Empresa

Microeconoma Prof. Luis Garca Nuez

IV. La Teora de la Empresa

As como la teora del consumidor modela y estudia el comportamiento de los consumidores,la teora de la empresa se encarga de estudiar cmo las empresas toman decisioneseconmicas (produccin de bienes y servicios, y contratacin de factores de produccin) encontextos de escasez y limitaciones de recursos.

IV.1 La produccin

La principal actividad de las empresas es producir bienes y servicios. Se entiende comoproduccin a aquella actividad humana generadora de bienes y servicios, la cual transformaciertos elementos llamados factores de produccin y los convierte en productos finales.

Los factores de produccin son todos aquellos elementos necesarios para realizar laproduccin.

EJEMPLO: Una empresa productora de pan y pasteles

Factores Producto

- Harina- Agua, aceite y dems ingredientes- Electricidad- Mano de Obra Pan y Pasteles- Local- Mquina amasadora- Horno, etc.

Se suelen mencionar 4 tipos de factores de produccin:

El Trabajo (L): Referido al uso de servicios de mano de obra, se mide en horas trabajadaspor unidad de tiempo. Por ejemplo, un obrero que trabaja 40 horas por semana.

El Capital (K): Referido al uso de aquellos bienes que sirven para producir otros bienes, porejemplo las maquinarias, herramientas, etc. Tambin se miden en horas de servicio porunidad de tiempo. Por ejemplo, un horno el cual es utilizado 40 horas a la semana.

Materias Primas (MP): Son aquellos bienes que se transforman totalmente durante elproceso productivo. Por ejemplo, el agua y la harina.

Tierra (T): Se refiere al uso de determinada extensin de tierra por unidad de tiempo. Porejemplo, el uso que se puede dar a una parcela de tierra al mes.

La combinacin de estos factores de produccin da como resultado un producto o servicio.Sin embargo, los factores no pueden combinarse de cualquier forma para obtener unproducto. Existen ciertas restricciones tecnolgicas que determina las maneras en las quese pueden combinar los factores.

Cmo puede imaginarse, las relaciones tcnicas detrs de este proceso productivo en lavida real pueden ser muy complicadas. La teora ha simplificado las relaciones tcnicas queexisten entre los factores y el producto mediante la funcin de produccin

T)MP,L,f(K,q =


donde q indica la cantidad producida por unidad de tiempo, y K representa el uso demaquinas, L las horas trabajadas por unidad de tiempo, MP las materias primas empleadaspor unidad de tiempo y T la tierras empleadas por unidad de tiempo.

Para simplificar el anlisis se modela con 2 factores de produccin: K y L

L)f(K,q =

Esta funcin indica la cantidad mxima de producto que puede obtenerse utilizando distintascombinaciones de K y L.

Ntese que existen muchas formas de combinar los factores de produccin con el fin deobtener cierta cantidad de producto. Cada una de estas formas particulares de combinar losfactores es una tcnica de produccin. La funcin de produccin rene a todas las tcnicasexistentes, es decir, representa a la tecnologa de la sociedad (al estado del conocimientocientfico sobre las tcnicas disponibles para producir).

Cuando se afirma que la funcin de produccin representa la mxima produccin posible seest afirmando que los factores se estn empleando sin derroche de insumos. Slo seutilizan aquellas tcnicas que son tcnicamente eficientes.

IV.1.1 Variaciones en uno de los factores

El incremento en el uso de alguno de los factores manteniendo constante el otro puedeproducir variaciones en la cantidad producida.

Definicin: El Producto Fsico Marginal de un factor es la produccin adicional que puedeobtenerse emplendose unidad adicional de ese factor, manteniendo los otros factoresconstantes.

KdelMarginalProductok

qPMgK

=

LdeMarginalProductoL

qPMgL

=

Intuitivamente puede pensarse en el PMgL como la variacin en el producto si se utiliza unaunidad extra del factor trabajo. Matemticamente es la variacin instantnea en el productosi se altera el factor L en una cantidad muy pequea.

