Unidad II

EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA Y DEL CUERPO

RIGIDO

LOGRO DE LA UNIDAD

Al finalizar la II unidad, el estudiante aplica las ecuaciones de equilibrio

estático de la partícula y del cuerpo rígido. Convierte los sistemas físicos

sencillos a modelos matemáticos también sencillos a los que se aplican las

ecuaciones anteriores, determinando las reacciones en los apoyos o

fuerzas axiales internas en los elementos conformantes del sistema en

estudio, con exactitud y precisión

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

Un cuerpo rígido es aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de los cuerpos

considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras y

máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las

cargas que actúan sobre ellas. A pesar de ello, por lo general estas deformaciones son

pequeñas y no afectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de las estructuras

en consideración. Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza

sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respecto a un punto y elmomento de una fuerza con respecto a un eje.

FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en:

FUERZAS EXTERNAS

Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en

consideración. Como ejemplo consideremos las fuerzas que actúan sobre un camión

descompuesto que es arrastrado hacia adelante por varios hombres mediante una

cuerda unida a la defensa delantera (Ver Fig.).

Fuerzas externas e internas

FUERZAS INTERNAS

Son las que mantienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido

A diferencia de una PARTÍCULA, el tamaño y la forma de un CUERPO RÍGIDO son

importantes en el análisis de fuerzas sobre él, ya que el sistema de fuerzas aplicadas

sobre el cuerpo no es necesariamente concurrente.

Par de fuerzas

En la figura anterior se muestra un cuerpo sometido a la acción de un par de fuerzas.

Es fácil ver que aún cuando la resultante del sistema de fuerzas es nula, el cuerpo no

estará en equilibrio pues el par de fuerzas lo hará girar.

Consideremos un sistema general de fuerzas que está actuando sobre un cuerpo

rígido. En la unidad anterior hemos visto que un sistema generaI de fuerzas se puede

reducir a la resultante más un par actuando en un punto cualquiera O. Si la resultante y

el par son nulos, diremos que el sistema original de fuerzas externas es equivalente a

un sistema nulo y que el cuerpo rígido está en equilibrio

Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio se deberá cumplir que el sistema general

de fuerzas que actúa sobre él debe ser equivalente a un sistema nulo, es decir:

1) La suma de las fuerzas es igual a cero

2) La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero

Se dice que estas últimas relaciones vectoriales son las condiciones necesarias y

suficientes para que un sólido rígido esté en equilibrio. Estas expresiones se pueden

descomponer en seis ecuaciones escalares:

Para escribir correctamente las ecuaciones de equilibrio de un sólido rígido primero hay

que identificar correctamente todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Dichas

fuerzas pueden ser:

Fuerzas externas aplicadas sobre el cuerpo.

Peso propio del cuerpo actuando en su centro de gravedad.

Reacciones en los apoyos en que se sustenta el cuerpo.

En caso de que el cuerpo esté enlazado a otros cuerpos, se deberán considerar

también las fuerzas originadas en los correspondiente apoyos de enlace (apoyos

internos al sistema).

Fuerzas de fricción actuantes.

A continuación se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre. Dicho diagrama debe ser

lo más claro posible y debe contener la siguiente información:

Esquema del cuerpo en estudio: debe ser lo más claro posible y en él se deben

caracterizar de manera aproximada las formas geométricas del cuerpo en estudio.

Todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Las fuerzas de módulo, dirección

y sentido conocidos (datos del problema). Si las fuerzas son de dirección y/o

sentido desconocidos (incógnitas del problema, como por ejemplo las fuerzas de

reacción en los apoyos), se debe asignarles dichas características. Al momento

de solucionar las ecuaciones de equilibrio conoceremos los verdaderos sentidos.

Las dimensiones que puedan necesitarse para los cálculos de los momentos de

las fuerzas.

Como observación importante se debe decir que el diagrama de cuerpo libre (DCL)

constituye el primer paso en la solución de los problemas de la mecánica y su

importancia es tal que de él dependerán los cálculos subsecuentes. Si el diagrama

contiene datos incorrectos o es incompleto, las ecuaciones que de allí resulten serán

erróneas y los resultados a que arribemos serán también erróneos. Ahora, el

diagrama es esquemático y en consecuencia puede ser realizado a mano alzada. Sin

embargo, se recomienda al estudiante que intente siempre apoyarse en una regla o

compás simples si es que nota que de esa manera mejora la claridad de sus propios

esquemas.

EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES

ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESCALARES

Cuando las cargas y reacciones sobre un objeto en equilibrio forman un sistema

bidimensional de fuerzas y momentos, éstos se relacionan mediante TRES

ecuaciones de equilibrio escalares.

