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Ondas&Estacionarias&

Ondas longitudinales y transversales. Ondas senoidales. Principio de s u p e r p o s i c i ó n . P r o p i e d a d e s ondulatorias. Ondas estacionarias. Ondas estacionarias en cuerdas.

ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

2 2maxP F Aµ ω=

( ) ( )2 2 2P x ,t F A sen kx tµ ω ω= −

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•  El movimiento ondulatorio transporta energía de una región a otra. En el caso de una onda mecánica senoidal que se transporta a través de una cuerda de densidad lineal de masa µ y bajo la tensión de la fuerza F:

•  Siendo la potencia máxima: •  Y la potencia media:

•  15.20 Un alambre de piano con masa de 3,00 g y longitud de 80,0 cm se estira con una tensión de 25,0 N. Una onda con frecuencia de 120,0 Hz y amplitud 1,6 mm viaja por el alambre. a) calcule la potencia media que transporta l onda. b) ¿Qué sucede con la potencia media si se reduce a la mitad la amplitud de la onda?

•  Solución: •  a)

•  b) Disminuye en 4 veces.

P vs t en la coordenada x = 0

Periodo T

2 2med

1P F A

2µ ω=

( ) ( )3

22 3med

med

1 3,00 10P 25,0 2 120 1,6 10 W

2 0,800P 0,2228 W 0,22 W

π−

−×= × ×

= =

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Intensidad)de)las)ondas)•  Otros tipos de ondas como las ondas

sonoras y las ondas sísmicas, transportan energías en tres dimensiones.

•  En este caso se define la Intensidad (I) como la potencia media por unidad de área de una superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda y se mide en W/m2.

•  Si la potencia de la fuente es P, la intensidad media I1 sobre una superficie esférica de radio r1 es:

•  La intensidad media I2 sobre una superficie esférica de radio mayor r2 debe ser menor.

•  Si no se absorbe energía entre las dos esferas, la potencia es la misma en cada superficie:

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Intensidad I1

r1

21

1 4 rPIπ

=

Fuente de las ondas

I2 < I1: misma potencia distribuida en un área mayor

r2

21

22

22

21

2

1

44

rr

rPrP

II

==ππ

REFLEXIÓN DE ONDAS

21

25711001

r,

,,

=

•  15.22 Imagine que encuentra un objeto extraño que radia ondas sonoras uniformemente en todas direcciones. Suponga que el sonido proviene de una fuente puntual y que pueden despreciarse todas las ref lexiones. Está caminando lentamente hacia la fuente. Cuando está a 7,5 m de ella, la intensidad es de 0,11 W/m2. Comúnmente, se considera que una intensidad de 1,0 W/m2 es el umbral del dolor. ¿Cuánto más podrá acercarse a la fuente antes que la intensidad de sonido alcance ese umbral?

•  Solución.

De donde r1 = 2,5 m . Así que solo se puede mover 5,0 m .

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•  Reflexión. Una onda que llega a la frontera del medio de propagación se refleja parcial o totalmente.

Pulso incidente

El pulso reflejado se invierte

(a) Extremo fijo

Pulso incidente

El pulso reflejado no se invierte

(b) Extremo libre

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Interferencia)de)ondas)•  Cuando dos pulsos viajan en direcciones

opuestas se combinan en el espacio, se interfieren y se produce un pulso resultante. La interferencia puede ser:

•  C o n s t r u c t i v a , c u a n d o l o s desplazamientos individuales son en la misma dirección.

•  D e s t r u c t i v a , c u a n d o l o s desplazamientos son en direcciones opuestas.

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•  C o m b i n a r l o s desplazamientos de los pulsos individuales en cada punto para obtener e l desplazamiento real es un aplicación del principio de superposición, es decir cuando dos ondas cuyas funciones son y1(x,t) y y2(x,t) interfieren, la función de onda y(x,t) que describe el movimiento resultante es:

( ) ( ) ( )1 2y x,t y x,t y x,t= +

Ondas)estacionarias)en)una)cuerda)•  Cuando una onda viajera de forma

senoidal se refleja en un extremo fijo de una cuerda tensada, las ondas incidentes y reflejadas (con la misma frecuencia y amplitud) se combinan (superponen) para formar una onda estacionaria (que no parece moverse) con nodos y antinodos.

•  Los nodos son puntos que nunca se mueven (interferencia destructiva).

•  Los antinodos son puntos en los cuales la amplitud de movimiento es máxima (interferencia constructiva).

