Eragiketak zatikiekin - WordPress.com...mena eta problemen ebazpena lantzeko eta horri guztiari arreta jartzeko ariketak bilduta ageri dira. Batzuk ikaslearen li-buruan (I.L.) proposatuta

54

Unitatearen aurkezpena

•Unitatehonetanzatikieneragiketakberrikustenetafinkatzendi-ra,etaproblemakerrazagoetaazkarragoebaztekonolaerabil-tzendirenlantzenda.

•Zatikienartekobatuketaketakenketakegiteko,beharbeharre-koada ikasleek izendatzailekomunera laburtzekoprozeduramenderatzea(aurrekounitateanlandudugu).Horiziurtatuondo-ren,zatikienetaosoenartekobatuketaknolaegin,etabatuke-tak,kenketaketaparentesiakdituztenadierazpenaknolaerabiligogoratukodugu.Prozedurahauekfinkatzeko,ariketa-sortabe-reziaproposatzendazailtasunarenaraberasailkaturik.

•Zatikienartekobiderketaetazatiketalantzekoereprozedurabe-raerabilikodugu,bieragiketahorienarteandagoenerlazioago-goratuz.

•Oinarrizkolaueragiketeidagozkienprozeduraketaeragiketakonbinatuakdituztenadierazpeneidagozkienakikusiondoren,problematipoenmultzobatematenda.Ebatzitadaude,eta,be-raz,ikasleekingurukohainbategoerarierantzutekobaliokodie-tenbideaketabaliabideakaurkitukodituzteproblemahorietan:kantitatebatenzatikibat,zatibatedoosotasunakalkulatzea,ba-tuketeneragiketakonbinatuak,kenketak,biderketak,banaketak,etab.Ondorenproposatzendirenproblemekantzekoegoeretanazterturikoprozesuakezartzekobaliokodute,baitaprozesuho-riekegoeraberrietanerabiltzeabultzatzekoere.

•Azkenekoatalean,berreturenpropietateakberrikustendira.Orainhonetan,zatikizkoberrekizunadutenberreturakerelandukoditugueta,lehenengoz,berretzailenegatiboakdituztenberreturenesa-nahiaikustenhasikogara.Horrezgain,zenbakibatendeskonposiziopolinomikoagogoratukodugu,unitate-ordenahamarrenetaraerezabaldukoduguetaidazkerazientifikoaosozenbakihandiakedoosotxikiaklaburidaztekomoduadelaazaldukodugu.

Gutxienekoezagutzak

•Zatikienbatuketaketakenketakegitea.

•Zatikienbiderketaketazatiketakegitea.

•Kantitatebatenzatikiakalkulatzea.

•Zatikizkozenbakienproblemaerrazakebaztea.

•Berrekizuna10etaberretzaileosoadutenberreketakkalkulatzea.

•Idazkerazientifikoanemandakokantitateakinterpretatzea.

Osagarrigarrantzitsuak

•Edozeinzenbakirenzatikiakkalkulatzea,baiosoenakbaizatikiz-koenak.

•Zatikiaetazatiajakinda,osotasunakalkulatzea.

•Eragiketakonbinatuakdituztenadierazpenaklaburtzeaetakalku-latzea.

Unitatearen eskema

ERAGIKETAK ZATIKIEKIN

4 Eragiketak zatikiekin

54

ZENBAKIAKETA10BERREKIZUNEKOBERREKETAK

•Idazkerazientifikoa

ERAGIKETAKONBINATUAK

ZATIKIENPROBLEMAKEBAZTEA

•Kantitatebatenzatikia:zatikiakalkulatzea,zatiakalkulatzeaetaosotasunakalkulatzea.

•Zatikibatenzatikia:eragiketakonbinatuekin.

BIDERKETAETAZATIKETA

BATUKETAETAKENKETA BERREKETAK

•Propietateak

•Berretzaileazerodutenberreketak

•Berretzailenegatibokoberreketak

55

•Zatikizkozenbakienzenbaiteragiketadituztenproblemakebaz-tea.

•Berretzailenuluaedonegatiboadutenberreketenesanahiajakitea.

•Zatikizkoberrekizunaetaberretzaileosoadutenberreketenadie-razpenaklaburtzea.

•Kantitateosohandiakedoosotxikiakidazkerazientifikoanadie-raztea.

Lanakaurreratu

•Zatikiakageridirenmezuakinterpretatzeaetasortzea.

•Zatikieneragiketaerrazakegitea,hurbilekotestuinguruetan,buruzkokalkuluaerabiliz:hirulitrolaurdengehilitroerdi;tartaerdiarenerdia;hiruordulaurdenenhirukoitza…

•Ikasleeiaurrekoegoerahorienantzekoakadieraztekoeskatu,so-luzioazeindenjakinda.

•Zatikierrazenartekobatuketaketakenketakegitea,adieraz-pengrafikoakerabiliz.

•Parentesiaketaeragiketakonbinatuakdituztenadierazpene-tanlehentasunazeindengogoratzea.

•Zatikieneragiketetan,zailtasunakzeinetandituztenidentifika-tzea.

Curriculumaegokitu

«Fotokopiatzekobaliabideak»atalean,ikaslearenliburuko4.unita-tehonencurriculumegokituaagerida.Horretarako,hemenpropo-satzendirengutxienekoezagutzakhartuditugukontuan.

Hasierakoirakurgaiak,batetik,ulertuzirakurtzekogaitasunaindar-tzekobaliodu;eta,bestetik,matematikarenikasketajustifikatzendutenbialderdiaklantzeko:praktikoaetaintelektuala.

Edukiakeskatubeharrekogutxienetaraegokitutabadaude,edoezdutealdaketarikizan,edoapurbatmoldatudiraikasleekdutenmailakontuanhartuz.Gauzaberaesandezakeguproposatzendi-renariketapraktikoeiburuz.

Edukirenbateskatubeharrekogutxienetatikkanpobadago,edokendueginda,edoeskatzendenmailaraegokituda.

Azkenik,unitatearenamaieranageridirenariketaetaproblemeidagokienez,gutxiagojarridiraetamoldatuedoerraztuegindira,eskatubeharrekoraegokitzeko.Gauzaberaegindaautoebalua-zioarekin.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA DIZIPLINARTEKOTASUNA

69.or.P.D.-niradokitakoariketa 73.or.9.(*)eta12.(*)ariketak. 69.or.5.(*)ariketa 68.or.P.D.-niradokitakoariketa(*)

71.or.P.D.-niradokitakoariketa 74.or.P.D.-niradokitakoariketa 71.or.12.(*)ariketa

73.or.P.D.-niradokitakoariketa 81.or.18.(*)ariketa 77.or.P.D.-niradokitakoariketa

77.or.P.D.-niradokitakoariketa 82.or.6.(*)ariketa 83.or.17.(*)eta18.(*)ariketak

78.or.P.D.-niradokitakoariketa

82.or.1.,2.,3.,4.*,5.,7.,8.,9.eta10.ariketak

83.or.11.,12.,13.,14.,15.*eta16.ariketak

IKTak EKIMENA PROBLEMAK EBATZI

68.or.P.D.-niradokitakoariketa 69.or.1.,2.,3.eta4.ariketak I.L.-nproposatutakoproblemaguztiak.Hemenaipagarriakdirenbatzukadiera-zikoditugu.

86.or.«Eginprobaetaantolatuzeureburua»(*)ariketa

77.or.Orrialdeosokoariketak

84.or.«Ikasiproblemakebazten»(*)ariketa

84.eta85.or.«Ebatziproblemak»eta«+problemak»atalak

87.or.«Trebatuproblemakebatziz»(*)atala

Ondorengotaulahonetan,lankidetzanikastea,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoetahorriguztiariarretajartzekoariketakbildutaageridira.Batzukikaslearenli-buruan(I.L.)proposatutadaude,eta,hemen,zerorrialdetandaudenetazerariketadirenadierazida.Bestebatzuk,argizehaztendenmoduan,ProposamenDidaktikoan(P.D.)iradokitadaude.

Iradokizunhauetakobatzukikurbatekinmarkatutadaudeikaslearenliburuan;hemen,(*)ikurraerabiliznabarmenduditugu.

56

4 Eragiketak zatikiekinZatiki arrunten bidez adierazitako banaketak

Hiru unitate zati bost banaketa adierazteko, zatiki arrunta erabiltzen dugu: 53 .

Prozesua honela arrazoi daiteke:– Unitate bakoitza bost zatitan banatu eta zati horiek bosten

artean banatzen ditugu.

– Bakoitzak zati horietako hiru hartzen ditu 53c m.

Zatiki unitarioen bidez adierazitako banaketakAntzinako Egipton, zatiki unitarioak baino ez zituzten erabiltzen. Ohitura horren azalpena banaketak egiteko erabiltzen zuten modua izan daiteke. Hartu kontuan, adibidez, hiru zati bost banaketa egiteko honako modu honi:

– Lehenengo, bakoitzak unitate erdia 21c m darama eta

beste erdia dago sobera.

– Sobera dagoen erdi hori bost zatitan banatzen da: 21

105= .

– Bakoitzak zati txiki horietako bat darama 101c m.

1 Erreparatu grafikoari eta adierazi zenbat den, zatiki unitarioak erabiliz, bost zati sei banaketaren emaitza.

2 Banatu lau bosten artean egiptoarren estiloan eta adierazi banaketa hori zatiki unitarioen bidez.

3 Adierazi zatiki unitarioen bidez:

a) 32 b)

65 c) 7

4

4 Zer zatiki arruntek ordezten du zatiki unitarioen batura bakoitza?

a) 3 411 + b) 1 1

2 12+

Zatikiak banatzea txinatarren eranAurreko ikasturtean, zatikiak zatitzen ikasi zenuen; gaiak gurutzatuta biderkatuz egiten zenituen zatiketak.

:52

43

5 32 4

··=

Txinatarrek beste era batera jokatzen zuten: zatikiak izendatzaile komunera laburtu eta zenbakitzaileak hartzen zituzten:

: :52

43

208

2015

158= =

Geure metodoa erabiliz, txinatarrek erabiltzen zuten emaitza bera lortzen al dugu? Argitu puntu hori.

5 Egin zatiketak txinatarrek bezala eta, gero, geure erara; amaitzeko, konparatu emaitzak.a) 1/8 : 1/4 b) 4/7 : 3/5

Zatikiak oso antzinakoak dira: babiloniarrek, egiptoarrek, grezia-rrek, txinatarrek eta indiarrek duela milaka urte erabiltzen zituzten.

Arabiarrek, haien hedakuntzaren eta distiraren aldian, matema-tikari handiak ere izan zituzten eta horien tratatuetan zatikiak

agertzen ziren. Izatez, frakzio (zatiki) izena arabierako al-kasr hi-tzaren itzulpenetik dator; hitz horren esanahia (unitatea) haustea da eta fractio hitzaren bidez itzuli zen latinera.

