0
Si y
N x y dy M x y dx
M x y A x N x y B y
B y dy A x dx
0
Solución general:
donde es una constante arbitraria
B y dy A x dx
B y dy A x dx c
c
sin 0
sin
n
0
c s 0
si
o
cos
dy xdx
dy xdx
y x c
dyx
dx
y x c x
sin cos 1,2,3,4,5dyx
dxy x c x c ;
2 4 6 8 1 0
1
2
3
4
5
6
2
2
2
2
2
1/
2
2
exp
exp 0
exp 0
1exp 0
02 2
2
1
erf
erf
xdf
dx f
dff xdxdf
f dx x dxdx
d fdx x dx
dx
x
x
f c
f x c
2
1/ 2exp xdfx
dx ff x c
erf
1 2 3 4
2
3
4
5
6
1,2,3,4,5c
0
0
0
0
ln ln
exp exp exp
0 ex
e
p
0
xp
dN dNkdt k dt c
N NN kt c N c kt
N t c
dN tkN t
kt c
N t N k
N Ndt
kt
N c N
t
0
0
exp
100 1/ 4
N t N kt
N k
ln
;
exp ex
0
exp exp
p
m
m
m
m
m m
dT
dT dTdt dt c
T T T T
T T t c T T c t
tT T
d
T t T c t
t
lim exp exp
.
0
0 exp exp 0 exp
e
e
x
xp; p0 e
x
x
p
e p
Condiciones "finales":
independientemente de
Condiciones iniciales:
m m
i
m
m
m i
i m
m i
m
m
tT T c t T
c
T T
T T c T c T
c T T
T t T T T t
dT tT T
tT t T t
dc
exp
40 60 1/ 4m i m
m i
T t T T T t
T T
0
Solución general:
donde es una constante arbitraria
B y dy A x dx
B y dy A x dx c
c
dy yy f
dx x
ln ln ln /
exp
dy dzy zx z x
dx dx
dz dz dxz x f z
dx f z z x
dz dxx c x c
f z z x
dzx c
f
yz
x
z z
dy yy f
dx x
sin
sin
dy dzy zx z x
dx dxdz
z x z
x
dx
yz
z
dz dxxz
sindy y y
dx x x
sin
ln csc cot lnsin
ln csc cot ln ln ln
csc cot
csc / cot /
dz dx
z xdz dx
z z xz x
z z x c cx
cx z z
cx y x y x
sinsin
dy y y y dz dxz
dx x x x z x
más
2 2
2 2
sin cos2 2
sin 2sin cos 2sin cos2 2 2 2
sin cos sin cos1 12 2 2 22 22sin cos 2sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2
ln cos ln sin2 2
x xdx
dx dxx x x xx
x x x xdx dx dx dx
x x x x x x
x x
dyy f ax by
dx
1
1
/
/
z ax dy a dzy
b dx b b dx
a dz dzf
z
z bdxb b dx f
x y
z b
a b
a
dz dx x cf z a b
dyy f ax by
dx
2dy
y x ydx
dyy f ax by
dx
2 2
22
ln2
2ln 2 ln ln 2 exp
2 2 exp
ex
2
p 2 2
dy dzy z x
dx dxdz dz
z dxdx z
dzdx x c
zz
z c x z c xc
x y c x
y x x
z x
x
y
c
2dy
y x ydx
exp
ex
2
2
p 2
2 2c x x x
x
d
dx
y
yc x
2 exp 2 2dy
x y y x c x xdx
11
dyy
dx x y
dyy f ax by
dx
22
2
1
11 1
1 1
2 2
2
dy dzy x z
dx dxdz
zdz dxdx z
zdz dx x c
z x c x y x c
x y c
z x
x
y
11
dyy
dx x y
,
, ,
es homogenea si
dyy f x y
dx
f x y f x y
,
1
1,
, ,
dy dvv x
dx dxv x
dvv x f x
d dx
f
y
x
x
x fdx
v
Sustituir con
La ecuación resultante, en y es separable
, , ,dy
y f x y f x y f x ydx
es homogenea si
,
, ,
y xf x y
y x
y x y x y xf x y f x y
y x y x y x
Es homogenea:
dy y xy xdx
1 1
1 1
11
dy dvv x
dx dxxdv x x
v xdx x x x
dvv x
y vx
dx
dy y x
dx y x
2 2
2
1 1 1 2
1 1 1
1
1 2
dvxdx
dxd
x
1
1
dy y x dvy vx v x
dx y x dx
con
2
2
2 2 22
2 2 22
2 2 2
1
1 21
ln ln ln 1 22
1/ 1 2 1 1 2 1
1 2
2
dxd
x
x c
x x y yx c
c c x x
x x y y c
2
1
1 2
dxd
x
2 22
dy y x
dx y x
x xy y c
3 3
3 3
dy x y
dx x y
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
,
, ,
x yf x y
x y
x y x yf x y f x y
x yx y
Es homogenea:
3 3 3 3
3 3 3 3
1 13 4 3
3 3
3
4 3
1
1
1 1
1 1
1
1
dy dvy vx v x
dx dx
dv x v x vv x
dx x v x v
dx v v v vv dv dv
x v v
vdv
v v v
3 33 3 3 3
3 33 3 3 3, ,
x ydy x y x yf x y f x y
dx x y x yx y
4 33
4 3
3 2
ln
ln 11
1 4
3 7 2 7 2 7 2 7 7arctan
14 7 7 7 7
2 1 73 7arctan
14 7
dxx
x
v v vvdv
v v v
v v v
v
3
4 3
1
1
dx vdv
x v v v
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x y
y x
, ,, ,
, , 0
,
Resolver y
La solución a
está dada implicitamente por
donde es una constante arbitraria
g x y g x yM x y N x y
x y
N x y dy M x y dx
g x y c
c
2, :g x y
g gdg dx dy
x y
g g
y x x y
R R
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial
ordinaria de primer orden
0ydx xdy
0ydx xdy
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x y
y x
0ydx xdy
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x y
y x
1y x
y x
¡Sí es exacta!
0ydx xdy
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x y
y x
gy
xg
xy
0ydx xdy
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x y
y x
1
11
,
,
gy g x y yx c y
xg dc
x x x c cy dy
g x y yx c c
yx
cte
, , 0
, , , 0
La ecuación
es exacta, peN roO
Sí
N x y dy M x y dx
I x y N x y dy M x y dx
, , , 0
,
I x y N x y dy M x y dx
I x y
La función es el llamado "factor integrante"
1. Hay técnicas para saber si existe
2. En ocasiones es posible "verlo"
1
, exp
M Nx
N y x
I x y x dx
, , 0N x y dy M x y dx
Ejemplo
1
, exp
N My
M y x
I x y y dy
, , 0N x y dy M x y dx
Ejemplo
, ,
1,
M x y y xy N x y x xy
I x yxM yN
, , 0N x y dy M x y dx
Ejemplo
, expay
M NaM
y xx
N
I x y e x dx
, , 0N x y dy M x y dx
Ejemplo
Problema 1. 2:30 minutos.
Resuelve el sistema de ecuaciones
2 3
6 - 2 -1
x y
x y
Problema 2. 6:00 minutos.
Los propietarios de un centro comercial en el que
el 70% del área se empleaba para estacionamiento
de coches compraron un terreno adyacente,
dedicando 85% del mismo a estacionamiento y
el resto a edificios. El área así aumentada alcanzo
30,000 metros cuadrados, 75% de la cual se destinó
a estacionamiento. Determínese el área original
del centro comercial y el área comprada.
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
0dy
p x ydx
1 2 1 2y y ay by
Una ecuación es lineal cuando
la combinación lineal de soluciones
es solución.
Si y son soluciones, ,
también es solución.
0dy
p x ydx
La ecuación
es lineal
1 2 1 2y y ay bySi y son soluciones, , también es solución.
1 2 1 2
1 21 2
1 21 2
0 0 0
day by p x ay by
dxdy dy
a b ap x y bp x ydx dxdy dy
a p x y b p x ydx dx
a b
1 2 1 2y y ay bySi y son soluciones, , también es solución.
2
2
1 2 1 2
2 2 2 21 21 2 1 2
0
2
dyy
dxd
ay by ay bydx
dy dya b a y b y aby y
dx dx
Obviamente NO es lineal
´ 0y p x y
dyp x y
dxdy
p x dxy
ln
exp
dyp x dx
y
y p x dx
y x c p x dx
´ 0y p x y
Ejemplo
5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0 0
3 0 0 0 0
4 0 0 0 0
ln 61001000
tn t e
dyp x y q x
dx
1 2 1 2
1 21 2
1 21 2
dyp x y q x
dxd
ay by p x ay bydx
dy dya b ap x y bp x y
dx dxdy dy
a p x y b p x ydx dx
a q x b q x
0
exp
hh
h
dyp x y
dx
y x c p x dx
Se resuelve primero la homogenea asociada
dyp x y q x
dx
expy x p x dx
c x
c x Se propone como solución para la inhomogenea
es decir, la homogenea, pero haciendo que
pase de una constante a una función de
dyp x y q x
dx
exp expdc xdy
p x dx p x c x p x dxdx dx
Debemos ahora sustituir la propuesta en la
ecuación original.
Primero vemos que
dyp x y q x
dx
exp exp
exp
dc xp x dx p x c x p x dx
dx
p x c x p x dx q x
Sustituyendo
dyp x y q x
dx
exp exp
exp
exp
p x c x p x dx p x c x p x dx
dc xp x dx
dx
q x
dc xp x dx q x
dx
queda
dyp x y q x
dx
exp
exp
exp
dc xp x dx q x
dx
dc xdx q x p x dx dx
dx
c x q x p x dx dx c
Esta ecuación se integra facilmente
dyp x y q x
dx
exp
exp exp
Regresando a la solución propuesta
c x q x p x dx dx c
cy x q x p x dx dx p x dx
dyp x y q x
dx
•Ejemplo 1
•Ejemplo 2
•Ejemplo 3
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
0dy
p x ydx
ln
exp
dyp x dx
y
y p x dx
y x c p x dx
´ 0y p x y
dyp x y q x
dx
0
exp
hh
h
dyp x y
dx
y x c p x dx
Se resuelve primero la homogenea asociada
dyp x y q x
dx
expy x p x dx
c x
c x Se propone como solución para la inhomogenea
es decir, la homogenea, pero haciendo que
pase de una constante a una función de
dyp x y q x
dx
exp expdc xdy
p x dx p x c x p x dxdx dx
Debemos ahora sustituir la propuesta en la
ecuación original.
