ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y …tesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/17307/1/Tesis_Final... · Investigar los métodos de sincronización más empleados para inversores

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

ANALISIS DEL MÉTODO DE ENGANCHE

DE FASE, PARA SINCRONIZAR UN

INVERSOR CON UNA RED ELÉCTRICA

DE BAJA TENSIÓN

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

I N G E N I E R O E L E C T R I C I S T A

PRESENTA:

ESTRADA HERNÁNDEZ DIEGO ESAU

DIRECTORES DE TESIS:

M. EN C. MERCEDES LÁZARO GONZAGA

M. EN C. MANUEL ÁGUILA MUÑOZ

MÉXICO, D.F. 2015

DEDICATORIA

Con amor y cariño

para mis padres y hermana

Con amor y cariño

para Aline

AGRADECIMIENTOS

A mi padre Roberto Estrada, mi madre María del Carmen Hernández y hermana

Itzel Berenice Estrada que me han apoyado desde siempre y son el motor de mi

vida.

A mis asesores, a la M. en C. Mercedes Lázaro, por sus enseñanzas, consejos y

su apoyo, al M. en C. Manuel Aguila, por sus enseñanzas, consejos y apoyo

para realizar este trabajo.

Al Instituto Politécnico Nacional por ser el espacio de crecimiento intelectual y

personal.

A la ESIME Zacatenco por brindarme los conocimientos necesarios en mis

estudios de ingeniería.

Al proyecto de investigación titulado “Sistemas de adquisición de datos básicos

para elementos de la planta solar” con registro SIP-20130235, por haber

proporcionado los cursos necesarios para desarrollar este trabajo.

INDICE Página

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. I

ANTECEDENTES ......................................................................................................................... III

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................................... IV

OBJETIVOS ..................................................................................................................................... V

JUSTIFICACIÓN .......................................................................................................................... VI

ALCANCES Y LIMITACIONES................................................................................................ VII

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................................. VIII

LISTA DE TABLAS ..................................................................................................................... XII

GLOSARIO ....................................................................................................................................XV

CAPÍTULO 1: MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN ............................................................... 1

1.1 CONEXIÓN DE CONVERTIDORES DE POTENCIA A LA RED ELÉCTRICA ................ 1

1.2 MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN ..................................................................................... 5

1.3 ESTRUCTURA DE CONTROL PARA CONVERTIDORES CONECTADOS A LA RED

ELÉCTRICA ................................................................................................................................ 10

CAPÍTULO 2: LAZO DE ENGANCHE DE FASE ................................................................. 11

2.1 ESTRUCTURA ESTÁNDAR DEL LAZO DE ENGANCHE DE FASE .............................. 11

2.2 MODELO LINEAL ................................................................................................................ 14

2.3 DISEÑO DEL FILTRO DE LAZO ........................................................................................ 17

2.3.1 Filtro de lazo de Primer Orden ...................................................................................... 17

2.3.2 Filtro de lazo de Segundo Orden ................................................................................... 18

2.3.3 Filtro de lazo de Orden Superior ................................................................................... 19

2.3.4 PID como filtro aplicable………………………………………………………………………19

CAPÍTULO 3: LOCALIZACIÓN DE LAS GANANCIAS PARA EL MODELO PLL

UTILIZANDO LGR ....................................................................................................................... 21

3.1 CRITERIOS DE DISEÑO PARA EL CONTROLADOR ...................................................... 21

3.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAÍCES ............. 22

3.2.1 Sintonización del controlador PI con LGR…………………………………………………...23

3.2.2 Sintonización del controlador PID con LGR…………………………………………………27

3.3 SIMULACIÓN DEL PLL APLICANDO LAS CONSTANTES DEL CONTROLADOR PI Y

PID EN MATLAB SIMULINK………………………………………………………………….30

3.4 SIMULACIÓN DEL PLL APLICANDO LAS CONSTANTES DEL CONTROLADOR PI Y

PID EN LabVIEW……………………………………………………………………………….33

CAPÍTULO 4: IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO PLL DE SEGUNDO ORDEN CON

LabVIEW ......................................................................................................................................... 41

4.1 CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA DE ADQUISICIÓN DE DATOS ................................. 41

4.1.1 Fuente ARTES 300 ........................................................................................................... 43

4.1.2 Tarjeta NI-USB 6008 ....................................................................................................... 43

4.1.3 Sensores de tensión ......................................................................................................... 44

4.1.4 LabVIEW 2012……………………………………………………………………………………45

4.2 ADQUISICIÓN DE SEÑAL DE REFERENCIA CON CONTROLADOR PI...................... 48

4.2.1 Incremento de tensión (Swell) .............................................................................................. 49

4.2.2 Decremento de tensión (Sag)……………………………………………………………………….50

4.2.3 Variación de frecuencia ....................................................................................................... 51

4.2.4 Variación de fase…………….……………………………………………………………………….53

4.2.5 Armónicos ............................................................................................................................ 55

4.3 ADQUISICIÓN DE SEÑAL DE REFERENCIA CON CONTROLADOR PID ................... 57

4.3.1 Incremento de tensión (Swell) .............................................................................................. 58

4.3.2 Decremento de tensión (Sag)……………………………………………………………………….59

4.3.3 Variación de frecuencia ....................................................................................................... 60

4.3.4 Variación de fase…………………………………………………………………………................61

4.3.5 Armónicos ............................................................................................................................ 63

4.4 ERROR DE ÁNGULO CON CONTROLADOR PI Y PID ................................................... 65

4.4.1 Error de ángulo con incremento de tensión (Swell) ............................................................. 67

4.4.2 Error de ángulo con decremento de tensión (Sag)………………………………………………68

4.4.3 Error de ángulo con variación de frecuencia ...................................................................... 69

4.4.4 Error de ángulo con variación de fase……..…………………………………………................71

4.3.5 Error de ángulo con armónicos ........................................................................................... 72

4.5 ERROR DE FRECUENCIA CON CONTROLADOR PI Y PID ........................................... 73

4.5.1 Error de frecuencia con incremento de tensión (Swell) ....................................................... 73

4.5.2 Error de frecuencia con decremento de tensión (Sag)…………………….……………………75

4.5.3 Error de frecuencia con variación de frecuencia ................................................................ 76

4.5.4 Error de frecuencia con variación de fase……..………………..……………………................78

4.5.5 Error de frecuencia con armónicos ..................................................................................... 79

DISCUSION DE LOS RESULTADOS ......................................................................................... 81

CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 84

RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS ................................................................... 87

REFERENCIAS .............................................................................................................................. 89

APÉNDICE ...................................................................................................................................... 93

A. CONCEPTOS BÁSICOS DE SISTEMAS DE CONTROL .................................................... 93

B. LUGAR GEÓMETRICO DE LAS RAÍCES ......................................................................... 103

C. SIMULACIÓN DEL PLL EN MATLAB SIMULINK .......................................................... 107

D. SIMULACIÓN DEL PLL EN LabVIEW .............................................................................. 115

E. DIAGRAMA ELÉCTRICO DE SENSORES DE TENSIÓN ................................................ 120

I

INTRODUCCIÓN

El incremento actual de las tecnologías para la generación no convencional de energía eléctrica o

energías renovables (sistemas fotovoltaicos, generadores eólicos, biogás, etc.) representan una

alternativa viable a la generación convencional, basada en combustibles fósiles. Estos tipos de

generación no convencional de energía son llamados también: Sistemas de Generación Distribuida

y han experimentado un desarrollo importante a nivel mundial en países como Alemania,

Dinamarca, Japón y Estados Unidos. Debido al incremento de estos sistemas conectados a la red

eléctrica, ha sido necesario establecer nuevas normas y estándares más estrictos para mejorar la

calidad de energía en la red y lograr funciones de protección y sincronización.

Para efectuar la conexión entre el Sistema de Generación Distribuida y la red eléctrica, se necesita

la sincronización de los siguientes parámetros eléctricos: magnitud de tensión, frecuencia y ángulo

de fase. Para los dos últimos aspectos se pueden emplear técnicas de control basadas en esquemas

digitales de sincronización los cuales garantizan una interconexión adecuada en regímenes

normales y anormales de operación.

La sincronización puede ser efectuada con distintos métodos, los cuales poseen a su vez diferentes

técnicas de funcionamiento y usualmente toman como referencia una señal de tensión de la red,

para obtener la frecuencia y ángulo de la misma. Sin embargo esta señal de referencia posee

armónicos, incrementos y decrementos de tensión, variaciones de ángulo de fase y variaciones de

frecuencia, por lo tanto el método seleccionado debe poseer una respuesta dinámica favorable.

El lazo de enganche de fase (PLL, Phase Locked Loop, por sus siglas en inglés) es un dispositivo

empleado en varias ramas de la ingeniería y se ha convertido en el método más usado para la

conexión de convertidores de potencia con la red. La filosofía del lazo de fase cerrada es generar

una señal en la que tanto frecuencia como ángulo se igualen a las de una señal de referencia.

La estrategia convencional para este lazo de control es comparar el ángulo de fase de la señal de

referencia y la señal generada y hacer que su diferencia sea la mínima posible.

II

El método de enganche de fase, puede ser monofásico o trifásico, y a su vez existe más de una

técnica por cada uno, en el presente trabajo se analiza el PLL de segundo orden, se estudia su

modelo lineal, se propone un análisis empleando un controlador PI (Proporcional Integral) y un

controlador PID (Proporcional Integral Derivativo) en su filtro de lazo, se simula la respuesta en

MATLAB Simulink 2013 y en LabVIEW 2012 para validar las ganancias calculadas en ambos

controladores y finalmente se muestra una parte experimental donde se simulan condiciones

anormales de operación en la señal de referencia y se observa el error de ángulo y frecuencia

estimado entre la señal generada por el PLL y la señal de referencia.

III

ANTECEDENTES

La descripción teórica del lazo de enganche de fase (PLL, Phase Locked Loop) fue bien establecida

en la década de los 70´s pero no logro un uso generalizado debido a la dificultad en su realización.

Con el advenimiento de los circuitos integrados, el PLL fue ampliamente usado en los sistemas de

comunicaciones modernas y permitió un gran progreso en dispositivos electrónicos para

comunicación (modulación de frecuencia y fase). En la misma década, investigadores en control

desarrollaron el lazo de enganche de fase para un sistema de control de velocidad para un motor

síncrono. Desde entonces se desarrollaron también servomecanismos que empleaban el lazo en un

circuito integrado de forma analógica para controlar motores de CA y CD.

Actualmente, existen diversas publicaciones científicas orientadas al estudio y análisis del PLL

para utilizarlo en la extracción del ángulo de fase de la red eléctrica [10]-[21]. Este mismo ángulo

de fase será utilizado en una etapa diferente de control por el convertidor de potencia conectado a

la red. Varios de estos artículos contienen desde el principio de operación en general, el análisis

matemático de cada etapa, hasta la simulación y/o la implementación con microprocesadores

modernos. La diferencia radica principalmente en el tipo de esquema propuesto para el PLL, con

variantes en el tipo de filtro de lazo utilizado para llevar a cabo el control de frecuencia y ángulo

de fase. En algunos se agrega también un estudio sobre la respuesta del esquema propuesto ante

pequeños disturbios como armónicos, variaciones de frecuencia y ángulo, variaciones de tensión y

fallas en la red eléctrica de baja tensión. Con la finalidad de comparar la respuesta dinámica ante

otro esquema.

Se cuenta con un antecedente realizado en la ESIME Zacatenco los datos se muestran en la

referencia [25]. Dicho trabajo presenta la aplicación del método de enganche de fase para

sincronizar un convertidor PWM trifásico con factor de potencia unitario a la red eléctrica de baja

tensión, utilizando un control PI para el lazo de corriente, programado en el DSC 56F84789.

IV

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Los métodos digitales de sincronización tienen un papel importante en los sistemas de generación

distribuida debido a que aseguran la inyección de potencia activa del convertidor de potencia a la

red eléctrica, la mayor parte de estos obtienen el ángulo del vector que representa la tensión

eléctrica de la red y el objetivo principal es que bajo condiciones anormales de operación el método

funcione correctamente.

El método de enganche de fase es el más utilizado por su simplicidad y efectividad y posee diversas

variantes, una de ellas y la más básica es el PLL de segundo orden el cual es usado comúnmente

con un controlador PI (interno), se espera que este modelo opere correctamente ante condiciones

anormales sin embargo es necesario probar su funcionamiento y si llegara a fallar en lugar de optar

por una variante más avanzada, se propone para este caso probar con un controlador más robusto

como lo es el PID aplicándolo al mismo modelo básico del PLL y no invertir en un mayor costo

computacional para la mejora del PLL.

V

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL.

Desarrollar mediante un estudio lineal, el análisis del modelo general del lazo de enganche de fase

(PLL, por sus siglas en inglés) aplicando un controlador PI (Proporcional Integral) y un controlador

PID (Proporcional Integral Derivativo) como filtro de lazo.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Investigar los métodos de sincronización más empleados para inversores.

Conocer y describir los fundamentos teóricos del funcionamiento del lazo de enganche de

fase.

Simular la respuesta del modelo general del PLL usando MATLAB.

Implementar el modelo general del PLL en un sistema de adquisición de datos, controlado

por LabVIEW.

VI

JUSTIFICACIÓN

Actualmente se pueden observar dos fenómenos importantes que tienen que ver con los

convertidores de potencia conectados al sistema de distribución y su sincronización en baja tensión,

el primero es el incremento de cargas no lineales, lo cual ha provocado que la forma de onda de

tensión en los puntos de conexión con el usuario se distorsione además de pequeñas variaciones de

frecuencia, saltos de ángulo de fase, elevaciones de tensión etc. El segundo fenómeno es la

generación distribuida, donde se emplean convertidores de potencia y se tiene la necesidad de

efectuar una sincronización para interconectarlos con la red.

De acuerdo con la Resolución Núm. RES/119/2012, emitida en el Diario Oficial de la Federación

(DOF) el martes 22 de mayo de 2012, para llevar a cabo una interconexión entre un inversor y la

red de baja tensión se debe cumplir con sincronismo, como función de protección. Para efectuar

dicha sincronización se pueden usar diversos métodos, uno de ellos es el lazo de enganche de fase

o PLL (Phase Locked Loop, por sus siglas en inglés), usado ampliamente en la sincronización de

los convertidores de potencia.

Hasta este punto si se desea interconectar un inversor con la red de baja tensión es necesario

efectuar un análisis previo de los esquemas basados en el PLL, el cual permitirá tanto al usuario y

fabricante conocer la respuesta dinámica del convertidor así como posibles fallas debido a las

perturbaciones en la red eléctrica convencional.

VII

ALCANCES Y LIMITACIONES

Alcances.

Se describe por medio de un diagrama de bloques y expresiones matemáticas el modelo

lineal del lazo de enganche de fase (PLL), el cual emplea un filtro de lazo (controlador PI

o PID) para controlar la frecuencia y el ángulo de una señal sincronizada con la señal de

referencia.

Se muestra la simulación del bloque PLL en MATLAB 2013 y LabVIEW 2012, para

distintos valores de ganancias calculadas empleando el lugar geométrico de las raíces.

Se elabora un instrumento virtual utilizando el bloque PLL de segundo orden con LabVIEW

y se implementa en un sistema de adquisición de datos.

Limitaciones.

No se describe el funcionamiento de los demás métodos de sincronización basados en el

lazo de enganche de fase.

La operación del instrumento virtual está limitado por la velocidad de procesamiento del

ordenador.

Para implementar de forma adecuada el método es preciso la elaboración de la estructura

de control completa para conectar un inversor con la red, desde el diseño/uso de un inversor

hasta el control de tensión en CD y lazo de corriente por lo que se requiere de mayor

inversión en costo y tiempo.

VIII

LISTA DE FIGURAS

Página

Figura 1. Estructura general para convertidores de potencia conectados a la red eléctrica………………..2

Figura 2. Esquema para la interconexión de generación a pequeña escala……………………………………4

Figura 3. Señales de voltaje del inversor, de la red eléctrica y la componente fundamental de la red.........6

Figura 4. Señales de voltaje de referencia y corriente inversor inyectada a la red…………………………...7

Figura 5. Estructura de control para inversores conectados a la red (marco de referencia natural)…….10

Figura 6. Estructura básica del PLL……………………………………………………………………………….11

Figura 7. Estructura recomendada para modelar el OCV………………………………………………………12

Figura 8. Segunda estructura recomendada para modelar el OCV……………………………………………13

Figura 9. Modelo simplificado del lazo de enganche de fase cuando el término de doble frecuencia es

despreciado…………………………………………………………………………………………………………….15

Figura 10. Modelo lineal del lazo de enganche de fase………………………………………………………….16

Figura 11. Modelo del sistema con función de transferencia…………………………………………………..16

Figura 12. Lugar geométrico de las raíces para 𝑧 = 25………………………………………………………..23

Figura 13. Respuesta al escalón de la función de transferencia para el controlador PI……………………26

Figura 14. Lugar geométrico de las raíces para 𝑧1 = −50 y 𝑧2 = −100…………………………………...28

Figura 15. Respuesta al escalón de la función de transferencia para el controlador PID..………………..29

Figura 16. Frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando controlador PI…………………...31

Figura 17. Angulo instantáneo estimado por el PLL monofásico usando controlador PI…………………..32

Figura 18. Frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando controlador PID…………………32

Figura 19. Angulo instantáneo estimado por el PLL monofásico usando controlador PID………………..33

Figura 20. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 0 a 0.5s…34

Figura 21. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 0.5 a 4s…34

Figura 22. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 3 a 3.5 s..35

Figura 23. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo de

0 a 0.5 s……………………………………………………………………………………………………………… ...35


0 a 4 s…………………………………………………………………………………………………………………...36

IX


3 a 3.5 s…………………………………………………………………………………………………………………36

Figura 26. Error de ángulo del PLL con controlador PI incrementado el amortiguamiento (estado

transitorio)……………………………………………………………………………………………………………..37


estable)………………………………………………………………………………………………………………….38

Figura 28. Error de ángulo del PLL con controlador PI a una frecuencia de muestreo de 2940 Hz……..39



Figura 31. Sistema de adquisición de datos para implementación del PLL de segundo orden…………….42

Figura 32. Fuente programable ARTES 300………………………………………………………………………43

Figura 33. Ventana VD Monitor para configurar la señal de tensión y corriente de salida de la fuente

ARTES 300……………………………………………………………………………………………………………..43

Figura 34. Puertos de tarjeta de adquisición de datos NI USB 6008 de NATIONAL INSTRUMENTS…...44

Figura 35. Sensores de tensión montados en la PCB diseñada y construida en el proyecto de

investigación SIP-20140457…………………………………………………………………………………………44

Figura 36. Diagrama de flujo del programa para medir la señal de referencia y generar con el PLL…...45

Figura 37. Diagrama de bloques del programa elaborado para medir la señal de referencia y generar con

el PLL…………………………………………………………………………………………………………………...46

Figura 38. Panel frontal del programa para medir la señal de referencia y generar la señal de

seguimiento con el PLL de segundo orden………………………………………………………………………...47

Figura 39. Señal de referencia medida con incremento de tensión y señal seguimiento generada por el

PLL con controlador PI……………………………………………………………………………………………...49

Figura 40. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.15 s en prueba de incremento de tensión……………….49

Figura 41. Señal de referencia medida con decremento de tensión y señal seguimiento generada por el

PLL con controlador PI………………………………………………………………………………………………50

Figura 42. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.15 s en prueba de decremento de tensión……………….51

Figura 43. Señal de referencia medida con variación de frecuencia y señal seguimiento generada por el

PLL con controlador PI………………………………………………………………………………………………52

Figura 44. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de variación de frecuencia……………….52