Usualmente se asume que la PMg de los factores es decreciente, es decir incrementossucesivos de uno de los factores elevan la produccin pero cada vez menos. A estesupuesto se le suele llamar la Ley de los rendimientos decrecientes de los factores. Estoquiere decir que conforme se incrementa el uso de uno de los factores manteniendoconstante el otro, el producto marginal de el factor variable empieza a decaer. Un ejemploclsico para sustentar este supuesto dice que si el producto marginal de los factores nofuera decreciente, entonces la produccin mundial de trigo podra realizarse en una maceta.Esto quiere decir que si mantenemos fijo el factor tierra, si por ms trabajo que apliquemos ala maceta, la produccin o rendimiento de la misma no puede crecer indefinidamente. Enalgn momento el aporte de nuevo trabajo tendr muy poco efecto sobre el producto total.Inclusive este producto podra decaer (PMgL negativo). Por tal motivo el producto marginaldebera ser decreciente.


Grficamente sera as:

Se pueden hacer los mismos grficos para la PMg K. En este caso 0K

qK

PMgK2

2

m.f(K, L)

Dibujamos el caso de rendimientos constantes de escala a manera de ilustracin.

IV.1.4 Ejemplos de funciones de produccin

(a) Funcin de produccin lineal: q = f(K, L) = a K + b L

Esta funcin de produccin presenta a

bTMST = constante, adems de tener rendimientos

constantes de escala. Las isocuantas en este caso son lneas rectas y paralelas.

L

K

q0

m.q0

L m.L

K

m.K

X

Y

TMST esconstante


(b) Funcin de proporciones fijas (Leontief): q = min{aK, bL} a>0, b>0

Esta funcin de produccin tiene rendimientos constantes de escala. Las isocuantas tienenforma de L, y por ello la TMST no existe en su vrtice.

(c) La funcin de produccin de Cobb-Douglas: q = AKaLb

Estas funciones presentan una TMST decreciente (isocuantas estrictamente convexas).Adems los rendimientos de escala dependen de los valores de a y b. Si a + b = 1, latecnologa es de rendimientos constantes de escala. Si a + b > 1, es de rendimientoscrecientes de escala; y si a + b < 1, es de rendimientos decrecientes.

IV.2 Los Costos de Produccin

Sabemos que para producir q unidades se necesitan ciertas cantidades de K y L. Cuntocuesta contratar estos servicios de factores?

Los servicios de cada factor de produccin tienen un precio. Llamemos w al precio deltrabajo (salario por unidad de tiempo) y r al precio del capital (alquiler de la maquinaria porunidad de tiempo).

IV.2.1 Los costos econmicos

Por cada factor se paga el costo de oportunidad, es decir cunto recibiran los factores en sumejor empleo alternativo.

Dentro de los costos se calculan todos los costos econmicos, es decir aquellos costosexplcitos y e implcitos, todos ellos valorados a su costo de oportunidad.

EJEMPLOS:** Si un trabajador puede recibir 100 soles diarios en otro trabajo, para retenerlo hay

que pagarle 100. Entonces w=100.** Un trabajador autoempleado en su empresa debe incluir dentro de sus costos al

salario que ganara en su mejor empleo alternativo.** Una empresa duea de la maquinaria debe incluir dentro de sus costos econmicos

al costo de oportunidad de esta mquina. Esto es al alquiler que obtendra estaempresa si la alquilara a otra empresa.

X

Y


** Si una empresa posee una maquina tan especializada que solo ella puede utilizarla,el costo de oportunidad de esta mquina es cero.

En nuestro anlisis simplificado de 2 factores los costos de la empresa se resumen en lasiguiente ecuacin:

rKwLC +=

IV.2.2 La Minimizacin de Costos en el Largo Plazo

Si la firma est interesada en producir cierto nivel de produccin q0, el objetivo de la firmaser encontrar aquel mnimo costo necesario para producir dicho nivel q0.

En el grfico de la izquierda fijamos un nivel de produccin el cual puede ser producido condiversas combinaciones de K y L, es decir con diversos costos. En el grfico de la derecha,se muestran las Rectas de Isocostos. Estn conformadas por las combinaciones de K y Lque producen los mismos costos. En el grfico C0 < C1 < C2.

Grficamente:

Uniendo ambos grficos encontramos la combinacin ptima de factores K y L que permiteproducir q0 al menor costo posible.

El punto A es la combinacin de K yL que produce q0 al menor costo.

Un punto como B no es ptimo puestiene un mayor costo.

En el ptimo, la isocuanta estangente a la recta de isocostos,donde se cumple:

PMgK

PMgL

r

w=

LL

K

q0

LL

K

C1C0

C2

LL

K

q0

A B

r

wPendiente -=


Matemticamente el problema consiste en resolver lo siguiente:

L)f(K,q

KrLwminKL,

+

s.a.

