INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS
ANALISIS DEL MÉTODO DE ENGANCHE
DE FASE, PARA SINCRONIZAR UN
INVERSOR CON UNA RED ELÉCTRICA
DE BAJA TENSIÓN
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
I N G E N I E R O E L E C T R I C I S T A
PRESENTA:
ESTRADA HERNÁNDEZ DIEGO ESAU
DIRECTORES DE TESIS:
M. EN C. MERCEDES LÁZARO GONZAGA
M. EN C. MANUEL ÁGUILA MUÑOZ
MÉXICO, D.F. 2015
DEDICATORIA
Con amor y cariño
para mis padres y hermana
Con amor y cariño
para Aline
AGRADECIMIENTOS
A mi padre Roberto Estrada, mi madre María del Carmen Hernández y hermana
Itzel Berenice Estrada que me han apoyado desde siempre y son el motor de mi
vida.
A mis asesores, a la M. en C. Mercedes Lázaro, por sus enseñanzas, consejos y
su apoyo, al M. en C. Manuel Aguila, por sus enseñanzas, consejos y apoyo
para realizar este trabajo.
Al Instituto Politécnico Nacional por ser el espacio de crecimiento intelectual y
personal.
A la ESIME Zacatenco por brindarme los conocimientos necesarios en mis
estudios de ingeniería.
Al proyecto de investigación titulado “Sistemas de adquisición de datos básicos
para elementos de la planta solar” con registro SIP-20130235, por haber
proporcionado los cursos necesarios para desarrollar este trabajo.
INDICE Página
INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. I
ANTECEDENTES ......................................................................................................................... III
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................................... IV
OBJETIVOS ..................................................................................................................................... V
JUSTIFICACIÓN .......................................................................................................................... VI
ALCANCES Y LIMITACIONES................................................................................................ VII
LISTA DE FIGURAS .................................................................................................................. VIII
LISTA DE TABLAS ..................................................................................................................... XII
GLOSARIO ....................................................................................................................................XV
CAPÍTULO 1: MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN ............................................................... 1
1.1 CONEXIÓN DE CONVERTIDORES DE POTENCIA A LA RED ELÉCTRICA ................ 1
1.2 MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN ..................................................................................... 5
1.3 ESTRUCTURA DE CONTROL PARA CONVERTIDORES CONECTADOS A LA RED
ELÉCTRICA ................................................................................................................................ 10
CAPÍTULO 2: LAZO DE ENGANCHE DE FASE ................................................................. 11
2.1 ESTRUCTURA ESTÁNDAR DEL LAZO DE ENGANCHE DE FASE .............................. 11
2.2 MODELO LINEAL ................................................................................................................ 14
2.3 DISEÑO DEL FILTRO DE LAZO ........................................................................................ 17
2.3.1 Filtro de lazo de Primer Orden ...................................................................................... 17
2.3.2 Filtro de lazo de Segundo Orden ................................................................................... 18
2.3.3 Filtro de lazo de Orden Superior ................................................................................... 19
2.3.4 PID como filtro aplicable………………………………………………………………………19
CAPÍTULO 3: LOCALIZACIÓN DE LAS GANANCIAS PARA EL MODELO PLL
UTILIZANDO LGR ....................................................................................................................... 21
3.1 CRITERIOS DE DISEÑO PARA EL CONTROLADOR ...................................................... 21
3.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAÍCES ............. 22
3.2.1 Sintonización del controlador PI con LGR…………………………………………………...23
3.2.2 Sintonización del controlador PID con LGR…………………………………………………27
3.3 SIMULACIÓN DEL PLL APLICANDO LAS CONSTANTES DEL CONTROLADOR PI Y
PID EN MATLAB SIMULINK………………………………………………………………….30
3.4 SIMULACIÓN DEL PLL APLICANDO LAS CONSTANTES DEL CONTROLADOR PI Y
PID EN LabVIEW……………………………………………………………………………….33
CAPÍTULO 4: IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO PLL DE SEGUNDO ORDEN CON
LabVIEW ......................................................................................................................................... 41
4.1 CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA DE ADQUISICIÓN DE DATOS ................................. 41
4.1.1 Fuente ARTES 300 ........................................................................................................... 43
4.1.2 Tarjeta NI-USB 6008 ....................................................................................................... 43
4.1.3 Sensores de tensión ......................................................................................................... 44
4.1.4 LabVIEW 2012……………………………………………………………………………………45
4.2 ADQUISICIÓN DE SEÑAL DE REFERENCIA CON CONTROLADOR PI...................... 48
4.2.1 Incremento de tensión (Swell) .............................................................................................. 49
4.2.2 Decremento de tensión (Sag)……………………………………………………………………….50
4.2.3 Variación de frecuencia ....................................................................................................... 51
4.2.4 Variación de fase…………….……………………………………………………………………….53
4.2.5 Armónicos ............................................................................................................................ 55
4.3 ADQUISICIÓN DE SEÑAL DE REFERENCIA CON CONTROLADOR PID ................... 57
4.3.1 Incremento de tensión (Swell) .............................................................................................. 58
4.3.2 Decremento de tensión (Sag)……………………………………………………………………….59
4.3.3 Variación de frecuencia ....................................................................................................... 60
4.3.4 Variación de fase…………………………………………………………………………................61
4.3.5 Armónicos ............................................................................................................................ 63
4.4 ERROR DE ÁNGULO CON CONTROLADOR PI Y PID ................................................... 65
4.4.1 Error de ángulo con incremento de tensión (Swell) ............................................................. 67
4.4.2 Error de ángulo con decremento de tensión (Sag)………………………………………………68
4.4.3 Error de ángulo con variación de frecuencia ...................................................................... 69
4.4.4 Error de ángulo con variación de fase……..…………………………………………................71
4.3.5 Error de ángulo con armónicos ........................................................................................... 72
4.5 ERROR DE FRECUENCIA CON CONTROLADOR PI Y PID ........................................... 73
4.5.1 Error de frecuencia con incremento de tensión (Swell) ....................................................... 73
4.5.2 Error de frecuencia con decremento de tensión (Sag)…………………….……………………75
4.5.3 Error de frecuencia con variación de frecuencia ................................................................ 76
4.5.4 Error de frecuencia con variación de fase……..………………..……………………................78
4.5.5 Error de frecuencia con armónicos ..................................................................................... 79
DISCUSION DE LOS RESULTADOS ......................................................................................... 81
CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 84
RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS ................................................................... 87
REFERENCIAS .............................................................................................................................. 89
APÉNDICE ...................................................................................................................................... 93
A. CONCEPTOS BÁSICOS DE SISTEMAS DE CONTROL .................................................... 93
B. LUGAR GEÓMETRICO DE LAS RAÍCES ......................................................................... 103
C. SIMULACIÓN DEL PLL EN MATLAB SIMULINK .......................................................... 107
D. SIMULACIÓN DEL PLL EN LabVIEW .............................................................................. 115
E. DIAGRAMA ELÉCTRICO DE SENSORES DE TENSIÓN ................................................ 120
I
INTRODUCCIÓN
El incremento actual de las tecnologías para la generación no convencional de energía eléctrica o
energías renovables (sistemas fotovoltaicos, generadores eólicos, biogás, etc.) representan una
alternativa viable a la generación convencional, basada en combustibles fósiles. Estos tipos de
generación no convencional de energía son llamados también: Sistemas de Generación Distribuida
y han experimentado un desarrollo importante a nivel mundial en países como Alemania,
Dinamarca, Japón y Estados Unidos. Debido al incremento de estos sistemas conectados a la red
eléctrica, ha sido necesario establecer nuevas normas y estándares más estrictos para mejorar la
calidad de energía en la red y lograr funciones de protección y sincronización.
Para efectuar la conexión entre el Sistema de Generación Distribuida y la red eléctrica, se necesita
la sincronización de los siguientes parámetros eléctricos: magnitud de tensión, frecuencia y ángulo
de fase. Para los dos últimos aspectos se pueden emplear técnicas de control basadas en esquemas
digitales de sincronización los cuales garantizan una interconexión adecuada en regímenes
normales y anormales de operación.
La sincronización puede ser efectuada con distintos métodos, los cuales poseen a su vez diferentes
técnicas de funcionamiento y usualmente toman como referencia una señal de tensión de la red,
para obtener la frecuencia y ángulo de la misma. Sin embargo esta señal de referencia posee
armónicos, incrementos y decrementos de tensión, variaciones de ángulo de fase y variaciones de
frecuencia, por lo tanto el método seleccionado debe poseer una respuesta dinámica favorable.
El lazo de enganche de fase (PLL, Phase Locked Loop, por sus siglas en inglés) es un dispositivo
empleado en varias ramas de la ingeniería y se ha convertido en el método más usado para la
conexión de convertidores de potencia con la red. La filosofía del lazo de fase cerrada es generar
una señal en la que tanto frecuencia como ángulo se igualen a las de una señal de referencia.
La estrategia convencional para este lazo de control es comparar el ángulo de fase de la señal de
referencia y la señal generada y hacer que su diferencia sea la mínima posible.
II
El método de enganche de fase, puede ser monofásico o trifásico, y a su vez existe más de una
técnica por cada uno, en el presente trabajo se analiza el PLL de segundo orden, se estudia su
modelo lineal, se propone un análisis empleando un controlador PI (Proporcional Integral) y un
controlador PID (Proporcional Integral Derivativo) en su filtro de lazo, se simula la respuesta en
MATLAB Simulink 2013 y en LabVIEW 2012 para validar las ganancias calculadas en ambos
controladores y finalmente se muestra una parte experimental donde se simulan condiciones
anormales de operación en la señal de referencia y se observa el error de ángulo y frecuencia
estimado entre la señal generada por el PLL y la señal de referencia.
III
ANTECEDENTES
La descripción teórica del lazo de enganche de fase (PLL, Phase Locked Loop) fue bien establecida
en la década de los 70´s pero no logro un uso generalizado debido a la dificultad en su realización.
Con el advenimiento de los circuitos integrados, el PLL fue ampliamente usado en los sistemas de
comunicaciones modernas y permitió un gran progreso en dispositivos electrónicos para
comunicación (modulación de frecuencia y fase). En la misma década, investigadores en control
desarrollaron el lazo de enganche de fase para un sistema de control de velocidad para un motor
síncrono. Desde entonces se desarrollaron también servomecanismos que empleaban el lazo en un
circuito integrado de forma analógica para controlar motores de CA y CD.
Actualmente, existen diversas publicaciones científicas orientadas al estudio y análisis del PLL
para utilizarlo en la extracción del ángulo de fase de la red eléctrica [10]-[21]. Este mismo ángulo
de fase será utilizado en una etapa diferente de control por el convertidor de potencia conectado a
la red. Varios de estos artículos contienen desde el principio de operación en general, el análisis
matemático de cada etapa, hasta la simulación y/o la implementación con microprocesadores
modernos. La diferencia radica principalmente en el tipo de esquema propuesto para el PLL, con
variantes en el tipo de filtro de lazo utilizado para llevar a cabo el control de frecuencia y ángulo
de fase. En algunos se agrega también un estudio sobre la respuesta del esquema propuesto ante
pequeños disturbios como armónicos, variaciones de frecuencia y ángulo, variaciones de tensión y
fallas en la red eléctrica de baja tensión. Con la finalidad de comparar la respuesta dinámica ante
otro esquema.
Se cuenta con un antecedente realizado en la ESIME Zacatenco los datos se muestran en la
referencia [25]. Dicho trabajo presenta la aplicación del método de enganche de fase para
sincronizar un convertidor PWM trifásico con factor de potencia unitario a la red eléctrica de baja
tensión, utilizando un control PI para el lazo de corriente, programado en el DSC 56F84789.
IV
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Los métodos digitales de sincronización tienen un papel importante en los sistemas de generación
distribuida debido a que aseguran la inyección de potencia activa del convertidor de potencia a la
red eléctrica, la mayor parte de estos obtienen el ángulo del vector que representa la tensión
eléctrica de la red y el objetivo principal es que bajo condiciones anormales de operación el método
funcione correctamente.
El método de enganche de fase es el más utilizado por su simplicidad y efectividad y posee diversas
variantes, una de ellas y la más básica es el PLL de segundo orden el cual es usado comúnmente
con un controlador PI (interno), se espera que este modelo opere correctamente ante condiciones
anormales sin embargo es necesario probar su funcionamiento y si llegara a fallar en lugar de optar
por una variante más avanzada, se propone para este caso probar con un controlador más robusto
como lo es el PID aplicándolo al mismo modelo básico del PLL y no invertir en un mayor costo
computacional para la mejora del PLL.
V
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL.
Desarrollar mediante un estudio lineal, el análisis del modelo general del lazo de enganche de fase
(PLL, por sus siglas en inglés) aplicando un controlador PI (Proporcional Integral) y un controlador
PID (Proporcional Integral Derivativo) como filtro de lazo.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Investigar los métodos de sincronización más empleados para inversores.
Conocer y describir los fundamentos teóricos del funcionamiento del lazo de enganche de
fase.
Simular la respuesta del modelo general del PLL usando MATLAB.
Implementar el modelo general del PLL en un sistema de adquisición de datos, controlado
por LabVIEW.
VI
JUSTIFICACIÓN
Actualmente se pueden observar dos fenómenos importantes que tienen que ver con los
convertidores de potencia conectados al sistema de distribución y su sincronización en baja tensión,
el primero es el incremento de cargas no lineales, lo cual ha provocado que la forma de onda de
tensión en los puntos de conexión con el usuario se distorsione además de pequeñas variaciones de
frecuencia, saltos de ángulo de fase, elevaciones de tensión etc. El segundo fenómeno es la
generación distribuida, donde se emplean convertidores de potencia y se tiene la necesidad de
efectuar una sincronización para interconectarlos con la red.
De acuerdo con la Resolución Núm. RES/119/2012, emitida en el Diario Oficial de la Federación
(DOF) el martes 22 de mayo de 2012, para llevar a cabo una interconexión entre un inversor y la
red de baja tensión se debe cumplir con sincronismo, como función de protección. Para efectuar
dicha sincronización se pueden usar diversos métodos, uno de ellos es el lazo de enganche de fase
o PLL (Phase Locked Loop, por sus siglas en inglés), usado ampliamente en la sincronización de
los convertidores de potencia.
Hasta este punto si se desea interconectar un inversor con la red de baja tensión es necesario
efectuar un análisis previo de los esquemas basados en el PLL, el cual permitirá tanto al usuario y
fabricante conocer la respuesta dinámica del convertidor así como posibles fallas debido a las
perturbaciones en la red eléctrica convencional.
VII
ALCANCES Y LIMITACIONES
Alcances.
Se describe por medio de un diagrama de bloques y expresiones matemáticas el modelo
lineal del lazo de enganche de fase (PLL), el cual emplea un filtro de lazo (controlador PI
o PID) para controlar la frecuencia y el ángulo de una señal sincronizada con la señal de
referencia.
Se muestra la simulación del bloque PLL en MATLAB 2013 y LabVIEW 2012, para
distintos valores de ganancias calculadas empleando el lugar geométrico de las raíces.
Se elabora un instrumento virtual utilizando el bloque PLL de segundo orden con LabVIEW
y se implementa en un sistema de adquisición de datos.
Limitaciones.
No se describe el funcionamiento de los demás métodos de sincronización basados en el
lazo de enganche de fase.
La operación del instrumento virtual está limitado por la velocidad de procesamiento del
ordenador.
Para implementar de forma adecuada el método es preciso la elaboración de la estructura
de control completa para conectar un inversor con la red, desde el diseño/uso de un inversor
hasta el control de tensión en CD y lazo de corriente por lo que se requiere de mayor
inversión en costo y tiempo.