Figura 45. Acercamiento en el intervalo de 0.45 a 0.75 s en prueba de variación de frecuencia………….53

Figura 46. Señal de referencia medida con variación de fase y señal seguimiento generada por el PLL

con controlador PI…………………………………………………………………………………………………….53

X

Figura 47. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de variación de fase………………………54

Figura 48. Acercamiento en el intervalo de 0.4 a 0.65 s en prueba de variación de fase…………………..54

Figura 49. Señal de referencia medida con armónicos y señal seguimiento generada por el PLL con

controlador PI…………………………………………………………………………………………………………55

Figura 50. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de armónicos………………………………55

Figura 51. Acercamiento en el intervalo de 0.2 a 0.2833 s en prueba de armónicos………………………..56


PLL con controlador PID…………………………………………………………………………………………….58

Figura 53. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.7 s en prueba de incremento de tensión…………………58








con controlador PID………………………………………………………………………………………………….62

Figura 59. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.7 s en prueba de variación de fase………………………62


controlador PID……………………………………………………………………………………………………….63

Figura 61. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.7 s en prueba de armónicos………………………………63

Figura 62. Acercamiento en el intervalo de 0.22 s a 0.35 s en prueba de armónicos……………………….64

Figura 63. Diagrama a bloques del programa elaborado para obtener el ángulo y frecuencia de las

señales medidas………………………………………………………………………………………………………..65

Figura 64. Panel frontal del programa elaborado programa para obtener el ángulo y frecuencia de las

señales medidas………………………………………………………………………………………………………..66

Figura 65. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5 s, con incremento de

tensión en la señal de referencia…………………………………………………………………………………….67

Figura 66. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.1666 a 0.4166 s, con

incremento de tensión en la señal de referencia…………………………………………………………………..67

Figura 67. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.47 s, con decremento

de tensión en la señal de referencia………………………………………………………………………………...68

Figura 68. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.47 s, con decremento

de tensión en la señal de referencia………………………………………………………………………………...69

XI

Figura 69. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.9 s, con variación de

frecuencia en la señal de referencia………………………………………………………………………………..70


variación de frecuencia en la señal de referencia………………………………………………………………..70


fase en la señal de referencia………………………………………………………………………………………..71


variación de frase en la señal de referencia………………………………………………………………………72

Figura 73. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5792 s, con armónicos

en la señal de referencia……………………………………………………………………………………………..72


armónicos en la señal de referencia………………………………………………………………………………..73

Figura 75. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5s, con

incremento de tensión en la señal de referencia…………………………………………………………………..74

Figura 76. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.1666 a

0.4166s, con incremento de tensión en la señal de referencia…………………………………………………..74


decremento de tensión en la señal de referencia………………………………………………………………….75

Figura 78. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.15 a 0.4s,

con decremento de tensión en la señal de referencia…………………………………………………………….76

Figura 79. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 1 s, con

variación de frecuencia en la señal de referencia………………………………………………………………...77

Figura 80. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.333 a 0.825

s, con variación de frecuencia en la señal de referencia………………………………………………………...77

Figura 81. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.8 s, con

variación de fase en la señal de referencia………………………………………………………………………..78


s, con variación de fase en la señal de referencia………………………………………………………………..79

Figura 83. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5792 s,

con armónicos de fase en la señal de referencia…………………………………………………………………80


0.4264 s, con armónicos en la señal de referencia………………………………………………………………80

XII

LISTA DE TABLAS

Página

Tabla 1. Tiempo de Respuesta del Sistema ante frecuencias anormales……………………………….3

Tabla 2. Métodos monofásicos de sincronización…………………………………………………………8

Tabla 3. Métodos trifásicos de sincronización…………………………………………………………….9

Tabla 4. Parámetros correspondientes al polo 𝑧 = −50………………………………………………...24

Tabla 5. Parámetros correspondientes al polo 𝑧 = −67.4………………………………………………27

Tabla 6. Datos estadísticos de la frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando

controlador PI………………………………………………………………………………………………….28


controlador PID……………………………………………………………………………………………….30

Tabla 8. Parámetros de comparación entre el error de ángulo usando los controladores PI y

PID……………………………………………………………………………………………………………....32

Tabla 9. Parámetros de comparación entre el error relativo de frecuencia con el controlador PI y

PID………………………………………………………………………………………………………………34

Tabla 10. Generación de señal de referencia con perturbación para controlador PI……………….44

Tabla 11. Generación de señal de referencia con perturbación para controlador PID……………..49

Tabla 12. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con incremento de

tensión…………………………………………………………………………………………………………..57

Tabla 13. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con decremento de

tensión…………………………………………………………………………………………………………..58

Tabla 14. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con variación de

frecuencia……………………………………………………………………………………………………….60


fase………………………………………………………………………………………………………………61

Tabla 16. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con armónicos…..62

Tabla 17. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con

incremento de tensión…………………………………………………………………………………………64


decremento de tensión………………………………………………………………………………………...65


variación de frecuencia……………………………………………………………………………………….67

XIII


variación de fase……………………………………………………………………………………………….68


armónicos………………………………………………………………………………………………………69

XIV

GLOSARIO

ZCD: Cero Crossing Detector (Detector de Cruce por Cero)

PLO: Phase Locked Oscillator (Oscilador de Enganche de Fase)

DFT: Digital Fourier Transform (Transformada de Fourier Digital)

ANF: Adaptive Notch Filter (Filtro de Muesca Adaptativo)

KF: Kalman Filter (Filtro Kalman)

WLSE: Weighted Least Squares Estimation (Estimación Ponderada por Mínimos

Cuadrados)

ANN: Artificial Neuronal Network (Red Neuronal Artificial)

EPLL: Enhanced Phase Locked Loop (Lazo de Enganche de Fase Mejorado)

APLL: Adaptive Phase Locked Loop (Lazo de Enganche de Fase Adaptativo)

SRF-PLL: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop (Lazo de Enganche de Fase

con Marco de Referencia Síncrono)

SRF-PLL LPF: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop with Low Power Filter

(Lazo de Enganche de Fase con Marco de Referencia Síncrono con Filtro Pasabajas)

SRF-PLL MAF: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop with Moving Average

Filter (Lazo de Enganche de Fase con Marco de Referencia Síncrono con Filtro Promedio

Móvil)

SRF-PLL DFT: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop with Digital Fourier

Transform (Lazo de Enganche de Fase con Marco de Referencia Síncrono con

Transformada Discreta de Fourier)

SRF-PLL SC: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop with Symmetric

Components (Lazo de Enganche de Fase con Marco de Referencia Síncrono con

Componentes Simétricas)

1

CAPÍTULO 1

MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN

“Nothing is too wonderful to be true if it be

consistent with the laws of nature”

Michael Faraday

En este capítulo se explica la conexión de convertidores de potencia a la red eléctrica, así como

una comparación entre los métodos de sincronización empleados actualmente. Se describe el

principio de operación del lazo de enganche de fase (Phase Locked Loop, PLL) como método para

analizar en este trabajo y también su ubicación en el sistema de control del lado de la red eléctrica.

1.1 CONEXIÓN DE CONVERTIDORES DE POTENCIA A LA RED ELÉCTRICA

La estructura general de un convertidor de potencia conectado con la red eléctrica de baja tensión

consta de cuatro elementos [1].

a) Fuente de generación no convencional de energía; panel fotovoltaico y/o generador eólico,

principalmente;

b) Convertidor de potencia (inversor);

c) Red eléctrica de baja tensión;

d) Control del sistema.

El control del sistema es el que hace posible la interconexión y es quizás el elemento más

importante. A su vez este posee distintas tareas de control, las cuales pueden dividirse en dos

grandes partes:

a) Control del lado del convertidor, es el encargado de extraer la máxima potencia de la fuente

de generación, generar los pulsos de disparo del convertidor y naturalmente proteger al

convertidor en su entrada.

b) Control del lado de la red eléctrica:

Sincronización

Regulación de tensión

Protección contra sobre corriente, etc.

2

En la figura 1 se muestra la estructura general para un convertidor de potencia conectado a la red

eléctrica de baja tensión [1]. Del lado izquierdo se encuentra el primer bloque de la estructura y

corresponde a la entrada de potencia, la cual puede ser generación con energías renovables, después

se encuentra el convertidor de potencia, es común que sea un inversor, del lado derecho se

encuentra la carga del sistema. El último elemento es el sistema de control general, que se divide

en el control del lado de la entrada de potencia y control del lado de la red eléctrica, el primer tipo

de control tiene que ver con las necesidades que requiere la generación de energía, mientras que el

segundo tipo de control tiene que ver con la relación entre el convertidor de potencia y la carga,

comúnmente este control viene integrado en el convertidor.

Figura 1. Estructura general para convertidores de potencia conectados a la red eléctrica

Energía eólica

Fotovoltaica

Célula de

combustible

Convertidor de Potencia

Red eléctrica de baja

tensión

Carga local

Control de Potencia

de Entrada

Seguidor de Máxima

Potencia

Control de velocidad

del generador

Sistema de

Control General

Unidad de monitoreo

de la red eléctrica

Unidad de

sincronización con la

red eléctrica

Detección de

impedancia de línea

Entrada de potencia Carga del Sistema

Control del lado de entradaControl del lado de la red

eléctricaP* Q*

3

A continuación se describen los aspectos generales para efectuar la interconexión entre un inversor

trifásico y la red eléctrica de baja tensión de acuerdo a la norma Núm. RES/119/2012 emitida por

la Comisión Reguladora de Energía [2].

a) Tensión

Menor o igual a 1kV.

En estado permanente las fuentes de energía deberán operar y mantenerse conectadas durante

fluctuaciones que no excedan un rango de +5% a -10% de la tensión nominal en el punto de

interconexión.

b) Capacidad

Capacidad máxima a instalar:

Servicio de uso residencial hasta 10 kW.

Servicio de uso general de baja tensión hasta 30 kW.

c) Frecuencia

Cuando la frecuencia del sistema no se encuentra dentro de los rangos de la tabla 1, la protección

en el punto de interconexión deberá operar con los tiempos indicados en la misma. Los dispositivos

de frecuencia podrán ser fijos o ajustables en campos para las fuentes de energía menores o iguales

a 30 kW de capacidad total y ajustable en campos para fuentes de energía mayores a 30 kW de

capacidad total.

Tabla 1. Tiempo de Respuesta del Sistema ante frecuencias anormales

Capacidad de la Fuente de

Energía

Rango de frecuencia

(Hz)

Tiempo de operación

(s)

=30 kW >60.5 0.16

<59.3 0.16

4

El esquema mostrado en la figura 2, muestra el equipo de medición y protección a utilizar de

acuerdo con la norma [2].

Figura 2. Esquema para la interconexión de generación a pequeña escala

El equipo a implementar se divide en las siguientes partes [2]:

d) Equipo de Medición

El medidor de la generación total M1 puede venir integrado con el equipo, por lo que el solicitante

deberá proporcionarlo e instalarlo a la salida del inversor antes de la carga.

El medidor M2 corresponde al medidor para facturación y tiene las siguientes características:

Medidor electrónico de clase 15 de 100 A o clase 30 de 200 A, según corresponda a la carga y tipo

de medición del cliente; 1, 2 o 3 fases y rango de 120 a 480 V, base tipo “S”, formas 1S, 2S, 12S

O 16S. La clase de exactitud de 0.5% con medición de kWh bidireccional.

e) Equipo de Protección

Dispositivo de protección y desconexión acorde a las características del generador.

Dispositivo de protección y desconexión acorde a las características de la carga y nivel de corriente

de corto circuito en el punto de interconexión.

G: Generador M1, M2: Medidor 1, Medidor 2 SEN: Sistema Eléctrico Nacional CD/CA: Convertidor Corriente Directa a Corriente Alterna I1, I2: Interruptor 1, Interruptor 2 PI: Punto de Interconexión

5

Ante condiciones anormales de operación para prevenir daños y garantizar seguridad de los

usuarios, las fuentes de energía se desconectaran automáticamente del sistema eléctrico nacional,

mediante las protecciones que se muestran en la figura 2.

f) Calidad de la Energía

Valores máximos permitidos en la operación:

Componente armónico individual máximo de tensión: 6%

Distorsión armónica total de tensión: 8%

Desbalance máximo permitido en la tensión: 3%

Desbalance máximo permitido en la corriente: 5%

1.2 MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN

La mayoría de los inversores operan como fuentes de corriente, inyectando una corriente sinusoidal

que debe estar en fase con la tensión de la red eléctrica de baja tensión, para lograr un factor de

potencia igual o muy cercano a la unidad. Se requiere por tanto que el inversor este sincronizado

con la componente fundamental de tensión de la red, incluso si la tensión de la red esta

distorsionada o desbalanceada o cuando existe una variación en la frecuencia. En las figuras 3 y 4

[3] se muestra un ejemplo de sincronización en estado estable, donde se puede observar que cuando

la tensión de la red 𝑉𝑅𝐸𝐷 esta distorsionada, el sistema de sincronización es capaz de extraer la

componente fundamental de secuencia positiva 𝑉𝑅𝐸𝐷,1+.

6

Figura 3. Señales de voltaje del inversor, de la red eléctrica y la componente fundamental de la red

La componente fundamental de la red (𝑉𝑅𝐸𝐷,1+), es usada por el método de modulación del

inversor, con la finalidad de asegurar que la corriente inyectada a la red (𝑖𝐼𝑁𝑉) este en fase con la

tensión fundamental de esta, como se muestra en la figura 4 [3].

350

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

Tiempo (s)

0.03330 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

𝑉𝐼𝑁𝐷𝑉𝑅𝐸𝐷

𝑉𝑅𝐸𝐷, 1+

θ: Desfasamiento V

IND: Tensión del inversor

VRED

: Tensión de la red

VRED, 1+

: Componente fundamental de tensión de la red

7

Figura 4. Señales de voltaje de referencia y corriente inversor inyectada a la red

De esta manera, el flujo de potencia activa hacia la red puede ser controlado, asumiendo que el

factor de potencia es igual a la unidad, la potencia entregada hacia la red está dada por la siguiente

expresión [3]:

𝑃𝑅𝐸𝐷 = (𝑉𝑅𝐸𝐷)∗ 𝐼𝐼𝑁𝑉 (1)

Obtener la componente fundamental de tensión de la red, en el punto de interconexión no es una

tarea fácil. La tensión de la red puede contener disturbios debido a armónicos y desbalances de

tensión presentes en la red o debido a la resonancia en los cambios de frecuencia entre los elementos

pasivos del inversor y la impedancia de la red. Por lo tanto el sistema de sincronización tiene que

garantizar el filtrado requerido con las respuestas dinámicas y estables deseadas.

El tiempo de arranque que requiere el sistema de sincronización para estar operando y el inversor

para inyectar energía, también debe ser tomado en cuenta.

Varias técnicas han sido introducidas a la literatura para la implementación de la sincronización

con la red, tomando en cuenta los detalles anteriores.

1.2

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

0.03330 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

VINV

𝑉𝑅𝐸

𝐼𝐼𝑁𝑉

VREF

: Voltaje de referencia

IINV

: Corriente del inversor

8

En la tabla 2 [3], se muestra la comparación de los métodos monofásicos, los cuales se subdividen

en tres grupos, método analógico, método digital lazo abierto, y método digital de lazo cerrado.

También se observan seis categorías por columna para comparar cualitativamente los métodos. En

la sección de método digital de lazo abierto, se ubica el Phase Locked Loop (PLL), una traducción

al español puede ser como lazo de enganche de fase.

Tabla 2. Métodos monofásicos de sincronización*

Método de sincronización

Inmunidad a la distorsión

Adaptabilidad a

la frecuencia

Robustez

ante

desequilibrio

Respuesta

dinámica

Costo

computacional

Complejidad

MO

NO

FÁ

SIC

O

Mét

od

o

An

aló

gic

o

ZCD

Baja

Mediana

-

Lenta

Bajo

Baja

DFT

Alta

Alta

- Muy

baja

Alto Alta

Mét

od

o D

igit

al

La

zo A

bie

rto

ANF

Media

Mediana

-

Muy

baja

Alto

Alta

KF

-

Mediana-

Alta

-

-

Muy alto

Muy alta

WLSE

-

Mediana-

Alta

-

-

Mediana

Mediana

ANN

-

Mediana-

Alta

-

Mediana-

Rápida

Bajo

Alta

PLL

Media

Mediana

-

Mediana

Bajo-

mediano

Baja

Mét

od

o D

igit

al

La

zo

Cer

rad

o

EPLL

Alta

Mediana

-

Mediana

baja

Mediano

Baja

mediana

APLL

Mediana

Mediana-Alta

-

Mediana

rápida

Mediano

Mediana

SRF-

PLL

Alta

Alto

-

Mediana

Mediano alto

Mediana

alta

*Los nombres de los métodos están en el glosario.

9

En la tabla 3 [3], se muestra la comparación de los métodos trifásicos de sincronización. De igual

manera existen tres grupos y seis categorías que muestran la comparación.

Tabla 3. Métodos trifásicos de sincronización*

Método de

sincronización

Inmunidad a la

distorsión

Adaptabilidad a

la frecuencia

Robustez

ante el

desequilibrio

Respuesta

dinámica

Costo

computacional

Complejidad

TR

IFÁ

SIC

O

Mét

od

o

An

aló

gic

o

PLO

Mediana

Mediana

Mediana

Variable

Mediano

Muy alta

LPF

Alta

Baja

Baja

Mediana

Mediano-bajo

Mediano

bajo

Mét

od

o D

igit

al

La

zo A

bie

rto

SVF

Alta

Baja

Baja

Mediana-

baja

Alto

Mediana

alta

KF

Alta

Mediana

Mediana

Mediana

Alto

Alta

WLS

E

-

Mediana

Alta

Rápida

Alto

Mediana

SRF-

PLL

Mediana

Mediana

Mediana

Rápida

Mediano

Baja

Mét

od

o D

igit

al

La

zo C

erra

do

SRF-

PLL

LPF

Mediana-Alta

Mediana-alta

Mediana-alta

Mediana

Mediano

Mediana-

baja

SRF

PLL

MAF

Alta

Mediana-alta

Alta

Baja

Mediano

Mediana

SRF

PLL

DFT

Alta

Mediana-alta

Alta

Mediana-

baja

Alto

Alta

SRF

PLL

SC

Alta

Alta

Alta

Mediana

Mediano-alto

Mediana-

alta

*Los nombres de los métodos están en el glosario.

10

1.3 ESTRUCTURA DE CONTROL DEL LADO DE LA RED ELÉCTRICA

Una vez que se ubicó el método que se va analizar en la tabla comparativa de métodos monofásicos,

se presenta la función en particular que debe cumplir el lazo de enganche de fase en la estructura

de control del lado de la red eléctrica. Actualmente existen varias estructuras de control, lo que las

hace diferentes es el marco de referencia que emplean, es decir la manera en que se usan las

variables de tensión o corriente, dado que no se pretende describir las estructuras se considerara el

marco de referencia natural o abc (tres fases) el cual se observa en la figura 5, su objetivo es tener

un controlador para cada corriente [1]. El PLL primeramente mide la tensión de la red eléctrica,

en este marco de referencia se emplean tres mediciones (Ua, Ub, Uc), si el PLL para analizar es

monofásico, entonces se consideran tres, uno por cada fase, por cada medición el PLL va a entregar

al convertidor de potencia el ángulo de dicha señal de tensión medida (puede existir confusión

entre el ángulo y la fase de la señal, pero se puede resolver sabiendo que el ángulo de una función

sinusoidal va de 0° a 360° y la fase de una función sinusoidal, es constante y por ejemplo es

equivalente a decir que la corriente está desfasada 90° con respecto a la tensión). El ángulo (θ)

entregado es usado por el método de modulación del inversor para crear los pulsos PWM, con los

cuales se construye la señal de corriente que inyectara a la red eléctrica, por lo que es importante

que el ángulo entregado por el PLL sea el de la componente fundamental de la red eléctrica, es

decir que ante cualquier condición anormal de operación el ángulo se estime fielmente y se pueda

garantizar que la señal de corriente que está siendo inyectada este sincronizada con la señal de

tensión de la red o dicho de otra manera se pueda entregar siempre potencia activa.