Egiptoarrek zatiki unitarioak bakarrik erabiltzen zituzten (zenbakitzailea

bat zutenak). 1/2 + 1/43/4 →

Babiloniarren zatikiak hirurogeitarrak ziren; izendatzailetzat, 60 zenbakia eta horren berreketak bakarrik erabiltzen zituzten.

Adibidez, 3/4 adierazteko,

45/60 idazten zuten.

Txinatarrek, ostera, trebetasun handiz erabiltzen zituzten zatiki arruntak iv. mendetik aurrera.

Eta gauza bitxia: zenbakitzaileari seme esaten zioten eta izendatzaileari, ama.

602 60 1 1/60

3 765 →

3/4 →

1—51—5 1—5

33 : 5 = — 5

1—2 1—10

1 13 : 5 = — + — 2 10

Unitatearen hasiera• Hasierakoirakurgaian,unitatehonetanlandukodituztenedukienberriema-tenzaieikasleei:zatikiaketahorieneragiketak.Horrezgain,gauregunzehaztutaetaosatutaagerizaizkigunkontzeptuhoriek,egituraetaformahorihartuarte,historianzeharetahainbatkulturarenbidezizandutenerai-kuntzaetabilakaeraereagerida.

• Bestehelburubatikasleekmatematikarenhistoriaezagutzekojakin-mi-naetainteresaizateada.Beraz,ikerketa-lanerakoetainformazioabila-tzekobideazabalikutzikodugu,iraganekomatematikarigarrantzitsue-nak,haienekarpenenak,erabilizituztenbaliabideaketaaurkikuntzahoriekbultzatuzituztentestuingurukulturalakzehazteko.

Ikasleek zer dakiten argitzeko galderak• Ariketahauekirakurgaiarenondorensordaitezkeenzenbaitzalantzaetaargitzekobaliokodigute.Horrezgain,unitateaabiatzekobeharrezkoakdirenedukibatzueieragitekoerebaliodute,etahoriekzerneurritanmenderatzendituztenikasleekikusteko:

–Zatikiarenkontzeptuak:unitatearenzatimoduanetazatiduraadierazimoduan.

–Zatikien baliokidetasuna. Zatiki desberdinek balio bera adierazdezakete.

–Zatikiakizendatzailekomuneralaburtzea.

–Aurreko ikasturteaneragiketeidagokienez landutakoprozedurabatzuk.

–Buruzkokalkulua.

• Unitateaformalkilantzenhasibainolehenegindaitezkeenbesteariketabatzukhauekdira:zatikiakbabiloniarreneranjartzea,horiekinariketakegitensaiatzea,etab.

• Horrela,aldezaurretikdakitenarieraginetaikasikodituztenprozeduraetaformenaldeonakkonparatukodituzte.

Diziplinartekotasuna Honakoariketahauegiteairadokitzenda:

ZatikiakezinbestekoakedoosogarrantzitsuakdirenZientziakojardueraedoadarreiburuzkoedoegunerokobizimodukozenbaitegoeraaurkitzeaetadeskribatzea.

IKTak IkasleeiInterneterabilizorrialdehonetanzatikienhistoriariburuzagerideninformazioazabaltzekoeskatukodiegu:nolaerabiltzenzituztenbabi-loniarrek,egiptoarrek,txinatarreketaarabiarrek.

Lankidetzan ikasi Irakasleakegokibaderitzo,ariketahauektaldekaegindaitezke,talde-lanaetaberdinenartekoikasketabultzatuz.Hasieran,taldebakoitzakbereso-luzioabilatukodueta,gero,bateratze-lanean,denensoluzioakkonparatu-kodira:lorpenakjustifikatukodira,desadostasunakeztabaidatueta,azke-nik,ondoriokomunetarairitsikodira.

Ariketen soluzioak

1 21

31+

2 21

41

201+ +

3 a)21

61+ b)

21 1

3+ c)

21 1

14+

4 a)217 b)

217

5 a)21 b)

2120

57

Iradokizunak• Zatikiakizendatzailekomuneralaburtzekoprozeduramenderatutada-goenean,zatikienartekobatuketaketakenketakegiteaprozesuerrazada:nahikoadazenbakieneragiketakegitea.

• Hurrengourratsaparentesiakdituztenbatuketenetakenketanadieraz-penakebazteaizangoda,etazenbakiosoenkalkuluanikasitakoguztiaerabilikodugu.Esperientziakerakutsidigunez,urratszailaizatendahauikasleentzatetakomenidaariketapraktikougariegitea.

• Horrez gain, aurkako zatikiaren kontzeptua ere landuko dugu.Baturarekikosimetrikoadelaazaldukodugu,eta,beraz,jatorrizkozati-kiarekinbatuzgero,zeroematenduena.

Osogarrantzitsuadaberdintzahauazpimarratzea:ba

ba

ba– ––

= =a k .

Hauda,minuszeinuazatikiarenaurrean,zenbakitzaileanedoizendatzai-leanegondaiteke,berdindionon.

Indartzeko eta SakontzekoAriketahauekgomendatzendira:

• MATEMATIKAKOARIKETAK1.koadernotik:

Indartzeko:26.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.27.orrialdeko4.ariketa,a),b)etac)atalak.

Sakontzeko:27.orrialdeko4.ariketa,d),e)etaf)atalak.30.orrialdeko1.ariketa.


«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a) 835

35 b) 8

32

32– c) 8

54

54

–

2 a)7 b)–3 c)–6 d)–8

3 a)23 b)

21 c)

25 d)

34 e)

32

f)37 g)

41 h) 5

4 i)

85

4 a)74 b)

43 c)

310 d)

52 e)

152– f)

1621–

5 a)21

11 b)207 c) 5

18 d)

169 e)

225– f)

2825

6 a)47 b)

21 c)–

21 d)

212 e)

61 f)

121

7 a)3023 b) 7

8 c)–

41 d)

67 e)

4514

8 a)247 b)

207 c)

7746 d)

3523

9 a)98 b)

54 c)

158 d)–

83

10 a) 116

b)65 c)

41 d) 9

20

11 a)121 b)

011 c)

157 d)

75

12 a)365 b)–

52

13 a)–21 b)

125 c)–

85 d)

407 e)

6019

7170

•Zatikiak batzeko edo kentzeko, izendatzaile komunera laburtuko ditugu lehenengo.

•Batugaietako bat zenbaki osoa, a, izanez gero, izendatzailea unitatea izango

duen zatiki bihurtuko dugu a a1=b l.

Adibidea

1 – 65

83

125–+ → mkt (6, 8, 12) = 24

24 : 1 = 24 24 : 6 = 4 24 : 8 = 3 24 : 12 = 2

↓ ↓ ↓ ↓

11

65

83

125– –+ = ·

241 24 – ·

245 4 + ·

243 3 – ·

245 2 =

= 24

24 20 9 1024

33 30243

81– – –+ = = =

Batuketak, kenketak eta parentesiak

Zatikien batuketetan eta kenketetan parentesiak erabiltzeko, zenbaki osoekin betetzen diren erregelak betetzen dira.

•Plus zeinua aurrean duen parentesia kentzen baldin bada, barruko zeinuak ez dira aldatzen:

ba

dc

nm

ba

dc

nm– –+ + = +b l

•Minus zeinua aurrean duen parentesia kentzen baldin bada, barruko zeinuak eraldatu egiten dira; plus zeinua minus bihurtzen da eta minus, plus:

–ba

dc

nm

ba

dc

nm– – –+ = +b l

Adibidea

•Aurretiaz parentesiak kenduz ebaztea:

2 34

1213

43

61

12

34

1213

43

61– – – – – –+ = +c cm m =

= 1224

1216

1213

129

122

1233 31

122

61– – – –+ = = =

•Parentesien barruan eraginez ebaztea:

2 34

1213

43

61

36

34

1213

129

122– – – – – –+ = +c c c cm m m m =

= 32

1215 9

32

126

128

126

122

61– – – –= = = =

1 Zatikiak batzea eta kentzea

Gogoratu

·

·

6 2 38 212 2 3

3

3

==

=4

Mkt (6, 8, 12) = 23 · 3 = 24

Aurkako zatikiak

• Bi zatiki aurkakoak dira horien arteko batura zero baldin bada.

• Edozein ba zatikik bere aurkakoa

du, ba

ba– edo

–b l:

ba

ba 0–+ =

adibidea

53 → Aurkakoaren formak

53

53

53

–

–

–

Z

[

\

]]]]

]]]

1. Idatzi honako hauen aurkako zatikiak:

a) 35 b) 3

2– c) 54

–

2.Kopiatu eta osatu koadernoan.

a) 72 2– = 0 b)

43

4+ = 0

c) 61 1+ = 0 d) 8

5 5– – = 0

3.Kalkulatu buruz.

a) 1 + 21 b) 1 – 2

1 c) 2 + 21

d) 1 + 31 e) 1 – 3

1 f ) 2 + 31

g) 43

21– h)

43

21+ i )

43

81–

4.Kalkulatu.

a) 1 – 73 b) 2 –

45 c) 4 – 3

2

d) 517 – 3 e) 15

13 – 1 f ) 1611 – 2

5.Eragin.

a) 41

32+ b) 5

341– c)

65

95–

d) 41

165+ e) 11

321– f )

149

41+

6.Eragin eta sinplifikatu.

a) 67

127+ b) 5

1103+ c) 7

21411–

d) 61

141– e) 15

7103– f ) 20

7154–

7.Kalkulatu adierazten den izendatzaile komunera laburtuz.

a) 21

31

53– + → Izendatzaile komuna: 30

b) 21

41

81+ + → Izendatzaile komuna: 8

c) 65

93

43– – → Izendatzaile komuna: 36

d) 1 21

31–+ → Izendatzaile komuna: 6

e) 97

154

51– – → Izendatzaile komuna: 45

8.Kalkulatu.

a) 85

127

41– + b) 10

354

43–+

c) 1 – 76

115+ d) 5

976+ – 2

9.Kalkulatu eta sinplifikatu emaitzak.

a) 94

65

187–+ b) 7

352

3527– +

c) 65

101

51– – d) 12

1385

65– –

10.Eragin eta sinplifikatu emaitzak.

a) 2 – 32

21+ b) 2 3

221– +c m

c) 53

41

101– – d) 5

341

101– –c m

11. Kendu parentesiak eta kalkulatu.

a) 1 – 41

32+c m b) 5

361

32–+ c m

c) 21

31

51

61–+ +c cm m d) 1 7

1149

21– – –c cm m

12. Ebatzi bi modutan:— Lehenengo, parentesiak kenduz.— Lehenengo, parentesi bakoitzaren barruan eraginez.

a) 141 1 9

5 165– – – – –c c cm m m

b) 1 32

54

31

51

157– – – –+c c cm m m

13. Kalkulatu.

a) 127 1 3

243– – –c m> H

b) 32

51

127

31

51– – – +c cm m> H

c) 1 32

43

125

31

81– – – –+c cm m> >H H

d) 52 1 8

143

52

103– – – –+c cm m> >H H

e) 35 1 5

231 2

67

43

31– – – – – –+c c c cm m m m> >H H

Pentsatu eta egin

Praktikatu zatikiak batuz eta kenduz.Webgunean

Praktikatu parentesi arteko zatikiak batuz eta kenduz.

