EME311_CAPITULO4

7/26/2019 EME311_CAPITULO4

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EME 311Mecânica dos Sólidos

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Profa. PatriciaEmail: [email protected]

IEM – Instituto de Engenharia Mecânica UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá

4 – CENTRO DE GRAVIDADE EMOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA

4.1 – Centro Astático;

4.2 – Centro de Gravidade;

–

Capítulo 4 - Centro de Gravidade eMomento Estático de Área 2

.

4.4 – Centróide;

4.5 – Centróide de Corpos Compostos; 4.6 – Momento Estático de uma Área.

4.1 – Centro Astático

Seja o sistema de forças paralelas a umadireção u

Conjunto de forças paralelas

1 2, , ,

k nF F F F =

…


Resultante das forças paralelas

1 2

1

n

k n

k

R F F F F

=

= = + + +∑

…

O ponto C , ponto de aplicação da resultante, échamado de “centro astático”

Podemos escrever queˆ

k k F F u=



Se: 0 R ≠

1

ˆ ˆn

k

k

R Ru u F =

= = ∑



Tomando o momento daresultante sobre O , e aplicando o

Teorema de Varignon

( )1

n

k k

k

r R r F =

× = ×∑



( )1 1

ˆ ˆn n

k k k

k k

r u F r uF = =

× = ×

∑ ∑

( )1 1

ˆ ˆn n

k k k

k k

r F u r F u= =

× = ×

∑ ∑

( )1 1

ˆ ˆn n

k k k

k k

r F u r F u= =

× = ×

∑ ∑

ˆn n

( )1 1

ˆ ˆn n

k k k

k k

r F u r F u= =

× = ×

∑ ∑

ˆn n



Capítulo 4 - Centro de Gravidade eMomento Estático de Área

Uma solução, particular, resulta quando o vetor entre

parênteses for paralelo a . Neste caso, ela representa oeixo central, isto é, a linha de ação de .

1 1

k k k

k k

r r u= =

− =

u R

1 1

k k k

k k

r r u= =

− =

( )1 1

ˆ ˆn n

k k k

k k

r F u r F u= =

× = ×

∑ ∑

ˆn n



Em geral, para obtermos o Centro Astático, nós então temosque a equação acima deve ser satisfeita para direções

arbitrárias de .u

1 1

k k k

k k = =

− =

Então, a equação do centro astático é dada por

( )

( )1

1 1

n

k k n n

k k k k nk k

k

r F

r F r F r F

=

= =

= ⇒ =

∑

∑ ∑ ∑



1k =

Em termos das coordenadas cartesianas

ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

ˆ ˆ ˆk k k k r x x y y z z= + +



Logo

( ) ( ) ( )1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

n n n

k k k k k k k k k

n n n

k k k

x F y F z F

xx yy zz x y z

F F F

= = =+ + = + +∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑



= = =

( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 1

; ;

n n n

k k k k k k

k k k

n n n

k k k

k k k

x F y F z F

x y zF F F

= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Exemplo 1

Determine analiticamente o centro astático do sistema de

forças dado.


4.2 – Centro de Gravidade

É um ponto no qual se localiza o pesoresultante de um sistema de pontos materiais.

Considere o sistema de


em uma região doespaço.

É um ponto no qual se localiza o pesoresultante de um sistema de pontos materiais.

Os pesos dos pontosmateriais compreendem



paralelas que pode sersubstituído por umúnico (equivalente)peso resultante

aplicado no ponto G .



De acordo com a teoria do centro astático, queneste caso é chamado de centro de gravidade do

corpo, teremos:

( ) ( ) ( )n n n

k k k k k k x F y F z F ∑ ∑ ∑



com k F W =

1 1 1

1 1 1

; ;k k k

n n n

k k k

k k k

x y z

F F F

= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

Um corpo rígido é formado por um infinito númerode partículas (corpo contínuo ).

Aplicando o equacionamento anterior ao sistema deartículas ue com õe o cor o, os somatórios são



substituídos por integrais.

