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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
.AHALISIS DEL DESBALANCEAHIENTO'ELECTROMAGNÉTICO
EN LINEAS AEREAS.
•*»- •.'09
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DE TITULO DE INGENIERO
ELÉCTRICO EN LA .ESPECIALI7.ACIOH ZH POTENCIA. -
HUMBERTO CAÑAR ZAHORA
QUITO, 26 DE MARZO DE 1.979.
tf
*t: DEDICATORIA.
A la'memoria de "trabajo y • S
orificio de" mi padr'e, al amor y du
cura de mi-madre, y a la ayuda in-
condicionada de mis hermanos.
>$
• 3 -jj
..-¿¿I
CERTIFICADO.
, Certifico que el presente tra-
bajo ha sido"realizado en su totali_
dad por el Sr. HUMBERTO WASHINGTON .
CAÑAR 2LAMORA:
Ing. Julio Jurado.
DIRECTOR DE TESIS.
^
'.
AGRADECIMIENTO.
Al Sr. Ing. Julio Jurado mi -incondicionado a-
gradecimiento, por el sentido de responsabilidad y
ayuda técnica con que dirigió el presente trabajo.
A los señores ingenieros del Departamento Tec_
nico de 'la Empresa Eléctrica Ambato, que en todo
momento me brindaron su dedicada colaboración y a-
poyo.
A los señores profesores del Departamento de
Potencia, quienes supieron impartir RUS conocimnen
tos con generosidad y dedicación.
Finalmente mi sincero ajoradeciniento para, to-
dos aquellos que en una u otra forma dieron su co-
laboración durante1 el período universitario.
Í N D I C E .
CAPITULO I.
1 ;- INTRODUCCIÓN, OBJETIVO DEL ESTUDIO
1.2.- ALCANCE.
2.'!.- ANÁLISIS DEL DESBALANCEAHIENTO.
2.2.- NATURALEZA" DEL DESEQUILIBRIO. ¿J .' ' .
2.3.- CONCEPTO Y VALOR DEL DESEQUILIBRIO ELECTROMAGNÉTICO
ANEXOS:
' ' CONSTANTE DE LAS LINEAS.
• • •• • 'DESEQUILIBRIO- DE' LAS 'FASES .; • - '
ROTACIÓN DE EASÉS. • •
- EFECTOS DE INTERFERENCIA.
CAPITULO III.
3..1-. - INFLUENCIA DEL TlESBALANCEAMIENTO.
3 . 2 . - PERDIDAS.
3.3.- EFECTO EN LA PROTECCIÓN.
3.4.-' EFECTO EN LA GFNERACION.
• CAPITULO' IV. \¿o ' . -
4-1.- GENERALIDADES.
4:2.- CONTROLTüEL-DESBALANCEAMIENTO.
4.3.- TRANSPOSICIÓN DE FASES .'-
CAPITULO V. ' *
5.1.- APLICACIÓN PRACTICA:- LINEA DE TRANSMISIÓN PAUTE
' GUAYAQUIL.- ANÁLISIS "TÉCNICO'.'
512.- VENTAJAS TÉCNICAS DE LA TRANSPOSICIÓN.
5.3.- REDUCCIÓN DE PERDIDAS.
CAPITULO VI.
RESUMEN, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
REFERENCIAS.
CAPITULO. I
1.1 /- INTRODUCCIÓN, OBJETIVO DEL ESTUDIO.
El gran desarrollo de las fuentes de'energía para reali^
zar trabajo viene a ser una de las medidas del progreso
industrial, y al descubrirse fuentes de energía en la na.
turaleza, el transporte de energía en sus diferentes for
mas desde un lugar hacia otro y la utilización de la mis
' ma en otra más útil hacen que sean las partes más esen-
ciales para una economía industrial5 por lo que las LI-
NEAS DE TRANSMISIÓN son las herramientas para la transm.i
sión y transporte de la energía eléctrica.
Las primeras líneas de transmisión fueron monofásicas y
su energía se consumía por lo general en alumbrado, pero
a fines del siglo XVIII se descubrieron los motores bifá.
sieos de inducción y los sincrónicos, posteriormente los
trifásicos, de ahí que es necesario transportar energía
trifásica que es la que va sustituyendo poco a poco.a
los sistemas de corriente .•; continua que habían al co-
mienzo.
-2-
La utilización de la corriente alterna y la invensión
del transformador, hizo posible el transporte de la ener
gía eléctrica a una tensión más alta que la de genera-
ción o utilización, en la transmisión de una determinada•f 2potencia y por lo tanto menores perdidas I R.
Su construcción principal se basa en las garantías que
ésta brindará teniendo en cuenta los efectos de radio in_
terferencia en los circuitos de comunicaciones debido al
efecto ' piel (efecto corona) como también el desbalancea-
miento electromagnético que se produce -
1.1.2.- OBJETIVO DEL ESTUDIO.
El objeto de este trabajo es el determinar el desbalan-
ceamiento electromagnético que puede presentarse en una
línea de transmisión de determinada configuración; anali^
zar sus causas y efectos que produce- sobre la generación
y protección y dar una forma adecuada de controlar este
desbalance amiento electromagnético.
Una vez realizado todos los análisis pertinentes, el pre_
. senté trabajo se aplicará a la LINEA DE TRANSMISIÓN PAU-
TE - GUAYAQUIL en estudio, teniendo en cuenta que habrá
que realizar algunas modificaciones .
1.2 . - ALCANCE.
En al trabajo aquí realizado se establecen bases teóri- .
cas para el cálculo' del des balanceara! ento electromágnéti
co en líneas de transmisión mediante el método tradicio-
nal y de las componentes simétricas ,
Debido a la gran cantidad de configuraciones de los cir-
cuitos en las líneas de transmisión es necesario conside
-3-
rar (líneas de circuito simple, de doble circuito, con
conductores en HAZ, etc) el que se-estima conveniente pa.
ra efectuar dicho cálculo. No es el alcance del presen-
te trabajo analizar en forma exaustiva todos los efectos
que el desbalanceamiento electromagnético puede causar
en las líneas de transmisión sobre otros sistemas cerca-
nos o en la misma línea.
<**
CAPITULO II
2.1 .- ANÁLISIS DEL DESBALANCEAMIENTO ELECTROMAGNÉTICO.
Para realizar el estudio del desbalanceamiento electro-
magnético se llevará a cabo de acuerdo a las variadas
configuraciones, que toman los circuitos de las líneas
de transmisión, teniendo así configuraciones simétricas
y asimétricas.
CIRCUITO SIMÉTRICO.- Como es sabido, es casi imposible
tener una línea de transmisión tr.i
fásica simétrica en toda -su longitud, pero en este caso'
asumimos que los conductores están simétricamente espa-
ciados ., en una configuración triangular, donde los vecto
res corriente de las tres fases están equilibrados o sea
que la1 = Ib = Ic por consiguiente la + Ib + Ic = 0; el
gráfico # 1 muestra este tipo de configuración.
-5-
Dab - Lbc - Dac = D
GRÁFICO # i
Si calculamos la caída de tensión por fase aplicando la
matriz correspondiente al circuito que está representado
en el gráfico #1.
-Ea - Ea"= A Va.
Eb - Eb'= AVb.
Ec - Ec"= AVc.GRÁFICO
-Expresando en función de las impedancias tenemos
¿Va
AVb
AVc
Zaa 2ab Zbc
Zab Zbb Zbc
Zac Zcb Zcc
la
Ib
Ic
-6-'
Como estamos considerando un circuito simétrico, las im-
pedancias mutuas son iguales o sea que:
V Zab - Zbc - Zac = Zm
De la matriz anterior podemos llegar a la siguiente ma-
triz de.caída de tensión.
'AVa "
fiVb
¿Ve
=
Zaa - Zm 0 0
0 Zbb - Zm 0
0 0 Zcc - Zm
r l a "
Ib
Ic
De donde podemos deducir que las impedancias por-fase
son:
Z fase a =
Z fase b =
Z fase c -
Á Vala
AVbIb
AVcIc
= Zaa - Zm.
~ Zbb - Zm,
= Zcc - Zm.
Por lo general una línea de transmisión tiene los tres
conductores idénticos, sus radios iguales y del mismo ma
terial5 es decir:
ra = rb - re = r
de donde se deduce que la impedancia de las fases son•i-
guales:
Z fase a = Z fase b - Z fase c = Zpp - Zm.
de esta manera tenemos la impedancia propia del conductor
y la impedancia mutua entre conductores, que también pue
de ser expresado de la siguiente manera:
-y.
Z fase a,b,c = R + jW 2 ° log R^Ga -<V milla, fase
desglosando tendremos:
"tí
Z fase a,b,c = R. + j C - ~ log + --log Dab)
Z fase a,b,c = R + j (Xa + Xd)
de ahí que :
R = Resistencia del coinductor.
Xa = Reactancia propia del conductor debido al flujo
hasta un pie de distancia.
Xd - Reactancia mutua correspondiente al flujo externo
fuera del radio de un uie de distancia.
Los valores de Ra, Xa y Xd se pueden obtener de tablas
que se han construido con datos experimentales. De los
cuadros de características eléctricas de los conductores
según el tipo, naturaleza, y en cambio que el valor de Xd
obtenemos de los cuadros .de espaciamiento entre conducto_
res .
Si tenemos una línea de transmisión con una configura-
ción asimétrica la tensión ' para cada conductor va a
ser diferente, asumiendo que las corrientes sean iguales
y balanceadas. Debido a la asimetría en el campo magné-
tico externo a los conductores no es cero, por lo que se
produce tensiones inducidos en la. misma línea, y en los
-circuitos eléctricos cercanos y particularmente en los
-tele-fónicos produciéndose interferencia.
CIRCUITO ASIMÉTRICO CON RETORNO ' P O R TIERRA.- Este tipo
de configu_
'ración es el más abundante en el mundo de las líneas de
transmisión debido a ciertas ventaj as en su diseño , c°ns_
trucción y parte económica .
'Cuando ésto sucede que los" conductores de una línea tri-
fásica no están en disposición equilátera, es decir el
espaciamiento entre conductores son diferentes , el pro-
blema de encontrar la inductancia es. más difícil, tenien
do en ese caso que los enlaces de flujo y las inductan-
cias diferentes en cada fase en un circuito no equilibra
do, por consiguiente aparecen tensiones inducidas en
líneas de comunicaciones que van cercanas y paralelas ,
incluso cuando las corrientes de fase están equilibra-
das .
Si consideramos que todos los conductores son puestos a
tierra tenemos:
Id = - (la + Ib + Ic)
l™^"""" ; »
T•---«*
O / „-- •> o
D Q c
Zaa
t -Zab,
i Zac
\c
1 ,
?ddV.VAWA
2bd2cd
Referencia L. LONGITUD
G R Á F I C O N=3
-10-
Por tanto la matriz de caída de tensión en la dirección
del flujo de la corriente es:
AVa
AVb
AVc
AVd
2aa Zab Zac Zad
Zba Zbb Zbc Zbd
Zea Zcb Zcc Zcd
Zda Zdb Zdc Zdd
la
Ib
Ic
Id
(1)
Sabemos que la impedancia por fase es la relación dé la
tensión para la corriente vista dentro de la línea en un
terminal, si reducimos las ecuaciones tenemos:
Va'- (Va"- VcT) = (Zaa - 2Zad + Zdd') la +
+ (Zab - Zad - Zbd + Zdd) Ib + (2)
+ (Zac - Zad - Zcd + Zdd) Ic
Por lo tanto escribimos este resultado como:
Va - Zaa la + Zab Ib + Zac Ic, con lo cual definimos a
las nuevas impedancias Zaa, ,Zab, Zac si hacemos !b = Ic=0,
Zaa es la impedancia para línea monofásica con retorno
por tierra.
Zaa = Zaa + Zdd - 2Zad
= (ra + rd) + jwk In _D2adRMGa
Siendo:
rd - Resistencia de tierra. .
ra = Resistencia del conductor a.
Dad = Distancia entre el conductor a y el con-
ductor ficticio de retorno por tierra.
RMGa = iRadio Medio Geométrico del conductor a.,
rd = 1,588.f.10"3 -A./ milla,
D2ad = Dt = 2160 -4=. pies.
P = Resistividad del terreno en
-1-1-
f ~ Frecuencia.
W = 376,991 radsegcuando f = 60 Hz
Si deseamos tener la ecuación con logaritmos multiplica-
mos los factores anteriores para 2,3025 respectivamente
Zaá = (ra + 0,09528) + j 0,2994 logn2„Krlba milla.
Para encontrar los valores de las fases b y c repetimos
las operaciones realizadas con Zaa.
Va
Vb
Ve.
-Zaa Zab Zac
Zba Zbb Zbc
Zea Zcb ~Zcc
la
Ib
Ic
V/u.l
Para un circuito bilateral positivo lineal existe re'ci
procidad entre impedancias mutuas;
Zab = Zba; Zac = Zea; Zbc = Zcb.
Por lo tanto tenemos las- ecuaciones de las impedancias
propias .
Zaa = Zaa - 2Zad + Zdd
Zbb =' Zbb - 2Zbd + Zdd
Zcc = Zcc - 2Zcd + Zdd
(3)
-12-
.•:Rara Cías impedancias mutuas
Zab = Zab - Zad - Zbd + Zd'd -rx/u.l
.Zbc ='Zbc - Zbd - Zcd + Zdd. . ^/u.l
;Zac = '2ac - Zad - 2cd + Zdc ^-/u.l
Si ponemos en .función de .las distancias físicas, las im-
pedancias propias son:
'Zaa = ra + j w k (In25
Zbb = rb + j w k Cln
Zcc = re + j w k (In .1)
Zdd = + j w 'k Cln 25RMGd -1)
Para las impedancias mutuas tenemos:
99Zab _= j -w k (In ~~ 1)
99Zbc-= j w k Cln -| 1)
Z'ca = j w k C In 2SDea -1)
-13-
Impedancias mutuas entre fases y tierra:
Zad = j w k ( Jn ^ad 1)
-1)Zbd = j w k ( JYI
Zcd - j w k ( Jfl —
Dad
_2Dbd
2Dcd -1)
Donde:
Dab = Distancia entre los conductores a-b.
S = longitud del conductor.
Dad = 9Dbd = Dcd = 1/Dt* '
Las ecuaciones 3 y 4 representan las impedancias de un
desbalanceado en forma más general, cómo por lo general
siempre en una L/T se utiliza el mismo conductor en las
tres fases entonces RMGa = RHGb = RHGc (radio medio geo-
métrico del conductor).
TIPO DE CONDUCTOR
ALAMBRE CILINDRICO
Cable de 1 solo material
7 hilos
19 hilos
37 hilos •
61 hilos
91 hilos
127'hilos
" Cable ACSR
30 hilos (2 capas)
26 hilos (2 capas)
54 hilos (3 capas)
1 capa
RMGb
0.779 r
0,726 r
,0,758 r
0,768 r
0,772 r
0,774 i?
0,776 r
0,826 r
0,809 r
0,810 r
0,55 a 0,7. r
También el radio medio geométrico del conductor ficticio
de retorno por tierra, sabemos, que por definición es i-
gual a la unidad, -Por lo tanto:
Zaa = (ra + rd) + jwk In
Zbb = (rb + rd) + jwk Iñ (Dt
Zcc = (re + rd) + jwk In C
RMG
,DtRMG
-«-/u.l
Zab = Rd + jwk
Zea = rd + jwk
Zbc = rd + jwk
-"•/u.l
DtDbc
IMPEDANCIAS DE UNA LINEA CON HACES DE CONDUCTORES.
En este caso, consideramos la línea de transmisión que
se muestra en e'l gráfico #4 5 el cual está constituido de
cuatro conductores aéreos con retorno por tierra, este
caso es similar al anterior, por lo,tanto los Z son
calculados con relaciones similares por simple inspección
la + Ib + Ic + Ix = - Id.-
La matriz de caída de tensión es:
Vaa"
Vbb'
Vcc"
Vxx"
Vdd'
-
=
Zaa Zab Zac Zax Zad
Zba Zbb Zbc Zbx Zbd
Zea Zcb Zcc Zcx Zcd
. Zxa Zxb Zxc Zxx - Zxd
Zda" Zdb Zdc Zdx Zdd
la
Ib
Ic
Ix
Id
-15-
En este caso los elementos de la impedáncia son definí'
dos.
Zpp = rp + jwk (In 2SRMGp -1)
Para p = a,b,c,x.
Zpq = jwk (In- '-!)Dpq
P,q = a,b,c,x5d. p í q
Por lo tanto por un método similar al descrito anterior-
mente obtenemos:
Va
Vb
Ve
VxJ
Zaa Zab Zac Zax
Zea Zbb • Zbc Zbx
Zea Zcb Zcc Zcx
Zxa Zxb Zxc Zxx L
la
Ib
Ic
Ix
Donde los términos de las matrices son definidos en furv
ción de las impedancias.
Zpq = Zpq - Zpd - Zqd + Zdd -Vu.l,
P3q = a>b,c,x,
Si suponemos que .el conductor x es-la misma fase a, las
caídas de tensión serán iguales:
Vxx'= Vaa'
Vx - Va = O
Por lo tanto si relacionamos esta propiedad tenemos:
•-16-
Va
Vb
Ve
0
Zaa Zab Zac Zax
Zba Zbb Zbc Zbx
Zea Zcb Zcc Zcx
(Zxa-Zaa) (Zxb-Zab) (Zxc-Zac) (Zxx-Zax)
la
Ib
Ic
Ix
(5)
como los conductores a y x están en paralelo, forman una
fase, compuesta o "conductor en Haz" como se indica en'el
gráfico.