Webgunean

Bi edo hiru zatikien arteko batuketen adibideak.Webgunean

58

7372

2 Zatikiak biderkatzea eta zatitzea

Biderkatzea

Aztertu eta interpretatu honako grafiko hauek:3/4

1/51/51/5

1/5

3 · 51

53= ·

43

51

203=

Emaitza beretara iristeko modua, grafikoen laguntzarik gabe, honako hau izango litzateke:

3 · · ··

51 3

51

1 53 1

53

1= = = ··

43

51

4 53 1

203· = =

Zatikiak biderkatzeko:

···

ba

dc

b da c=

→ Zenbakitzaileak biderkatzen dira.→ Izendatzaileak biderkatzen dira.

Zatitzea

Gogoratu zenbaki osoen biderketaren eta zatiketaren arteko erlazioak.

8 · 5 = 40 → ::

40 8 540 5 8

==

)

Erlazio horiek zatikiekin ere mantendu behar dira.

·:

:85

432

158 15

854

32

158

32

54

==

=

Z

[

\

]]

]]

Praktikan, bi zatikiren arteko zatiketa egiten denean emaitza horiek lortzeko, lehenengoa bigarrenaren alderantzizkoarekin biderkatzen da edo, gauza bera dena, gaiak gurutzean biderkatzen dira.

: ·158

54

158

45

6040

32= = = : ·15

832

158

23

3024

54= = =

Bi zatikiren arteko zatiketa egiteko:

:ba

dc

b ca d··=

→ Gaiak gurutzean biderkatzen dira.

Adibideak

• :··

158

54

15 48 5

6040

32= = = • : :5

2 6 216

5 62 1

302

151

5 ··= = = =

Alderantzizko zatikiak

• Bi zatiki alderantzizkoak dira horien biderkadura unitatea baldin bada.

• Zero ez den edozein zatikik alde-rantzizkoa du:

ba -ren alderantzizkoa →

ab

···

ba

ab

b aa b= = 1

Gogoratu

eragiketen lehentasuna— Lehenengo, parentesiak.— Gero, biderketak eta kenketak.— Azkenez, batuketak eta kenketak.

·87

83

21

31– +c m

·

87

83

65–

87

4815

169– =

1. Biderkatu.

a) 2 · 31 b)

43 · 5 c) (–7) · 5

2

d) ·61

35 e) · ( )

53

72– f ) ·5

121–c m

2.Biderkatu eta laburtu adibidean bezala.

• · ·52 10

52

110

520 4= = =

a) 31 · 6 b)

( )32

– · 12 c) 7

3–c m · 7

d) 43 · 8 e) 3

5 · (–12) f ) 61–c m · (–18)

3.Biderkatu eta lortu zatiki laburtezina.

a) ·92

29 b) ( ) · ( )

53

35– – c) ·21

13137

d) ·54

215 e) ·5

4310–c m f ) ·9

73518– –c cm m

4.Zatitu honako zatiki hauek:

a) 4 : 31 b) 5

3 : 2 c) :53

78

d) 31 : 4 e) 2 : 5

3 f ) :78

53

5.Zatitu honako zatiki hauek:

a) :71

21 b) :3

271–c m c) :5

143– –c cm m

d) :72

43 e) :11

273–c m f ) ( ) :

( )53

32–

–

6.Zatitu eta sinplifikatu emaitzak.

a) 6 : 53 b) 7

4 : (–2) c) (–10) : ( )65–

d) :31

31 e) : ( )

43

43– f ) :

( )95

32

–

g) :214

76 h) :35

653–c m i ) :

( )101

83––

c m

7.Kalkulatu eta konparatu atal bakoitzeko emaitzak.

a) : :2 21

51c m b) :3

53

10c m : 6

2 : :21

51c m : :3

5310 6c m

8.Eragin eta laburtu ahalik eta gehien.

a) · :2 53 6c m b) : ·2

1 641c m

c) · :32

43

65c m d) : ·

43

73

41c m

9. Ariketa ebatzia

a) ·52

43

31–c m = · ·5

212

9 452

125

6010

61– = = =

b) ·52

43

31– = 20

631

103

31

309 10

301– – – –= = =

10.Egin kalkuluak eta konparatu atal bakoitzeko emaitzak.

a) ·25

52

103– b) ·

415

31

52–

·25

52

103–c m ·

415

31

52–c m

11. Eragin.

a) 43

51–c m · 20 b) 5

341–c m : 7

c) ·72

32

61–c m d) :21

374

31–c m

12. Ariketa ebatzia

· ·52 1

32

21

31

43– – –c m> H =

= · ·52 1 3

261

43– –< F = ·5

2 1 91

43– –< F =

= ·52

98

43– = 5

232

154– –=

13. Kalkulatu.

a) ·52

43

107

21– –c m

b) · :34

52

41

32

74

285– –+c cm m

c) · :43

87

35

32

41– –c cm m> H

Pentsatu eta egin

Praktikatu zatikiak biderkatuz eta zatituz.

Webgunean

Praktikatu eragiketak zatikiekin eginez.

Webgunean

Zatikien arteko biderketen eta zatiketen adibideak.Webgunean

Iradokizunak• Zatikiakbiderkatzekoerregelabainoharagojoanda,biderkadurakzeradie-raztenduenlandukodugu,euskarrigrafikoarenlaguntzaz.

Gauzabaten51 en

43 ,bestelaesanda,gauzahorren

203 dira:

–Lehenengo,osotasuna5zatitanbanatueta1hartukodugu.

–Gero,bostenhorietakobakoitza4zatitanbanatueta3hartukoditugu.

–Ikustendugunez,guztira20zatitanbanatutagelditudaeta3hartudi-tugu.

• Gureasmoaezdaikasleekbizatikirenartekobiderketaegitendutenbakoi-tzeanarrazoitzehoriegitea.Prozesuhorrenjustifikazioabainoezda,bainaondoulertudutenean,moduautomatikoanegingodute,erregelakkontuanhartuz.

• Zatikienartekozatiketarenesanahialantzeko,ikasleekzenbakiosoenarteanezagundituztenbiderketaetazatiketarenartekoerlazioakera-bilditzakegu.Erlaziohoriekaldibereanzenbakiosoekinetazatikiekinezarrizgero,biderketagurutzatuenerregelajustifikatzekoerabilditza-kegu.

• Zatikienartekozatiketaegitekobesteprozedurabathauda:zatitzailea-renaurkakozatikiarekinbiderkatzea.Bidehorierabilizgero,zatiketabi-derketabihurtzenda.

• Biprozedurakazaldu,konparatuetabaliokideakdirelaegiaztadezakegu.



Indartzeko:8.orrialdeko1.eta2.ariketak.29.orrialdeko3.,4.eta5.ari-ketak.

Sakontzeko:31.orrialdeko2.eta3.ariketak.32.orrialdeko4.eta5.ariketak.33.orrialdeko6.eta7.ariketak



1 a)32 b) 15

4 c)–

514 d)

185 e)–

356 f)–

101

2 a)2 b)–8 c)–3 d)6 e)–20 f)3

3 a)1 b)1 c)31 d)6 e)–

38 f) 2

5

4 a)12 b) 310

c) 2140

d)121 e) 10

3 f)

2140

5 a) 27 b)–

314 c)

154 d)

218 e)– 14

33 f)

109

6 a)10 b)– 27 c)12 d)1 e)–1

f)–65 g)

92 h)–

72 i)

154

7 a)20;54 b)

121 ;3

8 a) 15 b)

31 c)

53 d)7

9 Ariketahauikaslearenliburuanebatzitadago.

10 a)170;41 b)

2017 ;–

41

11 a)11 b)201 c)

71 d)

53


13 a)41 b) 1

3 c)– 1

2

59

IradokizunakKantitate baten zatia

• Atalhonetan,zenbakibatenzatikiarekinzerikusiadutenhiruproblematipoageridira.Ikasleekelkarrekinerlazionatuetaegoeraberarenikus-puntudesberdinakdirelaulertubehardute.

• Lehenengoan,zatikiaeskatzenda,kantitatebatetiketakantitatehorrenzatibatetikabiatuta.

• Bigarrenean,zatiakalkulatzeaeskatzenda,osotasunaetaosotasunarenzatikiajakinda.Hauda,zenbakibatenzatikiakalkulatzekozuzenekopro-blemada.

• Hirugarrenean,zailenean,zatikiaetazatiarenbalioajakinda,osotasunakalkulatzekoeskatzenda.Ikasleekargietagarbibereizibeharduteau-rrekoproblematik,justualderantzizkoaplanteatzendelaulertuz.

Zatikiak batzea eta kentzea

• Atalhonetan,zatikienartekobatuketaeginezebaztendirenetaaurrekoatalekoedukiekinlotutadaudenhiruproblemaageridira.

• Lehenengoan,zatikiakbatuetaosotasuneraheltzekozatikiosagarriakalkulatubeharda.

• Bigarrenean,aurrekokasukobatuketaeginondoren,kantitatebatenza-tiakalkulatubeharda.

• Hirugarrenean,etazailenean,aurrekokasuetakobaturaberarekinbate-ra,zenbakibatenzatikiakalkulatzearenalderantzizkoprozesuaagerida(osotasunakalkulatzea).

Zatikiak biderkatzea eta zatitzea

• Atal honetan, egoera berari buruzko bi problema ematen dira.Lehenengoan,zenbakibatenetazatikibatenartekobiderketaeginbeharda.Bigarrenean,aurkakoegoeraagerida;hauda,zatiketaeginbeharda.

• Atalhauosatzeko,hirugarrenproblemahauegindaiteke,biderketarenetazatiketarenartekoerlazioakfinkatzeko:

Botika jakin bateko 30 kapsulako ontziak, guztira, lau gramo eta erdi prin-tzipio aktibo du. Zenbat printzipio aktibo du kapsula bakoitzak?



Indartzeko:44.orrialdeko21.,22.,23.eta24.ariketak.45.orrialdeko27.,28.,29.,30.eta31.ariketak.46.orrialdeko33.,34.eta35.ariketak.

Sakontzeko:44.orrialdeko25.eta26.ariketak.47.orrialdeko38.ariketa.

Pentsamendu ulerkorra Orrialdehauetahurrengoaklanduaurretik,taldetxikiakebaztekomodu-koproblemakproposatudaitezke.Gero,emaitzaktaldehandianlanduetaorrialdeanageridirenprozesuekinkonparadaitezke.

7574

3 Problemak zatikiekin 3 kg

Pisua?

