Envolventes y Pregeodesicas

MARCO PALUSZNYEscuela de Matematica, Laboratorio de Computacion Grafica

y Geometrıa Aplicada, Universidad Central de Venezuela,Caracas, Venezuela

email: marcopaluszny@gmail.com

Resumen

Se estudian los avances recientes en dostemas: envolventes de familias monoparametric-as de esferas y parches que contienen curvas pre-scritas como pregeodesicas. En diseno geometri-co las envolventes de familias de esferas se uti-lizan en areas tan disımiles como la modelacion3D de objetos tubulares, tales como arterias en di-agnostico cardiovascular y la descripcion de vıaspara evitar obstaculos en robotica, como conflu-encia de superficies. Los parches que contienenpregeodesicas son de interes en la industria textily calzado, debido a que se transforman en seg-mentos de recta bajo isometrıas.

Palabras clave Envolventes, pregeodesicas,cıclides, Dupin, spline tubular.

Abstract

We study recent advances in two areas: en-velopes of monoparametric families of spheresand patches that contain a precribed curve as apregeodesic. In geometric design the envelopesof families of spheres are used in modeling oftubular objects such as arteries and in obstacleavoidance in robotics, as well as in blending ofsurfaces. Patches that contain geodesics pertaintechniques useful in the textile and shoe indus-trias, because they get transformed into strightline segments under isometries.

Keywords Envelopes, pregeodesics, cyclides,Dupin, tubular splines.

1. Introduccion

El objetivo del presente trabajo es reportarsobre dos de las lıneas de investigacion que sehan venido desarrollando en el Laboratorio deComputacion Grafica y Geometrıa Aplicada, dela Escuela de Matematica de la Facultad de Cien-cias de la UCV, en las cuales he estado direc-tamente involucrado. Estos temas son las sigu-ientes aplicaciones de la geometrıa al diseno ge-ometrico asistido por computadora: superficiestubulares y geodesicas en diseno geometrico asis-tido por computadora - CAGD (computer aidedgeometric design) por su acronimo en ingles.

Mas alla de resumir contribuciones a estostemas, la idea es presentar de manera organizadalas referencias, sus conexiones con el trabajo quese ha llevado adelante en el Laboratorio y algunosproblemas abiertos interesantes.

2. Geodesicas en CAGD

En diseno geometrico las geodesicas son deinteres en la industria de confeccion del calzadoy vestido porque son las curvas que minimizanla distancia entre puntos sobre la superficie. Eltrabajo de Wang et al [1] presenta una lista delas aplicaciones industriales de las geodesicas.Otro aspecto importante es que si una superficieque contiene una curva como geodesica se puedetransformar, sin distorsion metrica (o sea sin es-tirar o desgarrar), en un dominio plano entoncesesta se transforma en un segmento de recta.

En particular, las superficies desarrollables(vea [2][3]), las cuales son isometricas a domi-nios planos, son utiles en diseno arquitectonico,

especialmente en el trabajo de F. Gehry -disenador del museo Guggenheim de Bilbao, [4].El interes actual en las supeficies desarrollablesen el area de la arquitectura tambien se eviden-cio en la ultima conferencia SIGGRAPH del ano2006 ([5]).

Una curva contenida en una superficie esuna geodesica si esta parametrizada por longitudde arco; (esto es: el vector tangente es unitario), yla componente tangencial de la segunda derivadaes nula a lo largo de la curva.

En geometrıa diferencial la forma usual dedefinir una geodesica es escribiendo la condi-cion anterior en terminos intrınsecos, los cualesdependen solo de la superficie, o sea, indepen-diente del espacio ambiente. Lo anterior involu-cra productos escalares de vectores tangentes (1a

forma fundamental), campos tangentes y camponormal (2a forma fundamental) y los sımbolos deChristoffel, los cuales son funciones (definidassobre la superficie) que expresan la variacion delos campos en terminos de los campos coordena-dos.

Una referencia para geodesicas, librementeaccesible en Internet, en terminos excelentementeadaptados a nuestros propositos, es [6].