Figura 5. Estructura de control para inversores conectados a la red (marco de referencia natural)

PWM

(INVERSOR)

Controlador

Corriente

Controlador

Corriente

Controlador

Corriente

+

+

+

Controlador

enlace CD

Controlador

Q

+

+

dq

abc

PLL

Ua Ub Ucia ib ic

Ua*

Ub*

Uc*

ia

ib

ic

+

+

+

-

-

-

ia*

ib*

ic*

id*

iq*

Udc*

Q*

Q

+

-

+

-

Red

eléctrica

11

CAPÍTULO 2

LAZO DE ENGANCHE DE FASE

The combined results of several people working

together is often much more effective than could be

that of an individual scientist working alone

John Bardeen

Este capítulo se da una explicación del funcionamiento del PLL, las consideraciones que se deben

de hacer por cada bloque de su estructura para llegar al modelo lineal. Se establece la función de

transferencia de la planta y después la función de transferencia para el lazo. Finalmente se muestra

la clasificación de filtros de lazo, se muestran sus ecuaciones y se propone analizar el error entre

dos tipos de filtros.

2.1 ESTRUCTURA ESTÁNDAR DEL LAZO DE ENGANCHE DE FASE

En la figura 6 [4] se muestra un diagrama a bloques con la estructura básica del PLL. De forma

general, el PLL puede ser entendido como un circuito no lineal que sincroniza una señal de salida

𝑢2(𝑡), con una señal de referencia 𝑢1(𝑡), tanto en frecuencia como en fase.

Figura 6. Estructura básica del PLL

𝑢1(𝑡) 𝑢 (𝑡)

𝑢 (𝑡)𝑢2(𝑡)

Detector de Fase

(DF)

Filtro de Lazo

(FL)

Oscilador Controlado

por Voltaje

(OCV)

Entrada

de referencia Error de fase

Salida OCV Entrada OCV

𝑢1(𝑡): Señal de entrada en función del tiempo. 𝑢2(𝑡): Señal generada por el OCV en función del tiempo. 𝑢 (𝑡): Señal de error obtenida por el DF en función del tiempo. 𝑢 (𝑡): Señal filtrada por el FL en función del tiempo.

12

Los bloques que componen al PLL deben cumplir con la función correspondiente [5]:

El detector de fase (DF), obtiene la diferencia angular entre la señal de referencia y la señal

de salida proveniente del OCV. Si el valor de la diferencia es cero, entonces ambas señales

se encuentran sincronizadas.

El filtro de lazo (FL) debe suministrar la señal de control al oscilador, dicha señal está en

función del error estimado por el detector de fase.

El oscilador controlado por voltaje (OCV), debe generar una señal de salida desde una

frecuencia mínima o nominal de oscilación hasta la señal de referencia, en aplicaciones de

potencia debe ser 60 Hz.

Para poder construir el modelo lineal del PLL se debe considerar al OCV como el sintetizador de

una señal cuyo ángulo es igual a la integral de su entrada. El OCV posee una frecuencia nominal

(𝜔𝑛), por lo tanto se establece que el ángulo (𝜙0) de la señal de salida es igual a la integral de la

frecuencia deseada (𝜔0):

Donde:

𝜔0(𝑡) = 𝜔𝑛(𝑡) + Δω0(𝑡) (3)

La expresión (3) muestra la frecuencia deseada(𝜔0) y (Δω0) representa el incremento necesario

en la frecuencia nominal (𝜔𝑛). Luego entonces el OCV puede ser modelado matemáticamente

como un integrador y una función trigonométrica como se muestra en la figura 7 y 8 [6].

Figura 7. Estructura recomendada para modelar el OCV

cos

cos

𝜔

𝜔𝑛𝜙

++

+

𝜙0 = ∫ 𝜔0(𝑡)𝑡

𝑑𝑡 (2)

13

Figura 8. Segunda estructura recomendada para modelar el OCV

De las dos figuras anteriores se observan dos salidas por cada estructura, en la figura 7 se tiene:

(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝜙0

(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (𝜙0

)

(4)

(5)

En la figura 8 se tiene como salida:

(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜙0

(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 (𝜙0

)

(6)

(7)

La frecuencia del OCV debe llegar a ser igual al valor nominal de frecuencia de la señal de entrada.

De la figura 6 se propone que la señal de entrada (𝑢1(𝑡)) está dada por:

𝑢1(𝑡) = 𝑈𝑖𝑠𝑒𝑛𝜙𝑖 (8)

Donde:

𝑈𝑖: Valor pico de la señal de entrada o referencia

𝜙𝑖: Ángulo de la señal de entrada o referencia

Si se considera la señal de salida del VCO como (6), el detector de fase se modela matemáticamente

como un multiplicador en el cual su señal de salida (𝑢 (𝑡)), esta dada por:

𝑢 (𝑡) = 𝑈𝑖𝑠𝑒𝑛𝜙𝑖𝑐𝑜𝑠𝜙 =𝑈𝑖 sen(𝜙𝑖 𝜙 ) +

𝑈𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜙𝑖 + 𝜙 )

(9)

-sen

-sen

𝜔0

𝜔𝑛𝜙0

++

+

14

La señal de la ecuación (9) comprende dos términos, el primero es el término de baja frecuencia y

el segundo es el de alta frecuencia. El término de baja frecuencia es una diferencia entre los ángulos

de fase de entrada y salida.

Si ahora se considera la señal de entrada como:

𝑢1(𝑡) = 𝑈𝑖𝑐𝑜𝑠𝜙𝑖 (10)

Y salida (𝑢 (𝑡)) como en (8), el resultado del detector de fase estará dada por:

𝑢 (𝑡) = 𝑈𝑖𝑐𝑜𝑠𝜙𝑖𝑠𝑒𝑛𝜙 =𝑈𝑖 sen(𝜙𝑖 𝜙 )

𝑈𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜙𝑖 +𝜙 )

(11)

En conclusión, si la entrada es de la forma (8) o (10) la señal de entrada en el primer término de la

salida del detector de fase sería común para ambas, este término representa la diferencia angular

entre las señales que entrar al detector de fase generando así el concepto de error de ángulo entre

ambas señales [6].

2.2 MODELO LINEAL

Una vez presentado el OCV, como un integrador y al PD como un multiplicador y las salidas de

ambos, se puede construir el modelo lineal del PLL. Se empieza por establecer las siguientes

expresiones [6]:

Frecuencia de entrada (𝜔𝑖):

𝜔𝑖 = 𝜔𝑛 + Δω𝑖 (12)

Frecuencia de salida (𝜔 ):

𝜔 = 𝜔𝑛 + Δω (13)

Ángulo de entrada (𝜙𝑖):

𝜙𝑖 = 𝜔𝑛𝑡 + Δϕ𝑖 (14)

Ángulo de salida (𝜙 ):

𝜙 = 𝜔𝑛𝑡 + Δϕ (15)

15

La relación que guarda la frecuencia con el ángulo (de entrada o de salida) considerando las

expresiones anteriores será:

𝜙𝑖 = ∫𝜔𝑖 (𝜏)𝑑𝜏

𝑡

= 𝜔𝑛𝑡 + ∫ Δω𝑖 (𝜏)𝑑𝜏𝑡

(16)

Sustituyendo (14) y (15) en (11), los términos se pueden escribir como:

Término de baja frecuencia:

𝑈𝑖 sen(Δ𝜙𝑖 Δ𝜙 )

(17)

Término de alta frecuencia:

𝑈𝑖 sen( 𝜔𝑛𝑡 + Δ𝜙𝑖 + Δ𝜙 )

(18)

Considerando ambos términos como la salida del detector de fase, el tercer bloque es un filtro de

lazo (FL) que servirá para eliminar el segundo término ya que se desea obtener únicamente el error

de fase entre ambas señales y esta señal será recibida por el OCV, cerrando el lazo. Dicha señal

está dada por:

𝑢 (𝑡) ≈𝑈𝑖 sen( 𝜙𝑖 𝜙 )

(19)

Por lo tanto el modelo simplificado del lazo de enganche de fase se muestra en la figura 9 [6].

Figura 9. Modelo simplificado del lazo de enganche de fase cuando el término de doble frecuencia es

despreciado

sen FL 𝜙𝑖 𝜔0 𝜙

+

16

Si se pretende que la diferencia de ángulos de fase 𝜙𝑖 𝜙 tienda a ser cero, la no linealidad de

la función sinusoidal puede ser remplazada por su aproximación lineal que es una operación

idéntica. El diagrama con la función de transferencia resultante es mostrado en la figura 10 [6].

Figura 10. Modelo lineal del lazo de enganche de fase

El modelo lineal del lazo de enganche de fase mostrado en la figura 10, se encuentra en dominio

de la frecuencia por lo que el OCV o integrador posee esa representación, así como el bloque FL

es sustituido por la función H(s) que representa el filtro de lazo. Es importante mencionar que por

diseño la ganancia (𝑈𝑖) tendrá valor unitario.

La función de transferencia de lazo abierto (ganancia de lazo) está dada por:

𝐺(𝑠) =𝑈𝑖𝐻(𝑠)

𝑠

(20)

La función de transferencia de lazo cerrado está dada por:

𝑇(𝑠) =Δ𝜙 𝜙𝑖

=𝐺(𝑠)

1 + 𝐺(𝑠)=

𝑈𝑖𝐻(𝑠)

𝑈𝑖𝐻(𝑠) + 𝑠

(21)

Y la función de transferencia de error es:

𝐹(𝑠) =𝐸(𝑠)

𝜙𝑖(𝑠)=

1

1 + 𝐺(𝑠)=

𝑠

𝑠 + 𝑈𝑖𝐻(𝑠)

(22)

Finalmente en la figura 11 se muestra el diagrama de bloques simplificado, en donde se muestra la

función de transferencia del sistema de lazo de enganche de fase.

Figura 11. Modelo del sistema con función de transferencia

H(s)𝑈𝑖1

𝑠

𝜙𝑖 𝑒 𝜔0 𝜙 +

𝜙𝑖 𝜙 𝑈𝑖𝐻(𝑠)

𝑈𝑖𝐻 𝑠 + 𝑠

+

17

2.3 DISEÑO DEL FILTRO DE LAZO

Una vez definido de forma lineal el lazo de enganche de fase, es pertinente establecer los

objetivos del control en el sistema:

El ángulo de salida sigue los cambios en el ángulo de entrada.

El funcionamiento del lazo debe ser robusto ante el ruido y la distorsión.

Cumpliendo dichos objetivos el lazo de enganche de fase será capaz de proporcionar una señal de

sincronización debido a variaciones en la señal de entrada, ruidos y distorsiones. El ruido se puede

originar desde el sistema y/o desde la medición [6].

2.3.1 FILTRO DE LAZO DE PRIMER ORDEN

La estructura más simple del filtro de lazo es una constante [6]:

𝐻(𝑠) = ℎ (23)

La función de transferencia de lazo cerrado es:

𝑇(𝑠) =𝑈𝑖ℎ

𝑈𝑖ℎ + 𝑠

(24)

La función de transferencia es estable para toda ℎ > 0 y es equivalente a un filtro pasa bajas con

una ganancia unitaria y una frecuencia de corte dada por:

𝜔𝑐 =𝑈𝑖ℎ

(25)

El error de la función de transferencia está dado por:

𝐹(𝑠) =𝑠

𝑠 + 𝑈𝑖ℎ

(26)

El error para una función escalón en el ángulo de entrada es:

𝐸(𝑠) =𝑠

𝑠 + 𝑈𝑖ℎ

1

𝑠=

1

𝑠 + 𝑈𝑖ℎ

(27)

Usando el teorema del valor final, la señal de error tiende a ser:

lim𝑡→∞

𝑒(𝑡) = lim𝑠→0 𝑠𝐸(𝑠) = lim

𝑠→0

𝑠

𝑠 + 𝑈𝑖ℎ0= 0 (28)

Esto significa que el lazo sigue los saltos constantes en el ángulo sin error de estado estacionario.

18

El error para una función rampa en el ángulo de fase de entrada es:

𝐸(𝑠) =𝑠

𝑠 + 𝑈𝑖ℎ

1

𝑠2=

1

𝑠(𝑠 + 𝑈𝑖ℎ )

(29)

Usando el teorema del valor final, la señal de error tiende a ser:

lim𝑡→∞

𝑒(𝑡) = lim𝑠→0 𝑠𝐸(𝑠) = lim

𝑠→0

1

(𝑠 + 𝑈𝑖ℎ )=

1

𝑈𝑖ℎ

(30)

Esto significa que el lazo no sigue cambios de rampa del ángulo o los cambios contantes en

frecuencia [6].

2.3.2 FILTRO DE LAZO DE SEGUNDO ORDEN

El filtro de lazo de segundo orden es equivalente a un control proporcional integral (PI). La

ecuación de un control proporcional integral está dada por [6]:

𝐻(𝑠) = ℎ +ℎ1𝑠

(31)

La función de transferencia de lazo cerrado es igual a:

𝑇(𝑠) =𝑈𝑖ℎ + 𝑈𝑖

ℎ1𝑠

𝑈𝑖ℎ + 𝑈𝑖ℎ1𝑠+ 𝑠

=𝑈𝑖ℎ 𝑠 + 𝑈𝑖ℎ1

𝑠2 + 𝑈𝑖ℎ 𝑠 + 𝑈𝑖ℎ1

(32)

De igual manera que en el caso de primer orden, el teorema del valor final puede ser aplicado para

probar que los saltos y variaciones del ángulo de fase de entrada (con sus saltos y variaciones en

frecuencia correspondientes) son seguidos por el filtro de lazo de segundo orden sin error en estado

estable. En otras palabras, un lazo de enganche de fase con un filtro de lazo de segundo orden

garantiza que las “pequeñas” variaciones en la frecuencia de entrada sean seguidas. Esto es

recomendable para aplicaciones de ingeniería de potencia [6].

19

2.3.3 FILTRO DE LAZO DE ORDEN SUPERIOR

Hablar de un filtro de lazo de orden superior es considerar un filtro con más de un integrador

(modelo lineal del OCV), esta estructura permite seguir de mejor manera las variaciones de

frecuencia de la señal de entrada. El diseño de este tipo de filtros de orden superior se puede lograr

empleando las técnicas de control clásicas (diagramas de Bode, método de lugar geométrico de las

raíces, y método Nyquist) así como otro tipo de técnicas (herramientas de diseño de control óptimo

incluyendo métodos de diseño lineal, cuadrático métodos de control robusto) para lograr los

objetivos de control.

2.3.4 PID COMO FILTRO APLICABLE

Como ya se mencionó, los filtros poseen una clasificación, el de primer orden es una constante, el

de segundo orden contiene una variable y una constante, y el de orden superior incluye más

variables e integradores. La ecuación del filtro de segundo orden es idéntica a la de un controlador

Proporcional Integral (PI), este hecho llevo a plantear la aplicación de un filtro Proporcional

Integral Derivativo (PID), y esperar que la acción derivativa permita lograr una respuesta

congruente con los objetivos del filtro.

La ecuación de este control es la siguiente [7]:

𝐻(𝑠) = ℎ +ℎ1𝑠+ ℎ2𝑠

(33)

Sustituyendo la ecuación anterior en la función de transferencia del sistema, el resultado es:

𝑇(𝑠) =𝑈𝑖ℎ2𝑠

2 + 𝑈𝑖ℎ0𝑠 + 𝑈𝑖ℎ1𝑠2(𝑈𝑖ℎ2 + 1) + 𝑈𝑖ℎ0𝑠 + 𝑈𝑖ℎ1

(34)

Las ecuaciones de cada tipo de controlador contienen constantes o ganancias que deben de ser

calculadas numéricamente para probar el funcionamiento del PLL, por lo tanto para sintonizar el

controlador es necesario usar un método específico (Ziegler-Nichols, Lugar Geométrico de las

Raíces).

20

21

CAPÍTULO 3

LOCALIZACIÓN DE LAS GANANCIAS PARA EL

MODELO PLL UTILIZANDO LGR

“I belive I can do

anything if I just try” Granville T. Woods

Una vez que se explicó el modelo general del PLL así como su modelo lineal, junto con las

expresiones de la función de transferencia en lazo cerrado ahora se muestra la aplicación del lugar

geométrico de las raíces (LGR) como método de sintonización para encontrar las constantes de las

funciones de transferencia de los controladores PI y PID. Se utilizó MATLAB y LabVIEW para

usar las constantes calculadas y aplicarlas al modelo de PLL existente en dicho software y así

verificar su funcionamiento sobre la estimación de frecuencia y ángulo de la señal de referencia.

3.1 CRITERIOS DE DISEÑO PARA EL CONTROLADOR

Al inicio de la sección 2.3 se establecieron los objetivos del PLL, los cuales se logran con la

implementación de un tipo de controlador (PI y PID, para este trabajo), por lo tanto los criterios

que importan en el diseño de cualquier controlador son [8]:

a) Precisión

Una medida de precisión es el error en estado estable, el cual puede ser calculado con el teorema

del valor final como se hizo en la sección 2.3.1 para el filtro de lazo de orden cero.

b) Velocidad de respuesta

Las mediciones de la velocidad de respuesta se definen a partir de la respuesta al escalón de un

sistema estable. Una medida de la velocidad de respuesta es la constante de tiempo 𝜏, que puede

calcularse como:

𝜏 = 1/𝑅𝑒𝑎𝑙(𝑝) (35)

22

Donde:

𝑝 = 𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

Otra medida es el tiempo de establecimiento, que es el tiempo que le lleva a una respuesta alcanzar

y permanecer dentro del 5% de la banda del valor en el estado estable. Tanto el tiempo de

colocación como la contante de tiempo se vuelven más pequeñas conforme el polo dominante se

mueve más hacia la izquierda del plano s, es decir conforme la parte real del polo se vuelve más

grande y más negativa.

c) Estabilidad relativa

La estabilidad relativa se refiere a la robustez del control, en esencia, cuanto error de modelado se

tolera antes de que el sistema de lazo cerrado se vuelva inestable. El sistema se vuelve inestable

cuando los errores de modelado ocasionan un desplazamiento en la ubicación de los polos cerrados,

de semiplano izquierdo hacia el eje 𝑗𝜔 o hacia el plano derecho. Una medida específica de la

estabilidad relativa es el porcentaje de sobretiro (P.O., percentage of overshoot), el cual se define

como:

𝑃. 𝑂.=𝑀𝑝 𝑠𝑠

𝑠𝑠× 100%

(36)

Donde:

𝑀𝑝: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎

𝑠𝑠: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

3.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAÍCES

Apoyándose de las referencias [6] y [7] se aplicó el método del lugar geométrico de las raíces el

cual consiste básicamente en representar con una ecuación característica la función de transferencia

del controlador y después graficar dicha ecuación en el plano complejo, en donde se puede observar

las diferentes posibilidades de localizar los polos y ceros variando una constante “k”, la cual

representa la ganancia del sistema, adicionalmente a cada valor de k, le corresponde un factor de

amortiguamiento (ξ) y frecuencia natural (𝜔𝑛), los cuales definen el comportamiento de la función

de transferencia en estado transitorio y estable.