Primero vemos que
dyp x y q x
dx
exp exp
exp
dc xp x dx p x c x p x dx
dx
p x c x p x dx q x
Sustituyendo
dyp x y q x
dx
exp exp
exp
exp
p x c x p x dx p x c x p x dx
dc xp x dx
dx
q x
dc xp x dx q x
dx
queda
dyp x y q x
dx
exp
exp
exp
dc xp x dx q x
dx
dc xdx q x p x dx dx
dx
c x q x p x dx dx c
Esta ecuación se integra facilmente
dyp x y q x
dx
exp
exp exp
Regresando a la solución propuesta
c x q x p x dx dx c
cy x q x p x dx dx p x dx
dyp x y q x
dx
ny p x y q x y
0 1n Cuando ó es lineal
11
1
1
1
nn
n
n
z yy
ndz dy y
dy y dz n
ó
ny p x y q x y
1
1
n
nn
dy dy dz y dz
dx dz dx n dx
y dzp x y q x y
n dx
1
1
1
nn
n
dy yy p x y q x y z
y dz n
11:
1
1 1
1:
1
n n
dzn p x z n q x
dzy p x y q x
n dxdz
z p x z q xn dx
dx
Dividiendo entre
Cambiando a la variable
1
nn ny dz
y p x y q x y p x y q x yn dx
1
1
1 1
n
n
y p x y q x y
zy
dz n p x z n q xdx
Cambio de variable:
da
que es lineal de primer orden
Ejemplo
1 0 5 5 1 0
0 .1
0 .1
0 .2
2 3 4
66 3 6 4x x x x
Una gota de agua esférica pierde su
volumen por evaporación a una
razon proporcional a el área de su
superficie. Encuentra el radio de la
gota como función del tiempo en
términos de la constante de
proporcionalidad y del radio inicial.
3
2
Solución:
Si denotamos como
( )
a el radio de la gota de agua,
su volumen está dado como
4( ) ( )3
y el área de su superficie como
( ) 4 ( )
r t
V t r t
A t r t
3 2
2 2
Si llamamos
a la constante de proporcionalidad,
tenemos la ecuación diferencial
4( ) (4 )3
que al efectuar las derivadas queda como
4 4
y cancelando términos
k
d r k rdt
drr krdt
dr kdt
0
0
Se trata de una ecuación diferencial de
primer orden lineal de variables
separables que se integra como
( )
donde
es el radio inicial de la gota de agua.
r t k t r
r
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , ,
, , ,..., , , 0
n n n
n n n
n n n
n n n
d y d y d y dyf y x
dx dx dx dx
d y d y d y dyF y x
dx dx dx dx
1 2
1 2
1
, , ,..., , 0
La ecuación no contiene la función buscada , y sus
derivadas hasta el orden inclusive:
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
n n n k
n n n k
k
k
n k
y
k
d y d y d y d yF x
dx dx dx dx
d yp
dx
d pF
1 2
1 2, , ,..., , , 0
que es de orden
n k n k
n k n k n k
d p d p dpp x
dx dx dx dx
n k
•Ejemplo
1 2 1
1 2 1
2
2
, , ,..., , 0
La ecuación no contiene a la variable independiente
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
n n n
n n n
x
d y d y d y d yF y
dx dx dx dx
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
3
3
222
2
d y d dp d dp dy d dpp p p p
dx dx dy dy dy dx dy dy
d p dpp p
dy dy
1 2 1
1 2 1
2
2
, , ,..., , 0n n n
n n n
x
d y d y d y d yF y
dx dx dx dx
dy d y dpp p
dx dx dy
La ecuación no contiene a la variable independiente
23 22
3 2
d y d p dpp p
dx dy dy
El orden de la ecuación se reduce en 1
1 2 1
1 2 1
2
2
, , ,..., , 0n n n
n n n
x
d y d y d y d yF y
dx dx dx dx
dy d y dpp p
dx dx dy
La ecuación no contiene a la variable independiente
•Ejemplo1
•Ejemplo 2
•Ejemplo1
•Ejemplo 2
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , ,
, , ,..., , , 0
n n n
n n n
n n n
n n n
d y d y d y dyf y x
dx dx dx dx
d y d y d y dyF y x
dx dx dx dx
1 2
1 2
1
, , ,..., , 0
La ecuación no contiene la función buscada , y sus
derivadas hasta el orden inclusive:
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
n n n k
n n n k
k
k
n k
y
k
d y d y d y d yF x
dx dx dx dx
d yp
dx
d pF
1 2
1 2, , ,..., , , 0
que es de orden
n k n k
n k n k n k
d p d p dpp x
dx dx dx dx
n k
1 2 1
1 2 1, , ,..., , 0
n n n
n n n
x
d y d y d y d yF y
dx dx dx dx
dyp y
dx
La ecuación no contiene a la
variable independiente
Se hace el cambio de variable
1 2
1 2
1 2
1 2
, , ,..., , , 0
, ,..., , ,
1.
n n n
n n n
n n
n n
d y d y d y dyF y x
dx dx dx dx
d y d y dyy x
dx dx dx
n
El primer miembro de la ecuación
es la derivada de una expresión diferencial
de orden
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , , 0
, ,..., , ,
En este caso escribimos
y
n n
n n
n n
n n
d d y d y dyy x
dx dx dx dx
d y d y dyy x c
dx dx dx
Ejemplo
2
Resolver
'' ( ') 0
reduciendo el orden.
yy y
2'' ( ') 0yy y
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
, , ,..., , , 0
, , ,..., , ,
, , ,..., , ,
es homogenea en y sus derivadas
es decir,
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
F y
d y d y d y dyF y x
dx dx dx dx
d y d y d y dyF k k k k ky x
dx dx dx dx
d y d y d y dyk F y x
dx dx dx dx
22
2
3 23
3 2
( 1)
exp
exp
exp
3 exp
..........
, ,́ ´́ ,..., expk
kk
y zdx
dyz zdx
dx
d y dzz zdx
dx dx
d y dz d zz z zdx
dx dx dx
d yz z z z zdx
dx
Haciendo
F y es homogenea en y sus derivadas
1 2
1 2
1
1
, , ,..., , , 0
exp , , ,́..., 0
, , ,́..., 0
n n n
n n n
n
n
d y d y d y dyF y x
dx dx dx dx
zdx F x z z z
F x z z z
F y es homogenea en y sus derivadas
Ejemplo
2 2'' ( ') 6yy y xy
2 2'' ( ') 6yy y xy
2 2'' ( ') 6yy y xy
2 2'' ( ') 6yy y xy
( ) ( 1)1 1 0
1 1
1 1 01 1
0
...
...
n nn n
n n
n nn n
in
i ii
n
b x y b x y b x y b x y g x
d y x d y x d y xb x b x b x b x y x g x
dx dx dx
d y xb x g x
dx
Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal
si es de la forma
0
10 0 0 1 0 2 0 1
0,1,2,...,
0
, , ....,
j
n
nn
g x b x j n
I x b x I
y x c y x c y x c y x c
Si y , , son continuas en un
intervalo que contiene a y si en ,
entonces el problema de valores iniciales
de la ecuación diferencia
( ) ( 1)1 1 0...
.
n nn n
n
b x y b x y b x y b x y g x
I
l ordinaria de orden lineal
tiene una única solución en
0
j
g x
b x
1) Si entonces la ecuación es homogenea,
si no es inhomogenea
2) Si TODOS los son constantes se dice que
tiene coeficientes constantes, sino se dice que los
coeficientes son variables
( ) ( 1)1 1 0...n n
n n
n
b x y b x y b x y b x y g x
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
( ) ( 1)1 1 0
0 ,
0,1,2,..., 1
...
n
jj
n n
n nn
b x I
b x g xa x j n x
b x b x
y a x y a x y a x y x
Si en un intervalo podemos escribir
donde
y
1 1
1 1 01 1
( ) ( 1)1 1 0
ˆ ...
ˆ ...
ˆ
n n
nn n
n nn
d d dL a x a x a x
dx dx dx
L y y a x y a x y a x y
n
L y
Definimos ahora el operador
de tal manera que
La ecuación diferencial ordinaria de orden
lineal la escribimos entonces como
x
1 2
ˆ 0
, ,..., n
n
L y
n
y x y x y x
La ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
homogenea
siempre tiene soluciones linealmente independientes.
Si representan dichas soluciones,
entonces la solución general de 1 1 2 2
1 2
ˆ 0
...
, ,...,
n n
n
L y
y x c y x c y x c y x
c c c
es
donde representan constantes arbitrarias
ˆ
La solución general de la ecuación diferencial ordinaria
de orden lineal inhomogenea
es
donde
es la solución general a la ecuación homogenea
asociada, y
es cualquier solución par
h
p
n
L y x
y x
y x
phy x y x y x
ticular de la ecuación.
ˆ ˆ
ˆ ˆ 0
h p
h p
L y L y x y x
L y x L y x x
x
ˆh p
n
L y x y x y x y x
La solución general de la ecuación diferencial
ordinaria de orden lineal inhomogenea
es
( ) ( 1)1 1 0... 0n n
ny a y a y a y
11 1 0
11 1 0
exp
exp exp ... exp exp 0
... 0
exp
n nn
n nn
y x x
x a x a x a x
a a a
x
Si se propone una solucion
se tiene
Eliminando la exponencial
Si es raiz de esta ecuación, es solución de la
ecuación diferencial
( ) ( 1)1 1 0... 0n n
ny a y a y a y
11 1 0... 0n n
na a a
A la ecuación
se l Ecuación caractere í llama stica.