VIII
LISTA DE FIGURAS
Página
Figura 1. Estructura general para convertidores de potencia conectados a la red eléctrica………………..2
Figura 2. Esquema para la interconexión de generación a pequeña escala……………………………………4
Figura 3. Señales de voltaje del inversor, de la red eléctrica y la componente fundamental de la red.........6
Figura 4. Señales de voltaje de referencia y corriente inversor inyectada a la red…………………………...7
Figura 5. Estructura de control para inversores conectados a la red (marco de referencia natural)…….10
Figura 6. Estructura básica del PLL……………………………………………………………………………….11
Figura 7. Estructura recomendada para modelar el OCV………………………………………………………12
Figura 8. Segunda estructura recomendada para modelar el OCV……………………………………………13
Figura 9. Modelo simplificado del lazo de enganche de fase cuando el término de doble frecuencia es
despreciado…………………………………………………………………………………………………………….15
Figura 10. Modelo lineal del lazo de enganche de fase………………………………………………………….16
Figura 11. Modelo del sistema con función de transferencia…………………………………………………..16
Figura 12. Lugar geométrico de las raíces para 𝑧 = 25………………………………………………………..23
Figura 13. Respuesta al escalón de la función de transferencia para el controlador PI……………………26
Figura 14. Lugar geométrico de las raíces para 𝑧1 = −50 y 𝑧2 = −100…………………………………...28
Figura 15. Respuesta al escalón de la función de transferencia para el controlador PID..………………..29
Figura 16. Frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando controlador PI…………………...31
Figura 17. Angulo instantáneo estimado por el PLL monofásico usando controlador PI…………………..32
Figura 18. Frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando controlador PID…………………32
Figura 19. Angulo instantáneo estimado por el PLL monofásico usando controlador PID………………..33
Figura 20. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 0 a 0.5s…34
Figura 21. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 0.5 a 4s…34
Figura 22. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 3 a 3.5 s..35
Figura 23. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo de
0 a 0.5 s……………………………………………………………………………………………………………… ...35
Figura 24. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo de
0 a 4 s…………………………………………………………………………………………………………………...36
IX
Figura 25. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo de
3 a 3.5 s…………………………………………………………………………………………………………………36
Figura 26. Error de ángulo del PLL con controlador PI incrementado el amortiguamiento (estado
transitorio)……………………………………………………………………………………………………………..37
Figura 27. Error de ángulo del PLL con controlador PI incrementado el amortiguamiento (estado
estable)………………………………………………………………………………………………………………….38
Figura 28. Error de ángulo del PLL con controlador PI a una frecuencia de muestreo de 2940 Hz……..39
Figura 29. Error de ángulo del PLL con controlador PI a una frecuencia de muestreo de 5160 Hz……..39
Figura 30. Error de ángulo del PLL con controlador PI a una frecuencia de muestreo de 7380 Hz……..40
Figura 31. Sistema de adquisición de datos para implementación del PLL de segundo orden…………….42
Figura 32. Fuente programable ARTES 300………………………………………………………………………43
Figura 33. Ventana VD Monitor para configurar la señal de tensión y corriente de salida de la fuente
ARTES 300……………………………………………………………………………………………………………..43
Figura 34. Puertos de tarjeta de adquisición de datos NI USB 6008 de NATIONAL INSTRUMENTS…...44
Figura 35. Sensores de tensión montados en la PCB diseñada y construida en el proyecto de
investigación SIP-20140457…………………………………………………………………………………………44
Figura 36. Diagrama de flujo del programa para medir la señal de referencia y generar con el PLL…...45
Figura 37. Diagrama de bloques del programa elaborado para medir la señal de referencia y generar con
el PLL…………………………………………………………………………………………………………………...46
Figura 38. Panel frontal del programa para medir la señal de referencia y generar la señal de
seguimiento con el PLL de segundo orden………………………………………………………………………...47
Figura 39. Señal de referencia medida con incremento de tensión y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PI……………………………………………………………………………………………...49
Figura 40. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.15 s en prueba de incremento de tensión……………….49
Figura 41. Señal de referencia medida con decremento de tensión y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PI………………………………………………………………………………………………50
Figura 42. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.15 s en prueba de decremento de tensión……………….51
Figura 43. Señal de referencia medida con variación de frecuencia y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PI………………………………………………………………………………………………52
Figura 44. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de variación de frecuencia……………….52
Figura 45. Acercamiento en el intervalo de 0.45 a 0.75 s en prueba de variación de frecuencia………….53
Figura 46. Señal de referencia medida con variación de fase y señal seguimiento generada por el PLL
con controlador PI…………………………………………………………………………………………………….53
X
Figura 47. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de variación de fase………………………54
Figura 48. Acercamiento en el intervalo de 0.4 a 0.65 s en prueba de variación de fase…………………..54
Figura 49. Señal de referencia medida con armónicos y señal seguimiento generada por el PLL con
controlador PI…………………………………………………………………………………………………………55
Figura 50. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de armónicos………………………………55
Figura 51. Acercamiento en el intervalo de 0.2 a 0.2833 s en prueba de armónicos………………………..56
Figura 52. Señal de referencia medida con incremento de tensión y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PID…………………………………………………………………………………………….58
Figura 53. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.7 s en prueba de incremento de tensión…………………58
Figura 54. Señal de referencia medida con decremento de tensión y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PID…………………………………………………………………………………………….59
Figura 55. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.08 s en prueba de incremento de tensión……………….60
Figura 56. Señal de referencia medida con variación de frecuencia y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PID…………………………………………………………………………………………….60
Figura 57. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.07 s en prueba de incremento de tensión……………….61
Figura 58. Señal de referencia medida con variación de fase y señal seguimiento generada por el PLL
con controlador PID………………………………………………………………………………………………….62
Figura 59. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.7 s en prueba de variación de fase………………………62
Figura 60. Señal de referencia medida con armónicos y señal seguimiento generada por el PLL con
controlador PID……………………………………………………………………………………………………….63
Figura 61. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.7 s en prueba de armónicos………………………………63
Figura 62. Acercamiento en el intervalo de 0.22 s a 0.35 s en prueba de armónicos……………………….64
Figura 63. Diagrama a bloques del programa elaborado para obtener el ángulo y frecuencia de las
señales medidas………………………………………………………………………………………………………..65
Figura 64. Panel frontal del programa elaborado programa para obtener el ángulo y frecuencia de las
señales medidas………………………………………………………………………………………………………..66
Figura 65. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5 s, con incremento de
tensión en la señal de referencia…………………………………………………………………………………….67
Figura 66. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.1666 a 0.4166 s, con
incremento de tensión en la señal de referencia…………………………………………………………………..67
Figura 67. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.47 s, con decremento
de tensión en la señal de referencia………………………………………………………………………………...68
Figura 68. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.47 s, con decremento
de tensión en la señal de referencia………………………………………………………………………………...69
XI
Figura 69. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.9 s, con variación de
frecuencia en la señal de referencia………………………………………………………………………………..70
Figura 70. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.333 a 0.825 s, con
variación de frecuencia en la señal de referencia………………………………………………………………..70
Figura 71. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.8 s, con variación de
fase en la señal de referencia………………………………………………………………………………………..71
Figura 72. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.333 a 0.725 s, con
variación de frase en la señal de referencia………………………………………………………………………72
Figura 73. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5792 s, con armónicos
en la señal de referencia……………………………………………………………………………………………..72
Figura 74. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.1597 a 0.4264 s, con
armónicos en la señal de referencia………………………………………………………………………………..73
Figura 75. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5s, con
incremento de tensión en la señal de referencia…………………………………………………………………..74
Figura 76. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.1666 a
0.4166s, con incremento de tensión en la señal de referencia…………………………………………………..74
Figura 77. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.46s, con
decremento de tensión en la señal de referencia………………………………………………………………….75
Figura 78. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.15 a 0.4s,
con decremento de tensión en la señal de referencia…………………………………………………………….76
Figura 79. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 1 s, con
variación de frecuencia en la señal de referencia………………………………………………………………...77
Figura 80. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.333 a 0.825
s, con variación de frecuencia en la señal de referencia………………………………………………………...77
Figura 81. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.8 s, con
variación de fase en la señal de referencia………………………………………………………………………..78
Figura 82. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.3333 a 0.725
s, con variación de fase en la señal de referencia………………………………………………………………..79
Figura 83. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5792 s,
con armónicos de fase en la señal de referencia…………………………………………………………………80
Figura 84. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.1597 a
0.4264 s, con armónicos en la señal de referencia………………………………………………………………80
XII
LISTA DE TABLAS
Página
Tabla 1. Tiempo de Respuesta del Sistema ante frecuencias anormales……………………………….3
Tabla 2. Métodos monofásicos de sincronización…………………………………………………………8
Tabla 3. Métodos trifásicos de sincronización…………………………………………………………….9
Tabla 4. Parámetros correspondientes al polo 𝑧 = −50………………………………………………...24
Tabla 5. Parámetros correspondientes al polo 𝑧 = −67.4………………………………………………27
Tabla 6. Datos estadísticos de la frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando
controlador PI………………………………………………………………………………………………….28
Tabla 7. Datos estadísticos de la frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando
controlador PID……………………………………………………………………………………………….30
Tabla 8. Parámetros de comparación entre el error de ángulo usando los controladores PI y
PID……………………………………………………………………………………………………………....32
Tabla 9. Parámetros de comparación entre el error relativo de frecuencia con el controlador PI y
PID………………………………………………………………………………………………………………34
Tabla 10. Generación de señal de referencia con perturbación para controlador PI……………….44
Tabla 11. Generación de señal de referencia con perturbación para controlador PID……………..49
Tabla 12. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con incremento de
tensión…………………………………………………………………………………………………………..57
Tabla 13. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con decremento de
tensión…………………………………………………………………………………………………………..58
Tabla 14. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con variación de
frecuencia……………………………………………………………………………………………………….60
Tabla 15. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con variación de
fase………………………………………………………………………………………………………………61
Tabla 16. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con armónicos…..62
Tabla 17. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con
incremento de tensión…………………………………………………………………………………………64
Tabla 18. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con
decremento de tensión………………………………………………………………………………………...65
Tabla 19. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con
variación de frecuencia……………………………………………………………………………………….67
XIII
Tabla 20. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con
variación de fase……………………………………………………………………………………………….68
Tabla 21. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con
armónicos………………………………………………………………………………………………………69
XIV
GLOSARIO
ZCD: Cero Crossing Detector (Detector de Cruce por Cero)
PLO: Phase Locked Oscillator (Oscilador de Enganche de Fase)
DFT: Digital Fourier Transform (Transformada de Fourier Digital)
ANF: Adaptive Notch Filter (Filtro de Muesca Adaptativo)
KF: Kalman Filter (Filtro Kalman)
WLSE: Weighted Least Squares Estimation (Estimación Ponderada por Mínimos
Cuadrados)
ANN: Artificial Neuronal Network (Red Neuronal Artificial)
EPLL: Enhanced Phase Locked Loop (Lazo de Enganche de Fase Mejorado)
APLL: Adaptive Phase Locked Loop (Lazo de Enganche de Fase Adaptativo)
SRF-PLL: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop (Lazo de Enganche de Fase
con Marco de Referencia Síncrono)
SRF-PLL LPF: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop with Low Power Filter
(Lazo de Enganche de Fase con Marco de Referencia Síncrono con Filtro Pasabajas)
SRF-PLL MAF: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop with Moving Average
Filter (Lazo de Enganche de Fase con Marco de Referencia Síncrono con Filtro Promedio
Móvil)
SRF-PLL DFT: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop with Digital Fourier
Transform (Lazo de Enganche de Fase con Marco de Referencia Síncrono con
Transformada Discreta de Fourier)
SRF-PLL SC: Synchonous Reference Frame Phase Locked Loop with Symmetric
Components (Lazo de Enganche de Fase con Marco de Referencia Síncrono con
Componentes Simétricas)
1
CAPÍTULO 1
MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN
“Nothing is too wonderful to be true if it be
consistent with the laws of nature”
Michael Faraday
En este capítulo se explica la conexión de convertidores de potencia a la red eléctrica, así como
una comparación entre los métodos de sincronización empleados actualmente. Se describe el
principio de operación del lazo de enganche de fase (Phase Locked Loop, PLL) como método para
analizar en este trabajo y también su ubicación en el sistema de control del lado de la red eléctrica.
1.1 CONEXIÓN DE CONVERTIDORES DE POTENCIA A LA RED ELÉCTRICA
La estructura general de un convertidor de potencia conectado con la red eléctrica de baja tensión
consta de cuatro elementos [1].
a) Fuente de generación no convencional de energía; panel fotovoltaico y/o generador eólico,
principalmente;
b) Convertidor de potencia (inversor);
c) Red eléctrica de baja tensión;
d) Control del sistema.
El control del sistema es el que hace posible la interconexión y es quizás el elemento más
importante. A su vez este posee distintas tareas de control, las cuales pueden dividirse en dos
grandes partes:
a) Control del lado del convertidor, es el encargado de extraer la máxima potencia de la fuente
de generación, generar los pulsos de disparo del convertidor y naturalmente proteger al
convertidor en su entrada.
b) Control del lado de la red eléctrica:
Sincronización
Regulación de tensión
Protección contra sobre corriente, etc.
2
En la figura 1 se muestra la estructura general para un convertidor de potencia conectado a la red
eléctrica de baja tensión [1]. Del lado izquierdo se encuentra el primer bloque de la estructura y
corresponde a la entrada de potencia, la cual puede ser generación con energías renovables, después
se encuentra el convertidor de potencia, es común que sea un inversor, del lado derecho se
encuentra la carga del sistema. El último elemento es el sistema de control general, que se divide
en el control del lado de la entrada de potencia y control del lado de la red eléctrica, el primer tipo
de control tiene que ver con las necesidades que requiere la generación de energía, mientras que el
segundo tipo de control tiene que ver con la relación entre el convertidor de potencia y la carga,
comúnmente este control viene integrado en el convertidor.
Figura 1. Estructura general para convertidores de potencia conectados a la red eléctrica
Energía eólica
Fotovoltaica
Célula de
combustible
Convertidor de Potencia
Red eléctrica de baja
tensión
Carga local
Control de Potencia
de Entrada
Seguidor de Máxima
Potencia
Control de velocidad
del generador
Sistema de
Control General
Unidad de monitoreo
de la red eléctrica
Unidad de
sincronización con la
red eléctrica
Detección de
impedancia de línea
Entrada de potencia Carga del Sistema
Control del lado de entradaControl del lado de la red
eléctricaP* Q*
3
A continuación se describen los aspectos generales para efectuar la interconexión entre un inversor
trifásico y la red eléctrica de baja tensión de acuerdo a la norma Núm. RES/119/2012 emitida por
la Comisión Reguladora de Energía [2].
a) Tensión
Menor o igual a 1kV.
En estado permanente las fuentes de energía deberán operar y mantenerse conectadas durante
fluctuaciones que no excedan un rango de +5% a -10% de la tensión nominal en el punto de
interconexión.
b) Capacidad
Capacidad máxima a instalar:
Servicio de uso residencial hasta 10 kW.
Servicio de uso general de baja tensión hasta 30 kW.
c) Frecuencia
Cuando la frecuencia del sistema no se encuentra dentro de los rangos de la tabla 1, la protección
en el punto de interconexión deberá operar con los tiempos indicados en la misma. Los dispositivos
de frecuencia podrán ser fijos o ajustables en campos para las fuentes de energía menores o iguales
a 30 kW de capacidad total y ajustable en campos para fuentes de energía mayores a 30 kW de
capacidad total.
Tabla 1. Tiempo de Respuesta del Sistema ante frecuencias anormales
Capacidad de la Fuente de
Energía
Rango de frecuencia
(Hz)
Tiempo de operación
(s)
=30 kW >60.5 0.16
<59.3 0.16
4
El esquema mostrado en la figura 2, muestra el equipo de medición y protección a utilizar de
acuerdo con la norma [2].
Figura 2. Esquema para la interconexión de generación a pequeña escala
El equipo a implementar se divide en las siguientes partes [2]:
d) Equipo de Medición
El medidor de la generación total M1 puede venir integrado con el equipo, por lo que el solicitante
deberá proporcionarlo e instalarlo a la salida del inversor antes de la carga.
El medidor M2 corresponde al medidor para facturación y tiene las siguientes características:
Medidor electrónico de clase 15 de 100 A o clase 30 de 200 A, según corresponda a la carga y tipo
de medición del cliente; 1, 2 o 3 fases y rango de 120 a 480 V, base tipo “S”, formas 1S, 2S, 12S
O 16S. La clase de exactitud de 0.5% con medición de kWh bidireccional.
e) Equipo de Protección
Dispositivo de protección y desconexión acorde a las características del generador.
Dispositivo de protección y desconexión acorde a las características de la carga y nivel de corriente
de corto circuito en el punto de interconexión.
G: Generador M1, M2: Medidor 1, Medidor 2 SEN: Sistema Eléctrico Nacional CD/CA: Convertidor Corriente Directa a Corriente Alterna I1, I2: Interruptor 1, Interruptor 2 PI: Punto de Interconexión
5
Ante condiciones anormales de operación para prevenir daños y garantizar seguridad de los
usuarios, las fuentes de energía se desconectaran automáticamente del sistema eléctrico nacional,
mediante las protecciones que se muestran en la figura 2.
f) Calidad de la Energía
Valores máximos permitidos en la operación:
Componente armónico individual máximo de tensión: 6%
Distorsión armónica total de tensión: 8%
Desbalance máximo permitido en la tensión: 3%
Desbalance máximo permitido en la corriente: 5%
1.2 MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN
La mayoría de los inversores operan como fuentes de corriente, inyectando una corriente sinusoidal
que debe estar en fase con la tensión de la red eléctrica de baja tensión, para lograr un factor de
potencia igual o muy cercano a la unidad. Se requiere por tanto que el inversor este sincronizado
con la componente fundamental de tensión de la red, incluso si la tensión de la red esta
distorsionada o desbalanceada o cuando existe una variación en la frecuencia. En las figuras 3 y 4
[3] se muestra un ejemplo de sincronización en estado estable, donde se puede observar que cuando
la tensión de la red 𝑉𝑅𝐸𝐷 esta distorsionada, el sistema de sincronización es capaz de extraer la
componente fundamental de secuencia positiva 𝑉𝑅𝐸𝐷,1+.
6
Figura 3. Señales de voltaje del inversor, de la red eléctrica y la componente fundamental de la red
La componente fundamental de la red (𝑉𝑅𝐸𝐷,1+), es usada por el método de modulación del
inversor, con la finalidad de asegurar que la corriente inyectada a la red (𝑖𝐼𝑁𝑉) este en fase con la
tensión fundamental de esta, como se muestra en la figura 4 [3].
350
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Tiempo (s)
0.03330 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
𝑉𝐼𝑁𝐷𝑉𝑅𝐸𝐷
𝑉𝑅𝐸𝐷, 1+
θ: Desfasamiento V
IND: Tensión del inversor
VRED
: Tensión de la red
VRED, 1+
: Componente fundamental de tensión de la red
7
Figura 4. Señales de voltaje de referencia y corriente inversor inyectada a la red
De esta manera, el flujo de potencia activa hacia la red puede ser controlado, asumiendo que el
factor de potencia es igual a la unidad, la potencia entregada hacia la red está dada por la siguiente
expresión [3]:
𝑃𝑅𝐸𝐷 = (𝑉𝑅𝐸𝐷)∗ 𝐼𝐼𝑁𝑉 (1)
Obtener la componente fundamental de tensión de la red, en el punto de interconexión no es una
tarea fácil. La tensión de la red puede contener disturbios debido a armónicos y desbalances de
tensión presentes en la red o debido a la resonancia en los cambios de frecuencia entre los elementos
pasivos del inversor y la impedancia de la red. Por lo tanto el sistema de sincronización tiene que
garantizar el filtrado requerido con las respuestas dinámicas y estables deseadas.
El tiempo de arranque que requiere el sistema de sincronización para estar operando y el inversor
para inyectar energía, también debe ser tomado en cuenta.
Varias técnicas han sido introducidas a la literatura para la implementación de la sincronización
con la red, tomando en cuenta los detalles anteriores.
1.2
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo (s)
0.03330 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
VINV
𝑉𝑅𝐸
𝐼𝐼𝑁𝑉
VREF
: Voltaje de referencia
IINV
: Corriente del inversor
8
En la tabla 2 [3], se muestra la comparación de los métodos monofásicos, los cuales se subdividen
en tres grupos, método analógico, método digital lazo abierto, y método digital de lazo cerrado.
También se observan seis categorías por columna para comparar cualitativamente los métodos. En
la sección de método digital de lazo abierto, se ubica el Phase Locked Loop (PLL), una traducción
al español puede ser como lazo de enganche de fase.
