ENFOQUE FRACCIONAL DE LA INTERACCIÓN FLUIDO … · 2018-10-08 · Artículo: COMEII-18038 IV CONGRESO NACIONAL DE RIEGO Y DRENAJE COMEII 2018 Aguascalientes, Ags., del 15 al 18 de

Artículo: COMEII-18038

IV CONGRESO NACIONAL

DE RIEGO Y DRENAJE COMEII 2018 Aguascalientes, Ags., del 15 al 18 de octubre de 2018

ENFOQUE FRACCIONAL DE LA INTERACCIÓN FLUIDO-PARTÍCULAS Y SUS MODELOS

J. Roberto Mercado Escalante1; Pedro A. Guido Aldana2

1Investigador Independiente, Calle de la Estación 419-3, Amatitlán, Cuernavaca, Morelos, C.P. 62410,

México.

[email protected] – 777-220 15 48 (*Autor de correspondencia)

2Coordinación de Desarrollo Profesional. Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. Paseo Cuauhnáhuac 8532, Progreso, Jiutepec, Morelos, C.P. 62550. México.

Resumen

Nuestro análisis se basa en la interacción de las partículas pequeñas con el fluido, bajo la formulación fraccional de las ecuaciones de Navier-Stokes. Obtenemos una propuesta de relación entre la constante de Feigenbaum y el índice de ocupación espacial, a través del vínculo con el exponente del diámetro de la partícula considerada. La potencia del tamaño de la partícula decrece desde el valor 2 para la capa viscosa lineal, pasa por el rango inercial, hasta llegar al inverso de la constante de Feigenbaum, en el régimen de turbulencia desarrollada. Planteamos también una estructura fractal arbórea para la subcapa laminar y el rango inercial. Formulamos un modelo generalizado de Rubey y un número de discrepancia para evaluar los modelos con respecto al de Stokes. Palabras claves: Constante de Feigenbaum, interacción fluido-partícula, ecuaciones fraccionales de Navier-Stokes, sedimentación, índice de ocupación espacial.

mailto:[email protected]

IV Congreso Nacional COMEII 2018, Aguascalientes, del 15 al 18 de octubre

Introducción Los problemas inversos son un instrumento técnico muy valioso para descubrir la cuantiosa riqueza que frecuentemente está oculta en las profundidades debajo de los pies de una nación. Pero por otra parte, como en este artículo, también nos permiten resolver problemas sobre los fundamentos teóricos que conducen a formular la fuerza de cuerpo, que en pareja de acción y reacción, un fluido ejerce sobre una partícula. Queremos ver cómo se modifican el análisis y los resultados cuando las gotitas esféricas sufren deformaciones que nos llevan a considerar una variedad de formas tan diversas como podrían ser las partículas de la nieve o el hielo. En nuestra descripción anterior de las gotitas en las nubes las imaginamos esféricas como resultado de la eficiencia de la superficie para un volumen dado; y también las gotas en la lluvia las vimos con la misma forma esférica. El nuevo contexto, nos ubica en una situación similar al caso de sedimentos, ya considerado por nosotros en el artículo [1]. Como anunciamos también en el mismo artículo [1], el contexto del análisis será el de partículas en interacción con un fluido, bajo la visión fraccional de las ecuaciones de Navier-Stokes, pero lo vemos desde el fundamento de la simplicidad general abstracta, para luego dirigirnos a la complejidad de lo más concreto; así llegamos a plantear una relación más general entre la velocidad libre y el tamaño que la formulada por Stokes; un vínculo entre el índice de ocupación espacial y la constante de Feigenbaum; y también, una estructura fractal arbórea para la subcapa laminar y el rango inercial para el caso de una superficie plana y extensa de frontera para el fluido. Las dos variables del campo del fluido son la velocidad y la presión, como variables primitivas. La acción del movimiento sobre las variables de campo se concibe como un operador diferencial lineal, que contiene el parámetro físico de la viscosidad del fluido y los operadores diferenciales espaciales de la divergencia y el gradiente, [4]. En su versión fraccional se hace referencia explícita a las escalas del movimiento del fluido, mientras en la versión llamada por nosotros clásica no hay referencia alguna a dichas escalas del movimiento, [3]. Además, las condiciones de contorno se asocian con un operador que hace nulas las variables del campo sobre dicho contorno. Una forma alternativa surge al considerar una partícula embebida en el fluido en movimiento, de manera análoga a un canal de riego. Las ecuaciones que vinculan la evolución de la velocidad y el tirante son las ecuaciones de Saint-Venant, en la que debe agregarse la fuerza que la partícula ejerce sobre el fluido, como pareja acción y reacción, la cual es una fuerza de cuerpo; y que en su forma adimensional semeja una pendiente de fricción. Lo anterior nos remite al resultado que dice: la derivada de Lie sobre la pendiente hidráulica es proporcional a la pendiente hidráulica misma; con lo que la pendiente hidráulica se determina como un cociente entre una potencia de la velocidad, libre, y otra potencia del radio hidráulica, el cual para el caso es proporcional al diámetro, [2]. Materiales y Métodos