El "lagrangeano" del problema es

L))f(K,(qKrLw)K,(L, -++= llL

Las condiciones de primer orden son

(3) 0L)f(K,q

(2)0Kf

rK

Lf

wL

(1) 0

=-=

=-=

=-=

l

l

l

L

L

L

de (1) y (2) se obtiene que en el ptimo la pendiente de la isocuanta es tangente a la rectade isocosto.

rw

PMgKPMgL = (4)

Esta ecuacin puede reescribirse como

rPMgK

wPMgL =

donde el trmino de la izquierda se interpreta como la productividad marginal de la ltimaunidad monetaria invertida en el factor L, la cual se iguala a la ltima unidad monetariainvertida en el factor K. Si estas productividades fueran diferentes, el empresario podrainvertir ms dinero en aquel factor ms productivo.

Utilizando las ecuaciones (4) y (3) se obtienen las cantidades ptimas de capital y trabajoque minimizan costos. Estas dependern del nivel de produccin fijado y de los precios delos factores. A estas funciones se les conoce como las funciones de demandacondicionadas de factores.

L = L(w, r, q) y K=K(w, r, q)

Estas funciones de demanda cumplen con la propiedad de ser Homogneas de Grado 0 enw y r. Es decir, si los precios de los factores son multiplicados por una constante t > 0, lascantidades demandadas de K y L no se ven alteradas (ntese que la pendiente de laisocostos no se altera y por lo tanto el punto de tangencia con la isocuanta tampococambiar). Matemticamente


q)r,L(w,q)r,tw,L(t = y q)r,K(w,q)r,tw,K(t =

Econmicamente esto significa que si no hay cambio en el precio relativo de los factores,tampoco debera cambiar la tcnica de produccin utilizada.

Las cantidades ptimas de K y L aumentan conforme se incrementa el nivel de produccin.Esto puede verse grficamente a travs de la Senda de Expansin. En el siguiente grficose construye la senda para tres niveles de produccin.

IV.2.3 La Funcin de Costos de Largo Plazo

En el grfico anterior, los costos mnimos para producir q0, q1 y q2 corresponden a losniveles alcanzados por las rectas de isocostos en los puntos de tangencia a las respectivasisocuantas. Matemticamente se expresan con la funcin de costos.

Definicin: La funcin de costos totales C(w, r, q) muestra los costos mnimos de unaempresa cuando decide producir q unidades, dados los precios de los factores w y r.Matemticamente es:

C(w, r, q) w L(w, r, q) + r K(w, r, q)

Esta funcin de costos cumple con las propiedad de ser homognea de grado 1 en w y r. Esdecir, si multiplicamos w y r por una constante t > 0, el costo resultante es t veces el costoinicial.

C(t w, t r, q) = t . C(w, r, q)

Este resultado ocurre debido a que si multiplicamos los dos precios de los factores por unaconstante, el precio relativo (w/r) no se altera y por lo tanto no cambiarn las cantidadesutilizadas de K y L.

La funcin de Costos tambin cumple el Lema de Shepard, el cual afirma que

L

q0

L0

K

q1

q2

L1 L2

K2

K1

K0

Senda deExpansin

Las cantidades demandadasde los factores dependen delos niveles de produccin yde los precios de losfactores.


q)r,L(w,q) r, C(w,

=

wq)r,(w,

q) r, C(w, K

r=

***********EJERCICIO: Suponiendo una tecnologa Cobb Douglas q = K1/2L1/2 encontrar lascantidades ptimas de los factores y la funcin de costos.

1/21/2

KL,

LKq

KrLwmin

=

+

s.a.

El lagrangeano del problema es:

)LK(qKrLw)K,(L, 1/21/2-++= llL

Las condiciones de primer orden

(3) 0LKq

(2)0K

L21

rK

L

K21

wL

1/21/2

1/2

1/2

1/2

1/2

(1) 0

=-=

=-=

=-=

l

l

l

L

L

L

De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene la ecuacin LK

rw = . Despejando L y reemplazando

en la ecuacin (3) obtenemos las funciones de demanda condicionadas de los factores.

q)r,K(w,qrw

K1/2

= q)r,L(w,q

wr

L1/2

=

La funcin de costos en este problema viene dada por:

qr2w

qrw

r qwr

w.q)r,C(w,

1/21/2

1/21/2

=

+

=

Es fcil verificar que esta funcin de costos cumple con la propiedad de ser homognea degrado 1 en w y r, Tambin es fcil verificar el cumplimiento del Lema de Shepard, lo cual sedeja como ejercicio para el lector.