En CAGD es de interes caracterizar cuan-do una curva sobre un parche es una geodesicay los parches son imagenes de [0, 1] × [0, 1]por una funcion usualmente polinomial de �

2

en �3. Como en diseno geometrico se trabaja

con curvas polinomiales (o polinomiles por tro-zos) generalmente son de especial interes las cur-vas de Bezier como candidatas a geodesicas so-bre parches dados. En segundo lugar el proble-ma de construir parches polinomiales que con-tienen curvas polinomiales en 3D dadas comopregeodesica tambien es importante en aplica-ciones.

En CAGD las curvas polinomiales se de-nominan curvas de Bezier. Una buena introduc-cion a parches polinomiales y curvas de Bezieres [8], disponible en cuarzo.ciens.ucv.ve.

El que una curva sea una geodesica dependetanto de su parametrizacion como tambien desu forma geometrica. Como mencionamos ini-cialmente, por definicion las geodesicas estan

parametrizadas por longitud de arco (o por unargumento proporcional a longitud de arco). Sinembargo en muchos casos estamos solo interesa-dos en que una curva �(t) sea una geodesica conrespecto a un parametro s = s(t), posiblementediferente de t. O’Neill en [7] denomina pre-geodesicas a las curvas que resultan geodesicascuando se reparametrizan por longitud de arco.

En [10] se observa que una curva que yacesobre una superficie es una pregeodesica si y solosi el palno rectificador de la curva coincide con elplano tangente a la superficie a lo largo de esta.

Note que el plano rectificador de una curva�(t), involucra solamente la direccion binormal,la cual viene dada por �′(t) × �

′′(t) y es por lotanto independiente la parametrizacion.

En consecuencia cualquier parche de la for-ma

�(t) + s{α(t)�′(t) + α(t)�′(t) × �′′(t)} (1)

contiene a �(t) como pregeodesica. En [10] seconsidera el caso en que k = grado(�(t)) es ba-jo.

En particular si k = 3 entonces el grado de�′(t) × �

′′(t) es dos y si escogemos α(t) y α(t)de grado uno entonces �(s, t) es una superficiereglada de grado uno en s y grado tres en t. Esusual en CAGD referirise a estas superficies co-mo productos tensoriales (1, 3).

Lo anterior significa que para cualquiercubica en �3 existe una familia de parches (1, 3)que la contiene como pregeodesica.

La Figura 1 muestra dos parches (1, 3) quecontienen una cubica como pregeodesica. Estafamilia de parches depende de cuatro parametroshomogeneos: los coeficientes de α(t) y α(t).

En [10] se considera el problema de laconexion de parches a lo largo de una pre-geodesica comun.

En aplicaciones en el area de la arquitec-tura, es de especial interes la situacion cuando lasuperficie reglada dada por (1) es desarrollable1.Esto significa que el plano tangente a lo largo decada generador es fijo.

1una superficie reglada forma �(t)+s�(t) y se denom-ina desarrollable si el plano tangente no depende de s, [10]

Figura 1. Parches (1, 3) que contienen una cubicacomo pregeodesica.

No es dificil verificar que escogiendo

α(t) = − ‖ �′(t) ‖2 (�′(t) × �′′′(t)) · �′′(t)

α(t) = ‖ �′(t) × �′′(t) ‖2

la expresion �(s, t) dada por (1) es un parche de-sarrollable.

Usando la expresion de la torsion τ(t) para�(t) en terminos de un parametro arbitrario ([7])y reparametrizando el parche cambiando la lon-gitud del vector generador, el parche �(s, t) sepuede escribir “mas geometricamente”:

�(t) + s(τ(t)�(t) + κ(t)�(t))

donde κ(t) denota la curvatura de �(t) (vea [7]para las formulas de la curvatura y la torsion deuna curva parametrizada arbitrariamente), �(t) y�(t) son los vectores tangente y binormal a lacurva.

Note sin embargo que aun en el caso que�(t) es polinomial esta expresion del parche noes polinomial. De hecho, resulta que en este ca-so �(s, t) es un parche racional, o sea las fun-ciones componentes de �(s, t) son cocientes depolinomios en (s, t).2

Es interesante estudiar la relacion existenteentre los puntos de control de la pregoedesica

2El libro de Farin [9] es una buena introduccion para lascurvas y parches racionales

�(t) y los puntos de control de la superficie desa-rrollable �(s, t) que la contiene. El caso mas ge-neral de superfices desarrollables que contienenuna curva de Bezier polinomial cualquiera (nonecesariamente pregeodesica) ha sido estudiadopor Aumann ([11, 12]).

