Electronica Digita l Parte 2 V1_1

Algebra de Boole y compuertas lógicas

01/09/15 Electrónica digital M.I. Juan Manuel Mejia Camacho

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Compuertas lógicas

Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico que es la expresión física de un operador booleano en la lógica de conmutación. Cada puerta lógica consiste en una red de dispositivos interruptores que cumple las condiciones booleanas para el operador particular. Son esencial-mente circuitos de conmutación integrados en un chip.

circuito serie, ya que con uno solo de éstos que tuviera la condic ión «abierto», la salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que para la implementación de una compuerta “O” (OR) , l a conex ión de los interruptores tiene una configuración en circuito paralelo.

Claude Elwood Shannon experimenta-ba con relés o interruptores electro-magnét icos para conseguir las condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana “Y” (AND) colocaba interruptores en



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Compuertas lógicas – NOT (inversor)

El inversor (puerta NOT) realiza la operación denominada inversión o complementación. El inversor cambia un nivel lógico al nivel opuesto. En términos de bits, cambia un 1 por un 0, un 0 por un 1. En la siguiente figura se muestran los símbolos lógicos estándar del inversor.

Símbolos Símbolos distintivos. rectangulares. La forma distintiva es util izada regularmente en América y están definidos por el estándar ANSI/IEEE 91-1984, mientras que los rectan-gulares son utilizados en Europa y están definidos por el estándar IEC-60617-12. A continuación la tabla de verdad:

Entrada Salida

Bajo (0) Alto (1)

Alto (1) Bajo (0)



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Compuertas lógicas – NOT (inversor) El Diagramas de tiempo es básica-mente una gráfica que presenta de forma precisa las relaciones de dos o más formas de onda en función del tiempo. Por ejemplo, la relación de tiempo del impulso de salida respecto al impulso de entrada de la compuerta NOT puede representarse con un sencillo diagrama de tiempos.

del impulso de entrada y el flanco de subida del impulso de salida se producen al mismo tiempo idealmente. Expresión lógica del inversor. En el á lgebra booleana, que son las matemáticas de los circuitos lógicos, una variable se designa mediante una letra. El complemento de una variable se designa mediante una barra encima de la letra. Una variable puede tomar uno de dos valores, 1 o 0. Si una variable dada es 1, su complemente es 0, y viceversa. Por tanto el modo de operación de un inversor puede expresarse de l siguiente modo: Si la variable de entrada se designa por A y la variable de salida por X, entonces:

X=A

Entrada Salida

t1 t2 El flanco de subida del impulso de entrada y el flanco de bajada del impulso de salida se producen al mismo tiempo (idealmente). Igual-mente, el flanco de bajada del impulso

Flancos



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Compuertas lógicas - AND

Esta expresión establece que la salida es el complemento de la entrada, es decir, si A=0, entonces X=1; y si A=1, entonces X=0. La variable complemen-tada A se lee como “A negada”. La compuerta AND es una de las compuertas básicas con la que se construyen todas las funciones lógicas. Una puerta AND puede tener dos o más entradas y realiza la operación que se conoce como multiplicación lógica. Los símbolos lógicos estándar se muestran a continuación:

nivel ALTO sólo cuando todas las entradas están a nivel ALTO. Cuando cualquiera de las entradas está a nivel BAJO, la salida se pone a nivel BAJO. Por tanto, el propósito básico de una puerta AND es determinar cuándo ciertas condiciones de entrada simulta-neamente verdaderas, y por tanto producen una salida a nivel ALTO. Tabla de verdad de la puerta AND.

Símbolo Símbolo distintivo. rectangular. La puerta AND genera una salida a

AB

AB

X X

Entrada A Entrada B Salida X Bajo (0) Bajo (0) Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Alto (1)

En la siguiente figura se muestra la ejecución de la tabla de verdad mediante el símbolo lógico de AND:



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El número de posibles combinaciones de entradas binarias a una compuerta viene determinada por la siguiente formula:

N=2n

Donde N son todas las posibles combinaciones, y n es el número de variables de entrada, por ejemplo: Para dos variables de entrada: N=22=4 combinaciones. Para 3 variables de entrada: N=23=8 combinaciones.