Modo Clásico

Consideramos un cuarteto dinámico conformado por: el peso de la partícula, la fuerza de flotación de Arquímedes, la fuerza de la presión hidrodinámica y la fricción viscosa.


Con la pareja de fuerzas del peso y la flotación de Arquímedes se conforma la fuerza

efectiva del peso: gVF f

f

f

e

, siendo f, la densidad de la partcula y la del

fluido, y V el volumen en su relación con el área de la esfera; entonces,

g

AgF fe

2/1

3/2

6

, con g, la viscosidad cinemática y la gravedad. La otra pareja, de

la fuerza de la presión hidrodinámica y la fricción viscosa que llamaremos del arrastre, produce: UdCF fD , con dU , la velocidad libre del fluido y el diámetro de la partícula;

por lo que el equilibrio se alcanza bajo la condición: 22/32

2/1/

6

1, ddA

CBdg

Bd

U

; así

resulta: 2

18

1,3 dBdC

. Luego, la condición de equilibrio queda: g

Bd

U .

En lugar de la tripleta de valores: rrrrfr lvvlv /,/,/ 2

0 la velocidad de corte, la

longitud fundamental, y la aceleración de referencia [5], le damos una representación adimensional con el número de Reynolds de la partícula y su diámetro adimensional:

dg

dUd

3/1

2*,/

, [6]. Ahora, la condición de equilibrio es:

18

1,/ **

3

* dFdFdUd , a

F(d) lo denominamos el factor de forma, y el modelo de Stokes se expresa por:

18

1,/ **

3

* dFdFdUd (9)

Recordemos como puede encontrarse la fuerza de la presión hidrodinámica: UdF fp .

La aproximación de Stokes resulta del equilibrio entre la fuerza viscosa y el gradiente de presión hidrodinámica:

0,

i

iiiu

xup

x

(10)

En el límite laminar 1 se tiene

0,2

2

i

iiiu

xup

x (11)

Con la divergencia actuando sobre la ecuación del momentum y la conservación de la masa resulta una ecuación de Poisson para la presión

02

2

p

x i

(12)

Por la simetría de la pequeña partcula se usan las coordenadas esféricas y se acompaña del método de la función de Green. Se busca una solución en la forma de

serie: rz

Apppn

n

nn

n

n

1,

0

con cosrz . Debido a las condiciones de frontera

sobre la esfera de radio d/2 y a distancias suficientemente lejos de ella, la serie se reduce a un monomio, porque permanece solo el término n = 1 :

UdArz

Ap f4

3,

1111

, y resulta

21

cos

4

3

rUdp f

. Al Integrar sobre la esfera la

presión hidrodinámica aporta la fuerza: epfp RF 2,

/UdRep [7]. Además, la fricción interna viscosa, que es la responsable de las variaciones de la deformación, se


describe por: epff RF 22 , que puede verse por la conocida fórmula de Stokes o

resolviendo las ecuaciones diferenciales. En este caso, se observa que la fuerza viscosa es el doble de la fuerza de la presión. Por lo que el total fuerza de arrastre, o

del drag, presión hidrodinámica más fricción interna, es: epffpD RFFF 23 .