Tabla 2. Métodos monofásicos de sincronización*
Método de sincronización
Inmunidad a la distorsión
Adaptabilidad a
la frecuencia
Robustez
ante
desequilibrio
Respuesta
dinámica
Costo
computacional
Complejidad
MO
NO
FÁ
SIC
O
Mét
od
o
An
aló
gic
o
ZCD
Baja
Mediana
-
Lenta
Bajo
Baja
DFT
Alta
Alta
- Muy
baja
Alto Alta
Mét
od
o D
igit
al
La
zo A
bie
rto
ANF
Media
Mediana
-
Muy
baja
Alto
Alta
KF
-
Mediana-
Alta
-
-
Muy alto
Muy alta
WLSE
-
Mediana-
Alta
-
-
Mediana
Mediana
ANN
-
Mediana-
Alta
-
Mediana-
Rápida
Bajo
Alta
PLL
Media
Mediana
-
Mediana
Bajo-
mediano
Baja
Mét
od
o D
igit
al
La
zo
Cer
rad
o
EPLL
Alta
Mediana
-
Mediana
baja
Mediano
Baja
mediana
APLL
Mediana
Mediana-Alta
-
Mediana
rápida
Mediano
Mediana
SRF-
PLL
Alta
Alto
-
Mediana
Mediano alto
Mediana
alta
*Los nombres de los métodos están en el glosario.
9
En la tabla 3 [3], se muestra la comparación de los métodos trifásicos de sincronización. De igual
manera existen tres grupos y seis categorías que muestran la comparación.
Tabla 3. Métodos trifásicos de sincronización*
Método de
sincronización
Inmunidad a la
distorsión
Adaptabilidad a
la frecuencia
Robustez
ante el
desequilibrio
Respuesta
dinámica
Costo
computacional
Complejidad
TR
IFÁ
SIC
O
Mét
od
o
An
aló
gic
o
PLO
Mediana
Mediana
Mediana
Variable
Mediano
Muy alta
LPF
Alta
Baja
Baja
Mediana
Mediano-bajo
Mediano
bajo
Mét
od
o D
igit
al
La
zo A
bie
rto
SVF
Alta
Baja
Baja
Mediana-
baja
Alto
Mediana
alta
KF
Alta
Mediana
Mediana
Mediana
Alto
Alta
WLS
E
-
Mediana
Alta
Rápida
Alto
Mediana
SRF-
PLL
Mediana
Mediana
Mediana
Rápida
Mediano
Baja
Mét
od
o D
igit
al
La
zo C
erra
do
SRF-
PLL
LPF
Mediana-Alta
Mediana-alta
Mediana-alta
Mediana
Mediano
Mediana-
baja
SRF
PLL
MAF
Alta
Mediana-alta
Alta
Baja
Mediano
Mediana
SRF
PLL
DFT
Alta
Mediana-alta
Alta
Mediana-
baja
Alto
Alta
SRF
PLL
SC
Alta
Alta
Alta
Mediana
Mediano-alto
Mediana-
alta
*Los nombres de los métodos están en el glosario.
10
1.3 ESTRUCTURA DE CONTROL DEL LADO DE LA RED ELÉCTRICA
Una vez que se ubicó el método que se va analizar en la tabla comparativa de métodos monofásicos,
se presenta la función en particular que debe cumplir el lazo de enganche de fase en la estructura
de control del lado de la red eléctrica. Actualmente existen varias estructuras de control, lo que las
hace diferentes es el marco de referencia que emplean, es decir la manera en que se usan las
variables de tensión o corriente, dado que no se pretende describir las estructuras se considerara el
marco de referencia natural o abc (tres fases) el cual se observa en la figura 5, su objetivo es tener
un controlador para cada corriente [1]. El PLL primeramente mide la tensión de la red eléctrica,
en este marco de referencia se emplean tres mediciones (Ua, Ub, Uc), si el PLL para analizar es
monofásico, entonces se consideran tres, uno por cada fase, por cada medición el PLL va a entregar
al convertidor de potencia el ángulo de dicha señal de tensión medida (puede existir confusión
entre el ángulo y la fase de la señal, pero se puede resolver sabiendo que el ángulo de una función
sinusoidal va de 0° a 360° y la fase de una función sinusoidal, es constante y por ejemplo es
equivalente a decir que la corriente está desfasada 90° con respecto a la tensión). El ángulo (θ)
entregado es usado por el método de modulación del inversor para crear los pulsos PWM, con los
cuales se construye la señal de corriente que inyectara a la red eléctrica, por lo que es importante
que el ángulo entregado por el PLL sea el de la componente fundamental de la red eléctrica, es
decir que ante cualquier condición anormal de operación el ángulo se estime fielmente y se pueda
garantizar que la señal de corriente que está siendo inyectada este sincronizada con la señal de
tensión de la red o dicho de otra manera se pueda entregar siempre potencia activa.
Figura 5. Estructura de control para inversores conectados a la red (marco de referencia natural)
PWM
(INVERSOR)
Controlador
Corriente
Controlador
Corriente
Controlador
Corriente
+
+
+
Controlador
enlace CD
Controlador
Q
+
+
dq
abc
PLL
Ua Ub Ucia ib ic
Ua*
Ub*
Uc*
ia
ib
ic
+
+
+
-
-
-
ia*
ib*
ic*
id*
iq*
Udc*
Q*
Q
+
-
+
-
Red
eléctrica
11
CAPÍTULO 2
LAZO DE ENGANCHE DE FASE
The combined results of several people working
together is often much more effective than could be
that of an individual scientist working alone
John Bardeen
Este capítulo se da una explicación del funcionamiento del PLL, las consideraciones que se deben
de hacer por cada bloque de su estructura para llegar al modelo lineal. Se establece la función de
transferencia de la planta y después la función de transferencia para el lazo. Finalmente se muestra
la clasificación de filtros de lazo, se muestran sus ecuaciones y se propone analizar el error entre
dos tipos de filtros.
2.1 ESTRUCTURA ESTÁNDAR DEL LAZO DE ENGANCHE DE FASE
En la figura 6 [4] se muestra un diagrama a bloques con la estructura básica del PLL. De forma
general, el PLL puede ser entendido como un circuito no lineal que sincroniza una señal de salida
𝑢2(𝑡), con una señal de referencia 𝑢1(𝑡), tanto en frecuencia como en fase.
Figura 6. Estructura básica del PLL
𝑢1(𝑡) 𝑢 (𝑡)
𝑢 (𝑡)𝑢2(𝑡)
Detector de Fase
(DF)
Filtro de Lazo
(FL)
Oscilador Controlado
por Voltaje
(OCV)
Entrada
de referencia Error de fase
Salida OCV Entrada OCV
𝑢1(𝑡): Señal de entrada en función del tiempo. 𝑢2(𝑡): Señal generada por el OCV en función del tiempo. 𝑢 (𝑡): Señal de error obtenida por el DF en función del tiempo. 𝑢 (𝑡): Señal filtrada por el FL en función del tiempo.
12
Los bloques que componen al PLL deben cumplir con la función correspondiente [5]:
El detector de fase (DF), obtiene la diferencia angular entre la señal de referencia y la señal
de salida proveniente del OCV. Si el valor de la diferencia es cero, entonces ambas señales
se encuentran sincronizadas.
El filtro de lazo (FL) debe suministrar la señal de control al oscilador, dicha señal está en
función del error estimado por el detector de fase.
El oscilador controlado por voltaje (OCV), debe generar una señal de salida desde una
frecuencia mínima o nominal de oscilación hasta la señal de referencia, en aplicaciones de
potencia debe ser 60 Hz.
Para poder construir el modelo lineal del PLL se debe considerar al OCV como el sintetizador de
una señal cuyo ángulo es igual a la integral de su entrada. El OCV posee una frecuencia nominal
(𝜔𝑛), por lo tanto se establece que el ángulo (𝜙0) de la señal de salida es igual a la integral de la
frecuencia deseada (𝜔0):
Donde:
𝜔0(𝑡) = 𝜔𝑛(𝑡) + Δω0(𝑡) (3)
La expresión (3) muestra la frecuencia deseada(𝜔0) y (Δω0) representa el incremento necesario
en la frecuencia nominal (𝜔𝑛). Luego entonces el OCV puede ser modelado matemáticamente
como un integrador y una función trigonométrica como se muestra en la figura 7 y 8 [6].
Figura 7. Estructura recomendada para modelar el OCV
cos
cos
𝜔
𝜔𝑛𝜙
++
+
𝜙0 = ∫ 𝜔0(𝑡)𝑡
𝑑𝑡 (2)
13
Figura 8. Segunda estructura recomendada para modelar el OCV
De las dos figuras anteriores se observan dos salidas por cada estructura, en la figura 7 se tiene:
(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝜙0
(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (𝜙0
)
(4)
(5)
En la figura 8 se tiene como salida:
(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜙0
(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 (𝜙0
)
(6)
(7)
La frecuencia del OCV debe llegar a ser igual al valor nominal de frecuencia de la señal de entrada.
De la figura 6 se propone que la señal de entrada (𝑢1(𝑡)) está dada por:
𝑢1(𝑡) = 𝑈𝑖𝑠𝑒𝑛𝜙𝑖 (8)
Donde:
𝑈𝑖: Valor pico de la señal de entrada o referencia
𝜙𝑖: Ángulo de la señal de entrada o referencia
Si se considera la señal de salida del VCO como (6), el detector de fase se modela matemáticamente
como un multiplicador en el cual su señal de salida (𝑢 (𝑡)), esta dada por:
𝑢 (𝑡) = 𝑈𝑖𝑠𝑒𝑛𝜙𝑖𝑐𝑜𝑠𝜙 =𝑈𝑖 sen(𝜙𝑖 𝜙 ) +
𝑈𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜙𝑖 + 𝜙 )
(9)
-sen
-sen
𝜔0
𝜔𝑛𝜙0
++
+
14
La señal de la ecuación (9) comprende dos términos, el primero es el término de baja frecuencia y
el segundo es el de alta frecuencia. El término de baja frecuencia es una diferencia entre los ángulos
de fase de entrada y salida.
Si ahora se considera la señal de entrada como:
𝑢1(𝑡) = 𝑈𝑖𝑐𝑜𝑠𝜙𝑖 (10)
Y salida (𝑢 (𝑡)) como en (8), el resultado del detector de fase estará dada por:
𝑢 (𝑡) = 𝑈𝑖𝑐𝑜𝑠𝜙𝑖𝑠𝑒𝑛𝜙 =𝑈𝑖 sen(𝜙𝑖 𝜙 )
𝑈𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜙𝑖 +𝜙 )
(11)
En conclusión, si la entrada es de la forma (8) o (10) la señal de entrada en el primer término de la
salida del detector de fase sería común para ambas, este término representa la diferencia angular
entre las señales que entrar al detector de fase generando así el concepto de error de ángulo entre
ambas señales [6].
2.2 MODELO LINEAL
Una vez presentado el OCV, como un integrador y al PD como un multiplicador y las salidas de
ambos, se puede construir el modelo lineal del PLL. Se empieza por establecer las siguientes
expresiones [6]:
Frecuencia de entrada (𝜔𝑖):
𝜔𝑖 = 𝜔𝑛 + Δω𝑖 (12)
Frecuencia de salida (𝜔 ):
𝜔 = 𝜔𝑛 + Δω (13)
Ángulo de entrada (𝜙𝑖):
𝜙𝑖 = 𝜔𝑛𝑡 + Δϕ𝑖 (14)
Ángulo de salida (𝜙 ):
𝜙 = 𝜔𝑛𝑡 + Δϕ (15)
15
La relación que guarda la frecuencia con el ángulo (de entrada o de salida) considerando las
expresiones anteriores será:
𝜙𝑖 = ∫𝜔𝑖 (𝜏)𝑑𝜏
𝑡
= 𝜔𝑛𝑡 + ∫ Δω𝑖 (𝜏)𝑑𝜏𝑡
(16)
Sustituyendo (14) y (15) en (11), los términos se pueden escribir como:
Término de baja frecuencia:
𝑈𝑖 sen(Δ𝜙𝑖 Δ𝜙 )
(17)
Término de alta frecuencia:
𝑈𝑖 sen( 𝜔𝑛𝑡 + Δ𝜙𝑖 + Δ𝜙 )
(18)
Considerando ambos términos como la salida del detector de fase, el tercer bloque es un filtro de
lazo (FL) que servirá para eliminar el segundo término ya que se desea obtener únicamente el error
de fase entre ambas señales y esta señal será recibida por el OCV, cerrando el lazo. Dicha señal
está dada por:
𝑢 (𝑡) ≈𝑈𝑖 sen( 𝜙𝑖 𝜙 )
(19)
Por lo tanto el modelo simplificado del lazo de enganche de fase se muestra en la figura 9 [6].
Figura 9. Modelo simplificado del lazo de enganche de fase cuando el término de doble frecuencia es
despreciado
sen FL 𝜙𝑖 𝜔0 𝜙
+
16
Si se pretende que la diferencia de ángulos de fase 𝜙𝑖 𝜙 tienda a ser cero, la no linealidad de
la función sinusoidal puede ser remplazada por su aproximación lineal que es una operación
idéntica. El diagrama con la función de transferencia resultante es mostrado en la figura 10 [6].
Figura 10. Modelo lineal del lazo de enganche de fase
El modelo lineal del lazo de enganche de fase mostrado en la figura 10, se encuentra en dominio
de la frecuencia por lo que el OCV o integrador posee esa representación, así como el bloque FL
es sustituido por la función H(s) que representa el filtro de lazo. Es importante mencionar que por
diseño la ganancia (𝑈𝑖) tendrá valor unitario.
La función de transferencia de lazo abierto (ganancia de lazo) está dada por:
𝐺(𝑠) =𝑈𝑖𝐻(𝑠)
𝑠
(20)
La función de transferencia de lazo cerrado está dada por:
𝑇(𝑠) =Δ𝜙 𝜙𝑖
=𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)=
𝑈𝑖𝐻(𝑠)
𝑈𝑖𝐻(𝑠) + 𝑠
(21)
Y la función de transferencia de error es:
𝐹(𝑠) =𝐸(𝑠)
𝜙𝑖(𝑠)=
1
1 + 𝐺(𝑠)=
𝑠
𝑠 + 𝑈𝑖𝐻(𝑠)
(22)
Finalmente en la figura 11 se muestra el diagrama de bloques simplificado, en donde se muestra la
función de transferencia del sistema de lazo de enganche de fase.
Figura 11. Modelo del sistema con función de transferencia
H(s)𝑈𝑖1
𝑠
𝜙𝑖 𝑒 𝜔0 𝜙 +
𝜙𝑖 𝜙 𝑈𝑖𝐻(𝑠)
𝑈𝑖𝐻 𝑠 + 𝑠
+
17
2.3 DISEÑO DEL FILTRO DE LAZO
Una vez definido de forma lineal el lazo de enganche de fase, es pertinente establecer los
objetivos del control en el sistema:
El ángulo de salida sigue los cambios en el ángulo de entrada.
El funcionamiento del lazo debe ser robusto ante el ruido y la distorsión.
Cumpliendo dichos objetivos el lazo de enganche de fase será capaz de proporcionar una señal de
sincronización debido a variaciones en la señal de entrada, ruidos y distorsiones. El ruido se puede
originar desde el sistema y/o desde la medición [6].
2.3.1 FILTRO DE LAZO DE PRIMER ORDEN
La estructura más simple del filtro de lazo es una constante [6]:
𝐻(𝑠) = ℎ (23)
La función de transferencia de lazo cerrado es:
𝑇(𝑠) =𝑈𝑖ℎ
𝑈𝑖ℎ + 𝑠
(24)
La función de transferencia es estable para toda ℎ > 0 y es equivalente a un filtro pasa bajas con
una ganancia unitaria y una frecuencia de corte dada por:
𝜔𝑐 =𝑈𝑖ℎ
(25)
El error de la función de transferencia está dado por:
𝐹(𝑠) =𝑠
𝑠 + 𝑈𝑖ℎ
(26)
El error para una función escalón en el ángulo de entrada es:
𝐸(𝑠) =𝑠
𝑠 + 𝑈𝑖ℎ
1
𝑠=
1
𝑠 + 𝑈𝑖ℎ
(27)
Usando el teorema del valor final, la señal de error tiende a ser:
lim𝑡→∞
𝑒(𝑡) = lim𝑠→0 𝑠𝐸(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠
𝑠 + 𝑈𝑖ℎ0= 0 (28)
Esto significa que el lazo sigue los saltos constantes en el ángulo sin error de estado estacionario.
18
El error para una función rampa en el ángulo de fase de entrada es:
𝐸(𝑠) =𝑠
𝑠 + 𝑈𝑖ℎ
1
𝑠2=
1
𝑠(𝑠 + 𝑈𝑖ℎ )
(29)
Usando el teorema del valor final, la señal de error tiende a ser:
lim𝑡→∞
𝑒(𝑡) = lim𝑠→0 𝑠𝐸(𝑠) = lim
𝑠→0
1
(𝑠 + 𝑈𝑖ℎ )=
1
𝑈𝑖ℎ
(30)
Esto significa que el lazo no sigue cambios de rampa del ángulo o los cambios contantes en
frecuencia [6].
2.3.2 FILTRO DE LAZO DE SEGUNDO ORDEN
El filtro de lazo de segundo orden es equivalente a un control proporcional integral (PI). La
ecuación de un control proporcional integral está dada por [6]:
𝐻(𝑠) = ℎ +ℎ1𝑠
(31)
La función de transferencia de lazo cerrado es igual a:
𝑇(𝑠) =𝑈𝑖ℎ + 𝑈𝑖
ℎ1𝑠
𝑈𝑖ℎ + 𝑈𝑖ℎ1𝑠+ 𝑠
=𝑈𝑖ℎ 𝑠 + 𝑈𝑖ℎ1
𝑠2 + 𝑈𝑖ℎ 𝑠 + 𝑈𝑖ℎ1
(32)
De igual manera que en el caso de primer orden, el teorema del valor final puede ser aplicado para
probar que los saltos y variaciones del ángulo de fase de entrada (con sus saltos y variaciones en
frecuencia correspondientes) son seguidos por el filtro de lazo de segundo orden sin error en estado
estable. En otras palabras, un lazo de enganche de fase con un filtro de lazo de segundo orden
garantiza que las “pequeñas” variaciones en la frecuencia de entrada sean seguidas. Esto es
recomendable para aplicaciones de ingeniería de potencia [6].
19
2.3.3 FILTRO DE LAZO DE ORDEN SUPERIOR
Hablar de un filtro de lazo de orden superior es considerar un filtro con más de un integrador
(modelo lineal del OCV), esta estructura permite seguir de mejor manera las variaciones de
frecuencia de la señal de entrada. El diseño de este tipo de filtros de orden superior se puede lograr
empleando las técnicas de control clásicas (diagramas de Bode, método de lugar geométrico de las
raíces, y método Nyquist) así como otro tipo de técnicas (herramientas de diseño de control óptimo
incluyendo métodos de diseño lineal, cuadrático métodos de control robusto) para lograr los
objetivos de control.