Para cuatro variables de entradas: N=24=16 Combinaciones. Ejemplo 1 (análisis de diagrama de tiempo):

00

01

11

10

0

0

0

1

A

B

X



51


Ejemplo 2. Obtener la señal de salida del siguiente ejemplo:

Tarea 1. Obtener la señal de salida del siguiente ejemplo:

A

B

X

Entregar 29 de septiembre del 2010.



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Solución tarea 1




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Expresión lógica de compuerta AND. La función lógica AND de dos variables se representa matemática-mente colocando un punto entre las dos variables, A•B, o simplemente escribiendo las letras juntas sin el punto, AB. La multiplicación booleana es lo mismo que la función AND. Por tanto el una compuerta AND de dos entradas puede expresarse en forma de ecuación como sigue:

X=AB

Donde A y B son variables de entrada, mientras que X es la variable de salida. Para representar una compuerta AND de más de dos entradas, simplemente utilice una nueva letra para cada variable de entrada. Por ejemplo:

X=ABC

Donde A, B y C son las variable de entrada. Ejemplo de aplicación. Un sistema de alarma para el cinturón de seguridad.

Éste detecta cuando el interruptor de arranque se ha activado y (AND) el c inturón de seguridad no está abrochado. Si el interruptor de arranque se ha activado, la entrada A se pone a nivel alto. Si el cinturón de seguridad no está correctamente



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Compuertas lógicas – OR

abrochado, la entrada B se pone a n ive l a l to. También cuando e l interruptor de arranque se activa, se inicializa un temporizador que pone a nivel ALTO la entrada C durante 30 segundos. Si estas tres condiciones se cumplen, la salida de la puerta AND se pone a nivel alto, y una alarma audible se activa para advertir al conductor. La puerta OR es otra de las puertas básicas con las que se construyen todas las funciones lógicas. Una puerta OR puede tener dos o más entradas y realiza la operación que se conoce como suma lógica.

Esta puerta genera un nivel ALTO a la salida cuando cualquiera de sus entradas está a nivel alto. La salida se pone a nivel BAJO sólo cuando todas las entradas están a nivel BAJO. Tabla de verdad de puerta OR.

Símbolo Símbolo distintivo. rectangular.

Entrada A Entrada B Salida X Bajo (0) Bajo (0) Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Alto (1) Alto (1)

En la siguiente figura se muestra la ejecución de la tabla de verdad mediante el símbolo lógico de la puerta OR:



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Compuertas lógicas - OR

.

Funcionamiento con trenes de impulso. Lo mas importante de las compuertas OR en este modo es la relación de tiempos en las entradas, por ejemplo:

00

0 01

1

11

110

1



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Ejemplo 1. Obtener la señal de salida del siguiente ejemplo:

Expresión lógica de compuerta OR. La función lógica OR de dos variables se representa matemáticamente me-diante un signo + entre las dos varia-bles, por ejemplo, A+B. Las reglas básicas de la suma booleana son las siguientes:

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

Obsérvese que la suma booleana difiere de la suma binaria en el caso en que se suman dos 1s. En la suma booleana no existe acarreo.


Entregar 30 de septiembre del 2010.



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Solución tarea 2




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El funcionamiento de una puerta OR de 2 entradas se puede expresar como sigue:

X=A+B

Donde A y B son variables de entrada y la variable X la salida. Ejemplo:

y una salida a nivel bajo cuando se cierra. Cuando las ventanas y la puerta están aseguradas, los interruptores están cerrados y las tres entradas a la compuerta OR son 0. Cuando se abre una de las ventanas o la puerta, en la entrada correspondiente de la puerta OR se genera un nivel ALTO y la salida de la puerta se pone a nivel alto (1).