Eredu har daitezkeen problemak ebatzita aurkezten dira; nola ebazten diren ulertuz gero, analogiaz, errazago ebatziko dituzu zatikiak aurkezten dituzten egoera asko.

Kantitate baten zatia

■ 1. problema: zatia kalkulatzea

Bizikletak alokatzen dituen udal-enpresak 1 155 bizikleta ditu guztira; horie-tako 330 konpontzen edo erreserban daude eta, gainerakoak, erabiltzaileen esku. Bizikleten zer zati dago erabiltzaileen esku?

Ez daude erabilgarri ⎯→ 1155330 : 3⎯→: 3 385

110 : 5⎯→: 5 7722 : 11⎯→: 11 7

2

Erabilgarri daude ⎯→ 77

72

75– =

Soluzioa: Bizikleten 5/7 daude erabilgarri.

■ 2. problema: zatia kalkulatzea (zuzeneko problema)

Bizikletak alokatzen dituen udal-enpresak 1 155 bizikleta ditu guztira; horietako 2/7, konpontzen edo erreserban, ez daude erabiltzaileen esku. Zenbat bizikleta daude erabiltzaileen esku?

Ez daude erabilgarri ⎯→ 72 de 1 155 = 7

1155 2· = 330

Erabilgarri daude ⎯→ 1 155 – 330 = 825

Soluzioa: 825 bizikleta daude erabilgarri.

■ 3. problema: guztizkoa kalkulatzea (alderantzizko problema)

Bizikletak alokatzen dituen udal-enpresak 330 unitate ditu konpontzen edo gorde-ta; hau da, guztien 2/7. Zenbat bizikleta ditu enpresak?

Guztizkoaren 72 ⎯→ 330 Guztizkoaren 7

1 ⎯→ 330 : 2 = 165

77 , hau da, guztira ⎯→ 165 · 7 = 1 155

Soluzioa: Enpresak 1 155 bizikleta ditu.


■ 4. problema: zatikia kalkulatzea

Alaznek gazta erosi du eta bi bosten ahizpari eman dio eta auzokoari, heren bat. Gaztaren zer zati geratzen zaio?

Eman du ⎯→ 52

31

156

155

1511+ = + =

Geratzen zaio ⎯→ 1515

1511

154– =

Soluzioa: Gaztaren 4/15 geratzen zaio.


Alaznek 3 kiloko gazta erosi du eta ahizpari bi bosten eman dio eta auzokoari, heren bat. Zer pisu du geratzen zaion zatiak?

Eman du ⎯→ 52

31

156

155

1511+ = + =

Geratzen zaio ⎯→ 1515

1511

154– =

Geratzen zaion zatiaren pisua

⎯→ 3 000 gramoren 154 = ·

153 000 4 = 800 gramo

Soluzioa: Geratzen zaion zatia 800 gramokoa da.


Alaznek gazta bat erosi du eta ahizpari bi bosten eman dio eta auzokoari, heren bat. Geratzen zaion zatia 800 gramokoa izanez gero, zer pisu zuen gazta osoak?

Eman duena ⎯→ 52

31

156

155

1511+ = + =

Geratzen zaiona ⎯→ 1515

1511

154– =

Gaztaren 154 ⎯→ 800 gramo

Gaztaren 151 ⎯→ 800 : 4 = 200 gramo

1515 , hau da, gazta osoa ⎯→ 200 · 15 = 3 000 gramo = 3 kg

Soluzioa: Gazta osoa 3 kg-koa zen.


■ 7. problema: biderkatzea

Botika jakin bateko kapsula bakoitzak printzipio aktiboaren 3/20 gramo du. Zenbat gramo printzipio aktibo daude 30 kapsulako potean?

· ·203 30 20

3 302090

29

28

21 4 2

1= = = = + = +

Soluzioa: 30 kapsulako potean, lau gramo eta erdi printzipio aktibo dago.

■ 8. problema: zatitzea

Botika jakin baten kapsula bakoitzak printzipio aktiboaren 3/20 gramo du. Zenbat kapsula daude guztira lau gramo eta erdi printzipio aktibo duen potean?

Lau gramo eta erdi ⎯→ 4 + 21

28

21

29= + =

Kapsula kopurua ⎯→ :29

203 9 20

6180

2 3··= = = 30

Soluzioa: Lau gramo eta erdi printzipio aktibo duen potean, 30 kapsula daude.

330

?

Geratzen da 2 6 — = —

5 15

1 5 — = — 3 15

2 6 — = — 5 15

1 5 — = — 3 15

? g

1155

?

2 6 — = — 5 15

1 5 — = — 3 15

800 g

OHARRAK

60

7776

Zatikiaren zatikia

■ 9. problema: zatikia kalkulatzea

Baserritar batek bere esne-produkzioaren 2/3 abeltzainen kooperatibara eraman du eta gainerakoaren 3/5, jogurt-fabrikara. Geratzen zaionarekin, gaztak egin ditu. Esnearen zer zati erabili du gaztak egiteko?

Kooperatibara 32 eraman du

31 geratzen da

Z

[

\

]]

]]

Jogurt-fabrikara 8

31 en 5

3 eraman du

31 en 5

252 · 3

1152 geratzen da

-

- =

Z

[

\

]]

]]

Soluzioa: Baserritarrak esnearen 152 erabili du gaztak egiteko.


Baserritar batek 90 000 litro esne lortu zituen aurreko hilean. Horren 2/3 abel-tzainen kooperatibara eraman du eta gainerakoaren 3/5, jogurt-fabrikara. Geratu zaion esnearekin, gaztak egin ditu. Zenbat litro esne erabili zituen gaztak egiteko?

90 000 litroren 152 geratzen da =

= ·15

2 90 000 = 12 000 litro

eraman du geratzen da

kooperati-bara 3

231

jogurt fabrikara 3

1 -en 53

31

52

152en- =

Soluzioa: Baserritarrak 12 000 litro esne erabili zituen gaztak egiteko.


Baserritar batek bere esne-produkzioaren 2/3 eraman du abeltzainen kooperati-bara eta gainerakoaren 3/5, jogurt-fabrikara. Geratu zaizkion 12 000 litroekin, gaztak egin ditu. Zenbat litro esne izan zituen guztira?

Guztizkoaren 152 geratzen da,

hau da, 12 000 litro

eraman geratzen da

kooperati-bara 3

231

jogurt fabrikara 3

153en- 3

152

152en- =

Guztizkoaren 152 ⎯→ 12 000 litro

Guztizkoaren 151 ⎯→ 12 000 : 2 = 6 000 litro

1515 , hau da, guztira ⎯→ 6 000 · 15 = 90 000 litro

Soluzioa: Baserritarrak 90 000 litro esneko produkzioa izan zuen guztira.

Hartu kontuan

Zatiki baten zatikia bi zatikion bi-derkaduraren berdina da.

831

52

52

31

152en ·- =

1. Erramunek 100 pauso eman behar izan ditu 80 metro aurrera egiteko. Metroaren zer zati egiten du pauso bakoitzean?

2. Ikastetxe batean, 837 ikasle daude matrikulatuta; horietako 186 DBHko lehen zikloan ari dira. Ma-trikulatuta dauden ikasleen zer zati ari da DBHko lehen zikloan?

3. Ikastetxe batean, 837 ikasle daude matrikulatuta; horietako 2/9 DBHko lehen zikloan ari dira. Zenbat ikasle ari dira DBHko lehen zikloan?

4.Ikastetxe batean, 186 ikasle daude DBHko lehen zikloan; hau da, guztizkoaren 2/9. Zenbat ikasle di-ra guztira?

5.Arropa-denda jakin batek emakumezkoen soineko sorta bat jarri zuen salgai aurreko astean. Soinekoen bi bosten saldu du eta 60 unitate geratzen dira saldu gabe. Zenbat soineko saldu ditu?

6.Familia batek diru-sarreren bi heren funtzionamen-du-gastuak estaltzeko erabiltzen du; guztiaren laur-dena aurreztu eta gainerakoa aisian gastatzen du. Diru-sarreren zer zati gastatzen du aisian?

7.Gure herriko kiroldegian daudenen 8

3 atletismoan ari

dira; 52 tenisean; hamarren

bat, futbolean eta gaine-rakoak, kiroletatik kan-poko jardueretan. Pertsona guztien zer zati ari da kiro-letatik aparteko jardueretan?

8.Gure herriko kiroldegian daudenen 3/8 atle-tismoan ari dira: 2/5, tenisean; hamarren bat, futbolean eta beste 16ak kiroletatik aparteko jardueretan. Zenbat pertsona daude kiroldegian?

9.Hotel bateko gelen erdiak lehen solairuan daude; heren bat, bigarrenean eta gainerakoak, hamar gela dituen atikoan. Zenbat gela daude solairu bakoi-tzean?

10.Matxinsaltoak 25 metro egiten ditu 40 jauzitan. Me-troaren zer zati egiten du aurrera jauzi bakoitzean?

11. Zenbat litro olio behar dira hiru litro laurdeneko 300 botila betetzeko?

12. Hiru litro laurdeneko zenbat botila ardo bete daitezke 1 800 litroko upeleko edukiarekin?

13. Leungarri-poteak 3/40 litroko edukiera duen tapoi dositzailea du. Zenbat da potearen edukiera, jakinik 30 tapoi betetzen dituela?

14. Bi litro eta laurdeneko leungarri-poteak, tapoi dositzailearen bidez, 30 dosi ematen ditu garbiketa automatikorako. Litroaren zer zati du dosi bakoi-tzak?

15. Bi litroko eta laurdeneko leungarri-poteak 3/40 li-troko tapoi dositzailea du. Zenbat dosi ditu poteak?

16. Enpresako langileen 43 -ek lan-kontratu mugagabea

dute; gainerakoen 32 -ek aldi baterakoa dute eta gai-

nerakoak behin-behinekoak dira. Zer zatiki dagokie behin-behinekoei?

17. Enpresa batek 60 langile ditu. Horien 3/4-ek mu-gagabeko kontratua dute; gainerakoen 2/3-ek aldi baterakoa dute eta gainerakoak behin-behinekoak dira. Behin-behineko zenbat langile daude enpresa horretan?

18. Enpresa bateko langileen 43 -ek kontratu mugagabea

dute; gainerakoen 32 -ek aldi baterakoa dute eta gai-

nerakoak behin-behinekoak dira. Behin-behinekoak 5 dira. Zenbat langile ditu enpresa horrek guztira?

19. Urtegia beterik egon da udaren hasieran. Uztai-lean, edukiaren 3/7 galdu du eta abuztuan, geratzen zitzaion uraren 3/4. Zer zati geratzen zaio oraindik irailaren hasieran?