ía = la + Ix -(6)
Se puede añadir un producto ZIx y substraer quedando las
ecuaciones invariables, este total reemplaza la en (5)
por (6) y reemplazando la cuarta columna de la matriz de
impedancias por la diferencia entre la cuarta columna el
resultado es:-
Va
Vb
Ve
0_
=
— iiZaa Zab Zac i Zax-Zaa[Zba Zbb Zbc '- Zbx-Zba
Zea Zcb .Zcc ¡' Zcx-ZcaF. . _. . _ |
(Zxa-Zax) (Zxb-Zab) (Zxc-Zac) ¡ ZxxI _
Ia+Ix
Ib
Ic
Ixu
(7)
la
la
vbv
x ^,
X
Ib _ b
J-C £
1wwvwwv-
•AMMMMW-
CONDUCTORCOMPUESTO
GRÁFICO // U
LINEA TRIFÁSICA CON CONDUCTOR EN HAZ EN LA FASE a.
-17-
Zxx - Zxx - Zax - Zxa + Zaa
Escribiendo -en forma condensada la ecuación (7) tene-
mos: - '
Vabc
, O
labe
Ix
por ecuación de matrices, método de Krou, obtenemos:
Vabc = (Z - Z3) labe.
Al añadir al conductor x a la fase a incrementa el radio
medio geométrico de la fase; esto da como consecuencia
la reducción de la impedancia de la fase a_, además que
reduce las impedancias propias mutuas de las demás fases
y su reducción está dada por la matriz Ti^L^*- Z^ cada tér
mino de la cual, para este caso simple se puede calcular
por la fórmula.
CZ, CZpx - Zpa) (Zxp - Zaq)(Zxx'- Zax -,Zxa - "ZaaT
p,q = a,b,c.
Esta misma idea puede extenderse a cualquier número de
conductores añadidos que pueden ser paralelos con cual-
quier fase , por lo general en líneas de transmisión , se'
añaden tres conductores a la configuración a ,b , c • con un
conductor añadido por cada fase como se puede ver en el
gráfico -#5 siguiente.
I b
v v, va b e
le
la
Im
Ib
In
Ic
Is
-WWVWV1AWMV-
rn
T' ^
GRÁFICO # 5
Es necesario que antes de considerar lo's conductores en
haz, se considera la matriz de caída de tensión de los
6 conductores.
Va
Vb
Ve
Vm
Vn
.Vs _
Zaa Zab Zac Zara Zan Zas
Zba Zbb Zbc Zbm Zbn Zbs
Zea Zcb Zcc Zcm Zcn Zcs
Zma Zmb Zmc Zmm Zmrt Zms
Zna Znb Znc ' Znin Znn Zns
Zsa Zsb Zsc Zsm Zsn Zss
~la
Ib
Ic
Im
In
- Is
V/u.l
Si consideramos los conductores en Haz , tenemos
Vm - Va ~ 0; Vn - Vb = 0; Vs - Ve = 0.
ía = la + Im; Ib = Ib + In; íc = Ic + Is
Con estas consideraciones podemos calcular la caída de
tensión para los conductores en Haz.
-19-
Va
Vb
Ve
0
0
0
Zaa Zab Zac '¡(Zam-Zaa) (Zan-Zab) ( Zas-Zac)
Zba Zbb Zbc ' (Zbm-Zba) (Zbn-Zbb) ( Zbs-Zbc)
Zea Zcb Zcc ¡(Zcm-Zba) (Zcn-Zcb) (Zcs-Zcc)i
(Zma-Zaa) (Zmb-Zab) (Zmc-Zac) ¡ 2mm Zmn Zms
(Zna-ZbaKZnb-ZbbKZnc-Zbc) ! gnm Znn Zns
(Zsa-ZcaXZsb-Zcb)CZsc-Zcc) I .Zsm Zsn " 2ss
"la"
Ib
Ic
Im
In
(9)
En es-ta ma±riz los elementos de Z pueden ser escritos de
la siguiente forma:
2pq = Zpq - Ziq - Zph + Zih
i,h = a,b 5c.
p,q = m,n,s.
Después de haber realizado todas las operaciones adecúa-^
das a la ecuación (9), aplicamos la ecuación (8) para eri
contrar la nueva matriz impedancia.
Z nueva = Z - Z^Z^ Z
invértiendo la matriz 3 x 3.Z,
de esta manera nos permitirá el cálculo de la matriz im
pedancia a-b-c de una linea con conductores en Haz,
IMPEDANCIAS DE LINEA CON UN CABLE DE GUARDIA,
En este caso nuestra finalidad es concretar un estudio
del efecto que dichos conductores tienen en la impedancia
de la línea, se toma un gráfico, demostrativo donde el
conductor de tierra se denomina r y está conectado sóli-
damente a tierra.
-20-
va Vb Vc
Ia
Ib
Ir
Id
Zaa
Zbb
Zcc
Zrr
Z d d
ob ac
be W
Z Z 2 2ad bd cd rd
V i r
GRÁFICO # 6
La matriz de caída de tensión es la siguiente:
Vaa"
Vbb'
Vcc'
Vrr" ,.
Vdd'
=
Zaa Zab Zac Zar Zad
Zba Zbb Zbc Zbr Zbd
Zea Zcb Zcc Zcr Zcd
Zra Zrb' Zrc • Zrr Zrd
Zda Zdb Zdc Zdr Zdd
la
Ib
Ic
Ir
Id
En el gráfico $6 podemos darnos cuenta que el conductor
r está en paralelo con el conductor d, por lo' tanto la
corriente de retorno dividirla en dos caminos.
De donde: - la + Ib + Ic = - (Id + Ir)
Id =' - (la + Ib + Ic + Ir)
Anulando el término Vdd tenemos la ecuación:
-21-
Va
Vb
Ve
Vr
=
Zaa Zab Zac Zar
Zba Zbb Zbc Zbr
Zea Zcb Zcc Zcr
Zra Zrb . Zrc Zrr _
la
Ib
Ic
Ir _
Sustituyendo tendríamos:
Zpq = Zpq - Zpd - Zdq + Zdd
p,q = a:¡b,c.
desglosando los términos y haciendo la tensión del ca-
ble de guardia que sea igual a cero, Vr = O. Se•puede
reducir a la siguiente forma:
.Vabc = (Z - Z2 labe = Zabc labe (10)
En esta ecuación vemos como la participación de Z es De-
finida en (8) y realizando las operaciones indicadas an-
teriormente tenemos:
'Zaa Zab Zac"
Zea Zcb Zcc_
P frr 2ar Zra ., ;a tuaa Zrr }(
> f7b-, Zbr> Zr>b )(Zrr
f „ Zcr Zrc w[_ Zrr
Zar7h-r>
_Zcr _
7^h ;
7hh '
r
1
Zrr
bíar ZrbZrr
^br ZrbZrr
5cr ZrcZrr
c ~(r7 Zar Zrc ,k ac _ j
Zrr
f^hr Zb:r Zrc )Zrr
fr7_ Zcr -Zrc ,Zrr
Cada uno de los elementos de la matriz reducida es de la
forma:
Zpq = Zpq - Zrr •; p,q (fila, columna) = a,b,c.
-22-
Por lo general se asume que los 3 conductores de fase tie_
nen igual impedancia propia Zaa = Zbb = Zcc.
IMPEDANCIA DE LINEAS CON DOS CABLES DE GUARDIA.
Si tenemos una línea de transmisión simple trifásica con
dos cables de guardia, se analizará de la misma manera
que si se tratara de un solo cable de guardia, conside-
rando que los cables de guardia r y s irán en forma para,
lela con los conductores de fase, además que van conec-
tados sólidamente a tierra en cada terminal de la línea.
Sus ecuaciones matriciales son las siguientes:
AVa
AVb
AVc
Ar
AS
Ad
"
- "n
Zaa Zab Zac Zar Zas Zad
Zba Zbb Zbc Zbr Zbs Zbd
Zea Zcb Zcc Zcr Zcs Zcd
Zra Zrb Zrc Zrr Zrs Zrd
Zsa Zsb Zsc Zsr Zss Zsd
Zda Zdb Zdc Zdr Zds Zdd
~Ian
Ib
Ic
-
Ir
Is
Id
V/u
donde: la + Ib + Ic = - Cid + Ir + Is).
Id = - Cía + Ib + Ic + Ir + Is).
Si sustituímos en la ecuación q además que el Vd
obtenemos :
Va
Vb
Ve
Vr=0
_Vs=0_
Zaa Zab Zac Zar Zas
Zba Zbb Zbc Zbr Zbs
Zea Zcb Zcc Zer Zcs
'Zra Zrb Zrc Zrr Zrs
Zsa -Zsb Zsc Zsr Zss
la
. Ib
Ic
Ir
Is
u.
= o
-23-
donde se tiene:
Zpq = Zpq - Zdp + Zdd; p ,q = a;b ,c ,r ,s.
La matriz llega a ser de un sistema de tercer orden con
las variables suscritas a,b y c, que es la matriz impe-
dancia resultante Zabc.
Zabc =
Zaa Zab Zac
Zba Zbb Zbc
Zea Zcb Zcc
-
Zar1 Zas
Zbr Zbs
Zcr Zcs
Yrr Yrs
Ysr Yss
L
Zra Zrb Zrc
Zsa Zsb Zsc_
Siendo:
Yrr Yrs
Ysr Yss
Zrr Zrs
Zsr -Zss ZrsZss - Zrs
-Zsr Zrr
Llegando a definir:
que Zrs ~ Zrr Zss - Zrs Zss
Además cada elemento de la ecuación puede calcularse a-
s£:
z Zpr Zss Zrq-Zpr Zrs Zsq-Zps'zss zrq+Zps Zrr ZsqP ' . Zrr Zss - Zrs
p,q (fila, columna) = l.b.c
Referencia C 2).
Se considerará un sistema asimétrico, de ahí que como se
dijo anteriormente no se puede definir una impedancia
por fase ya que la caida de tensión en cada conductor de_
pende de las corrientes en los otros conductores.
En este caso acudimos a un método llamado de componentes
simétricas, que nos ayuda al estudio de los sistemas tri_
fásicos desequilibrados.
Este método se basa en la-".sustitución del sistema trifá
sico desequilibrado por tres sistemas trifásicos equili-
brados , que combinados en una forma adecuada son equiva-
lentes al sistema original, o sea que se transforma el
cálculo del sistema trifásico 'desequilibrado por el
calculo de los 3 sistemas trifásicos equilibrados, los
cuales se combinan aplicando' el principio de superposi-
ción. ;
Se usa el operador a corno un numero complej o.
2- -, 240° _ .2a = 1 I ¿^u = a
Si se usa el operador puede escribirse un sistema trifá-
sico senoidal equilibrado, por ejemplo:
-25-
LINEAS DE UN SOLO CIRCUITO.- MÉTODO DE COMPONENTES
SIMÉTRICAS.
a Iq .
. b Ib » .
'e Ic'
2 aa
,2Z b b ab
\• f b c
,2ac
GRÁFICO $ Q
Si consideramos q^ie: Dab - Dbc = Dea.
por lo que se deduce: Zac = Zbc = Zab,
donde la -matriz de caxdas de -tensiones es
Va
Vb
Ve
=
Zaa Zab Zac
Zba • Zbb Zbc
'Zea Zbc Zcc
la
Ib :
Ic1
-26-
Ve Vb
Va = 1 Va
Ve = a Va
Vb = a2 Va
GRÁFICO # 9
Si realizamos el estudio de un sistema trifásico senoi-
dal desequilibrado., se sabe que puede ser sustituido por
la suma de tres sistemas de fasores simétricos, un sis-
tema directo o de secuencia positiva, un sistema inver-
so o de secuencia negativa, y un sistema homopolar o de
secuencia cero que sustituyen las componentes simétricas
del sistema desequilibrado.
Así representamos un sistema de fasores de secuencia po-
sitiva.
Secuencia de fase a,b,c.
V
Utilizando elrador a tenemos
Ibi
lal
2 -Ibi = a lat-
id = a I ai .
GRÁFICO # 10
-28*
Así tenemos:
la
Ib
Ic
la. + Xa + lao
Ib + Ib2 Ibo
Ic + le + Ico
Si aplicamos el operador a podemos escribir estas mis-
mas ecuaciones en forma matriciál.
la
Ib
le
=
1 1 1o
a a 1
a a 1
la.1la
2
- IaO-
La ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como
sigue:
r Ia1
la2
_ I a o .
_ 1
r 211 a a
1 a2 a
1 " .1 1
(
•la
Ib
la.
A =
1 1 1
a a 1
a a 1
A'1"= 1
.3
1 a a29
1 a" a
, 1 1 1
labe
la120
matriz'inversa de A.
la
Ib
íc
la,
la,
la.
Las ecuaciones quedan expresadas en la siguiente forma
-29-
labc A la120
la120 A-1 labe
, de la misma masera tenemos 2 de secuencia positiva,
negativa y cero cuya matriz es la siguiente:
Ea
Eb
Ec
-
Va
Vb
Ve
=Va'
Vb'
Ve"
=
Zaa-n Zab-n Zac-n
Zba-n Zbb-n Zbc-n
Zca-n Zcb-n Zcc-n
la
Ib
Ic _
Expresando las corrientes y las caídas de tensión en fun
ción de sus componentes simétricas:
labe
Vábc
Eabc
Vabc
A
A
A
A
la120
Va120
Ea120
Va120
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores:
A
Pr*<
Ea!20
;multi]f
Din*•
A
.ca-i
r
Vai2o_
ido amlr
}0£1
A
; mir
_Va120.
.embroti
5 d
Zabc-n
e la ecii
A
aci c
_Ial20.
3n por [Hy como A x A AL I nos da una matriz unidad
Ea120-
Va120 =Val'20 _
=: A'1 Zabc-n A _Ial20_
30-
Se define de esta manera la matriz de impedancia de se-
cuencia positiva, negativa y cero.
Va
Va
Va
Z120 = ^ Zabc-n ' A
Va120 = Z120 .Ia120 •
Zll Z12 Z10
= Z21 Z22 Z20
.201 Z 02 Z 00 J .
[ l a i"
Ia2
- Ia0 ,
donde :
Z Impedancia de secuencia positiva.
Z Impedancia de secuencia negativa.
Z n n " Impedancia de secuencia cero.
Z12 ' Z 2Q ' Z10 : son ^mPe!3ancias mutuas entre secuencias .
rr f~f **?
11 12 10
7 7 7¿21 22 ^20
Z01 202 Z 00
13
Zaa~n+Zab-na +Zac-na
Zba-n+Zbb-na2+Zbc-na
2Zca-n+Zcb-na +Zcc-na
¿i r1 a a Zaa-n Zab-n Zac-n. 1 1 1
a a2 a Zba n Zbb-n Zbc n a2 'a 1o
1 1 1 Zea n Z c b n Z c c n- a a l
2Zaa-n* Zab-na+Zac-iia
2Zba-n+zbb-na+Zba-na
22ca-n+Zcb-na+Zcc-na '
Zaa-n+Zab-n+Zac-n
Zba-n+Zbb-n+Zbc-n
Zca-n+Zcb~n+Zcc-n
Si multiplicamos la matris anterior por:
-31-
V1 ' a
~ 3
1
1
1
a2
a
1
2a
a
1
1 2 3 2 9Z.. = —3— (Zaa-n+Zab-na +Zac-na+Zba-na+Zbb-na +Zbc-na +Zca-na +
Zcb-na4+Zcc-na3)
•=— (Zaa-n+Zbb-n+Zcc-n+Zab(a2+a)+Zac-n(a+a2)+Sbc-n(a2+a)
'11(Zaa-n+Zbb-n+Zcc-n) r— (Zab-n+Zac-n+Zbc-n)
1 2 2 3 2- — (Zaa-n+Zab-na+Zac-na +Zba-na+Zbb-na +Zba-na -fZca-na +
CZaa-n+Zbb-na +Zcc-na+2Zab-na+2Zac-na2+Zbc-n)
'1 2 2 2Z. 2 - o C Z,aa-n+Zbb-na +Zcc-na) - (.Zab-na+Zac-na +Zbc-n)
'10
'21
"* O
~— (Zaa - n+Zbb-na+Zcc-na (Zab-na +Zac-na+Zbc-n)
(Zaa-n+Zbbna+Zcc-na) - ' - — (ab-na+Zac-na+Zbc-n)
'22- (Zaa-n+Zbb-n+Zcc-n) -r (Zab-n+Zac-n+Zcb-n)
'20
'01
'Ú2
~— (Zaa-n+Zbb-na +Zcc-na)
•^- (Zaa-n+Zbb-na +Zcc-na) -
~~(Zab-na+Zac-na +Zbc-n)
(Zaa-n+Zbb-na+Zcc-na )
(Zab-na+Zac-na +Zbc-n)
(Zab-na +Zac-na+Zbc-n)
De esta manera logramos obtener las impedancias mútnas y
propias entre secuencias: positivas, negativas y cero,
-Vm- - -32-
Zeq = -_ CZAA + ZAB)
Para desarrollar el cálculo de las resistencias de se-
cuencia cero y la reactancia inductiva de. las líneas de
transmisión se deben considerar simultáneamente , porque
son cantidades relacionadas..
LINEAS DE TRANSMISIÓN PARALELAR O DE DOBLE CIRCUITO.
cEl acoplamiento mutuo entre dos líneas de transmisión
trifásicas en la misma torre o en torres adyacentes en
la misma dirección ; deben ser considerados durante los
cálculos de fallas y en algunos casos' en el diseñ'o del
sistema del relay protectivo .
Los fundamentos de la inducción electromagnética han si-
do indicados en textos por muchos afros , sin embarco mu- .
chos ingenieros encuentran el asunto un poco 'misterioso "
particularmente desde el punto de. vista prácti co .
En este caso se va -estudiar la inducción de secuencia PO_
si ti va , negativa y cero que pueda existir entre dos cír-'
cuitos. Es de particular interés la inducción de • secuen
cia negativa , ya que los relés" direccionales de secuencia-
negativa, son instrumentos valiosos para evitar los pro-
blemas de inducción mutua del relé a tierra.
FUNDAMENTOS DE INDUCCIÓN MUTUA.' DE SECUENCIA NEGATIVA Y
POSITIVA.