23

3.2.1 SINTONIZACIÓN DEL CONTROLADOR PI CON LGR

Este controlador generalmente se utiliza para reducir el error en estado estable, es decir incrementa

la precisión en el estado estable para reducir la diferencia de ángulo entre ambas señales. La adición

de un polo en el origen y de un cero en 𝑘𝑖

𝑘𝑝, afecta la forma del lugar geométrico de lar raíces y,

por lo tanto, puede afectar la respuesta transitoria. La razón 𝑘𝑖

𝑘𝑝 generalmente se elige para que el

cero resultante se encuentre más cerca al origen que cualquier polo del sistema. Entre más pequeña

sea la relación, y por lo tanto más cercano se encuentre el cero al origen, más pequeño será el efecto

del compensador PI sobre el lugar geométrico de las raíces [8].

Se vuelve a escribir la función de transferencia del controlador PI:

𝐺𝐶(𝑠) = 𝑘𝑝 +𝑘𝑖𝑠

(37)

La ecuación característica correspondiente es [6]:

𝐺𝑐(𝑠) =𝑘(𝑠 + 𝑧)

𝑠

(38)

De donde, la ganancia de lazo es:

𝑘 = 𝑘𝑝 (39)

El valor de 𝑧 está dado por:

𝑧 =𝑘𝑖𝑘𝑝

(40)

El parámetro principal de diseño será la velocidad de respuesta del sistema que permitirá encontrar

el polo dominante, por lo que se propone un valor de τ .

Por lo tanto: τ = 0.040 𝑠

De acuerdo con la siguiente relación se puede encontrar el polo dominante del sistema:

𝑅𝑒(𝑝) =1

𝜏=

1

0.040= 5

(41)

Sustituyendo el valor de (41) en (38):

𝐺𝑐(𝑠) =𝑘(𝑠 + 5)

𝑠

(42)

Quedando definida la función de transferencia del controlador PI.

24

Para obtener la función de transferencia en lazo abierto se considera la ganancia del sistema

definida ahora por 𝑉𝑝, y la función del integrador, resultando:

𝐺𝑝(𝑠) =𝑉𝑝

𝑠

(43)

Si 𝑉𝑝, se considera con valor unitario entonces:

𝐺𝑝(𝑠) =1

𝑠

(44)

Así la función de transferencia de lazo cerrado es:

𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠) =𝑘(𝑠 + 5)

𝑠2

(45)

Para poder obtener el lugar geométrico de las raíces de la ecuación (45) se utilizó la función de

Matlab, rlocus desde el espacio de trabajo (workspace). En la figura 12 se muestra el lugar

geométrico de las raíces obtenido con la función, donde se puede observar que el lugar geométrico

inicia en el origen ya que la función posee un polo único en el origen, se observan dos

ramificaciones a partir de este punto que convergen en el valor 𝑧 = 50 y después se dividen, del

lado izquierdo hacia infinito y del lado derecho hasta el cero 𝑧 = 5.

Figura 12. Lugar geométrico de las raíces para 𝒛 = 𝟐𝟓

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10-30

-20

-10

0

10

20

30

System: Gcp

Gain: 100

Pole: -50

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 50

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds

-1)

Eje real ( )

Eje

im

agin

ario

( )

25

Por medio de la función de Data Cursor de Matlab, se puede visualizar el valor de los parámetros

correspondientes a cada k, debido a que el factor de amortiguamiento es real y de valor unitario en

𝑧 = 50, se seleccionan estos datos que se muestran en la tabla 4.

Tabla 4. Parámetros correspondientes al polo 𝒛 = 𝟓𝟎

Polo K Factor de

amortiguamiento

Porcentaje de

sobretiro (%)

Frecuencia

natural (rad/s)

-50 100 1 0 50

Considerando el valor de la ganancia k, debido a (39) se tiene:

𝑘𝑝 = 100 (46)

Por lo tanto el valor de la constante de integración debido a (40) será:

𝑘𝑖 = (100) ∗ (50) = 5000 (47)

Los valores de las constantes obtenidas se pueden validar considerando, las ecuaciones de un

sistema de segundo orden, que se muestra a continuación [10].

𝑇(𝑠) = 𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛

2

𝑠2 + 𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

(48)

De donde:

𝜔𝑛 = √𝐾𝑝𝑉𝑝

𝜏

(49)

Y también:

𝜉 =𝑘𝑝𝑉𝑝

𝜔𝑛=√𝜏𝑘𝑝𝑉𝑝

(50)

Como ya se mencionó el valor de la señal es unitaria. Por lo tanto:

𝜔𝑛 = √100

0.040= 50

𝑟𝑎𝑑

𝑠

(51)

Finalmente:

𝜉 =100

(50)=√0.040 ∗ 100

= 1

(52)

26

Es pertinente plantear la ecuación (53) con las constantes calculadas, que es la función de

transferencia de lazo cerrado para el PI:

𝑇(𝑠) =100𝑠 + 5000

𝑠2 + 100𝑠 + 5000

(53)

Como se mencionó en la sección 3.1, la velocidad de respuesta del controlador se define a partir

de la respuesta al escalón. Empleando Matlab se obtuvo la figura 13 la cual muestra el resultado de

aplicar la función escalón a la función de transferencia (53).

Figura 13. Respuesta al escalón de la función de transferencia para el controlador PI

El primer punto es el pico que alcanza la respuesta, el segundo punto es el valor que tiene la

respuesta en estado estable y ocurre en el instante de 0.128 s; cuando se alcanza este último instante

quiere decir que la señal de seguimiento está en fase con la señal de referencia, por lo que si se

divide 0.128 s por la duración de un ciclo de 60 Hz (0.01666 s) se obtendrá el número de ciclos

necesarios para que ambas señales estén en fase. En este caso se requieren de 8 ciclos

aproximadamente. Aplicando la formula (36) para calcular porcentaje de sobretiro de la respuesta

al escalón resulta:

𝑃. 𝑂.=1. 1 0.999

0.999× 100% = 1.1 %

Dicho resultado es diferente al 0% mostrado por el LGR que entrega Matlab, lo cual no quiere

decir que sea incorrecto, sino que el 21.12% corresponde al error que el sistema tolera antes de

volverse inestable es decir que la señal de salida del PLL puede tener un error hasta de 21.12% con

respecto a la señal de referencia.

0 0.05 0.1 0.150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

(seconds)

Tensión: 0.999

Tiempo: 0.128

Tensión: 1.21

Tiempo: 0.0304

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Estado normal Incremento de tensión Estado normal

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento


27

3.2.2 SINTONIZACIÓN DE CONTROLADOR PID CON LGR

Un controlador proporcional integral derivativo (PID) combina los beneficios de estos tres; es decir

incrementa el orden de sistema de tal manera que disminuye el error en estado estable, y además

mejora la respuesta transitoria moviendo el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda. La

forma general de este controlador está definida por:

𝐺𝑐(𝑠) = 𝑘𝑝 +𝑘𝑖𝑠+ 𝑘 𝑠

(54)

Este controlador tiene un polo en el origen y dos ceros. Se denotan los ceros como 𝑧1 y 𝑧2, el

controlador tiene la forma general:

𝐺𝑐(𝑠) =𝑘(𝑠 + 𝑧1)(𝑠 + 𝑧2)

𝑠

(55)

De donde, la ganancia de lazo es:

𝑘 = 𝑘 (56)

El valor de 𝑧1 y 𝑧2 está dado por:

𝑧1 =𝑘𝑝

𝑘

(57)

𝑧2 =𝑘𝑖𝑘

(58)

De igual forma como se hizo en 3.1, el parámetro principal de diseño es la velocidad de respuesta

del sistema por lo que se propone un nuevo valor de 𝜏:

𝜏1 = 0.0 0 𝑠

El valor de 𝑧1 está dado por:

z1 =1

0.0 0= 50

(59)

Para seleccionar el z2, se debe considerar estrictamente que este debe pertenecer al eje real negativo

también, debido a que el factor de amortiguamiento es unitario y el porcentaje de sobretiro es cero.

En la figura 14, se observa que el polo donde las dos ramificaciones se cruzan es 2z, por lo que el

valor de 𝑧2 deber ser:

z2 = z1 = (50) = 100 (60)

28

Sustituyendo (59) y (60) en (55) resulta:

𝐺𝑐(𝑠) =𝑘(𝑠 + 50)(𝑠 + 100)

𝑠

(61)

Así la función de transferencia de lazo abierto es:

𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠) =𝑘(𝑠 + 50)(𝑠 + 100)

𝑠2

(62)

Usando Matlab se calcula el lugar geométrico para la ecuación (62), se muestra en la figura 14. Se

observa un polo en el origen y los dos ceros, con valor de -50 y -100.

Figura 14. Lugar geométrico de las raíces para 𝒛 = 𝟓𝟎 y 𝒛𝟐 = 𝟎𝟎

De igual forma usando la función Data Cursor de Matlab, se pueden visualizar los parámetros para

distintos valores de k, debido a que el factor de amortiguamiento es real y de valor unitario en 𝑧 =

67.4, se seleccionan estos datos que se muestran en la tabla 5.

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

System: Gcp

Gain: 8.01

Pole: -67.4

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 67.4

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds

-1)

Eje real ( )

Eje

im

agin

ario

( )

29

Tabla 5. Parámetros correspondientes al polo 𝒛 = 𝟔𝟕. 𝟒

Polo K Amortiguamiento Porcentaje de

sobretiro (%)

Frecuencia

natural (rad/s)

-67.4 8.01 1 0 67.4

Considerando el valor de la ganancia, k.

𝑘 = 𝑘 = 8.01 (63)

Por lo tanto el valor de las constantes es:

𝑘𝑝 = 𝑧1 ∗ 𝑘 = 50 ∗ 8.01 = 400.5 (64)

𝑘𝑖 = 𝑧2 ∗ 𝑘 = 100 ∗ 8.01 = 801.0 (65)

La ecuación de la función de transferencia con el control PID para el PLL será:

𝑇(𝑠) =8.01𝑠2 + 400.5𝑠 + 801

9.01𝑠2 + 400.5𝑠 + 801

(66)

Como se hizo con en el controlador PI, se obtiene la respuesta escalón de la función de transferencia

(66), la cual se muestra en la figura 15.

Figura 15. Respuesta al escalón de la función de transferencia para el controlador PID

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento


30

Es interesante la respuesta al escalón obtenida en la figura anterior porque a simple vista parece

que si hay un valor pico, pero con valor de 1.004 pu, por lo tanto la diferencia con el valor en estado

estable seria de 0.004, el cual es un valor muy pequeño comparado con la diferencia del PI y en

este caso llegaría a ser despreciable, es posible entonces considerar que la respuesta alcanza el

estado estable desde el instante de 0.07503 s sin pasar por un transitorio, este valor supone que

señal de salida del PLL alcanzará a estar en fase con la señal de referencia en aproximadamente 5

ciclos de 60 Hz, tres ciclos menos que con el controlador PI.

Si se aplicara la formula (36) para calcular porcentaje de sobretiro considerando el valor pico de

1.004 pu, resulta:

𝑃. 𝑂.=1.004 1

1× 100% = 0.4 %

El sistema entonces toleraría un error de modelado de 0.4%, comparado con el 21.12% de sobretiro

que puede alcanzar PI es práctico considerarlo nulo, así esta observación llega ser aún más

importante, ya que sugiere que el PLL con controlador PID tendrá mayor estabilidad relativa que

el PLL con controlador PI.

3.3 SIMULACIÓN DEL PLL APLICANDO LAS CONSTANTES DEL CONTROLADOR

PI Y PID EN MATLAB SIMULINK

Para validar la sintonización de los controladores o filtros PI y PID se usó el modelo PLL que está

programado en el software de MATLAB SIMULINK, en el apéndice C se describe este modelo

programado y se explica cómo emplear las constantes calculadas en la simulación.

El bloque monofásico del PLL programado en MATLAB SIMULINK, tiene como entrada la señal

de referencia y como salida su frecuencia estimada y el ángulo estimado.

El resultado de la frecuencia estimada se observa en la figura 16, en un intervalo de 0 a 0.5 s ósea

30 ciclos. El comportamiento es un poco oscilatorio sin embargo el cálculo del promedio y

variación estándar muestran que es un resultado aceptable, debido a que no supera los límites.

31

Figura 16. Frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando controlador PI.

En la tabla 6 se muestra los valores de los datos calculados a partir de la simulación.


controlador PI.

Promedio de frecuencia estimada (Hz) Varianza estándar de frecuencia estimada

59.99 0.02908

Ahora se muestra la estimación de ángulo, resultando la gráfica mostrada en la figura 17,

correspondiente a la estimación de ángulo instantáneo de la tensión a la entrada del PLL, el tiempo

es de 0 a 0.5 s, corresponde a 30 ciclos, en el eje izquierdo se muestran dos escalas, la primera es

para la tensión en por unidad y la segunda escala en radianes para el ángulo. La señal de ángulo

instantáneo no presenta oscilaciones y el máximo valor del ángulo calculado es de 6.283 rad o

359.9893°, así como el mínimo es de 0 rad o 0°.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

59.4

59.6

59.8

60

60.2

60.4

Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(H

z)

F

Prom

VE

F=Frecuencia estimada (Hz) Prom=Promedio de frecuencia estimada (Hz) VE=Variación estándar de frecuencia

32

Figura 17. Angulo instantáneo estimado por el PLL monofásico usando controlador PI.

La estimación de frecuencia usando el controlador PID se muestra en la figura 18, también se

observa un comportamiento oscilatorio y con una tendencia a mantenerse por debajo de los 60 Hz

nominales.

Figura 18. Frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando controlador PID

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

) /

An

gu

lo (

rad

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

59.4

59.6

59.8

60

60.2

60.4

Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(H

z)

F

Prom

VE

F=Frecuencia estimada (Hz)

Prom=Promedio de frecuencia estimada (Hz)

VE=Variación estándar de frecuencia

33

En la tabla 7 se muestra los valores de los datos calculados a partir de la simulación.


controlador PID

Promedio de frecuencia estimada (Hz) Varianza estándar de frecuencia estimada

59.76 0.1559

Debido a la tendencia que muestra la gráfica la frecuencia estimada puede seguir disminuyendo;

no obstante este valor de frecuencia quedaría limitado por la configuración del bloque PLL ajustado

a 59.3 Hz como mínimo. En el caso de la estimación de ángulo, mostrada en la figura 19, el

controlador PID exhibió pequeñas oscilaciones en las pendientes, que permanecieron en los 30

ciclos de simulación, el valor mínimo de ángulo calculado es de 0 rad o 0°; el valor máximo de

ángulo calculado es de 6.283 rad o 358.9993°.

Figura 19. Angulo instantáneo estimado por el PLL monofásico usando controlador PID

3.4 SIMULACIÓN DEL PLL APLICANDO LAS CONSTANTES DEL CONTROLADOR

PI Y PID EN LabVIEW

Al igual que MATLAB SIMULINK, el software de LabVIEW cuenta con el modelo PLL

programado, por lo que es necesario asignar los parámetros de operación. La simulación en

LabVIEW permitió observar el seguimiento efectuado por el PLL y además estimar del error de

ángulo y frecuencia de cada controlador (en el apéndice D se explica el desarrollo del programa).

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)/ Á

ng

ulo

(ra

d)

34

Una vez que se realizó la simulación con los controladores PI y PID, se muestra el error de ángulo

de ambos controladores en una sola gráfica con intervalo de 0 a 0.5 s, correspondiente a 30 ciclos.

El error del PI alcanzo un pulso máximo de 390.6 y se observa una disminución continua sin llegar

a ser estable, en cambio el pico máximo alcanzado por el PID es de 155.5 y se estabiliza después

0.1 s aproximadamente, el cual es un tiempo cercano a 0.07 s obtenida en la respuesta escalón de

la figura 15. En la figura 20 se muestra la gráfica.

Figura 20. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 0 a 0.5s

Si ahora se toma el intervalo de 0.5 a 4 s, en la figura 21 se puede observar que el PI alcanza el

estado estable después de los 1.5 s aproximadamente, siendo un tiempo mayor a 0.128 s obtenido

en la respuesta escalón de la figura 14.

Figura 21. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 0.5 a 4s

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

50

100

150

200

250

300

350

400

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID390.6155.1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID

35

En la figura 22 se muestra el intervalo de 3 a 3.5 s donde se puede observar los límites entre los

que oscila el error en estado estable. Con el PI el error oscila entre los límites 0.3014 y 0.0329, y

con el PID oscila entre 15.87 y 1.46.

Figura 22. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 3 a 3.5 s

En la tabla 8 se muestra el tiempo de estabilización y el promedio de error en estado estable.

Tabla 8. Parámetros de comparación entre el error de ángulo usando los controladores PI y PID

Controlador Tiempo de estabilización (s) Promedio de error de

ángulo en estado estable

PI 1.5 0.167

PID 0.1 (6 ciclos de 60 Hz) 8.665

El error relativo de frecuencia se muestra en la figura 23, en un intervalo de 0 a 0.5 s.

Figura 23. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo de 0 a 0.5 s

3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5

0

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID

15.870.0329

1.46 0.3014

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

20

40

60

80

100

120

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

36

Se observa que el error porcentual de frecuencia del controlador PI no alcanza a ser estable, sin

embargo con el controlador PID el error se vuelve estable después de 0.1 s como en el error de

ángulo. En la figura 24 se observa que el error relativo de frecuencia del controlador PI se estabiliza

a partir de 1.5 s.

Figura 24. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo

de 0 a 4 s

En la figura 25 se muestra los límites del error de frecuencia relativa. Con el controlador PI los

límites son 0.829 y 0.5622, mientras que con el controlador PID los límites son 0.1679 y 0.0188.

Figura 25. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo

de 3 a 3.5 s

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.50

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID0.829 0.5622 0.1679 0.0188

37

En la tabla 9 se muestra el tiempo de estabilización y el promedio de error relativo de frecuencia

en estado estable.

Tabla 9. Parámetros de comparación entre el error relativo de frecuencia con el controlador PI y PID

Controlador Tiempo de estabilización (s) Promedio de error de

ángulo en estado estable

(%)

PI 2 0.6956

PID 0.15 0.0933

Los errores mostrados en las tablas 8 y 9 se pueden ver modificados si se alteran dos parámetros,

el amortiguamiento en el PLL (con controlador PI) y la frecuencia de muestreo en la medición

(bloque simulate signal). A pesar de que el factor de amortiguamiento está relacionado con la

selección de la ganancia k y se consideró de valor unitario, se puede ir incrementando con el

objetivo de reducir las oscilaciones transitorias. En la figura 26 se observan los errores de ángulo

obtenidos incrementado el amortiguamiento de 5 a 30.


transitorio)

Se puede comprobar que el error de ángulo en estado transitorio disminuye desde 390.6 con un

factor de amortiguamiento unitario hasta un valor de 100 con un amortiguamiento de 5, esto sucede

si se incrementa el doble alcanzando un error de 38, y puede llegar hasta 33 con un factor de

amortiguamiento de 30, el cual sería el límite debido a que el PLL se vuelve inestable.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

20

40

60

80

100

Tiempo (s)

Err

or

FA=5

FA=10

FA=20

FA=30

100

3835 33

38

En la figura 27 se muestra el error de ángulo en estado estable, se observa que el límite superior de

oscilación aumenta si el amortiguamiento también lo hace, por lo que el error promedio de 0.167

debido al factor unitario también incrementa. Este hecho descarta la posibilidad de usar un factor

de amortiguamiento superior a la unidad aunque mejore la respuesta en estado transitorio.


estable)

El segundo parámetro se modifica en el bloque simulate signal, tiene que ver con el hecho de medir

la señal de tensión, e implica tomar un número finito de muestras por cada ciclo, este parámetro se

conoce como frecuencia de muestreo, como ya se mencionó la primera simulación se efectuó con

720 Hz, equivalente a 12 muestras por ciclo de 60 Hz. En la figura 28 se empleó una frecuencia de

muestreo de 2940 Hz, se observa un error mayor a 400 en estado transitorio, un tiempo de

estabilización después de 0.3 s, un error en estado estable con límites de 17.41 a 23.47.