Desde el punto de vista del coeficiente del arrastre o drag, se tiene: 22

08

sf

DD

dU

FC

, con

ddUU s ,0, la velocidad libre y el tamaño de la partcula. Conviene

descomponerlo en dos: 1.

/

16

8

22 UddU

FC

f

f

f y 2.

/

8

8

22 UddU

FC

f

p

p ; así la

suma es: /,24

UdRR

C ep

ep

D , en posiciones 2/dr . Sin embargo, cuando crece el

número de Reynolds las variaciones de la deformación expresadas por la fricción se debilitan en tanto permanece las de presión hidrodinámica, hasta que la primera llega a

ser una constante y el de la presión se acerca al valor ep

fR

AC , así B

R

AC

ep

D .

Descripción compatible con la fuerza de Ossen: 2/,16

33 22 drRRF epepfD

,

con r la coordenada radial, [4], [14]. En efecto, 2/,2

924

8

22

drR

R

FC

epepf

DD

, que es

del tipo: BR

AC

ep

D . Pero además en el equilibrio, la pareja del peso efectivo se

equilibra con la pareja del arrastre, luego 2

3

*

epep R

dCB

R

A ; y resulta: *

2/3

* dFdRep ,

con 2

2/3

*

2

2/3

*

*22

Bd

A

B

C

Bd

AdF , donde C es un número, ligado al volumen,

que depende de la forma de la partícula, [8]. Generalización

Hay varios aspectos que debemos poner en perspectiva. Las fórmulas citadas en el artículo [9] son de origen experimental y muestran que el tamaño de las partículas se manifiesta a través de una variedad de exponentes del diámetro, exponentes que asumen valores distintos e inferiores al valor 2 de la fórmula de Stokes; y que incluso algunas pueden verse como interpolaciones de dos de estos exponentes distintos. En la fórmula de Stokes, de origen teórico, puede verse la participación del tamaño de las partículas como un exponente fraccional del área de su frontera, por lo que cabe imaginar un proceso fractal de tipo cantoriano, que progresivamente modifique el área de la frontera y produzca nuevos exponentes. Los resultados anteriores [9], los


habíamos transformado en: gBd

UdgUrdC

bcb ,2/1

, a B lo imaginamos como un

operador que transforma la potencia del diámetro, pero luego lo vimos como una

derivada fraccional 2dDCBd s

d y terminamos adimensinalizando con el uso del

número de Reynolds de la partícula y su diámetro adimensional dg

dUd

3/1

2*,/

. Ya

formulamos el modelo de Stokes como: 18

1,/ **

3

* dFdFdUd ; ahora generalizando,

enunciamos un modelo como:

*3

**

/dF

dCD

Udb

s

d

con el factor de forma *dF por

precisar. Además, vemos el factor original rd 2/ como dependiente del diámetro

adimensional e inversamente proporcional al factor de forma: *1 /12/ dFrdC .

Primero, en la visión del operador que transforma la potencia del diámetro y produce cdBd , habíamos imaginado a c como una interpolación entre el 1/2 y 2, tal como lo

concebía Rubey [10], pero para nosotros dependiendo del régimen de flujo

parametrizado por , así 22

11 c , lo que produce los escenarios: 2/1,2 cc ,

para laminar y turbulento. Pero luego al considerar el caso de los sedimentos, sabemos que también se proponen fórmulas para la velocidad que surgen de realizar una interpolación entre dos potencias del diámetro como son la fórmula de Scotti-Foglieni, [11], [9]. Por lo que retomamos esa idea y la generalizamos representando el exponente del diámetro como una interpolación entre el exponente laminar y otro que buscamos

precisar, pero usando el índice de ocupación espacial: 21

1

c , aunque

quedando pendiente el valor para ser precisado más adelante. Para ello y dentro del

segundo aspecto, el fractal, consideramos el proceso cantoriano descrito por el árbol de

Feigenbaum. Por lo que proponemos: la relación de Feigenbaum 5

11,

11

1

m

L

mL ,

si asumimos 1,0 1 L, se reduce a 1

/1

m

m . Por lo que el otro extremo que

proponemos es /1/1 , y al final resulta: m

mc

/12

/1 .