En vista de que las superficies desarrolla-bles son isometricas a regiones planas (y pormedio de la isometrıa las pregeodesicas corre-sponden a segmentos de recta3) es importante, es-pecialmente en el contexto de aplicaciones de vi-sualizacion medica (ver [14]) estudiar en detalleno solamente la relacion entre los puntos de con-trol de la curva y la superficie, sino tambien la deambos con la curvatura y la torsion. Los casos es-peciales tales como planaridad de �(t) y presen-cia de puntos de inflexion podrıan ser de especialinteres en aplicaciones especıficas. Por ejemplo,en el caso de aplicaciones en manufactura textillas pregeodesicas mas utilizadas son las planas.Tambien es de interes estudiar la superficie regla-da ortogonal a �(s, t) a lo largo de �(t).

3. Superficies tubulares

En la literatura de matematicas el nom-bre tecnico de la envolvente de una familiamonoparametrica de esferas es superficie canal.Sin embargo el nombre de superficie tubularparece mas adecuado debido a que en el contex-to de las aplicaciones esta ultima denominacionexplicita de manera mas clara el concepto: es lasuperficie que se obtiene al mover una esfera alo largo de una curva. Por esta razon utilizaremosambos terminos intercambiablemente. Los ejem-plos mas simples son un cilindro (el centro de laesfera se mueve a lo largo de una recta) y el toro(el movimiento de la esfera es a lo largo de uncırculo cuyo radio excede al de la esfera).

Casos mas interesantes ocurren cuando elradio de la esfera varıa a medida que su centrose mueve a lo largo de la curva. Dos ejemplosserıan: un cono y una cıclide de Dupin. Ver Figu-ra 2.

3El libro de Patrikalakis y Maekawa [13] dedica unaseccion al estudio de geodesicas sobre superficies desarro-llables.

Figura 2. Cono y toro.

La cıclide de Duplin se puede definir comola envolvente que resulta de mover un esfera quese mantiene tangente a tres esferas fijas. Ver Figu-ra 3 (tomada de [15]).

Figura 3. Familia de esferas tangentes a tres es-feras fijas.

La definicion clasica de superficie canal sepuede encontrar en [3, p.256] y tambien en [16,p.799].

Las superficies tubulares son utiles en as-pectos tales como:

- planificacion de caminos para evitar ob-staculos en robotica ([18]).

- diseno de estructuras tubulares en arqui-tectura e ingenierıa: ductos de ventilacion,gasoductos/oleoductos, y tubos de trans-porte en refinerıas ([19]) y estudio de vıaslongitudinales, tales como venas o colon dela anatomıa humana ([17]).

Las superficies tubulares mas estudiadas enCAGD son las cıclides de Dupin. Su estudio sis-tematico comienza con los trabajos de Boehm

[26] y Pratt [27] en 1990. Sin embargo ya en1982 R. R. Martin [28] de la escuela britanica,realizo su tesis doctoral en el tema de parchesprincipales, que son parches de cıclides de Dupindelimitados por cuatro arcos circulares. La tesisdocotoral de D. Dutta [29] en 1989, consideralas cıclides de Dupin para la confluencia de su-perficies. La bibliografıa de Johnstone [30] indi-ca varios trabajos previos a 1990 que consideranlas cıclides de Dupin en el contexto de sus apli-caciones, generalmente en ingenierıa mecanica ydiseno industrial.

Las cıclides como supeficies de interes ge-ometrico fueron ampliamente exploradas en elsiglo XIX por A. Cayley, J. Casey y J. C.Maxwell (ver [36]) y tambien por G. Darboux en[31]. Referencias modernas a la cıclide de Dupinson [33, 34, 35].

En el contexto de la geometrıa elementalplana las cıclides de Dupin estan conectadas conel problema de Apolonio: dados tres cırculos en-contrar todos los cırculos simultaneamente tan-gentes, a los tres cırculos dados.