2.3.4 PID COMO FILTRO APLICABLE
Como ya se mencionó, los filtros poseen una clasificación, el de primer orden es una constante, el
de segundo orden contiene una variable y una constante, y el de orden superior incluye más
variables e integradores. La ecuación del filtro de segundo orden es idéntica a la de un controlador
Proporcional Integral (PI), este hecho llevo a plantear la aplicación de un filtro Proporcional
Integral Derivativo (PID), y esperar que la acción derivativa permita lograr una respuesta
congruente con los objetivos del filtro.
La ecuación de este control es la siguiente [7]:
𝐻(𝑠) = ℎ +ℎ1𝑠+ ℎ2𝑠
(33)
Sustituyendo la ecuación anterior en la función de transferencia del sistema, el resultado es:
𝑇(𝑠) =𝑈𝑖ℎ2𝑠
2 + 𝑈𝑖ℎ0𝑠 + 𝑈𝑖ℎ1𝑠2(𝑈𝑖ℎ2 + 1) + 𝑈𝑖ℎ0𝑠 + 𝑈𝑖ℎ1
(34)
Las ecuaciones de cada tipo de controlador contienen constantes o ganancias que deben de ser
calculadas numéricamente para probar el funcionamiento del PLL, por lo tanto para sintonizar el
controlador es necesario usar un método específico (Ziegler-Nichols, Lugar Geométrico de las
Raíces).
20
21
CAPÍTULO 3
LOCALIZACIÓN DE LAS GANANCIAS PARA EL
MODELO PLL UTILIZANDO LGR
“I belive I can do
anything if I just try” Granville T. Woods
Una vez que se explicó el modelo general del PLL así como su modelo lineal, junto con las
expresiones de la función de transferencia en lazo cerrado ahora se muestra la aplicación del lugar
geométrico de las raíces (LGR) como método de sintonización para encontrar las constantes de las
funciones de transferencia de los controladores PI y PID. Se utilizó MATLAB y LabVIEW para
usar las constantes calculadas y aplicarlas al modelo de PLL existente en dicho software y así
verificar su funcionamiento sobre la estimación de frecuencia y ángulo de la señal de referencia.
3.1 CRITERIOS DE DISEÑO PARA EL CONTROLADOR
Al inicio de la sección 2.3 se establecieron los objetivos del PLL, los cuales se logran con la
implementación de un tipo de controlador (PI y PID, para este trabajo), por lo tanto los criterios
que importan en el diseño de cualquier controlador son [8]:
a) Precisión
Una medida de precisión es el error en estado estable, el cual puede ser calculado con el teorema
del valor final como se hizo en la sección 2.3.1 para el filtro de lazo de orden cero.
b) Velocidad de respuesta
Las mediciones de la velocidad de respuesta se definen a partir de la respuesta al escalón de un
sistema estable. Una medida de la velocidad de respuesta es la constante de tiempo 𝜏, que puede
calcularse como:
𝜏 = 1/𝑅𝑒𝑎𝑙(𝑝) (35)
22
Donde:
𝑝 = 𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
Otra medida es el tiempo de establecimiento, que es el tiempo que le lleva a una respuesta alcanzar
y permanecer dentro del 5% de la banda del valor en el estado estable. Tanto el tiempo de
colocación como la contante de tiempo se vuelven más pequeñas conforme el polo dominante se
mueve más hacia la izquierda del plano s, es decir conforme la parte real del polo se vuelve más
grande y más negativa.
c) Estabilidad relativa
La estabilidad relativa se refiere a la robustez del control, en esencia, cuanto error de modelado se
tolera antes de que el sistema de lazo cerrado se vuelva inestable. El sistema se vuelve inestable
cuando los errores de modelado ocasionan un desplazamiento en la ubicación de los polos cerrados,
de semiplano izquierdo hacia el eje 𝑗𝜔 o hacia el plano derecho. Una medida específica de la
estabilidad relativa es el porcentaje de sobretiro (P.O., percentage of overshoot), el cual se define
como:
𝑃. 𝑂.=𝑀𝑝 𝑠𝑠
𝑠𝑠× 100%
(36)
Donde:
𝑀𝑝: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎
𝑠𝑠: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
3.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAÍCES
Apoyándose de las referencias [6] y [7] se aplicó el método del lugar geométrico de las raíces el
cual consiste básicamente en representar con una ecuación característica la función de transferencia
del controlador y después graficar dicha ecuación en el plano complejo, en donde se puede observar
las diferentes posibilidades de localizar los polos y ceros variando una constante “k”, la cual
representa la ganancia del sistema, adicionalmente a cada valor de k, le corresponde un factor de
amortiguamiento (ξ) y frecuencia natural (𝜔𝑛), los cuales definen el comportamiento de la función
de transferencia en estado transitorio y estable.
23
3.2.1 SINTONIZACIÓN DEL CONTROLADOR PI CON LGR
Este controlador generalmente se utiliza para reducir el error en estado estable, es decir incrementa
la precisión en el estado estable para reducir la diferencia de ángulo entre ambas señales. La adición
de un polo en el origen y de un cero en 𝑘𝑖
𝑘𝑝, afecta la forma del lugar geométrico de lar raíces y,
por lo tanto, puede afectar la respuesta transitoria. La razón 𝑘𝑖
𝑘𝑝 generalmente se elige para que el
cero resultante se encuentre más cerca al origen que cualquier polo del sistema. Entre más pequeña
sea la relación, y por lo tanto más cercano se encuentre el cero al origen, más pequeño será el efecto
del compensador PI sobre el lugar geométrico de las raíces [8].
Se vuelve a escribir la función de transferencia del controlador PI:
𝐺𝐶(𝑠) = 𝑘𝑝 +𝑘𝑖𝑠
(37)
La ecuación característica correspondiente es [6]:
𝐺𝑐(𝑠) =𝑘(𝑠 + 𝑧)
𝑠
(38)
De donde, la ganancia de lazo es:
𝑘 = 𝑘𝑝 (39)
El valor de 𝑧 está dado por:
𝑧 =𝑘𝑖𝑘𝑝
(40)
El parámetro principal de diseño será la velocidad de respuesta del sistema que permitirá encontrar
el polo dominante, por lo que se propone un valor de τ .
Por lo tanto: τ = 0.040 𝑠
De acuerdo con la siguiente relación se puede encontrar el polo dominante del sistema:
𝑅𝑒(𝑝) =1
𝜏=
1
0.040= 5
(41)
Sustituyendo el valor de (41) en (38):
𝐺𝑐(𝑠) =𝑘(𝑠 + 5)
𝑠
(42)
Quedando definida la función de transferencia del controlador PI.
24
Para obtener la función de transferencia en lazo abierto se considera la ganancia del sistema
definida ahora por 𝑉𝑝, y la función del integrador, resultando:
𝐺𝑝(𝑠) =𝑉𝑝
𝑠
(43)
Si 𝑉𝑝, se considera con valor unitario entonces:
𝐺𝑝(𝑠) =1
𝑠
(44)
Así la función de transferencia de lazo cerrado es:
𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠) =𝑘(𝑠 + 5)
𝑠2
(45)
Para poder obtener el lugar geométrico de las raíces de la ecuación (45) se utilizó la función de
Matlab, rlocus desde el espacio de trabajo (workspace). En la figura 12 se muestra el lugar
geométrico de las raíces obtenido con la función, donde se puede observar que el lugar geométrico
inicia en el origen ya que la función posee un polo único en el origen, se observan dos
ramificaciones a partir de este punto que convergen en el valor 𝑧 = 50 y después se dividen, del
lado izquierdo hacia infinito y del lado derecho hasta el cero 𝑧 = 5.
Figura 12. Lugar geométrico de las raíces para 𝒛 = 𝟐𝟓
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10-30
-20
-10
0
10
20
30
System: Gcp
Gain: 100
Pole: -50
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/s): 50
Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Imagin
ary
Axis
(seconds
-1)
Eje real ( )
Eje
im
agin
ario
( )
25
Por medio de la función de Data Cursor de Matlab, se puede visualizar el valor de los parámetros
correspondientes a cada k, debido a que el factor de amortiguamiento es real y de valor unitario en
𝑧 = 50, se seleccionan estos datos que se muestran en la tabla 4.
Tabla 4. Parámetros correspondientes al polo 𝒛 = 𝟓𝟎
Polo K Factor de
amortiguamiento
Porcentaje de
sobretiro (%)
Frecuencia
natural (rad/s)
-50 100 1 0 50
Considerando el valor de la ganancia k, debido a (39) se tiene:
𝑘𝑝 = 100 (46)
Por lo tanto el valor de la constante de integración debido a (40) será:
𝑘𝑖 = (100) ∗ (50) = 5000 (47)
Los valores de las constantes obtenidas se pueden validar considerando, las ecuaciones de un
sistema de segundo orden, que se muestra a continuación [10].
𝑇(𝑠) = 𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
𝑠2 + 𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
(48)
De donde:
𝜔𝑛 = √𝐾𝑝𝑉𝑝
𝜏
(49)
Y también:
𝜉 =𝑘𝑝𝑉𝑝
𝜔𝑛=√𝜏𝑘𝑝𝑉𝑝
(50)
Como ya se mencionó el valor de la señal es unitaria. Por lo tanto:
𝜔𝑛 = √100
0.040= 50
𝑟𝑎𝑑
𝑠
(51)
Finalmente:
𝜉 =100
(50)=√0.040 ∗ 100
= 1
(52)
26
Es pertinente plantear la ecuación (53) con las constantes calculadas, que es la función de
transferencia de lazo cerrado para el PI:
𝑇(𝑠) =100𝑠 + 5000
𝑠2 + 100𝑠 + 5000
(53)
Como se mencionó en la sección 3.1, la velocidad de respuesta del controlador se define a partir
de la respuesta al escalón. Empleando Matlab se obtuvo la figura 13 la cual muestra el resultado de
aplicar la función escalón a la función de transferencia (53).
Figura 13. Respuesta al escalón de la función de transferencia para el controlador PI
El primer punto es el pico que alcanza la respuesta, el segundo punto es el valor que tiene la
respuesta en estado estable y ocurre en el instante de 0.128 s; cuando se alcanza este último instante
quiere decir que la señal de seguimiento está en fase con la señal de referencia, por lo que si se
divide 0.128 s por la duración de un ciclo de 60 Hz (0.01666 s) se obtendrá el número de ciclos
necesarios para que ambas señales estén en fase. En este caso se requieren de 8 ciclos
aproximadamente. Aplicando la formula (36) para calcular porcentaje de sobretiro de la respuesta
al escalón resulta:
𝑃. 𝑂.=1. 1 0.999
0.999× 100% = 1.1 %
Dicho resultado es diferente al 0% mostrado por el LGR que entrega Matlab, lo cual no quiere
decir que sea incorrecto, sino que el 21.12% corresponde al error que el sistema tolera antes de
volverse inestable es decir que la señal de salida del PLL puede tener un error hasta de 21.12% con
respecto a la señal de referencia.
0 0.05 0.1 0.150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
(seconds)
Tensión: 0.999
Tiempo: 0.128
Tensión: 1.21
Tiempo: 0.0304
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normal Incremento de tensión Estado normal
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normal Incremento de tensión Estado normal
27
3.2.2 SINTONIZACIÓN DE CONTROLADOR PID CON LGR
Un controlador proporcional integral derivativo (PID) combina los beneficios de estos tres; es decir
incrementa el orden de sistema de tal manera que disminuye el error en estado estable, y además
mejora la respuesta transitoria moviendo el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda. La
forma general de este controlador está definida por:
𝐺𝑐(𝑠) = 𝑘𝑝 +𝑘𝑖𝑠+ 𝑘 𝑠
(54)
Este controlador tiene un polo en el origen y dos ceros. Se denotan los ceros como 𝑧1 y 𝑧2, el
controlador tiene la forma general:
𝐺𝑐(𝑠) =𝑘(𝑠 + 𝑧1)(𝑠 + 𝑧2)
𝑠
(55)
De donde, la ganancia de lazo es:
𝑘 = 𝑘 (56)
El valor de 𝑧1 y 𝑧2 está dado por:
𝑧1 =𝑘𝑝
𝑘
(57)
𝑧2 =𝑘𝑖𝑘
(58)
De igual forma como se hizo en 3.1, el parámetro principal de diseño es la velocidad de respuesta
del sistema por lo que se propone un nuevo valor de 𝜏:
𝜏1 = 0.0 0 𝑠
El valor de 𝑧1 está dado por:
z1 =1
0.0 0= 50
(59)
Para seleccionar el z2, se debe considerar estrictamente que este debe pertenecer al eje real negativo
también, debido a que el factor de amortiguamiento es unitario y el porcentaje de sobretiro es cero.
En la figura 14, se observa que el polo donde las dos ramificaciones se cruzan es 2z, por lo que el
valor de 𝑧2 deber ser:
z2 = z1 = (50) = 100 (60)
28
Sustituyendo (59) y (60) en (55) resulta:
𝐺𝑐(𝑠) =𝑘(𝑠 + 50)(𝑠 + 100)
𝑠
(61)
Así la función de transferencia de lazo abierto es:
𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠) =𝑘(𝑠 + 50)(𝑠 + 100)
𝑠2
(62)
Usando Matlab se calcula el lugar geométrico para la ecuación (62), se muestra en la figura 14. Se
observa un polo en el origen y los dos ceros, con valor de -50 y -100.
Figura 14. Lugar geométrico de las raíces para 𝒛 = 𝟓𝟎 y 𝒛𝟐 = 𝟎𝟎
De igual forma usando la función Data Cursor de Matlab, se pueden visualizar los parámetros para
distintos valores de k, debido a que el factor de amortiguamiento es real y de valor unitario en 𝑧 =
67.4, se seleccionan estos datos que se muestran en la tabla 5.
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
System: Gcp
Gain: 8.01
Pole: -67.4
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/s): 67.4
Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Imagin
ary
Axis
(seconds
-1)
Eje real ( )
Eje
im
agin
ario
( )
29
Tabla 5. Parámetros correspondientes al polo 𝒛 = 𝟔𝟕. 𝟒
Polo K Amortiguamiento Porcentaje de
sobretiro (%)
Frecuencia
natural (rad/s)
-67.4 8.01 1 0 67.4
Considerando el valor de la ganancia, k.
𝑘 = 𝑘 = 8.01 (63)
Por lo tanto el valor de las constantes es:
𝑘𝑝 = 𝑧1 ∗ 𝑘 = 50 ∗ 8.01 = 400.5 (64)
𝑘𝑖 = 𝑧2 ∗ 𝑘 = 100 ∗ 8.01 = 801.0 (65)
La ecuación de la función de transferencia con el control PID para el PLL será:
𝑇(𝑠) =8.01𝑠2 + 400.5𝑠 + 801
9.01𝑠2 + 400.5𝑠 + 801
(66)
Como se hizo con en el controlador PI, se obtiene la respuesta escalón de la función de transferencia
(66), la cual se muestra en la figura 15.
Figura 15. Respuesta al escalón de la función de transferencia para el controlador PID
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normal Incremento de tensión Estado normal
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normal Incremento de tensión Estado normal
30
Es interesante la respuesta al escalón obtenida en la figura anterior porque a simple vista parece
que si hay un valor pico, pero con valor de 1.004 pu, por lo tanto la diferencia con el valor en estado
estable seria de 0.004, el cual es un valor muy pequeño comparado con la diferencia del PI y en
este caso llegaría a ser despreciable, es posible entonces considerar que la respuesta alcanza el
estado estable desde el instante de 0.07503 s sin pasar por un transitorio, este valor supone que
señal de salida del PLL alcanzará a estar en fase con la señal de referencia en aproximadamente 5
ciclos de 60 Hz, tres ciclos menos que con el controlador PI.
Si se aplicara la formula (36) para calcular porcentaje de sobretiro considerando el valor pico de
1.004 pu, resulta:
𝑃. 𝑂.=1.004 1
1× 100% = 0.4 %
El sistema entonces toleraría un error de modelado de 0.4%, comparado con el 21.12% de sobretiro
que puede alcanzar PI es práctico considerarlo nulo, así esta observación llega ser aún más
importante, ya que sugiere que el PLL con controlador PID tendrá mayor estabilidad relativa que
el PLL con controlador PI.
3.3 SIMULACIÓN DEL PLL APLICANDO LAS CONSTANTES DEL CONTROLADOR
PI Y PID EN MATLAB SIMULINK
Para validar la sintonización de los controladores o filtros PI y PID se usó el modelo PLL que está
programado en el software de MATLAB SIMULINK, en el apéndice C se describe este modelo
programado y se explica cómo emplear las constantes calculadas en la simulación.
El bloque monofásico del PLL programado en MATLAB SIMULINK, tiene como entrada la señal
de referencia y como salida su frecuencia estimada y el ángulo estimado.
El resultado de la frecuencia estimada se observa en la figura 16, en un intervalo de 0 a 0.5 s ósea
30 ciclos. El comportamiento es un poco oscilatorio sin embargo el cálculo del promedio y
variación estándar muestran que es un resultado aceptable, debido a que no supera los límites.
31
Figura 16. Frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando controlador PI.
En la tabla 6 se muestra los valores de los datos calculados a partir de la simulación.
Tabla 6. Datos estadísticos de la frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando
controlador PI.
Promedio de frecuencia estimada (Hz) Varianza estándar de frecuencia estimada
59.99 0.02908
Ahora se muestra la estimación de ángulo, resultando la gráfica mostrada en la figura 17,
correspondiente a la estimación de ángulo instantáneo de la tensión a la entrada del PLL, el tiempo
es de 0 a 0.5 s, corresponde a 30 ciclos, en el eje izquierdo se muestran dos escalas, la primera es
para la tensión en por unidad y la segunda escala en radianes para el ángulo. La señal de ángulo
instantáneo no presenta oscilaciones y el máximo valor del ángulo calculado es de 6.283 rad o
359.9893°, así como el mínimo es de 0 rad o 0°.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
59.4
59.6
59.8
60
60.2
60.4
Tiempo (s)
Fre
cuen
cia
(H
z)
F
Prom
VE
F=Frecuencia estimada (Hz) Prom=Promedio de frecuencia estimada (Hz) VE=Variación estándar de frecuencia
32
Figura 17. Angulo instantáneo estimado por el PLL monofásico usando controlador PI.
La estimación de frecuencia usando el controlador PID se muestra en la figura 18, también se
observa un comportamiento oscilatorio y con una tendencia a mantenerse por debajo de los 60 Hz
nominales.