Ejemplo de aplicación. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de alarma y detección de intrusión simplificado. Este sistema se podría utilizar en una habitación de dos ventanas y una puerta. Los sensores son interruptores magnéticos que producen un nivel de salida alto cuando se abre la puerta (o ventanas)



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Compuertas lógicas - NAND

La puerta NAND es una contracción de NOT-AND, e implica una función AND con la salida complementada (nega-da). En la siguiente figura se muestra el símbolo lógico estándar para 2 entradas.

Tabla de verdad.


La salida X es un nivel bajo si las entradas A y B están a nivel ALTO; X es un nivel ALTO si A o B están a nivel BAJO o si ambas, A y B, están a nivel BAJO.

En la siguiente figura se muestra la ejecución de la tabla de verdad mediante el símbolo lógico de NAND:

Entrada A Entrada B Salida X Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Alto (1) Bajo (0)

00

01

11

10

1

1

1

0



60


Funcionamiento con trenes de impulso. Veamos ahora el funciona-miento de la puerta NAND con un tren de impulsos.

Operación equivalente negativa OR de la puerta NAND. La respuesta de una compuerta OR con ambas entradas negadas (negativa OR) es equivalente a la respuesta de la compuerta NAND.

Ejemplo 1.

AB

X AB

X

Ejemplo de aplicación. Una planta de fabricación utiliza dos tanques para almacenar un determinado líquido químico que se requiere en un proceso de fabricación. Cada tanque dispone de un sensor que detecta cuándo el nivel del líquido cae al 25% del total. Dichos sensores generan una tensión de 5V cuando los tanques están llenos por encima del 25% y generan 0V cuando el nivel del tanque cae por debajo del 25%.



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En el panel indicador se requiere de un diodo emisor de luz (LED, light emitting diode) verde que indique que el nivel de ambos tanques está por encima del 25%.

Tarea 3. ¿Cómo se puede modificar el circuito del ejemplo anterior para controlar el nivel de tres tanques? Simule el circuito en Multisim y entregue reporte.

Entregar 1 de Octubre del 2010.

Expresión lógica de compuerta NAND. La expresión booleana para la puerta NAND de dos entradas es:

X=AB Esta expresión significa que las dos variables de entrada, A y B, se mu l t i p l i can (AND) y l uego se complementan, tal y como lo indica la barra sobre la expresión lógica correspondiente AND.



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Compuertas lógicas - NOR

La puerta NOR es una contracción de NOT-OR e implica una función OR con la salida invertida (complementada). En la siguiente figura se muestra el símbolo lógico estándar para 2 entradas.

Tabla de verdad.


AB

X

AB

X

AB

X

La puerta NOR genera una salida a nivel BAJO cuando cualquiera de sus entradas esta a nivel ALTO. Cuando todas sus entradas estén a nivel BAJO, la salida se pondrá a nivel ALTO.

Entrada A Entrada B Salida X Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Bajo (0)

En la siguiente figura se muestra la ejecución de la tabla de verdad mediante el símbolo lógico de NOR:

00

01

1

1

1

0

1

0

0

0



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Funcionamiento con trenes de impulso. Veamos ahora el funciona-miento de la puerta NOR con un tren de impulsos.

Operación equivalente negativa-AND de la puerta NOR. La respuesta de una compuerta AND con ambas entradas negadas (negativa NAND) es equivalente a la respuesta de la compuerta NOR.

Ejemplo 1.

AB

XAB

X

Ejemplo de aplicación. Como parte del sistema de monitorización funcio-nal de un avión, se requiere un circuito para indicar el estado del tren de aterrizaje antes de tomar tierra. Se enciende un LED verde si los tres mecanismos de aterrizaje están correctamente extendidos cuando el interruptor para “bajar el tren de aterrizaje” se ha activado. Un LED rojo se enciende si cualquiera de los mecanismos falla al extenderse antes de aterrizar. Cuando uno de los meca-



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nismos se extiende, el sensor correspondiente genera una tensión a nivel BAJO. Cuando uno de los mecanismos del tren de aterrizaje se retrae, su sensor genera una tensión a nivel ALTO.