Por lo tanto, el tamaño de la partícula participa como exponente del diámetro d, viendo este exponente como una interpolación entre el inverso de la constante de Feigenbaum y el exponente de Stokes, y con el índice de ocupación espacial como el interpolador:

21

1

c .

Por otra parte, de una superficie irregular vamos a destacar su rugosidad. Vemos la superficie irregular como secciones de curvas también irregulares que las caracterizamos como curvas Brownianas de índice de persistencia de Hurst

10, HH , las cuales tienen dimensión fractal de valor H2 . La rugosidad la

adimensionalizamos con el diámetro, además realizamos su representación en potencia

por 10,/12

qqH ; por lo que una superficie más rugosa que otra corresponde a una

dimensión mayor y por tanto, a un menor índice de Hurst, [12].


En el artículo [3] vimos que para un fluido dado hay una correlación inversa entre la altura de la rugosidad y la tasa de transferencia de la energía cinética, por lo que en la superficie rugosa no se puede formar la capa laminar, así el extremo de la rugosidad se vincula a un

m para algún m >1, lo que corresponde a su vez a un valor mc del

exponente del diámetro: 21

1 mmmc

.

Además, si asumimos mmmm css 2,/121 , así la expresión Bd la hemos

transformado en 2dDBd ms

d , con mm cs

d sctedD 2 . Por otra parte, en el caso adimensional

análogamente se tiene: mmss

dmm dctedDcs

3

*

3

**,13 . Por tanto, hay una interrelación

entre el índice de ocupación, el orden de la derivada, el exponente del tamaño, la constante de Feigenbaum y el orden de rama m descrita por:

1

1,/121,

/12

/1

m

msc

(13)

Podemos enunciar dos tipos de fórmulas: 1. para el caso dimensional, la pendiente hidráulica queda con la expresión general en (14); 2., para el caso adimensional en (14):

*3

*

2

*

/, dF

dCD

Udg

dDC

Ub

s

d

s

d

b

(14)

Donde en el caso dimensional, lado izquierdo, tenemos la manifestación del par de la fuerza de arrastre y en el derecho, la del par del peso efectivo o del peso y flotación; en tanto en la adimensional, lado derecho, se expresa la razón de la fuerza del arrastre o drag con respecto a la pareja del peso y la flotación como un factor de forma, siendo el factor de forma una generalización del modelo de Rubey con distintas formulaciones que abordamos en la subsección siguiente. Fórmulas

A continuación exponemos una muestra de fórmulas que describen el movimiento de partículas pequeñas en fluidos. Tanto las consideradas en [13], donde por la vía experimental estudian la velocidad de caída en el aire de partículas de hielo y de nieve en función de su tamaño medido por un diámetro; como también algunas de las fórmulas útiles para calcular la velocidad en el caso de los sedimentos [11]. Iniciamos exponiendo la generalización de una de las fórmulas provenientes del ámbito de los sedimentos, porque ésta nos abre el camino de la generalización. La fórmula de Rubey (1933), [10], que fue propuesta para obtener la velocidad de caída de partículas naturales con tamaño entre limos y gravas; por ejemplo limos, las cuales son partículas algo pequeñas que tienen diámetros del orden 0.002 a 0.06 mm. En el modelo de la velocidad de impacto de Rubey la velocidad U se factoriza como:

FdgU2/1

, con 3

*

3

*

*

36

3

236

dddF ; o bien en la formulación adimensional:

*

2/3

*/ dFdUd . Un modelo generalizado de Rubey tiene la forma:

** dFdUd c

b

(15)


con distintas formulaciones para el factor de forma como puede ser

nn

d

cteh

d

ctedF

**

* , o el factor de forma encontrado a partir del coeficiente de arrastre

de Ossen: 2

2/3

*

2

2/3

*

*22

Bd

A

B

C

Bd

AdF ; éstas luego las representaremos

también como *

11

* ,1

1dxx

ndF n

n

, con x dependiente de

*d .