•La inducción electromagnética entre circuitos paralelos
existe por el flujo establecido por la corriente en una
línea, corta los conductores de la línea paralela o adya_
cente.- Considérese dos líneas paralelas trifásicas-, va
-33-
sea en la misma torre o en torres adyacentes, únicamente
con" corrientes de secuencia positiva, negativa qvie circu
lan.
El flujo neto disponible de la corriente de secuencia po_
sativa, negativa ya sea en un circuito para cortar a.l
circuito adyacente, será minimizado poroue las corrí en-
tes son iguales en magnitud y simétricamente espaciado
1209
Las corrientes de secuencia cero en los sisteman tri fasi
eos están en faseD e iguales en magnitud, están ^luyen a
través de los conductores de fase; re'tornando por* t.i erra
o por otro canino que es el cable dfi guardia (protector)
que van paralelamente a los de fase, por 1 o que es recesa
rio usar un método que tome en cuenta la resistividad de
la tierra., ya que tanto la resistencia de secuencia cero-
como la reactancia inductiva en los circuitos tribásicos
son afectados por estos dos factores, de ahí our; "n su
desarrollo se considera conjuntamente.
a©
c®—
GRÁFICO " 1'!
Configuración de 2 L/T trifásicas paralelas
-«c1
GRÁFICO * 15
Configuración de 2 L/T trifásicas en una misma torre.
Realmente no habría ninguna tensión inducida en el cir-
cuito paralelo de las corrientes de secuencia positiva,
negativa si es que fuera físicamente posible espaciar ca_
da uno de los tres conductores de la línea.
En otras palabras si a 5b 3 c son los conductores do una lí_
nea y a , b -, c los conductores de la otra línea.. entonv.
ees el espaciamiento d_ entre los dos circuitos sería tal
que daa ~ dab - dac = dba = dbb - dbc = dea = dab = dcc,
con esta condición las tensiones inducidas de secuencia
positiva, negativa son cero, un estudio de este requisi-
to demostrará que es físicamente imponible, hacer arre-
glos capas que los conductores reúnan 3 os requisitos.
La aproximación más cercana sería hacer que cada circuito
exista com.o un doble triaxial así, con separaci ones prác_
ticas de los conductores y circuitos, habrá tensiones
inducidas de .secuencia positiva, negativa relaciona-
-35-
. das con el grado deasimetría entre los circuitos . Prác-,
ticamente la inducción de secuencia positiva , negativa
entre los circuitos es muy pequeña y las impcdancias mu-
tuas son menores del 10% de la impedancia propia de la 1
línea. Usualmente ellas no exeden del 3 a 7%.
Estos valores son para líneas no transpuestas , las trans_
posiciones pueden reducir los valores $or el 50% o más .
FUNDAMENTAS DE LA INDUCCIÓN MUTUA DE SECUENCIA 0.
La corriente de secuencia O es i^ual y de la misma fase
en cada uno de los tres conductores y retorna a través
de la tierra o de los cables a tierra., esto significa núe
los tres conductores de cada circuito pueden ser reemola
zados por un solo conductor equivalente . Con el retorno
matemáticamente promediando 2800 pies desde los conducto_.fe'7¿l
res para 100 "V-ft ¿e resistividad de la tierra, puede s-er. . .
visto que el circuito paralelo esta en el canpo magnéti-
co y es cortado por el flujo establecido por la corrien-
te que fluye °.r\ a línea , F.n consecuencia la Impedancia
'mutua (Zom )t entre líneas paralelas puede ser tan alto
como el 50 a 70% de la impedancia propia de la línea.
Los métodos de calcular esta impedancia propia y mutua
de secuencia cero, se demuestra para circuitos transpues
tos con o sin cables a tierra .
Los cálculos de secuencia cero se basan en numerosas teo
rías que incluyen a las líneas transpuestas y es notable
lo tan cercano que las corrientes de falla calculados
concuerdan con los valores aún con líneas no transpues-
fas . . -
FORMULAS GENERALES PARA INDUCCIÓN MUTUA..
-36-
Las fórmulas generales para determinar las tensiones in-
ducidas de secuencia positiva, negativa en los dos cir-
cuitos paralelos se pondrán a continuación. Cuando las
líneas no están transpuestas, la tensión inducida de
cualquier secuencia dada es una función de las tres co-
rrientes de secuencia como se.podrá ver en las ecuaciones
18, 33 y 52. Al transponer los "dos circuitos reduce la
inducción y resulta que la tensión.inducida de cualquier
secuencia dada es una función de la' corriente de secuen-
cia correspondiente.
Esto se indica en las ecuaciones 25,37 y 55. Así las ex
presiones para impedancia mutua, se pueden obtener tal .?.
como se da en las ecuaciones 26,38 y 57. La ecuación 57
es de una derivación similar a lo que el RMH o DMR con-
ceptúa en las componentes simétricas.
Comparando las expresiones de 31a ten'sión inducida, los . •
casos transpuestos son idénticos con los casos no trans-
puestos.' Cuando las corrientes de las otras secuencias
son cero. Así la ecuación 18 reduce a la ecuación 2 5
con !]_ = 12 ~ O í 1a- ecuación 33 reduce a la ecuación 37
cuando 12 - IQ ~ O y la ecuación 52 reduce a la ecuación
57 cuando I-i - 12 ~ O •
a,b,c a'.b'.c'
. aeoo
-37-
Las tensiones inducidas resultan -de las tres corrientes
espaciadas eléctricamente 120° y su proximidad relativa
física a los otros tres conductores en los circuitos a-
dyacentes .
Al examinar las ecuaciones generales ÍS.,33 y 53 se obser_ •
va que todas las distancias en el término real están im-
plicadas en el denominador de raíz cuadrada del término
imaginario.
Para las ecuaciones 18 y 33 de la tensión 'de secuencia
positiva y negativa, ell'térniino real de la componente i TI
ducida Ij_ de V¿ es igual pero de signo opuesto al térmi_
no real de la componente inducida I 9 de V¿ .
Correspondientemente el término real para 'V>¿ es igual Pír.
ro de signo opuesto al término real de 1^ para V-£ , el
término 'imaginario lo para V-f Y correspondientemente , el¿ 4 "
término imaginario J.% para V£ es ipual al termino imagi-
nario lj_ para y^ . Las componentes de secuencia cero de
las dos tensiones v-f y Vo son iguales excepto por el
signo opuesto de la componente real.
Al examinar la ecuación 52 se observa que las componentes- .1^ y 12 son iguales excepto que las funciones reales tie_
nen signos opuestos , El factor de corriente de secuen-
cia cero es la formula de la componente simétrica para
la impedancia mutua como ya se explico anteriormente .
DEDUCCIÓN DE LAS FORMULAS GENERALES.
TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA NEGATIVA PARA 2 L/T NO
TRANSPUESTAS.
Los conductores de una línea son a,b,c'y de la otra li-
j'nea a1 , bv , c' .
bo-
cO-
•Oc*
Ob
-Oc1
la distancia entre.los conductores está indicado por
daa\\1, etc; las impedancias por Zaa1 , Zac' , etc.
La tensión inducida en el conductor a* 'resulta de las co_
rrientes que fluyen en los conductores, a,b y c:
' = laZaa1 + -IbZ.ba1 + IcZ.ca1 (1)
correspondientemente la tensión inducida mutua en el coh
' ductor b1 y cl ' resulta de la corriente que fluye en los
: conductores a,b,y c.
Vb* = laZab' + IbZbb1 + IcZcb1 (2)
Ve' = laZac1 + IbZbc'.+ Ic7,cc' (3)
-39-
La tensión Inducida de secuencia negativa en los conduc-
tores a, bx y c por las corrientes la, Ib, Ic en los
conductores a,b,c es :
V^N = -4— (Va + a Vbv + aVc 3
-=— Ia(Zaa+a Ib(Zbá+a2 Zntí+aZbc) + Ic(7.ca+
a Zctí+aZcc)
Por componentes simétricas :
la =' Iai+
Ib =
Ic =
- lao
alaa+ lao
a0
(5)
C 6 )'
(7)
reemplazando la ecuación 5,6 y 7 en la ecuación ;i y redu_
ciendo nos da: •
[(Zaa+a2 Zatí+a7.ac')+ a2 CZba'+aa_Zbtí+aZbc)
a Zcb'+aZcc1)
a CZaa+a2
fC7,aa+aL
(7,ba+a 7.abl+aZac')
7cb' +aZcc)
7.bbl-t-a7bc)
CZca+a2 Zctí
Según Carson^s la impedancia mutua entre 2 conductores
paralelos con retorno_ por tierra es :
. -40- "
rioZaa1 = 0 . 0 9 5 4 + j 0 , 2 7 9 4 log —~ -0-/mi lia (9 )
daa'
F)PZab1 = 0 , 0 9 5 4 + j 0 , 2 7 9 4 . log ^b. -Vmilla • (10)
Zac1 = 0 , 0 9 5 4 + j 0 , 2 7 9 4 log ^ -V milla (11)
j Desglosando:
Zaa' = - 0 , 0 9 5 4 + j 0 , 2 7 9 4 log De~j 0 , 2 7 9 4 log daa' (12)
•IZab1 = 0 , 0 9 5 4 + j 0 , 2 7 9 4 a2 log De-j 0 , 2 7 9 4 a2 log dab1 (13)
:aZac' = 0 , 0 9 5 4 + j 0 , 2 7 9 4 a. log De-j 0 , 2 7 9 M a log dac1 (14)
: Sumando:
Zaa+a¿ Zab*+a7,ad=-j 0 , 2 7 9 4 (log rtaá+aa Ipp; datí+a log dacv) (15)
correspondientemente:
,Zbav+a2 7Jbbv+aZbc=-jo" ;2794(lor .dbá+aa log dbbl+a log clbc1) (1«)
Zcá+a£ ZcK+aZcc=- jO ; 2 7 9 4 ( l o g dca+az íog dcb'+a lop -ícc1) (1.7)
Por lo tanto: ' ^ "
Va = O.03&1 Iiío.866 % _ ,- OQ aa c cO I/ cíab'dac1 dba'o
0.0331 J¿[o.8¿4 Poo'.cJac'cJba'dcb'. _ ; |oo daa'dbb'dcc0 ' ' ' ^ 5 ' 'dab'dbc'dca1
jop Jac'dbc'dcc' _ f /Op ¿Jaa! j ba'cJca'
'dab'dac'dbb'dbc'dcb' .
(18)
TENSION INDUCIDA DE SECUENCIA NEGATIVA 'DE 2 L/T PARALE-
LAS TRANSPUESTAS.
eb'
c» oa
ab1
ea
oc'
©a1
oc'
Ira. Sección. 2da. Sección. 3ra. Sección.
Va = - - (laZaa1 + IbZba1 +3
Ic7,ati)+~— ClaZ.cc^ + IbZac1 + IcZbcO
ClaZbbv + IbZcb1 +
(19)
V = (IaZabx
IcZac)+ -—ClaZca1 + IbZaav + ' IcZbav)
Ve' = -- (laZac1 + IbZbc1 +
IcZaá)+
ClaZba' + IbZca1
IbZab1 + Ic7,bbv) (23)
-42-
La tensión inducida de secuencia negativa en los conduc-
tores a' 3 bx , c1 de las corrientes la, Ib, Ic en los con_
ductores. a3b,c es:
Va =-~-(Vá + a2 Vb* + aVc1) (22)
-|laC7Jaa+Zb>í+Zccí)+Ib(7ba+Z,cbl+Zacl)+IcCZcá+Zab'+7,bc1)]
Ia(Zab'-t-ZbG+Zcav)-i-a
Zbá)]
Sustituyendo la ecuación 5.6 y 7 en la- ecuación 2 2
Si realizamos : l+a+a2 = O
I2
( 2 3 )
(Zaa'+a2 Zatí+aZac')+ . aC zba'
(24)
ISustituyendo la ecuación 15 , 16 y 17 en la ecuacii'combinando y reduciendo nos da :
ón 24
V¿ o.tf<W lz\O.B6C> fon doc'dba'dcb' _ :3 L ° dab'dbc'dc^ d
Vz' ji/nifí/a
¿CLO! dbb1 ice1
dcb'
TE ( 2 6
: •-
TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA POSITIVA DE 2 L/T PARALE-'
LAS NO TRANSPUESTAS.
La tensión inducida de secuencia positiva en los conduc-
tores a1 , b1 y c1 por la corrientes la, Ib, Ic en los
conductores a-,b ,c es : '.
Vi =1 Vav + aVb1 + a2 Ve (27)
Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 3 en la ecuación 27
nos da:
Vi =1 Ia(Zaa+aZa)J+aaZacv) + IbCZba+aZbb'+a2 Zbc)
' ( 2 3 )IcCZca+aZcb'+aV.cc) .]
¡reemplazando las ecuaciones 5 ,6 y 7 en la ecuación 28 y
[reduciendo nos da : "
•.Vi =-4— I JCZaa-i-aZatí+a2 Zac)+a2 C Zba+aZbb'+a^ Zhc)+a(Zca+a7 J c r ii o i-
Zcc) — I 7-ac)+a( 7.baVa
lo [ C7aa+a7.ab'+
za Z a c ) + (Zba+aZbtí'+a2 7bc) + ( Zea1 +aZcbl+ a Zc.c
(29)
Aplicando las fórmulas de Car.son^s de manera similar a
\a mostrada en la ecuación 9, a'través de'la 17 así:
( Z a a ' + a Z a b > + a 2 Z a c ) - - j O , 2 7 9 4 ( l o P daa'+a cl) ( 3 0 )
fíi dba!+a
(Zca1+aZcti+azZcc1)-- jO,2791(log dcá+a logdcbl+a2
1) "(31)
(320
!Si reemplazamos las ecuaciones 30, 31 y 32 en 29 y reali
zando las operaciones adecuadas y además reemplazando
los valores de:
= - 0 , 5 + j 0 , 8 6 0 y a =- 0 3 5 - j 0 ; 866 '
;nos da:
0.0931 T i o.fl^ ¡o . M'¿í>c' Jca- •' d c b 1 <J
Jaa--cJU'Jcc'dea1 dcb'
Iz [0.866 jvq ¿Qk'Jba'cJcc- _dac'dbb'dca. ' (
¿ac¿ ¿be' dcb 1
-^dab'dac1 ¿ba'dbb' dea' d ce'
/a
dac'dbc'dcd • • Q ¿ -^/dab'dac'd bb'dbc1 dcb'dcc*.
' ( 3 3 ) .
45-
TENSIÓN THDUCIDA DE SECUENCIA 'POSITIVA DE 2 L/T PARALE-
LAS TRANSPUESTAS.
Asumimos que las líneas están transpuestas como en el ca
so anterior que se realizo para calcular la tensión indu• ~cida de secuencia negativa. La tensa.cn inducida de se-
cuencia positiva en -los conductores s;b,c resultan de las
corrientes la, Ib , Ic es : •
VÍ= -4- C V a ' + aVb' + a2 Ve1) ( 3 4 )
VÍ = - — [laCZaa* + Zbb1 + Zcc1) + IbCZba' Zcb1 + Zac')'* Ic
(Zcal+ Zab1 + Zbc') ] + -|- [ alaCZab' + 7.hcl + • ¿ca*)'
•+ albCZbb1 + -Z-cc1 + Zaa*)+ alcCZcb1 + Zac1 + Zba1).] +
~- [a2Ia(Zac(+ Zbav + - Zcb') a2 Ib (Zbc1 + Zea1 +•J L ' • • .
)+ a a I c (Zcc 1 + Zaa1 + Zbb1) | ( 3 5 )
reemplazando las ecuaciones 5 . 6 y 7 en 35 y realizando
las operaciones adecuadas 5 combinando y reduciendo la
corriente de secuencia negativa y cero por: 1+a +a2 = O
Vi = -4" Ii í(Zaa1 + Zbb1 + Zcc')+ a(ZaV + Zbc1 + Zca') +d L
a 2 (Zac '+ Zba1 + Zctí) ] ( 3 6 ) '
Aplicando las fórmulas de Carson^s de la misma manera co_
•mo se indico anteriormente con. las ecuaciones 9, 10 y 11
así: ' • •
-M-6-
'Vi - o. 0331 Ii o.gfcÉ, /OPL ¿
v.*- VI1 n I ~*¡l
ice'
I¿
dac'd ba'dcb' J ^ 1/dafa' dac' dba'dbc' dca'dcb'
( 3 8 )
(37)
Nótese que la ecuación 37 es la misma ecuación 33 solo
con el término de la corriente de secuencia positiva.•
TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA NEGATIVA PARA_2 L/T CON
CABLES DE GUARDIA NO TRANSPUESTAS.
Considérese que los circuitos generalmente están espa-
ciados entre los conductores cierta distancia nue~ se cp_
nocen como daav 5 dab1 , dax , etc, estas distancias va-
rían de acuerdo a su .configuración.
X
o c'
eb<
«a:
La tensión mutua en los conductores a1, ., tí y c1 respec-_
tivamente resultan de la corriente que fluyen en cada- u
na de las fases en los conductores a,b y c y retornando
por los cables.de guardia y tierra, asi tenemos:
Va = laZaa1 + IbZba' + IcZca' - IxZxav
•Vb =
Ve =
* + IbZbb* + -IcZctí - IxZxbv
+ IbZbc1 + IcZcc1 -'IxZxc1
( 3 9 )
( 4 0 )
(41)
-47-
La tensión inducida de secuencia negativa en los conduc_
tores "a*""', 1? y c* debido a las corrientes la. Ib 5 Ic
que circulan por los conductores a,b ,c con retorno por
el cable de guardia (-Ix) tenemos la siguiente ecuación
V = (Va + aEVbv + aVc1)
[laíZaa'+a2 Zab'-i-a7,acl) + Ib(Zba+a2 Zbbl+a%bc)+ Ic(7,ca'+
')- lx(2xk+a2 Zxbv+a7.xc1)] (42)
los tres primeros términos de la 42 son las mismas como
la ecuación 4 que se reduce a la ecuación 1 8 el último
término es debido a la corriente Ix. Aplicando Car son "*s
similar a las formulas de la ecuación 9-11 tenemos:
>g dxa+a2log
Sustituyendo a=-0 ,5 + jO , 866 y a£=-0,S-jü,866
en la ecuación 43 nos da:
^ dxc)
(43)
log dxtí-0.,5 los
/
dxb-j058fi6
oí^ dxc)
I re'
(44)
En la ecuación 42 reducimos aplicando la ecuación 18 y
sustituyendo la ecuación 44 obtenemos lo siguiente:
Vi ^ 0.0951 Ii [0.866 ioo cJac'dbb-dcg' • L, Jaa1 Jbc-cic^- | ^L ¿ dab'dba'dcc- Q 'd i / dab 'dac 'dba 'dbbdca-dcc ' '
L J dab'dbc'dca: d Ol/Jab'dac 'dba 'db dca'dcf:
To [0.866 loo doc^bc'Jcc1 r jL daa- j ba' dcc' j
(¡45)
TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA CERO' PARA 2 L/T PARALELAS
NO TRANSPUESTAS.