Figura 18. Frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando controlador PID
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
) /
An
gu
lo (
rad
)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
59.4
59.6
59.8
60
60.2
60.4
Tiempo (s)
Fre
cuen
cia
(H
z)
F
Prom
VE
F=Frecuencia estimada (Hz)
Prom=Promedio de frecuencia estimada (Hz)
VE=Variación estándar de frecuencia
33
En la tabla 7 se muestra los valores de los datos calculados a partir de la simulación.
Tabla 7. Datos estadísticos de la frecuencia estimada por el bloque PLL monofásico usando
controlador PID
Promedio de frecuencia estimada (Hz) Varianza estándar de frecuencia estimada
59.76 0.1559
Debido a la tendencia que muestra la gráfica la frecuencia estimada puede seguir disminuyendo;
no obstante este valor de frecuencia quedaría limitado por la configuración del bloque PLL ajustado
a 59.3 Hz como mínimo. En el caso de la estimación de ángulo, mostrada en la figura 19, el
controlador PID exhibió pequeñas oscilaciones en las pendientes, que permanecieron en los 30
ciclos de simulación, el valor mínimo de ángulo calculado es de 0 rad o 0°; el valor máximo de
ángulo calculado es de 6.283 rad o 358.9993°.
Figura 19. Angulo instantáneo estimado por el PLL monofásico usando controlador PID
3.4 SIMULACIÓN DEL PLL APLICANDO LAS CONSTANTES DEL CONTROLADOR
PI Y PID EN LabVIEW
Al igual que MATLAB SIMULINK, el software de LabVIEW cuenta con el modelo PLL
programado, por lo que es necesario asignar los parámetros de operación. La simulación en
LabVIEW permitió observar el seguimiento efectuado por el PLL y además estimar del error de
ángulo y frecuencia de cada controlador (en el apéndice D se explica el desarrollo del programa).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)/ Á
ng
ulo
(ra
d)
34
Una vez que se realizó la simulación con los controladores PI y PID, se muestra el error de ángulo
de ambos controladores en una sola gráfica con intervalo de 0 a 0.5 s, correspondiente a 30 ciclos.
El error del PI alcanzo un pulso máximo de 390.6 y se observa una disminución continua sin llegar
a ser estable, en cambio el pico máximo alcanzado por el PID es de 155.5 y se estabiliza después
0.1 s aproximadamente, el cual es un tiempo cercano a 0.07 s obtenida en la respuesta escalón de
la figura 15. En la figura 20 se muestra la gráfica.
Figura 20. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 0 a 0.5s
Si ahora se toma el intervalo de 0.5 a 4 s, en la figura 21 se puede observar que el PI alcanza el
estado estable después de los 1.5 s aproximadamente, siendo un tiempo mayor a 0.128 s obtenido
en la respuesta escalón de la figura 14.
Figura 21. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 0.5 a 4s
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
50
100
150
200
250
300
350
400
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID390.6155.1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
5
10
15
20
25
30
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID
35
En la figura 22 se muestra el intervalo de 3 a 3.5 s donde se puede observar los límites entre los
que oscila el error en estado estable. Con el PI el error oscila entre los límites 0.3014 y 0.0329, y
con el PID oscila entre 15.87 y 1.46.
Figura 22. Comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID en el intervalo de 3 a 3.5 s
En la tabla 8 se muestra el tiempo de estabilización y el promedio de error en estado estable.
Tabla 8. Parámetros de comparación entre el error de ángulo usando los controladores PI y PID
Controlador Tiempo de estabilización (s) Promedio de error de
ángulo en estado estable
PI 1.5 0.167
PID 0.1 (6 ciclos de 60 Hz) 8.665
El error relativo de frecuencia se muestra en la figura 23, en un intervalo de 0 a 0.5 s.
Figura 23. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo de 0 a 0.5 s
3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5
0
5
10
15
20
25
30
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID
15.870.0329
1.46 0.3014
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
20
40
60
80
100
120
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
36
Se observa que el error porcentual de frecuencia del controlador PI no alcanza a ser estable, sin
embargo con el controlador PID el error se vuelve estable después de 0.1 s como en el error de
ángulo. En la figura 24 se observa que el error relativo de frecuencia del controlador PI se estabiliza
a partir de 1.5 s.
Figura 24. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo
de 0 a 4 s
En la figura 25 se muestra los límites del error de frecuencia relativa. Con el controlador PI los
límites son 0.829 y 0.5622, mientras que con el controlador PID los límites son 0.1679 y 0.0188.
Figura 25. Comparación de error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID en un intervalo
de 3 a 3.5 s
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.50
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID0.829 0.5622 0.1679 0.0188
37
En la tabla 9 se muestra el tiempo de estabilización y el promedio de error relativo de frecuencia
en estado estable.
Tabla 9. Parámetros de comparación entre el error relativo de frecuencia con el controlador PI y PID
Controlador Tiempo de estabilización (s) Promedio de error de
ángulo en estado estable
(%)
PI 2 0.6956
PID 0.15 0.0933
Los errores mostrados en las tablas 8 y 9 se pueden ver modificados si se alteran dos parámetros,
el amortiguamiento en el PLL (con controlador PI) y la frecuencia de muestreo en la medición
(bloque simulate signal). A pesar de que el factor de amortiguamiento está relacionado con la
selección de la ganancia k y se consideró de valor unitario, se puede ir incrementando con el
objetivo de reducir las oscilaciones transitorias. En la figura 26 se observan los errores de ángulo
obtenidos incrementado el amortiguamiento de 5 a 30.
Figura 26. Error de ángulo del PLL con controlador PI incrementado el amortiguamiento (estado
transitorio)
Se puede comprobar que el error de ángulo en estado transitorio disminuye desde 390.6 con un
factor de amortiguamiento unitario hasta un valor de 100 con un amortiguamiento de 5, esto sucede
si se incrementa el doble alcanzando un error de 38, y puede llegar hasta 33 con un factor de
amortiguamiento de 30, el cual sería el límite debido a que el PLL se vuelve inestable.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
20
40
60
80
100
Tiempo (s)
Err
or
FA=5
FA=10
FA=20
FA=30
100
3835 33
38
En la figura 27 se muestra el error de ángulo en estado estable, se observa que el límite superior de
oscilación aumenta si el amortiguamiento también lo hace, por lo que el error promedio de 0.167
debido al factor unitario también incrementa. Este hecho descarta la posibilidad de usar un factor
de amortiguamiento superior a la unidad aunque mejore la respuesta en estado transitorio.
Figura 27. Error de ángulo del PLL con controlador PI incrementado el amortiguamiento (estado
estable)
El segundo parámetro se modifica en el bloque simulate signal, tiene que ver con el hecho de medir
la señal de tensión, e implica tomar un número finito de muestras por cada ciclo, este parámetro se
conoce como frecuencia de muestreo, como ya se mencionó la primera simulación se efectuó con
720 Hz, equivalente a 12 muestras por ciclo de 60 Hz. En la figura 28 se empleó una frecuencia de
muestreo de 2940 Hz, se observa un error mayor a 400 en estado transitorio, un tiempo de
estabilización después de 0.3 s, un error en estado estable con límites de 17.41 a 23.47.
3.4 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49 3.50
1
2
3
4
5
Tiempo (s)
Err
or
FA=5
FA=10
FA=20
FA=30
39
Figura 28. Error de ángulo del PLL con controlador PI a una frecuencia de muestreo de 2940 Hz
En la figura 29 se empleó una frecuencia de muestreo de 5160 Hz, se observa un error mayor a 400
en estado transitorio, un tiempo de estabilización después de 0.2 s, un error en estado estable con
límites de 33.26 a 39.61.
Figura 29. Error de ángulo del PLL con controlador PI a una frecuencia de muestreo de 5160 Hz
En la figura 30 se empleó una frecuencia de muestreo de 7380 Hz, se observa un error máximo de
21 en estado transitorio, un tiempo de estabilización después de 0.1 s, un error en estado estable
con límites de 7.259 a 10.74.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
Err
or
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
Err
or
40
Figura 30. Error de ángulo del PLL con controlador PI a una frecuencia de muestreo de 7380 Hz
En el intervalo de 720 Hz a 5160 Hz la magnitud del error en estado transitorio creció, por otro
lado el tiempo de estabilización se acercó a 0.1 s empleando una frecuencia de 7380 Hz, sin
embargo el error en estado estable aumento, lo que implica que la frecuencia de muestreo óptima
sea de 720 Hz.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.66
8
10
12
14
16
18
20
22
Tiempo (s)
Err
or
41
CAPÍTULO 4
IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO PLL DE
SEGUNDO ORDEN CON LabVIEW
“Small sacrificies must be made”
Otto Lilienthal, German aviation pioneer.
La implementación se dividió en dos etapas, en la primera etapa se construye un sistema de
adquisición de datos, empleando la fuente programable ARTES 300, la tarjeta de adquisición NI-
USB 6008 de National Instruments, sensores de tensión y el software LabVIEW. Con la fuente se
genera la señal eléctrica de referencia, la cual es medida por la tarjeta y llevada a la entrada del
PLL para generar la señal de seguimiento en forma digital. Con ayuda de la fuente se simulan
perturbaciones (magnitud, frecuencia, fase, armónicos) en la señal de referencia empleando los
controladores PI y PID en el PLL. En la segunda etapa se emplea la señal de referencia y
seguimiento para ser procesadas en un programa distinto, el cual estima el ángulo y la frecuencia
de cada señal y compara el comportamiento del error de ángulo y frecuencia.
4.1 CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA DE ADQUISICION DE DATOS
La adquisición de datos se puede definir como el proceso de medir con una PC un fenómeno
eléctrico, mecánico o físico en general. El sistema de adquisición de datos consiste básicamente de
sensores, hardware de medidas y una PC con software programable. En la figura 31 se muestra el
sistema de adquisición de datos implementado, de izquierda a derecha primero se observa la fuente
programable ARTES 300, la cual se encuentra conectada con la PC en donde se tiene instalado el
software que permite configurar la señal de salida, esta señal se lleva por dos cables (fase y tierra)
a la resistencia de medición de un sensor de tensión. El sensor necesita de alimentación por lo que
se usa la fuente de CD simétrica con ±12 V. La señal de salida ahora del sensor de tensión se lleva
también con dos cables a las terminales de la tarjeta de adquisición de datos, que efectúa una
medición diferencial y continua. La señal digitalizada se envía al software LabVIEW 2012 para ser
procesada.
42
En la figura 31 se muestra el sistema de adquisición de datos construido.
Figura 31. Sistema de adquisición de datos para implementación del PLL de segundo orden
43
4.1.1 FUENTE ARTES 300
La fuente programable ARTES 300, es una fuente trifásica de tensión y corriente, como máximo
entrega 140 V y 14 A de CA en cada fase; por medio del puerto USB se comunica con la PC, en
donde se tiene instalado su propio software, el cual sirve para editar la forma de onda de salida, se
puede agregar perturbaciones en función del tiempo, y configurar los niveles de tensión y corriente
también cuenta con salidas analógicas y digitales empleadas para probar relevadores de protección.
La función que tiene en el sistema de adquisición de datos es simular la tensión de la red eléctrica,
por lo que se utilizó la herramienta VD Monitor, en el menú de Dynamic Test, se configuro el nivel
de tensión y perturbaciones como incremento y decremento de tensión, variación de frecuencia y
de fase. Los armónicos se configuraron con la herramienta TRANSIG-Monitor. En la figura 32 se
muestra la fuente y en la figura 33 la ventana VD Monitor.
Figura 32. Fuente programable ARTES 300
Figura 33. Ventana VD Monitor para configurar la señal de tensión y corriente de salida de la fuente
ARTES 300
4.1.2 TARJETA NI-USB 6008
La tarjeta NI USB 6008 es una tarjeta de adquisición de datos del fabricante NATIONAL
INSTRUMENTS posee una frecuencia de muestreo máxima de 10 000 muestras por segundo,
44
cuenta con ocho puertos de entrada analógicos y digitales, dos puertos de salida analógicos y cuatro
de salida digitales, un puerto con tensión de 2.5 V y otro de 5 V. Se comunica con USB a la PC,
puede efectuar medición diferencial y referenciada, con modo de muestreo finito y continuo, y está
diseñada para ocuparse con LabVIEW.
Figura 34. Puertos de tarjeta de adquisición de datos NI USB 6008 de NATIONAL INSTRUMENTS
4.1.3 SENSORES DE TENSIÓN
Se emplearon los sensores de tensión LV-25P montados sobre una PCB, la cual fue diseñada y
construida como parte del proyecto de investigación con registro SIP-20140457. La placa posee
cuatro alcances para medir tensión RMS de 50 V, 150 V, 250 V y 500 V, cuenta con un circuito
OFFSET sin embargo no fue necesario utilizarlo debido a que la tarjeta NI USB 6008 puede
efectuar medición de ±10 V, en la figura 35 se muestra la placa con los sensores.
Figura 35. Sensores de tensión montados en la PCB diseñada y construida en el proyecto de
investigación SIP-20140457
45
4.1.4 LabVIEW 2012
Con la fuente ARTES 300, se generó la señal de tensión de CA de 100 V pico, se empleó un solo
sensor de la PCB, el cual disminuyo la tensión a 1 V pico, posteriormente se efectuó medición con
la tarjeta NI USB 6008. Finalmente con el software LabVIEW 2012 se elaboró un programa para
medir la señal de referencia. Se escribe primeramente el algoritmo para llevar desarrollar el
programa:
1. Iniciar un ciclo “while”
2. Medir la señal de referencia asignando la frecuencia de muestreo (DAQ Assistant)
3. Mostrar la señal medida en una gráfica
4. Enviar la señal medida al PLL (asignar parámetros)
5. Mostrar la señal generada por el PLL en una gráfica
6. Parar el ciclo “while”
En la figura 36 se muestra el diagrama de flujo del algoritmo mencionado.
Figura 36. Diagrama de flujo del programa para medir la señal de referencia y generar con el PLL
46
En el diagrama a bloques mostrado en la figura 37 se muestra el código realizado. El bloque DAQ
Assistant realiza la configuración de la tarjeta NI USB 6008 (medición diferencial y continua a 720
Hz) y obtiene como salida la digitalización de la señal medida. El segundo bloque importante, es
el bloque PLL, el cual recibe los parámetros del controlador, factor de amortiguamiento y oscilador
controlado por voltaje, de igual manera que en la simulación, los dos bloques restantes muestran
las señales obtenidas y permiten llevar los datos a Excel.
Figura 37. Diagrama de bloques del programa elaborado para medir la señal de referencia y generar
con el PLL
47
En la figura 38 se muestra el panel frontal del programa realizado para efectuar la medición.
Figura 38. Panel frontal del programa para medir la señal de referencia y generar la señal de
seguimiento con el PLL de segundo orden
48
4.2 ADQUISICIÓN DE SEÑAL DE REFERENCIA CON CONTROLADOR PI
Con las perturbaciones en la señal de referencia se pretendió simular las condiciones anormales de
operación en la red eléctrica, estas perturbaciones se hicieron en base a la tabla 10, la cual muestra
en la primera columna el tipo de perturbación, en la segunda columna los intervalos de tiempo que
duro el estado de la señal, en la tercera el número de ciclos de cada señal y en la cuarta columna el
estado de la señal (normal o perturbación).
Tabla 10. Generación de señal de referencia con perturbación para controlador PI.
Tipo de
perturbación Tiempo (s)
Ciclos
de 60 Hz
Estado de la
señal
Incremento
de tensión
(Sag)
0.0-0.1666 10 Normal
0.1666-0.4166 15 Perturbación
0.4166-0.5000 5 Normal
Decremento
de tensión
(Swell)
0.0-0.1500 9 Normal
0.1500-0.4000 15 Perturbación
0.4000-0.4833 5 Normal
Variación de
frecuencia
0.0-0.3333 20 Normal
0.3333-0.8250 - Perturbación
0.8250-1.0000 10.5 Normal
Variación de
fase
0.0-0.3333 10 Normal
0.3333-0.7167 - Perturbación
0.7167-0.800 11 Normal
Armónicos 5º
y 7º (20%)
0.0-0.1597 9.5 Normal
0.1597-0.4264 - Perturbación
0.4264-0.5792 9 Normal
En las siguientes secciones se muestra en una gráfica la señal de referencia medida y la señal de
seguimiento generada por el PLL empleando el controlador PI.
49
4.2.1 INCREMENTO DE TENSIÓN (SWELL)
En la figura 39 se muestra la señal de referencia con un incremento de tensión, y la señal de
seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PI. De la tabla 8, capítulo 3,
se puede decir que la señal de seguimiento tarda 1.5 s en alcanzar la diferencia mínima de ángulo,
es decir que con este error mínimo ambas señales se encuentran en fase. En esta figura se observa
un intervalo de 0 a 0.5 s, en donde los intervalos de la señal de referencia se describen en la tabla
10.
Figura 39. Señal de referencia medida con incremento de tensión y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PI
Figura 40. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.15 s en prueba de incremento de tensión
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normal Incremento de tensión Estado normal
0 0.05 0.1 0.15-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
6 ciclos de la señal de referencia
50
En la figura 40 se muestra el intervalo de 0 a 0.15 s en donde la señal de seguimiento exhibe una
forma oscilatoria al inicio y después de 6 ciclos de la señal de referencia, se observa que ambas
señales están sincronizadas o en fase, comparando con el número ciclos supuestos en la respuesta
escalón de la figura 13, son dos ciclos menos aproximadamente.
Se observa también que durante y después del incremento de tensión la señal de seguimiento no
presenta variaciones de frecuencia u oscilaciones, lo que quiere decir que el PLL con controlador
PI se mantiene estable a pesar del incremento de tensión y corresponde al 0% de porcentaje de
sobretiro calculado.
4.2.2 DECREMENTO DE TENSIÓN (SAG)
En la figura 41 se muestra la señal de referencia o medida con un decremento de tensión, y la señal
de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PI. En esta figura se
observa un intervalo de 0 a 0.4833 s, en donde los intervalos de la señal de referencia se describen
en la tabla 9. Se observa como en la prueba anterior, que durante y después del decremento de
tensión la señal de seguimiento no presenta variaciones de frecuencia u oscilaciones, esto sugiere
que el PLL con controlador PI se mantiene estable ante el decremento de tensión.
Figura 41. Señal de referencia medida con decremento de tensión y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PI
En la figura 42 se muestra el intervalo de 0 a 0.15 s en donde se observa que después de 3 ciclos
(esto es 0.05 s), la señal de seguimiento se sincroniza con la señal de referencia, en este instante
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normal Decremento de tensión Estado normal
51
ambas señales aparentar estar en fase, comparado con el número de ciclos calculados por la
respuesta escalón de la figura 13, son 5 ciclos diferencia.