Primero analizamos las formulaciones dimensionales y luego las adimensionales. Iniciamos considerando los modelos que surgen del fenómeno de las nubes y sus fórmulas empíricas; y luego las que se han originado en los sedimentos. Magono (1953), [13]: Determinó las velocidades de caída de cristales y partículas de nieve grandes y pequeñas por medio del estroboscopio. Su hipótesis es una fuerza de arrastre externa a la estructura del cristal lo que determina que el cuadrado de la velocidad sea proporcional al cuadrado de su tamaño, complementada con una fuerza interna a la estructura con el cuadrado de la velocidad proporcional al cubo de su tamaño; por tanto, la velocidad también presenta una interpolación de las potencias 1 y 3/2 del tamaño del cristal. Para partículas pequeñas la velocidad se supone proporcional a la raíz cuadrada de su tamaño. Sus resultados experimentales pueden ser ajustados por curvas cóncavas del tipo raíz cuadrada. Su modelo es:

2/1

bda

dKU . Vamos a considerar g

dDC

Us

d

b

2

bajo la forma: KdDC

Us

d

2

2

, y

2

2

/

/1

dab

da

adD s

, con dDdDC ss

d

12 , entonces

dx

xab

xa

axD s

2

2

1

/

/1 ; y éste llega a ser:

bda

ddD s

1 . Por tanto:

K

bdad

U

/

2

con 132,63.0,8.0,, Kba se convierte en el

modelo de Magono 2/163.08.0/132 ddU . Su cuadro de datos es:

b c s m

Magono 1 1/2 0.16005 1.3800 2

Langleben (1954), [13]: Calculó también las velocidades de caída de copos de nieve por fotografías sobre fondo oscuro. Por medio de la fórmula dimensional (14),

cb

s

d

b

dCgUgdDC

U ,

2

, se produce el modelo de Langleen: cb dCgU , con

62.0,2, cb , o bien: 31.0kdU . Su cuadro de datos es:

b c s m

Langleben 2 0.62 0.22725 1.3800 2

El modelo Leslie de la velocidad competente, [14]. Se enunciaba diciendo que el peso, o el volumen, de las piedrecitas más grandes puede ser removido si la corriente varía con la sexta potencia de la velocidad de la corriente. A la escala de la partícula el


cuadrado de esta velocidad “competente” será proporcional a la potencia 1/3 del diámetro. El cuadro de datos:

b c s M

Leslie 2 1/3 6.6727x10-2 1.6667 3

Los autores Dubuat, Robinson, Blackwell, Login and Forbes (1857), Suchier (1924), Owens (1908), son citados por [10], [15].

Litvinov (1956), [13], con la fórmula dimensional: cb

kdBdCggBdC

U

, , con

100,32.0,2,,32.02 kcbkdU , el cual es el modelo de Litvinov para copos de nieve.

Su cuadro de datos es:

b c s M

Litvinov 2 0.32 5.9256x10-2 1.68 3

Un modelo con un exponente del valor 35/8c , produciría un orden de rama de 4m .

Allen [11]: Con 2/3,2/3,,2.0

3/1

3/2

cbdg

U

, se tiene el modelo que se atribuye a

Allen. Su cuadro de datos es:

b c s m

Allen 3/2 3/2 0.72002 1/2 1

También puede verse como parte del tipo Rubey generalizado (15), si se describe por

2.0,2.0 2

* FdUd

Newton [11]: se trata del resultado que Newton propuso para régimen turbulento:

1,2,,82.1 cbdgU , se puede presentar como:

gd

U2

2

82.1. Su cuadro de datos es:

b c s m

Newton 2 1 0.44003 1 2

Como parte del tipo Rubey generalizado se describe por: 82.1,82.1 2/3

* FdUd

(15).