En el caso de que los cırculos esten en posi-cion general el problema de Apolonio tiene ochosoluciones que naturalmente se asocian en cuatropares.

Recordando la definicion de cıclide deDupin como la envolvente de una familiamonoparametrica de esferas dadas por una es-fera movil que se mantiene tangente a tres es-feras fijas, notamos que en el plano de centrosde las esferas fijas, la esfera movil corta (ecua-torialmente) dos cırculos solucion del problemade Apolonio dado por los cırculos interseccionde las esferas fijas con el plano. De hecho, Cay-ley en [36] se refiere a cuatro especies de esferasmoviles a tres esferas fijas cuando considera lascıclides de Duplin. Estas cuatro especies corre-sponden a los pares de cırculos solucion del prob-lema de Apolonio determinado por las esferas fi-jas en el plano de sus centros.

La utilidad de las superficies canales y enparticular de la cıclides de Dupin en CAGD secentra en los siguientes aspectos: construccionde parches, confluencia de superficies (blending),diseno y construccion de splines con superficies

tubulares4.Los parches construidos a partir de cıclides

de Dupin tienen la ventaja de ser racionales [26]y satisfacen una ecuacion implıcita de grado cua-tro [26, 27]5. Esto se compara muy bien con elgrado implıcito de un parche polinomial productotensorial de bigrado (m, n)6, que resulta 2mn.

A pesar de las limitaciones de los parchesprincipales propuestos en [28], cuyas fronterasson arcos de cırculos con esquinas de 90o, hayun interes en la utilizacion de parches de cıclidesde Dupin debido a su simplicidad, lo cual se re-fleja en el reciente artıculo de Garnier et al [20]y tambien en [21]. En [22] y [23] se consideranparches cuyas fronteras no son cırculos.

Mas generalmente, el problema de laparametrizacion racional de superficies canalesha sido estudiado por Peternell y Pottmann ([38])y mas recientemente en [39] y [40].

El segundo aspecto importante de las super-ficies canales yace en su utilidad en suavizar laconexion entre dos superficies a lo largo de suinterseccion. Dadas dos superficies que se cor-tan transversalmente, el problema de la confluen-cia consiste en determinar una superficie que seconecta tangencialmente a cada una de las super-ficies. Ver Figura 4.

Figura 4. Confluencia de superficies.

Tal como lo sugiere la ilustracion la super-

4Esta ultima parte del artıculo se dedicara a considerarmas de cerca este apecto de las superficies tubulares

5Note que en [27] la formula (2) para la ecuacion im-plıcita de una cıclide tiene un error de signo. La ecuacioncorrecta es: (x2+y2+z2−µ2−b2)2 = 4(cx−aµ)2−4b2z2

con a, b > 0, µ ≥ 0 y a2 = b2 + c2 (ver [37, 30])6Si �(s, t) ∈ �3 es un parche polinomial entonces m

y n son los grados de � como polinomio en la primera ysegunda variable, respectivamente.

ficie que hace efectiva la confluencia es un seg-mento de envolvente de una familia de esferas, osea una superfice canal o tubular.

Los primeros aportes en el area de “blend-ing”, o sea de construccion de superficies de con-fluencia son motivados por las necesidades de lossistemas de modelacion computarizados de lasgrandes empresas de fabricacion de automoviles.

Algunos trabajos tempranos en el area deblending son [42] y [43]. El libro GeometricModeling: Algorithms and New Trends ([41]),editado por G. Farin es un interesante compendiode los temas importantes en CAGD para media-dos de la decada de los anos ochenta, en partic-ular en la tematica de blending. Otras referenciade especialmente agradable lectura es [44]. Ejem-plos clasicos de blending de cilindros y conospueden consultarse en [24] y [25].

4. Diseno y control de splines tubu-lares

Los splines tubulares son similares a lassuperficies canales. La diferencia fundamentales que una superficie canal es la envolvente deuna familia monoparametrica de esferas la cualdepende analıticamante (usualmente polinomial-mente del parametro). Para los splines tubularesesta condicion se relaja.

Consideramos un ejemplo. Una cıclide deDupin tambien se puede caracterizar (ver [44])como la envolvente de las esferas tangentes a doscırculos coplanares, cuyos centros yacen en elplano de los cırculos (ver Figura 5).