V

V

rdW

r dW =

∫

∫

Considerando a partícula arbitrária localizada em, com peso dW , as equações resultantes

são( ), , x y z

V V xdW ydW

= =∫ ∫



V V

V

V

dW dW

zdW z

dW =

∫ ∫

∫

∫

Colocando

onde:- peso específico do corpo;

d dW V γ =

γ



; ;V V V

V V V

x dV y dV z dV x y z

dV dV dV

γ γ γ

γ γ γ = = =

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫



4.3 – Centro de Massa

Sabendo que:

Com:- densidade ou massa por unidade de volume

gγ ρ =


-- aceleração da gravidade.

; ;V V V

V V V

x dV y dV z dV

x y zdV dV dV

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ = = =

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

g

4.4 – Centróide

O centróide C é um ponto que define o centrogeométrico de um objeto.

Se o material que compõe o corpo for uniforme ouhomo êneo , a densidade ou eso es ecífico será


constante . Logo,

; ;V V V

V V V

xdV ydV zdV

x y zdV dV dV = = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Uma vez que as fórmulas resultantes sãoindependentes do peso do corpo, dependemapenas de sua geometria. Três casos específicos

serão considerados:

4.4 – Centróide


Centróides de volume;

Centróides de áreas;

Centróides de linha.

Centróides de volume

4.4 – Centróide


; ;V V V

V V V

xdV ydV zdV

x y zdV dV dV = = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫



Centróides de áreas

4.4 – Centróide


; ; A A A

A A A

xdA ydA zdA x y zdA dA dA

= = =∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Centróides de linha

4.4 – Centróide


; ; L L L

L L L

xdL ydL zdL x y zdL dL dL

= = =∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Simetria:

Nos casos em que a forma geométrica tem um eixo desimetria, o centróide dela ficará sobre esse eixo;

Nos casos em que uma forma tem dois ou três eixosde simetria, o centróide se localizará na intersecção

4.4 – Centróide


.

Exemplo 2

Calcular o centróide da chapa de aço triangular.




4.5 – Centróide de Corpos Compostos

Consiste em um conjunto de corpos de formatosmais simples (retangulares, triangulares, semicir-

culares etc.);

Pode ser dividido em várias artes onde cada


parte terá seu peso W k e a localização do centro degravidade conhecidos;

o peso resultante é aplicado no centro astático(centro de gravidade ) do sólido composto.

Centróide de linhas e áreas planas









Se encontrarmos elementos contendo



,do corpo composto ou figura,

correspondendo a peso , volume ouárea , devem ser considerados

NEGATIVOS.

Exemplo 3 – (Hibbeler pág. 393)

Localize o centróide da área plana da placa mostrada.


4.6 – Momento Estático de Área

Na resistência dos materiais, uma grandeza demuita importância é o momento estático da área deseção reta de vigas.

O momento estático M x de uma área com relaçãoao eixo x é a quantidade definida pela integral na


onde y é a distância da área elementar d A ao eixoOx.

d x

A

M y A= ∫

Momentos estáticos M x e M y

d x

A M y A=

∫



d y

A

M x A= ∫



Pode ser positivo , negativo ou zero . Se a área é identificada como uma força, a

integral pode ser interpretada como a soma dosmomentos das forças d A com relação ao eixo Ox.

dA dA



a en o que:

Logo: d x

A

M y A Ay= =∫

A A

A

y AdA

= =

∫

Então podemos determinar a ordenada docentróide por:

x M y

A=



Analogamente, o momento estático com relaçãoao eixo Oy é:

d y

y

A

M M x A Ax x A

= = ⇒ =∫

Quanto vale o momento estático de área comrelação ao eixo Ox quando este eixo passar pelocentróide de uma área?

x M y = ZERO



Ou com relação ao eixo Oy quando este eixotambém passar pelo centróide de uma área?

y M

x A=

ZERO

Exemplo 7

Determinar os

momentos estáticos

com relação aos eixos x

e y da cantoneiramostrada na figura.


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