La- tensión inducida de secuencia cero en los conducto-
res a" , y 3 c' por las. corrientes la, Ib, Ic en .los con
ductores a, b y c es:
Vo = -4— (Va + Vbx + Vd)
Sustituyendo la ecuación. 1, 2 y 3 3 nos da
aCgaa + 7-abv + Zac)+ Ib
Ic(7,cá + Zcb1 + Zctf) ( 4 6 )
reempD.azando la.s ecuaciones 5 , 6 y 7 en la ecuación li 6
y reduciendo resultados tenemos :
-49-
A 1
'Vo=-£
I-i (7,aá + Zab+7,ac^^aC7bá+71bh1-"::c')+a£ (7cal-f-7.cb1+7cc1)
Sustituyendo la formula de Carson
niútua como dan en las ecuaciones
ciendo en la ecuación H75.tenemos
CM7)
para la impedancia
In 5 -115 etc., y redu-
V0 = -~ I¿ [-JO. 2794 daa'- dab1 cac'- 0.9791:-
dbb1 dbc' dea dcb1 rtcc'-O . 8 f i 6 ( 0 . 2~
1
0. 866Cn. 2704)lop; dea1 dcb1 dcc'J
daa1 dabv dac+j0'2^9'' lo^- dba1 r:'-
tf dha! r3br/ dbc1 +
*1
- I2 [- j ^ . 27 n Oer
'-1 cbc1 dea/ dcb1 4cc' •!•
0 . 8 6 6 ( 0 . 2794) log aba' dbb1 dbc' - n ' . 8 G P - - x (O . 2 7 ^ 4
dea' dcb dcc' 1 + -=— lo [ 9 x 0.??54 lo^ De - -iJ J L • . "
x los daa1 dab1. dac'dba' dbb' dbc' cea'
(48)
En una más reducida tenemos:
-50-
Yo - 0.033Í li | 0.866 Joo jca'cJcL'cJcc- _L S Jk^kUvJUr"
daa'daD1 dac'
dba1 dbb'dbe1 dea' dcb' dcc1
0.093lla 0.666 g ' c ' _ / o oL ¿ dca'dcb'dcc' // ¿ )' dcc'
T r.lo ¿>.2862 -i- f 0.856a
L Oo
lid. ( 4 9 )
TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA .CEPO PARA'2'L/T PARALELAS
TRANSPUESTAS.
Asumiendo que las líneas son transpuestas corno en .el ca
so anterior para la tensión inducida de secuencia nega-
tiva, las tensiones inducidas en los conductores a' . b' 5
cj resultan de las corrientes que fluyen en los conduc-
tores a, b 3 c, son dadas en las ecuaciones 19, 20 y 21
respectivamente.
La tensión inducida de secuencia cero en los conducto-
res a1 , bv , c1 resultan de las corrientes la, Ib, Ic,
así: r
VO-- (Va + Vtí + Ve)
[la(Zaa-i-Zbb1+7Icc1)+Ib(7,ba+Zcl3-i-Zac1)+IcCZca+7,ab1+7Jbcl)j +
flaCZac'+Zba+Zcb^-i-IbíZbc+Zca'+ZabO+IcCZaa+Zbb'+Zcc1)!L -J
Vdt/milla (50 )
-51-
reemplazando la ecuación 5, 6 y 7 en .la ecuación 50 y •
combinando y reduciendo las corrientes de secuencia po
sitiva y negativa, con los factores 3 + a + a = 0 .
Vo=-|- Io[Zaa+Zbb'-í-Zccl+Zabl+Zbcl+Zca'+Zacl+71ba+7Jcbll (51)3 L -j J
Aplicando las formulas de Garson's en la misma como se'
realizo con la ecuación 9 3 10 y 11 la expresión .de la
impedancia en la ecuación 51.
O.Z791!- J°9 -De - i. O.27S4 Joo ¿a. a' 4- 0.( • ; O.Z79fí- Jon _ue - fO 5 d
O.Z194- 10o De- j 0.2754 Jcp c/tt' -f 0.0^54 +¿ (7
-Oe- / 0.2^4 /oo Jcc'í C S 2 )
Jo
expresando en una forma más' exolícita tenemos:
.5. 0,os54 -f O.3
39 j^e - ^.¿r^v- /op¿J 3 J
ac
. ( 5 3 )
0.8382daa1 dab'ciac' d í?a' dbb'^oc1 c/ca' Jcb'c/cx'
todas las ecuaciones son derivadas similarmente con el
concepto de RMG o DMG en componentes simétricas.
Las fórmulas de los distintos subtemas dan las tensio-
nes inducidas en los conductores a , b' , c1 , que resul-
-52-
tan de las corrientes que fluyen en los conductores a;
b 3 c, pueden también calcularse las tensiones inducidas
en el grupo de conductores a, b, c que resultan de las
corrientes que fluyen en a' , b1 , c1 s intercambiando las
marcas del conductor a por a' , b por bi y c por c'. .
Estas fórmulas serán aplicables al ejemplo práctico de
esta tesis que es la L/T Paute-Guayaquil, la misma que
es de doble circuito a 230 Kv. (Referencia 7).
Por análisis consideramos un circuito de una sola fase,
que tiene un solo conductor a_ con retorno por tierra-,
como se puede fijar en el gráfico # 16 , juntamente tene-
mos otro conductor b_ con el fin de ver los efectos mu-
tuos por la corriente que fluye por el conductor de una
sola fase.
Ea
dab
GRÁFICO // 16
-53-
Este problema fue analizado por Ruderg, 'Mayr , Pallazck
en Europa y por Carson y Compbell en EE.UU, siendo el
método más consistente el de Carson, quien como Pallazck
consideraron que la corriente retorna a travez de la
tierra, por lo que se anuncia que tiene una resistivi-
dad uniforme , siendo de una extensión infinita.
La solución de este problema está en dos partes :
1.- La determinación de la impedancia propia Zg del '
conductor a_.
2 . - La impedancia mutua Zgm entre los dos conductores
a-b.
Como resultado de las fórmulas de Carson, usando altu-
ras promedios de los conductores que están sobre el sue
lo se puede escribir las siguientes ecuaciones :
Zg=re+0.00159f+j0.004657f Iog,n2160 * S,1 -n./milla/f ase
Zgm=0.00159f+Q.D046S7f log1Q - ^/milla/fase
donde:
re = Resistencia del conductor a.
f = Frecuencia.
= Resistividad de la tierra -°-/ mi lia.
RMG = Radio medio geométrico del conductor a,
dab ~ Distancia entre los dos conductores a-b.
Se considera que la corriente- que.retorna por tierra,
va a travez de un conductor ficticio, a una distancia
bajo el conductor de salida, se representa como De. Si
consideramos como una sola fase el circuito de dos fa-
ses, la reactancia autoinductiva es:
i 0.279^ £vr- los:. „ 12
-54-
Deo; j 0.004657 f Iog10 —Q
Así obtenemos la ecuación completa de Carson
De = 2160 I/ ?/f
Esta define a De , la profundidad equivalente del con-
ductor imaginario de retorno que está en función de la
resistividad y de la frecuencia; además una revisión de
las ecuaciones de Carson, muestran también que las impe_
dancias propias y mutuas tienen componentes de resistero
cia en función de la frecuencia,
Zg=re+0.OOl59f+jO.004657Í log DeRMG /milla/f
DeZmg = 0.001 + 0.004657 log -~~ -«-/milla/f
Estas ecuaciones pueden ser aplicables a circuitos' de,
conductores múltiples si: re, RMG y_dab, se refieren a
los conductores como un solo grupo, por lo que las impe_
dancias propias y mutuas de secuencia-cero/fase 3 son
tres veces los valores dados para circuitos trifásicos
en las ecuaciones simplificadas de Carson, por tanto:
Zo = 3re+0.00477f+jO.0139f log
Zo(m) = 0.00477f=j0.0139f lo
De .RMG
De10 dab
-0-/fase/milla
-^/rase/milla
donde:
f = frecuencia.
re - resistencia de un conductor equivalente a
los 3 conductores.
RMG = para el grupo de conductores (3).
dab = distancia desde el "conductor equivalente has
ta un conductor paralelo, si considerarnos
-55- . '
impedancias mutuas .
ÍMPEDANCIA PROPIA DE SECUENCIA-CERO DE DOS CABLES DE
GUARDIA.
DeZo - 3rc + O.OOH77f + JO. 01397 f Iog 0
rc ~ a resistencia de un solo conductor equivalente
a los 2.
o 2RMG = V (RMG) cond, dx y.
dxy = distancia entre conductores de guardia.
Zd=3^ +Q.OOH77f+j0.01397f l o g ' - n -^/fase/milla
PARA N CABLE DE GUARDIA.
DeZo = 3rc + 0.00477Í + J0.01397Í loj
Re =
RMG
raN
RMG = V CGMR)2 cond. (d(g,> g ) d g g dg gnJ_ £, _ L o -L
El caso más común es aquel en que los conductores de
un circuito trifásico, estén en^paralelo cuando se con
sideran las corrientes de secuencia-cero, si los 3 ccm
ductores son generalmente transpuestos, para .deducir
la impedancia propia de secuencia-cero, es necesario
tomar en cuenta "las transposiciones._
la/3a •—— •
Ib/3
lc/3c« . - — ^
-56-
donde tenemos: Para a_
Zaa Zab + Zac
Para b
Zab ^ Zbb , Zbc4- +
Para c
Zac Zbc Zcc
El promedio será:
~- (Zaa + Zbb + Zcc + 2Zbc + 2Zac).
Por lo tanto:
19
3rc + 9(0.0159f) + j 0.004657f (3 log
D e - o - i De , 0 - 1 De, , - + 2 log, _ -—rr + 2 log —5dab 610 dbc ' 6 dac
De10 RMG
- +O.00l59f+J0.00465f1U V (RMG)3dab2xdbc2xdac2
Como podemos darnos cuenta, existe una infinidad de'e-
cuaciones que van de acuerdo a la configuración de los •
circuitos de las líneas de transmisión, a ésto podemos
agregar un método práctico, para llegar a obtener las
impedancias propias y mutuas de las líneas de transmi-
sión tomando en cuenta a -los cables de protección.
Todas aquellas ecuaciones pueden ser' posteriormente sim
plificadas para hacer uso de cantidades ya familiares,
así, ra, Xa, Xd ya conocidas, pero re y Xe que resultan
del uso de la tierra como una vía o trayectoria de retor
no , para las corrientes de secuencia-cero , las mismas
que son deducidas de las ecuaciones de Carson . Así :
re = 0.00477 v fase/milla J_J c
Xe = 0.006985Í log Q 4.665510° ^-/fase/milla
También hay 'cuadros para encontrar estos valores de r y
Xe en función de la resistividad, para frecuencias de 25
50 y 60 cps. que se puede verificar en los cuadro 1-2
(referencia 1.2).
En este caso presentamos un circuito simple asimétrico
con posición horizontal de los conductores , como muestra
el gráfico # 17.
GRÁFICO # 17
En esta configuración demostramos también el desequili-
brio electromagnético que se .produce, debido a la asime-
tría, y cuando tiene dos cables de guardia, que ocuparán
diferentes posiciones de tal manera que el ángulo protec
tor llegue hasta 30?
Por esta razón trazamos un gráfico, donde podemos repre-
sentar la ubicación de los1 conductores y sus dimensiones.
GRÁFICO #18
S es una importante.dimensión que crece en tensiones más
altas. Para realizar el estudio de las diferentes posi-
ciones de los cables de guardia nos Avalemos de unas cur-
vas prácticas donde G y W son las distancias entre las
fases y los cables de guardia y entre cables de guardia
respectivamente, que están en función • de S que están en
pies .
Si W se aproxima a cero, los factores de desequilibrio
se comparan con el caso - de un solo cable de guardia, lo-
calizado encima de la configuración horizontal que toman
los cables de fase. Las ecuaciones que se pueden obte-
ner son las generales de tensiones, que están en función
de las variables geométricas dadas en el gráfico #18.
FACTOR'DE DESBALANCE n\2
DE LOS CONDUCTORES PARA
S = 10 PIES Y RMGa=0.02 PIES
FACTOR DE DESBALANCE mj
DE LOS'CONDUCTORES PARA
S = 1 8 P 1 E S Y RMGS =0.02 P[ES
6.0
3.0 ,G
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2. 1.4 1.6 l.S 2,0
w/s
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 l.B 2.03.0
FACTOR DE DESBALANCE m2
DE LOS CONDUCTORES PARA.
S=26 PIES Y RMGa=O.03 PIES
0,4 0.6 O.B 1.0 1.2 1.4 1.6 1.& 2.0
FACTOR DE DESBALANCE m
DE LOS CONDUCTORES PARA
S = 10 PIES Y RM6a=0-04 PIES
FACTOR DE DESBALANCE m2
DE LOS CONDUCTORES PARA
S^iB PIES Y RMGa=0.04 PIES
FACTOR DE DESBALANCE m2
DE LOS CON DUCTORES PARA
Sr26 PIES Y RMG = 0.05PIES
0-4 0.6 0.8 10 1.2 1.4 1.6 1.6 2.0
0.4 O.G O.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.% 2.0
0.4 O.G O.S 1.0 1.2 1.4 1.6 l.S 2.0
FA
CT
OR
D
E
DE
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CG m
0
DE
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2 1.
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0W
/S0.
4 O
.G
0,S
1.
0 1.
2 1.1
16
16
20
W/S
-59-
donde:
S = Espaciamiento entre cables de fase/
G ~ Distancia de los cables de guardia sobre los
de fase.
W = Espaciamiento entre los cables de guardia.
RMGw = RMG de los cables de tierra (pies).
RMGa = RMG de los cables de fase (pies).
Dbw = Dcx = V G2 + (s - ~-)2
Dcw = Dbx =~\ G2 + (s + ~-)2
Dwx = W
Dba = Dac = S
Daw = Dax = \2 +
Dbc =• 2S '
De esta forma hallamos los factores de desequilibrio en
términos de las variables originales.
Factor de desequilibrio de secuencia negativa,y cero.
Ta 7 —7J-d.. — ¿Jry - ¿J.
-v>iMÍ
-60-
Las impedancias de la secuencia son iguales .
Z = -~ (Zaa+Zbb+Zcc) - -- (Zab+Zac+Zbc) .
ZAA- = -4— (Zaa+Zbb+Zcc) + -|— (Zab+Zac+Zbc).UU o o
~ (Zaa+aZbb+a2Zcc) + -~— (a2Zab+aZac+Zbc)
(Zaa+a2Zbb+aZcc) -- - (aZab+a2Zac+Zbc)
De esta manera las ecuaciones generales para una L/T con
dos cables de guardia han sido establecidas como:
Va = la Zaa + Ib Zab + Ic Zac + Iw Zaw + Ix Zax. •
Vb = la Zab + Ib Zaa + Ic Zbc + Iw Zbw + Ix Zbx.
Ve = la Zac + Ib Zbc + Ic Zaa + Iw Zcw + Ix Zcx..
O = la Zaw + Ib Zbw + Ic Zcw + Iw Zww + Ix Zwx.
O = la Zax + Ib Zbx + Ic Zcx + Iw Zxw + Ix Zxx.
Ix e Iw pueden ser eliminados, expresando de esta manera
en términos de la, Ib e Ic veces, las impedancias mutuas
y las autoimpedancias efectivas.
De acuerdo a las ecuaciones anteriores podemos calcular"
las impedancias de secuencia, siendo éstas las siguien-
tes :
= Z 11 11 3M (Zaw + aZbw + a Zcw)(Zaw + a Zbw + aZcw)
2 2Zww + (Zax + aZbx + a Zcx)(Zax + a Zbx + aZcx) Zww-
2 ' 2(Zaw + aZbw + a Zcw)(Zaw + a Zbx + aZcx) Zwx -(zax+
-61-
2 2aZcx + a Zcx)(Zaw + a Zbw + aZcw) Zwx
Z' = Z 1O 00 3M
(Zaw + Zbw + Zcw) Zww + (Zax + Zbx +
Zcx) Zww - 2(Zaw + Zbw + Zcw)(Zax + Zbx + Zcx) Zwx
zoi ~ zoi (ZawaZcw)(Zaw + Zbw + Zcw)
Zww + (Zaw + a Zbx + aZcxMZax + Zbx + Zcx) Zww -
(Zaw + a Zbw + aZcw)(Zax + Zbx + Zcx) Zwx - (Zax +
a Zbx + aZcxXZaw + Zbw •+ Zcw) Zwx
21 21 3M1 1 - 2 2 2(Za'w + a Zbw + aZcw) Zww + (Zax + a
2 2 2Zbx + aZcx) Zww - 2(Zaw'+ a Zbw + aZcw)(Zax + a
Zbx + aZcx) Zwx
donde:
M
Zww 'Zwx
Zwx Zww
2 2~ Zww - Z wx
Si usamos representación simbólica tendremos:'
Aw = (Zaw + Zbw + Zcw)2
Bw = (Zav; + aZbw + a Zcw)2Cw = (Zaw + a Zbw + aZcw)
Ax = (Zax + Zbx + Zcx)
Bx = (Zax + aZbx + a2Zcx)
Cx = (Zax + a2Zbx-+ aZcx)
-62-
Estas expresiones son evaluadas en función de las auto
impedancias completas Zu y las impedancias mutuas Zik re_
sulta:
Zu =0,830
(100 RMG)2log
RMG
zik = log Dik)
Si sustituímos en las expresiones anteriores.