•  Aplicando el principio de superposición para la onda incidente que viaja hacia la izquierda:

•  y la onda reflejada que viaja hacia la derecha:

•  Entonces,

•  Considerando

•  Obtenemos la ecuación de una onda estacionaria con un extremo fijo en x = 0:

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oscilador

onda incidente onda reflejada

( ) ( ) ( )y x ,t A cos kx t cos kx tω ω= − + + −# $% &

( ) ( )1y x,t Acos kx tω= − +

( ) ( )2y x,t Acos kx tω= −

( )cos a b cos a cos b a b± = msen sen

( ) ( )y x,t 2A kx tω= sen sen

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Ondas)estacionarias)en)una)cuerda)

.. 3, 2, 1, 0,22

32

22

0 =λ

=λλλ

= nn

x ,.....,,,

•  Como en los nodos el máximo desplazamiento vertical es cero:

sen kx = 0, kx = 0, π, 2π, 3π, ….

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•  En los antinodos:

sen kx = ±1, kx = π/2, 3π/2, 5π/2, ….

43 λ

45 λ

47 λ

4λ

Antinodos

Nodos

2λ λ

23 λ

... 5, 3, 1, 44

54

34

=λ

=λλλ

= nn

x ,.....,,

Modos)normales)de)una)cuerda)•  Si ambos extremos de una

cuerda con longitud L están fijos, solo puede haber ondas estacionarias si L es múltiplo entero de λ/2.

•  15.37 Un alambre de 40,0 g está estirado de modo que sus extremos están fijos en puntos s e p a r a d o s 8 0 , 0 c m . E l alambre vibra en su modo fundamental con frecuencia de 60,0 Hz y amplitud en los antinodos de 0,300 cm .a) C a l c u l e l a r a p i d e z d e p r o p a g a c i ó n d e o n d a s transversales en el alambre. b) Calcule la tensión en el alambre.

•  Solución. a.  v = λf =(2×0,800)(60,0) m/s = 96,0

m/s b.  F = µv2 = (0,0400/0,800)(96,0)2 N

= 461N

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2λ1=L

L

Frecuencia fundamental, f1

Segundo armónico, f2

Tercer armónico, f3

2λ2 2=L

2λ3 3=L

2λnnL =

µ==

FLL

vf21

21

Lvff == 12 2

Lvff233 13 ==

12nf

Lvnfn == n =1, 2, 3, ..

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Ejercicio)•  15.39 La forma de un hilo tenso que está

atado por ambos extremos y oscila en su tercer armónico se describe con la ecuación:

Donde el origen está al extremo izquierdo del hilo, el eje x está a lo largo del hilo y el eje y es perpendicular al hilo.

a) Dibuje el patrón de onda estacioaria. b) Calcule la amplitud de de las dos ondas

viajeras que constituyen esta onda estacionaria.

c) ¿Qué longitud tiene el hilo? d) Calcule la longitud de onda, frecuencia,

periodo y rapidez de las ondas viajeras. e) Calcule la rapidez transversal máxima de un

punto del hilo. f) ¿Qué ecuación y(x,t) tendría el hilo si vibrara

en su octavo armónico? •  Solución a.  Asi:

b.  A ondas viajeras = 2,80 cm

c.  λ = 2π/k = 2π/(3,40) m = 1,848 m ;

L = 3λ/2 = 2,77 m

d.  λ = 1,85 m ;

f = ω/2π = 50,0/ 2π = 7,96 Hz ;

T = 0,126 s ;

v = λ f = 14,7 m/s

e) Derivando la posición dy/dt, se obtiene el valor máximo

vmax = Aω = (5,60)(50,0) cm/s = 2,80 m/s

d.  f3 = 3 f1 ; f1 = 2,65 Hz ; f8 = 8(2,65 Hz) = 21,2 Hz ; ω3 = 133 rad/s

k = 2π/(v/f8) = 9,06 rad/m

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( ) ( ) ( ) ( )y x ,t 5,60 cm sen 0,0340rad/cm x sen 50,0 rad/s t= ! " ! "# $ # $

( ) ( ) ( ) ( )y x ,t 5,60 cm sen 0,0906 rad/cm x sen 133 rad/s t= ! " ! "# $ # $

ECUACIÓN DE ONDA

y( x,t ) Asen( kx t )ω= ±

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Si es - la onda se propaga hacia la derecha

Si es + la onda se propaga hacia la izquierda

Amplitud

Número de onda (rad/m)

Frecuencia angular

(rad/s)

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REFLEXIÓN DE ONDAS •  Extremo fijo: cuando la

onda se refleja en una frontera fija, observe que la onda se invierte al regresar.