( ) ( 1)1 1 0... 0n n
ny a y a y a y
1 2 3
1 2
1 1 2 2
, , ,...,
, ,...,
exp exp ... exp
n
n
n n
n
c c c
y x c x c x c x
Sean las raices de la ecuación
característica
, la solución general es
siendo constantes arbitrarias
Si todas son distintas
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
... 0
... 0
n nn
n nn
y a y a y a y
a a a
Ecuación característica:
1 2 3
2
, , ,...,
exp , exp , exp ,...,
n
k
k k k
n
p
p
x x x x x x
Sean las raices de la ecuación
característica
Si la raiz tiene multiplicidad habrá asociada con ella
soluciones linealmente independientes dadas como
1 exppk x
n
La combinación lineal de las soluciones
linealmente independientes es la solución general.
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
... 0
... 0
n nn
n nn
y a y a y a y
a a a
Ecuación característica:
Ejemplos:123
ˆ
h
p
n
L y x
y x
y x
phy x y x y x
La solución general de la ecuación diferencial ordinaria
de orden lineal inhomogenea
es
donde es la solución general a la ecuación
homogenea asociada, y es cualquier solución
particular de la ecuación.
Ejemplos:123
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
'' 2 ' 2y y y
'' 2 ' 2y y y
'' 2 ' 2y y y
( ) ( 1)1 1 0...
siendo un polinomio de grado
1. El 0 no es raíz de la ecuación característica.
Buscar la solución particular de la forma:
2. El 0 es raíz de la ecuación caracter
n nn m
m
m
y a y a y a y P x
P x m
P x
ística de
multiplicidad .
Buscar la solución particular de la forma:s
m
s
x P x
Ejemplo
7 '' ' 14y y x
7 '' ' 14y y x
7 '' ' 14y y x
7 '' ' 14y y x
7 '' ' 14y y x
7 '' ' 14y y x
( ) ( 1)1 1 0...
con real y un polinomio de grado .
1. El número no es raíz de la ecuación característica.
Buscar la solución particular de la forma:
2. El número es r
n n xn m
m
xm
y a y a y a y e P x
P x m
e P x
aíz de la ecuación característica de
multiplicidad .
Buscar la solución particular de la forma:s x
m
s
x e P x
Ejemplo
(3) (2) (1)3 3 5 expy y y y x x
(3) (2) (1)3 3 5 expy y y y x x
(3) (2) (1)3 3 5 expy y y y x x
(3) (2) (1)3 3 5 expy y y y x x
(3) (2) (1)3 3 5 expy y y y x x
(3) (2) (1)3 3 5 expy y y y x x
( ) ( 1)1 1 0... cos sin
max ,
siendo y polinomios de grado y respectivamente.
Sea
1. Los números no son raices de la ecuación característica.
Buscar la solución p
n nn n m
n m
y a y a y a y P x x Q x x
P x Q x n m
k n m
i
cos sin
cos sin
articular de la forma:
2. Los números son raices de la ecuación característica
de multiplicidad .
Buscar la solución particular de la forma:
k k
sk k
P x x Q x x
i
s
x P x x Q x x
Ejemplo
(2) 2 siny y x x
(2) 2 siny y x x
(2) 2 siny y x x
(2) 2 siny y x x
(2) 2 siny y x x
(2) 2 siny y x x
(2) 2 siny y x x
( ) ( 1)1 1 0... cos sin
max ,
siendo y polinomios de grado y respectivamente.
Sea
1. Los números no son raices de la ecuación característica.
Buscar la so
n n xn n m
n m
y a y a y a y e P x x Q x x
P x Q x n m
k n m
i
cos sin
cos sin
lución particular de la forma:
2. Los números son raices de la ecuación característica
de multiplicidad .
Buscar la solución particular de la forma:
xk k
s xk k
e P x x Q x x
i
s
x e P x x Q x
x
Ejemplo 1
Ejemplo 2
2'' 4 ' 5 10 cosxy y y e x
2'' 4 ' 5 10 cosxy y y e x
2'' 4 ' 5 10 cosxy y y e x
2'' 4 ' 5 10 cosxy y y e x
2'' 4 ' 5 10 cosxy y y e x
( ) ( 1)1 1 0
1
,1
,
...
cos sin
c
Si
donde cada es de la forma
La solución particular se debe buscar de la forma
donde cada es de la forma
n nn
l
i ii
i
xn m
l
i i pi
i p
x sk
y a y a y a y x
x f x
f x
e P x x Q x x
y
y
e x P x
os sinkx Q x x
( ) ( 1)1 1 0...
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
n nn
n
y a x y a x y a x y x
La solución general de la ecuación diferencial ordinaria
de orden lineal inhomogenea es
donde
es la solución general a la ecuación homogenea
asociada, y
es cualquier solución particula
h
p
n
y x
y x
phy x y x y x
r de la ecuación.
h
p
y x
y x
Si conocemos
la solución general a la ecuación homogenea
asociada, debemos ahora estudiar métodos
para encontrar,
,
cualquier solución particular de la ecuación.
1 1 2 2
1,2,3,..
...
1,2 ,
.
,3 ...
i i
p n n
i i
y x v y v y v y
y y
v v
x
i
x i
x
Proponemos
donde son las
soluciones linealmente independientes
de la ecuación h
son funciones de
omoge
p
nea asociada
or determ
y
inar.
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
...
... ...
... 0,
...
pn n n n
n n n n
n n
pn n
dyv y v y v y v y v y v y
dxv y v y v y v y v y v y
v y v y v y
dyv y v y v y
dx
Ahora
si pedimos que
2
1 1 2 2 1 1 2 22
1 1 2 2
2
1 1 2 22
... ...
... 0
...
pn n n n
n n
pn n
d yv y v y v y v y v y v y
dx
v y v y v y
d yv y v y v y
dx
Ahora
si pedimos que
3
1 1 2 2 1 1 2 23
1 1 2 2
3
1 1 2 23
... ...
... 0
...
pn n n n
n n
pn n
d yv y v y v y v y v y v y
dx
v y v y v y
d yv y v y v y
dx
Ahora
si pedimos que
1 1 1 11 2
1 21 1 1 1
2 2 21 2
1 22 2 2
...
... 0
n n n np n
nn n n n
n n nn
nn n n
d y d y d y d yv v v
dx dx dx dx
d y d y d yv v v
dx dx dx
Ahora
con la condición
1 21 2
1 1 11 2
1 21 1 1
...
...
n n n np n
nn n n n
n n nn
nn n n
d y d y d y d yv v v
dx dx dx dx
d y d y d yv v v
dx dx dx
Ahora
con la condición
1
0
( ) ( 1)1 1 0
( )
...
nj
jj
n nn
n
n
a y
y a x y a x y a x y x
y
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
De manera más concisa y práctica, la podemos
escribir como
1
0
1
1
( )
( )
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
Condiciones impuestas a las nos dan
nj
jj
i
nn
i ii
nj j
i ii
n
n
n
a y
v
v y
y v y
y
y
1
0
1 1
1 0 1 1 1 0
1
1 0
( )n
jj
j
n n n n n nn j n j
i i j i i i i i j ii j i i i j
n nn j
i i j ii j
n a y
v y a v y v y v a y
v y a y
y
Sustituyendo en
nos da
1
1 0
1
0
0
n nj j
i i j ii j
nn j
i j ij
i
v y a y
y a y i
y
pero
para todo
ya que las son soluciones de la
ecuación homogenea
Así que
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 21 1 2 2
1 1 11 1 2 2
... 0
... 0
... 0...
... 0
...
n n
n n
n n
n n nn n
n n nn n
v y v y v y
v y v y v y
v y v y v y
v y v y v y
v y v y v y
Si se satisface que
1 1 2 2 ...p n ny v y v y v y
entonces
es una solución particular de la
ecuación no homogenea
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 21 1 2 2
1 1 11 1 2 2
... 0
... 0...
... 0
...
1,2,3,...,
n n
n n
n n nn n
n n nn n
i
v y v y v y
v y v y v y
v y v y v y
v y v y v y
v i n
es un sistema de ecuaciones lineales
para las
1
1
1 2
1 11
...
...
. ., ,...,
. .
. .
...
n
n
n
n nn
y y
y y
W v v v
y y
Introducimos la matriz
1 1
1 2
1 11
... 0
0...
.. . .
.. . .
.. . .
...
n
n
n nn n
y y v
y y v
y y v
y el sistema de ecuaciones se escribe
1,2,3,...,iv i n
Hay que resolver el sistema de
ecuaciones simultaneas lineales,
y después integrar cada una de
las despreciando
las constantes de integración, ya
que sólo nos interesa una solución
particular.
1,2iv i
Debemos, por tanto, preguntarnos:
1. ¿Tiene solución el sistema de
ecuaciones lineales impuesto como
condición?
2. Una vez encontrada la solución,
¿es posible hacer la integración de
cada una de las ,...,n ?
1 1
1 2
1 11
... 0
0...
.. . .
.. . .
.. . .
...
El sistema de ecuaciones
tiene solución única, si y sólo si,
n
n
n nn n
y y v
y y v
y y v
1
1
1 2
1 11
...
...
. ., ,..., det
. .
. .
...
el determinante
es diferente de cero.
n
n
n
n nn
y y
y y
W v v v
y y
1
1
1 11
...
...
. .
. .
. .
...
1,2,...,
El determinante
se llama el WRONSKIANO de las
funciones
n
n
n nn
i
y y
y y
y y
n
y i n
1 2
1 2
, ,...,
0
.