3.4 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49 3.50

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Err

or

FA=5

FA=10

FA=20

FA=30

39

Figura 28. Error de ángulo del PLL con controlador PI a una frecuencia de muestreo de 2940 Hz

En la figura 29 se empleó una frecuencia de muestreo de 5160 Hz, se observa un error mayor a 400

en estado transitorio, un tiempo de estabilización después de 0.2 s, un error en estado estable con

límites de 33.26 a 39.61.


En la figura 30 se empleó una frecuencia de muestreo de 7380 Hz, se observa un error máximo de

21 en estado transitorio, un tiempo de estabilización después de 0.1 s, un error en estado estable

con límites de 7.259 a 10.74.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

100

200

300

400

500

Tiempo (s)

Err

or

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

100

200

300

400

500

Tiempo (s)

Err

or

40


En el intervalo de 720 Hz a 5160 Hz la magnitud del error en estado transitorio creció, por otro

lado el tiempo de estabilización se acercó a 0.1 s empleando una frecuencia de 7380 Hz, sin

embargo el error en estado estable aumento, lo que implica que la frecuencia de muestreo óptima

sea de 720 Hz.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.66

8

10

12

14

16

18

20

22

Tiempo (s)

Err

or

41

CAPÍTULO 4

IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO PLL DE

SEGUNDO ORDEN CON LabVIEW

“Small sacrificies must be made”

Otto Lilienthal, German aviation pioneer.

La implementación se dividió en dos etapas, en la primera etapa se construye un sistema de

adquisición de datos, empleando la fuente programable ARTES 300, la tarjeta de adquisición NI-

USB 6008 de National Instruments, sensores de tensión y el software LabVIEW. Con la fuente se

genera la señal eléctrica de referencia, la cual es medida por la tarjeta y llevada a la entrada del

PLL para generar la señal de seguimiento en forma digital. Con ayuda de la fuente se simulan

perturbaciones (magnitud, frecuencia, fase, armónicos) en la señal de referencia empleando los

controladores PI y PID en el PLL. En la segunda etapa se emplea la señal de referencia y

seguimiento para ser procesadas en un programa distinto, el cual estima el ángulo y la frecuencia

de cada señal y compara el comportamiento del error de ángulo y frecuencia.

4.1 CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA DE ADQUISICION DE DATOS

La adquisición de datos se puede definir como el proceso de medir con una PC un fenómeno

eléctrico, mecánico o físico en general. El sistema de adquisición de datos consiste básicamente de

sensores, hardware de medidas y una PC con software programable. En la figura 31 se muestra el

sistema de adquisición de datos implementado, de izquierda a derecha primero se observa la fuente

programable ARTES 300, la cual se encuentra conectada con la PC en donde se tiene instalado el

software que permite configurar la señal de salida, esta señal se lleva por dos cables (fase y tierra)

a la resistencia de medición de un sensor de tensión. El sensor necesita de alimentación por lo que

se usa la fuente de CD simétrica con ±12 V. La señal de salida ahora del sensor de tensión se lleva

también con dos cables a las terminales de la tarjeta de adquisición de datos, que efectúa una

medición diferencial y continua. La señal digitalizada se envía al software LabVIEW 2012 para ser

procesada.

42

En la figura 31 se muestra el sistema de adquisición de datos construido.

Figura 31. Sistema de adquisición de datos para implementación del PLL de segundo orden

43

4.1.1 FUENTE ARTES 300

La fuente programable ARTES 300, es una fuente trifásica de tensión y corriente, como máximo

entrega 140 V y 14 A de CA en cada fase; por medio del puerto USB se comunica con la PC, en

donde se tiene instalado su propio software, el cual sirve para editar la forma de onda de salida, se

puede agregar perturbaciones en función del tiempo, y configurar los niveles de tensión y corriente

también cuenta con salidas analógicas y digitales empleadas para probar relevadores de protección.

La función que tiene en el sistema de adquisición de datos es simular la tensión de la red eléctrica,

por lo que se utilizó la herramienta VD Monitor, en el menú de Dynamic Test, se configuro el nivel

de tensión y perturbaciones como incremento y decremento de tensión, variación de frecuencia y

de fase. Los armónicos se configuraron con la herramienta TRANSIG-Monitor. En la figura 32 se

muestra la fuente y en la figura 33 la ventana VD Monitor.

Figura 32. Fuente programable ARTES 300

Figura 33. Ventana VD Monitor para configurar la señal de tensión y corriente de salida de la fuente

ARTES 300

4.1.2 TARJETA NI-USB 6008

La tarjeta NI USB 6008 es una tarjeta de adquisición de datos del fabricante NATIONAL

INSTRUMENTS posee una frecuencia de muestreo máxima de 10 000 muestras por segundo,

44

cuenta con ocho puertos de entrada analógicos y digitales, dos puertos de salida analógicos y cuatro

de salida digitales, un puerto con tensión de 2.5 V y otro de 5 V. Se comunica con USB a la PC,

puede efectuar medición diferencial y referenciada, con modo de muestreo finito y continuo, y está

diseñada para ocuparse con LabVIEW.

Figura 34. Puertos de tarjeta de adquisición de datos NI USB 6008 de NATIONAL INSTRUMENTS

4.1.3 SENSORES DE TENSIÓN

Se emplearon los sensores de tensión LV-25P montados sobre una PCB, la cual fue diseñada y

construida como parte del proyecto de investigación con registro SIP-20140457. La placa posee

cuatro alcances para medir tensión RMS de 50 V, 150 V, 250 V y 500 V, cuenta con un circuito

OFFSET sin embargo no fue necesario utilizarlo debido a que la tarjeta NI USB 6008 puede

efectuar medición de ±10 V, en la figura 35 se muestra la placa con los sensores.

Figura 35. Sensores de tensión montados en la PCB diseñada y construida en el proyecto de

investigación SIP-20140457

45

4.1.4 LabVIEW 2012

Con la fuente ARTES 300, se generó la señal de tensión de CA de 100 V pico, se empleó un solo

sensor de la PCB, el cual disminuyo la tensión a 1 V pico, posteriormente se efectuó medición con

la tarjeta NI USB 6008. Finalmente con el software LabVIEW 2012 se elaboró un programa para

medir la señal de referencia. Se escribe primeramente el algoritmo para llevar desarrollar el

programa:

1. Iniciar un ciclo “while”

2. Medir la señal de referencia asignando la frecuencia de muestreo (DAQ Assistant)

3. Mostrar la señal medida en una gráfica

4. Enviar la señal medida al PLL (asignar parámetros)

5. Mostrar la señal generada por el PLL en una gráfica

6. Parar el ciclo “while”

En la figura 36 se muestra el diagrama de flujo del algoritmo mencionado.

Figura 36. Diagrama de flujo del programa para medir la señal de referencia y generar con el PLL

46

En el diagrama a bloques mostrado en la figura 37 se muestra el código realizado. El bloque DAQ

Assistant realiza la configuración de la tarjeta NI USB 6008 (medición diferencial y continua a 720

Hz) y obtiene como salida la digitalización de la señal medida. El segundo bloque importante, es

el bloque PLL, el cual recibe los parámetros del controlador, factor de amortiguamiento y oscilador

controlado por voltaje, de igual manera que en la simulación, los dos bloques restantes muestran

las señales obtenidas y permiten llevar los datos a Excel.

Figura 37. Diagrama de bloques del programa elaborado para medir la señal de referencia y generar

con el PLL

47

En la figura 38 se muestra el panel frontal del programa realizado para efectuar la medición.

Figura 38. Panel frontal del programa para medir la señal de referencia y generar la señal de

seguimiento con el PLL de segundo orden

48

4.2 ADQUISICIÓN DE SEÑAL DE REFERENCIA CON CONTROLADOR PI

Con las perturbaciones en la señal de referencia se pretendió simular las condiciones anormales de

operación en la red eléctrica, estas perturbaciones se hicieron en base a la tabla 10, la cual muestra

en la primera columna el tipo de perturbación, en la segunda columna los intervalos de tiempo que

duro el estado de la señal, en la tercera el número de ciclos de cada señal y en la cuarta columna el

estado de la señal (normal o perturbación).

Tabla 10. Generación de señal de referencia con perturbación para controlador PI.

Tipo de

perturbación Tiempo (s)

Ciclos

de 60 Hz

Estado de la

señal

Incremento

de tensión

(Sag)

0.0-0.1666 10 Normal

0.1666-0.4166 15 Perturbación

0.4166-0.5000 5 Normal

Decremento

de tensión

(Swell)

0.0-0.1500 9 Normal


0.4000-0.4833 5 Normal

Variación de

frecuencia

0.0-0.3333 20 Normal

0.3333-0.8250 - Perturbación

0.8250-1.0000 10.5 Normal

Variación de

fase

0.0-0.3333 10 Normal


0.7167-0.800 11 Normal

Armónicos 5º

y 7º (20%)

0.0-0.1597 9.5 Normal


0.4264-0.5792 9 Normal

En las siguientes secciones se muestra en una gráfica la señal de referencia medida y la señal de

seguimiento generada por el PLL empleando el controlador PI.

49

4.2.1 INCREMENTO DE TENSIÓN (SWELL)

En la figura 39 se muestra la señal de referencia con un incremento de tensión, y la señal de

seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PI. De la tabla 8, capítulo 3,

se puede decir que la señal de seguimiento tarda 1.5 s en alcanzar la diferencia mínima de ángulo,

es decir que con este error mínimo ambas señales se encuentran en fase. En esta figura se observa

un intervalo de 0 a 0.5 s, en donde los intervalos de la señal de referencia se describen en la tabla

10.


PLL con controlador PI

Figura 40. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.15 s en prueba de incremento de tensión

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento


0 0.05 0.1 0.15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

6 ciclos de la señal de referencia

50

En la figura 40 se muestra el intervalo de 0 a 0.15 s en donde la señal de seguimiento exhibe una

forma oscilatoria al inicio y después de 6 ciclos de la señal de referencia, se observa que ambas

señales están sincronizadas o en fase, comparando con el número ciclos supuestos en la respuesta

escalón de la figura 13, son dos ciclos menos aproximadamente.

Se observa también que durante y después del incremento de tensión la señal de seguimiento no

presenta variaciones de frecuencia u oscilaciones, lo que quiere decir que el PLL con controlador

PI se mantiene estable a pesar del incremento de tensión y corresponde al 0% de porcentaje de

sobretiro calculado.

4.2.2 DECREMENTO DE TENSIÓN (SAG)

En la figura 41 se muestra la señal de referencia o medida con un decremento de tensión, y la señal

de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PI. En esta figura se

observa un intervalo de 0 a 0.4833 s, en donde los intervalos de la señal de referencia se describen

en la tabla 9. Se observa como en la prueba anterior, que durante y después del decremento de

tensión la señal de seguimiento no presenta variaciones de frecuencia u oscilaciones, esto sugiere

que el PLL con controlador PI se mantiene estable ante el decremento de tensión.



En la figura 42 se muestra el intervalo de 0 a 0.15 s en donde se observa que después de 3 ciclos

(esto es 0.05 s), la señal de seguimiento se sincroniza con la señal de referencia, en este instante

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Estado normal Decremento de tensión Estado normal

51

ambas señales aparentar estar en fase, comparado con el número de ciclos calculados por la

respuesta escalón de la figura 13, son 5 ciclos diferencia.

Figura 42. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.15 s en prueba de decremento de tensión

Es importante la observación obtenida a partir de las figuras 40 y 42, porque a pesar de observar

que ambas señales se encuentran en fase después de cierto número de ciclos, es necesario graficar

la diferencia aritmética del ángulo de cada señal y cotejar el tiempo de estabilización.

4.2.3 VARIACIÓN DE FRECUENCIA

En la figura 43 se muestra la señal de referencia o medida, con variación de frecuencia, y la señal

de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PI. Primeramente se

observa una señal de referencia con más ciclos que en las dos pruebas anteriores, esto es debido a

que ocurre una variación de frecuencia con el siguiente formato: inicia en 60 Hz durante los

primeros 20 ciclos, después se incrementa en 0.333 s (por unidad de Hertz) hasta alcanzar 90 Hz,

para luego regresar a 60 Hz en 0.7167 s.

0 0.05 0.1 0.15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento


52



En la figura 44 se observa a detalle que la señal de seguimiento se aproxima a la sincronización en

el tercer ciclo de la señal de referencia, pero es hasta el 5° ciclo cuando la señal de seguimiento es

de 60 Hz, sin embargo se presenta un desfasamiento.

Figura 44. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de variación de frecuencia

En la figura 45 se muestra el intervalo de 0.45 a 0.75 s, el cual está dentro del intervalo de 0.3333

a 0.7167 s donde ocurre la variación de frecuencia, se graficó así para observar a detalle que el

desfasamiento se mantiene durante la perturbación.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Estado normal Variación de frecuencia (60-90-60 Hz) Estado normal

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Desfasamiento

1° ciclo de 60 Hz

Aproximación de fase

53

Figura 45. Acercamiento en el intervalo de 0.45 a 0.75 s en prueba de variación de frecuencia

4.2.4 VARIACIÓN DE FASE

En la figura 46 se muestra la señal de referencia con variación de fase, y la señal de seguimiento

generada por el PLL de segundo orden con controlador PI.


con controlador PI

De acuerdo con la tabla 10, la señal de referencia inicia con 0° de fase, y a partir de 0.3333 s se

incrementa grado por grado hasta alcanzar los 50° y después decrece grado por grado hasta 0° en

el instante de 0.7167 s. Como se puede apreciar en la figura 47, el PLL no genera una señal de

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Estado normalVariación de fase (0°-50°-0°)Estado normal

54

salida que pueda sincronizarse con la señal de referencia. En la figura 47 se observa a detalle el

intervalo de 0 a 0.1 s, donde la señal de seguimiento logra una aproximación en el tercer ciclo de

la señal de referencia y hasta el 5° ciclo de esta alcanza a tener 60 Hz, como sucedió con la

perturbación anterior.

Figura 47. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de variación de fase

En la figura 48 se observa a detalle el intervalo de 0.4 a 0.6 s en donde la señal de seguimiento

mantiene la diferencia de fase.

Figura 48. Acercamiento en el intervalo de 0.4 a 0.65 s en prueba de variación de fase

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

1° ciclo de 60 Hz Desfasamiento

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

55

4.2.5 ARMÓNICOS

En la figura 49 se muestra la señal de referencia o medida con armónicos, y la señal de seguimiento

generada por el PLL de segundo orden con controlador PI. Se simuló el 5° y 7° armónico en la

señal de referencia al 20%, que inicia en 0.1667 s y termina en 0.4167 s.


controlador PI

En la figura 50 se muestra el acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s, donde se aprecia que en casi

la mitad del primer ciclo la señal de seguimiento se aproxima a estar en fase con la de referencia.

Figura 50. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de armónicos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Estado normal Armonicos (5° y 7°) Estado normal

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

1° ciclo 60 Hz DesfasamientoInicio en fase

56

Se observa que en el 5° ciclo de la señal de referencia, la señal de seguimiento tiene el 1° ciclo de

60 Hz, y el desfasamiento se mantiene. En la figura 51 se muestra a detalle el intervalo de 0.2 a

0.2833 s, cuando en la señal de referencia se presenta la perturbación de armónicos. Las flechas en

color rojo indican que el desfasamiento se mantuvo durante la perturbación.

Figura 51. Acercamiento en el intervalo de 0.2 a 0.2833 s en prueba de armónicos

0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

57

4.3 ADQUISICIÓN DE SEÑAL DE REFERENCIA CON CONTROLADOR PID

De la misma manera que para el controlador PI, se realizó la adquisición de la señal de referencia

con el controlador PID, las perturbaciones que se efectuaron fueron las mismas como se muestra

en la tabla 11.

Tabla 11. Generación de señal de referencia con perturbación para controlador PID

Tipo de

perturbación Tiempo (s)

Ciclos

de 60 Hz

Estado de la

señal

Incremento

de voltaje

(sag)

0.0-0.1666 10 Normal


0.4166-0.500 5 Normal

Decremento

de voltaje

(swell)

0.0-0.1653 10 Normal


0.4153-0.5819 10 Normal

Salto de

frecuencia

0.0-0.3333 20 Normal


0.8167-1.1638 20.8 Normal

Salto de fase

0.0-0.3319 20 Normal


0.7306-0.8 10 Normal

Armónicos

(5º y 7º)

0.0-0.1667 10 Normal


0.4167-0.5666 9 Normal

58

4.3.1 INCREMENTO DE TENSIÓN (SWELL)

En la figura 52 se muestra la señal de referencia o medida con un incremento de tensión, y la señal

de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID. De la tabla 8, capítulo

3, se tiene que la señal de seguimiento tarda 0.15 s en alcanzar la diferencia mínima de ángulo. En

esta figura se observa un intervalo de 0 a 0.5 s, en donde los intervalos se describen en la tabla 11.

Figura 52. Señal de referencia medida con incremento de tensión y señal seguimiento generada por el PLL con

controlador PID

En la figura 53 se muestra el intervalo de 0 a 0.7 s en donde se aprecia a detalle que la señal de

seguimiento se sincroniza con la señal de referencia a partir del 2° ciclo (esto es 0.03 s)


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sión

(pu

)

Referencia

Seguimiento

Normal NormalIncremento de tensión

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento


59

El tiempo de 0.03 s que corresponde a 2 ciclos, es menor al tiempo calculado en la respuesta escalón

de la figura XPID, pues hay 3 ciclos de diferencia, sin embargo también se graficara la diferencia

aritmética del ángulo de cada señal. Se observa que durante esta prueba la señal de seguimiento se

mantiene estable, esto se debe a la posición del polo dominante en el LGR, el cual tiene un valor

de -67.4, más negativo que el polo dominante del filtro PI, lo cual se refleja ya en la velocidad de

respuesta. La observación corresponde con el 0% de porcentaje de sobretiro calculado.

4.3.2 DECREMENTO DE TENSIÓN (SAG)

En la figura 54 se muestra la señal de referencia o medida con un decremento de tensión, y la señal

de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID. No se observa un

estado transitorio de la señal de seguimiento, sin embargo esta observación debe comprobarse

estimando el ángulo y frecuencia de cada señal y después graficar el error absoluto y relativo

respectivamente. Se visualiza que la señal de seguimiento sigue el decremento de tensión, sin

embargo no decrece en amplitud también, debido a que el sistema se estableció para una ganancia

unitaria, por lo tanto siempre mantendrá este nivel. La señal de seguimiento se mantiene estable

durante la prueba, debido a la posición del polo dominante (-67.4) y el porcentaje de sobretiro

(0%).


PLL con controlador PID

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Normal NormalDecremento de tensión

60

En la figura 55 se observa que desde el primer ciclo de la señal de referencia la señal de seguimiento

alcanza la sincronización por lo que resulta menor al número de ciclos calculados a partir de la

respuesta escalón en la figura XPID y también a los 6 ciclos de la simluación aproximados con

LabVIEW.


4.3.3 VARIACIÓN DE FRECUENCIA

En la figura 56 se muestra la señal de referencia o medida con variación de frecuencia, y la señal

de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID.