Aw = 0.2860 + j 2.888 - 0,2794 log (Daw Dbw Dcw).
Bw = 0.2421 log Dbw/Dcw + j 0.1397 log (Dbw Dcw/Daw2).
Cw = 0.2421 log Dcw/Dbw + j 0.1397 log (Dbw Dcw/Daw2).
Cw = Bw- .
ahora Aw = Ax Bx = Cw =. -Bw:*c Cx - Bw,
Reduciéndose estas ecuaciones
zi = zi 3M(Bw)¿ + Zwx + 2(Bw)(Bw«) Zwx
zo = zo -
7 - 7zoi " zoi
7 • ~ 7 „ -LL r_,21 21 3M
(Aw)Zww •*- Zwx
Av7 (Bw - Bw-)
(12)
(Zww + Zwx)
(Bw)2 + (Bw*)2 Zww + 2(Bw(Bw-O Zv/x
Si deseamos calcular las impedancias, sin los cables de
guardia aplicamos las siguientes ecuaciones; que vienen
de considerar las expresiones iniciales.
-63-
2 * 3 0.12134 (logs - log RMGa + 0,231)(10oMGa)
(13)
z1.612
o 2.888-Q.12134(21ogs+0.462+log RMGa)
. Z ' = j 0,02804.
Z = j 0.056.08.
Para que las ecuaciones 12 estén en una forma correcta
o apropiada para el computador, se deben separar las com
' ponentes reales de las imaginarias. (Referencia 4).
2.2 . - NATURALEZA DEL DESEQUILIBRIO.
En los conductores de una línea de transmisión trifási- •
-A cas aparecen reactancias capacitivas e inductivas, leve-
mente diferentes, debido a que en la construcción de la
línea por más cuidado que se tenga en el distanciamiento
entre fases y éstos' con el suelo, hay siempre distancias
desiguales, que hace que un circuito simétrico se trans-
•• ' forme en un circuito asimétrico.
De esta manera la corriente de secuencia positiva circu-
lará en un circuito asimétrico, que da origen a tensio-
nes y corrientes de secuencia .negativa y cero, que van a
afectar desfavorablemente el. funcionamiento de los equi._
pos o aparatos que .están ligados con la 'línea tales como
los de medición, protección y además producir efectos in_
convenientes sobre los circuitos de comunicaciones muy
cercanos.
2.3 .-' CONCEPTO Y VALOR - DEL'DESEQUILIBRIO ELECTROMAGNÉTICO.
& ' • •
-64-
Los desequilibrios electromagnéticos debido a la no'
transposición de los conductores de la línea de transmi-
sión , pueden ser calculadas con las expresiones (formu-
las) expresadas en los subteínas anteriores que indican
sus parámetros de secuencia negativa y secuencia cero.
'21Z2
Tí?n =O
Z01
Zo100
Observamos aquí que los valores porcentuales de los dese_
quilibrios electromagnéticos ift. y 7ft_ son independien-
tes de la extensión de la línea, siendo esencialmente
función de la configuración de los•conductores (referen_
cia 5).
b.- DESEQUILIBRIO DE LAS FASES.
Existen tres efectos que son normalmente señalados como
consecuencia de haber transmisión en circuitos desequíli
brados, siendo éstas:
Interferencia en líneas telefónicas.
Aparecimiento de tensiones desequilibradas.
Circulación continua de corrientes- de secuencia cero y
negativa, •
La interferencia en circuitos telefónicos no constituye
una razón obligatoria para realizar transposiciones en u
na línea de transmisión. Debemos considerar que la in-
terferencia, sólo se notaría si el circuito telefónico y
la línea de transmisión corriesen paralelamente a una
distancia muy pequeña, en grandes extensiones lo que ge-
neralmente no acontece. Además de esta circunstancia en
las líneas con transposiciones no se podría evitar, que
-ir
65cuando ocurra un corto circuito a tierra, la corriente de
secuencia cero, circulando igualmente en todas las tres
fases induciesen tensiones en los circuitos telefónicos.
Las tensiones desequilibradas, que en la ausencia de
transposiciones en la línea vinieran a aparecer, no son
consideradas como factores de importancia, porque los de_
sequilibrios naturales provocados por las propias cargas
de la línea, son superiores a aquellos causados por la
ausencia de transposiciones.
ROTACIÓN DE FASES.
Hay que hacer constar que. conforme a lo.expresado y por
la situación de los conductores en los apoyos , tanto el •
coeficiente de inducción como el de capacidad no son i-
guales para todos los. conductores, por consiguiente no
puede existir simetría eléctrica en los mismos y para-
conseguir esto, de un modo bastante aproximado, es nece-
sario recurrir a la rotación, al conjunto de todos los
elementos que puedan afectarles, terrenos, árboles 5 cons
'trucciones, etc.
Para las lineas de un solo circuito situados los conduc-
tores en el poste en forma diagonal bastará efectuar la
inversión de aquellos sobre las ménsulas del apoyo elegi_
do para realizar la rotación, pero si están dispuestos .
los conductores en un plano horizontal bastará colocar
cadenas de amarre en los conductores, situados antes del
poste en el que se ha de efectuar la rotación de fases.
-67-
ver en el siguiente gráfico
BARRA
1
(/y
si
T1 T2
L/T
(A/J
ea
1/3 L 1/3 L 1/3 L
GRÁFICO # 20
EFECTO DE INTERFERENCIA.
Es muy conocido que las líneas de transmisión en alta
tensión producen "Radio Interferencia" que afectan al
sistema de telecomunicaciones acoplados en las mismas l£
neas, como son los sistemas de onda portadora, además a
los sistemas de comunicaciones radio eléctricos externos
especialmente cuando la recepción de las señales se ef ec_
túan a distancias próximas a las respectivas lineas.
Debemos tomar en cuenta los niveles o amplitudes que ad-
quieren dichas radio interferencias en función de la ten
sión de operación de la línea, el espectro de frecuencia
; N I V E L - D E RU*"•' • - ; [ • • *••—
-68-
que generan y la insidencia que sobre esos valores tie-
nen los factores mecánicos y climáticos.
El nivel de R.I. , es función de la tensión de trabajo y
de la sección de los conductores s por lo tanto ambos pa-
rámetros forman el factor desencadenante de la magnitud
en sí de las R.I., que es el Factor Gradiente de Poten-
cial expresado en Kv/cm.
El proposito fundamental es analizar las causas principa
les que originan la R.I., los factores que inciden sobre
la variabilidad de sus niveles y las posibles soluciones
a los problemas que plantean tales perturbaciones .
Si nos referimos a líneas de transmisión cuya tensión de
operación no exeden los 230 Kv. podemos verificar, me'dian.
te mediciones efectuadas con instrumental adecuado, que
los niveles de R. I. que generan en sí mismo (autoinduci--das) como las irradiadas al medio aereo que circundan a
la línea , no producen grandes problemas a los sistemas
de telecomunicaciones acoplados a la línea o externos .
El gráfico # 21, muestra ía variación de los niveles de
R. I . de líneas en función de la tensión de trabajo , en c. •condiciones climáticas desfavorables , medido con un ins-
trumental , de 4- Hz de ancho de banda .
110 Kv el nivel de R.l, = -35 dBm.
. 220 Kv " " " " ^ = -18 dBm.
380 Kv . " " " " = - 9 dBm.
A partir de los 220 Kv , la R.I. se hacen fuertemente crí_
ticas de los niveles antes señalados se refieren al nivel
de las R.I. , autoinducidas en la propia línea. Para los
-69-
sistemas de telecomunicaciones- por onda portadora acopla
dos a líneas eléctricas de transmisión, esos niveles de
R.I., son por lo general salvables mediante el simple e:x
pediente de elevar dentro de cierto rango el nivel deS ^ S-transmisión de las señales telefónicas y de telecontrol
toda vez que lo permita los valores comerciales de poten
cia3 con que se fabrican los terminales de onda portadov
ra (entre 2 y 80 watios) respetar la señal ruido de 25 a
30 dB que la configuración eléctrica de la línea y que
la distancia a cubrir lo permita.
Lo importante en todos los casos es mantener una separa-,
cion entre el extremo receptor de 25 a 30 dB , entre la
señal' que lleva la información, y el nivel 'de R.I,
Si a la línea, la operamos a.220 Kv, y considerando que
para este caso la atenuación a la señal de transmisión
serán los siguientes valores:
Frecuencia KHz " Atenuación dB/100 Km
50 4. O
100 . - '4.5
200 8-0
300 . 12.0
400 . 15.0
La atenuación total del conjunto línea-Acoplamiento estji
rá integrado de la siguiente manera:
- Atenuación línea ....,...,. 8 dB x 2 =-16 dB.
- Atenuación de elemen
to de Acoplamiento 3 dB x 2 = 6 dB.
- Cable coaxial 0. 5 dB x 2 = 1 dB.
Atenuación total = 2 3 dB.
-70-
Con los datos obtenidos tenemos el gráfico # 22.
20-
1210
?ZOHA
EN LA UNEA EN EL E X T R E M O TEANSMJSOR
NIVEL DET LA UKEA £ N ELE X T R E M O
A T E N U A C I Ó N DE UNEA
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-30
-40
3O 1OO
ZONA DF SEPARACIÓN SE200
RUIDOKm
longitudtic I<j L/T
DE R.I .
GRÁFICO # 2 2
En la práctica los valores de niveles de transmisión de
la señal que lleva la información son algo superior a
los cálculos, porque -existen otros factores que deben
considerarse que incrementan el nivel'de R.I. en la lí-
nea 5 por lo general los factores que posibilitan ese in-
-71-
cremento son distintos según la zona o lugar en que está
instalada la línea eléctrica de transmisión. (Re^ . 9).
CAUSAS QUE ORIGINAN INTERFERENCIA.
En lineas eléctricas de transmisión se acentúa considera_
blemente la R. I . , cuando se sobrepasa los niveles de ten
sión_de los 220 Kv , ya que el gradiente de potencial de
los conductores se eleva considerablemente de manera tal
que introduce un alto nivel de R.I. , que afecta a todos
los sistemas de telecomunicaciones , que estén cercanos a
la línea.
El "gradiente de potencial" está definido por la siguieri
te expresión:
TT fv *i ^ -E (Kv, cf/cm) = 1 • 8 Uf . Cf , , 2 [ (n-1) Sen+ — - - -on J1 r
donde:
Uf = Tensión de fase.
Cf = Capacidad efectiva por fase.
j"r = Radio del conductor.
n = Número de conductores externos del Haz.S • -- v>S=—3— = Relación distancia radio de los conductores Haz/r
La R.I. , son producidas por el "ruido corona" consecuen-
cia del "efecto corona" sobre los conductores; factor es_
te último desencadenante de las perturbaciones radio e-
léctricas 3 este tipo de ruido está distribuido en toda
su longitud 5 con un nivel de R.I. constante; el efecto
corona se manifiesta cuando el potencial es 0.3 "Ve" y
ocurre durante el .semiciclo negativo.
-72-
El efecto corona afecta en mayor grado en la R.I. y o-
tras en menor grado, así como los factores mecánicos y 2
climáticos.
FACTORES MECÁNICOS
a) Sección del conductor.
b) # de conductores por fase.
c) Tipo de grapería y calidad de
los aisladores.
FACTORES CLIMÁTICOS
a) Humedad relativa,
b) IDensidad del aire,
c) Velocidad del viento.
d) Contaminación del aire (pol-
vos, insectos, etc).
De los diferentes factores que hemos anotado es muy im-
portante el empleo de más de un conductor, porque se con_
sigue un incremento de su capacidad y una reducción de
su inductancia; además que se consigue transmitir mayor
potencia , mayor regulación y alto factor de potencia.
El número de conductores'espaciados que integra cada fa.
se, permite reducir en forma considerable el "gradiente
de potencial" del conductor compuesto por lo tanto el
nivel de R.I. (Referencia 8).
ANEXO:
a.- CONSTANTES DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN.
Para calcular las constantes de una línea de transmisión
nos valemos de un programa digital3 el que se pondrá a
Continuación; .este programa es. una referencia de la Te-
sis de Grado del Ing. Jorge Rene Santillán.
•73-
Se tendrá mucho cuidado en desarrollar el programa para
el caso de la Línea de Transmisión Paute-Guayaquil.
01/29/79
1508 HRS
-PAGE
1
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0.05710455
0.05695162
0.05674832
0.05652351
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0,14493621
0,39532(176
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0.40084838
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0.05710455
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0.2523E 00
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0.1759E 09
CAPACITANCIAS
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-0.15M3E-OH
O.G352E-06 -0.1630E-00 -O.Ú990É-09 -O.7601E-09 --0.698QE-09 -0.5086E-09
•0.6Q09E-09 -D,1630E-OB
0,013aE-OG -0.1092E-08 -0.699QE-09 -O.4551E-09 -O,3064E-09
-0.455ÍE-09 -0.699ñE-09 -0.1092E-00
D.ni32E-00 -0.1&30E-Oñ -O,6809E-09 .
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0.6513E-08'
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HILO DE
GUARDA
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0.2659E 00
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0.2287E 08
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0.3134E 08
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0.2659E 08 .
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-0.1543E-08
0,8352E-Oa -0.163UE-08 -O.ÍÍ998E-09 -0.7601E-09 -0.698BE-09
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0..8132E-08 -0.1630E-08 -0.6809E-09
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-0.5272E 06 -O . 2359E .07. -O , 3759E O?'. -O .Í699E 07.
07
0.1062E 09
MATRIZ
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• .
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7
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MATRIZ
DE IMPEQAWCIA DE SECUENCIA EQUIVALENTE
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Qt8062E-DB
_ DE COEFICIENTES DE POTENCIAL DE SECUEN'ClA
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. 0.15134620
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.'••-";:"""•; 0.338Í6075. 0.39337039" .0.06154139
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" ' '. 0.32125926
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.
'.
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'.""'
- -
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_
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0.34889262'
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.
-O.OÜ685666
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a. 0*056508
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t*«*CONSTANTES DE LA LINEA
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UII-
*'
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0.09957015 ' 0.10^36184
0.10950000
0,3727884(1^0.37591719
0.8&1541^9 . 0.35320U67
^35171002
0.32l25f^6
0.7048E-09
0.4700E-09
0'.9624E~08
0.1962É-09
Q.8465E-09
0.1229E-08
-Q.1674E-08 0.2463E-09 0.1982E-09 . 0.5-793E-08 0.2361E-09 0.3239E-09
0.6271E-09
D«1170E-bñ
D.8465E-09
0.23&1E-09
0.9957E-08
0.9808E-09
0.8907 E-09
0.1464E-OS
0.1229E-08
D.3239E-09
0.9808E-09
0.1089E-07
CAPITULO II!
3.1 . - . INFLUENCIA DEL DESBALANCEAMIENTO. _ ' '
,, . El desbalanceamiento electromagnético que existe en las» .
líneas de transmisión trifásicas debido a la configura-
ción de los circuitos de las líneas, altera en muy poco
los niveles de tensiones y corrientes a que deben teóri-
camente trabajar j por 'lo que se consideran normales.
Este desbalanceamiento., es producido únicamente por lo-ár . .^ • expuesto anteriormente en condiciones estables de trans-
misión más no en condiciones de transitorios producidos
por cualquier falla en la línea. Su influencia se anali_
zara sobre los aparatos de protección y generación compa_
rada con el desbalanceamiento electromagnético entre fa-
. • ses 3 producido por cualquier condición no. estable de la
línea.
Con el fin de verificar si tiene o no importancia el des
balanceamiento, sobre la protección y generación se rea-
liza un análisis más exaustivo en los subtemas que sigue,
-75-
3 . 2 .- PERDIDAS.
Al hablar de las perdidas que tenemos en las líneas de
transmisión, es sabido que la naturaleza misma con que
está constituida el material de los conductores, hace que
presente cierto grado de resistencia . al paso de la co-
rriente eléctrica, siendo ésta la causa principal de la
pérdida de energía en las líneas de transporte.
Las líneas de transmisión existen de longitudes cortas,
medianas y largas; en las líneas cortas se desprecia la
capacitancia de la línea por lo que se tiene el siguiente
gráfico.
VR
S 1= longitud
2 = R * JWL = r s > jxs
GRÁFICO // 23
-76-
La admitancia, generalmente capacidad pura, se incluye
en los cálculos de la líneas de longitud media, en estos
casos se considera como si toda la admitancia se concen-
trara en el punto medio del circuito, que presenta la lí_
nea, aquél se suele decir que es un circuito nominal
en T.
Js
2/2
VS
2/2
V R
GRÁFICO <' 24
Z = ZL impedancia serie por fase. .
Y = YL admitancia por fase con respecto al neutro.
•El circuito nominal 1T •> que se puede ver en la figura a
continuación se utiliza más a menudo que el T para re-
presentar las líneas de longitudes medias y largas; en a_
quil la admitancia está dividida en dos partes iguales,
colocados en los dos extremos de la línea la ecuación de
Vs en este caso, puede reducirse teniendo en cuenta que,
la corriente en la capacidad del extremo receptor es •.'Y;r— que la del ramal serie.R
Vs = (V YR IR) Z + V-
Vs = (• 2YZ.I
-77-
Is
'S «2 =
Í-1FUIR
IS1 . Y/2 = - LR' \
GRÁFICO
I = IR H- I = Is + ls\l análisis de estos circuitos podemos decir que tene-
mos dos modelos para calcular las pérdidas de resisten-
cia, uno para las líneas de transmisión cortas y otro pa
ra las largas.
Para las líneas cortas se aplica la siguiente formula:
P. perdidas L = R.I en vatios
P. pérdidas L =3RI en vatios
caso monofásico
caso trifásico.