, ,..., 0
n
n
y y y n
L y
I
W y y y
x I
Sean , soluciones de la
ecuación lineal homogenea ,
en un intervalo
Estas son linealmente independientes,
si y sólo si,
para toda
Por tanto, la respuesta a la pregunta 1
es afirmativa: Existe una solución única
al sistema de ecuaciones lineales
La pregunta 2 no puede ser respondida
de manera general, en ocasiones será
posible integrar y en otras no
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
4³ '''- 3 ² '' 6 '- 6 sinxx y x y xy y x e x
Resuelve la ecuación
diferencial ordinaria de tercer orden lineal
con coeficientes variables no homogénea
2
4
3 6 6''' '' ' sin
³ ² 6''' 3 '' 6 ' sin
³ ³ ³ ³ ³
³
x
x
x x x xy y y y e
y y y y xe xx x
x x x
x
xx x
Paso 0. Ponerla en la forma estanda
r
4³ '''- 3 ² '' 6 '- 6 sinxx y x y xy y x e x
2
3 6 6''' '' ' 0
³y y y y
x x x
Paso 1. Resolver la ecuación
homogénea asociada
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
En este caso es fácil "ver" una
de las soluciones particulares,
2
3 6 6''' '' ' 0
³y y y y
x x x
1y x x
En este caso es fácil "ver" una
de las soluciones particulares,
2
3 6 6''' '' ' 0
³y y y y
x x x
1y x x2
3 6 6''' '' ' 0
³y y y y
x x x
3 2
3 2 2 3
2 2
2 2
3 6 6
3 6 60 0 1
6 60
d d dx x x x
dx x dx x dx x
x x x
x x
1y x x2
3 6 6''' '' ' 0
³y y y y
x x x
1
1h
y x x
y zy zx
Conociendo una solución,
podemos determinar las otras
haciendo el cambio de variable
12
3 6 6''' '' ' 0,
³y y y y y x x
x x x
h
h
h
y xz
dy d dx dz dzxz z x z x
dx dx dx dx dx
dy dzz x
dx dx
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2h
hd y d dz d dzx
dx dx dx dx dx
dz dx dz d dzx
dx dx dx dx dx
dz d zx
dzz x
d y dz d zx
dx dx dx
x x
x
d
d
d
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
3 2 2
3 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
3 2
3
3 2
3
3
2
3
2
2
3
2
3
h
h
d y d d z d d zx
dx dx dx dx dx
d z dx d z d d zx
dx dx dx dx
dz d zx
d
d y d z d zx
dx dx
dx
d z d zx
dx d
x
x
dx
dx
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
2 2
2 2
3 2 3
3 2 3
2
3
h
h
h
dy dzz x
dx dx
d y dz d zx
dx dx dx
d y d z d zx
dx dx dx
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
2 3
2 3
2
2
2
3
32
6
6
³
d z d zx
dx dxdz d z
xx dx dx
dzz x
x dx
xzx
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
2 3 2
2 3 2 2
3 6 63 2
³
d z d z dz d z dzx x z x xz
dx dx x dx dx x dx x
3 2 2
3 2 2 2 2
6 6 6 63 3
d z d z d z dz dz z zxdx dx dx x dx x dx x x
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
2 3 2
2 3 2 2
3 6 63 2
³
d z d z dz d z dzx x z x xz
dx dx x dx dx x dx x
3 2 2
3 2 2 2 2
6 6 6 63 3
d z d z d z dz dz z zxdx dx dx x dx x dx x x
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
3
3
3
3
0
0d z
d
zxdx
x
d
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
3
3
3 2
33 2
2
3 3 22
23 2 3 2 1
0
1
2
d z
dx
d z d zdx c
dx dx
d z dzdx c dx c x c
dx dxdz
dx z c x c dx c x c x cdx
12
3 6 6''' '' ' 0, ,
³ hy y y y y x x y xzx x x
3 2
2
3 2 1
3 2 1
1
2
1
2h
h
z x c x c x c
y xz
y x c x c x c x
2
3 6 6''' '' ' 0
³y y y y
x x x
2 3
3 23 2 1
, ,
1
2h
x x x
y x c x c x c x
Las soluciones linealmente independientes
de la ecuación homogénea asociada son
21y x x2
3 6 6''' '' ' 0
³y y y y
x x x
3 22 2 2 2
3 2 2 3
2
3 6 6
3 6 60 2 2
6 12 60
d d dx x x x
dx x dx x dx x
xx x x
x x x
31y x x2
3 6 6''' '' ' 0
³y y y y
x x x
3 23 3 3 3
3 2 2 3
22
3 6 6
3 66 6 3 6
6 18 18 6 0
d d dx x x x
dx x dx x dx x
x xx x
Paso 2. Encontrar una solución
particular de la ecuación
no homogénea
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
Paso 2. Encontrar una solución
particular de la ecuación
no homogénea.
Usaremos el método de variación
de constantes o variación de parámetros
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
3 23 2 1
3 23 2 1
1
2hy x c x c x c x
y x v x x v x x v x x
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2 31 2
2 31 2 3
2 2 31 1 2
3
21 2
2 3 3
2 2 31 2 3 1 2 3
3
1 2 3
2
0
2 3
3
y v x v x v x
dyv x v x v x v x v x v
dx
v
xv
xv x v xv x v x
x v x v
dyv xv x v
dx
v
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2 3 21 2 3 1 2 3
22
1 2 32
2
21 2 2 3 3
21 2 2 3 3
21 2 3 2 3
2 3
2 3
322 3
2 2 6 3
2 3 2 6
dyy v x v x v x v xv x v
dx
d y dv xv x v
dx dx
d xd xv v xv v x v
dx dx
v v xv xv x v
v xv x v v xv
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2 3 21 2 3 1 2 3
22
1 2 3 2
21 2 3
2
2
2
32
3
2 3
2 3 2 6
2 3 0
2 6
v xv x v
d yv xv
dx
dyy v x v x v x v xv x v
dx
d yv xv x v v xv
dx
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2 3
3
33
22 3
1 2 3 2 32
3
2 3 2 3 33
2 6
6 6
6
2 2 6
2
6
d yy v x v x v x v xv
dx
d y dv xv v xv v
dx d
v xv
d
x
yv
dx
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2 31 2 3
21 2 3
2
2 32
3
33
2 3
2 6
6
y v x v x v x
dyv xv x v
dx
d yv xv
dx
d yv
dx
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2 31 2 3
21 2 3
2 3
0
2 3 0
2 6
xv x v x v
v xv x v
v xv
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
3
2 3
21 2 32
2 31 2 3
6
32 6
62 3
6
³
v
v xvx
v xv x vx
v x v x v xx
2 31 2 3
21 2 3
2
2 32
3
33
2 3
2 6
6
y v x v x v x
dyv xv x v
dx
d yv xv
dx
d yv
dx
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
3
2 3
12 32
1 2 32
6
618
6 1218
6 66
v
v vxv
v vx x
v v vx x
3
2 3
21 2 32
2 31 2 3
6
32 6
62 3
6
³
v
v xvx
v xv x vx
v x v x v xx
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
12
12
2
3
3
3
3
2
2
6
6
6
18
18
6
6
12
6
vx
vx
v
x
vx
v
v
vvx
v
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2 31 2 3
21 2 3
2 3
2 31
22
3
0
2 3 0
2 6
0
1 2 3 0
0 2 6
xv x v x v
v xv x v
v xv
x x x v
x x v
x v
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2 31
22
3
2 3
2
0
1 2 3 0
0 2 6
det 1 2 3 2
0 2 6
x x x v
x x v
x v
x x x
x x x
x
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
12 3
22
3 2
32
23 3
1 2 3 1
0 2 6 1 1 1
2
x
xx x x
x xx x
x
x x x
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
1
2 2
3
3 2
32
2 0 23 3
1 0
1 1 122
xx
xv
vx x
v
xx x x
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2
1
2
3
sin2
sin
sin
2
x
x
x
xe xv
v xe x
v e x
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2
1
2
3
sin2
sin
sin
2
1 cos sin cos sin
2 cos cos sin4
sin cos
x
x
x
x
xe xv
v xe x dx
v e x
x x x x x x xe
x x x x x
x x
2 31 2 3
1
2
3
1 cos sin cos sin
2 cos cos sin4
sin
cos sin4
cosx
p
p
x
y x v x x v x x v x x
v x x x x x x xe
v x x x x x
v x x
xey x x
2
3 6 6''' '' ' sin
³xy y y y xe x
x x x
2
2 31 2 3
3 6 6''' '' ' sin
³
cos sin4
x
x
y y y y xe xx x x
xey x c x c x c x x x
Clase del jueves 4 de febrero del 2010 de 16:30 A 18:00
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
Ejemplos: 1, 2, 3
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
( ) ( 1)1 1 0...
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
con coeficientes constantes
n nn
n
y a y a y a y x
( ) ( 1)1 1 0
( ) ( 1)1 1 0
...
...
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
con coeficientes constantes
sx sx sx sx sx
n nn
n nn
n
y a y a y a y x
e y e a y e a y e a y e x
( ) ( 1)1
0 0
( ) ( 1)1 1 0
( ) ( 1)1 1 0
...
...
...
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
con coeficientes constantes
sx sx sx sx sx
sx n sx n sn
n nn
n nn
n
e y x dx e a y x dx e
y a y a y a y x
e y e a y e a y e a y e x
1 0
0 0 0
x sx sxa y x dx e a y x dx e x dx
( ) ( 1)1
0 0
( ) ( 1)1 1 0
( ) ( 1)1 1 0
...
...
...
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
con coeficientes constantes
sx sx sx sx sx
sx n sx n sn
n nn
n nn
n
e y x dx e a y x dx e
y a y a y a y x
e y e a y e a y e a y e x
1 0
0 0 0
( ) ( 1)
0 0 0 0 01 1 0...
x sx sx
sx n sx n sx sx sx
n
a y x dx e a y x dx e x dx
e y x dx e y x dx e y x dx e y x dx e x dxa a a
( ) ( 1)
0 0 0 0 0
( ) ( 1)1 1 0
1 1 0
...
...sx n sx n sx sx sx
n nn
ne y x dx e y x dx e y x dx e y x dx e x dx
y a y a y a y x
a a a
0
sx
g x
g x G s e g x dx
Definición:
Dada una función (con condiciones
que estableceremos más adelante) se
define su cotransformada de Laplace mo
L
( ) ( 1)1 1 0
0 0 0
0
0
( ) ( 1)1 1 0...
...
