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EPET Nº 3Curso: 2º II Tema: División de Polinomios
Integrantes: Aranda Carlos, Pérez Mezquida, Damián.
Profesor: Hugo Valderrey
División
Regla de Ruffini
Teorema del resto
División
A fin de facilitar la división de polinomios, es conveniente disponerlo como para realizar una
división entre números naturales. Hay que ordenar y completar los polinomios. Daremos un
ejemplo para dividir P (x) por Q (x) que te mostraremos a continuación.
P(x) = 6x4 + 2x2 - 5x + 2 Y Q(x) = X2 – 3 + 2X
• Completo y ordeno en potencias decrecientes
ambos polinomios.
• Los dispongo como en una división de números
naturales.
• Para hallar el primer monomio del polinomio cociente, divido 6x4/x2= 6x2
P(x) = 6x4 + 0 x3 +2x2 - 5x + 2
Q(x) = X2 + 2X - 3
6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2
6x2
6x2 6x4 + 12x3 – 18x2
-
0 – 12x3 + 20x2
1º resto
6x4 + 0x3+ 2x2 – 5x + 2
6x4 + 12x3 – 18x2 -
-12x3 + 20x2 - 5x
x2 + 2x - 3
6x4 + 0x3+ 2x2 – 5x + 2 x2 + 2x - 3
6x2 – 12x + 44
6x2 – 12x
-12x3 + 20x2 - 5x
-12x3 - 24x2 + 36x Cociente
44x2 - 41x + 2
44x2 - 88x +132
-129x + 134 Resto
X2 + 2 x - 3
• Multiplico 6x2 por el polinomio
divisor para restar del dividendo
y obtener el primer resto.
• Agrego al resto el monomio siguiente. Divido -
12x3 /x2=-12x
Obtengo así el segundo monomio del cociente.
• Reitero los pasos anteriores. La división concluye
cuando el resto es de grado menor que el divisor.
6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2 x2 + 2x - 3
6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2 X2+ 2 x - 3
-
6x4 + 12x3 – 18x2 -
Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un procedimiento que permite dividir dos polinomios, siempre que el divisor tenga la forma x – a.
Por ejemplo, en la división (-2x3 + 5x2 - 4x + 2) : (x – 3) podemos calcular los coeficientes del polinomio cociente mediante la
siguiente disposición:
• Se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordenado;
• A la izquierda se escribe a (es 3);
• El primer coeficiente queda igual (es -2)
• El segundo coeficientes se obtiene efectuando -2 . 3 y
sumando este resultado a 5 (es -1);
-2 +5 - 4 + 2
Resto
• El tercer coeficiente se obtiene efectuando -1 . 3 y sumando este resultado a -4 (es -7);
• Por último, multiplicamos -7 . 3 y le sumamos 2; así obtenemos el resto (19).
• Por lo tanto, el cociente de la división es: -2x2 – x – 7 (es un grado menor que el dividendo) y el resto es -19.
3
-2
-6
+
-1
+
-3
-7
-21
-19
+
Teorema del resto
A veces interesa conocer sólo el resto de una división, no el cociente.
P (x) : (x – a) = C (x) y R es el resto P (x) = (x – a) . C(x) + R
x = a P (a) = (a – a) . C(x) + R
0
P (a) = R
El resto es el valor numérico de P cuando x vale a
Por ejemplo, en el caso anterior en el que aplicamos la regla de Ruffini:
(-2x3 + 5x2 - 4x + 2) : (x – 3)
Si calculamos P (3) = -2 . 33 + 5 . 32 - 4 . 3 + 2
P(3) = -2 . 27 + 5 . 9 – 12 + 2
P(3) = -54 + 45 – 12 + 2
P(3) = -19 que es el resto