Figura 42. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.15 s en prueba de decremento de tensión
Es importante la observación obtenida a partir de las figuras 40 y 42, porque a pesar de observar
que ambas señales se encuentran en fase después de cierto número de ciclos, es necesario graficar
la diferencia aritmética del ángulo de cada señal y cotejar el tiempo de estabilización.
4.2.3 VARIACIÓN DE FRECUENCIA
En la figura 43 se muestra la señal de referencia o medida, con variación de frecuencia, y la señal
de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PI. Primeramente se
observa una señal de referencia con más ciclos que en las dos pruebas anteriores, esto es debido a
que ocurre una variación de frecuencia con el siguiente formato: inicia en 60 Hz durante los
primeros 20 ciclos, después se incrementa en 0.333 s (por unidad de Hertz) hasta alcanzar 90 Hz,
para luego regresar a 60 Hz en 0.7167 s.
0 0.05 0.1 0.15-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
3 ciclos de la señal de referencia
52
Figura 43. Señal de referencia medida con variación de frecuencia y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PI
En la figura 44 se observa a detalle que la señal de seguimiento se aproxima a la sincronización en
el tercer ciclo de la señal de referencia, pero es hasta el 5° ciclo cuando la señal de seguimiento es
de 60 Hz, sin embargo se presenta un desfasamiento.
Figura 44. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de variación de frecuencia
En la figura 45 se muestra el intervalo de 0.45 a 0.75 s, el cual está dentro del intervalo de 0.3333
a 0.7167 s donde ocurre la variación de frecuencia, se graficó así para observar a detalle que el
desfasamiento se mantiene durante la perturbación.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normal Variación de frecuencia (60-90-60 Hz) Estado normal
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Desfasamiento
1° ciclo de 60 Hz
Aproximación de fase
53
Figura 45. Acercamiento en el intervalo de 0.45 a 0.75 s en prueba de variación de frecuencia
4.2.4 VARIACIÓN DE FASE
En la figura 46 se muestra la señal de referencia con variación de fase, y la señal de seguimiento
generada por el PLL de segundo orden con controlador PI.
Figura 46. Señal de referencia medida con variación de fase y señal seguimiento generada por el PLL
con controlador PI
De acuerdo con la tabla 10, la señal de referencia inicia con 0° de fase, y a partir de 0.3333 s se
incrementa grado por grado hasta alcanzar los 50° y después decrece grado por grado hasta 0° en
el instante de 0.7167 s. Como se puede apreciar en la figura 47, el PLL no genera una señal de
0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normalVariación de fase (0°-50°-0°)Estado normal
54
salida que pueda sincronizarse con la señal de referencia. En la figura 47 se observa a detalle el
intervalo de 0 a 0.1 s, donde la señal de seguimiento logra una aproximación en el tercer ciclo de
la señal de referencia y hasta el 5° ciclo de esta alcanza a tener 60 Hz, como sucedió con la
perturbación anterior.
Figura 47. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de variación de fase
En la figura 48 se observa a detalle el intervalo de 0.4 a 0.6 s en donde la señal de seguimiento
mantiene la diferencia de fase.
Figura 48. Acercamiento en el intervalo de 0.4 a 0.65 s en prueba de variación de fase
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
1° ciclo de 60 Hz Desfasamiento
0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
55
4.2.5 ARMÓNICOS
En la figura 49 se muestra la señal de referencia o medida con armónicos, y la señal de seguimiento
generada por el PLL de segundo orden con controlador PI. Se simuló el 5° y 7° armónico en la
señal de referencia al 20%, que inicia en 0.1667 s y termina en 0.4167 s.
Figura 49. Señal de referencia medida con armónicos y señal seguimiento generada por el PLL con
controlador PI
En la figura 50 se muestra el acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s, donde se aprecia que en casi
la mitad del primer ciclo la señal de seguimiento se aproxima a estar en fase con la de referencia.
Figura 50. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.1 s en prueba de armónicos
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Estado normal Armonicos (5° y 7°) Estado normal
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
1° ciclo 60 Hz DesfasamientoInicio en fase
56
Se observa que en el 5° ciclo de la señal de referencia, la señal de seguimiento tiene el 1° ciclo de
60 Hz, y el desfasamiento se mantiene. En la figura 51 se muestra a detalle el intervalo de 0.2 a
0.2833 s, cuando en la señal de referencia se presenta la perturbación de armónicos. Las flechas en
color rojo indican que el desfasamiento se mantuvo durante la perturbación.
Figura 51. Acercamiento en el intervalo de 0.2 a 0.2833 s en prueba de armónicos
0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
57
4.3 ADQUISICIÓN DE SEÑAL DE REFERENCIA CON CONTROLADOR PID
De la misma manera que para el controlador PI, se realizó la adquisición de la señal de referencia
con el controlador PID, las perturbaciones que se efectuaron fueron las mismas como se muestra
en la tabla 11.
Tabla 11. Generación de señal de referencia con perturbación para controlador PID
Tipo de
perturbación Tiempo (s)
Ciclos
de 60 Hz
Estado de la
señal
Incremento
de voltaje
(sag)
0.0-0.1666 10 Normal
0.1666-0.4166 15 Perturbación
0.4166-0.500 5 Normal
Decremento
de voltaje
(swell)
0.0-0.1653 10 Normal
0.1653-0.4153 15 Perturbación
0.4153-0.5819 10 Normal
Salto de
frecuencia
0.0-0.3333 20 Normal
0.3333-0.8167 - Perturbación
0.8167-1.1638 20.8 Normal
Salto de fase
0.0-0.3319 20 Normal
0.3319-0.7306 - Perturbación
0.7306-0.8 10 Normal
Armónicos
(5º y 7º)
0.0-0.1667 10 Normal
0.1667-0.4167 - Perturbación
0.4167-0.5666 9 Normal
58
4.3.1 INCREMENTO DE TENSIÓN (SWELL)
En la figura 52 se muestra la señal de referencia o medida con un incremento de tensión, y la señal
de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID. De la tabla 8, capítulo
3, se tiene que la señal de seguimiento tarda 0.15 s en alcanzar la diferencia mínima de ángulo. En
esta figura se observa un intervalo de 0 a 0.5 s, en donde los intervalos se describen en la tabla 11.
Figura 52. Señal de referencia medida con incremento de tensión y señal seguimiento generada por el PLL con
controlador PID
En la figura 53 se muestra el intervalo de 0 a 0.7 s en donde se aprecia a detalle que la señal de
seguimiento se sincroniza con la señal de referencia a partir del 2° ciclo (esto es 0.03 s)
Figura 53. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.7 s en prueba de incremento de tensión
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sión
(pu
)
Referencia
Seguimiento
Normal NormalIncremento de tensión
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
2 ciclos de la señal de referencia
59
El tiempo de 0.03 s que corresponde a 2 ciclos, es menor al tiempo calculado en la respuesta escalón
de la figura XPID, pues hay 3 ciclos de diferencia, sin embargo también se graficara la diferencia
aritmética del ángulo de cada señal. Se observa que durante esta prueba la señal de seguimiento se
mantiene estable, esto se debe a la posición del polo dominante en el LGR, el cual tiene un valor
de -67.4, más negativo que el polo dominante del filtro PI, lo cual se refleja ya en la velocidad de
respuesta. La observación corresponde con el 0% de porcentaje de sobretiro calculado.
4.3.2 DECREMENTO DE TENSIÓN (SAG)
En la figura 54 se muestra la señal de referencia o medida con un decremento de tensión, y la señal
de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID. No se observa un
estado transitorio de la señal de seguimiento, sin embargo esta observación debe comprobarse
estimando el ángulo y frecuencia de cada señal y después graficar el error absoluto y relativo
respectivamente. Se visualiza que la señal de seguimiento sigue el decremento de tensión, sin
embargo no decrece en amplitud también, debido a que el sistema se estableció para una ganancia
unitaria, por lo tanto siempre mantendrá este nivel. La señal de seguimiento se mantiene estable
durante la prueba, debido a la posición del polo dominante (-67.4) y el porcentaje de sobretiro
(0%).
Figura 54. Señal de referencia medida con decremento de tensión y señal seguimiento generada por el
PLL con controlador PID
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Normal NormalDecremento de tensión
60
En la figura 55 se observa que desde el primer ciclo de la señal de referencia la señal de seguimiento
alcanza la sincronización por lo que resulta menor al número de ciclos calculados a partir de la
respuesta escalón en la figura XPID y también a los 6 ciclos de la simluación aproximados con
LabVIEW.
Figura 55. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.08 s en prueba de incremento de tensión
4.3.3 VARIACIÓN DE FRECUENCIA
En la figura 56 se muestra la señal de referencia o medida con variación de frecuencia, y la señal
de seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID.
Figura 56. Señal de referencia medida con variación de frecuencia y señal de seguimiento generada
con el PLL con controlador PID
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
1 ciclo de la señal de referencia
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
NormalNormal Incremento de frecuencia
61
En la señal de referencia se mantuvo el mismo formato de variación que se usó para el controlador
PI, únicamente cambia el tiempo en que inicia y termina la perturbación, el cual se describe ahora
en la tabla 10. En la figura 57 se muestra el intervalo de 0 a 0.07 s, se observa que después del
primer ciclo ambas señales se mantienen en fase esto es aproximadamente cuatro ciclos menos a
los calculados en la respuesta escalón de la figura XPID.
Figura 57. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.07 s en prueba de incremento de tensión
Se observó también en la figura 56 que durante la variación de frecuencia la señal de seguimiento
se mantiene estable, por lo que el PLL con controlador PID, si opera correctamente ante esta
perturbación.
4.3.4 VARIACIÓN DE FASE
En la figura 58 se muestra la señal de referencia o medida con variación de fase, y la señal de
seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID. El formato de variación
de fase es el mismo que se usó con el PI, únicamente cambia el tiempo de inicio el cual se describe
en la tabla 10. En esta misma figura se aprecia un seguimiento fiel a diferencia de la prueba con el
controlador PI, se observa que antes, durante y después de la perturbación la señal de seguimiento
se mantiene en fase con la señal de referencia. Durante toda la prueba la señal de seguimiento se
mantuvo estable por que el PLL con controlador PID funciona correctamente ante esta
perturbación.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
1 ciclo de la señal de referencia
62
Figura 58. Señal de referencia medida con variación de fase y señal seguimiento generada por el PLL
con controlador PID
En la figura 59 se muestra el intervalo de 0 a 0.07 s, donde se observa que la señal de seguimiento
logra estar en fase con la señal de referencia después del primer ciclo.
Figura 59. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.07 s en prueba de variación de fase
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Variación de faseNormal Normal
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
1° ciclo de la señal de referencia
63
4.3.5 ARMONICOS
En la figura 60 se muestra la señal de referencia o medida con variación de fase, y la señal de
seguimiento generada por el PLL de segundo orden con controlador PID. Se simuló el 5° y 7°
armónico en la señal de referencia al 20%, que inicia en 0.16 s y termina en 0.41 s.
Figura 60. Señal de referencia medida con variación de fase y señal seguimiento generada por el PLL
con controlador PID
En la figura 61 se muestra el acercamiento en el intervalo de 0 a 0.07 s, en donde se observa que
después del primer ciclo la señal de seguimiento logra estar en fase con la señal de referencia.
Figura 61. Acercamiento en el intervalo de 0 a 0.07 s en prueba de armónicos
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
Normal Armónicos Normal
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
64
En la figura 62 se muestra el acercamiento al intervalo de 0.22 a 0.35 s, en donde se observa que
durante la perturbación la señal de seguimiento no es de la misma forma que la señal de referencia
debido a que la señal generada está limitada por la amplitud unitaria por lo que no alcanza el
máximo pico que tiene la señal de referencia provocando así que ambas señales sean distintas.
Figura 62. Acercamiento en el intervalo de 0.22 a 0.35 s en prueba de armónicos
0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ten
sió
n (
pu
)
Referencia
Seguimiento
65
4.4 ERROR DE ÁNGULO CON CONTROLADOR PI Y PID
Los resultados de la adquisición de la señal de referencia y generación de la señal de seguimiento se muestran de la figuras 39 a 62,
ahora como se hizo en la sección 3.4.3, se obtuvo mediante un nuevo programa elaborado en labVIEW el ángulo y frecuencia de ambas
señales; después se graficó el error absoluto y el error relativo respectivamente. En la figura 63 se muestra el diagrama a bloques del
programa para procesar las señales medidas.
Figura 63. Diagrama a bloques del programa elaborado para obtener el ángulo y frecuencia de las señales medidas
66
En figura 64 se muestra el panel frontal del programa para procesar las señales medidas. Este
programa se empleó para procesar todas las señales obtenidas.
Figura 64. Panel frontal del programa elaborado programa para obtener el ángulo y frecuencia de las
señales medidas
67
4.4.1 ERROR DE ÁNGULO CON INCREMENTO DE TENSIÓN (SWELL)
En la figura 65 se observa el error de ángulo de ambos controladores en un intervalo de 0 a 0.5 s,
de acuerdo a la tabla 9 y 10 es el tiempo que dura la prueba. Conforme se indica en esta misma
tabla el intervalo de 0 a 0.1666 s corresponde a 10 ciclos de la señal de referencia, empleando el
controlador PI, el pulso máximo de error se alcanza en este tiempo con una magnitud de 357.9 y
empleando el controlador PID el pulso máximo es de error es de 25.13.
Figura 65. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5 s, con incremento
de tensión en la señal de referencia
En la figura 66 se observa el intervalo de 0.1666 a 0.4166 s, donde inicia y termina el incremento
de tensión.
Figura 66. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.1666 a 0.4166 s, con
incremento de tensión en la señal de referencia
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
50
100
150
200
250
300
350
400
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID
25.13
357.9
0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
5
10
15
20
25
30
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID
68
En la tabla 12 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 12. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con incremento de
tensión
Controlador Mediana del error de ángulo
PI 2.411
PID 4.24
4.4.2 ERROR DE ÁNGULO CON DECREMENTO DE TENSIÓN (SAG)
En la figura 67 se observa el error de ángulo de los controladores PI y PID en un intervalo de 0 a
0.47 s. En el intervalo de 0 a 0.1555 s corresponde a 10 ciclos de la señal de referencia, empleando
el controlador PI, el pulso máximo de error se alcanza en este tiempo con una magnitud de 321.7
y empleando el controlador PID el pulso máximo es de error es de 32.19.
Figura 67. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.47 s, con
decremento de tensión en la señal de referencia
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID321.7
69
En la figura 68 se muestra el intervalo de 0.15 a 0.4 s, cuando ocurre el decremento de tensión.
Figura 68. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.47 s, con
decremento de tensión en la señal de referencia
En la tabla 13 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 13. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con decremento de
tensión
Controlador Mediana del error de ángulo
PI 3.467
PID 4.825
4.4.3 ERROR DE ÁNGULO CON VARIACIÓN DE FRECUENCIA
En la figura 69 se muestra el error de ángulo empleando ambos controladores, en un intervalo de 0
a 0.9 s. Para el controlador PI se observa que durante toda la prueba el error es superior al error del
PID, y que muestra un comportamiento con pulsos, que inician desde un valor aproximadamente
constante de 27 hasta 326, el máximo pulso de error ocurre en los primeros diez ciclos y tienen
magnitud de 348.8. Para el caso del controlador PID se observan tres pulsos en toda la prueba, los
tres ocurren en el intervalo de 0.333 a 0.8250 s (donde ocurre la variación de frecuencia de 60 Hz
a 90 Hz y luego regresa a 60 Hz) el error que alcanzan es de 357.7.
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
5
10
15
20
25
30
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID
70
Figura 69. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.9 s, con variación de
frecuencia en la señal de referencia
En la figura 70 se muestra el intervalo donde ocurre la variación de frecuencia, en el caso del
controlador PI, conforme la frecuencia alcanza los 90 Hz correspondiente al intervalo 0.55-0.65 s,
los pulsos de error parten de un valor mayor, mientras que en el caso del controlador PID, el error
tiende a reducirse alcanzando valores cercanos al cero.
Figura 70. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.333 a 0.825 s, con
variación de frecuencia en la señal de referencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
50
100
150
200
250
300
350
400
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID348.8 357.7326 27
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80
10
20
30
40
50
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID
71
En la tabla 14 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 14. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con variación de
frecuencia
Controlador Mediana del error de ángulo
PI 32.79
PID 2.497
4.4.4 ERROR DE ANGULO CON VARIACIÓN DE FASE
En la figura 71 se muestra la comparación del error de ángulo entre el controlador PI y PID, como
se observa el error obtenido con el controlador PI, posee pulsos durante toda la prueba los cuales
inician sobre un valor aproximadamente constante de 26, y alcanzan un error de 329 casi constante
de igual manera. Con el controlador PID se observan ocho pulsos en toda la prueba alcanzando un
valor de 350.
Figura 71. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.8 s, con variación de
fase en la señal de referencia
En la figura 72 se observa el intervalo de 0.3333-0.7167 s, cuando ocurre la variación de fase de la
señal de referencia de 0° a 50° y después a 0°. Esta figura muestra la oscilación del error del
controlador PID, que es menor al controlador PI ya que esta se inicia en un valor superior. Tres de
los ocho pulsos suceden cuando ocurre la perturbación.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
50
100
150
200
250
300
350
400
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID329 26
72
Figura 72. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.333 a 0.725 s, con
variación de frase en la señal de referencia
En la tabla 15 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 15. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con variación de fase
Controlador Mediana del error de ángulo
PI 30.54
PID 3.538
4.4.5 ERROR DE ÁNGULO CON ARMONICOS
En la figura 73 se muestra la comparación del error de ángulo entre los controladores PI y PID. El
error debido al controlador PI oscila entre los valores de 50 a 307 con pulsos durante toda la prueba.
Figura 73. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5792 s, con
armónicos en la señal de referencia
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70
5
10
15
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
50
100
150
200
250
300
350
400
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID
343.8334
307 50
73
En la figura 74, se muestra el intervalo donde se presentan los armónicos en la señal de referencia,
en este caso el controlador PID presenta un error que oscila entre los valores aproximadamente
constantes de 115 y 240.
Figura 74. Comparación de error de ángulo entre el controlador PI y PID de 0.1597 a 0.4264 s, con
armónicos en la señal de referencia
En la tabla 16 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 16. Mediana del error de ángulo empleando los controladores PI y PID con armónicos
Controlador Mediana del error de ángulo
PI 59.62
PID 11.42
4.5 ERROR DE FRECUENCIA CON CONTROLADOR PI Y PID
Una vez que se obtuvieron los resultados del error correspondiente a la estimación de ángulo se
analizaron los errores de ambos controladores en la estimación de frecuencia.