Donde,
y
sx n sx n sxn
sx
sx
n nn
e y x dx e y x dx e y x dx s s
Y s e y x dx
s e x dx
y a y a y a y x
a a a Y
d dg dffg f g
dx dx dx
d dg dffg dx f dx g dx
dx dx dx
dg dffg f dx g dx
dx dx
dg dff dx fg g dxdx dx
b b
b
aa a
dg dff dx fg g dxdx dx
( ) ( 1)1 1 0
0 0 0
00 0 0
( ) ( 1)1 1 0
0
0
...
...
Ahora,
sx n sx n sxn
sx sx sx sx
n nn
e y x dx e y x dx e y x dx s s
dy xe y x dx e dx e y x s e y x dx y sY s
dx
y x y sY s
y a y a y a y x
a a a Y
L
00 0 0
2
2
0
0
0 0 0
0
Ahora,
sx sx sx sx
sx
dy xe y x dx e dx e y x s e y x dx
dx
y s e y x dx
sy
y sy s Y s
y x y s Y s
L
00 0 0
2
2
3
3
0
0 0 0
0
0
00
Ahora,
sx sx sx sx
sx
dy xe y x dx e dx e y x s e y x dx
dx
y s e y x dx y s
sy
y s y s Y
s y
s
y x y s Y s
L
0 0
1 2 11 2 30 0 ... 0
Ahora,m
m msx sxm
mm m m m
d y xy x e y x dx e dx
dx
s y s y s y y s Y s
L
( ) ( 1)1 1 0
0 0 0
11 1 0
1 21 2 1
12 32 3 2
1
( ) ( 1)1 1 0
...
... 0
... 0 ...
0
...
...sx n sx n sxn
n nn
n nn
n nn
n
n nn
e y dx e y dx e y dx s s
s a s a s a Y s
s a s a s a y
s a s a s a y
y s
y a y a y a y x
a a a Y
1 11 2 2 3
1 2 1 2 3 2
11 1 0
... 0 ... 0 ... 0
...
nn n n nn n
n nn
Y s
s a s a s a y s a s a s a y y s
s a s a s a
1 10 1
1 2 2 31 2 1 1 2 3 2 2
11 1 0
0 , 0 ,..., 0
... ... ...
...
Si denotamos
tenemos
nn
n n n nn n n
n nn
y c y c y c
Y s
s a s a s a c s a s a s a c c s
s a s a s a
1 2 2 31 2 1 1 2 3 2 2
11 1 0
... ... ...
...
Así que encontrar la transformada de Laplace de la solución es un
problema algebraíco.
Si ya tenemos la transfo
n n n nn n n
n nn
Y s
s a s a s a c s a s a s a c c s
s a s a s a
y x
rmada de Laplace de la solución , ¿cómo
encontramos ahora la función misma?
Calculando la transformada inversa.
Y s y x
y x
-1
Definición:
La transformada de Laplace inversa de la
función , denotada como ,
es una función tal que
F s F s
f x
f x F s
L
L
11
0 01
0
( )
01
0
i n
n ii jj
ii j
ni
ii
ni
i
n
a
x a s y
y xa s
a y x
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
con coeficientes constantes
con
Solución
LL
- 1
F s
F s f x
f x F s
La transformada de Laplace
de la función , denotada como
es una función t
in
a
versa
l
que
L
L
1) Usando una computadora
(Maple, Mathematica, etc)
2) Usando tablas
Usando tablas:
i) Está exactamente lo que buscamos.
ii) La transformada no está directamente
y hay que manipularla para poder usar
las tablas.
2 22
2 2
b bas bs c a s c
a a
Completar cuadrados:
1 22
1 1 2 2222 2 2
...
...
mm m
p pp p
a sa s b s
b s
a s A A A
s as a s a s a
B s Ca s B s C B s C
s bs cs bs c s bs c s bs c
Fracciones parciales:
con grado grado
s a s b b a
aa b
b
i)
ii)
22 0y ay a y
2
2
2 0
2 0
y ay a y
y a y a y
L L
L L L
1 2 11 2 30 0 ... 0m mm m m my x s y s y s y y s Y s L
2
0
0 0
y x Y s
y x y sY s
y x sy y s Y s
L
L
L
22 0y ay a y
2
2
2
2 0
0 0
2 0
0
sy y s Y s
y a
a y sY s
y y
a Y s
a
L L L
22 0y ay a y
2 2
2 2
2 2
12 2
0 0 2 0 2 0
2 2 0 0 0 0
0 2 0 0
2
0 2 0 0
2
sy y s Y s ay asY s a Y s
s as a Y s ay sy y
y ay syY s
s as a
y ay syy x
s as a
L
12 2
0 2 0 0
2
y ay syy x
s as a
L
2 22 2
12
12
0 2 0 0 0 2 0 0
2
1
1
ax
ax
y ay sy y ay sy
s as a s a s a
xes a
sax e
s a
L
L
0 2 0 0 1
0 0 0
ax ax
ax ax
y ay xe y ax e
y ay xe y e
2 22 2
12
12
0 2 0 0 0 2 0 0
2
1
1
ax
ax
y ay sy y ay sy
s as a s a s a
xes a
sax e
s a
L
L
22 0
0 0 0ax ax
y ay a y
y x y ay xe y e
La ecuación
tiene la solución general
4 4
1 2 30 0 0 0 0
y k y f x
y y y y
Resolver la ecuación
con las condiciones iniciales
4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y
4 4
4 4
4 4
y k y f x
y k y F s
y k Y s F s
L L
L L
L
4 4
4 4
1 11 2
4 1 2 33 2 4
0 0 ... 0
0 0 0 0
m mm m m
y k Y
y
s F s
y x s y s y y s Y s
y s y s y sy y s Y
Y
s
s s
L
L
L
L
4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y
4 4
4 4
14 4
s Y s k Y s F s
F sY s
s k
F sy x
s k
L
4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y
14 4
F s
s k
L
0
1 1
1
x
f g x f g x d
F s g s
F s g s
f g x F s g s
f g x
f g x
L
L L L
L
14 4
F s
s k
L
1
14 4
1
s k
F f
L
L
4 4 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
4 4 2 2 2 2 2
1 1
10,
1,
21 1 1 1
2
A B
s k s k s ks k s k
A s k B s k s A B k A B
s k s k s k s k
A B A Bk
B A Ak
s k k s k s k
1 14 4 2 2 2 2 2
1 12 2 2 2 2 2
12 2
12 2
14 4 3
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2 2
1 sinh
1 sin
1 1sinh sin
2
s k k s k s k
k s k k s k
kx
s k k
kx
s k k
kx kxs k k
L L
L L
L
L
L
1 14 4 4 4
30
1
1sinh sin
2
x
F sy x f x
s k s k
y x k k f x dk
L L
4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y
4 4
1 2 3
30
0 0 0 0 0
1sinh sin
2
x
y k y f x
y y y y
y x k k f x dk
La solución de la ecuación
con condiciones iniciales
es
Ejemplos: 1, 2
0
Definición:
Dada una función (con condiciones
que estableceremos más ad
transformada de Laplace
elante) se
define su como
sx
f x
f x F s e f x dx
L
:f R R
L
0
0
0 0 0
1
1 1
0
11 0
con
con
sx
sx
sxsx sx
f x F s e f x dx
e dx
d ee dx e dx
s dx s s
s
ss
L
L
L
0
0
0 0 00
20
1 1
1 1
0con
sx
sx
sxsx sx sx
sx
f x F s e f x dx
x xe dx
d xexe dx x e dx e dx
s dx s s
e dxs s
s
L
L
0
2
2
10
10
con
sxf x F s e f x dx
x ss
x ss
L
L
L
0
0
0 0 0 0
1 1
0
10
con
con
sx
ax sx
s a xs a x s a xax sx
ax
f x F s e f x dx
e e dx
d ee e dx e dx e dx
s a dx s a s a
s a
e s as a
L
L
L
0
2 2
0
22 2
0 0 00
30
1 2
2 20con
sx
sx
sxsx sx sx
sx
f x F s e f x dx
x x e dx
d x ex e dx x e dx xe dx
s dx s s
xe dx ss s
L
L
0
0
0 0 00
1 2
sx
n n sx
n sxn sx n sx n sx
f x F s e f x dx
x x e dx
d x e dx e dx x e dx x e dx
s dx s s dx
L
L
11( )
0
0
)
) 0
) 1
)
)
Propiedades:
nn in n i
i
n nn
s
x
a af x bg x a f x b g x
b f x s f x s f
c x f x F s
f xd F d
x
F se f d
s
L L L
L L
L
L
L
1)
)
)
ax
sf f ax F
a a
g e f x F s a
h f g x F s g s
f g x f x g x d
Propiedades:
L
L
L
- 1
Definición:
La transformada de Laplace
de la función , denotada como
es una función
in
tal
que
e s
v r a
F s
F s f x
f x F s
L
L
:f R R
-1L
- 1
- 1 1
2
ist
i
F s F s
f t F s e F s dsi
La transformada de Laplace de la
función , denotada como , es
donde es un número real, de tal manera
que la trayectoria de integración e
invers
sté e l
a
n a
L
L
.F sregión de convergencia de
( ) ( 1)1 1 0
( )
0
...