Ala 1 Frente Ala 2 LED rojo

LED verde

0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0



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Expresión lógica de compuerta NOR. La expresión booleana para la puerta NOR de dos entradas es:

X=A+B

Esta ecuación indica que las dos variables de entrada primero se suman (OR) y luego se complementan, tal y como indica la barra de la expresión lógica OR.

.



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Compuertas lógicas – XOR & XNOR

La puerta OR-exclusiva (XOR) se forma por una combinación de compuertas antes mencionadas. El símbolo estándar para la puerta OR-exclusiva se muestra en la siguiente figura:

AB

XAB

X


La salida de una puerta XOR se pone a nivel alto sólo cuando las dos entradas están a niveles lógicos opuestos. Esta operación se puede expresar, en función de dos entradas A y B y una salida X en la siguiente tabla de verdad:

Entrada A Entrada B Salida X Bajo (0) Bajo (0) Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Alto (1) Bajo (0)

En la siguiente figura se muestra la ejecución de la tabla de verdad mediante el símbolo lógico de XOR:

00

01

1

1

1

0

0

1

1

0



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La puerta NOR-exclusiva al igual que la puerta XOR sólo tiene dos entradas. El circulo en la salida del símbolo de la puerta indica que su salida es la opuesta a la puerta XOR.

En la siguiente figura se muestra la ejecución de la tabla de verdad mediante el símbolo lógico de XOR:


AB

XAB

X

Cuando los niveles lógicos de entrada son opuestos, la salida de la puerta XNOR es un nivel BAJO y cuando son iguales, la salida es un nivel ALTO. Esta operación se puede expresar, en función de dos entradas A y B y una salida X en la siguiente tabla de verdad:

Entrada A Entrada B Salida X Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Alto (1) Bajo (0) Bajo (0) Alto (1) Alto (1) Alto (1)

00

01

1

1

1

0

1

0

0

1



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Funcionamiento con trenes de impulso. Veamos ahora el funciona-miento de la puerta XOR con un tren de impulsos.

Ejemplo de aplicación. La puerta XOR se puede utilizar como sumador de dos bits, ya que cumple con las reglas básicas de la suma binaria, es decir:

Ejemplo 1.

A B Σ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 (Sin acarreo)



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El circuito de la XOR es como sigue: .

El circuito de la XNOR es como sigue:



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Familias lógicas TTL y CMOS

Diferencia entre familias TTL y C M O S . E n l a f a b r i c a c i ó n d e compuertas lógicas existen dos familias muy populares las cuales son conocidas como TTL y CMOS nom-bradas así por la estructura interna de las mismas. La familia TTL (Transistor–transistor logic) se componen de transistores bipolares y la familia CMOS se compone de transistores de efecto de campo conocidos como CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor). Debido a que los transistores bipolares necesitan corriente de polarización, el consumo en potencia en la familia TTL es superior a la familia CMOS. El retardo de propagación es otro factor; en este aspecto las compuertas TTL son más eficientes comparadas con las CMOS, ya que la tecnología

CMOS requiere de un tiempo de restablecimiento para altas frecuencias mucho mayor que la familia TTL. El voltaje de operación es una desventaja entre TTL y CMOS, ya que la familia TTL trabaja con voltajes ya establecidos entre 0 y 5V mientras que la familia CMOS puede variar este intervalo según las necesidades del diseño, que van de 0 estado bajo y VDD estado alto. VDD puede ser de 3V a 15V, por lo que la regulación de voltaje no es un aspecto crítico. El fan-out es otro factor que hace la diferencia entre estas familias, debido al bajo consumo de potencia de la tecnología CMOS, el fan-out es mucho mayor que en las familias TTL



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Características técnicas.

.



72


El fan-out de una puerta es el número máximo de entradas a puertas (de la misma familia que la puerta en cuestión) que es posible conectar. En otras palabras, el número de entradas de etapas sucesivas que se pueden conectar a la salida de la puerta.