4.5.1 ERROR DE FRECUENCIA CON INCREMENTO DE TENSIÓN (SWELL)
En la figura 75 se muestra el error relativo de frecuencia obtenido de la prueba con incremento de
tensión, el error relativo máximo lo alcanza el controlador PI con 343.8% en estado transitorio, el
cual va disminuyendo hasta permanecer por debajo del 10%; con respecto al error relativo del PID
tiende a permanecer menor al 10% desde el inicio.
0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
50
100
150
200
250
300
350
400
Tiempo (s)
Err
or
PI
PID240 115
74
Figura 75. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5s, con
incremento de tensión en la señal de referencia
En la figura 76 se observa el intervalo de 0.1666 a 0.4166 s, en donde se aprecia que el error relativo
de frecuencia del controlador PI oscila por debajo del 2%, mientras que con el controlador PID
oscila por debajo del 4%. Al final de la perturbación ambos controladores presentan pulsos que
alcanzan un valor menor al 10%.
Figura 76. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.1666 a
0.4166s, con incremento de tensión en la señal de referencia
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
10
20
30
40
50
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID343.8
0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
75
En la tabla 17 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 17. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con
incremento de tensión
Controlador Mediana del error relativo de frecuencia
PI 1.253 %
PID 2.189 %
4.5.2 ERROR DE FRECUENCIA CON DECREMENTO DE TENSIÓN (SAG)
En la figura 77 se muestra la comparación del error relativo de frecuencia cuando ocurre el
decremento de tensión, de igual manera que en la prueba de incremento de tensión el controlador
PI alcanza un error relativo máximo de 43.9% al inicio y posteriormente disminuye, presentándose
dos pulsos que no superan el 25% de error. Con respecto al controlador PID, el error relativo
máximo es de 14.29%, presentando pulsos que no superan el 10% de error.
Figura 77. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.46s, con
decremento de tensión en la señal de referencia
En la figura 78 se muestra a detalle el intervalo cuando ocurre el decremento de tensión, se observa
un pulso de 13.63% de error que alcanza el controlador PI hacia el final de la prueba, mientras que
el controlador PID también presenta un pulso máximo de 9.742%. El error del PI oscila en valores
menores al 4%, mientras que el error del PID oscila en valores menores al 6%.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
10
20
30
40
50
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
14.29
43.9
76
Figura 78. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.15 a 0.4s,
con decremento de tensión en la señal de referencia
En la tabla 18 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 18. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con
decremento de tensión
Controlador Mediana del error relativo de frecuencia
PI 1.725 %
PID 1.8 %
4.5.3 ERROR DE FRECUENCIA CON VARIACIÓN DE FRECUENCIA
En la figura 79 se observa el error relativo de frecuencia de ambos controladores cuando ocurre la
variación de frecuencia (60Hz-90Hz-60Hz). El comportamiento del error relativo del PI, es similar
a las dos pruebas anteriores debido a que presenta un pulso máximo al inicio de 29.47%, mientras
que el PID presenta un pulso máximo de error relativo también al inicio de 10.55%. Es importante
notar que no ocurren más pulsos de error relativo de frecuencia durante la prueba y que ambos
errores oscilan en valores menores al 5%.
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID9.742
13.63
77
Figura 79. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 1 s, con
variación de frecuencia en la señal de referencia
En la figura 80 se muestra el intervalo de 0.333 a 0.825 s, cuando ocurre la variación de frecuencia.
El máximo pulso de error relativo que alcanza el PI es de 5.53%, mientras que el máximo pulso
que alcanza el PID es de 2.2%, como sucedió en el error de ángulo hacia el intervalo de tiempo de
0.55 a 0.6 s el controlador PID alcanza su error mínimo cerca del 0%.
Figura 80. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.333 a 0.825
s, con variación de frecuencia en la señal de referencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
5
10
15
20
25
30
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
29.47
10.55
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80
1
2
3
4
5
6
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
5.53
2.2
78
En la tabla 19 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 19. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con variación
de frecuencia
Controlador Mediana del error relativo de frecuencia
PI 0.5771 %
PID 1.169 %
4.5.4 ERROR DE FRECUENCIA CON VARIACIÓN DE FASE
En la figura 81 se muestra el error relativo de frecuencia cuando ocurre la variación de fase (0° a
50° a 0°), el controlador PI presenta un pulso máximo de error relativo al inicio de 30.77%, mientras
que el pulso máximo de error relativo del PID es de 9.837%. Ambos errores oscilan en valores
menores al 5%.
Figura 81. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.8 s, con
variación de fase en la señal de referencia
En la figura 82 se muestra el intervalo de 0.3333 a0.725 s, donde ocurre la variación de fase, los
valores de error relativo que presenta el controlador PI oscilan debajo del 5%, mientras que los
valores de error relativo que presenta el controlador PID oscilan debajo del 3%.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
5
10
15
20
25
30
35
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
9.837
30.77
79
Figura 82. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.3333 a
0.725 s, con variación de fase en la señal de referencia
En la tabla 20 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 20. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con variación
de fase
Controlador Mediana del error relativo de frecuencia
PI 0.9214 %
PID 1.815 %
4.5.5 ERROR DE FRECUENCIA CON ARMONICOS
En la figura 83 se muestra la comparación del error relativo de frecuencia entre ambos
controladores, al inicio se observa que el mayor pulso de error relativo es de 32% y corresponde al
controlador PI, se vuelve menor al 10% después del segundo 0.05 y se mantiene así durante la
prueba. Con el controlador PID, no existe pulso transitorio que supere el 10%, sin embargo es
notable que del segundo 0.15 al 0.4, el error relativo se incrementa hasta alcanzar valores de
oscilación entre el 48% y 55%, correspondientes al intervalo cuando se suman armónicos de 5° y
7° orden a la señal de referencia.
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70
1
2
3
4
5
6
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
80
Figura 83. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0 a 0.5792 s,
con armónicos de fase en la señal de referencia
En la figura 84 se confirma que en el intervalo donde hay presencia de armónicos el error relativo
de frecuencia empelando el controlador PID se incrementa y con el controlador PI, el error
relativo oscila en valores menores al 5%.
Figura 84. Comparación del error relativo de frecuencia entre el controlador PI y PID de 0.1597 a
0.4264 s, con armónicos en la señal de referencia
En la tabla 21 se muestra la mediana obtenida de la prueba, para ambos controladores.
Tabla 21. Mediana del error relativo de frecuencia empleando los controladores PI y PID con
armónicos
Controlador Mediana del error relativo de frecuencia
PI 1.615 %
PID 5.493 %
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
10
20
30
40
50
60
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
55
4832
0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
10
20
30
40
50
60
Tiempo (s)
Err
or
(%)
PI
PID
55
48
5
81
4.6 DISCUSION DE LOS RESULTADOS
Con la simulación del bloque PLL de segundo orden en MATLAB SIMULINK y en LabVIEW, se
obtuvo la estimación de ángulo y frecuencia de la señal de referencia cuando se encuentra en
condiciones normales de operación (amplitud unitaria, frecuencia de 60 Hz, 0° de desfasamiento)
y se comprobó el funcionamiento de las constantes propuestas para el controlador PI y el
controlador PID. Usando MATLAB SIMULINK se observó el comportamiento de la estimación
de frecuencia en ambos controladores en un tiempo de 0.5 s, con el controlador PI, el PLL estimo
un promedio de 59.99 Hz con una varianza estándar de 0.02908, con el controlador PID, el PLL
estimo un promedio de 59.76 Hz con una varianza estándar de 0.1559, por simple inspección el
mejor estimador es el filtro PI aunado a que su estimación es más estable en comparación con el
filtro PID, pues el PI mostro una estimación con tendencia a disminuir su valor a pesar de que el
P.O. fue de 0% en este controlador. Con respecto a la estimación de ángulo, el filtro PI estimo los
valores desde 0° hasta 359.9893° y el PID estimo los valores desde 0° hasta 358.9993°. La
simulación con LabVIEW resulto interesante desde el funcionamiento del bloque PLL, porque este
entrega una señal de seguimiento sobre la señal de referencia y para analizar el ángulo y frecuencia
se utilizó un bloque adicional (extract tone information), lo que permitió observar el error de
seguimiento. En el primer caso, se estimó el ángulo de la señal de referencia y el ángulo de la señal
de seguimiento y se restaron aritméticamente; esto se hizo con los dos controladores propuestos y
los resultados se mostraron en gráficas. En la figura 20 se muestra un intervalo de 0 a 0.5 s, con el
controlador PI se observaron seis pulsos de error que alcanzaron el valores de 390.6, lo que
significa seis ciclos donde la señal de seguimiento cambia a un valor de ángulo distinto creándose
así, un desfasamiento casi de un ciclo con respecto al ángulo que lleva la señal de referencia;
después del último pulso el error decrece conforme pasa el tiempo, por lo que el error no se
estabiliza en un tiempo menor a 0.5 s, siendo de 0.128 en la respuesta escalón de la figura 13. Con
el controlador PID en esta misma gráfica, se observa que el error máximo es de 155.1, después
decrece rápidamente, no hay pulsos y es posible observar que a partir de 0.1 s la señal de error se
vuelve estable, un valor próximo a los 0.07 s de la respuesta escalón de la figura 15. En la figura
22 se muestra el intervalo de 3 a 3.5 s, el error ya es estable en ambos controladores, debido a que
oscila entre dos valores constantes se calcula su promedio, el PI un error de 0.167 y el PID un error
de 8.665, el segundo parámetro importante es el tiempo de estabilización aproximado, el cual fue
de 1.5 s y 0.1 s, respectivamente. Con estos resultados, se identifica la ventaja de un controlador
82
sobre otro, es decir, el PI se estabiliza más lento que el PID, pero el error en estado estable que
alcanza es menor al PID. En el segundo caso se estimó la frecuencia con el mismo bloque y se
calculó el error relativo que está dado por:
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎∗ 100%
(67)
En la figura 23 se observó que el PI no presento pulsos de error porcentual y el máximo error no
supero el 50%, en cambio el PID supero el 100% de error en el estado transitorio y se estabilizo en
el mismo tiempo que su correspondiente error de ángulo. En estado estable el promedio de error
del PI fue de 0.6956% y el del PID fue de 0.0933%, lo cual significa que ambos mantuvieron la
frecuencia de la señal de referencia; luego entonces se puede decir parcialmente que lo conveniente
es tener un filtro PI, ya que es más importante tener un error de ángulo en estado estable mínimo,
como resultado parcial. La segunda acción que se llevó a cabo en la simulación fue variar el factor
de amortiguamiento y la frecuencia de muestreo, si bien en el capítulo 3 empleando el método de
lugar geométrico de las raíces resulto para el polo seleccionado en el caso del controlador PI, un
factor de amortiguamiento unitario que representa una respuesta críticamente amortiguada, este se
puede variar en el control de la simulación sin cambiar la ganancia k del PLL, los resultados se
mostraron en la figura 26 donde se varía el factor de amortiguamiento cada 5 unidades, llegando
hasta 30, evidentemente el error en estado transitorio se fue sobre amortiguando y desaparecieron
los pulsos que se observaron con el factor unitario, sin embargo la respuesta en estado estable no
fue conveniente debido a que los límites de oscilación del error crecieron conforme el
amortiguamiento lo hacía, por esta razón se opta por mantener este parámetro unitario. El hecho
de incrementar la frecuencia de muestreo en la medición de una señal, se traduce en una mejor
representación de esta, sin embargo la simulación mostró que al incrementarse, el error en estado
estable lo hacía también; situación que ya se reiteró no es conveniente, pues no es un objetivo del
filtro, las razones por las que ocurrió dicho comportamiento se pueden atribuir a la operación de
los bloques que estiman el ángulo y la frecuencia, como no es el objetivo de este trabajo no se
implementó un algoritmo en lugar de los bloques, sino que se aprovechó la tarea que estos realizan
y esta última prueba sirvió para conocer la condición en la que operan adecuadamente.
83
La implementación del PLL en el sistema de adquisición de datos consto de dos etapas, en la
primera, con la fuente ARTES 300 se generó la señal de referencia incluyendo las perturbaciones
de: incremento de tensión, decremento de tensión, variación de frecuencia y variación de fase. Con
la tarjeta NI USB 6008 se midió la señal de referencia y en el programa de LabVIEW se generó la
señal de seguimiento empleando los dos filtros propuestos. De la figura 39 a 62 se mostraron las
señales obtenidas, las cuales de forma cualitativa permiten visualizar que cuando en la señal de
referencia existe variación de frecuencia o ángulo sucede un desfasamiento en la señal de
seguimiento empleando el controlador PI y no así con el controlador PID, sin embargo para
asegurar esta observación se creó un programa de procesamiento, cuyo resultado se expresa en las
gráficas de error de ángulo y frecuencia. En la prueba de incremento de tensión la mediana del
error del controlador PI fue de 2.411 mientras que la mediana del error del controlador PID fue de
4.24, por lo que el error del PI alcanza valores cercanos al cero. Con el decremento de tensión la
mediana del error obtenido entre ambos controladores se acorto, debido que el PI llego a 3.467,
mientras que con el PID fue de 4.825. La variación de frecuencia represento una prueba interesante
porque el filtro PI no pudo a seguir la señal de referencia, así la gráfica del error de ángulo mostro
un error constante, el filtro PID alcanzo el error de cero cuando la frecuencia de la señal de
referencia fue de 90 Hz, estimando una mediana de 2.497, un error parecido al PI cuando se
presentó el incremento de tensión. Los resultados de la variación de fase fueron parecidos a la
prueba anterior para el controlador PI, debido a que la señal de seguimiento no se sincronizo y
mostro un error constante con pulsos de desfase, en cambio el PID alcanzo una mediana de error
de 3.538. La presencia del 5° y 7° armónico a un 20% en la señal de referencia fue la última prueba
en donde la mediana del error menor fue la del PID con 11.42 contra 59.62 del PI.
Comparando estos resultados con lo expresado en la tabla 2, el modelo PLL de segundo orden con
un filtro PI o un filtro PID es medianamente inmune a la distorsión, en el caso de la adaptabilidad
a la frecuencia, se puede mejorar usando un filtro PID, y la respuesta dinámica se ve favorecida
por la acción derivativa del controlador PID ya que permite estabilizar al PLL en un menor tiempo.
84
CONCLUSIONES
Se llevó a cabo un trabajo de investigación documental de manera inicial, principalmente en
artículos, para conocer el estado del arte de los métodos de sincronización que se emplean en la
conexión de convertidores de potencia a una red eléctrica y de ellos se adoptó el PLL debido a su
extendido uso e interés. Una vez que se seleccionó este método se analizaron las posibilidades de
estudiar su funcionamiento, ya que para comprenderlo de fondo, se requiere manejar teoría de
sistemas lineales, teoría de control clásica y moderna, teoría de filtros digitales entre otros. Luego
entonces se revisó las diferentes estructuras del PLL, buscando cual sería la más adecuada para
analizar, se tomó el sistema estándar y se efectuó un análisis empleando dos filtros, uno ya
establecido (Proporcional Integral) y el segundo (Proporcional Integral Derivativo) como parte de
una experimentación y propuesta. Las siguientes conclusiones son sobre puntos clave de la tesis:
Modelo lineal del PLL
Para comprender el funcionamiento del PLL se partió del modelo no lineal, el cual se representa
por tres bloques en un sistema de lazo cerrado (capítulo 2, figura 6), el primero de ellos es el
detector de fase, luego el filtro de lazo y el tercero el oscilador controlado por voltaje, cada uno de
ellos, se aproxima con un sumador, un controlador (representado por una función de transferencia
en la frecuencia) y un integrador (1
𝑠) respectivamente. Como aspectos importantes sobre el estudio
del modelo lineal del PLL se tiene:
El filtro de lazo es la esencia del PLL, porque se encarga de reducir la diferencia entre dos
señales una exterior o medida y la segunda generada por el oscilador, además de que
alimenta a este elemento, por lo que si se desea trabajar en su mejora, se debe analizar sus
funciones de transferencia.
El PLL de segundo orden (filtro Proporcional Integral) teóricamente sigue los saltos de
frecuencia y saltos de ángulo alcanzando un error cero en estado estable, sin embargo la
experimentación indicó que este error es mayor comparado con un filtro Proporcional
Integral Derivativo, por lo que en este tipo de condiciones es mejor cambiar de filtro.
85
Por último, se debe de considerar aplicar su diagrama a bloques completamente porque de ello
depende su correcta aplicación o programación, por lo que se hace indispensable el uso de las
herramientas matemáticas ya mencionadas.
Sintonización de los controladores para el PLL
La sintonización de los controladores se realizó con el método del lugar geométrico de las raíces,
el cual se aplicó con el software de MATLAB, las ventajas que tiene sobre otros métodos de
sintonización son:
Permite considerar los parámetros involucrados en la respuesta del PLL, como lo es el
factor de amortiguamiento (ζ), la frecuencia natural (𝜔𝑛) y la ganancia del controlador.
El PLL tienen una función de transferencia de segundo orden, por lo que existe relación
directa entre la ganancia del filtro, el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural.
Esta relación se observó cuando al cambiar el valor del amortiguamiento (buscando
eliminar los pulsos en la respuesta transitoria) el error en estado estable incremento.
Se pude visualizar la estabilidad del sistema de lazo cerrado en base a la ubicación de los
polos y ceros de la función de transferencia.
Simulación e implementación del PLL en software comercial
El software de MATLAB SIMULINK tiene programado el PLL en sus librerías, el cual puede ser
monofásico o trifásico, ambos estiman el ángulo y frecuencia de la señal de referencia o de entrada.
La cuestión más importante de simular el PLL es que se puede configurar sus parámetros, en los
que viene incluido un controlador PID autosintonizado, en el caso de este trabajo permitió
comparar la respuesta para las constantes de los controladores ya mencionados. El software de
labVIEW permite implementar un sistema de adquisición de datos y crear instrumentos virtuales
en este caso tiene programado el PLL, el cual puede ser el de segundo orden o el de un filtro digital,
difiere en el funcionamiento con el de SIMULINK, ya que este entrega una señal de seguimiento
sobre la de referencia.