En líneas largas las perdidas pueden ser calculadas por
la siguiente ecuación:
TJR K
que fluye a travez de la resisten_
cía equivalente.
v ^2Caso monofásico Pot. pérdidas L^Req CI" +!,,) en vatios .R R' Cv
L2
'Caso trifásico Pot. perdidas L=3Req (I +1' ) en | vatios
= 3Req (I* +9 T P
R
^ -Zeqsen + ) en vatios
Estas ecuaciones nos servirían para el cálculo de las
pérdidas de energía por resistencias en cualquier línea
de transmisión. (Referencia 7).
Existen perdidas en las líneas de transmisión por efecto
de la alta intensidad del campo eléctrico alrededor de u
na línea de A.T. produce una pérdida de energía en la lí_
nea de transporte, el elevado gradiente de potencial da
origen a una aceleración de los ele'ctrones en el aire,
lo suficiente para provocar por choque la ionización de
las moléculas del aire , si se excede de un cierto valor
crítico, el proceso de ionización se hace acumulativo,
dando lugar a una apreciable pérdida de energía.
La tensión crítica depende del tamaño del conductor, se-
paración entre ellos, condiciones atmosféricas: hay más
probabilidad de pérdida de energía. . cuando el diámetro
del conductor es pequeño comparado con las distancias en' '"tre fases, superficie rugosa, sucia, el tiempo húmedo,
aumentarán las pérdidas.
Cuando se proyecta una línea de transmisión debe tomarse.
en cuenta el efecto corona, y si es necesario se modifi-
que el proyecto.' '
PERDIDAS POR EFECTO CORONA.
Al sobrepasar la tensión en un cierto valor, aparecen fe
•nómenos más o menos luminosos de descarga, parte de ellos
en forma de penachos y parte 'en forma de efluvios, el con
junto de estos fenómenos se conoce con el nombre de efec
to coTona, y su presencia es la causa de pérdidas, como
también del des-aTrollo de oscilaciones electromagnéticas
que se transmiten a lo largo de la línea, hasta cierta
-79-
distancia que dan origen a perturbaciones radiotelefóni-
cas y de televisión en -sus inmediaciones.
El -mencionado efecto corona influye en gran medida sobre
la construcción de las líneas aéreas de muy alta tensión
a fin de conservar las pérdidas dentro de límites econó-
micos tolerables y de reducir la zona próxima afectada
por las perturbaciones radiofónicas,
Estas condiciones requieren que el diámetro de los con-
ductores y la separación entre ellos no baj e de unos
ciertos valores mínimos, e incluso la construcción como
líneas de conductores cableados huecos, lo cual influye
sobre la altura y resistencia de los postes y del costo
de- la línea.
OSCILOGRAMAS DE DESCARGAS DE CORONA.
.J.UJJ.JJJJJJJJJJJ °-3Vc b .
Qí>-06 VeMlL'
>0.5 Ve
GRÁFICO -í 26
Como se menciona anteriormente, el efecto corona lleva •
como consecuencia el aparecimiento de pérdidas, que son
muy considerables, porque llegan alcanzar valores muy e-
levados e inadmisibles, cuando el efecto corona es dema-
siado elevado. Estas perdidas se originan de dos formas:
Por la ionización del aire a causa de la energía consi-
guiente requerida para la formación de penachos o eflu-
vios . La otra forma es debido a los iones lanzados hacia
el espacio3 desde 'la zona de ionización, llegando inclu-
so a medir decímetros durante un semiperíodo, volviendo
a acumularse durante el semiperído siguiente, por causa
de inversión de polaridad en el conductor.
Tanto las perdidas cómo las perturbaciones de alta fre-
cuencia dependen en gran manera de las condiciones exter
ñas. Estas son: Estado de la superficie del conductor,
por causa de fabricación montaje por adherencia de grasa
o gotas de agua debido a las lluvias, el polvo y el ho-
llín cuya deposición se ve favorecida por la atracción
del campo eléctrico, también influye el estado atmosféri_
co, presión, temperatura y humedad del aire. Incluso
las partículas no apre'ciables a simple vista constituidas
por tales gotas microscópicas 'aumentan considerablemente
el valor de las pérdidas.
Hay que distinguir la "tensión crítica disruptiva" y la
"tensión crítica visual". La primera produce perdidas
de energía importantes cuando la tensión llega a un va-
lor crítico, puesto que se rompe parcialmente el dieléc-
trico que es el aire, si no se alcanza dicho valor críti^
co, las pérdidas a que da. -origen el fenómeno son poco im
portantes.
El viento y la "humedad del ambiente no tiene apenas:.: in~
-81-
fluencia sin embargo, queda rebajada la tensión crítica
visual cuando el conductor está mojado. El ingeniero
Peek, propuso formulas que permiten calcular las pérdi-
das por efecto corona para conductores limpios y secos.
Pe = 2U1 (f + 25) -5- (V - Ve)2 . ICT5<3
Ve = Ec . r 1 n -^—
Ec = 29. 8 ra .
Pe = Pérdidas por corona en (Kw).
Ec = Gradiente crítico (Kv, pies/cm).
Ve - Tensión crítica al neutro Cdisruptiva),
fíl = Factor de superficie (toma referencia al mal tiempo)
¿ = Densidad relativa del aire.
r = Radio del conductor (cm).
Distancia media geométrica entre fases (cm).
Frecuencia (Hz).
V = Tensión aplicada al neutro (Kv).
Ryen y Henline propuso una ecuación para el caso de mal
tiempo.
Pe = 4 fCV (V - Vo).
f = Frecuencia de voltaje aplicado.
C = -Capacitancia línea-tierra del conductor.
Para tomar en cuenta el efecto de los valores de la gra-
diente cercanos al crítico, donde las pérdidas tienen
significativa importancia: PETERSON propuso la siguiente
fórmula:
-82-
Pe = 0.111» 10~3, f . E P (E/Ec)
E = Gradiente del potencial del conductor (Kv/cm).
f = Frecuencia L^zj .
E/E = Es una función experimental de acuerdo al gráfico
GRADIENTE CRITICO DE PETERSON.
E/Ec
'II 27
E c = K x C T x C/2/3.
K = 29.8 conductor ideal liso; toma diversos valores
. de acuerdo a las carcterísticas de los .conductores
m = Influencia de la lluvia. (Referencia 8).
Todas las formulas mencionadas nos sirven caso de buen
tiempo.
La Hidro Electric Power Comisión of Ontario, realizó
pr.uebas en líneas de transmisión de 500 Kv que tienen u-
na distancia de 5 Km. con una disposición trifásica hori^
zontal3 llegando a obtener la siguiente fórmula:
P = K.f.r2, ¿P/2 Eg In CEe/Ec).
P = Pérdidas por corona/fase/milia.
K = Constante para un'cierto tiempo y superficie del
_conductor.
Ee = Gradiente efectiva en la superficie en Kv/cm.
A P = Parte angular de la superficie del conductor que
influencia en la gradiente corona (radianes).
Para líneas de E.A.V. tenemos la siguiente fórmula expe-
rimental que nos sirve para calcular las pérdidas por co_
roña:
P = PF W = V T 2J.r In (1 + KR)
P = Perdidas totales trifásicas en Kw/rnilla.
PFW ~ Pérdidas totales por corona para buen tiempo en
Kw 3 0/milla.
V = Tensión f-f "[KV] .
J = Constante de pérdidas por'corriente siendo aproxima •—10damente 5,35 x 10 para 500 y 700 Kv existen focos
valores de J.
n ~ Numero total de conductores.'
E = Gradiente de la parte inferior de ^/conductor [Kv/cm]
= Constante (aproximadamente es 5).
R = Cantidad de lluvia mm/hora.
K = Coeficiente de humedad.
£. (Em) = Indica que a cada uno de los n conductores
hay que tratar en forma individual, elevar a
la quinta potencia y sumar los resultados.
Las perdidas por corona para buen tiempo, comparados con
las pérdidas bajo lluvias son pequeñas si un gran porcen_
taj e de la línea/ transmisión opera en ausencia de lluvia .
Deberá considerar las pérdidas por corona por la inciden.
cia económica que puedan tener, en este caso las pérdi-
das ocurre en los aisladores antes que en los conducto-
res ;' por lo tanto la densidad relativa del aire tiene pe_
quena influencia en el valor total.
En cambio que las perdidas por corona para mal tiempo en
las líneas de transmisión resulta de multiplicar el fac-
tor que toma en cuenta la disposición geométrica de la
línea (K) y las llamadas perdidas normalizadas.
P = K . Pn.
Las perdidas normalizadas está en función del coeficien-,
te de estado de la superficie de los conductores (m ) y
el gradiente máximo superficial, con respecto al gradien
te crítico, estas relaciones son halladas experimental-
mente.
Para calcular el coeficiente K tenemos la siguiente ecua
ción matemática:
K = (f/50)(n.J3.r)2 log CR/Re) log ( S/Re) log (R/^ ).
n = Número de conductores/fase.
Re = Radio del conductor simple que tiene la misma capa
cidad de Haz del conductor.
R = Radio del cilindro del potencial cero del conductor
coaxial cm .
J5 = 1 + 0 . 3 V J r (coeficiente Peek).
. -85-
P = 10 V r para un conductor/fase.
j= 18 v r + 4 para haces de conductores.
Una vez conocido los factores K y Pn se pueden calcular
las pérdidas de potencia reales debido al efecto corona.
Conclusión:
Para calcular las pérdidas.por corona se deben tomar, en
cuenta los siguientes factores:
1.- Gradiente máximo en la> superficie de los conducto-
res -
2.- Intensidad de precipitación. . - .
3.- Familia de curvas de pérdidas normalizadas.
4.- Curvas que relacionen el coeficiente de estado su- .
perficial y la intensidad de lluvias. (Referencia 9)
3.3 .- EFECTO EN LA PROTECCIÓN:
Con el crecimiento acelerado de las redes (lineas de
transmisión) de sistemas de energía, tanto en tamaño co-
rno en longitud, los problemas de desbalanceamiento de co
rrientes están llegando a ser muy significativos que pue_
den causar una mala operación de los relés de protección.
El sistema de protección más aconsejable para una L/T es
el de distancia, siendo ésto balanceados entre una tén-_
sión y una corriente, su relación se expresa en función
de impedancia (Z) , esta forma de .protección presenta COTÍ
siderables ventajas económicas y técnicas , además que es
comparativamente simple de alta velocidad y provee faci-
lidades primarias y de apoyo inherentes a un solo esque-
ma, puede ser fácilmente modificado dentro de los esque-
mas de unidad.
-86-
-VWWWWVN
GRÁFICO « 2 8
Con el fin de comprender su funcionamiento se efectuará
a continuación un estudio de los tipos de relés que,se u
tilizan para la protección de una L/T, y sus parámetros
para darse cuenta si son afectados por el des balance arnien
to electromagnético que se producen en L/T asimétricas-
Los relés de distancia son clasificados por sus caracte-
.rísticas polares, número de entradas y manera en la cual
se hace la comparación.
Los tipos comunes comparan dos cantidades de entrada que .
son ya sean líneas rectas o círculos cuando son trazados
en un diagrama R-X, los comparadores son esencialmente
de fase O de amplitud.
RELÉ DE IMPEDANCÍA SIMPLE.
Se aplica una corriente constante a la bobina de compara
ción del comparador simple de amplitud, y la tensión a-
plicada varía en magnitud y fase, el relay operará. Los
valores de impedancia en los cuales opera el.relay, puede
ser encontrada con un voltímetro amperímetro y un cambia
dor de fase para los varios ángulos que se encuentran en_
tre 0-360?.
Un sistema de transmisión está compuesto de X y R, una I
línea de transmisión puede ser representada en el mismo
diagrama R-X como en el gráfico siguiente.
CARACTERÍSTICA DEL RELÉ DE Z Y DEL RE'LE DIRECCIONAL.
LINEA A LINEA B
PUNTO DEL ALCANCE
- DEL RELÉ
CARACTERÍSTICADE. L RELÉDIRECCIONAL.
GRÁFICO 23
Si se presenta una falla en cualquier sección dentro del
área circundada por la característica del relay , éste in
mediatamente actuaría, debe tomarse en cuenta que en es-
te ~caso hay condiciones del des balan ceamiento inestables
como es él producido por una falla.
RELAY (RELÉ) MHO.
El mencionado relay de medición de distancia, generalmen.
te conocido como un relay de admitancia (mho) porque su
característica es una línea recta en un diagrama de admi_
tancia tiene como finalidad.combinar por la adición de un
bobinado polarizador, las características de los relés
direccionales y de impedancia tratados anteriormente.
Sabemos que una línea a ser protegida está compuesta de
la resistencia e inductancia por lo tanto su ángulo de
falla estaría dependiendo de los valores relativos de X
y R.
Según podemos darnos cuenta en este caso entra a jugar
un papel importantísimo el valor de la inductancia, de a_
hí que para circuitos asimétricos los valores de la induc
tancia de cada fase son diferentes, por lo que los rel'és
serán calibrados tomando en cuenta los casos mas críti-
cos de los valores de la inductancia.
Es necesario también tomar en cuenta que bajo una condi-
ción de falla de arco el valor del 'componente resistivo
aumentaría y cambiaría su ángulo de fase, de modo que un„ „ „
relé que tenga su ángulo de torsión máximo equivalente al
ángulo de línea subalcanzaría, por lo tanto en estas con
diciones debe aplicar un relé con un ángulo de'torsión
máximo ligeramente dirigiéndose al ángulo de línea, para
que sea posible aceptar una cantidad pequeña de resisten_
cia del arco sin causar subalcance.
CARACTERÍSTICA DEL RELÉ MHO.
ARCO DE RESISTENCIA
GRÁFICO £ 3 0
-¿ -ÁNGULO DEL TORQUE
t MÁXIMO DEL RELÉ
Q ~ AM6ULO DE LINEA
La ecuación del
T = K1 V I eos (
K-Z = eos (6 - 0) si: T = O
Según esta ecuación podemos darnos cuenta que la impedan
i, ' " -90--«SF
cía es función del eos (Q - P0).
RELAY DE REACTANCIA.
El tipo de relay de reactancia de distancia para todos
• los propósitos prácticos no varia su arreglo, con la in-
troducción de resistencia de arco porque es diseñado para
medir la componente de reactancia, que en teoría cualquier
incremento en el componente resistivo de la corriente de
falla no tendrá ningún efecto en el ^alcance del relay,
ya que el relay continuará indicando el mismo valor de
X, sin embargo, cuando la resistencia de falla es un va-— ¿ew lor tan alto que las magnitudes de la corriente falla y
carga son comparables al alcance del relay que es modifi
cado por el valor de la carga y su factor de potencia,
puede suceder que subalcance o sobrealcance.
v ' • El relay de reactancia tiene un elemento de sobre corrien•& y f ~
te que produce el torque positivo y un elemento direccio
nal de corriente y tensión que puede operarse o ayudar
al elemento de sobre corriente dependiendo del ángulo de
fase entre la corriente y la tensión.
jf La característica propia del relé de reactancia está en
función de una constante.
Así:
T = K I2 - K V I sen 9 -
K I2 = K V I sen e + K T = O-L í. O
'sen Q = Z sen 9 ~ XI
X = K
-91-
TOROUENEGATIVO
TOROUEPOSITIVO
CARACTERÍSTICAI OPERACIÓN
•
— X
GRÁFICO 31
Según podemos darnos cuenta el relé de reactancia no
tá afectado por el desba'lanceamiento electromagnético
que se produce en una L/T asimétrica ya que este actúa
solamente cuando es muy crítico su valor , caso que no su
cede en un desbalanceamiento normal de una linea.
El relé de reactancia no' puede usar simplemente una uni-
dad direccional como el de impedancia, poque el relé de
reactancia actuarla bajo condiciones -normales de carga,
cuando el factor de potencia sea 1 o cerca de 1. Por es_
ta razón el mencionado relé requiere de una unidad direc_
cional que le haga imperativo 3 bajo las condiciones nor-
males de carga;" la unidad usada para este proposito ti e-
ne un elemento de restricción de voltaje que se opone al
elemento direccional, éste es el relé Mho.v_.
Con las características mencionadas 'de los relays de im-
pedancia, reactancia y Mho, podemos utilizar un diagrama
demostrativo, en la cual cada uno está calibrado para o-
perar a un cierto valor de impe'dancia a X = distancia de
línea.
Línea' Z = 2.8 + j 5 =5.6 50.75°
C, circuito Z = 1.5 + JO
Operación del relé en C. circuito.Z - O
Operación normal . ', , .Z = 5,6 60.75°
Z. corto circuito Z = (2.8+j5) + 1.5 + jO
Z = 4.3+J5 = 6 . 6 49.5°
Protección según el gráfico: ' '
Relé de Z = 4.8/5.6 = 86%
Relé de X = . = 100%
Relé de Mho= 4.6/5.6 = 82.5%
¡g.!2£. 'PROiTÉC'CllON DE''
-93-
En este tipo de protección de relays de distancia nos da
mos cuenta que no afecta en ningún caso el desbalancea-
miento que existe entre fases debido a la asimetría del
circuito.
ACOPLAMIENTO MUTUO EN LINEAS PARALELAS.
Si hablamos de la impedancia mutua de secuencia cero, es_
tá presente añilas líneas de transmisión paralelas, en
algunos casos puede ocasionar una acción incorrecta del
relay direccional en las fallas fase tierra, ésto puede
suceder a pesar de que se emplea la polarización poten-
cial j esto sucede generalmente cuando los circuitos pa-
ralelos son de dos diferentes voltajes, que tienen redes
separadas de secuencia cero.
Una falla fase-tierra de la línea de mayor tensión, indu
eirá en la de menor tensión una tens.ión de secuencia ce-
ro, que causará que la corriente de secuencia cero fluya
desde el interruptor del circuito A al interruptor del _:
circuito B, esta corriente causaría una acción incorrec-
ta de las unidades direccionales de tierra, de secuencia
cero, en los interruptores A y B pudiera resultar unar
descarga falsa.