Owens [11]: Propuesta en 1979 para obtener la velocidad de caída con una constante de proporcionalidad que varía con la forma y la naturaleza del sedimento. Pero el cuadro de valores y el modelo de Rubey generalizado son los mismos, la diferencia

está en la constante empírica k: dgkU . La constante k es adimensional y varía

aumentando con la forma redondeada, pero cambia también con la naturaleza de los granos siendo mayores para la arena que para el cuarzo, y también parece aumentar


con el tamaño de los granos. Sus valores son del tipo: 9.35, 8.25, 6.12, 1.28. Se observa que el modelo de Newton está dentro de estos valores. Maza y García [11]: En 1996 se produce el resultado de Maza y García para estimar la velocidad media crítica de partículas de diámetro d, o bien en función del número de Froude crítico, que se consideran aplicables en el intervalo 4.00001.0 d , [m]. Se puede

enunciar como: 10/7,2,,

7.4 10/7

2

2.0

2

cbg

dRg

U

h

, entonces su cuadro de datos:

b c s m

Maza y

García 2 7/10 0.27204 1.3 2

Scotti - Foglieni [11]: Por otra parte, la velocidad de sedimentación puede estimarse a través de una interpolación de una fórmula como la Owens, con otra proporcional a la primera potencia del tamaño del grano, por lo que surge la fórmula de Scotti – Foglieni:

ddU 3.88.3 .

El número de oro: es un modelo de orden teórico donde la potencia es el mismo

número de oro 512

1c . Así su cuadro de datos es:

b c s m

Número de oro

1 512

1 0.7861 0.38199 1

Ahora ordenamos los diversos datos según el valor decreciente de la potencia c del

diámetro, ver Tabla 1.

Tabla 1. Resultados ordenados de acuerdo con el valor decreciente de .

Número de oro

1 512

1 0.7861 0.38199 1

Allen 1 3/2 0.72002 1/2 1

Newton 2 1 1 2

Maza y García

2 7/10 0.27204 1.3 2

Langleben 2 0.62 0.22725 1.3800 2

Magono 1 1/2 0.16005 1.3800 2

Leslie 2 1/3 6.6727x10-2 1.6667 3

Litvinov 2 0.32 5.9256x10-2 1.68 3


En cuanto a las formulaciones adimensionales ya habíamos considerado la de Rubey,

donde velocidad U se factoriza como: FdgU2/1

, con 3

*

3

*

*

36

3

236

dddF ; siendo su

formulación adimensional: *

2/3

*/ dFdUd , y un modelo generalizado de Rubey que

adquiere la forma ** dFdUd c

b

con distintas formulaciones para el factor de forma

(15). Ya mencionamos en (15), que para varios modelos podemos representar el factor de

forma como nn

d

Ah

d

AdF

**

* , con A y h constantes positivas y un exponente

positivo, pero con la idea de que la partícula sea tan pequeña que se satisfaga hd

A

*

;

entonces se vale la aproximación n

nnn

n

xn

xdx

d

n

nx

n

nx

11/1/1

/1

1

1

11

; y por tanto

obtenemos la aproximación:

bn

nb

dAn

Ud*

1

1

1

1

n

nc

1b

, en donde el

exponente del diámetro *d puede observarse en la expresión adimensional. Para

formular un modelo que aporte algo nuevo con respecto al de Stokes, se requiere que

el número de discrepancia satisfaga: 31

n

n

bb

c . Además, podríamos simplificar

un poco asumiendo cn , y entonces 3b

cn .