El grfico de los costos con respecto a la cantidad manteniendo w y r constantes suele llevarel nombre de curva de costos totales. En este ejemplo, dicha curva es una lnea recta queparte del origen.


***********

IV.2.4 Las Funciones de Costo por Unidad de Largo Plazo

Adems de los costos totales, tambin existen los costos por unidad. Estos costos se midenpor unidad producida. Hay dos conceptos, el costo medio y el costo marginal.

Definicin: La Funcin de Costo Medio indica el costo total por unidad de produccin. Es elcosto promedio por cada unidad producida.

q

q) r, C(w, q)r,CMe(w, =

La Funcin de Costo Marginal indica la variacin de costo total ante un cambio en lacantidad producida.

q

q) r, C(w, q)r,CMg(w,

=

Intuitivamente el costo marginal indica cunto cambia el costo si se produce una unidadms. Por eso es el incrementoen el costo total de la ltima unidad producida.

Por su parte el costo medio simplemente indica en promedio cuanto cost cada unidadproducida. Por ejemplo, si producir 50 pares de zapatos costaron 100 soles en total, enpromedio cada par de zapatos cost dos soles. Esto no significa que todos los pares dezapatos hayan costado lo mismo. Solo se afirma que en promedio, el costo es de 2 soles porcada par de zapatos.

Grficamente las funciones de costo medio y marginal dibujadas en el plano de produccin ycostos suelen tener el nombre de curvas de costo medio y marginal.

***********

CT en elLargo Plazo

q

Costo


EJERCICIO: En el ejercicio anterior, calcular las funciones de costo medio y marginal.

1/21/21/21/2

r2wq

qr2wq)r,CMe(w, == 1/21/2r2w

qC

q)r,CMg(w, ==

Grficamente, las curvas de costo medio y marginal son horizontales es este ejemplo.

***********IV.2.5 Los Costos y los Rendimientos de Escala

Las curvas de costos totales, medios y marginales varan segn los rendimientos de escala.Veamos los tres casos.

En el caso de rendimientos constantes de escala

Si multiplicamos las cantidades utilizadas de factores por una constante m > 1, tendremosque los la produccin total se multiplica por m.Por el lado de los costos, si se multiplican las cantidades utilizadas de los factores por m >1,el costo total tambin se incrementa m veces.Entonces, tanto la produccin como los costos se incrementarn en la misma proporcin.

Grficamente

CME = CMg

q

Costo xUnidad

q0 mq0

CT

q

Costo

C0

mC0

Debido a los rendimientos de escala

f(mK, mL) = m f(K,L)

q1 = m q0

Y por el lado de los costos

w(m L) + r(m K) = m (w L + r k)

C1 = mC0

Entonces, la curva de costos totales esuna recta para los rendimientosconstantes de escala.


En el caso de los rendimientos crecientes de escala

Si multiplicamos las cantidades de los factores por la constante m >1, la produccinresultante es mayor a m veces la produccin inicial. Por su parte, los costos totales ancrecen m veces, es decir, la produccin crece en una mayor proporcin que los costoscuando se incrementa la produccin.

En el caso de rendimientos decrecientes de escala

En este caso, produccin crece en una menor proporcin que los costos.

Los costos medios tambin toman formas especiales en estos tres casos: son constantes enel caso de rendimientos constantes en el caso de rendimientos constantes, decrecientes enel caso de rendimientos crecientes, y crecientes en el caso de rendimientos decrecientes.