1
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
con coeficientes constantes
La escribimos en forma resumida como
con
n nn
i n
ni
i
n
y a y a y a y x
aa y x
( )
0
ni
ii
a y x
L L
( )
0; 1i n
ni
iaa y x
( )
0
( )
0
ni
ii
ii
n
i
a y x
a y x
L L
L L
( )
0; 1i n
ni
iaa y x
( )
0
( )
( )
0
0
ni
ii
ii
ii
n
in
i
a y x
a y x
y xa
L L
L L
L L
( )
0; 1i n
ni
iaa y x
1
1( )
0
0i
i ji i j
j
y s y s y
La transformada de Laplace de la
derivada es
L L
( )
0
( )
0; 1
ni
i i ni
ni
ia y x aa y x
L L
1
1
000
ii ji j
ij
n
is y s y xa
Sustituyendo
L L
( )
0
11( )
0
; 1
0
ni
i ni
ii ji i j
j
a y x a
y s y s y
L L
LL
1
1
1
0
1
0 0 0
00
0
ii ji j
ij
i ji ji i
n n i
i i
n
i
jy
s y s y x
a s xa s y
a
Queda
L L
L L
( )
0
11( )
0
; 1
0
ni
i ni
ii ji i j
j
a y x a
y s y s y
L L
LL
11
11
0 0
0
0 0-1
1
0
1
0 0 0
0
0
0
n ii jj
ii j
n ii jj
ii j
n
i ji ji i
i
n
ii
i
i
i
n n i
i i j
x a
y
x a s y
s y
ya s
s
x
y xa
a s a s y
L L
L
L
L
L
Hasta aquí llegué el jueves 4 de febrero del 2010
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
( 1)1 1 0...n n
n
n
y a x y a x y a x y x
Ecuación diferencial ordinaria de orden
lineal
( 1)1 1 0...n n
n
n
y a x y a x y a x y x
n
Ecuación diferencial ordinaria de orden
lineal
Vamos a transformarla en un sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden
(en un sistema de ecuaciones diferenciales)
( 1)1 1 0
( ) ( 1)1 1 0
...
...
n nn
n nn
n
y a x y a x y a x y x
n
y a y a y a y x
Ecuación diferencial ordinaria de orden
lineal
Despejando la derivada -esima
( ) ( 1)1 1 0
( ) ( 1)1 1 0
11 2
...
...
, ,...,
n nn
n nn
nn
n
y a y a y a y x
y a y a y a y x
y x y x y x y x y x y x
Ecuación diferencial ordinaria de orden
lineal
Definimos ahora
1 2
2 3
3 4
1
.
.
.
Es obvio que
n n
y x y x
y x y x
y x y x
y x y x
1
2
3
1
.
.
.n
n
y x y x
y x y x
y x y x
y x y x
( )1 1 2 0 1...n
n ny a y a y a y x
( ) ( 1)1 1 0
11 2
...
, ,...,
n nn
nn
y a y a y a y x
y x y x y x y x y x y x
( )1 1 2 0 1
0 1 1 2 2 3 1
...
...
nn n
n n n
y a y a y a y x
y a y a y a y a y x
( ) ( 1)1 1 0
11 2
...
, ,...,
n nn
nn
y a y a y a y x
y x y x y x y x y x y x
( )1 1 2 0 1
0 1 1 2 2 3 1
1 1 2 2 3 3
...
...
...
nn n
n n n
n n n
y a y a y a y x
y a y a y a y a y x
y b y b y b y b y x
( ) ( 1)1 1 0
11 2
...
, ,...,
n nn
nn
y a y a y a y x
y x y x y x y x y x y x
1 2
2 3
3 4
1
1 1 2 2 3 3
.
.
.
...
n n
n n n
y x y x
y x y x
y x y x
y x y x
y b x y b x y b x y b x y x
1
2
1
0
0
..
..
..
0n
n
y x
y x
y x x
y x
xy x
1 2 3 4
0 1 0 0 ... 0
0 0 1 0 ... 0
0 0 0 1 ... 0
. . . . .
. . . . .
. . . . .
0 0 0 0 ... 1
... n
A x
b x b x b x b x b x
y x A x y x x
0 0
0 1
20 2
110
. .
. .
. .
Las condiciones iniciales
nn
nn
y x cy x c
c
y x c
cy x
0 0
1 0 1
1 0 2
0 1
. .
. .
. .
se expresan ahora como
n n
n n
y x c
y x c
c
y x c
y x c
0
y x A x y x x
y x c
Condiciones iniciales
2 4 siny y y y x x Transformar la ecuación de tercer orden
en un sistema de 3 ecuaciones de primer
orden
2 4 siny y y y x x Transformar la ecuación de tercer orden
en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden
1 2 3y y y y y y Introducimos las funciones
1 2 3
3 2 1
2 4 sin
2 4 sin
y y y y y y
y y y y x x
y y y y x x
Introducimos las funciones
Despejando la ecuación
y sustituyendo
2 4 siny y y y x x Transformar la ecuación de tercer orden
en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden
1 2
2 3
3 3 2 12 4 sin
y y
y y
y y y y x x
1 2 3
3 2 1
2 4 sin
2 4 sin
y y y y x x
y y y y y y
y y y y x x
1 2
2 3
3 3 2 1
1 1
2 2
3 3
2 4 sin
0 1 0 0
0 0 1 0
1 4 2 sin
y y
y y
y y y y x x
y y
y y
y y x x
2
1 2
2 2 1
1 2
ln 1
1
ln 1
1
ln 1
x
x
x
x x y xy y xe
y y y y
y y y xex x
y y y xex x
y y
1 2
2 2 1
1 1
2 2
1
ln 1
0 10
11
ln 1
x
x
y y
y y y xex x
y y
y y xex x
0
y x A x y x x
y x c
Condiciones iniciales
1 1
2 2
1 1
. .
. .
. .
n n
n n
y x x
y x x
y x x
y x x
y x x
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
1,1 1,2 1,3 1,4 1,
,1 ,2 ,3 ,4 ,
...
...
...
. . . . .
. . . . .
. . . . .
...
...
n
n
n
n n n n n n
n n n n n n
a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x
A x
a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x
0 0
1 0 1
1 0 2
0 1
. .
. .
. .
n n
n n
y x c
y x c
c
y x c
y x c
0
)
y x Ay x x
c
A
x
y x
(no depende de
Condiciones in
es una matriz co
iciales:
nstante
exp exp
dyp x y q x
dx
y x q x p x dx dx c p x dx
y x Ay x x
dyp x y q x
dx
0
0
0
xA x x Ax A
x
y x Ay x x y x c
y x e c e e d
0
0
A x x
y x Ay x y x c
y x e c
)
A
y x Ay x x
x
es una matri
(no depen
z constante
de de
0
0
)xA x x At A
x
A
y x Ay x x
x
y x e k e e d
(no d
es una matriz co
ep
n
e
st
nd
ante
e de
0 !
nAt n
n
Ae t
n
0 !
nAt n
n
Ae t
n
22
2
2 33
2 3
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.........
0
0
nn
n
A
A
A
A
0 !
nAt n
n
Ae t
n
0
0
0
0 0exp exp
0 !
0
0
!
0
0
n
n
n
n
n
e
A
n e
n
1
.Sean y dos matrices
Si existe una matriz no singular que
las relaciona de la siguiente manera
entonces y representan la misma
transformación lineal
A B n n
C
B C AC
A B
1
.Sean y dos matrices
Si existe una matriz no singular que
las re
SIMILARE
laciona de la siguiente manera
entonces se dice que son
S
A B n n
C
B C AC
n nDos matrices son similares
si y sólo si
representan la misma
transformación lineal
1
: ; ; dim
,..., n
T V V V n
T n
V
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
a) Los correspondientes vectores propios
forman una base de
1
1
: ; ; dim
,...,
,...,
n
n
T V V V n
T n
T
u u
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
b) La matriz que representa a , respecto
a la base ordenada ,
,..., n 1
es la matriz
diagonal
=diag
1
1
: ; ; dim
,...,
,...,
n
T V V V n
T n
A T
E e
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
c) Si es la matriz que representa a , respecto
a otra base -1
ne
C AC
C
U EC
, entonces
donde es la matriz que relaciona las dos bases
k
Si los valores propios no son todos
diferentes,no quiere decir que no haya
una representación diagonal.
Tendremos una representación diagonal,
si y sólo si se tienen vectores linealmente
independientes c
.k
on cada valor propio de
multiplicidad
• Calcular todos los valores propios
• Calcular los vectores propios correspondientes
• Formar la matriz C con los vectores propios
• Aplicar C-1AC
• Calcular todos los valores propios
• Calcular los vectores propios correspondientes
• Formar la matriz C con los vectores propios
• Aplicar C-1AC
1
1 1
1
1
A n n
C
C AC
C CC AC AC
C
C A
C ACC
C
Sea una matriz diagonalizable.
Sea la matriz de similaridad que la
diagonaliza.
Tenemos
0 !
nAt n
n
Ae t
n
1
1
0 0! !
nn
A
n n
A n n
C
A C C
C CAe
n n
Sea una matriz diagonalizable.
Sea la matriz de similaridad que la
diagonaliza.
Como tenemos
0 !
nAt n
n
Ae t
n
1
0 0
1 1 1 1 1
1 11
0 0 0 0
! !
...
! ! ! !
nn
A
n n
n n
nn n n
A
n n n n
C CAe
n n
C C C C C C C C C C
C CA C Ce C C
n n n n
pero
así que
0 !
nAt n
n
Ae t
n
1 11
0 0 0 0
1
1
! ! ! !
exp ex
xp
p
e
nn n n
A
n n n n
C CA C Ce C C
n n n n
C
C
C
C
A
El resultado es
0 !
nAt n
n
Ae t
n
1 11
0 0 0 0
1
1
! ! ! !
exp ex
xp
p
e
nn n n
A
n n n n
C CA C Ce C C
n n n n
C
C
C
C
A
El resultado es
5 4. exp .
1 2A A
Sea Calcula
5 4. exp .
1 2A A
Sea Calcula
2
5 4
1 2
5 4det det
1 2
5 2 4 7 6 1 6
1 0
0 6
A
f I A
5 4.
1 2A
Valores propios 1 y 6
5 4
1 2
4 4 0
0
0
1, 1 , , 0
Ax x
x x
y y
x y
x y
x y
t t R t
5 4.
1 2A
Valores propios 1 y 6
6
5 46
1 2
4 0
4 0
4 0
4,1 , , 0
Ax x
x x
y y
y x
x y
y x
t t R t
5 4
1 2A
Valores propios: 1 y 6
1 4Vectores propios: y
-1 1
1
1
1 4 1 41
1 1 1 15
1 4 5 4 1 41
1 1 1 2 1 15
1 0
0 6
C C
C AC
5 4. exp .