Denotamos por (x(t), y(t), z(t)) los centrosde esta familia de esferas y por r(t) sus radios.Resulta entonces que los centros yacen sobreuna elipse cuyos focos coinciden con los cen-tros de los cırculos. La Figura 5, la cual es muypopular en los artıculos sobre cıclides de Dupin([30, 44, 27]) ilustra el caso en el que los cırcu-los yacen en el plano xy y sus centros y radiosson (−c, 0), a + μ y (c, 0), a − μ. En este ca-so la ecuacion implıcita de la cıclide de Dupinesta dada en la nota de pie de pagina 4. La curvade centros de la familia monoparametrica de es-

a-a+

-c

2c

(x(t),y(t),z(t)) yradio r(t)

Figura 5. Construccion canonica de una cıclidede Dupin.

feras cuya envolvente es la cıclide tiene ecuacion:x2

A2 + y2

B2 = 1 donde A2 = a2 y B2 = μ2−c2.7 Noes difıcil encontrar una formula parametrica parael radio de la esfera de la familia.

Para los splines tubulares se sustituye lacondicion de dependencia analıtica del radio ydel centro de la esfera por un requerimiento desuavidad G1 sobre la envolvente. O sea que seexigen condiciones sobre los radios y centros delas esferas que garanticen que el plnao tangente ala envolvente varıa contınuamente sobre la super-ficie. En [48, 46, 47] y [45] se usa un metodo parael estudio de splines tubulares G1 que se basa enla representacion de esferas por medio de puntosen un espacio tetradimensional.

Una tecnica alternativa para el manejo deesferas es la ofrecida por H. Pottmann y el grupode Geometrıa Industrial de la Universidad Tecni-ca de Viena, [50].

Nuestro metodo se basa en la proyeccion es-tereografica la cual establece una relacion 1:1 en-tre los puntos de una esfera (con la excepcion delpolo norte) y los puntos del plano. La proyeccionestereografica, rectas y cırculos de plano en sec-ciones planas de la esfera. Ver Figura 6.

De manera similar la proyeccion estereo-grafica entre la esfera de dimension tres en �

4

y el 3-plano ecuatorial establece tambien una

7Cuando µ < c esta elipse se transforma en unahiperbola.

Figura 6. Proyeccion estereografica.

correspondencia entre el espacio de esferas yplanos de �3 y el conjunto de 3-secciones de laesfera de ecuacion

−1 + x2 + y2 + z2 + w2 = 0 (2)

(i.e. intersecciones de 3-planos en �4 con la es-fera). Cada punto de �4 que yace en el exteriorde esta esfera, tiene un 3-plano polar que la cor-ta. Esto sugiere una correspondencia entre esferasde �3 y puntos en el exterior de la esfera de �4:dado un punto en el exterior (x0, y0, z0, w0) o seax2

0+y20+z2

0+w20 = λ2 > 1, entonces su plano po-

lar {(x, y, z, w) : −λ+xx0 +yy0 + zz0 +ww0 =0} corta la esfera o plano en �

3 y esta ultimadetermina una esfera o plano de �3, vıa proyec-cion esterografica. De esta manera se hace corres-ponder a cada punto en el exterior de la esfera en�

4 de ecuacion −1+x2 + y2 + z2 +w2 = 0, unaesfera o un plano en �3. Sin embargo no toda 3-seccion plana se puede obtener de esta manera.De hecho las 3-secciones ecuatoriales (i.e aque-llas que corresponden a intersecciones de la es-fera en �4 con 3-planos que pasan por el origen)no corresponden a puntos exteriores a la esfera−1 + x2 + y2 + z2 + w2 = 0. La Figura 7 ilus-tra lo que ocurre con el polo (o sea el punto quecorresponde a un 3-plano) determinado por un 3-plano que pasa por el centro de la esfera: el polose escapa a ∞.