Lo anterior implica que, cuando mucho, es posible resolver un sistema de TRES

fuerzas o pares desconocidos. En un sistema de cuerpos en lazados entre si (una

estructura por ejemplo), si el sistema está en equilibrio entonces cada uno de los

cuerpos que lo componen está en equilibrio. Es decir, las condiciones de equilibrio se

cumplen tanto para cada uno de los cuerpos como para el sistema total.

SOPORTES

Cuando una persona está de pie, el piso la soporta. Cuando alguien está sentado en

una silla con los pies en el piso, la silla y el piso lo soportan. las fuerzas y pares

ejercidos sobre un objeto por sus soportes se denominan reacciones, lo que expresa el

hecho de que los soportes «reaccionan» a las otras fuerzas y pares, o cargas, que

actúan sobre el objeto. Por ejemplo, un puente se sostiene gracias a las reacciones

ejercidas por sus soportes, y las cargas son las fuerzas ejercidas por el peso del mismo

puente, el tráfico que lo cruza y el viento.

Algunos tipos muy comunes de soportes se representan con modelos estilizados

llamados convenciones de soporte. los soportes reales a menudo se parecen a los

modelos estilizados, pero aunque no se parecieran, se representan por medio de estos

modelos si los soportes reales ejercen las mismas (o aproximadamente las mismas)

reacciones que los modelos.

SOPORTE DE PASADOR

En la figura (a) se representa una ménsula a la cual está unido un objeto (una viga, por

ejemplo) con un pasador liso que pasa por la ménsula y el objeto. la vista lateral se

muestra en la figura (b).

Para entender las reacciones que puede generar un soporte de pasador resulta útil

imaginar la sujeción de una barra unida a un soporte de pasador (figura c). Si se trata

de mover la barra sin hacerla girar (es decir, trasladar la barra), el soporte ejerce una

fuerza reactiva que lo impide. Sin embargo, se puede hacer girar la barra alrededor del

eje del pasador. El soporte no puede generar un par respecto al eje del pasador para

impedir el giro. Así, un soporte de pasador no puede generar un par respecto al eje del

pasador, pero sí puede ejercer una fuerza sobre un cuerpo en cualquier dirección, lo

que comúnmente se expresa representando la fuerza en términos de sus

componentes (figura d). las flechas indican las direcciones de las reacciones si Ax y Ay

son positivas. Si se determina que Ax o Ay son negativas, la reacción tendrá la

dirección opuesta a la de la flecha.

SOPORTE DE RODILLO

La convención llamada soporte de rodillo (figura a) es un soporte de pasador montado

sobre ruedas. Como el soporte de pasador, éste no puede generar un par respecto al

eje del pasador. Dado que puede moverse libremente en la dirección paralela a la

superficie sobre la que rueda, no puede generar una fuerza paralela a la superficie,

sino sólo una fuerza normal (perpendicular) a ella (figura b).

SOPORTE FIJO

REACCIONES EN APOYOS BIDIMENSIONALES

En general se puede afirmar que las reacciones que se originan en los apoyos se

presentan en la dirección de los movimientos restringidos. Este hecho se verá con

claridad en los siguientes esquemas de apoyos que se utilizan para restringir el

movimiento de los cuerpos rígidos en el plano.

APOYOS DE PRIMER ORDEN

Son apoyos que generan una reacción de dirección conocida. Aun cuando el sentido

de la reacción es desconocido, puede ser supuesto arbitrariamente. El signo de la

solución obtenida nos indicará si la suposición fue correcta o no.

En los siguientes apoyos se ve claramente que el movimiento es restringido en la

dirección perpendicular a las guías o superficies de apoyo, por lo que la reacción se

generará precisamente en esa dirección.

Reacción primer orden

Si el cuerpo está apoyado sobre una superficie lisa (o lo que es lo mismo, sin

fricción), la reacción se generará perpendicular a dicha superficie.

Superficie lisa

En el caso de un cable, dado que solamente puede estar tensionado, la reacción

que genera tiene dirección y sentido establecidos.

Cable

En el caso de la biela o eslabón (elemento muy delgado, articulado en sus extremos

y de peso despreciable) se generará una reacción en la dirección axial de la biela,

pero su sentido no puede determinarse a priori, por lo que deberá ser supuesto

arbitrariamente.

Biela

En el caso del resorte elástico lineal, se generará una reacción en la dirección axial

del resorte y su sentido dependerá estrictamente de si el resorte está estirado o

comprimido.