1 2A A
Sea Calcula
6
1
6 6
6
6
exp exp
5 4 1 4 1 0 1 41exp exp
1 2 1 1 0 6 1 15
1 4 0 1 41
1 1 0
5 4 4 4 41exp
1 2 5 4
1 15
e e e e
e e e
A C C
e
e
e
0
0
det
0
nn
nj
nn
nj
p I A b
p A b A
Toda matriz cuadrada satisface su propia
ecuación característica. Es decir, si
entonces
2 2
2
2 1
3 1
2 1det det
3 1
2 1 3 3
3
2 3
5
5
0
3
A
A
p I
A I
A
22 13 5 0
3 1A A A I
2
3 2
4 2
5 2
3 5
3 5 3 5 3 3 5 5 4 15
4 15 4 15 4 3 5 15 3 20
3 20 3 3 5 20 29 15
...........
A A I
A A A I A A A I A A I
A A A I A A A I A A I
A A A A I A A I
0
1 1 2 21 2 1 0
1 1
!
...
, ,...,
.
iAt i
i
At n n n nn n
n
Ae t
i
A n n
e A t A t At I
t
A
0
Si es una matriz , entonces
donde
son funciones de que deben ser
determinadas para cada matriz
1 1 2 21 2 1 0
1 21 2 1 0
...
...
At n n n nn n
n nn n
A n n
e A t A t At I
r
Sea es una matriz , sabemos que
y definamos
1 1 2 21 2 1 0
1 21 2 1 0
...
...
At n n n nn n
n nn n
A n n
e A t A t At I
r
Sea es una matriz , sabemos que
y definamos
i
i
i
At
e r
Si es un valor propio de ,
2
2
1
1
1
.............................
i
i
i
i
i
i
i
k
k
k
k At
de r
d
de r
d
de r
d
Además, si es un valor propio de multiplicidad ,
, de la matriz entonces las siguientes
ecuaciones se cumplen
1 0
2 22 1 0
At
At
A
e At I
A
e A t At I
Si es una matriz 2 2
Si es una matriz 3 3
2
01
1
10
1 1 1 1
1 1
, ,..., .
, , 1,2,3,...,
exp
, 0 1
n
k
k mm
n
k kk
k k k
A n n
P A I P A A I k n
tA r t P A
r t r t r
r t r
1Sean los valores propios de una matriz ,
Definimos la sucesión de polinomios
Entonces se tiene
donde
1 1, 0 0k kt r t r
Ejemplo: 1
0
0
0
xA x x Ax A
x
y x Ay x x y x c
y x e c e e d
Ejemplos: 1, 2, 3
1 4 5
2 7 9
4 4 7
dxx
dt
4 5
2 7 9
4 4 7
dxx y z
dtdy
x y zdtdz
x y zdt
1 4 5
2 7 9
4 4 7
x xd
y ydt
z z
3 2
2
1 2 3
1 0 0 1 4 5
det 0 1 0 2 7 9
0 0 1 4 4 7
1 4 5
det 2 7 9 1
4 4 7
1 1
0 1, 1, 1
f
f
2 22 1 0
At
A
e A t At I
Si es una matriz 3 3
22 1 0
Entonces,
r
2 22 1 0
22 1 0
At
A
e A t At I
r
Si es una matriz 3 3
2 22 1 0 2 1 0
te t t t t
2 22 1 0
22 1 0
At
A
e A t At I
r
Si es una matriz 3 3
2 22 1 0 2 1 0
te t t t t
2 22 1 0
22 1 0
2 12
At
A
e A t At I
r
r
Si es una matriz 3 3
2 1 2 12 2te t t
22 1 0
22 1 0
2 12
t
t
t
e t t
e t t
e t
22
21
0
1
1
2 1 0
t
t
t
t t e
t t e
t e
22 1 0
22 1 0
2 12
t
t
t
e t t
e t t
e t
22
21
0
1
1
2 1 0
t
t
t
t t e
t t e
t e
2 212
2
1 1 1
4 4 211 1
1 02 2
2 1 01 3 1
4 4 2
t t tt t
t tt t
t
t
2 2122
21
0
2 4 41
12 2
2 1 03
4 4 2
t t t
t
t tt
tt t t
e e e
t t tt t ee e
t t et t
t ee e te
22 1 0
22 1 0
2 12
t
t
t
e t t
e t t
e t
2 22 1 0
At
A
e A t At I
Si es una matriz 3 3
2 2
2
1
0
2 4 4
2 2
3
4 4 2
t t t
t t
t t t
e e e
t t t
e e
t t
e e te
2 1 3
2 4 4 2 4 4 2
t t t t t tAt t tte e e e e te
e A e e A I
2 2
22 2
2 1 0 1
0
2 4 4
2 2
3
4 4 2
t t t
t tAt
t t t
e e e
t t t
e ee A t At I
t t
e e te
2 1 3
2 4 4 2 4 4 2
t t t t t tAt t tte e e e e te
e A e e A I
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
t t t t t t t t t
At t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
e te e te e e e te e
e e te e te e e e te e
te e e e te e e te e
1
2
3
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
At
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
x t e c
x t e te e te e e e te e c
y t e te e te e e e te e c
z t te e e e te e e te e c
1 4 5
2 7 9
4 4 7
dxx
dt
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
x t e te e c te e e c e te e c
y t e te e c te e e c e te e c
z t te e e c e te e c e te e c
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
t t t t t t t t t
At t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
e te e te e e e te e
e e te e te e e e te e
te e e e te e e te e
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
x t e te e c te e e c e te e c
y t e te e c te e e c e te e c
z t te e e c e te e c e te e c
1 2 3
1 2 3 3
1 2 3 3
5 5 12
3 3 9
4 4 12
3 3 9
t t t
t t t t
t t t t
x t a e a e a te
y t a e a e a te a e
z t a e a e a te a e
1 2 3
1 2 3 3
1 2 3 3
5 5 12
3 3 9
4 4 12
3 3 9
t t t
t t t t
t t t t
x t a e a e a te
y t a e a e a te a e
z t a e a e a te a e
4 5
2 7 9
4 4 7
dxx y z
dtdy
x y zdtdz
x y zdt
Hasta aquí en la quinta clase el viernes 20 de junio del 2008
Lunes 23 de junio del 2008. Sexta clase
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iniciales y de valores a la frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
( ) ( 1)1 1 0
( )
0
...
1
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
con coeficientes constantes
La escribimos en forma resumida como
con
n nn
i n
ni
i
n
y a y a y a y x
aa y x
11
0 01
0
( )
01
0
i n
n ii jj
ii j
ni
ii
ni
i
n
a
x a s y
y xa s
a y x
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
con coeficientes constantes
con
Solución
LL
- 1
F s
F s f x
f x F s
La transformada de Laplace
de la función , denotada como
es una función t
in
a
versa
l
que
L
L
1) Usando una computadora
(Maple, Mathematica, etc)
2) Usando tablas
Usando tablas:
i) Está exactamente lo que buscamos.
ii) La transformada no está directamente
y hay que manipularla para poder usar
las tablas.
2 22
2 2
b bas bs c a s c
a a
Completar cuadrados:
1 22
1 1 2 2222 2 2
...
...
mm m
p pp p
a sa s b s
b s
a s A A A
s as a s a s a
B s Ca s B s C B s C
s bs cs bs c s bs c s bs c
Fracciones parciales:
con grado grado
s a s b b a
aa b
b
i)
ii)
22 0y ay a y
2
2
2 0
2 0
y ay a y
y a y a y
L L
L L L
1 2 11 2 30 0 ... 0m mm m m my x s y s y s y y s Y s L
2
0
0 0
y x Y s
y x y sY s
y x sy y s Y s
L
L
L
22 0y ay a y
2
2
2
2 0
0 0
2 0
0
sy y s Y s
y a
a y sY s
y y
a Y s
a
L L L
22 0y ay a y
2 2
2 2
2 2
12 2
0 0 2 0 2 0
2 2 0 0 0 0
0 2 0 0
2
0 2 0 0
2
sy y s Y s ay asY s a Y s
s as a Y s ay sy y
y ay syY s
s as a
y ay syy x
s as a
L
12 2
0 2 0 0
2
y ay syy x
s as a
L
2 22 2
12
12
0 2 0 0 0 2 0 0
2
1
1
ax
ax
y ay sy y ay sy
s as a s a s a
xes a
sax e
s a
L
L
0 2 0 0 1
0 0 0
ax ax
ax ax
y ay xe y ax e
y ay xe y e
2 22 2
12
12
0 2 0 0 0 2 0 0
2
1
1
ax
ax
y ay sy y ay sy
s as a s a s a
xes a
sax e
s a
L
L
22 0
0 0 0ax ax
y ay a y
y x y ay xe y e
La ecuación
tiene la solución general
4 4
1 2 30 0 0 0 0
y k y f x
y y y y
Resolver la ecuación
con las condiciones iniciales
4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y
4 4
4 4
4 4
y k y f x
y k y F s
y k Y s F s
L L
L L
L
4 4
4 4
1 11 2
4 1 2 33 2 4
0 0 ... 0
0 0 0 0
m mm m m
y k Y
y
s F s
y x s y s y y s Y s
y s y s y sy y s Y
Y
s
s s
L
L
L
L
4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y
4 4
4 4
14 4
s Y s k Y s F s
F sY s
s k
F sy x
s k
L
4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y
14 4
F s
s k
L
0
1 1
1
x
f g x f g x d
F s g s
F s g s
f g x F s g s
f g x
f g x
L
L L L
L
14 4
F s
s k
L
1
14 4
1
s k
F f
L
L
4 4 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
4 4 2 2 2 2 2
1 1
10,
1,
21 1 1 1
2
A B
s k s k s ks k s k
A s k B s k s A B k A B
s k s k s k s k
A B A Bk
B A Ak
s k k s k s k
1 14 4 2 2 2 2 2
1 12 2 2 2 2 2
12 2
12 2
14 4 3
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2 2
1 sinh
1 sin
1 1sinh sin
2
s k k s k s k
k s k k s k
kx
s k k
kx
s k k
kx kxs k k
L L
L L
L
L
L
1 14 4 4 4
30
1
1sinh sin
2
x
F sy x f x
s k s k
y x k k f x dk
L L
4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y
4 4
1 2 3
30
0 0 0 0 0
1sinh sin
2
x
y k y f x
y y y y
y x k k f x dk
La solución de la ecuación
con condiciones iniciales
es
Clase del miércoles 17 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
0
y x A x y x x
y x c
Condiciones iniciales
1 1
2 2
1 1
. .