Por su parte los costos marginales estn por debajo de los costos medios cuando sondecrecientes, y por encima cuando los costos medios son crecientes.


f(mK, mL) > m f(K,L)

q1 > m q0

Y por el lado de los costos

w(m L) + r(m K) = m (w L + r k)

C1 = mC0

Entonces, la curva de costos totales escncava para los rendimientos crecientesde escala.q0 mq0

CT

q

Costo

C0

mC0

q1


f(mK, mL) < m f(K,L)

q1 < m q0

y por el lado de los costos

w(m L) + r(m K) = m (w L + r k)

C1 = mC0

Entonces, la curva de costos totales esconvexa para los rendimientosdecrecientes de escala.q0 mq0

CT

q

Costo

C0

mC0

q1


Grficamente

II.2.6 Los Costos en el Corto Plazo

En la teora de la produccin y costos el Corto Plazo est definido como aquel periodo detiempo en el que algunos factores se encuentran fijos. Usualmente se asume que el capitalse encuentra fijo en el corto plazo.

q

Costo xunidad

CMe = CMg

(a) Caso Rendimientos Constantes

q

Costo xunidad

CMe

CMg

(b) Caso Rendimientos Crecientes

q

Costo xunidad

CMe

CMg

(c) Caso Rendimientos Decrecientes


Los costos se dividen entonces en costos Fijos y Costos Variables.

KrLwCTCP +=

C = Costos Variables (CV) + Costos Fijos (CF)

Los Costos fijos son aquellos que no dependen del nivel de produccin. Por ejemplo, si unaempresa contrata un local, el alquiler de este local es un costo fijo, el cual se debe realizarindependientemente del nivel de produccin de la empresa.

Los Costos Variable son los costos asociados al factor variable, y varan directamente con elnivel de produccin. Por ejemplo, el gasto en harina para producir pan es un costo variable.

Matemticamente el problema se plantea como

L),Kf(q

KrLwminL

+

s.a.

El problema consiste en encontrar aquella cantidad del insumo variable L tal que permitaproducir q unidades al menor costo posible.

Grficamente este problema tiene una solucin a partir de la restricciones del problema.

Definicin: La funcin de costos de corto plazo muestra los costos mnimos de unaempresa que desea producir q unidades, dado el nivel de capital fijo y los precios de losfactores.

_Krq),KL(wq),Kr,(w,C CP +=

donde el primer trmino es el costo variable y el segundo es el costo fijo.

Tambin se pueden establecer las funciones de Costo Medio y Marginal para el corto plazo

Dado el nivel de capital fijo, laempresa que desea producir qunidades debe contratar q),K(LCP

unidades de L para minimizarcostos (punto B). El costo enque incurre la empresa es CCP.Ntese que en el largo plazo loideal hubiese sido ubicarse enel punto A con un costo menor.Debido a la restriccin delcapital, en el corto plazo loscostos pueden ser mayores.L

L

K

q

A

CCP

K

q),K(LCP

B


CFMeCVMe

q

Kr

q

q),KL(w

q

q),Kr,(w,C q),Kr,CMeCP(w,

CP

+=

+

==

y tambin el Costo Marginal de corto plazo.

q

CV

q

q),K r, (w,C q),Kr,CMgCP(w,

CP

=

=

***********EJERCICIO: Encontrar las funciones de costos de corto plazo asociadas a la funcin deproduccin Cobb-Douglas q=K1/2L1/2.

Planteamos el problema

1/21/2

L

LKq

KrLwmin

=

+

s.a.

De la restriccin se puede obtener fcilmente la demanda de corto plazo del factor variable.Esta es:

Kq

)K,q(L2

CP =

y la funcin de costos de corto plazo de este problema es:

KrKq

w)q,K,r,w(C2

CP +=

Y tambin se pueden encontrar las funciones de costos por unidad.

qKr

Kq

w)q,K,r,w(CMeCP

+=

Kq

w2)q,K,r,w(CMgCP =

**********EJERCICIO: Para la funcin de produccin q=KLM, encuentre los costos totales, medios ymarginales de corto y largo plazo, suponiendo que en el corto plazo el factor K se encuentrafijo. Supngase que z es el precio de M. Dibuje las respectivas curvas.


Planteamos el problema de largo plazo

MLKq

MzKrLwminMK,L,

=

++

s.a.


M)LK(qMzKrLw)M,K,(L, -l+++=lL


(4) 0MLKq

(3)0LKzM

(2)0MLrK

MKwL

(1) 0

=-=l

=l-=

=l-=

=l-=

L

L

L

L

De las ecuaciones (1), (2) se obtienen

)5(Kwr

L =

De las ecuaciones (2) y (3) se obtiene

)6(Kzr

M =

Reemplazando (5) y (6) en (4) obtenemos la demanda condicionada de los tres factores.