Figura 56. Señal de referencia medida con variación de frecuencia y señal de seguimiento generada

con el PLL con controlador PID

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

1 ciclo de la señal de referencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

NormalNormal Incremento de frecuencia

61

En la señal de referencia se mantuvo el mismo formato de variación que se usó para el controlador

PI, únicamente cambia el tiempo en que inicia y termina la perturbación, el cual se describe ahora

en la tabla 10. En la figura 57 se muestra el intervalo de 0 a 0.07 s, se observa que después del

primer ciclo ambas señales se mantienen en fase esto es aproximadamente cuatro ciclos menos a

los calculados en la respuesta escalón de la figura XPID.


Se observó también en la figura 56 que durante la variación de frecuencia la señal de seguimiento

se mantiene estable, por lo que el PLL con controlador PID, si opera correctamente ante esta

perturbación.

4.3.4 VARIACIÓN DE FASE

En la figura 58 se muestra la señal de referencia o medida con variación de fase, y la señal de

seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID. El formato de variación

de fase es el mismo que se usó con el PI, únicamente cambia el tiempo de inicio el cual se describe

en la tabla 10. En esta misma figura se aprecia un seguimiento fiel a diferencia de la prueba con el

controlador PI, se observa que antes, durante y después de la perturbación la señal de seguimiento

se mantiene en fase con la señal de referencia. Durante toda la prueba la señal de seguimiento se

mantuvo estable por que el PLL con controlador PID funciona correctamente ante esta

perturbación.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

1 ciclo de la señal de referencia

62


con controlador PID

En la figura 59 se muestra el intervalo de 0 a 0.07 s, donde se observa que la señal de seguimiento

logra estar en fase con la señal de referencia después del primer ciclo.

Figura 59. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.07 s en prueba de variación de fase

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Variación de faseNormal Normal

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

1° ciclo de la señal de referencia

63

4.3.5 ARMONICOS

En la figura 60 se muestra la señal de referencia o medida con variación de fase, y la señal de

seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID. Se simuló el 5° y 7°

armónico en la señal de referencia al 20%, que inicia en 0.16 s y termina en 0.41 s.


con controlador PID

En la figura 61 se muestra el acercamiento en el intervalo de 0 a 0.07 s, en donde se observa que

después del primer ciclo la señal de seguimiento logra estar en fase con la señal de referencia.

Figura 61. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.07 s en prueba de armónicos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

Normal Armónicos Normal

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

64

En la figura 62 se muestra el acercamiento al intervalo de 0.22 a 0.35 s, en donde se observa que

durante la perturbación la señal de seguimiento no es de la misma forma que la señal de referencia

debido a que la señal generada está limitada por la amplitud unitaria por lo que no alcanza el

máximo pico que tiene la señal de referencia provocando así que ambas señales sean distintas.

Figura 62. Acercamiento en el intervalo de 0.22 a 0.35 s en prueba de armónicos

0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Ten

sió

n (

pu

)

Referencia

Seguimiento

65

4.4 ERROR DE ÁNGULO CON CONTROLADOR PI Y PID

Los resultados de la adquisición de la señal de referencia y generación de la señal de seguimiento se muestran de la figuras 39 a 62,

ahora como se hizo en la sección 3.4.3, se obtuvo mediante un nuevo programa elaborado en labVIEW el ángulo y frecuencia de ambas

señales; después se graficó el error absoluto y el error relativo respectivamente. En la figura 63 se muestra el diagrama a bloques del

programa para procesar las señales medidas.

Figura 63. Diagrama a bloques del programa elaborado para obtener el ángulo y frecuencia de las señales medidas

66

En figura 64 se muestra el panel frontal del programa para procesar las señales medidas. Este

programa se empleó para procesar todas las señales obtenidas.

Figura 64. Panel frontal del programa elaborado programa para obtener el ángulo y frecuencia de las

señales medidas

67

4.4.1 ERROR DE ÁNGULO CON INCREMENTO DE TENSIÓN (SWELL)

En la figura 65 se observa el error de ángulo de ambos controladores en un intervalo de 0 a 0.5 s,

de acuerdo a la tabla 9 y 10 es el tiempo que dura la prueba. Conforme se indica en esta misma

tabla el intervalo de 0 a 0.1666 s corresponde a 10 ciclos de la señal de referencia, empleando el

controlador PI, el pulso máximo de error se alcanza en este tiempo con una magnitud de 357.9 y

empleando el controlador PID el pulso máximo es de error es de 25.13.

Figura 65. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5 s, con incremento

de tensión en la señal de referencia

En la figura 66 se observa el intervalo de 0.1666 a 0.4166 s, donde inicia y termina el incremento

de tensión.


incremento de tensión en la señal de referencia

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

50

100

150

200

250

300

350

400

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID

25.13

357.9

0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID

68

En la tabla 12 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.

Tabla 12. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con incremento de

tensión

Controlador Mediana del error de ángulo

PI 2.411

PID 4.24

4.4.2 ERROR DE ÁNGULO CON DECREMENTO DE TENSIÓN (SAG)

En la figura 67 se observa el error de ángulo de los controladores PI y PID en un intervalo de 0 a

0.47 s. En el intervalo de 0 a 0.1555 s corresponde a 10 ciclos de la señal de referencia, empleando

el controlador PI, el pulso máximo de error se alcanza en este tiempo con una magnitud de 321.7

y empleando el controlador PID el pulso máximo es de error es de 32.19.

Figura 67. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.47 s, con

decremento de tensión en la señal de referencia

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

50

100

150

200

250

300

350

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID321.7

69

En la figura 68 se muestra el intervalo de 0.15 a 0.4 s, cuando ocurre el decremento de tensión.




Tabla 13. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con decremento de

tensión


PI 3.467

PID 4.825

4.4.3 ERROR DE ÁNGULO CON VARIACIÓN DE FRECUENCIA

En la figura 69 se muestra el error de ángulo empleando ambos controladores, en un intervalo de 0

a 0.9 s. Para el controlador PI se observa que durante toda la prueba el error es superior al error del

PID, y que muestra un comportamiento con pulsos, que inician desde un valor aproximadamente

constante de 27 hasta 326, el máximo pulso de error ocurre en los primeros diez ciclos y tienen

magnitud de 348.8. Para el caso del controlador PID se observan tres pulsos en toda la prueba, los

tres ocurren en el intervalo de 0.333 a 0.8250 s (donde ocurre la variación de frecuencia de 60 Hz

a 90 Hz y luego regresa a 60 Hz) el error que alcanzan es de 357.7.

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID

70


frecuencia en la señal de referencia

En la figura 70 se muestra el intervalo donde ocurre la variación de frecuencia, en el caso del

controlador PI, conforme la frecuencia alcanza los 90 Hz correspondiente al intervalo 0.55-0.65 s,

los pulsos de error parten de un valor mayor, mientras que en el caso del controlador PID, el error

tiende a reducirse alcanzando valores cercanos al cero.


variación de frecuencia en la señal de referencia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

50

100

150

200

250

300

350

400

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID348.8 357.7326 27

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID

71



frecuencia


PI 32.79

PID 2.497

4.4.4 ERROR DE ANGULO CON VARIACIÓN DE FASE

En la figura 71 se muestra la comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID, como

se observa el error obtenido con el controlador PI, posee pulsos durante toda la prueba los cuales

inician sobre un valor aproximadamente constante de 26, y alcanzan un error de 329 casi constante

de igual manera. Con el controlador PID se observan ocho pulsos en toda la prueba alcanzando un

valor de 350.


fase en la señal de referencia

En la figura 72 se observa el intervalo de 0.3333-0.7167 s, cuando ocurre la variación de fase de la

señal de referencia de 0° a 50° y después a 0°. Esta figura muestra la oscilación del error del

controlador PID, que es menor al controlador PI ya que esta se inicia en un valor superior. Tres de

los ocho pulsos suceden cuando ocurre la perturbación.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

50

100

150

200

250

300

350

400

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID329 26

72


variación de frase en la señal de referencia


Tabla 15. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con variación de fase


PI 30.54

PID 3.538

4.4.5 ERROR DE ÁNGULO CON ARMONICOS

En la figura 73 se muestra la comparación del error de ángulo entre los controladores PI y PID. El

error debido al controlador PI oscila entre los valores de 50 a 307 con pulsos durante toda la prueba.


armónicos en la señal de referencia

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70

5

10

15

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

50

100

150

200

250

300

350

400

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID

343.8334

307 50

73

En la figura 74, se muestra el intervalo donde se presentan los armónicos en la señal de referencia,

en este caso el controlador PID presenta un error que oscila entre los valores aproximadamente

constantes de 115 y 240.


armónicos en la señal de referencia


Tabla 16. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con armónicos


PI 59.62

PID 11.42

4.5 ERROR DE FRECUENCIA CON CONTROLADOR PI Y PID

Una vez que se obtuvieron los resultados del error correspondiente a la estimación de ángulo se

analizaron los errores de ambos controladores en la estimación de frecuencia.

4.5.1 ERROR DE FRECUENCIA CON INCREMENTO DE TENSIÓN (SWELL)

En la figura 75 se muestra el error relativo de frecuencia obtenido de la prueba con incremento de

tensión, el error relativo máximo lo alcanza el controlador PI con 343.8% en estado transitorio, el

cual va disminuyendo hasta permanecer por debajo del 10%; con respecto al error relativo del PID

tiende a permanecer menor al 10% desde el inicio.

0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

50

100

150

200

250

300

350

400

Tiempo (s)

Err

or

PI

PID240 115

74


incremento de tensión en la señal de referencia

En la figura 76 se observa el intervalo de 0.1666 a 0.4166 s, en donde se aprecia que el error relativo

de frecuencia del controlador PI oscila por debajo del 2%, mientras que con el controlador PID

oscila por debajo del 4%. Al final de la perturbación ambos controladores presentan pulsos que

alcanzan un valor menor al 10%.


0.4166s, con incremento de tensión en la señal de referencia

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID343.8

0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

75



incremento de tensión

Controlador Mediana del error relativo de frecuencia

PI 1.253 %

PID 2.189 %

4.5.2 ERROR DE FRECUENCIA CON DECREMENTO DE TENSIÓN (SAG)

En la figura 77 se muestra la comparación del error relativo de frecuencia cuando ocurre el

decremento de tensión, de igual manera que en la prueba de incremento de tensión el controlador

PI alcanza un error relativo máximo de 43.9% al inicio y posteriormente disminuye, presentándose

dos pulsos que no superan el 25% de error. Con respecto al controlador PID, el error relativo

máximo es de 14.29%, presentando pulsos que no superan el 10% de error.



En la figura 78 se muestra a detalle el intervalo cuando ocurre el decremento de tensión, se observa

un pulso de 13.63% de error que alcanza el controlador PI hacia el final de la prueba, mientras que

el controlador PID también presenta un pulso máximo de 9.742%. El error del PI oscila en valores

menores al 4%, mientras que el error del PID oscila en valores menores al 6%.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

14.29

43.9

76

Figura 78. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.15 a 0.4s,

con decremento de tensión en la señal de referencia



decremento de tensión


PI 1.725 %

PID 1.8 %

4.5.3 ERROR DE FRECUENCIA CON VARIACIÓN DE FRECUENCIA

En la figura 79 se observa el error relativo de frecuencia de ambos controladores cuando ocurre la

variación de frecuencia (60Hz-90Hz-60Hz). El comportamiento del error relativo del PI, es similar

a las dos pruebas anteriores debido a que presenta un pulso máximo al inicio de 29.47%, mientras

que el PID presenta un pulso máximo de error relativo también al inicio de 10.55%. Es importante

notar que no ocurren más pulsos de error relativo de frecuencia durante la prueba y que ambos

errores oscilan en valores menores al 5%.

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID9.742

13.63

77

Figura 79. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 1 s, con

variación de frecuencia en la señal de referencia

En la figura 80 se muestra el intervalo de 0.333 a 0.825 s, cuando ocurre la variación de frecuencia.

El máximo pulso de error relativo que alcanza el PI es de 5.53%, mientras que el máximo pulso

que alcanza el PID es de 2.2%, como sucedió en el error de ángulo hacia el intervalo de tiempo de

0.55 a 0.6 s el controlador PID alcanza su error mínimo cerca del 0%.


s, con variación de frecuencia en la señal de referencia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

29.47

10.55

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80

1

2

3

4

5

6

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

5.53

2.2

78


Tabla 19. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con variación

de frecuencia


PI 0.5771 %

PID 1.169 %

4.5.4 ERROR DE FRECUENCIA CON VARIACIÓN DE FASE

En la figura 81 se muestra el error relativo de frecuencia cuando ocurre la variación de fase (0° a

50° a 0°), el controlador PI presenta un pulso máximo de error relativo al inicio de 30.77%, mientras

que el pulso máximo de error relativo del PID es de 9.837%. Ambos errores oscilan en valores

menores al 5%.

Figura 81. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.8 s, con

variación de fase en la señal de referencia

En la figura 82 se muestra el intervalo de 0.3333 a0.725 s, donde ocurre la variación de fase, los

valores de error relativo que presenta el controlador PI oscilan debajo del 5%, mientras que los

valores de error relativo que presenta el controlador PID oscilan debajo del 3%.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

5

10

15

20

25

30

35

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

9.837

30.77

79


0.725 s, con variación de fase en la señal de referencia


Tabla 20. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con variación

de fase


PI 0.9214 %

PID 1.815 %

4.5.5 ERROR DE FRECUENCIA CON ARMONICOS

En la figura 83 se muestra la comparación del error relativo de frecuencia entre ambos

controladores, al inicio se observa que el mayor pulso de error relativo es de 32% y corresponde al

controlador PI, se vuelve menor al 10% después del segundo 0.05 y se mantiene así durante la

prueba. Con el controlador PID, no existe pulso transitorio que supere el 10%, sin embargo es

notable que del segundo 0.15 al 0.4, el error relativo se incrementa hasta alcanzar valores de

oscilación entre el 48% y 55%, correspondientes al intervalo cuando se suman armónicos de 5° y

7° orden a la señal de referencia.

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70

1

2

3

4

5

6

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

80

Figura 83. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5792 s,

con armónicos de fase en la señal de referencia

En la figura 84 se confirma que en el intervalo donde hay presencia de armónicos el error relativo

de frecuencia empelando el controlador PID se incrementa y con el controlador PI, el error

relativo oscila en valores menores al 5%.


0.4264 s, con armónicos en la señal de referencia



armónicos


PI 1.615 %

PID 5.493 %

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

10

20

30

40

50

60

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

55

4832

0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

10

20

30

40

50

60

Tiempo (s)

Err

or

(%)

PI

PID

55

48

5

81

4.6 DISCUSION DE LOS RESULTADOS

Con la simulación del bloque PLL de segundo orden en MATLAB SIMULINK y en LabVIEW, se

obtuvo la estimación de ángulo y frecuencia de la señal de referencia cuando se encuentra en

condiciones normales de operación (amplitud unitaria, frecuencia de 60 Hz, 0° de desfasamiento)

y se comprobó el funcionamiento de las constantes propuestas para el controlador PI y el

controlador PID. Usando MATLAB SIMULINK se observó el comportamiento de la estimación

de frecuencia en ambos controladores en un tiempo de 0.5 s, con el controlador PI, el PLL estimo

un promedio de 59.99 Hz con una varianza estándar de 0.02908, con el controlador PID, el PLL

estimo un promedio de 59.76 Hz con una varianza estándar de 0.1559, por simple inspección el

mejor estimador es el filtro PI aunado a que su estimación es más estable en comparación con el

filtro PID, pues el PI mostro una estimación con tendencia a disminuir su valor a pesar de que el

P.O. fue de 0% en este controlador. Con respecto a la estimación de ángulo, el filtro PI estimo los

valores desde 0° hasta 359.9893° y el PID estimo los valores desde 0° hasta 358.9993°. La

simulación con LabVIEW resulto interesante desde el funcionamiento del bloque PLL, porque este

entrega una señal de seguimiento sobre la señal de referencia y para analizar el ángulo y frecuencia

se utilizó un bloque adicional (extract tone information), lo que permitió observar el error de

seguimiento. En el primer caso, se estimó el ángulo de la señal de referencia y el ángulo de la señal

de seguimiento y se restaron aritméticamente; esto se hizo con los dos controladores propuestos y

los resultados se mostraron en gráficas. En la figura 20 se muestra un intervalo de 0 a 0.5 s, con el

controlador PI se observaron seis pulsos de error que alcanzaron el valores de 390.6, lo que

significa seis ciclos donde la señal de seguimiento cambia a un valor de ángulo distinto creándose

así, un desfasamiento casi de un ciclo con respecto al ángulo que lleva la señal de referencia;

después del último pulso el error decrece conforme pasa el tiempo, por lo que el error no se

estabiliza en un tiempo menor a 0.5 s, siendo de 0.128 en la respuesta escalón de la figura 13. Con

el controlador PID en esta misma gráfica, se observa que el error máximo es de 155.1, después

decrece rápidamente, no hay pulsos y es posible observar que a partir de 0.1 s la señal de error se

vuelve estable, un valor próximo a los 0.07 s de la respuesta escalón de la figura 15. En la figura

22 se muestra el intervalo de 3 a 3.5 s, el error ya es estable en ambos controladores, debido a que

oscila entre dos valores constantes se calcula su promedio, el PI un error de 0.167 y el PID un error

de 8.665, el segundo parámetro importante es el tiempo de estabilización aproximado, el cual fue

de 1.5 s y 0.1 s, respectivamente. Con estos resultados, se identifica la ventaja de un controlador

82

sobre otro, es decir, el PI se estabiliza más lento que el PID, pero el error en estado estable que

alcanza es menor al PID. En el segundo caso se estimó la frecuencia con el mismo bloque y se

calculó el error relativo que está dado por:

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎∗ 100%

(67)

En la figura 23 se observó que el PI no presento pulsos de error porcentual y el máximo error no

supero el 50%, en cambio el PID supero el 100% de error en el estado transitorio y se estabilizo en

el mismo tiempo que su correspondiente error de ángulo. En estado estable el promedio de error

del PI fue de 0.6956% y el del PID fue de 0.0933%, lo cual significa que ambos mantuvieron la

frecuencia de la señal de referencia; luego entonces se puede decir parcialmente que lo conveniente

es tener un filtro PI, ya que es más importante tener un error de ángulo en estado estable mínimo,

como resultado parcial. La segunda acción que se llevó a cabo en la simulación fue variar el factor

de amortiguamiento y la frecuencia de muestreo, si bien en el capítulo 3 empleando el método de

lugar geométrico de las raíces resulto para el polo seleccionado en el caso del controlador PI, un

factor de amortiguamiento unitario que representa una respuesta críticamente amortiguada, este se

puede variar en el control de la simulación sin cambiar la ganancia k del PLL, los resultados se

mostraron en la figura 26 donde se varía el factor de amortiguamiento cada 5 unidades, llegando

hasta 30, evidentemente el error en estado transitorio se fue sobre amortiguando y desaparecieron

los pulsos que se observaron con el factor unitario, sin embargo la respuesta en estado estable no

fue conveniente debido a que los límites de oscilación del error crecieron conforme el

amortiguamiento lo hacía, por esta razón se opta por mantener este parámetro unitario. El hecho

de incrementar la frecuencia de muestreo en la medición de una señal, se traduce en una mejor

representación de esta, sin embargo la simulación mostró que al incrementarse, el error en estado

estable lo hacía también; situación que ya se reiteró no es conveniente, pues no es un objetivo del

filtro, las razones por las que ocurrió dicho comportamiento se pueden atribuir a la operación de

los bloques que estiman el ángulo y la frecuencia, como no es el objetivo de este trabajo no se

implementó un algoritmo en lugar de los bloques, sino que se aprovechó la tarea que estos realizan

y esta última prueba sirvió para conocer la condición en la que operan adecuadamente.