CARGA
230 KV.
GRÁFICO # 3 3 .
-94
En algunos casos es posible que la impedancia mutua de
secuencia cero entre líneas de una misma tensión puede o_
currir una operación falsa del relay de tierra, ésta es
una posibilidad muy remota y no puede ocurrir si las dos
líneas implicadas están conectadas a las mismas barras
en ambos extremos de las líneas.
Si la impedancia mutua puede causar una mala operación
de los relays de tierra de secuencia cero, existen tres
soluciones básicas:
1.- Usar relays a tierra de distancia.
2.- Usar relay de fase de los pilotos de comparación
de los cuales ambos son inmunes a la operación fal-
sa de las corrientes y tensiones de secuencia cero.
3.- El uso de unidades direccionales 'de secuencia cero
para controlar las unidades de sobre corriente de -"
secuencia cero porque las unidades direccionales de'-secuencia negativa no están afectadas por la Z mu-
tua de secuencia cero.
Una vez que se ha realizado un análisis, se llega a la
conclusión, que se puede producir una falsa operación de
los relays de tierra debido a un desbalanceamiento de
corrientes y tensiones entre fases muy elevados, que por
la configuración asimétrica de un circuito no puede pro-
ducirse desbalanceamientos muy grandes.
También se debe tomar en cuenta que la calibración de
los relays se realiza en base a valores de corrientes de
falla, es decir con un sistema completamente desbalancea_
do en condiciones críticas.
Por lo que los valores a los que se calibra un relay de
-95-
de reactancia, impedancia y Mho son muy elevados compara^
dos con los valores que obtendrán por el desbalanceamieii
to producido por la configuración de las líneas. Por lo
tanto para estos casos no tiene la menor importancia, ya
que en ningún caso estos desbalanceamientos alcanzarían•
*" un valor igual al producido por una falla.
Si analizamos el caso de la impedancia mutua de secuen-
cia cero en un doble circuito en paralelo, puede exis'tir
una operación falsa de los relays a tierra, sin embargo
como tiene una sencibilidad aproximadamente O.5 Amp. se-
cundarios , y asumiendo una relación del T.C. de 1.000:5
""** los relays de tierra no deberán operar mal, a menos que
3Io exeda en 100 Amp, Esto así aparece, que aún para las
líneas no transpuestas la mala operación de los relays d'e
tierra no deberá ser un problema.
^ 3.4 .- EFECTO EN LA GENERACIÓN. ' . .
El crecimiento acelerado de la industria, a traído consi
go un incremento de la Potencia, para satisfacer la de-
'manda se ha desarrollado una tecnología que ha hecho eco
nómicamente posible la utilización de grandes centros po
_. 'tenciales de generación ubicados generalmente a distan--"í*
cias alej adas de los centros de consumo.
La utilización de estos centros de generación, compuesta
por unidades generadoras de gran capacidad, puede verse
que la salida de servicio o la producción de avería de u
"*•# na de estas unidades de sistema debido a causas externas
puede traer problemas de estabilidad v en muchos casos oP . . ~~
. riginar la salida de servicios de grandes áreas de consu
sumo, de ahí que nuestra finalidad constituye mantener a
estas unidades en óptimas condiciones de servicio, que
-96-
se consigue con un diseño y mantenimiento adecuados y un
sistema de Protección acorde a la importancia que estas
unidades . tienen respecto al sistema de potencia del cual •
forman parte.
Si un generador se encuentra conectado a la linea de
transmisión que tiene desbálanceamiento electromagnético
entre fases , debido a corrientes desequilibradas , ésto
da como consecuencia un desequilibrio de las corrientes
del estator , por la circulación de corrientes de secuen-
cia negativa hará que por el rotor circulen corrientes
de doble frecuencia que dependiendo de su magnitud pue-
den dar como resultado un calentamiento excesivo del ro-
tor, de allí que , la magnitud de las corrientes de secuen
cia negativa que pueden permitir circular por tiempos
prolongados es muy limitada. _ Este fenómeno es mas críti_
co en generadores que- tienen rotor cilindrico, que para
los generadores de rotores de polos salientes , los arro-
llamientos amortiguadores proveen de un camino para las
corrientes de doble frecuencia.
Las corrientes desequilibradas , también- pueden originar
vibraciones severas , pero el sobrecalentamiento es más a
gudo. • • . ' ' " '
Se han establecido normas para el funcionamiento de gene
r adores con corrientes desequilibradas del estator , puede
funcionar un generador en estas condiciones sin peligro
de daño , si se cumple:
= K
donde: I_ = Componente de secuencia negativa de la co-
rriente del estator como función del tiem-
-i- -97-
po , y esta basada en la capacidad del gene_
rador .
K = Es una constante, puede valer 40 o 30 de-
pendiendo del tipo de generadores de turbi_
/; • - ñas hidráulicos y generadores, manejados'tí\
por máquinas si 2(I_ T) > K puede sufrir
daños de grado variable .
Un equipo de protección de equilibrio de corriente que
funciona a partir de las corrientes de fase funcionará
en forma muy rápida para pequeños desequilibrios y muy
^ ' lenta para grandes desequilibrios.#
El equipo de protección recomendado es un -relevador de
sobrecorriente de tiempo inverso que funciona de la-sali_'
da de un filtro de corriente, de secuencia negativa , que
se alimenta de los TG del generador.
" 2Las características del relevador s'on de forma I9 T = K
de tal manera que en la regulación que se proporciona de
puesta en marcha y acción retardada puede seleccionarse
la característica del relevador para adaptar en forma a-
proximada, a cualquier característica de la máquina. El/' ' mencionado aparato debe desconectarse para disparar el
interruptor principal del generador , hay también releva-
dores , que influyen una unidad muy sencible para contro_
lar una alarma para pequeños desequilibrios.
El relevador de corriente de secuencia negativa se con si& ~derara en forma adecuada con los otros equipos de pro te c
ción del sistema , un arreglo de unidad generador- trans-
formador , la coordinación adecuada es' segura..-y-
i: PE
'• SOBRECORÍUENTE
FILTRO DE COSR1ENTE
DE- SECUEííCfA
HE SATIVA
3 U
La unidad de alarma sencible puede ser útil para poner
sobre aviso a un operador en el caso de un circuito a-
bierto bajo carga; para el que no hay protección•automá-
tica, de' otra manera, sólo se aplicaría el relevador de
corriente de secuencia negativa, cuando no se .pueda con-
fiar en el equipo de protección de respaldo del sistema
para retirar en forma suficientemente rápida fallas des.e_
quilibradas, en el caso de falla de la protección prima-
ria.
1 •
-100-
tanto en su propio circuito trifásico como encías demás
que pueden estar en paralelo con él.
Se debería analizar con mucho interés los efectos pro-
ducidos por el desbalanceamiento debido a la no transpo^
sición de L/T de extra alta tensión, porque hay que to-o
mar muy en cuenta que las pérdidas I^-R caus.adas por las
corrientes circulantes en líneas paralelas no transpues_
tas pueden ser significativamente altas para tomar con-
sideraciones desde un punto de vista económico , ya que
estas corrientes circulantes influencian en la selec-
ción de las líneas de transmisión, razón por lo que de-
ben ser analizadas .
Se debe considerar el des balance trifásico , en las re-
des de baja tensión que por lo general se ha acos-tumb.ra
do representar estos circuitos como balanceados , siendo
esta suposición falsa cuando se utilizan diferentes sec' ~
cíones de conductores para las diferentes fases .
Por lo que de todos estos análisis se saca como conclu-
sión que es indispensable disponer de métodos prácticos
capaces de contrarrestar- este 'efecto de des balance amien
to de corrientes y tensiones que se producen en líneas
de transmisión tanto de alta tensión como de baja ten-
sión.
4.2 .- CONTROL DEL DESBALANCEAMIENTO.
El . desbalanceamiento electromagnético producido entre
fases de una línea de transmisión por causa de asime-
tría, da como consecuencia un incremento de disminución
de la potencia reactiva y por consecuencia el aumento o
disminución de 'la tensión de línea.
-101- •
Para mantener la regulación de la tensión de'línea en
condiciones normales existen varios métodos, que a con-
tinuación exponemos algunos de ellos:
1.- Por inducción o inyección de potencia reactiva, en
el extremo receptor,
2.- Por adición en un punto convenientemente elegido ,
de una tensión adicional.
3.- Modificando la reactancia por medio de un condensa_
dor en serie.
4.- Por transposición de fases.
Las bobinas de reactancia, se emplean en ciertos casos
para absorber la potencia Reactiva suministrada a las
horas de pequeña carga por las líneas largas de alta
tensión (230 Kv)3 o por importantes redes construidas
con cables. . . •
La potencia reactiva producida por la línea, especial-
mente en. horas de carga fuerte\a compensar en parte
el transporte como también para las necesidades de los
receptores, en horas de pequeña carga la potencia reac-
tiva suministrada por la línea de transmisión es absor-
bida por bobinas de autoinducción, conectados en parale
lo en los terciarios de los transformadores.
Las bobinas de reactancia que se utilizan para la regu-
lación de la tensión, permiten también en general pon.er
bajo tensión una línea importante de potencia reactiva
por la máquina generadora.
4.3 .- TRANSPOSICIÓN DE FASES.
• En líneas de transmisión de alta tensión se trata de e-
-102-
vitar las transposiciones debido a su costo adicional y
complejidad de diseño 3 sin embargo al no hacer transpo-
siciones , la matriz de impedancia de la línea resulta a_
simétrica. Esta asimetría produce alteraciones en las
magnitudes eléctricas del sistema, influyendo en el fun
cionamiento de las máquinas sincrónicas y de inducción,
aumentando las pérdidas de transmisión y obligando en
casos extremos a insensibilizar las protecciones resi-
duales, los inconvenientes técnicos y económicos mencio_
nados deben ser objeto de una cuidadosa evaluación si
se desea justificar el no hacer transposiciones. Se de_
berá hacer sobresaltar que con los estudios de evalua-
ción también hay que determinar la posición relativa Ó£_
tima de fases de los circuitos, en los casos sin trans-
posición.
La transposición se realiza para reducir al mínimo el
desequilibrio electromagnético y electrostático entre •
las fases y la interferencia inductiva a los circuitos
de comunicaciones próximos.
Para determinar cuantitativamente la importancia de los
inconvenientes que produce en un sistema eléctrico una
línea sin transposición o con "transposiciones incomple-
tas es necesario determinar las siguientes magnitudes:
a.-' Corrientes de secuencia negativa, que circulan en
el Sistema Eléctrico externamente a la línea.
b.- Corrientes de secuencia cero que circulan tanto ex
ternamente a la línea como internamente.
En este último caso puede ser necesario determinar la
corriente de secuencia cero que circu-la por cada circu^
to de. la línea. El objeto de calcular estas corrientes
-103-
es determinar si su magnitud alcanza valores que pudie-
sen hacer operar independientemente los sistemas de pro_
tección de sobrecorriente residual o que pudiesen produ
cir tensiones inducidas inaceptables en circuitos de co_
municaciones.
c.- Tensiones de secuencia negativa en.'las barras de
consumo del sistema.
d.- Corrientes que circulan por las fases de cada cir-
cuito , para calcular las perdidas que se producen.
en la linea de transmisión.
Esta circunstancia desfavorable, puede resolverse reali
zando una transposición de fases completa', cambiando
las posiciones de los conductores a intervalos regula-
res a lo largo de la línea, de tal forma, que cada con-
ductor ocupe la posición original de otro a lo largo de
una distancia igual recorrida inicialmente, el gráfico
que sigue a continuación representa- un ciclo completo-
de transposición. ' .
aO
c
Qb•Q
O-b
Oc
-Ob
O-c
-Oa
L_/3_ L/3
GRÁFICO 4 3'5
-104-
La transposición elimina la interferencia de aquella so_.
bre la telefónica, excepto en los casos en que haya de-
sequilibrio , con corrientes eléctricas a tierra o a los
hilos de guardia.
En las líneas de transmisión modernas, por lo general
no se realizan transposiciones en las torres sino en
S/E; ventajosamente la asimetría entre fases de una lí-
nea sin transposición es pequeña que en muchos de los
casos se ha despreciado, calculando como si la tuviera.
La reactancia inductiva de cada fase de una línea sin
transposición, se admite que es igual al valor medio de
la reactancia inductiva de curia fase de la misma línea
en la que se hubiera realizado correctamente la transpo_
sición. El error es pequeño y los cálculos son menos
laboriosos si se utilizan las mismas ecuaciones, para
hallar la inductancia de una línea sin transposición.
Si se considera que los conductores son idénticos y las
distancias de ubicación no varían durante la trayecto-
ria, se escriben las siguientes ecuaciones:
Sección I.
AVa
AVb
¿Ve
Zaa Zab Zac
Zba Zbb Zbc
Zea Zcb Zcc
Sección II,
AVc
AVa
AVb
Zaa " Zab Zac
Zba Zbb Zbc
Zea Zcb Zcc
la
Ib
Ic
Ic
la
Ib
(AV c'a'b)II- c>a>b
-105-
Sección III.
AVb
AVc
AVa
Zaa Zab Zac
Zba Zbb Zbc
Zea Zcb Zcc
Ib
Ic
la
•b,c,a
Con el fin de poder sumar estos vectores se caída de
tensión, es necesario que dichos vectores sean iguales,
por lo que se define una matriz de transposición [T] -.
Por lo que: T] C AV a'b'c)
&¿Ve
AVa
.¿Vb_
=
0 0 1
1 0 _ 0
0 1 0
4
Va
Vb.
Ve
donde:
¿v
"T]-0
i0
0
• : 0
1
1
0
0
w
Para la tercera "sección:
III
r*te
( AV-a,b,c
-
AVb
AVc
AVa
=
Tl =
—0
0
1
0
0
1
10
0
10
0
-
0
10
0
10
• r n
-
AVa
AVb
' AVc
rn _^ rp *—
-if
-106-
1.a matriz [T] de transposición es ortogonal porque cum-
ple la Propiedad.
*~p -, rn
AV ">">-) = |Z
T ( AV a'b)C) = [z] T I
AV '' • - CT11)"1
ocupando las propiedades de la matriz de transposición:r
T = T1
(T11) = T '
Para el cálculo de la caída de tensión cuando se ha e-
f ectuado la transposición tenemos la siguiente matriz.
,a,b,c _
donde:
Z]
-107-
Ztr =
'¿i
Ztr =
-•ir
Ztr =
Zaa Zab Zac
Zba Zbb Zbc
Zea Zcb Zcc
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+
0 1 0
0 0 1
1 .0 0
Zaa Zab Zac
Zba Zbb Zbc
Zea Zcb Zcc
— iZaa Zab Zac
Zba Zbb Zbc
Zea Zcb Zcc
.,
0 1 0
o - o i1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
Zaa + 'Zbb + Zcc
Zab + Zbc + Zea
Zab + Zbc + Zea
"ZPZm
Zm
Zm
Zp
Zm
Zm
Zm
Zp
Zab + Zbc + Zea
Zaa + Zbb + Zcc
Zab + Zbc + Zea
Zab + Zbc + Zea
Zab + Zbc + Zea
Zaa + Zbb + Zcc
donde: Zp = -~- C Zaa. + Zbb + Zcc)O
1Zm = (Zab + Zbc + Zea) -
Si tenemos corrientes balanceadas; la + Ib + le = 'O 5
podemos escribir:
Va = (Zp - Zm) la Zfa = _Va_la = Zp - Zm
Vb = (Zp - Zm) Ib Zfb = VbIb = Zp - Zm
Ve = (Zp - Zm) le 7, fe =VeIc =' Zp - Zm
-4*
-108.
Si:
Zf = ir,RMGa
2/T Dab 2
(Zaa+Zbb+Zcc)-(Zab+Zbc+Zca)
ln lnRMGb 2fT RMGc
Dbc 2 1T Dea'
zf "1
RMGa RMGb RMGc - ln Dab Dbc Dea
Zf = XL.= Xa + Xd = Y.
Xa - v" - • ln67r J RMGa x RMGb x RMGc
Xd = ln1
Dab x Dbc x Dea
XL = Xa + Xd = Xi = Xa
Como por condiciones técnicas y económicas una línea de
transmisión está compuesta sus_ fases del mismo tipo ma--~
terial y de igual sección, por lo que se puede llegar a
RMGa = RMGb = RMGc = RMG.
Para circuitos trifásicos en 'donde los conductores no
se encuentran simétricamente- espaciados, tenemos una ex
presión para la,reactancia inductiva de secuencia posi-
tiva o negativa que es similar al caso simétricamente
espaciado a excepción de Xd que es factor de espacia-
miento- de reactancia inductiva para el GMD de las tres
• • -109-separaciones del conductor; entonces Xd en el caso de
espaciamiento asimétrico de los conductores podemos to-
mar el promedio de los tres factores de espaciamiento
de reactancia inductiva.
-á i^ . Xd = -— X Cdab) + X Cdbc) + X (dea) -^/fase/milla
j
Podemos calcular el GMD de los tres espaciamientos:
GMD = Dab x Dbc x Dea
y usar el factor de espaciamiento de reactancia inductisr . • . ^ . .
va para esta distancia. Este ultimo procedimiento es
el más fácil de los métodos.
Xa: Se toma de los cuadros de características eléctri-
cas de los conductores, y Xd se toma de las tablas de
^ . los factores de espaciamiento de la reactancia inducti-*
va.
Es de- conocimiento general que la mayoría de las líneas
de transmisión trifásicas no tienen conductores simétri_
camente espaciados, la fórmula1 anterior se usa general-
mente para la reactancia inductiva de secuencia positi-
va-negativa, esta fórmula asume que el circuito sea
transpuesto.
Cuando una línea de un solo circuito no está transpues-
ta, ya sea que la falta de simetría vaya a ser ignorada
«& en los cálculos, en aquel caso pueden usarse los méto-
dos generales de las componentes simétricas, al conside
rar esta falta de simetría corrientes y tensiones desi-
guales j se calcula para las tres fases aún cuando las
condiciones del terminal están balanceados.