Pentsatu eta eginKOOPERATIBA

JOGURT FABRIKA

GAZTA

12000geratzen

dira

GUZTIRA 6000 · 15

6000

6000

Ebatzi problemak zatikiekin.Webgunean

Iradokizunak• Berriroereegoeraberariburuzkohiruproblemaematendira,hiruikus-punturenarabera.Abiapuntuaberdinaduteguztiek:zatikibatenbestezatikibatkalkulatzea.Lehenengoan,osotasunaeratuartekozatikiosa-garriakalkulatubeharda.Bigarrenean,zenbakibatenzatikiarenkalkuluaeginbeharda.Hirugarrena,aurrekohorrenaurkakoada.

• Problemahorietanzailenaazkenada,eta,beraz,arretahandienahorre-tanjarribeharda.Ikasleeksoluzioraheltzenlagundukodietentartekogalderakplanteatuetaebatzibehardituzte.Ematendenadibidean,prozesuhorrenguztiarenjarraibidezehatzetamailakatuaikusikodute.

• Ikasleekargiulertubeharduteatalhonetakoproblemak(zatikibatenzatikia)etaaurrekoatalekoproblemak(zatikienbatuketaetakenketa)desberdinakdirela.Izanere,osoantzekoenuntziatuenbidezematendira,kontzeptual-detikosodesberdinakizanarren.

• Bestealdebatetik,problemamotahauekebatzibehardituztenean,huts-hutseankalkuluakeginbeharrean,prozesuosoaurratsezurratsazaltzekoesangodieguikasleei,orrialdehauetakoadibideetanegindenbezala.

Indartzeko eta Sakontzeko•MATEMATIKAKOARIKETAK1.koadernotik:

Indartzeko:47.orrialdeko36.eta37.ariketak.


Pentsamendu kritikoa • Problematipoakaztertuondoren,ikasleektaldehandianeztabaidatukodituzteprozesuak,antzekotasunaketadesberdintasunak.

• Hauiradokitzenda:

–(3,4,5),(13,14,15)eta(16,17,18)problemahirukoteenarteandaudenantzekotasunaketadesberdintasunakkontuanhartuz,gogoetaegitea

– Bigarrenetahirugarrenproblemamultzoenartekoaldeakazaltzea.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak1 4/5metro.

2 Matrikulatutakoikasleen2/9aridaBDHkolehenzikloan.

3 186ikaslearidiraDBHkolehenzikloan.

4 837ikaslediraguztira.

5 40soinekosalduditu.

6 Diru-sarreren1/12gastatzenduaisian.

7 Pertsonaguztien1/8aridirakiroletatikapartekojardueretan.

8 Kiroldegian128pertsonadaude.

9 Lehenengosolairuan30logeladaude;bigarrenean,20logela,etaati-koan,10.

10 Jauzibakoitzean5/8metroegitenditu.

11 225litrobehardira.

12 2400botilabetedaitezke.

13 Potearenedukiera9/4litro(edo2,25l )da.

14 Dosibakoitzak3/40ldu.

15 Poteak30dosiditu.

16 Behin-behinekoeidagokienzatikia1/12da.

17 Behin-behineko5langiledaude.

18 Enpresak60langileditu.

19 Irailarenhasieran1/7ekozatiadu.

61

7978

4 Berreketak eta zatikiak

Zenbaki osoen berreketetarako ikasi zenituen propietateek zenbaki zatikiarre-tarako ere balio dute. Propietate horiek erabilera praktikorako erregela bihur-tzen dira; baina ez da nahikoa izango buruz ikastea; horien zergatia ulertuz gero, segurtasun eta eraginkortasun handiagoz erabiliko dituzu.

Zatiki baten berreketa

· ·ba

ba

ba

ba

ba3

33

= =b l

Zatiki bat berretzeko, zenbakitzailea eta izendatzailea berretzen dira.

Zatikien arteko biderketa baten berreketa

· · · · ·ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc·

2

22

22 2 2

= = =b b b b bl l l l l

Biderketa baten berreketa faktoreen berreketen biderkaduraren berdina da.

Adibidez: · ·65

53

65

53

3015

21

81

3 3 3 3 3= = = =c c c c cm m m m m

Zatikien arteko zatiketa baten berreketa

:··

·· : :

ba

dc

b ca d

b ca d

ba

dc

ba

dc3 3

3 33 3

33

33 3 3

= = = =b c b bl m l l

Zatidura baten berreketa zatikizunaren eta zatitzailearen berreketen zatiduraren berdina da.

Adibidez: : :103

56

103

56

6015

41

161

2 2 2 2 2= = = =c c c c cm m m m m

Berrekizun bereko berreketen arteko biderketa

· ·ba

ba

ba

ba

ba

ba ( )63 2

33

22

55 5 5 3 2

= = == +

b b bl l l

Berrekizun bereko berreketak biderkatzeko, berretzaileak batzen dira.

Adibidez: ·52

52

52

52

3 4 3 4 7= =

+c c c cm m m m

Berrekizun bereko berreketen arteko zatiketa

: :··

ba

ba

ba

ba

b aa b

ba

ba ( )67 4

77

4

4

7 4

7 433 3 3 7 4–

= = = ==

b b bl l l

Berrekizun bereko bi berreketa zatitzeko, berretzaileen arteko kenketa egiten da.

Adibidez: :53

53

53

538 6 8 6 2–

= =c c c cm m m m

Berretzailea zero duten berreketak (a 0)

Printzipioz, a 0 adierazpenak ez luke zentzurik izango; baina zeinuen konbinazio horri esanahia emango diogu hizkuntza matematikoaren barruan:

•Bi zenbaki berdinen arteko zatidura unitatea da.

•Berrekizun bereko bi berreketa zatitzeko, berretzaileen arteko kenketa egingo dugu.

8

8

55 1

55 5 5

3

3

3

3 3 3 0–

=

= =

_

`

a

bbb

bb

50 = 1

Eta era berean:

:

:

ba

ba

ba

ba

ba

ba b

a1

1

3 3

3 3 3 3 0

0

–

=

= ==

b

b

b

b b b

b

l

l

l

l l l

l

_

`

a

bbb

bb

Berretzailea zero duen berreketak bat balio du beti (zero ez den edozein berre-kizunetarako).

Berretzaile negatiboa duten berreketak

Aurreko atalekoaren antzeko arrazoibideari jarraituz:

· · · ·· ·

aa

a a a a aa a a

a

aa a a

aa

115

32

53 3 5 2

22

– –

–= =

= ==

_

`

a

bbb

bb

Eta era berean:

: :··

:

ba

ba

ba

ba

ba

b aa b

ab

ab

ba

ba

ba b

aab

3 5

33

55

3 53 5

22 2

3 5 3 5 2

2 2

– –

–= = = =

= ==

b

b

b

b b b

c

b c

l

l

l

l l l

m

l m

_

`

a

bbb

bb

Berretzaile negatiboa duen berreketa berretzaile positiboa duen berreketa bera-ren alderantzizkoa da.

Ez ahaztu

ba

ban

n

n=b l

Ez ahaztu

:ba

ba

ban m n m–

=b b bl l l

Ez ahaztu

a 0 = 1 ba 0b l = 1

Ez ahaztu

a –n = a1n

ba

abn n–

=b cl m

Ez ahaztu

· ·ba

dc

ba

dcn n n

=b b bl l l

Ez ahaztu

: :ba

dc

ba

dcn n n

=b b bl l l

Ez ahaztu

·ba

ba

ban m n m

=+b b bl l l

Iradokizunak• Zatikibatenberreketakalkulatzeko,zatikihoriberretzaileakadieraztenduenadinabiderbiderkatukodugubereburuarekin.Prozesuhorihain-batariketarenbidezlanduta,propietateaberezazaleratukodamailapraktikoan.Horilortzendugunean,formaorokorreanenuntziatuetaadierazikodugu,adierazpenaljebraikoarenbidez.

• Zatikienbiderketaedozatiketabatenberreketarenkasuan,berrekizunaparentesibarruandagoenadelaazpimarratukoeta,beraz,eragiketakparentesibarruaneginbehardirela.Gero,aurrekoataleanikasitakoerregelaerabilikodugu;bestela,hasieratikabiatuetabiderketakegingoditugubehinetaberriz.Azkenik, ikasitakoafinkatzeko,propietateaenuntziatuetamodualjebraikoanadierazikodugu.

• Berrekizunberekoberreketakbiderkatzeanetazatitzean,gaibakoitza-renberreturakalkulatzekoikasidugunaerabilikodugu,eta,gero,lortu-takoadierazpenakbiderkatuedozatitukoditugu.Zenbaitadibideeginostean,ikasleekerrazaurkitukoduteprozesuhorilaburtzeko,nahikoadelaberretzaileakbatzea(edokentzea).


Indartzeko:34.orrialdeko1.eta2.ariketak.35.orrialdeko3ariketa,a),b)etad)atalak.35.orrialdeko5.ariketa.36.orrialdeko6.ariketa,a)etab)atalak.

Sakontzeko:35.orrialdeko4.ariketa,a),c)etad)atalak.36.orrialdeko8.ariketa.

Lankidetzan ikasi Orrialdehauetahurrengoaklanduaurretik,propietateaktaldetxikianjus-tifikatzekoproposadaiteke.Gero,emaitzaktaldehandianlanduetaorrial-deanageridirenprozedurekinkonparadaitezke.

Iradokizunak• Berretzaileanzeroedozenbakinegatiboadutenberreketenaurrean,ikasleekhasieranezdutejakitenzeregin,berreketariburuzikasitakokontzeptutikkanpogelditzendirelako:zenbakibatezindabereburua-rekinaldi-kopurunegatiboanbiderkatu.

• Beharrizanmoduansortuzirelaazaldukodiegu,ikasiberridutenerrege-laezartzearenondorioz:Berrekizun bereko bi berreketa zatitzeko, berre-tzaileen kenketa egiten dugu.

• Zatitzailekoberretzaileazatikizunekoarenberdinabada,edohoribainohandiagoa,zatiduranlortukodugunberreketarenberretzaileazeroedozenbakinegatibobatda.

• Emaitzahorrizentzuaemateko,bideratuegingoduguzatidurahorienkalkuluaetasinplifikazioa:aldebaterautzikoduguerregelaetaemaitza-renazkenekoesanahiaazaldukodugu.

• Ikasleekargiulertubeharduteidazkeramotabatbainoezdela;hauda,esanahimatematikoaduenzerbaitidaztekomoduadela.

• Azkenik,kontuanizanbeharduguedukihauekzailsamarrakdirelaeta,berez,ezdaudelamailahonetarakoaurreikusitakogutxienekoedukienartean.Halaere,ikasleaurreratuenekegitendituztengaldereierantzu-tekobaliokodigute.

Indartzeko eta Sakontzeko

Ariketahauekgomendatzendira:


Indartzeko:35.orrialdeko3.ariketa,c),e),etaf)atalak.37.orrialdeko9.ariketa.

Sakontzeko:37.orrialdeko10.eta11.ariketak.

62

8180

Berreketa baten berreketa

· ·ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba ( · )62 3

22 3

22

22

22

6

6 6 6 2 3= = = =

=b bl l= =G G

Berreketa bat berretzeko, berretzaileak biderkatzen dira.