Resorte

En los casos de la corredera (deslizadera o collarín) y del pasador en ranura lisa

(casos mecánicamente análogos) se genera una reacción de dirección perpendicular

a la dirección de la ranura). El sentido de la reacción debe ser supuesto

arbitrariamente.

Corredera o collarín

Una superficie plana y lisa también se puede representar por medio de un soporte de

las vigas y los puentes a veces están soportados de esta manera, para que absorban

dilataciones y contracciones térmicas.

Soporte sobre superficie plana y lisa

APOYOS DE SEGUNDO ORDEN

En el caso de una articulación fija, la reacción generada es una fuerza de la que se

desconoce en un inicio su dirección y sentido. Mecánicamente podemos reemplazar

dicha fuerza de dirección desconocida por dos fuerzas ortogonales entre sí a las que

podemos suponer sus sentidos.

Articulación fija

Superficie rugosa

Empotramiento monodeslizante: se trata de un apoyo que restringe una dirección de

movimiento y el giro del cuerpo rígido. Consecuentemente se generan como

reacciones, una fuerza de dirección conocida y un momento. En ambos casos el

sentido es desconocido y habrá que suponerlos arbitrariamente.

Empotramiento monodeslizante

APOYOS DE TERCER ORDEN

Empotramiento: es un apoyo que restringe toda posibilidad de movimiento en el

plano. Ello genera una fuerza de dirección desconocida (que puede ser reemplazada

por sus dos fuerzas componentes de dirección conocida) más un momento de

reacción.

Empotramiento

GRADOS DE LIBERTAD Y ESTABILIDAD DEL CUERPO RÍGIDO

Un cuerpo rígido está completamente restringido si es que no es posible que efectúe

algún tipo de movimiento. sólo bajo esa condición un cuerpo rígido (o un sistema de

cuerpos rígidos) podrá permanecer en equilibrio si sobre él se aplican cargas.

Así, para que un cuerpo rígido no se mueva al soportar un sistema de fuerzas, deberá

estar restringido en todas su posibilidades de movimiento. Dichas posibilidades de

movimiento se denominan grados de libertad. La restricción se efectúa a través de la

utilización de apoyos, los cuales debes estar convenientemente dispuestos.

En la figura (a) se muestra una viga completamente restringida y con las reacciones

estáticamente determinadas. En la figura (b) se muestra la misma viga pero parcialmente

restringida (observar que puede moverse en sentido horizontal debido a la acción de la

componente horizontal de la carga Q).

Si disponemos más restricciones que las necesarias se producirán más incógnitas que

ecuaciones de equilibrio y entonces el sistema podrá ser solamente parcialmente

solucionado. Es decir, habrán incógnitas que no podrán ser calculadas mediante las

ecuaciones que proporciona en equilibrio estático y entonces se dice que el sistema es

estáticamente indeterminado. En la figura siguiente la viga está completamente

restringida pero se generan más incógnitas que ecuaciones (sistema estáticamente

indeterminado).

Hay que hacer notar que las restricciones deben estar dispuestas adecuadamente, pues

de lo contrario el cuerpo podría tener libertad de movimiento según alguna dirección. En

el ejemplo de la figura siguiente, a pesar de que hay tres articulaciones simples, el

cuerpo puede deslizarse horizontalmente. Se dice que el cuerpo está restringido

inapropiadamente.

Otro ejemplo de restricción inapropiada se muestra en la figura siguiente, en la cual

es posible que la barra en L gire al rededor de la articulación A, a pesar de que

tenemos cuatro restricciones

La movilidad del cuerpo rígido en el plano está caracterizada por sus TRES grados

de libertad. Dichos grados de libertad pueden ser interpretados de la siguiente

manera: traslación a lo largo de una dirección cualquiera, la cual a su vez puede ser

interpretada según sus dos componentes en la dirección de los ejes cartesianos

rectangulares (dos grados de libertad). A ello se suma la posibilidad de rotación

alrededor de un eje perpendicular al plano del movimiento (un grado de libertad).

Ejemplos:

E.01. Dibuje el diagrama de cuerpo libre (DCL) debidamente acotado para:

a) La viga isostática ABC.

b) La viga hiperestática AB.

E.02. Una varilla AB que está articulada en A y se encuentra unida al cable BD

en B, soporta las cargas que se muestran en la figura. Si se sabe que d = 220

mm, determine

a) La tensión en el cable BD.

b) La reacción en A.

E.03. El peso de 10 lb de la barra AB mostrada actúa en el punto medio de la

barra. La longitud de la barra es 3 pies. Determine la tensión en la cuerda BC y las

reacciones en A.