. .
. .
n n
n n
y x x
y x x
y x x
y x x
y x x
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
1,1 1,2 1,3 1,4 1,
,1 ,2 ,3 ,4 ,
...
...
...
. . . . .
. . . . .
. . . . .
...
...
n
n
n
n n n n n n
n n n n n n
a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x
A x
a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x
0 0
1 0 1
1 0 2
0 1
. .
. .
. .
n n
n n
y x c
y x c
c
y x c
y x c
0
)
y x Ay x x
c
A
x
y x
(no depende de
Condiciones in
es una matriz co
iciales:
nstante
exp exp
dyp x y q x
dx
y x q x p x dx dx c p x dx
y x Ay x x
dyp x y q x
dx
0
0
0
xA x x Ax A
x
y x Ay x x y x c
y x e c e e d
0
0
A x x
y x Ay x y x c
y x e c
0 !
nAt n
n
Ae t
n
0 !
nAt n
n
Ae t
n
1exp expA C C
A n n
C
Sea una matriz diagonalizable.
Sea la matriz de similaridad que la
diagonaliza.
Tenemos
0
0
det
0
nn
nj
nn
nj
p I A b
p A b A
Toda matriz cuadrada satisface su propia
ecuación característica. Es decir, si
entonces
0
1 1 2 21 2 1 0
1 1
!
...
, ,...,
.
iAt i
i
At n n n nn n
n
Ae t
i
A n n
e A t A t At I
t
A
0
Si es una matriz , entonces
donde
son funciones de que deben ser
determinadas para cada matriz
1 1 2 21 2 1 0
1 21 2 1 0
...
...
At n n n nn n
n nn n
A n n
e A t A t At I
r
Sea es una matriz , sabemos que
y definamos
1 1 2 21 2 1 0
1 21 2 1 0
...
...
At n n n nn n
n nn n
A n n
e A t A t At I
r
Sea es una matriz , sabemos que
y definamos
i
i
i
At
e r
Si es un valor propio de ,
1 1 2 21 2 1 0
1 21 2 1 0
1 1
...
...
exp exp exp expi
At n n n nn n
n nn n
i i
e A t A t At I
r
A C C C AC
At e r
Si es un valor propio de ,
1
1 1 1 2 21 2 1 0
1 1 1 1 2 2 11 2 1 0
1 1 2 21 2 1 0
1 21 2 1 0
exp exp
...
...
...
...
n n n nn n
n n n nn n
n n n nn n
n nn n
t C At C
C A t A t At I C
C A Ct C A Ct C ACt I
t t t I
r
2
2
1
1
1
.............................
i
i
i
i
i
i
i
k
k
k
k At
de r
d
de r
d
de r
d
Además, si es un valor propio de multiplicidad ,
, de la matriz entonces las siguientes
ecuaciones se cumplen
1 0
2 22 1 0
At
At
A
e At I
A
e A t At I
Si es una matriz 2 2
Si es una matriz 3 3
1 4 5
2 7 9
4 4 7
dxx
dt
4 5
2 7 9
4 4 7
dxx y z
dtdy
x y zdtdz
x y zdt
1 4 5
2 7 9
4 4 7
x xd
y ydt
z z
3 2
2
1 2 3
1 0 0 1 4 5
det 0 1 0 2 7 9
0 0 1 4 4 7
1 4 5
det 2 7 9 1
4 4 7
1 1
0 1, 1, 1
f
f
2 22 1 0
At
A
e A t At I
Si es una matriz 3 3
22 1 0
Entonces,
r
2 22 1 0
22 1 0
At
A
e A t At I
r
Si es una matriz 3 3
2 22 1 0 2 1 0
te t t t t
2 22 1 0
22 1 0
At
A
e A t At I
r
Si es una matriz 3 3
2 22 1 0 2 1 0
te t t t t
2 22 1 0
22 1 0
2 12
At
A
e A t At I
r
r
Si es una matriz 3 3
2 1 2 12 2te t t
22 1 0
22 1 0
2 12
t
t
t
e t t
e t t
e t
22
21
0
1
1
2 1 0
t
t
t
t t e
t t e
t e
22 1 0
22 1 0
2 12
t
t
t
e t t
e t t
e t
22
21
0
1
1
2 1 0
t
t
t
t t e
t t e
t e
2 212
2
1 1 1
4 4 211 1
1 02 2
2 1 01 3 1
4 4 2
t t tt t
t tt t
t
t
2 2122
21
0
2 4 41
12 2
2 1 03
4 4 2
t t t
t
t tt
tt t t
e e e
t t tt t ee e
t t et t
t ee e te
22 1 0
22 1 0
2 12
t
t
t
e t t
e t t
e t
2 22 1 0
At
A
e A t At I
Si es una matriz 3 3
2 2
2
1
0
2 4 4
2 2
3
4 4 2
t t t
t t
t t t
e e e
t t t
e e
t t
e e te
2 1 3
2 4 4 2 4 4 2
t t t t t tAt t tte e e e e te
e A e e A I
2 2
22 2
2 1 0 1
0
2 4 4
2 2
3
4 4 2
t t t
t tAt
t t t
e e e
t t t
e ee A t At I
t t
e e te
2 1 3
2 4 4 2 4 4 2
t t t t t tAt t tte e e e e te
e A e e A I
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
t t t t t t t t t
At t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
e te e te e e e te e
e e te e te e e e te e
te e e e te e e te e
1
2
3
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
At
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
x t e c
x t e te e te e e e te e c
y t e te e te e e e te e c
z t te e e e te e e te e c
1 4 5
2 7 9
4 4 7
dxx
dt
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
x t e te e c te e e c e te e c
y t e te e c te e e c e te e c
z t te e e c e te e c e te e c
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
t t t t t t t t t
At t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
e te e te e e e te e
e e te e te e e e te e
te e e e te e e te e
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 6 3 6 3
6 10 6 10 2 2 5 2
8 6 6 2 8 2 4 2
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
x t e te e c te e e c e te e c
y t e te e c te e e c e te e c
z t te e e c e te e c e te e c
1 2 3
1 2 3 3
1 2 3 3
5 5 12
3 3 9
4 4 12
3 3 9
t t t
t t t t
t t t t
x t a e a e a te
y t a e a e a te a e
z t a e a e a te a e
1 2 3
1 2 3 3
1 2 3 3
5 5 12
3 3 9
4 4 12
3 3 9
t t t
t t t t
t t t t
x t a e a e a te
y t a e a e a te a e
z t a e a e a te a e
4 5
2 7 9
4 4 7
dxx y z
dtdy
x y zdtdz
x y zdt
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones
diferenciales ordinarias
0
0
00
0
0
Una función : es analítica en
el punto si su serie de Taylor alrededor
de
!
converge a en una vecindad de
nn
n
f R R
x
x
f xx x
n
f x x
• Los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial son analíticas en todos lados
• Sumas diferencias y productos de los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial también son analíticas en todos lados
• Cocientes de dos de estas funciones son analíticas en todos los puntos en los cuales el denominador no se hace cero
y P x y Q x y x
y P x y Q x y x
0
0
El punto es un de la ecuación
diferencial si tanto como s
punto or
on analí-
ticas en .
dinariox
P x Q x
x
y P x y Q x y x
0
Si cualquiera de las dos funciones, y ,
no son analíticas, entonces el punto es singular.
P x Q x
x
1 1 2 20
1 2
Si 0 es un punto ordinario de la ecuación
0
entonces la solución general en un intervalo
conteniendo al cero, tiene la forma
donde y son constantes arbitrarias
nn
n
x
y P x y Q x y
y x a x c y x c y x
c c
1
2
y y
son funciones linealmente independientes
y analíticas en 0
y x
y x
x
0
0
La solución general tiene la forma
¿Cómo determinamos los coeficientes ?
nn
n
n
y P x y Q x y
y x a x
a
0
Paso 1:
Sustituimos la propuesta solución
en la ecuación diferencial original
0
nn
n
y x a x
y P x y Q x y
0 0
1
00
? n nn n
nn
nn n
n n n
d a x d xdy x da x a
dx dx da x
x dxn
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
121
20 0
1
2
0 0
1
? nnn
nn n
n
nn n
n n
d na xd y x dna x
dx dx dx
d xna n n a x
dx
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
2 1
0 0 0
Paso 1:
1 0n n nn n n
n n n
n n a x P x na x Q x a x
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
Paso 2:
Agrupamos las potencias de e igualamos a
cero los coeficientes (Dado que las potencias
de son linealmente independientes)
x
x
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
0 1
Paso 3
Se resuelven las formulas de recurrencias que
se obtiene al igualar las potencias de a cero.
Se determinan 2,3,4,... en términos
de y
j
x
a j
a a
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
Paso 4
Los coeficientes 0,1,2,3,4,...
se sustituyen en la serie y se trata de
determinar una forma analítica.
ja j
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
Ejemplos: 1, 2
Ejemplo: La ecuación de Legendre
Resolver la ecuación diferencial de Legendre (1-x²)y´´-2xy´+α(α+1)y=0mediante el uso de series de potencias.
Usaremos ahora el método de series de potencias.Escribimos la ecuación como (1-x²)y´´-2xy´+α(α+1)y=0 Es claro que el 0 es un punto ordinario de la ecuación, ya que los coeficientes son analíticos alrededor de 0.Por tanto, proponemos que la solución se puede escribir como y(x)=∑_{k=0}^{∞}a_{k}x^{k}
Usaremos ahora el método de series de potencias. Escribimos la ecuacion como
(1- ²) ´́ -2 ´ ( 1) 0
Es claro que el 0 es un punto ordinario de la ecuación, ya que los coeficientes son analíticos a
x y xy a a y
0
lrededor de 0.
Por tanto, proponemos que la solución se puede escribi
( )
r como
kk
k
y x a x