IOH: La corriente de salida que la puerta proporciona a la carga cuando la salida está a nivel alto. Por convenio, a la corriente que sale de una terminal se le asigna un valor negativo. IIH: Valor de la corriente de entrada de la puerta para un nivel de tensión de entrada alto. IOL: La corriente de salida que la puerta acepta de la carga (sumidero) cuando la salida está en nivel bajo. Por convenio a la corriente que entra en un terminal se le asigna un valor positivo. IIL: Valor de la corriente de entrada de una puerta para un nivel de tensión de entrada bajo.



73


. .



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Si el fan-out se supera, podemos salirnos de los niveles lógicos y por tanto, el circuito no funcionaría. Para determinar esto es necesario conocer la capacidad de manejo de corriente de la salida (IOL(MAX) e IOH(MAX)) y los requerimientos de corriente de cada entrada (IIL e IIH). Estos datos están siempre presentes en alguna forma en la hoja de datos del fabricante. La manera de determinar el fan-out se obtiene por medio de las siguientes ecuaciones:

En el caso de que estos dos valores difieran se tomará el de valor menor. Ejemplo.

20)20,20min(),min(

20204.08

2020204.0

===−

=−=−

==

=−=−

==

LH

IL

OLL

IH

OHH

NNoutfanmAmA

IIN

AmA

IIN

µ

IH

OHH

IHHOH

IIN

INI

=

⋅−=

IL

OLL

ILLOL

IIN

INI

=

⋅−=

),min( LH NNoutfan =−

En el ejemplo anterior la máxima cantidad de compuertas a la salida es de 20 en la compuerta AND 74LS08, ya que al incrementar la cantidad de compuertas a la salida el valor lógico (0 o 1) que ocupemos no se obtendría.



75


. .



76

Operaciones y expresiones booleanas

E l á l g e b r a d e B o o l e s o n l a s matemáticas de los sistemas digitales. Los términos variable y complemento son términos ampliamente utilizados en el álgebra de Boole. Una variable es un símbolo que se utiliza para representar magnitudes lógicas. Cualquier variable puede tener un valor de 1 o 0. El complemento es el inverso de la variable y se indica mediante una barra encima de la misma. Por ejemplo, el complemento de A es A. Si A=1, entonces A=0. el complemento de la variable A se lee como “A negada” o “complementada”. Algunas veces también se utiliza un apóstrofe para indicar el complemento de una variable en lugar de la barra. Por ejemplo el complemento de B puede escribirse como B’.

La Adición booleana es equivalente a la operación OR y sus reglas son:

En los circuitos lógicos, un término suma se produce med iante la operación OR . Por ejemplo son: A+B, A+B+C y A+B+C+D. En los circuitos lógicos la multipli-cación booleana es equivalente a la operación AND y sus reglas básicas son:



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Leyes y reglas del álgebra de Boole

Ejemplo. Determinar los valores A, B, C, y D que hacen que el producto ABCD sea igual a 1. Las leyes del álgebra de Boole son las mismas que las de álgebra ordinaria. Leyes conmutativas. La ley conmu-tativa de la suma para dos variables se escribe como sigue:

A+B=B+A

Esta ley establece que el orden en que se aplica a las variables la operación OR es indiferente.

Ley conmutativa de la multiplicación para dos variables es:

AB=BA

Esta ley establece que el orden en que aplica a las variables la operación AND es indiferente.

Leyes asociativas. La ley asociativa de la adición para tres variables se escribe en forma algebraica de la siguiente manera:

A+(B+C) = (A+B) +C

Esta ley establece que al aplicar la operación OR a más de dos variables, el resultado es el mismo independien-



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temente de la forma que se agrupen las variables.

Esta ley establece que al aplicar la operación AND a más de dos variables, el resultado es el mismo independien-temente de la forma en que se agru-pen las variables..

La ley asociativa de la multiplicación para tres variables se escribe de la siguiente manera:

A(BC) = (AB)C



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La ley distributiva para tres variables se escribe de la siguiente manera:

A(B+C)=AB+AC

Esta ley establece que aplicar la operación OR a dos o más variables y luego aplicar la operación AND al resultado de esta operación y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de los sumandos y luego aplicar la operación OR a los productos resultantes, es decir:

A continuación se muestran las doce reglas básicas para la manipulación y simplificación de expresiones boolea-nas.