•  Extremo libre: cuando la onda se refleja en una frontera sin restricciones (observe el efecto látigo) al regresar lo hace con la misma fase es decir no se invierte.

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INTERFERENCIA

Cuando la cresta de una onda se superpone a la cresta de otra, los efectos individuales se suman.

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Interferencia*•  La!interferencia!construc-va)se)produce)cuando)dos)ondas)se)interceptan)al)coincidir)en)el)mismo)lugar,)en)el)mismo)instante)de)9empo.)Se)dice)que)estas)ondas)están)en!fase.!

Onda 1 Onda 2 Resultante

INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA Las ondas están en fase y se refuerzan INTERFERENCIA DESTRUCTIVA Las ondas están en contra-fase y los efectos individuales se reducen

Misma dirección Dirección opuesta

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Interferencia)

•  La!interferencia!destruc-va)se)produce)cuando)dos)ondas)se)interceptan,)pero)están)desplazadas)una)respecto)de)la)otra.)Se)dice)que)estas)ondas)están)totalmente!desfasadas.!

Onda 1 Onda 2 Resultante

Ondas)estacionarias)•  Onda estacionaria: Es el resultado de la superposición de dos

ondas viajeras de la misma frecuencia que se mueven en sentidos opuestos. El resultado de esta superposición es la formación de cuadros de interferencia destructiva (partículas en reposo) llamados nodos, y cuadros de interferencia constructiva (máxima amplitud) denominados anti nodos.

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Ondas)estacionarias)•  La cuerda de una guitarra: onda

estacionaria •  Si se acciona la cuerda de una

guitarra, un pulso de onda se enviará al extremo donde la cuerda se ata (y también al otro extremo).

•  Este pulso de onda se reflejará y se encontrará con el pulso reflejado d e l o t r o e x t r e m o ( p a r a instrumentos como el violín, donde la cuerda puede accionarse continuamente, también pueden encontrarse nuevos pulsos de la onda que se envían).

•  Estas ondas reflejadas estarán i n t e r f i r i e n d o e n t r e s í constructiva o destructivamente.

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Ondas!Estacionarias))

Los puntos B. C y D, se denominan nodos.Los puntos A, E y F, se denominan antinodos

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ONDAS ESTACIONARIAS

Nodos: Puntos en donde se presentan mínimos Antinodo: Puntos en donde ocurren máximos

Ondas)estacionarias)en)cuerdas)

•  Modo Fundamental (primer armónico): Hay nodos en los extremos de la cuerda. Esto hace que sólo la mitad de la onda

progresiva completa esté ahí. Si la longitud de la cuerda es L,

L = λ/2 que combinado con

v = λ f ⇒ λ = v / f Da,

f1 = v/2L  •  Segundo armónico

L = λ, De donde f2 = v/L = 2f1 . En general,

fn = n(v/2L) = nf1

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Ondas Estacionarias Los puntos de la cuerda que no se mueven se denominan nodos. El punto intermedio de cada par de nodos, la amplitud de vibración máxima se denomina vientre o antinodo.

La distancia entre un nodo y el antinodo mas próximo es un cuarto de longitud de onda. Periodo = �

n= 1,2,3,... Condición de onda estacionaria con ambos extremos fijos.

� = 2 L n

L1 = � 2 L2 = � L3 = 3� 2 L4 = 2�

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Ondas)estacionarias)en)tubos)

•  Tubo Abierto en ambos extremos Una onda estac ionar ia puede

producirse en una columna de aire dentro de un instrumento en forma de tubo (órgano de iglesia). Aquí las oscilaciones son longitudinales - paralelas al tubo, pero además pueden ilustrarse con un gráfico que muestra el desplazamiento de las moléculas de aire de su posición de equilibrio como una función del lugar en el tubo

Se demuestra, igual que en el caso de

las cuerdas que: fn = n(v/2L) = nf1, n = 1,2,3,...

•  Por ejemplo al soplar con cierto ángulo en tubos de PVC, se puede obtener resonancia en los diversos armónicos:

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Ondas)estacionarias)en)tubos)

•  Tubos abierto en un extremo y cerrado en el otro

Ahora la situación será diferente. Se demuestra que:

fn = n(v/4L) = nf1, n = 1, 3, 5,... Por ejemplo cuando se produce

resonancia soplando en una tapa de lapicero:

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