En [6] el modelo se describe por: 2/32

* 52.125 dUd

, o **

3/2

dFdUd

, con el factor

de forma: 2

2/3

*

2

2/3

*

*

95.1309.1

95.13

dddF ; y evaluando resulta: 3 , luego el criterio de

discrepancia no se satisface para Cheng. También en [6] se cita el modelo de Zhang (1989) como:

22

95.1309.195.13

ddg

dU

, o bien *

2/3

* dFdUd

siendo

2

2/3

*

2

2/3

*

*

95.1309.1

95.13

dddF . Evaluamos para Rubey y Zhang: 3 , y tampoco se

satisface.

En [6] se cita el modelo de Zanke (1977): 101.0110 2

* dd

U , lo cual es: ** dFd

Ud

,

con 2

*

2

*

*

1001

100

dddF . Evaluamos Zanque: 2 y éste sí satisface el criterio de

discrepancia.


En [16] se considera el modelo de Camenen: *

2/3

*

/1

dFdUd k

k

, con

kkk

dB

A

BdB

AdF

/2

2/3

*

/1/2

2/3

*

*

1

4

1

3

41

4

1

. Al evaluar el criterio de discrepancia se

obtiene: 3 , vemos que tampoco lo satisface. Por tanto, el criterio no lo satisfacen ni

Camenen, ni Rubey, ni Cheng, ni Julien, [16]. Se observa en (15) que este modelo está

contenido en el de Rubey generalizado con 3

4,1 Ck , valor ligado al volumen que

surge en los casos específicos de la esfera y el elípsoide rígidos, mientras que para el

cilindro es 2C . Además contiene el caso de Rubey: con 3

2

3

4,36

4

1,1

2

BB

Ak , y

haciendo B = 2, A = 24, se recupera 3

*

3

*

*

36

3

236

dddF .

Por tanto, después de evaluar el número de discrepancia en los modelos anteriormente citados, observamos que solo el de Zanque aporta algo nuevo comparado con el modelo clásico de Stokes. Graficamos la relación propuesta entre el índice y la potencia del diámetro. Si usáramos el diámetro adimensional la recta se trasladaría a la derecha y descendería desde el valor 3 para el modelo de Stokes.

Figura 1: 1 , índice como función de la potencia.

En la gráfica se destacan los valores obtenidos experimentalmente, salvo los dos primero, por distintos investigadores y en diversas disciplinas. Corresponden a Stokes,


Rubey, Allen, Owen, Maza, etc. Ahora, graficamos la relación propuesta entre el orden de la derivada y el orden de rama:

Figura 2: Relación entre el orden de rama y el orden de la derivada , ambas

variables sin dimensión.

En la figura se observa que en sólo 6 pasos se llega a una etapa de casi saturación que corresponde a la turbulencia desarrollada, el orden de la derivada es de 7858.1s , y el número de ramas de orden sextario de 26 = 64, en el árbol de Feigenbaum. Conclusiones Se obtiene una propuesta de relación entre la constante de Feigenbaum y el índice de ocupación espacial, a través del vínculo con el exponente del diámetro de la partcula considerada. La potencia del tamaño de la partcula decrece desde el valor 2 para la capa viscosa lineal, pasa por el rango inercial, hasta llegar al inverso de la constante de Feigenbaum, en el régimen de turbulencia desarrollada. De manera concomitante, el índice de ocupación espacial desciende desde el valor 1 en la capa laminar, pasando por el rango inercial hasta acercarse a 0 en el régimen totalmente desarrollado. La base de nuestro análisis es la versión fraccional de la ecuación de Navier-Stokes. Tomamos el atajo de la ecuación fraccional de Saint-Venant como argumento alternativo, y reconsideramos el resultado publicado en [2] para obtener la presentación (14). Reinterpretamos la fórmula de Rubey para generalizarla, lo cual nos ofrece un camino alternativo para enunciar los diversos modelos de las fórmulas consideradas. Elaboramos un criterio para diferenciar los modelos del clásico de Stokes. Se observa que casi todas las fórmulas se ubican en el rango inercial del movimiento del fluido pero escasamente describen la capa sub-laminar, que podríamos considerar descritas por el orden de rama o bifurcación de orden 2 o 3. En particular se destaca la de Litvinov que produce el orden de rama más alto.


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