1. A+0=A 7. A•A=A

2. A+1=1 8. A•A=0

3. A•0=0 9. A=A

4. A•1=A 10. A+AB=A

5. A+A=A 11. A+AB=A+B

6. A+A=1 12. (A+B)(A+C)=A+BC



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Tarea 4. Ejemplificar las reglas básicas de Boole mediante compuertas lógicas y obtener su tabla de verdad.

En pocas palabras los teoremas de DeMorgan nos demues- t ran la equivalencia entre las puertas NAND y negativa-OR, y las puertas NOR y negativa-AND.


Teoremas de DeMorgan. DeMorgan, matemático que conoció a Boole, propuso dos teoremas que constituyen una parte muy importante del álgebra de Boole.

AB=A+B

A+B=A B

El siguiente procedimiento ilustra la a p l i c a c i ó n d e l t e o r e m a d e DeMorgan y del álgebra de Boole a una determinada expresión:



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Paso 1. Identificar los términos a los que se puede aplicar los teoremas de DeMorgan y considerar cada término como una única variable.

Paso 4. En el término de la derecha definimos: )( FEDCBA +++

YFEDXCBA =+=+ )(y Paso 2. Dado que X+Y=X Y.

)()( FEDCBAFEDCBA +•+=+++

Paso 3. Utilizar la regla 9 A=A para eliminar la barra doble sobre el término de la izquierda.

[ ] )()( FEDCBAFEDCBA +•+=+•+

)( FEZ +=por tanto:

[ ] DZCBA •+

Paso 5. Como DZ=D+Z

[ ] [ ] !"#

$%& ++•+=+•+ )()( FEDCBAFEDCBA

Paso 6. Utilizando la regla 9 (A=A) para eliminar la barra doble del término E+F:

[ ] [ ][ ]FEDCBAFEDCBA +++=!"#

$%& ++•+ )(



82


Ejemplo. Aplicar los teoremas de DeMorgan a las siguientes expresio-nes:

.

( )

EFDCBA

DEFABC

DCBA

++

+

++

c)

b)

a)

Tarea 5. Aplicar los teoremas de DeMorgan a las siguientes expresio-nes:

( )

( )( ) FEDCc

CDBA

C

+++

++

++

BA )

b)

BA a)




83

Solución tarea 5

. . ( )

( ) ( ) CBACBA

C

•+=•+

++BA a)

( )( ) ( )( )

( ) ( )CDBADCBA

DCBACDBA

CDBA

=+=

+•=•+

++ b)

( )

( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) FEDCBAFEDCBA

FEDCBAFEDCBA

FEDCc

++=++

=⋅++=+⋅+

+++BA )

Simplificación de funciones booleanas


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Simplificación mediante el Álgebra de Boole

Muchas veces, a la hora de aplicar el álgebra booleana, hay que reducir una expresión a su forma más simple o cambiarla a una forma más convenien-te para conseguir una implementación más eficiente. Para reducir dichas expresiones se utiliza las reglas, leyes y teoremas de álgebra de Boole para manipular y simplificar expresiones. Por ejemplo:

AB+A(B+C)+B(B+C)

Paso 1. Aplicar la ley distributiva al segundo y tercer término:

AB+AB+AC+BB+BC

Paso 2. Aplicar la regla 7 (BB=B) al cuarto término y la regla 5 (AB+AB=AB) al primer y 2do término.

AB+AC+B+BC

Paso 3. Aplicar regla 10 (B+BC=B) a los dos términos.

AB+AC+B

Paso 4. Aplicar la regla 10 (AB+B=B) a los términos primero y tercero.