Por esta razon, para representar todos losplanos y esfersas de �

3 por medio de puntos,

Figura 7. Polo tiende a ∞ cuando el plano polarse hace ecuatorial.

hay que “completar el exterior de la esfera” agre-gando los puntos en el ∞. Esto se hace homoge-nizando las coordenadas o en otras palabras: in-cluyendo �4 en el espacio proyectivo de dimen-sion cuatro. Tomando x1 = xx0, x2 = yx0,x3 = zx0 y x4 = wx0 obtenemos que la ecuacionde la esfera se transforma en la ecuacion ho-mogenea de una cuadrica,

−x20 + x2

1 + x22 + x2

3 + x24 = 0

la cual se denomina cuadrica de Moebius y se de-nota por Ψ. El conjunto

Ψ+ = {(x0, x1, x2, x3, x4) :

−x20 + x2

1 + x22 + x2

3 + x24 > 0}

es el exterior de la cuadrica y sus puntos corres-ponden a todos los puntos del exterior de la esferay los puntos en el ∞.

Resulta que hay una biyeccion entre el es-pacio de esferas y planos de �3 y Ψ+. En conse-cuencia una familia monoparametrica de esferasde �3 se puede representar por medio de una cur-va en Ψ+. La relacion precisa entre los puntos deΨ+ y esferas y/o planos en �3 es la siguiente: da-da una esfera de centro (a, b, c) y radio r, el punto(x0, x1, x2, x3, x4) ∈ Ψ+ que le corresponde es:

x0 = a2 + b2 + c2 − r2 + 1

x1 = 2a

x2 = 2b

x3 = 2c

x4 = a2 + b2 + c2 − r2 − 1

Es facil ver que efectivamente −x20 +

x21 + x2

2 + x23 + x2

4 > 0. Y recıprocamente,(x0, x1, x2, x3, x4) ∈ Ψ+ determina una esfera en�

3 dada por

(a, b, c) =1

x0 − x4(x1/x0, x2/x0, x3, x0)

r2 =(−x2

0 + x21 + x2

2 + x23 + x2

4)

(x0 − x4)2

si x0 − x4 �= 0. En el caso de que x0 − x4 = 0determina un plano de �3 de ecuacion

x1x + x2y + x3z = x0.

Figura 8. Familia de esferas que determina unasuperficie canal.

Una curva en Ψ+ corresponde a una familiamonoparametrica compuestas de esferas, planoso ambos. Los puntos de Ψ+ son exactamenteaquellos que yacen en el hiperplano x0 = x4 de�

4. En consecuencia la composicion de una fa-milia parametrica en termino de esferas y planosse reduce a estudiar la interseccion de una cur-va de �

4 contenida en Ψ+ con el hiperplanox0 = x4. Si una curva no interseca el hiperplanoentonces la familia correspondiente consta exclu-sivamente de esferas y por ende su envolvente esuna superficie canal (ver Figura 8).

Si esta contenida en el hiperplano x0 =x4 entonces todos los elementos de la familiamonoparametrica son planos y por lo tanto laenvolvente es una superficie desarrollable. Lasfamilias monoparametricas mas simples son las

correspondientes a rectas de �4 (o sus intersec-ciones con Ψ+). Estas familias se denominanhaces de esferas y son bien conocidas en ge-ometrıa clasica.

La Figura 9 ilustra el haz corespondiente auna recta que no interseca la cuadrica de MoebiusΨ+.

Figura 9. Haz de esferas correspondiente a unarecta de �4 que no corta a Ψ+.

El artıculo “Conformal Geometry” [51] deG. V. Bushmanova en Enciclopaedia of Mathe-matics es una referencia atractiva sobre la visionclasica de los haces de esferas y el manejo decırculos en �3.

Familias monoparametricas mas intere-santes que los haces son las dadas por curvas poli-nomiales de�4, o sea funciones polinomiales ho-mogeneas de �2 en �5. En el caso que el gradosea dos, obtenemos conicas y nos interesan lasenvolventes de las familias monoparametricas deesferas y/o plano que les corresponden.