-110-
En la mayoría de los casos de asimetría es más práctico
tratar el circuito como transpuesto' y usar las ecuacio-
nes para X. y X deducidas para un circuito transpuesto
espaciado no simétricamente. Algún 'error resulta de és_
te método, pero en general esto es pequeño comparado con
los cálculos laboriosos que deben realizarse cuando el
método de componentes simétricas no puede ser usado.
-sí
CAPITULO Y
5.1 .- APLICACIÓN PRACTICA: LINEA DE. TRANSMISIÓN PAUTF. - GUA-
YAQUIL.
ANÁLISIS TÉCNICO:
Según los estudios realizados por el Instituto Nacional
de Electrificación INECEL, es de conocimiento nuestro
que se construirá dos líneas de transmisión de doble
circuito cada una, entre la central generadora Hidro-
eléctrica Paute hacia el principal centro de consumo que
en este caso es la ciudad de Guayaquil.
Las mencionadas lineas de transmisión entran a formar
-112-
M -parte principal en el sistema nacional Ínterconectado
ya que tendrá como, finalidad Ínter conectar nuestro, prin
cipal centro de generación de energía eléctrica con
los principales centros de consumo.
Con el fin de realizar un análisis de aplicación prácti
co, se ha tomado una de las líneas de transmisión de do_
ble circuito que se mencionó anteriormente.
La mencionada línea de transmisión tiene las siguientes
características:
La tensión a la que va a transmitir- la energía eléctri-
ca es de 230 Kv. y es de 11-13 MCM de sección de los con
ductores . Sus dimensiones entre conductores del mismo
circuito y entre los dos' circuitos están de acuerdo a
las especificaciones teóricas, las mismas que van mostra
das en el ráfico # 3,
23
0K
V 1
02
KM
AC
ER
1 1
13M
CM
S/E
PA
SC
UA
LES i? 7t 'V
230
KV
X5
KM
AC
SR
1113
MC
M
MIL
AG
RO
18
0M
VA
\IA
] r
110M
VA
R] ^
230K
VA
CS
R 11
13
MC
M
C/H
P
AU
TE
LIN
EA
D
E
TR
AN
SM
ISIÓ
N
PA
U7
E-G
UA
YA
OU
1L
230
KV
.
•xo.-o.io;
(-3.G5.3G60) ®
K35,31.30)
(-3.85,26)
-©£3.65 , 3G.GO)
-0(4.35, 31.30)
SX3.85, 26)
EJE X
T O R R E SLI
LINEA TRANSMIS IÓN
-113-
Para realisar el análisis se ha tomado "un solo' tipo de '
estructura la misma que es la SU , rué está constitui-
da con un solo cable de guardia,
En este ejemplo se tiene como finalidad calcular las
tensiones inducidas y las impedancias mutuas en las dos
líneas paralelas en la misma torre. ?e calculará: a- .
plicando las formulas teóricas antes expresadas que es-
tán en.función de las distancias en~rí conductores para
el doble circuito.
CALCULO DE LA TENSIÓN INDUCIDA DE ?F^TrM
LAS 'DOS LINEAS DE TRANSMISIÓN PARAL? LAS .
NEGATIVA EN
a 3.65
b ©•435
3.85
3.65
435
3,85
GPAFICO ?V 37
-114-
,;', R
'= 0.0931 li [o.Sfeé Jfoo doc'd'bb'dcg' • /OQ dag.'J bd'deb' ^ n
dat'dba'Jcc' O \ da-L'cJac'cIba'clLb'dca'dcc1 J
u0.0931 I2 Q.8fcfe Joo dac'cJba'J ' _ • Oj- Jaa.'
Jab'dac'Jba'cibc'dca'Jcb<
0.093Í lJ 0.866 íoo ^ac'Jbc'dcc', rL <? dab'dtb'cl.b'
De los estudios realizados por INKCEL en el Departamen-
to de Ingeniería de los sistemas de servicio eléctrico
de la Cía General Electric en Schénectadv, Mew York so-
bre flujos de carga aplicada a la línea-de transmisión
Paute - Guayaquil, -habían dado como resultado que las
corrientes de las tres fases, son las siguientes, toman-
do en cuenta para máxima carpa.
la = 5 0 7 , 7
Ib = 53S3ií 1?.U8,3
Ic = 518,3 123,8
Aplicamos el método, de las componentes simétricas por lo
tanto: .
la = Ia¿+ Iaa+ lao
Ib = aa"Iai+ alas + lao
Ic =, alai+ aalas+ lao
•115
de donde deduciendo tencino:
•tí
la + Ib + lo
la + alb + SL Ic
lat-+ a - Ib + ala
Aplicando las mencionadas fórmulas tenemos los siguien-
tes valores d e l a 0 , la, y la .
Ia0 = 911
= 519,63
lae = 25,69
Para calcular la tensión inducida en el circuito a1 tí c'
debido a las corrientes que circulan por el circuito
a jb ,c, debemos encontrar las distancias que hay entre
los cables de fase -de los dos circuitos y de esta mane-
ra poder aplicar la fórmula antes anotada.
-116-
.3^ m ,>\" m
GRÁFICO
T53
5".3m
dac* = 7;3m=23,951 pies. dab'' = bc='35Gm = 31,438 nies .
dbtí = 8,70111=28,545 pies. dba = dcb= 9 ,76m~32 ,023 pies',
dea = 7,70m-25,264 pies. dcc' = daa=12598m=M2,587 píen.
A
B
C
D
E
0 , 4 .
1,6.
0 , 9 8
2 , 0 9
1,12
1,12
V¿ = 0 , 0 9 3 1 Ii ( O , 8 6 6 ' l o f í 0 , 4 - j ' l o g 1 , 6 ) + 0,0'931 I a C n , 8 6 6
log 0 , 9 8 - j log 2 , 0 2 ) + 0 , 0 9 3 1 I 0 ( G , 8 6 6 lofíl,! 2- j loel,12 )
= 18,54 142,4 voltio/milla.
-117-
Para el caso transpuesto, suponemos que las corrientes
Ii = lo = O .
Vz= 25,69 0,0297 144,19°- 91,43°
V£ = 0,7629 \ 52,7° voltios/milla.
CALCULO DE LA TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA POSITIVA
'PARA 2 L/T NO TRANSPUESTAS.
' * I
Yi = 0.093Í Ii Í0.86É, Joo dok'dbc'dca1 _^ ^ dac'dba'dcb'
0. 0331 ¿ O.C'í
T ( d. 0.093Í lo I 0.866 Jfoo
dac'dbb'cJca'¿TL
dac'dbc'dcc'— I lo
dab'dac'dba-dbc'dca' dcb1
.Di
-t' dac' d ba' d bb' dea1 ¿ce1,
da.a' a ¿a1 Ject'dccj
Ai = 1 , 0 2 .
B
Di
Ei
Fi
2 , 0 8 6
2 , 4 8 .
1,57.
0 , 8 9 .
1,13..
= 14,57 -82,11° voltios/milla.
CALCULO DE LA TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA POSITIVA PA
RA 2 L/T TRANSPUESTAS, ' '
n nnii - -, a dbb dcc= 0,0931
Ai = 1,02.
Bi ~ 2,086.
V¿ = 0,0931 Ii (0,866 log 1,'02-j log 2,0866)
_Ii
= ZÍM = 0;029fi9 -88 ,66° -«/milla.
CALCULO DE LA TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA NEGATIVA PA-
RA 2 L/T NO TRANSPUESTAS, CON UN HILO DE PUARDIA.
V¿ - 0.0<33i Ii 0.866 /oo A - j JOQ 6) -i- O. O93Í Í O . & & 6 /0o C - j jot? Dó (J ó J, v ¿
0. O931 lo 0.6&G Joo £ -j Joo h) - f a033i Ix 0.66& fo_ 0 x 0. oo4 ¡ • \
A = 0,4 D = 2,09 dxc - 7,45 m = 2^,UU pier.
B = 1,6 E = 1,12 dxb = 12,52 m = 41,08 pies-
C = 0,98 F = 1,12 dxa = 17,53 m = 57552 pi^s .
V¿ = 0,0931 [Ti (-0,34 - j 0,204)+ I¿(~0,QQ76-j 0,3?)-)- I0
(0,0426-j 0,049)^ Ix(-0,197-j 0,258)]
volt ios /mi 3- la.
Según podemos darnos cuenta la tensión inducida 'de se-
cuencia negativa, es menor al valor de la línea que no
lleva cable de Guardia , esta diferencia es debido a la
corriente que circula por el cable de Guardia ; por lo
tanto : • *
.
V¿= 18,54 Il'i2° - Ix (0,324 |-127 ,=+" )
CALCULO DE LA TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA CERO PARA 2
L/T NO TRANSPUESTAS.
Aplicamos la fórmula antes anotada para este caso y
calculamos:
Yo - 0.0931 II (0.86&
0.0931 la 0.866 o
Jo O.
M = 1,197
N = 1 ,02
O = 0 , 8 3 5 6
De = 0 , 2 7 9 4
De = 1,14
jaa' dab'dac'dbb'd be1 dea,' dcb'dcc1
c/aa.'cJa¿ ' Jac- Jia.1 dbb'dbc' dca'dcb'
_ P = 1,02
Q = 0 , 0 3 6
= 1000 Ji /milla
Vo = 0 , 0 9 3 l [ ^ I l C O , 8 B 6 IOR 1,197-j loe 1 . 0 2 ) + I 2 C O , 8 B 6 IOP;
0,835-j loR l,02)j + Io(0,2862+j 0,8382
0,036)
V O - 14,2 -72° VD//777//A.
CALCULO DE LA TENSIÓN INDUCIDA DE SECUENCIA CERO PARA 2
L/T PARALELAS TRANSPUESTAS.
-120-
Aplicarnos la formula correspondiente para este caso, y
también ponemos en práct.i ca los ni snos criterios nue na-
ra el caso del cálculo de la tención inducida de secuen-
cia negativa transpuesta.
ZotA ~ .De
= I,2<i2 -7B,6'8° -a/m.illa.
Vo = 11,29 -12.09 voltios/milia
ANÁLISIS TFCNICO.
De los resultados obtenidos al haber aplicado } •??=
las teóricas a la linea de transmisión Pante-^uayaquil.
podemos deducir .lo siguiente:
-NO TRANSPUESmO
Volt/milla
V
V
Vo
= 18,54
= 1H,57
- 1M 52
1 H? ,i\-.
-82 ,11° •
-7 . ?°
TRANSPUESTO
Volt/milla
*.V = 0 , 7 fi 2 9 5 . 7 '
V = 1 5 , i* 9 - m , i 9 °
Vo = 12 , n? -1 ? . 011°
a. - Los valores de las tensiones inducidas de secuencia
positiva, negativa y cero son mayores en el cas<~> de
la línea no transpuesta que para «1 caso en que se e^ec-
túa la transposición, especia].mente en los de secuencia
negativa v cero.
b.- Podemos también darnos cuenta que al realizar la
• -121- .
la transposición los valores de las . i.mpedancias mutuas
de secuencia positiva y cero son menores que las impedan_
cías propias de secuencia positiva y cero de la línea,
según los resultados obtenidos anteriormente.
Generalmente3 este efecto de desbalance no ha causado
problemas, pero puede darse el caso de un fallo al dispa
ro 5 a causa de alguna falla interna de fase. en una lí-
nea c]_ue use relay pilotos del cable, si tiene un arreglo
de secuencia cero o muy senciti vo. La corriente circulan_
te de secuencia cero. dará una indicación de bloqueo a
los relays que superan la secuencia positiva, dándonos
esta solución para reducir la sencibilidad del relé. •
Para líneas de doble circuito, el arreglo más aconseja-
ble es el simétricamente espaciado al rededor del ei e
vertical es decir a,b,c v cv bx a como se tiene en e} ^rá-
fico del ej emplo práctico.
También se puede darse cuenta que Dará líneas de t^ansni
sión paralelas no transpuestas las tensiones inducidas
son una función de las tres corrientes de secuencia, la
impedancia nútua de secuencia -positiva, negativa es ' de
10-15% que la impedancia pronia,de la línea, mientras
que la impedancia mutua de secuencia cero nuerle ser • el
50-70% más alto que la impedancia nron.ia c\& la línea.
5.2.- VENTAJAS TÉCNICAS DK LA -TRANSPOSICIÓN.
Como se expuso anteriormente, el acoplamiento mutuo en-
tre líneas trifásicas de transmisión, o entre'conductov
res de una- misma línea de transmisión, deben ser conside_
rados debido al sistema de protecciones que .se ven afee-
"¿^ tados por el mencionado efecto.
-122-
La transposición misma debe ser real .i 7,ada cada 1/3 de la
línea de transmisión 3 capas que al final volvemos a te-
ner el mismo orden en la configuración del circuito-, es
aconsejable real"1' 7,ar la transposición en las subestacio-
nes , cuando se tienen subestaciones F-. r oxidad ano nt e a"*
distancias adecuadas ; caso contrario se deberá real izar
en las mismas" torres ./
Técnicamente no es aconsejable rea} i 7,ar la transposición
en las torres , debido a su alto costo ya que la torre se
rá especialmente fabricada para efectuarse la transposi-
ción , caso eme a veces no es nada aconsejable .
5.3.- REDUCCIÓN DE PERDIDAS.
Con el in de tener una .pérdida de energía el ectr^'ca ade_
cuada , en la línea de transmisión del e jeTinlo : el Insti-.
turo Nacional de electrificación P-ÍÉCEL. r®aü i 7.6 T- ,,,.i_
dios para determinar el calibre del conductor teonio^ y
económicamente recomendado , llegando a detf reinar se Cur-
sería un conductor -de aluminio ro^on-ad^ e<r acrv-'o '•'.e ti-
na sección 1113 '-'CM.
Las pérdidas cue existe en latí lincas de trans^i n.ión ^
efecto de la alta intensidad, del campo eléctrico , .Alrede_
dor de una línea de alta tensión produce una pérdida de
energía en la línea de transporte; el elevado gradiente
de potencial , provoca una aceleración de los electrones
en el aire , que en muchos casos se ionir'.a el aire dando
lugar a una apreciable pérdida de encrría.
Una forma de reducir las perdidas es construyendo la lí-
nea de transmisión con una sección adecuada del cor.duc-tor capas de transportar 3.a corriente de la máxima carga
r\- .
con una regulación menor del 5%, como en este caso tene-
mos .
CAPITULO
CONCLUSIONES: RECOMENDACIONES Y RESUMEN.
Los fundamentos de la inducción electromagnética han si-- ' " 'do revisados y las formulas generales para los cálculos
de las tensiones inducidas de secuencia positiva, "nerati^
va y cero en líneas de transmisión Daraleü ar. ; para lo
cual ha sido desarrollada y aplicaba al ejemplo prácta^
co de esta tesis para el caso de líneas transpuestas" yr
no transpuestas.-
Las tensiones de inducción son conmlo.jas y vienen a ser
una función de las tres corrientes de secuencia^. Las
imoedancias mutuas de secuencia negativa y positiva son
el 10% menores que la impedarícia prop'aa de 3a linea y .
por esto no son importantes .' Sin embarco el. factor de
secuencia cero puede ser tan alto como el 50-70% de la
impedancia propia de secuencia cero y debe ser considera_
do en estudios de fallo y aplicaciones de protección por
relays.
V- ' ' -125-£
Cuando las configuraciones del conductor de las 2 líneas
son simétricas alrededor de un eje --erticfil, las tensio-
nes inducidas en. las dos líneas paralelas son iguales.
La no simetría produce diferentes tensiones que puede
causar problemas a los relays de protección.
1.- El desequilibrio de la secuenci- cero no es afecta-
do a un grado mucho más grande por cambios en las dis-
tancias del cable de tierra que la ^s3 desequilibrio de
secuencia negativa me-. Por otro-laco mz es afectada a-
preciablemente por los cambios del conductor de a.se más
de lo que es afectado mo . Cono lo? requisitos de ten- .
sión y corriente determinan la dis~r.r.cia del cable de a
se y el tamaño del cable, hay poca libertad de alterar
la configuración del circuito. La? torres de transmisión
pueden sin embargo ? ser disecadas ccr. alf^un forado de. li-
bertad hasta donde concierna la ] oc^T: i zacrinn del cable
de tierra relativa a los conductor-?? de fase.
2 . - La condición práctica del desequilibrio mínimo de
secuencia cero, es cuando los cables dn ti «vr ~\ está en
proximidad de la- configuración equilateral, pero debemos
tomar en cuenta que el ángulo\protectivo máximo es de
30°.
3.- Es difícil hacer conclusiones definidas sobrp cual-
quier configuración ya que el porcentaje de cambio, de
los factores de desequilibrio de la secuencia negativa y
de la secuencia cero como una función de distancia varía
considerablemente para las diferent^^ alturas del cable
de tierra sobre los cables de fase.
R E F E R E N C I A S .
C 1 ) TRANSMISIÓN AWD DISTRIRUTION . <'/ESTINr,HOPS
(2). MOHERN POWER SYSTEMS.-' J.-R- NEWFSV'AMDER : T
TIONAL TEXT BOOK COMPAHY . - 1-°71.
(3) REDES ELÉCTRICAS- VOLUMEN II DF JACINTO
LANDA .
Oí) A.IEE. TRANSACTIO;-TS VOLUMEN TU '. PAGINA 237.
(5) CIEB. TOMO II. SEPTIEMBRE DE r. 973 /
C6) TÉCNICA DF ALTA TENSIÓN DE: A'. ROTH.
(7) TENSIONES INDUCIDAS EN' CIRCUITO OF TPA'-Iñ^TST'Ví
PARALELAS DE BLACKBURM.
(8) CIER. TOMO V. 1.972. IM^ERFE^FNriA HF T.OS cí"CSrTT
MAS DE POTENCIA SOSRE LOS DE TFLFCn^UNICACI^NF.S .
C9) ANÁLISIS Y CALCTTLO DIGITAL DE PERDIDAS POP/AFECTO
CORONA EN L/T.