Adibidez: 21

21

21

3 3 9

9= =c cm m> H

Ez ahaztu

ba

ba ·n m n m

=b bl l= G

1. Kalkulatu.

a) 21

3c m b) 3

12

c m c) 51

4c m d) 10

16

c m

2.Kalkulatu biderik laburrenetik, adibidean bezala.

• 5

155

154

4 4= d n = 34 = 81

a) 412

33

b) 48

55

c) 105

4

4

d) 52 · 151 2c m e) (– 4)3 ·

43 3c m f ) 102 · 15

1–2

c m

3.Laburtu eta kalkulatu.

a) ·9

6 34

4 4 b) ·

62 3

5

5 5 c) ·

123 3

3

3 3

d) ( )

·20

5 4– 7

7 7 e) · ( )

184 3–

2

2 2 f ) ( ) · ( )

366 3– –

5

5 5

4.Laburtu.

a) xx

26

b) mm

53

c) zz

4

4

d) ·x

x x12

7 10 e)

·m mm5 4

4 f )

··

a aa a

4 5

3 7

5.Laburtu berreketa bakar batera.

a) x 5 · x1

3c m b) z

16

c m · z 4 c) ·yx

yx

2 3c cm m

d) ·mz

mz4

b l e) ·yx

xy4

c m f ) ·mz

zm6 4

b bl l

6.Laburtu berreketa bakar batera.

a) x 3 : x1

2c m b) z

13

c m : z c) :yx

yx

6 5c cm m

d) :mz

mz8 5

b bl l e) :yx

xy2

c m f ) :mz

mz 3b l

7.Laburtu.

a) yx

4c m · y 4 b) ·

ba

a14 3

b cl m c) ·ba

ab3 4

b cl m

d) yx

3c m : x 3 e) :

ba

b14 3

b cl m f ) :yx

xy5

c m

8.Laburtu.

a) x12

3c m · x 4 b) z 2 :

z12

2c m

c) :a a1 13

2

2

3c cm m d)

m1

3

3c m · (m 2)4

9.Kalkulatu.a) 20 b) 50 c) 100 d) (– 4)0

10.Adierazi zatiki eran.a) (2)–1 b) (3)–1 c) 10–1 d) (–3)–2

11. Kalkulatu.

a) 21

1–c m b) 2

1–

2–c m c) 2

1–3–

c m

d) 31

2–c m e) 3

1–2–

c m f ) 101

3–c m

12. Bihurtu berretzaile positibodun berreketa.

a) x –3 b) a1

2–c m c)

m1

2– d) yx

33

––

13. Laburtu.

a) x 3 · x –2 b) ·x x1 12 4

c) x1

3–c m · x –3

14.Laburtu.

a) yx

1–c m : x –1 b) m

z 2–b l : m 3 c) a 5 :

ba 4–b l

Pentsatu eta egin

Zenbakiak eta berrekizuna 10 duten berreketak

Badakizu nola egiten den zenbaki osoaren deskonposizio polinomikoa berreki-zuna 10 duten ondoz ondoko berreketen arabera:

3 857 = 3 · 103 + 8 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100

Orain, berrekizuna 10 duten berreketa negatiboen balioari erreparatuko diogu:

10–1 = 0,1 10–2 = 0,01 10–3 = 0,001 …

Horrek deskonposizio polinomikoa zenbaki hamartarretara hedatzen uzten digu.

Adibidea

25,48 = · · · , · ,· · · ·

2 10 5 1 4 0 1 8 0 012 10 5 10 4 10 8 101 0 1 2– –

+ + ++ + +

Kantitate oso handien edo oso txikien adierazpen laburtua. Idazkera zientifikoa

Aurreko guztiak zifra asko dituzten zenbakiak erosotasunez adierazteko metodoa ematen digu.

Adibideak

•Lurretik Eguzkirako batez besteko distantzia 149 598 000 km-koa da.

149 598 000 ≈ 150 000 000 = 1,50 · 100 000 000

Lurretik Eguzkirako batez besteko distantzia ≈ 1,50 · 108 km

•Birusa, gutxi gorabehera, 0,000225 mm luze da.

0,000225 = 2,25 · 0,0001 = 2,25 · 10– 4 mm

Zenbaki oso handiak edo oso txikiak adierazteko modu estandarizatu horri idaz-kera edo notazio zientifiko esaten zaio.

a , b c d … · 10n

atal osoa 10en berreketa (zifra bakar bat) (berretzaile osoarekin)

Gogoratu

100 = 1

10–1 = 101 = 0,1

10–2 = 101

1001

2 = = 0,01

10–3 = 101

10001

3 = = 0,001

…

Egin gogoeta

0,0000000000001 = 10–13

Bi formetako zeini deritzozu eragin-korren?

15. Idatzi honako hauen deskonposizio polinomikoa:

a) 72,605 b) 0,63842c) 658,32 d) 18,0486

16. Idatzi honako datu hau zifra guztiak erabiliz:Atomo bat zilarraren masa 1,79 · 10–22 gramo da.Zer forma da erabilgarriagoa, laburtua ala hedatua?

17. Idatzi zifra guztiekin.a) 0,5 · 106 b) 1,34 · 107

c) 3,08 · 10–5 d) 1,26 · 10–8

18. Adierazi idazkera zientifikoa erabiliz.a) Argi-urtea 9 460 800 000 000 km dira.b) Atomo bat oxigenoren erradioaren neurria

0,000000066 mm da.

Pentsatu eta egin

Praktikatu berreketen propietateak landuz.

Webgunean

Praktikatu berreketen propietateak eragiketak ebatziz.Webgunean

Praktikatu berrekizuna 10 duten berreketekin.

Webgunean

Iradokizunak• Elkarrenbarrukoparentesietanageridirenberreketenkalkuluasinplifi-katzenduenpropietatealantzeko,aurrekopropietateetanerabilidugunprozesuberaerabilikodugu:aldezaurretikdakigunaerabilietaariketakurratsezurratsegingoditugu,azkeneanerregelabegiaurreanagertzenzaigunarte,kalkuluaklaburtzekometodomoduan.


1 a)81 b) 1

9 c)

51

62 d)

10000001

2 a)27 b)32 c)161 d)

91 e)–27 f)

94

3 a)16 b)1 c)6427 d)–1 e)

94 f)

321

4 a)x4 b)m–2 c)1 d)x5 e)m–5 f)a

5 a)x2 b)z–2 c)yx 5c m d)

mz 5a k e)

yx 3c m f)

mz 2a k

6 a)x5 b)z–4 c)yx d)

mz 3a k e)

yx 3c m f)

zm 2a k

7 a)x4 b)ba4 c)

ab d)

yy1

33–= e)

ba4

f)yx 6c m

8 a)x–2 b)z6 c)1 d)m–1

9 a)1 b)1 c)1 d)1

10 a)21 b)

31 c)

101 d)

91

11 a)2 b)4 c)–8 d)9 e)9 f)1000

12 a)x13 b)a2 c)m2 d)

xy 3a k

13 a)x b)x–6 c)1

14 a)y b)z–2m–1 c)a9b–4

Iradokizunak• Ikasleekbadakitezenbakiosoendeskonposiziopolinomikoaegiteneta,horretarako,berrekizunean10dutenberretzailepositibokoberreketakerabiltzen.

• Unitatehonetanberretzailenegatibokoberreketakkalkulatzenikasidu-gunez,deskonposizioaunitateordenahamarrenenkasuanereerabildaitekeelaazaldukodugu.Aurrekohorrenondorioz,idazkerazientifikoalanduetaerabiltzenhasikogara.

• Atalhonetanematendirenadibideenbidez,ikasleekidazkerahorikantitateosohandiakedoosotxikiakadieraztekoosoegokiadelaikusikodute.

• Kalkulagailuzientifikoekidazkerazientifikoanemandakoberreketakadieraztekoetakalkulatzekoteklabereziakizatendituzte.


Indartzeko:38.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:39.orrialdeko4.,5.eta6.ariketak


15 a)72,605=7·101+2·100+6·10–1+5·10–3

b)0,63842=6·10–1+3·10–2+8·10–3+4·10–4+2·10–5

c)658,32=6·102+5·101+8·100+3·10–1+2·10–2

d)18,0486=1·101+8·100+4·10–2+8·10–3+6·10–4

16 a)Zilar-atomobatenmasa: ,0 00000000000000000000179eroz20

1 2 34444444 444444

17 a)500000b)13400000c)0,0000308d)0,0000000126

18 a)9,5·1012km b)6,6·10–8mm

63

82 83

Ariketak eta problemak


1. Kalkulatu buruz.

a) 1 – 101 b) 5

1101–

c) 1 + 31 d) 3

161–

e) 41

81– f )

41

81+

2. Kalkulatu eta sinplifikatu.

a) 21

51

101– + b) 3

151

152–+

c) 61

95

21– + d) 3

4 2 23

65– –+


a) 3611

125

94

247– –+ b) 32

13245

4817

127– –+

c) 4017

3011

2013

89– –+ d)

4421

6631

2213

1211– – +

e) 32

51

274

152– – – f ) 78

23265

7823

11725– –+

4. Eragin.

a) 2 – 1 53+c m

b) 143 2

45– – –c cm m

c) 75

31

73

32– – –c cm m

d) 3 31

43

53

101

207– – – –+c c cm m m

e) 67 2 2

331– – –c m> H

f ) 343

61 2

61

81– – – – +c cm m> >H H

g) 34

83

61

52

87

65– – – – –c cm m> >H H

h) 127

2013

51

158

3017

21

3023– – – –+ +c cm m> >H H

5. Zer zatiki laburtezinek osatu behar du laukitxoe-tako bakoitza?

a) 157

51

61– – = b) 7

62111– + = 1

c) 95

125

43– + = d) 2 –

247

83= +


6. Egia ala gezurra?a) Zatiki negatiboek aurkakoa dute baina ez alderan-

tzizkoa.b) Zatiki baten alderantzizkoaren aurkakoa eta

aurkakoaren alderantzizkoa berdinak dira.c) Zenbaki arrazional guztiek aurkakoa eta alderan-

tzizkoa dute.d) a zenbaki positiboa izanez gero, horren aurkakoa

alderantzizkoa baino txikiagoa da.e) a zenbaki negatiboa izanez gero, horren aurkakoa

alderantzizkoa baino handiagoa da.


a) 73 · 14 b) 5

2 : 4 c) ·( )2

774–

d) : ( )113

115– e) ·3

2209 f ) :15

452

g) · ( )356

3677– h) ( ) :55

481112– i ) :

( )83

928––

8. Ariketa ebatzia

3294

= : ··

94

32

2 94 3

1812

32= = =

9. Kalkulatu eta laburtu.

a)

611 b)

516 c)

51

101

d)