B+AC



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Simplificar la siguiente expresión: Paso 1. Aplicar el teorema de DeMorgan al primer término: Paso 2. Aplicar el teorema de DeMorgan a cada término entre paréntesis: Paso 3. Aplicar la ley distributiva a los dos términos entre paréntesis: Paso 4. Aplicar la regla 7 (AA=A) al primer término y la regla 10 [AB+ABC=AB al tercer y al último término:

Paso 5. Aplicar la regla 10 (A+AC=A) a los términos primero y segundo: Paso 6. Aplicar la regla 10 (A+AB=A) a los términos primero y segundo: Ejemplo. Simplificar las siguientes expresiones booleanas.

CBAACAB ++

( ) ( ) CBAACAB +

( )( ) CBACABA +++

CBACBBACAAA ++++

CBBACAA +++

CBBAA ++

CBA+

( )[ ]ABCCBACBACBABCA

CBABDCBA

++++

++

)2

)1



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Formas estándar de la expresión booleanas

Todas las expresiones booleanas, independientemente de su forma, pueden convertirse en cualquiera de las dos formas estándar; suma de productos o producto de sumas. Suma de productos. Cuando dos o más productos se suman mediante la adic ión booleana, la expresión resultante se denomina suma de productos (SOP, Sum Of Products). Ejemplos: El dominio de una expresión booleana es el conjunto de variables (o sus complementos) contenidos en una expresión. Por ejemplo, el dominio de la expresión:

es el conjunto de variables A, B y C. La forma estándar de la suma de productos es aquélla en la que todas las variables del dominio aparecen en cada uno de los términos de la expresión. Por ejemplo: Cada término producto de una suma de productos que no contenga todas las variables dominio, puede ser transformada a su forma estándar de manera que incluya todas las v a r i a b l e s d e l d o m i n i o o s u s complementos. Paso 1. Multiplicar cada término producto no estándar por un término formado por la suma de la variable que falta y su complemento (A+A)=1.

DCBCDEABC

ABCA

++

+

CBA+AB

DCABDCBACDBA ++



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Paso 2. Repetir el paso 1 hasta que todos los términos de la expresión contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Ejemplo. Convertir la siguiente expresión booleana al formato suma de productos estándar. Paso1 y paso 2.

Por tanto:

DCABBACBA ++

( )( )( ) ( )

DCBADCBADCBACDBA

DDCBADDCBA

CBACBACCBABA

DCBACDBADDCBACBA

+++=

+++=

+=+=

+=+=

ZYWXZYXWZYXW

ZYXWYZXWZYXWYZXW

+++

+++

Una suma de productos (SOP) es igual a 1 si y sólo si uno o mas de los términos producto que forman la expresión es igual a 1. Ejemplo. Convertir la siguiente expresión booleana en una suma de productos estándar. Cuando dos o más términos suma se multiplican, la expresión resultante es un producto de sumas (POS, Product of Sums). Por ejemplo

YWXZYXYXW ++

( )( )( )DCBEDCCBA ++++++



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La Forma estándar del producto de sumas es aquel en el que todas las v a r i a b l e s d e l d o m i n i o o s u s complementos aparecen en cada uno de los términos de la expresión. Por ejemplo: Cada operación de un producto de sumas que no contenga todas las variables del dominio puede pasarse a formato estándar, de manera que incluya todas las variables del dominio a sus complementos. Paso 1. Añadir a cada “término suma” no estándar un término consistente en el producto de la variable que falta y su complemento (regla 8 AA=0).

Paso 2. Aplicar regla (A+BC)= (A+B)(A+C). Paso 3. Repetir el paso 1 hasta que todos los sumandos resultantes contengan todas las variables dominio a sus complementos. Ejemplo. Convertir la siguiente expres ión booleana a l formato estándar del productos de sumas. Paso 1 y paso 2

( )( )( )DCBADCBADCBA +++++++++

( )( )( )DCBADCBCBA +++++++

( )( )DCBADCBA

DDCBACBA

++++++=

+++=++

( )( )DCBADCBA

DCBAADCB

++++++=

+++=++



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Por tanto: .

( )( )( )( )( )ZYXWZYXW

ZYXWZYXWZYXW

++++++

•+++++++++

Un producto de sumas (POS) es igual a 0 si y sólo si uno o más términos suma de la expresión son igual a 0:

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