83

La implementación del PLL en el sistema de adquisición de datos consto de dos etapas, en la

primera, con la fuente ARTES 300 se generó la señal de referencia incluyendo las perturbaciones

de: incremento de tensión, decremento de tensión, variación de frecuencia y variación de fase. Con

la tarjeta NI USB 6008 se midió la señal de referencia y en el programa de LabVIEW se generó la

señal de seguimiento empleando los dos filtros propuestos. De la figura 39 a 62 se mostraron las

señales obtenidas, las cuales de forma cualitativa permiten visualizar que cuando en la señal de

referencia existe variación de frecuencia o ángulo sucede un desfasamiento en la señal de

seguimiento empleando el controlador PI y no así con el controlador PID, sin embargo para

asegurar esta observación se creó un programa de procesamiento, cuyo resultado se expresa en las

gráficas de error de ángulo y frecuencia. En la prueba de incremento de tensión la mediana del

error del controlador PI fue de 2.411 mientras que la mediana del error del controlador PID fue de

4.24, por lo que el error del PI alcanza valores cercanos al cero. Con el decremento de tensión la

mediana del error obtenido entre ambos controladores se acorto, debido que el PI llego a 3.467,

mientras que con el PID fue de 4.825. La variación de frecuencia represento una prueba interesante

porque el filtro PI no pudo a seguir la señal de referencia, así la gráfica del error de ángulo mostro

un error constante, el filtro PID alcanzo el error de cero cuando la frecuencia de la señal de

referencia fue de 90 Hz, estimando una mediana de 2.497, un error parecido al PI cuando se

presentó el incremento de tensión. Los resultados de la variación de fase fueron parecidos a la

prueba anterior para el controlador PI, debido a que la señal de seguimiento no se sincronizo y

mostro un error constante con pulsos de desfase, en cambio el PID alcanzo una mediana de error

de 3.538. La presencia del 5° y 7° armónico a un 20% en la señal de referencia fue la última prueba

en donde la mediana del error menor fue la del PID con 11.42 contra 59.62 del PI.

Comparando estos resultados con lo expresado en la tabla 2, el modelo PLL de segundo orden con

un filtro PI o un filtro PID es medianamente inmune a la distorsión, en el caso de la adaptabilidad

a la frecuencia, se puede mejorar usando un filtro PID, y la respuesta dinámica se ve favorecida

por la acción derivativa del controlador PID ya que permite estabilizar al PLL en un menor tiempo.

84

CONCLUSIONES

Se llevó a cabo un trabajo de investigación documental de manera inicial, principalmente en

artículos, para conocer el estado del arte de los métodos de sincronización que se emplean en la

conexión de convertidores de potencia a una red eléctrica y de ellos se adoptó el PLL debido a su

extendido uso e interés. Una vez que se seleccionó este método se analizaron las posibilidades de

estudiar su funcionamiento, ya que para comprenderlo de fondo, se requiere manejar teoría de

sistemas lineales, teoría de control clásica y moderna, teoría de filtros digitales entre otros. Luego

entonces se revisó las diferentes estructuras del PLL, buscando cual sería la más adecuada para

analizar, se tomó el sistema estándar y se efectuó un análisis empleando dos filtros, uno ya

establecido (Proporcional Integral) y el segundo (Proporcional Integral Derivativo) como parte de

una experimentación y propuesta. Las siguientes conclusiones son sobre puntos clave de la tesis:

Modelo lineal del PLL

Para comprender el funcionamiento del PLL se partió del modelo no lineal, el cual se representa

por tres bloques en un sistema de lazo cerrado (capítulo 2, figura 6), el primero de ellos es el

detector de fase, luego el filtro de lazo y el tercero el oscilador controlado por voltaje, cada uno de

ellos, se aproxima con un sumador, un controlador (representado por una función de transferencia

en la frecuencia) y un integrador (1

𝑠) respectivamente. Como aspectos importantes sobre el estudio

del modelo lineal del PLL se tiene:

El filtro de lazo es la esencia del PLL, porque se encarga de reducir la diferencia entre dos

señales una exterior o medida y la segunda generada por el oscilador, además de que

alimenta a este elemento, por lo que si se desea trabajar en su mejora, se debe analizar sus

funciones de transferencia.

El PLL de segundo orden (filtro Proporcional Integral) teóricamente sigue los saltos de

frecuencia y saltos de ángulo alcanzando un error cero en estado estable, sin embargo la

experimentación indicó que este error es mayor comparado con un filtro Proporcional

Integral Derivativo, por lo que en este tipo de condiciones es mejor cambiar de filtro.

85

Por último, se debe de considerar aplicar su diagrama a bloques completamente porque de ello

depende su correcta aplicación o programación, por lo que se hace indispensable el uso de las

herramientas matemáticas ya mencionadas.

Sintonización de los controladores para el PLL

La sintonización de los controladores se realizó con el método del lugar geométrico de las raíces,

el cual se aplicó con el software de MATLAB, las ventajas que tiene sobre otros métodos de

sintonización son:

Permite considerar los parámetros involucrados en la respuesta del PLL, como lo es el

factor de amortiguamiento (ζ), la frecuencia natural (𝜔𝑛) y la ganancia del controlador.

El PLL tienen una función de transferencia de segundo orden, por lo que existe relación

directa entre la ganancia del filtro, el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural.

Esta relación se observó cuando al cambiar el valor del amortiguamiento (buscando

eliminar los pulsos en la respuesta transitoria) el error en estado estable incremento.

Se pude visualizar la estabilidad del sistema de lazo cerrado en base a la ubicación de los

polos y ceros de la función de transferencia.

Simulación e implementación del PLL en software comercial

El software de MATLAB SIMULINK tiene programado el PLL en sus librerías, el cual puede ser

monofásico o trifásico, ambos estiman el ángulo y frecuencia de la señal de referencia o de entrada.

La cuestión más importante de simular el PLL es que se puede configurar sus parámetros, en los

que viene incluido un controlador PID autosintonizado, en el caso de este trabajo permitió

comparar la respuesta para las constantes de los controladores ya mencionados. El software de

labVIEW permite implementar un sistema de adquisición de datos y crear instrumentos virtuales

en este caso tiene programado el PLL, el cual puede ser el de segundo orden o el de un filtro digital,

difiere en el funcionamiento con el de SIMULINK, ya que este entrega una señal de seguimiento

sobre la de referencia.

Con respecto a las pruebas emprendidas en la implementación se tiene las siguientes conclusiones:

Las pruebas de incremento y decremento de tensión son bien soportadas por el filtro PI, no

así el PID, esto es porque el cambio de amplitud en la señal de referencia es instantáneo y

86

permanece constante, y la acción proporcional e integral son suficientes para resolver esta

condición.

Las pruebas de variación de frecuencia y ángulo son bien soportadas por el filtro PID,

porque el cambio continuo en la frecuencia y ángulo permite que la acción derivativa actué

y reduzca el error.

Las pruebas con armónicos, hicieron funcionar ambos filtros sin embargo por el cambio de

amplitud y el cambio en la forma de la señal de referencia el error de ángulo se incrementó

en ambas.

87

RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS

A continuación se mencionan las recomendaciones y trabajos futuros para realizar a este trabajo de

tesis:

Es conveniente revisar los cuatro tipos de filtros ya establecidos para el PLL y observar sus

ventajas y desventajas entre ellos, antes de migrar al estudio de un modelo nuevo como el

EPLL (Enhanced PLL).

Una vez comprendida la operación del PLL, se puede implementar en un microcontrolador.

Para observar su comportamiento, es necesario contar con un inversor programado con un

método de modulación que requiera el ángulo de la señal de la red eléctrica a conectarse.

Por último se puede analizar la aplicación del PLL para llevar acabo mediciones fasoriales.

88

89

REFERENCIAS

[1] BLAABJERG Frede, TEODORESCU Remus, LISERRE Marco, Overview of Control and

Grid Synchronization for Distributed Power Generation Systems, IEEE TRANSACTIONS

ON INDUSTRIAL ELECTRONICS, 2006, 1398-1409.

[2] Comisión Reguladora de Energía (México). RESOLUCIÓN Núm. RES/119/2012. México

D.F, 2012.

[3] ROMERO Enrique, SPAGNUOLO Giovanni, G. Leopoldo, RAMOSPAJA Carlos,

SUNTIO Teuvo, XIAO Weidong, Grid-Connected Photovoltaic Generation Plants, IEEE

INSDUSTRIAL ELECTRONICS MAGAZINE, 2013, 15-17.

[4] CHYUN-Guan Hsieh, C. James Hung, Phase-Locked Loop Techniques, A Survey. IEEE

Vol.43, No. 6, Diciembre 1996.

[5] TRANTER William, RATCHANEEKORN Thamvichai, TAMAL Bose, Basic Simulation

Models of Phase Tracking Devices Using MATLAB, MORGAN & CLAYPOOL

PUBLISHERS, USA, 2010.

[6] KARIMI-Ghartemani, Enhanced Phase-Locked Loop Structures for Power and Energy

Applications. IEEE PRESS, WILEY, USA, 2014.

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[8] KAMEN, EDWARD W., y BONNIE S. HECK, Fundamentos de señales y sistemas usando

la Web y MATLAB, PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008

[9] STRZELECKI Ryszard, BENYSEK Grzegorgz, Power Electronics in Smart Electrical

Energy Networks, Springer, Germany, 2008.

[10] CHUNG Se-Kyo, A Phase Tracking System for Three Phase Utility Interface Inverters,

IEEE TRANSACTIONS ON POWER ELECTRONICS, Vol. 15, NO. 3, MAY 2000

[11] MOHAN Ned, M. Undeland Tore, P. Robbins William, Electrónica de Potencia

Convertidores, aplicaciones y diseño, 3 Ed., Mc Graw Hill, México 2009.

[12] TOMASI, Wayne, Sistemas de comunicaciones electrónicas, 4 Ed., PEARSON

EDUCACIÓN, México 2003.

90

[13] HAN Yang, XU Lin, KHAN M. M., YAO Gang, ZHOU Li-Dan, CHEN Chen, A novel

synchronization scheme for grid-connected converters by using adaptive linear optimal filter

based PLL (ALOF-PLL), ELSEVIER, 2009, 1299-1345, 1300-1302.

[14] A. Mohamed, ZHAO Zhengming, Grid-connected photovoltaic power systems: Technical

and potential problems-A review, ELSEVIER, 2009, 14(2010) 112-129, 122-124.

[15] CIOBOTARU Miahi, TEODORESCU Remus, G Vasilios, Offset rejection for PLL based

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[16] SELVARAJ Jeyraj, A. Nasrudin, Multilevel Inverter for Grid Connected PV System

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[17] VILLANUEVA Elena, CORREA Pablo, RODRÍGUEZ José, PACAS Mario, Control of

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Grid connected converters, IEEE, 2009, 978-1-4244-2893, 2957-2964.

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[20] CARUGATI Ignacio, MAESTRI Sebastian, G. Patricio, CARRICA Daniel, BENEDETTI

Mario, Variable Sampling Period Filter PLL for Distorted Three Phase Systems,IEEE, 2012,

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[22] KARIMI Masoud, MOJIRI Mohsen, SAFAEE Alireza, WALSETH, KHAJEHODDIN,

JAIN, BAKHSHAI, A New Phase Locked Loop System for Three Phase Applications, IEEE,

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91

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[25] RAMIREZ Ortega Enrique, Implementación de un Convertidor PWM Trifásico Conectado

a la Red con Factor de Potencia Unitario, Tesis que para obtener el grado de Maestría, Instituto

Politecnico Nacional, México, Julio, 2014.

92

93

APENDICE A

CONCEPTOS BÁSICOS DE SISTEMAS DE

CONTROL

Control realimentado.

El control realimentado es un sistema que mantiene una comparación entre la entrada de

referencia y la salida deseada, el resultado de la comparación es utilizado para controlar [7].

Sistemas de control en lazo cerrado

En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador con la señal de error de

actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que

puede ser la señal de la salida misma o una función de la señal de salida y sus derivadas o

integrales) a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El

término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado

para reducir el error del sistema [7].

Sistemas de control en lazo abierto

En estos sistemas la salida no afecta la acción de control. Es decir que en este tipo de control

no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Por lo tanto, a cada

entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija; lo que obliga a que la

precisión del sistema sea dependiente de la calibración del mismo [7].

Función de Transferencia

El aspecto más importante dentro de los sistemas de control es la estabilidad del sistema. Un

sistema es estable si en ausencia de alguna perturbación la salida permanece en el mismo

estado. En un sistema de control se busca que a pesar de las perturbaciones o entradas del

sistema vuelva a un estado de equilibrio. Para este motivo es necesario conocer las

características del sistema a través de su función de transferencia.

Los sistemas de control actuales generalmente no son lineales, sin embargo es posible

aproximarlos a través de matemáticos; es por eso que analizar la respuesta transitoria de la

planta es el primer paso a tomar en cuenta para poder implementar las acciones de control.

94

El análisis de la respuesta transitoria da como resultado la “Función de Transferencia” que

nos representará la planta que se va a controlar.

La forma del sistema a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia determina cuál

de las señales de entradas típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si

las entradas de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una señal

rampa sería buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones

repentinas, una función escalón sería buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a

entradas de choque, una función impulso sería lo mejor. Una vez diseñado un sistema de

control con base en las señales de prueba, por lo general el desempeño del sistema en

respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de tales señales de prueba permite

comparar el desempeño de todos los sistemas sobre la misma base [7].

La mayor parte de los sistemas de control tienen funciones de transferencia de segundo orden.

Utilizando una entrada escalón los sistemas de segundo orden muestran la función de

transferencia:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝜔𝑛2

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

A.1

Donde:

𝜔𝑛: 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎

𝜁: 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

El sistema tiene dos polos en:

𝑠 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜁2 − 1 A.2

Para:

|𝜁| > 1 Dos polos reales diferentes (caso sobre amortiguado)

|𝜁| = 1 Dos polos reales e iguales (caso críticamente amortiguado)

0 < 𝜁 < 1 Dos polos complejos conjugados (caso sub amortiguado)

𝜁 = 0 Dos polos complejos conjugados puros (caso oscilador)

95

La siguiente figura muestra la frecuencia natural no amortiguada 𝜔𝑛 y el factor de

amortiguamiento 𝜁 en el plano imaginario.

Figura A.1 Definición del ángulo 𝜷

Por trigonometría:

𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝜔𝑑

𝜎)

A.3

𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 A.4

𝜎 = 𝜔𝑛𝜁 A.5

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜔𝑑

𝜔𝑛= √1 − 𝜁2 A.6

𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝜎

𝜔𝑛= 𝜁 A.7

𝜔𝑑 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎

𝜎 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛

96

En la figura siguiente se muestran diferentes gráficos para los factores de amortiguamiento

descritos anteriormente para una entrada escalón unitario, ya que normalmente las

características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la

respuesta transitoria para una entrada escalón [7].

Figura A.2 Curva de Respuesta al Escalón Unitario de Sistemas de Segundo Orden

La respuesta transitoria para una entrada escalón unitario de un sistema de control práctico

exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Estas

especificaciones se definen a continuación y aparecen en forma gráfica en la respuesta

transitoria de un sistema en la figura siguiente [7]:

Figura A.3 Especificaciones de la Respuesta Transitoria

97

1. Tiempo de retardo, 𝑡𝑑: Es el tiempo para que la respuesta la primera vez la mitad del

valor final.

2. Tiempo de levantamiento, 𝑡𝑟: Tiempo para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5

al 95% o del 0 al 100% de su valor final.

3. Tiempo pico, 𝑡𝑝 : Tiempo en el cual la respuesta alcanza el primer pico del sobrepaso

(máximo sobre impulso). El tiempo pico es inversamente proporcional a la frecuencia

natural amortiguada.

𝑡𝑝 =𝜋

𝜔𝑑 A.8

4. Máximo sobre impulso, 𝑀𝑝: Es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido

a partir de la unidad. El máximo sobre impulso normalmente se indica en porcentaje.

La cantidad de sobrepaso máximo indica de manera directa la estabilidad relativa del

sistema.

𝑀𝑝 = 𝑒−

𝜁𝜋

√1−𝜁2 A.9

5. Tiempo de asentamiento, 𝑡𝑠: Tiempo que se requiere para que la curva de respuesta

alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje

absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El

tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de

control.

𝑡𝑠 =𝐶

𝜁𝜔𝑛

A.10

Donde C es 4 para un criterio de 2% o 3% para un criterio de 5%.

98

Acciones de control

La forma en la cual el controlador automático produce la señal de control se llama “acción

de control”. Los controladores automáticos coparan el valor real de la salida con la entrada

de referencia, lo cual determina la desviación con la que el controlador debe producir una

señal de control que reduzca la desviación [7].

Figura A.4 Diagrama a bloques general de un control automático

Acción de control proporcional. Para un control controlador con acción de control

proporcional, la relación entre la salida del controlador 𝑢(𝑡) y la señal de error 𝑒(𝑡) es:

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃𝑒(𝑡) A.11

O bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace:

𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝

A.12

En donde 𝐾𝑝 se considera la ganancia proporcional. El controlador proporcional es en

realidad un amplificador con ganancia ajustable. Este control reduce el tiempo de subida,

incrementa el sobretiro y reduce el error en estado estable [7].

Acción de control integral. En un controlador con acción de control integral, el valor de la

salida del controlador 𝑢(𝑡) se cambia a una razón proporcional a la señal de error 𝑒(𝑡). Es

decir:

99

𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐾𝑖𝑒(𝑡)

A.13

O bien

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑖∫𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 A.14

En donde 𝐾𝑖 es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral

es:

𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)=𝑘𝑖𝑠

A.15

Si se duplica el valor 𝑒(𝑡) el valor de 𝑢(𝑡) varía dos veces más rápido. Para un error de cero,

el valor de 𝑢(𝑡) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control de integral se

denomina control de reajuste (reset). Como se puede ver en la fórmula de la función de

transferencia el control integral añade un polo en el origen, con lo cual el sistema se vuelve

menos estable [7].

Acción de control proporcional integral. Este control logra un decremento en el tiempo de

subida, incrementa el sobre impulso y el tiempo de estabilización, y tiene el efecto de eliminar

el error en estado estable pero empeorara la respuesta transitoria.

La acción de control de un controlador proporcional integral (PI) se define mediante

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃𝑒(𝑡) +𝐾𝑝

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡𝑡

0

A.16

O la función de transferencia del controlador es:

𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝 (1 +

1

𝑇𝑖𝑠)

A.17

En donde 𝐾𝑝 es la ganancia proporcional y 𝑇𝑖 se denomina tiempo integral. Tanto 𝐾𝑝 como

𝑇𝑖 son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un

cambio de valor de 𝐾𝑝 afecta las partes integral y proporcional de la acción de control. El

100

inverso del tiempo integral 𝑇𝑖 se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste

se mide en términos de las repeticiones por minuto [7].

Acción de control proporcional derivativo. Este control reduce el sobre impulso y el

tiempo de estabilización, por lo cual tendrá el efecto de incrementar la estabilidad del sistema

mejorando la respuesta del sistema. El controlador proporcional derivativo (PD) se define

mediante

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡

A.18

La acción de control derivativo, en ocasiones llamada control de velocidad, ocurre donde la

magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de

error. El tiempo derivativo 𝑇𝑑 es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la

velocidad hace avanzar el efecto de la acción proporcional. La acción de control derivativo

tiene un carácter de previsión. Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativo

nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido.

Aunque la acción de control derivativo tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las

desventajas que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en

el actuador [7].

Su función de transferencia es:

𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑑𝑠)

A.19

Acción de control proporcional-integral-derivativa

La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una

acción de control derivativo se denomina acción de control proporcional integral derivativo.

Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control

individuales.