3452

10. Eragin eta laburtu.

a) · ·115 3 15

22c m b) : :27 5 21

10c m

c) · :98

2615

3020c m d) : ·20

71514

94c m

Berreketak eta zatikiak

11. Kalkulatu.

a) 2–2 b) (–2)–2 c) 21

2–c m d) 2

1–2–

c m

e) 2–3 f ) (–2)–3 g) 21

3–c m h) 2

1–3–

c m

12. Adierazi berreketa negatiborik erabili gabe.

a) x –2 b) x –3 c) x – 4

d) x1

2– e) x1

3– f ) x1

4–

13. Laburtu berreketa bakarrera.

a) a 5 · a 2 b) a · a 2 · a 3

c) x 5 · x –3 d) x –2 · x 5

e) a 2 · a1

2– f ) a1

2– · a –3

g) x 3 · x –2 · x h) x –2 · x –2 · x –2

i ) ·a

a a5

3 4 j )

··

a aa a3 5

4

k) x

x x·3

2 4–

– l )

·x xx

2 4

1

–

–

14. Sinplifikatu.

a) x 3 · x1

5c m b) x 3 : x

15

c m

c) ba 4b l · b 4 d)

ba 3b l : a 3

e) (a 2)3 · a1

7c m f ) :

a a1 12

3

3

3c cm m

15. Idatzi honako kantitate hauek zifra guztiak erabiliz:

a) 261 · 109 b) 15,4 · 108 c) 3,28 · 1011

d) 124 · 10–7 e) 37,8 · 10–7 f ) 1,78 · 10–10

16. Adierazi idazkera zientifikoan, adibideetan bezala.

• 5 360 000 000 = 5,36 · 109

•0,0000004384 = 4,384 · 10–7

a) 8 420 000 b) 61 500 000 000

c) 0,0000074 d) 0,000000128

Interpretatu, deskribatu, adierazi 17. Erreparatu Daviden eta Onintzeren ebazpenei.

Bigarren eskuko automobilen enpresak 180 automobil jaso ditu. Lehenengo hilean, hiru laurden saldu du eta hurrengo hilean, guztien bostena. Zenbat automobil daude saltzeko oraindik?Daviden soluzioa•180ren3/4=(180:4)·3=135•180ren1/5=180:5=36•135+36=171•180–171=9Onintzeren soluzioa

•43

51

204

201915+ = + =

• 2020

2019

201– =

•180ren1/20=180:20=9Adierazi eragiketa bakoitzak zer esanahi duen eta zer emaitza lortu den kasu bakoitzean.

18. Erreparatu honako problema hauei; enuntzia-tuaren arabera, antzekoak izan daitezke, baina guztiz desberdinak dira.1. problemaArtzain batek astelehenean ardien erdiari moztu dio ilea, eta asteartean ardien herenari. Asteazkenean azken 16 ardiekin amaitu du lana. Zenbat ardi ditu guztira?Ebazpena

16 · 6 = 93 ardiAl Al Al Ar Ar 16

2. problemaArtzain batek astelehenean ardien erdiari moztu dio ilea, eta asteartean ilea mozteko geratzen ziren ardien herenari. Asteazkenean azken 16 ardiekin amaitu du lana. Zenbat ardi ditu guztira?Ebazpena

AlAr88

888

888

→ AlAr88

888

888

8 · 6 = 48 ardiAzaldu zer alde dagoen bien artean eta zer prozesu bete den bakoitza ebazteko.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)109 b)

101 c)

34 d) 1

6 e)

81 f)

83

2 a)52 b)

52 c)

91 d)0

3 a)241 b)–

321 c)–

125 d)

31 e)

275 f)

23443

4 a)52 b)–

21 c)

2113 d)

1534

e)31 f)

2417 g)

3023 f)

3011

5 a)65 b)

32 c) 2

9 d)

34

6 a)Gezurra b)Egia c)Gezurra,0zenbakiakezduaurkakorik.

d)Egiae)Egia

7 a)742 b)

202

101= c)–

24 2–=

d)–53 e)

6018

103= f)

3020

32=

g)1260396

3011– –= h)

606528

54– –= i)

22427


9 a)6 b)30 c)21 d)

103

10 a)2 b) 13 c) 1

130 d)

61

11 a)41 b)

41 c)4 d)4

e) 18 f)– 1

8 g)8 f)–8

12 a)x12 b)

x13 c)

x14 d)x2 e)x3 f)x4

13 a)a7 b)a6 c)x2 d)x3 e)a4 f)a–1

g)x2 h)x–6 i)a2 j)a–3 k)x l)x

14 a)x–2 b)x8 c)a4 d)b–3 e)a–1 f)a3

15 a)261000000000 b)1540000000 c)328000000000

d)0,0000124 e)0,00000378 f)0,000000000178

16 a)8,42·106 b)6,15·1010

c)7,4·10–6 d)1,28·10–7

17 9autodaudesaltzekooraindik.

18 Astearteanardienzerzatirimoztudiotenilea,hortxedagoaldeabiproblemenartean.Lehenengoprobleman,ardiguztienherenarimoz-tudiote;bigarrenean,berriz,geratzenzirenenherenari.Hauda,erdia-renherenari.

OHARRAK

64

84 85

Ariketak eta problemak

Ebatzi problemak

19. 2 800 m3-ko edukiera duen ureztatzeko askan, 1 600 m3 ur daude une honetan. Askaren zer zati falta da betetzeko?

20. Furgonetak 36 kaxa daramatza eta, kaxa bakoi-tzean, 30 botila freskagarri. Bidean 162 botila apurtu dira. Botilen zer zati apurtu da?

21. Suak 1 700 hektareako basoaren hiru hamarren erre du. Zenbat hektarea ez dira erre?

22. Kaxa bakoitzean 30 dozena arrautza zeuden 5 kaxako paleta irauli da eta arrautzen bi boste-nak apurtu dira. Zenbat arrautza daude osorik?

23. 1,80 € ordaindu dugu hiru kilo laurden gerezi. Zenbat da kiloa?

24. Malgukia, tiratuta, hasierako luzeraren 5/3 da. Tiratuta, 4,5 cm ditu malgukiak. Zer neurri du posi-zio arruntean dagoenean?

25. Ureztatzeko askaren lau zazpiren dago beteta eta 1 600 m3 ur dago. Zenbat metro kubiko sartzen dira askan?

26. Ameliak bere aurrezkien 3/8 eralgi du 90 € balio izan dituen sakelako telefonoan. Zenbat diru du oraindik?

27. Supermerkatu batek 87 pakete freskagarri saldu ditu; saldu dituen freskagarri horiek supermerka-tua ireki den unean zeuden freskagarrien 3/8 dira. Zenbat freskagarri zeuden saltzen hasi baino lehen, kontuan hartuz pakete bakoitza 6 potekoa dela?

28. Hegazkin batean doazen 240 bidaztien herenak europarrak dira eta 2/5, afrikarrak. Gainerakoak ame-rikarrak dira. Zenbat amerikar doaz hegazkinean?

29. Apaintzaile batek 20 kilo pintura prestatu du honako nahaste honekin: pintura gorriaren bi bosten, pintura urdinaren hiru hamarren eta gainerakoa, pin-tura horia. Zenbat kilo pintura hori darama nahasteak?

30. Begoñak bere aurrezkien 3/8 motorra konpon-tzen gastatu du eta geratzen zaionaren 3/10, kon-tzertu baterako sarreran. Aurreztuta zuenaren zer zati geratzen zaio?

31. Xabierrek zituen aurrezkien 3/5 bidaia batean eralgi du eta gainerakoaren 3/4, arropak erosten. 140 euro ditu oraindik. Zenbat diru zuen aurreztuta?

32. Gozoki-denda batek hainbat poltsa gozoki har-tu du. Poltsen bi bosten laranjazkoak dira; hiru ha-marren, limoizkoak eta gainerakoak, marrubizkoak. 6 poltsa marrubi zeuden. Zenbat poltsa izan dira guzira?

33. Sarak 4 metro egiten du aurrera 5 pausotan. Metroaren zer zati egiten du aurrera pauso bakoi-tzean? Eta 100 pausotan?

34. Lurrin-flaskoak litroaren 1/20-eko edukiera du. Zenbat flasko bete daitezke hiru litro eta erdiko bidoiaren edukiarekin?

35. Zenbat litro fruta-ur behar dira bakoitzak litroa-ren 3/8-eko edukiera duen 200 botila betetzeko?

36. Antzeko bi problema.

a) 5 kg garbigarritik, 3 kg erabili dira. Guztiaren zer zati geratzen da?

b) 5 kg garbigarritik, bi kilo eta hiru laurden erabili da. Guztiaren zer zati geratzen da?

37. Arazte-makina batek hiru metro kubiko ur ira-gazten ditu bost orduan. Zenbat metro kubiko ur ira-gazten ditu ordubete eta laurdenean?

38. Iturri batek metro kubiko bat uren bederatzi hamarren isurtzen du orduan. Zenbat denbora beharko da 30 metro kubikoko depositua betetzeko?

39. Baserritar batek maiatzaren azkenean 2 800 kg pentsu zuen abereei jaten emateko. Ekainean, pen-tsu horren 3/7 erabili zuen eta, uztailean, geratzen zitzaionaren 3/4. Zenbat kilo pentsu zituen abuztua-ren hasieran?

40. Herri jakin batean bizi diren pertsonen hiru zor-tziren 50 urtetik gorakoak dira eta, horien arteko hogeitik bat, laurogei urtetik gorakoak. Zenbat per-tsona bizi dira herri horretan, jakinik laurogei urtetik gorakoak 48 direla?

41. Lorazain batek arrosondoen 2/7 inausi ditu astelehenean; asteartean, gainerakoen 3/5 eta asteaz-kenean, geratzen ziren 20ak. Zenbat arrosondo ditu guztira lorategi horrek?

42. Garraio-enpresa bat bide luzeko kamioiekin, banatzeko furgonetekin eta mandatuak eramateko motorrekin egiten du lan. Hamabi ibilgailuko, zazpi furgonetak dira eta hiru, motorrak. Kamioiak zortzi dira guztira. Zenbat ibilgailu ditu guztira enpresa horrek?

43. Autobusak bi hiriren arteko zerbitzua betetzen du eta tarteko bi geldialdi egiten ditu. Gaur, lehe-nengo geldialdian, bidaztien bi bosten utzi du eta 12 igo dira. Bigarren geldialdian, une horretan zera-matzan bidaztien herenak utzi eta 14 igo dira. Azkenik, 40 bidazti zeramatzala iritsi de helmugara. Zenbat bidazti zeramatzan hasieran?

«+» problemak

44. Mandazain batek mandoa, astoa eta zaldia ditu ukuiluan. Mandoa eta zaldia lanera daramatzanean, zamaren 3/5 mandoaren gainean jartzen du eta 2/5, zaldiaren gainean. Baina zaldia eta astoa darama-tzanean, zamaren 3/5 zaldiaren gainean eta 2/5, astoaren gainean. Hiru animaliak eraman eta 190 kg karga eramanez gero, nola banatuko du zama gaur?