Nos referimos a estas ultimas como cıclidesgenerales (ver [45]) y son superficies algebraicasde grado cuatro. Dada la curva polinomial �s2 +2�st + �t2 con �,�, � ∈ �

5, la ecuacion alge-braica de la envolvente es:

[2(a(x, y, z)) + d2(a4 − a0) − (a4 + a0)]

·[c(x, y, z)) + d2(c4 − c0) − (c4 + c0)]

−[b(x, y, z)) + d2(b4 − b0) − (b4 + b0)]2 = 0

donde � = (a0, a1, a2, a3, a4), a(x, y, z) = a1x +a2y + a3z, etc. y d2 = x2 + y2 + z2. Envista de que estamos interesados en construir

splines tubulares con cıclides generales, es im-portante dar condiciones necesarias y suficientespara la conexion de la superficie o mejor aun,para que un segmento particular de la superfi-cie sea conexo. Este tema se considera en [45].Las Figuras 10 y 11 ilustran cıclides generalesconexas y disconexas, respectivamente.

Las cıclides de Dupin forman una subfamil-ia propia de las cıclides generales, este caso es-pecial se estudia en [47].

El caso de envolventes correspondientes acurvas polinomiales de grado mayor que dos hasido poco estudiado, una referencia es [52] en elcaso de grado tres.

Figura 10. Cıclides generales conexas.

Figura 11. Cıclide general disconexa.

Dos segmentos de cıclides se conectan G1

a lo largo de un cırculo comun si las dos famil-ias monoparametricas tienen una esfera comunque contiene ese cırculo. En terminos de curvasy puntos de Ψ+ la conexion G1 de dos segmentosde cıclides a lo largo de un cırculo corresponde a

la conexion G1 de dos segmentos de curvas poli-nomiales contenidas en Ψ+. Una recta tangentea la curva polinomial (en caso de que este con-tenida en Ψ+)8 corresponde a un haz de esferasque tiene un cırculo comun, el cual yace sobrela envolvente de la familia monoparametrica co-rrespondiente. Este aspecto se considera en [45]y [47].

Figura 12. Esferas tangentes a la superficie canal.

RR44

Figura 13. Conexion de segmentos de cıclides enterminos de Ψ+.

Finalmente el control local del spline tubu-lar se reduce a controlar un segmento de conicaen P 4, la cual siempre se puede presentar comouna curva de Bezier racional. Si denotamos por�0,�1 y �2 los puntos de control y por w el peso

8En caso de que la recta en �4 corte a Ψ, la cıclide esdisconexa.

de una conica de Bezier en Ψ+, tales que a ca-da �i le corresponde a una esfera o un plano deecuacion Bi = (x, y, z) = 0, entonces la envol-vente correspondiente se puede escribir (ver [15])

B1(x, y, z)B2(x, y, z) − w2B1(x, y, z) = 0

y tiene las siguientes propiedades

- la cıclide pasa por los cırculos interseccionB0 ∩ B1 y B2 ∩ B1

- es tangente a las esferas B0 y B2 a lo largode estos cırculo,

- la parte de la cıclide contenida en la esferaB1

9 es conexa si w es lo suficientementegrande. La Figura 14 ilustra esta situacion.

Otra manera de controlar el spline tubularse bosqueja en [15].

Figura 14. Segmento de cıclide contenido en unaesfera y tangente en los extremos a esferas pres-critas.

Algunos temas interesantes que deben serinvestigados en este tema son:

1. Dar condiciones elegantes para que laconexion sea G2.

2. Las cıclides generales son parametriz-ables racionalmente [53]. Encontrar unaparametrizacion racional elegante.

9La parte de la cıclide contenida en B1 no necesaria-mente corresponde a la parte de la envolvente correpondi-ente a t ∈ [0, 1].

3. Estudiar curvas sobre cıclides generales;[23] y [54] consideran este problema en casode las cıclides de Dupin.

4. Considerar las envolventes de curvas poli-nomiales de grado mayor o igual que tres.Estudiar los casos en los cuales el grado al-gebraico de la envolvente se reduce. Estasituacion es similar al caso de las cıclides deDupin parabolicas (son de grado tres, mien-tras que las cıclides de Duplin usualmentetienen grado algebraico cuatro)las cuales enterminos de P 4 corresponden a curvas tan-gentes al hiperplano x0 = x4.

5. Agradecimientos

El autor agradece a J. Franquiz y J. Yere-na por su ayuda con algunas de las figuras. Tam-bien queremos reconocer el apoyo financiero delFONACIT y el CDCH para la realizacion de estetrabajo.

Referencias

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