3

1

2r

zwqq)z,r,K(w,

=3

1

2w

zrqq)z,r,L(w,

=3

1

2z

wrqq)z,r,M(w,

=

La funcin de costos en este problema viene dada por:

1/31/31/31/3

3

1

2

3

1

2

3

1

2

qzrw3

z

wrqz

r

zwqr

w

zrqw.q)z,r,C(w,

=

+

+

=

Ahora encontremos las funciones cuando K esta fijo. Planteamos el problema de cortoplazo.


MLKq

MzKrLwminML,

=

++

s.a.


M)LK(qMzKrLw)M,(L, -l+++=lL


(3) 0MLKq

(2)0LKzM

MKwL

(1) 0

=-=l

=l-=

=l-=

L

L

L

De las ecuaciones (1), (2) se obtienen

)4(Lzw

M =

Reemplazando (4) en la restriccin obtenemos las demandas de los factores variables en elcorto plazo, las cuales dependen de la cantidad producida y de los precios de los factores.

2

1

CP

wKzq

q) ,Kz,(w,L

= 2

1

CP

zKwq

q) ,Kz,(w,M

=

Ntese que las demandas de los factores variables en el corto plazo no dependen del preciodel factor fijo. Solamente dependen de los precios de los factores variables debido a que laempresa minimizadora de costos es capaz de sustituir estos factores variables entre ellos,con base en su precio relativo (w/z).

La funcin de costos de corto plazo para este problema es:

KrK

qzw2

zKwq

zKr wKzq

w.q) ,Kz,r,(w,C

2

1

2

1

2

1

CP

+

=

++

=

**********


IV.3 La Maximizacin de beneficios

La teora econmica estndar asume que las firmas se comportan como entidadesmaximizadoras de beneficios. Para realizar este objetivo, ellas producirn aquella cantidadque hace que los beneficios sean lo ms grande posibles. Se entendiende por beneficios ala diferencia entre los ingresos totales (IT) y los costos totales (CT).

Beneficios = Ingresos Totales - Costos Totales

IV.3.1 La Maximizacin de beneficios y la eleccin del nivel de produccin.

Los ingresos totales de las empresas son aquellos derivados de las ventas. En general son

IT(q) = P(q). q P < 0

Es decir, son el precio multiplicado por la cantidad. A su vez el precio de venta depende entrminos generales del nivel de produccin. A mayor produccin, menor ser el precio.

Los costos totales son la funcin de costos que vimos en la seccin anterior.

CT(q) = C(w, r, q)

Entonces los beneficios se pueden escribir as

p(q) = IT(q) CT (q)

El problema matemtico que resuelve la empresa maximizadora de beneficios es

CT(q) - q)(IT

q

max =p

La condicin de primer orden dice que la derivada de p(q) respecto a q debe ser cero.

0q

CT(q) -

qq)(IT

q =

=

p

q

CT(q)

qq)(IT

=

El primer trmino de la igualdad es el ingreso marginal (IMg) el cual expresa la variacinen el ingreso cuando cambia el nivel de produccin en una pequea. La condicin de primerorden de optimizacin seala que en el nivel de produccin ptimo el ingreso marginal debeser igual al costo marginal (es decir, el beneficio marginal es cero).

IMg = CMg

Intuitivamente se puede pensar qu ocurrira si no se cumpliera esta condicin demaximizacin. Por ejemplo, Si IMg es mayor al CMg, la empresa puede obtener mayoresganancias vendiendo unidades adicionales. Por cada una de ellas obtendr un beneficiomarginal positivo, lo cual incrementar los beneficios totales. En cambio si el IMg fueramenor al CMg, la empresa debe reducir la produccin pues est obteniendo prdidasmarginales por la ltimas unidades vendidas. Finalmente cuando IMg = CMg, la empresa notiene incentivo ni a aumentar ni a reducir su nivel de produccin.


Grficamente

Para el nivel de produccin q* los beneficios son mximos. Aqu el ingreso marginal el igualal costo marginal, lo que en el grfico significa que las pendientes de las curvas son igualesen este nivel de produccin.

Ntese que existe otro punto q donde el ingreso marginal tambin es igual al costomarginal. Aqu no se maximiza beneficios sino las prdidas. Es decir la condicin de primerorden es necesaria pero no suficiente para encontrar un mximo. Por ello se debe verificarla condicin de segundo orden:

0q

2

2

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