45. Taldean, ardiak eta ahuntzak daude. Abel-tzainak ardien erdia eta ahuntzen herena saldu ditu eta, horrela ere, ardiak ahuntzak bi halako dira. Zenbat abelburu ditu, jakinik 25 saldu dituela?

Ikasi problemak ebazten

Zer dakizu bola gorriei buruz? Eta berdeei buruz?Badakizu zenbat urdin dauden? Zer galdetu dizute?

Problema ebazteko, guztizkoa-rekin eta kolore bakoitzari dagokion zatiarekin, grafikoa marrazte ko aholkatzen dizut.

Gogoratu zer galdetzen dizu-ten.Amai al dezakezu problema?

Eta orain?

Ederto! Gauza al izango zina-teke grafikoak dioen guztia zatikiekin eraginez adierazteko?

— Ondo dago. Honelako zerbait izango litzateke:

GUZTIRA

— Erraza da:

Urdinak → Guztizkoaren 51 = 14 → Guztira = 14 · 5 = 70

Soluzioa: 70 bola daude poltsan.

— Orain argi ikusten dut: bola urdinak guztizkoaren 102 dira; hau da, 5

1 .

— Jakina:

·

8

882

1

21

53

53

21

103 2

1103

105

103

108

en

GORRIAK

BERDEAK - = =+ = + =

_

`

a

bb

bb

urdinak → 1010

108

102

51– = =

Poltsan, bola gorriak, berdeak eta urdinak daude. Erdiak gorriak dira; berdeak gorrien hiru bosten dira eta urdinak, 14. Zenbat bola daude guztira?

Egiaztatu enuntziatua ulertu duzula.

Pentsatu zer bide egingo duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

Pentsatzeko problemak.Webgunean

Ikasi problemak ebazten Atalhonetan,adibidebatenjarraipenaeginez,problemakebaztekoere-du,estrategiaetajarraibideakjarrinahidituguikasleenesku.

• Enuntziatuabehinetaberrizirakurri,ondoulertuarte.

• Datuakantolatzenetaerlazionatzenlagundukodigungrafikobaterabili.

• Prozesuadeskribatu.Eragiketabakoitzarenetahortiklortzendendatubakoitzarenesanahiaazaldu.

• Soluzioaadierazi.

Atalhonetakohelburuakahalikgehienustiatzeko,ikasleeiproblemabe-raiekbakarrikebaztekoeskadiezaiekeguhasieran,bakoitzakberebideabilatuz.Gero,taldehandian,jarraitutakoprozesuak,emandakoazalpenak,etab.konparatukoditugu.Azkenik,orrialdeanageridengarapenaaztertu-kodugu.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

19 Askaren73 faltadabetetzeko.

20 Botilen203 apurtuda.

21 1190hektareaezdiraerre.

22 1080arrautzadaudeosorik.

23 1kilo=240€

24 Posizioarruntean,2,7cmditu.

25 Askan,2800m3sartzendira

26 150€dituoraindik.

27 Saltzenhasibainolehen1392freskagarrizeuden.

28 64amerikardoaz.

29 Nahasteak6kilopinturahoridarama.

30 Aurreztutazuenaren167 geratzenzaio.

31 1400€zituenaurreztuta.

32 Guztira,20poltsaizandira.

33 100urratsetan80metroeginduaurrera.

34 70flaskobetedaitezke.

35 75litrobehardira.

36 a)Guztiaren52 geratzenda.

b)Guztiaren209 geratzenda.

37 Ordubeteetalaurdenean,43 m3iragaztenditu.

38 33h+31 hbeharkoda.

39 400kgpentsuzituen.

40 Herrihorretan,2560pertsonabizidira.

41 Lorategihorrek70arrosondoditu.

42 Enpresahorrek48ibilgailuditu.

43 Hasieran,45bidaztizeramatzan.

44 Astoak40kgeramangoditu.

Zaldiak60kgeramangoditu.

Mandoak90kgeramangoditu.

45 30abelburuditu.

65

86 87

Irakurri, ulertu eta interpretatuEskemak egitearen erabilgarritasuna

Problema batzuk ebazteko, guztiz erabilgarri izaten da eskema egitea:— Datuak ordenatzeko eta era globalean ikusteko.— Ideiak antolatzeko.— Prozesua eta soluzioa errazago aurkezteko.

•Aztertu eta interpretatu honako problema hau azaltzen duen eskema:Problema

Kandela batek argia ematen du kandelaren luzeraren hiru laurden erretzen ari diren artean. Baina sobera dagoen zatia ez da botatzen; lau zatirekin, beste kandela bat egiten da.Kandela bakoitzak «gaualdi» bat iraunez gero, zenbat gaualdi argi-tuko ditugu 25 kandelako paketearekin?Eskema

KANDELA

25—425

24—4

6—4

1—4

1—4

4—42—4

1—42—4

4— = 4

61

KANDELA

KANDELA

11KANDELA

16

25

Soluzioa: 25 + 6 + 1 + 1 = 33 kandela → 33 gaualdi argituko ditugu.•Eraiki antzeko eskema bat aurreko problemarako, kandela bakoitza-

ren 2/3 bakarrik kontsumitzen dela jota.

1. Kalkulatu.

a) 32

61

91–+ b) 9

5127

1811– +

2.Eragin.

a) ·32

61 b) :3

261 c) 3

2 · 6 d) 32 : 4

3.Ebatzi.

a)

312 b)

6310

c)

4252

d) ·

·

10

5

6131

4.Ebatzi.

a) 1211 1

61

43– – –c m> H b) ·2

131 2 5

2–+c cm m

5.Laburtu.

a) ·ba

ba2 3–

b bl l b) :xx22

2 2c bm l c) y

12 3

e o> H6.Kalkulatu.

a) 32

3c m · 63 b) :5

3532 3

c cm m

7. Idatzi honako zenbaki hauen deskonposizio polino-mikoa:

a) 1 238 600 b) 0,07586 c) 340,578

8.Idatzi zifra guztiak erabiliz.

a) 1,38 · 106 b) 8,451 · 10–7

9.Adierazi idazkera zientifikoan.

a) 24700 000 000 b) 0,0000000238

10.Kiosko batean, egunkari guztien 1/3 saldu dira goi-zean, eta 2/5 arratsaldean. 20 egunkari dituzte saltze-ko oraindik. Zenbat egunkari hartu zituzten?

11. Gizona erosketak egitera joan da eta zuen diruaren 1/3 jaka erosten gastatu du eta geratzen zaionaren 2/5, merkatuan. 30 euro ditu oraindik. Zenbat diru zuen etxetik atera denean?

12. Poltsan, bola zuriak, beltzak eta gorriak daude. Zuriak guztizkoaren hiru bosten dira eta gorriak, beltzen bi heren. Guztizkoaren zer zati dira beltzak?

Autoebaluazioa

Trebatu problemak ebatziz Egin kontuak!•Balantzetako informazioarekin, kalkulatu zer pisu duten Errosek, Xabierrek eta

txakurrak.

•Gaur kanpaldia egingo dugu eta saltxitxak jango ditugu. 18 gara, eta jatunak guztiak, eta 30 saltxitxa baino ez dugu. Neuri dagokit banaketak egitea.Zenbat da egin behar dudan ebaki kopururik txikiena guztiei kantitate bera emateko?

•Basetxe batean, oiloak eta untxiak zenbatuz gero, 600 animalia daude guztira. Horien hankak zenbatuz gero, 1 480 hanka daudela aterako genuke.Zenbat oilo eta zenbat untxi daude?

Matematika-lantegia

Trukatu fitxa horia eta fitxa gorria ahalik eta mugimendu kopururik txikiena eginez. Azaldu nola egin daitekeen.

Soluzioa azaltzeko, asmatu kodea. Adibidez, laukitxoak zenbakituz:

1 2 3

4 5 6 (3 → 2)

(3 → 2): Esanahia 3. laukitxoa okupatzen duen fitxa 2.era pasatzen dela da.

Egin proba eta antolatu zeure buruaBakarkako jolasa

45 kg 75 kg 140 kg

43

41

eta ikasiizan ekimena

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

Irakurri, ulertu eta interpretatu

Eskemak egitearen erabilgarritasuna

Problemazkoegoerakebaztekoprozesuaegituratzekoetaadieraztekoba-liabideakematendira.

Agerideneskemataldehandianaztertzeairadokitzenda,etaegitendenproposamenataldetxikianebaztea.

Soluzioa

• 37gaualdiargitukoditugu.

Egin proba eta antolatu zeure burua

Bakarkako jolasa

Ikerketabideratzekoprozeduramoduan,manipulaziozkometodoaketasaio-erroremetodoaklantzendira.Horrezgain,adierazpenerakobaliabi-deakematendira,prozesuaketaemaitzakdeskribatzeko.

Soluzioa

Adibideanematendenkodearijarraituz.

382

683

586

485

184

281

382

683

586

285

382

683

586

184

281

582

485

184

281

382

683

586

Trebatu problemak ebatziz

Egin kontuak!

Atalhonetan,formulazioteorikoetatiketaedukienprogramatikkanpodaudenzenbaitproblemaetaerronkaematendira.Helburuadalogikamatematikoariburuzkoproblemakebaztekonorkbereestrategiaklanduetagaratzea.Beraz,ikasleekmatematikaarloanikasitakoezagutzakerabi-likodituzte;bainabaitasaiakuntza,haztamukajotzea,saio-errorebidezko

aurkikuntzaedosoluzioalortzenlagundukodietenbesteedozeinbideere.Horrezgain,programatikkanpokoesparruhonetan,ariketaetaegoe-raarinetajostagarrihauenbidez,arrazoitzeazgozatzekoetaerronkakgaindituetagogobetetzekoaukeraemannahizaie.

Soluzioak

• Errosek65kgditu.Xabierrek60kgditu.Txakurrak15kgditu.

• Gutxienezere12ebakieginbehardira.

• 460oiloeta140untxidaude.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a)1813 b)

127

2 a)91 b)4 c)4 d)

61

3 a)6 b)95 c)

54 d)1

4 a)–32 b)

34

5 a)ba b)

x2 4c m c)

y1 6d n

6 a)64 b)35

7 a)1·106+2·105+3·104+8·103+6·102

b)7·10–2+5·10–3+8·10–4+6·10–5

c)3·102+4·101+5·10–1+7·10–2+8·10–3

8 a)1380000 b)0,0000008451

9 a)2,47·1010 b)2,38·10–8

10 75egunkarihartuzituzten.

11 75eurozituenetxetikaterazenean.

12 Guztizkoaren256 dirabeltzak.

Documents

Eragiketak zatikiekin - WordPress.com...mena eta problemen ebazpena lantzeko eta horri guztiari arreta jartzeko ariketak bilduta ageri dira. Batzuk ikaslearen li-buruan (I.L.) proposatuta