101

La siguiente tabla resume las características de los controles mencionados.

Tabla A.1 Resumen de las características de acciones de control

Tipo de

Control

Tiempo de

subida Sobre impulso

Tiempo de

estabilización

Error en estado

estable

Proporcional Decrece Crece Cambio menor Decrece

PI Decrece Crece Crece Se elimina

PD Cambio menor Decrece Decrece Cambio menor

Las correlaciones de la tabla mostrada no son muy precisas, porque 𝐾𝑝, 𝐾𝑖 y 𝐾𝑑 son

dependientes entre sí, por lo cual esta tabla solo debe ser tomada como referencia. La relación

entre la salida del controlador 𝑢(𝑡) y la señal de error 𝑒(𝑡) de la acción de control

Proporcional Integral Derivativo está dada por:

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡+𝐾𝑝

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝑡

0

A.20

En donde 𝐾𝑝 es la ganancia proporcional, 𝑇𝑖 es el tiempo integral y 𝑇𝑑 es el tiempo derivativo.

Si se aplica la transformada de Laplace se obtiene:

𝑈(𝑠) = 𝐾𝑝𝐸(𝑠) + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠𝐸(𝑠) +𝐾𝑝

𝑇𝑖𝑠𝐸(𝑠)

A.21

𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝 (1 + 𝑇𝑑 +

1

𝑇𝑖)

A.22

102

103

APENDICE B

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

Sea un sistema de control por retroalimentación con la representación de la función de

transferencia [5]:

𝑌(𝑠) = 𝐺𝑐𝑙(𝑠)𝑅(𝑠) B.1

Donde:

𝑌(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑅(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝐺𝑐𝑙(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜

La función de transferencia de lazo cerrado 𝐺𝑐𝑙(𝑠) esta dada por [5]:

𝐺𝑐𝑙(𝑠) =𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠)

1 + 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠)

B.2

𝐺𝑝(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎

𝐺𝑐(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟

En la figura B1 se muestra el sistema de lazo cerrado.

Figura B1. Sistema de control por retroalimentación

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

−

104

Se supone que la función de transferencia de la planta 𝐺𝑝(𝑠) tiene N polos, y la función de

transferencia del controlador 𝐺𝑐(𝑠) tiene q polos. Entonces, si no hay cancelaciones de polos-

ceros, el producto 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) tiene N + q polos, lo que es igual a los polos de la planta y los

polos del controlador. Con los ceros de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) denotados por 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, … , 𝑧𝑟 y los polos

denotados por 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑁+𝑞, 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) puede expresarse de la forma factorizada [5]:

𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)

(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞)

B.3

En B.3, K es una constante que contiene los coeficientes importantes de los polinomios del

numerador y del denominador de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠). Al sustituir B.3 en B.2 obtenemos la siguiente

expresión para la función de transferencia de lazo cerrado [5]:

𝐺𝑐𝑙(𝑠) =

𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)

(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞)

1 + 𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)

(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞)

𝐺𝑐𝑙(𝑠) =𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)

(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞) + 𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)

B.4

De B.4 vemos que los polos de lazo cerrado son las N + q raíces de la ecuación [5]:

(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞) + 𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟) = 0 B.5

Es evidente que los valores de los N + q polos de lazo cerrado dependen del valor de la

constante K. En particular se observa que cuando K = 0, los polos de lazo cerrado son los

mismos que los polos de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) [5].

Debido a que las características del error de seguimiento 𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑦(𝑡) depende

directamente de los valores (o ubicaciones) de los polos de lazo cerrado, en el diseño de un

sistema de control por retroalimentación es más importante conocer las posibles ubicaciones

de los polos que podemos obtener variando K. Por ejemplo, K puede corresponder a un

parámetro (como la ganancia) del controlador que puede elegir el diseñador, en cuyo caso la

pregunta que surge es si existe o no un valor de K que resulte en “buenas” ubicaciones de los

polos. Para responder esto, primero es necesario determinar todas las ubicaciones de los polos

105

de lazo cerrado conforme K se modifica sobre cierto intervalo de valores. Esto nos lleva al

“lugar geométrico de las raíces al 180°” (o el “lugar geométrico de las raíces para K>0”) que

es la gráfica del plano complejo de los N + q polos de lazo cerrado, cuando K varía de 0 a∞.

Debido a que solo se considerara el caso K > 0, se hace referencia al lugar geométrico de las

raíces para K > 0 como lugar geométrico de las raíces. En la construcción del lugar

geométrico de las raíces, a la constante K se le conoce como ganancia del lugar geométrico

de las raíces [5].

Debido a que existen N + q polos de lazo cerrado, el lugar geométrico de las raíces tiene N +

q ramificaciones, donde cada ramificación corresponde a un movimiento de cada polo de

lazo cerrado en el plano complejo, cuando K varía de 0 a ∞. Debido a que los polos de lazo

cerrado son los polos de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) cuando K = 0, el lugar geométrico de las raíces comienza

en los polos de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠). Cuando K se incrementa desde cero, las ramificaciones del lugar

geométrico de las raíces parten de los polos 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠), una ramificación por polo. Cundo

K se aproxima a ∞, r de las ramificaciones se mueven hacia los r ceros de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) una

ramificación por cero, y las otras N + q – r ramificaciones se aproximan a infinito.

Un número p real o complejo se encuentra en el lugar geométrico de las raíces si y solo si p

es una raíz de (B.5) para algún valor de K > 0. Es decir p se encuentra en el lugar geométrico

de las raíces si y solo si para alguna K > 0 [5]:

(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)⋯ (𝑝 − 𝑝𝑁+𝑞) + 𝐾(𝑝 − 𝑧1)(𝑝 − 𝑧2)⋯ (𝑝 − 𝑧𝑟) = 0 B.6

Al dividir ambos lados de (B.6) entre (𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)⋯ (𝑝 − 𝑝𝑁+𝑞) obtenemos [5]:

1 + 𝐾 (𝑝 − 𝑧1)(𝑝 − 𝑧2)⋯ (𝑝 − 𝑧𝑟)

(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)⋯ (𝑝 − 𝑝𝑁+𝑞)= 0

B.7

Al dividir ambos lados de (B.7) entre K, y reacomodando los términos obtenemos [5]:

(𝑝 − 𝑧1)(𝑝 − 𝑧2)⋯ (𝑝 − 𝑧𝑟)

(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)⋯ (𝑝 − 𝑝𝑁+𝑞)= −

1

𝐾

B.8

106

Entonces p se encuentra en el lugar geométrico de las raíces si y solo si (B.7) es satisfecha

por alguna K > 0.

Ahora si P(s) se define como [5]:

𝑃(𝑠) =(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)

(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞)

B.9

Entonces 𝐾𝑃(𝑠) = 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠), y en términos de P, B.9 se vuelve:

𝑃(𝑝) = −1

𝐾

B.10

Entonces, p se encuentra en el lugar geométrico de las raíces si y solo si B.10 es satisfecha

por alguna K > 0. Debido a que P(p) es en general un número complejo, B.10 es equivalente

a las siguientes condiciones:

|𝑃(𝑝)| =1

𝐾

B.11

∠𝑃(𝑝) = ±180° B.12

A la condición (B.11) se le conoce como criterio de magnitud y a la condición (B.12) como

criterio de ángulo. Cualquier número real o complejo p que satisfaga el criterio del ángulo

(B.12) se encuentra en el lugar geométrico de las raíces; es decir, si (B.12) es satisfecha

entonces (B.11) es también es satisfecha si [5]:

𝐾 = −1

|𝑃(𝑝)|

B.13

En otras palabras, para le valor de K dado por (B.13), p se encuentra en el lugar geométrico

de las raíces. Este resultado muestra que el lugar geométrico de las raíces consiste en todos

los números p, reales o complejos, tales que el criterio del ángulo (B.13) se satisfaga [5].

107

APENDICE C

SIMULACIÓN DEL PLL EN MATLAB

SIMULINK

SIMULADOR MATLAB SIMULINK

MATLAB SIMULINK es una herramienta de simulación que permite construir por medio

de bloques distintos sistemas empleados en ingeniería. Los bloques que se pueden encontrar

están agrupados por familias, como se muestra en la parte izquierda de la figura C1, estos

mismos pueden ser configurados, lo que permite simular distintas condiciones y observar su

funcionamiento, esta ventaja es la que se pretende aprovechar al simular el PLL.

Figura C1. Herramienta de simulación MATLAB SIMULINK

108

DESCRIPCIÓN DEL BLOQUE PLL

La herramienta SIMULINK posee dos bloques del modelo PLL, los cuales se pueden

encontrar con ayuda del Simulink Library Browser con la siguiente ruta:

Simscape>SimPowerSystems>Control and Measurements Library>PLL.

En la figura C2 se muestran los dos bloques del modelo PLL en SIMULINK, a la izquierda

se muestra el modelo monofásico y a la derecha el modelo trifásico.

Figura C2. Bloques del modelo PLL en SIMULINK

La descripción de cada bloque se obtiene con la opción de ayuda de SIMULINK. En la figura

C3, se muestra el diagrama a bloques del modelo PLL monofásico. Los bloques que

componen el modelo PLL monofásico se conectan entre sí para formar los tres bloques

principales de la estructura general del modelo PLL (figura 8, capítulo 2).

Figura C3. Diagrama de bloques para el modelo PLL monofásico

El detector de fase (phase detector), está formado por la multiplicación entre la señal de

entrada y la función coseno, la señal obtenida como resultado de dicha operación, entra a un

filtro promedio que también está conectado con la salida de frecuencia del lazo. Siguiendo la

estructura general la salida del detector de fase debe estar conectada al filtro de lazo (loop

filter), el cual está representado por el bloque PID Controller, en la misma figura, este bloque

tiene también conectado el control de ganancia automática (automatic gain control). El

109

último bloque de la estructura general es el oscilador controlado por voltaje (voltage

controlled oscillator), así también es esta figura se muestra un oscilador controlado

(controlled oscillator). Las señales de salida del modelo PLL monofásico, son la frecuencia

de la señal de entrada (Freq), la cual es obtenida a través de un filtro pasa-bajas y finalmente

la señal de seguimiento del ángulo de fase de la señal de entrada (ωt).

El diagrama de bloques mostrado en la figura C4, es el modelo PLL trifásico, obtenido con

la opción de ayuda de SIMULINK. La estructura es la misma que el modelo PLL monofásico,

la única diferencia radica en el detector de fase (phase detector) debido a que la

multiplicación por la función seno es sustituida por la conversión abc a dq0.

Figura C4. Diagrama de bloques para el modelo PLL trifásico

Como ya se mencionó, cada bloque posee una ventana de dialogo con opciones para editar

sus parámetros correspondientes.

SIMULACIÓN DE PLL CON CONTROLADOR PI

Primero se enuncian los parámetros que requiere el bloque PLL monofásico y las valores que

se asignaron.

1. Frecuencia mínima (Hz) o minimum frequency (Hz) se mantendrá constante con un

valor de: 59.3 Hz, debido a que es el valor mínimo de frecuencia permitido.

2. Entradas iniciales [fase (grados), frecuencia (Hz)] o initial inputs [phase (degrees),

frequency (Hz)] se mantienen en: 0° y 60 Hz, considerando que la señal de tensión de

entrada es ideal.

110

3. Ganancias o regulator gains [Kp, Ki, Kd], son las ganancias del controlador, se

asignan las del PI [100, 5000, 0].

4. Tiempo constante para la acción derivativa (s) o time constant for derivative action

(s) permanece en: 0.0001 s.

5. Tasa máxima de cambio de frecuencia (Hz/s) o maximum rate of change of frequency

(Hz/s) se mantiene en: 12 Hz/s.

6. Frecuencia de corte del filtro para la medición de frecuencia (Hz) o filter cut-off

frequency for frequency measurement (Hz) se mantienen en: 25 Hz.

7. La simulación se considera en tiempo continuo por lo tanto el tiempo de muestreo o

simple time se mantienen en 0.

8. Control automático de ganancia o automatic gain control no se activa, debido a que

se desea probar las constantes que se

En la figura C5, se muestran estos parámetros.

Figura C5. Parámetros asignados al PLL monofásico con controlador PI

Una vez que se aginaron los parámetros al bloque del PLL, se llama a un segundo bloque el

cual genera la señal de entrada y representa la medición de una fase de la red eléctrica. El

bloque sine wave tiene la siguiente ruta: Simulink>Sources>Sine Wave.

111

Los parámetros se asignan de la siguiente manera:

1. Tipo de seno o sine type, se selecciona basado en el tiempo o time based, debido a

que el análisis se hizo de forma continua y no discreta.

2. Tiempo o time (t), se selecciona usar simulación en el tiempo o use simulation time.

3. Amplitud de la señal o amplitud, se selecciona de valor unitario.

4. Offset o bias, se asigna de 0.

5. Frecuencia (rad/s) o frecuency (rad/sec), se asigna de 2*pi*60, que equivale a 60 Hz.

6. Fase (rad) o Phase (rad), se asigna de cero.

7. Tiempo de muestreo o simple time, dado que es un análisis en forma continua se

asigna de cero.

En la figura C6 se muestran estos parámetros.

Figura C6. Parámetros asignados al bloque generador de la señal seno

Para construir la simulación completa se llama a dos elementos más:

Scope, el bloque tiene la siguiente ruta: Simulink>Comonly Used Blocks>Scope, permite

visualizar la salida de cualquier bloque.

Mux o multiplexor, tienen la siguiente ruta: Simulink>Comonly Used Blocks>Mux, permite

unir dos señales o salidas para ser visualizadas en un mismo scope.

112

La última etapa consiste en unir los elementos, el bloque sine wave a la entrada del bloque

PLL, el primer scope para la salida Freq del PLL, las dos entradas de multiplexor con las

salida del sine wave y la segunda salida del PLL wt (ángulo), la salida del mux a la entrada

del segundo scope. Se pueden asignar nombre distintos a los bloques. El diagrama de bloques

final se muestra en la figura C7.

Figura C7. Diagrama de bloques para PLL monofásico

Se observa que el mux se agregó para mostrar la señal wt o de ángulo, en la misma gráfica

que la señal de entrada a través del scope y observar el seguimiento del ángulo efectuado

por el PLL con respecto la señal de entrada. En el menú Simulation y en la opción Model

Configuration Parameters se configura la simulación, tiempo de simulación, el cual se asigna

en la opción Stop time, se simularon 30 ciclos de 60 Hz por lo que se escribió 30/60, el

método numérico para la solución fue ode45 (Dormand Price). En la figura 21 se muestra

la ventana.

Figura C8. Ventana con parámetros de simulación para el PLL monofásico

113

SIMULACIÓN DE PLL CON CONTROLADOR PID

Para la simulación del PLL monofásico con controlador PID se utilizó el diagrama a bloques y

configuración de la simulación anterior; únicamente se cambió la asignación de ganancias para el

controlador PID, la ventana donde se asignan dichas variables se muestra en la figura C9.

Figura C9. Parámetros asignados al PLL monofásico con controlador PID

114

115

APENDICE D

SIMULACIÓN DEL PLL EN LabVIEW

SOFTWARE LabVIEW

LabVIEW es un software que emplea un lenguaje y un entorno de programación gráfica; los

programas creados pueden funcionar como un instrumento virtual, de tal manera que con un

hardware adicional se pueden adquirir y procesar señales eléctricas, aunque también se puede

realizar simulación. El entorno de programación se muestra en la figura D1 y consisten en

dos ventanas, el Panel Frontal (izquierda), se crea la carátula del instrumento virtual con

ayuda de la ventada de Controles, el Diagrama de Bloques (derecha), se programa el código,

con ayuda de la ventana de Funciones.

Figura D1. Entorno de programación de LabVIEW

BLOQUE PLL EN LabVIEW

LabVIEW cuenta con dos bloques PLL, desde el panel de funciones se pueden encontrar con

la siguiente ruta: Addons>Jitter Analysis>Clock Recovery> PLL, ambos bloques se muestran

en la figura D2. El bloque de la izquierda es el modelo del PLL que requiere coeficientes de

un filtro o controlador distinto a los estudiados; el bloque de la derecha es el modelo PLL de

segundo orden perfecto y representa el modelo estudiado. A diferencia del bloque PLL de

116

SUMULINK este bloque entrega una señal de seguimiento sobre la señal de referencia por

lo que se estima el ángulo y frecuencia con un bloque adicional.

Figura D2. Bloques PLL programados en LabVIEW

Los parámetros que emplea el bloque PLL de segundo orden perfecto son:

1. Señal de entrada o waveform, representa la fase medida de tensión a la entrada del

PLL.

2. Ganancia o gain, representa la k calculada usando lugar geométrico de las raíces, en

cada controlador (PI=100, PID=8.01).

3. Factor de amortiguamiento o damping, parámetro calculado con el lugar geométrico

de las raíces en cada controlador (1 en ambos).

4. Frecuencia del OCV o VCO carrier freq (Hz),se asignó de 3 Hz, después de realizar

varias simulaciones.

SIMULACIÓN DEL PLL CON CONTROLADOR PI Y PID

Los pasos efectuados para realizar el programa de simulación fueron los siguientes:

1. Se llama al bloque PLL de segundo orden perfecto y se crean sus parámetros que

aparecerán en el panel frontal, los cuales son: ganancia de filtro de lazo, factor de

amortiguamiento y oscilador de frecuencia, sus valores ya se mencionaron.

2. Se llama al bloque Simulate Signal y se crean sus parámetros, frecuencia (60 Hz),

amplitud (1 pu), desfase (0°), se debe configurar internamente el bloque para que

genere a una determinada frecuencia de muestreo y un número total de muestras, para

este caso se asignó de 720 Hz y 3000 respectivamente.

3. Se construyen dos arreglos con tamaño igual al número de muestras por ciclo o

NMPC y se conectan a la salida del bloque simulate signal y a la salida del bloque

PLL, después se usan dos bloques biuld waveform que construyen nuevamente las

117

señales que entregan ambos bloques, esto para permitir que la estimación de ángulo

y frecuencia se haga adecuadamente.

4. Se llama al bloque estimador de frecuencia y ángulo de LabVIEW o extract single

tone information, conectándose con la salida de los bloques build waveform

provenientes del PLL y del simulador de la fase de tensión (uno por cada bloque).

5. Se llama al graficador o waveform graph para visualizar la diferencia entre el ángulo

estimado de la señal que simula la fase de tensión la cual se nombra como referencia

y el ángulo estimado de la señal generada por el PLL la cual se nombra como

seguimiento.

6. Se llama al graficador o waveform graph para visualizar el error relativo (se expresa

en %), entre la frecuencia estimada de la señal de referencia y la frecuencia estimada

de la señal de seguimiento.

118

En la figura D3 se muestra el diagrama a bloques del programa.

Figura D3. Diagrama de bloques del simulador para PLL de segundo orden en LabVIEW

119

En la figura D4 se muestra el panel frontal del programa creado, se observan los controles

del PLL, después se visualizan los controles y grafica de la señal de referencia, se muestra la

gráfica de la señal generado por el PLL o seguimiento. En las gráficas siguientes se muestra

el error de ángulo (punto a punto), así como el error relativo de frecuencia en la gráfica

frecuencia de referencia y seguimiento.

Figura D4. Panel frontal del programa para simular el PLL de segundo orden en LabVIEW

120

APENDICE E

DIAGRAMA ELÉCTRICO DE SENSORES DE TENSIÓN

En la figura E.1 se muestra el diagrama eléctrico de los sensores de tensión montados sobre la PCB elaborada como parte del proyecto

de investigación SIP-20140457.

Figura E.1 Diagrama eléctrico de la PCB con cuatro sensores de tensión LV-25P

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ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y …tesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/17307/1/Tesis_Final... · Investigar los métodos de sincronización más empleados para inversores