Con respecto a las pruebas emprendidas en la implementación se tiene las siguientes conclusiones:
Las pruebas de incremento y decremento de tensión son bien soportadas por el filtro PI, no
así el PID, esto es porque el cambio de amplitud en la señal de referencia es instantáneo y
86
permanece constante, y la acción proporcional e integral son suficientes para resolver esta
condición.
Las pruebas de variación de frecuencia y ángulo son bien soportadas por el filtro PID,
porque el cambio continuo en la frecuencia y ángulo permite que la acción derivativa actué
y reduzca el error.
Las pruebas con armónicos, hicieron funcionar ambos filtros sin embargo por el cambio de
amplitud y el cambio en la forma de la señal de referencia el error de ángulo se incrementó
en ambas.
87
RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS
A continuación se mencionan las recomendaciones y trabajos futuros para realizar a este trabajo de
tesis:
Es conveniente revisar los cuatro tipos de filtros ya establecidos para el PLL y observar sus
ventajas y desventajas entre ellos, antes de migrar al estudio de un modelo nuevo como el
EPLL (Enhanced PLL).
Una vez comprendida la operación del PLL, se puede implementar en un microcontrolador.
Para observar su comportamiento, es necesario contar con un inversor programado con un
método de modulación que requiera el ángulo de la señal de la red eléctrica a conectarse.
Por último se puede analizar la aplicación del PLL para llevar acabo mediciones fasoriales.
88
89
REFERENCIAS
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91
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Politecnico Nacional, México, Julio, 2014.
92
93
APENDICE A
CONCEPTOS BÁSICOS DE SISTEMAS DE
CONTROL
Control realimentado.
El control realimentado es un sistema que mantiene una comparación entre la entrada de
referencia y la salida deseada, el resultado de la comparación es utilizado para controlar [7].
Sistemas de control en lazo cerrado
En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador con la señal de error de
actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que
puede ser la señal de la salida misma o una función de la señal de salida y sus derivadas o
integrales) a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El
término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado
para reducir el error del sistema [7].
Sistemas de control en lazo abierto
En estos sistemas la salida no afecta la acción de control. Es decir que en este tipo de control
no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Por lo tanto, a cada
entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija; lo que obliga a que la
precisión del sistema sea dependiente de la calibración del mismo [7].
Función de Transferencia
El aspecto más importante dentro de los sistemas de control es la estabilidad del sistema. Un
sistema es estable si en ausencia de alguna perturbación la salida permanece en el mismo
estado. En un sistema de control se busca que a pesar de las perturbaciones o entradas del
sistema vuelva a un estado de equilibrio. Para este motivo es necesario conocer las
características del sistema a través de su función de transferencia.
Los sistemas de control actuales generalmente no son lineales, sin embargo es posible
aproximarlos a través de matemáticos; es por eso que analizar la respuesta transitoria de la
planta es el primer paso a tomar en cuenta para poder implementar las acciones de control.
94
El análisis de la respuesta transitoria da como resultado la “Función de Transferencia” que
nos representará la planta que se va a controlar.
La forma del sistema a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia determina cuál
de las señales de entradas típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si
las entradas de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una señal
rampa sería buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones
repentinas, una función escalón sería buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a
entradas de choque, una función impulso sería lo mejor. Una vez diseñado un sistema de
control con base en las señales de prueba, por lo general el desempeño del sistema en
respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de tales señales de prueba permite
comparar el desempeño de todos los sistemas sobre la misma base [7].
La mayor parte de los sistemas de control tienen funciones de transferencia de segundo orden.
Utilizando una entrada escalón los sistemas de segundo orden muestran la función de
transferencia:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝜔𝑛2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
A.1
Donde:
𝜔𝑛: 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎
𝜁: 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
El sistema tiene dos polos en:
𝑠 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜁2 − 1 A.2
Para:
|𝜁| > 1 Dos polos reales diferentes (caso sobre amortiguado)
|𝜁| = 1 Dos polos reales e iguales (caso críticamente amortiguado)
0 < 𝜁 < 1 Dos polos complejos conjugados (caso sub amortiguado)
𝜁 = 0 Dos polos complejos conjugados puros (caso oscilador)
95
La siguiente figura muestra la frecuencia natural no amortiguada 𝜔𝑛 y el factor de
amortiguamiento 𝜁 en el plano imaginario.
Figura A.1 Definición del ángulo 𝜷
Por trigonometría:
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝜔𝑑
𝜎)
A.3
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 A.4
𝜎 = 𝜔𝑛𝜁 A.5
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜔𝑑
𝜔𝑛= √1 − 𝜁2 A.6
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝜎
𝜔𝑛= 𝜁 A.7
𝜔𝑑 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎
𝜎 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
96
En la figura siguiente se muestran diferentes gráficos para los factores de amortiguamiento
descritos anteriormente para una entrada escalón unitario, ya que normalmente las
características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la
respuesta transitoria para una entrada escalón [7].
Figura A.2 Curva de Respuesta al Escalón Unitario de Sistemas de Segundo Orden
La respuesta transitoria para una entrada escalón unitario de un sistema de control práctico
exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Estas
especificaciones se definen a continuación y aparecen en forma gráfica en la respuesta
transitoria de un sistema en la figura siguiente [7]:
Figura A.3 Especificaciones de la Respuesta Transitoria
97
1. Tiempo de retardo, 𝑡𝑑: Es el tiempo para que la respuesta la primera vez la mitad del
valor final.
2. Tiempo de levantamiento, 𝑡𝑟: Tiempo para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5
al 95% o del 0 al 100% de su valor final.
3. Tiempo pico, 𝑡𝑝 : Tiempo en el cual la respuesta alcanza el primer pico del sobrepaso
(máximo sobre impulso). El tiempo pico es inversamente proporcional a la frecuencia
natural amortiguada.
𝑡𝑝 =𝜋
𝜔𝑑 A.8
4. Máximo sobre impulso, 𝑀𝑝: Es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido
a partir de la unidad. El máximo sobre impulso normalmente se indica en porcentaje.
La cantidad de sobrepaso máximo indica de manera directa la estabilidad relativa del
sistema.
𝑀𝑝 = 𝑒−
𝜁𝜋
√1−𝜁2 A.9
5. Tiempo de asentamiento, 𝑡𝑠: Tiempo que se requiere para que la curva de respuesta
alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje
absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El
tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de
control.
𝑡𝑠 =𝐶
𝜁𝜔𝑛
A.10
Donde C es 4 para un criterio de 2% o 3% para un criterio de 5%.
98
Acciones de control
La forma en la cual el controlador automático produce la señal de control se llama “acción
de control”. Los controladores automáticos coparan el valor real de la salida con la entrada
de referencia, lo cual determina la desviación con la que el controlador debe producir una
señal de control que reduzca la desviación [7].
Figura A.4 Diagrama a bloques general de un control automático
Acción de control proporcional. Para un control controlador con acción de control
proporcional, la relación entre la salida del controlador 𝑢(𝑡) y la señal de error 𝑒(𝑡) es:
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃𝑒(𝑡) A.11
O bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace:
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝
A.12
En donde 𝐾𝑝 se considera la ganancia proporcional. El controlador proporcional es en
realidad un amplificador con ganancia ajustable. Este control reduce el tiempo de subida,
incrementa el sobretiro y reduce el error en estado estable [7].
Acción de control integral. En un controlador con acción de control integral, el valor de la
salida del controlador 𝑢(𝑡) se cambia a una razón proporcional a la señal de error 𝑒(𝑡). Es
decir:
99
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡= 𝐾𝑖𝑒(𝑡)
A.13
O bien
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑖∫𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 A.14
En donde 𝐾𝑖 es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral
es:
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)=𝑘𝑖𝑠
A.15
Si se duplica el valor 𝑒(𝑡) el valor de 𝑢(𝑡) varía dos veces más rápido. Para un error de cero,
el valor de 𝑢(𝑡) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control de integral se
denomina control de reajuste (reset). Como se puede ver en la fórmula de la función de
transferencia el control integral añade un polo en el origen, con lo cual el sistema se vuelve
menos estable [7].
Acción de control proporcional integral. Este control logra un decremento en el tiempo de
subida, incrementa el sobre impulso y el tiempo de estabilización, y tiene el efecto de eliminar
el error en estado estable pero empeorara la respuesta transitoria.
La acción de control de un controlador proporcional integral (PI) se define mediante
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃𝑒(𝑡) +𝐾𝑝
𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡𝑡
0
A.16
O la función de transferencia del controlador es:
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝 (1 +
1
𝑇𝑖𝑠)
A.17
En donde 𝐾𝑝 es la ganancia proporcional y 𝑇𝑖 se denomina tiempo integral. Tanto 𝐾𝑝 como
𝑇𝑖 son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un
cambio de valor de 𝐾𝑝 afecta las partes integral y proporcional de la acción de control. El
100
inverso del tiempo integral 𝑇𝑖 se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste
se mide en términos de las repeticiones por minuto [7].
Acción de control proporcional derivativo. Este control reduce el sobre impulso y el
tiempo de estabilización, por lo cual tendrá el efecto de incrementar la estabilidad del sistema
mejorando la respuesta del sistema. El controlador proporcional derivativo (PD) se define
mediante
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
A.18
La acción de control derivativo, en ocasiones llamada control de velocidad, ocurre donde la
magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de
error. El tiempo derivativo 𝑇𝑑 es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la
velocidad hace avanzar el efecto de la acción proporcional. La acción de control derivativo
tiene un carácter de previsión. Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativo
nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido.
Aunque la acción de control derivativo tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las
desventajas que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en
el actuador [7].
Su función de transferencia es:
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑑𝑠)
A.19
Acción de control proporcional-integral-derivativa
La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una
acción de control derivativo se denomina acción de control proporcional integral derivativo.
Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control
individuales.
101
La siguiente tabla resume las características de los controles mencionados.
Tabla A.1 Resumen de las características de acciones de control
Tipo de
Control
Tiempo de
subida Sobre impulso
Tiempo de
estabilización
Error en estado
estable
Proporcional Decrece Crece Cambio menor Decrece
PI Decrece Crece Crece Se elimina
PD Cambio menor Decrece Decrece Cambio menor
Las correlaciones de la tabla mostrada no son muy precisas, porque 𝐾𝑝, 𝐾𝑖 y 𝐾𝑑 son
dependientes entre sí, por lo cual esta tabla solo debe ser tomada como referencia. La relación
entre la salida del controlador 𝑢(𝑡) y la señal de error 𝑒(𝑡) de la acción de control
Proporcional Integral Derivativo está dada por:
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡+𝐾𝑝
𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝑡
0
A.20
En donde 𝐾𝑝 es la ganancia proporcional, 𝑇𝑖 es el tiempo integral y 𝑇𝑑 es el tiempo derivativo.
Si se aplica la transformada de Laplace se obtiene:
𝑈(𝑠) = 𝐾𝑝𝐸(𝑠) + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠𝐸(𝑠) +𝐾𝑝
𝑇𝑖𝑠𝐸(𝑠)
A.21
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝 (1 + 𝑇𝑑 +
1
𝑇𝑖)
A.22
102
103
APENDICE B
LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES
Sea un sistema de control por retroalimentación con la representación de la función de
transferencia [5]:
𝑌(𝑠) = 𝐺𝑐𝑙(𝑠)𝑅(𝑠) B.1
Donde:
𝑌(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑅(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐺𝑐𝑙(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜
La función de transferencia de lazo cerrado 𝐺𝑐𝑙(𝑠) esta dada por [5]:
𝐺𝑐𝑙(𝑠) =𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠)
1 + 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠)
B.2
𝐺𝑝(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎
𝐺𝑐(𝑠) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟
En la figura B1 se muestra el sistema de lazo cerrado.
Figura B1. Sistema de control por retroalimentación
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
−
104
Se supone que la función de transferencia de la planta 𝐺𝑝(𝑠) tiene N polos, y la función de
transferencia del controlador 𝐺𝑐(𝑠) tiene q polos. Entonces, si no hay cancelaciones de polos-
ceros, el producto 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) tiene N + q polos, lo que es igual a los polos de la planta y los
polos del controlador. Con los ceros de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) denotados por 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, … , 𝑧𝑟 y los polos
denotados por 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑁+𝑞, 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) puede expresarse de la forma factorizada [5]:
𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)
(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞)
B.3
En B.3, K es una constante que contiene los coeficientes importantes de los polinomios del
numerador y del denominador de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠). Al sustituir B.3 en B.2 obtenemos la siguiente
expresión para la función de transferencia de lazo cerrado [5]:
𝐺𝑐𝑙(𝑠) =
𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)
(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞)
1 + 𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)
(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞)
𝐺𝑐𝑙(𝑠) =𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)
(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞) + 𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)
B.4
De B.4 vemos que los polos de lazo cerrado son las N + q raíces de la ecuación [5]:
(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞) + 𝐾(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟) = 0 B.5
Es evidente que los valores de los N + q polos de lazo cerrado dependen del valor de la
constante K. En particular se observa que cuando K = 0, los polos de lazo cerrado son los
mismos que los polos de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) [5].
Debido a que las características del error de seguimiento 𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑦(𝑡) depende
directamente de los valores (o ubicaciones) de los polos de lazo cerrado, en el diseño de un
sistema de control por retroalimentación es más importante conocer las posibles ubicaciones
de los polos que podemos obtener variando K. Por ejemplo, K puede corresponder a un
parámetro (como la ganancia) del controlador que puede elegir el diseñador, en cuyo caso la
pregunta que surge es si existe o no un valor de K que resulte en “buenas” ubicaciones de los
polos. Para responder esto, primero es necesario determinar todas las ubicaciones de los polos
105
de lazo cerrado conforme K se modifica sobre cierto intervalo de valores. Esto nos lleva al
“lugar geométrico de las raíces al 180°” (o el “lugar geométrico de las raíces para K>0”) que
es la gráfica del plano complejo de los N + q polos de lazo cerrado, cuando K varía de 0 a∞.
Debido a que solo se considerara el caso K > 0, se hace referencia al lugar geométrico de las
raíces para K > 0 como lugar geométrico de las raíces. En la construcción del lugar
geométrico de las raíces, a la constante K se le conoce como ganancia del lugar geométrico
de las raíces [5].
Debido a que existen N + q polos de lazo cerrado, el lugar geométrico de las raíces tiene N +
q ramificaciones, donde cada ramificación corresponde a un movimiento de cada polo de
lazo cerrado en el plano complejo, cuando K varía de 0 a ∞. Debido a que los polos de lazo
cerrado son los polos de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) cuando K = 0, el lugar geométrico de las raíces comienza
en los polos de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠). Cuando K se incrementa desde cero, las ramificaciones del lugar
geométrico de las raíces parten de los polos 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠), una ramificación por polo. Cundo
K se aproxima a ∞, r de las ramificaciones se mueven hacia los r ceros de 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) una
ramificación por cero, y las otras N + q – r ramificaciones se aproximan a infinito.
Un número p real o complejo se encuentra en el lugar geométrico de las raíces si y solo si p
es una raíz de (B.5) para algún valor de K > 0. Es decir p se encuentra en el lugar geométrico
de las raíces si y solo si para alguna K > 0 [5]:
(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)⋯ (𝑝 − 𝑝𝑁+𝑞) + 𝐾(𝑝 − 𝑧1)(𝑝 − 𝑧2)⋯ (𝑝 − 𝑧𝑟) = 0 B.6
Al dividir ambos lados de (B.6) entre (𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)⋯ (𝑝 − 𝑝𝑁+𝑞) obtenemos [5]:
1 + 𝐾 (𝑝 − 𝑧1)(𝑝 − 𝑧2)⋯ (𝑝 − 𝑧𝑟)
(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)⋯ (𝑝 − 𝑝𝑁+𝑞)= 0
B.7
Al dividir ambos lados de (B.7) entre K, y reacomodando los términos obtenemos [5]:
(𝑝 − 𝑧1)(𝑝 − 𝑧2)⋯ (𝑝 − 𝑧𝑟)
(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)⋯ (𝑝 − 𝑝𝑁+𝑞)= −
1
𝐾
B.8
106
Entonces p se encuentra en el lugar geométrico de las raíces si y solo si (B.7) es satisfecha
por alguna K > 0.
Ahora si P(s) se define como [5]:
𝑃(𝑠) =(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)⋯ (𝑠 − 𝑧𝑟)
(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)⋯ (𝑠 − 𝑝𝑁+𝑞)
B.9
Entonces 𝐾𝑃(𝑠) = 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠), y en términos de P, B.9 se vuelve:
𝑃(𝑝) = −1
𝐾
B.10
Entonces, p se encuentra en el lugar geométrico de las raíces si y solo si B.10 es satisfecha
por alguna K > 0. Debido a que P(p) es en general un número complejo, B.10 es equivalente
a las siguientes condiciones:
|𝑃(𝑝)| =1
𝐾
B.11
∠𝑃(𝑝) = ±180° B.12
A la condición (B.11) se le conoce como criterio de magnitud y a la condición (B.12) como
criterio de ángulo. Cualquier número real o complejo p que satisfaga el criterio del ángulo
(B.12) se encuentra en el lugar geométrico de las raíces; es decir, si (B.12) es satisfecha
entonces (B.11) es también es satisfecha si [5]:
𝐾 = −1
|𝑃(𝑝)|
B.13
En otras palabras, para le valor de K dado por (B.13), p se encuentra en el lugar geométrico
de las raíces. Este resultado muestra que el lugar geométrico de las raíces consiste en todos
los números p, reales o complejos, tales que el criterio del ángulo (B.13) se satisfaga [5].
107
APENDICE C
SIMULACIÓN DEL PLL EN MATLAB
SIMULINK
SIMULADOR MATLAB SIMULINK
MATLAB SIMULINK es una herramienta de simulación que permite construir por medio
de bloques distintos sistemas empleados en ingeniería. Los bloques que se pueden encontrar
están agrupados por familias, como se muestra en la parte izquierda de la figura C1, estos
mismos pueden ser configurados, lo que permite simular distintas condiciones y observar su
funcionamiento, esta ventaja es la que se pretende aprovechar al simular el PLL.
Figura C1. Herramienta de simulación MATLAB SIMULINK
108
DESCRIPCIÓN DEL BLOQUE PLL
La herramienta SIMULINK posee dos bloques del modelo PLL, los cuales se pueden
encontrar con ayuda del Simulink Library Browser con la siguiente ruta:
Simscape>SimPowerSystems>Control and Measurements Library>PLL.
En la figura C2 se muestran los dos bloques del modelo PLL en SIMULINK, a la izquierda
se muestra el modelo monofásico y a la derecha el modelo trifásico.
Figura C2. Bloques del modelo PLL en SIMULINK
La descripción de cada bloque se obtiene con la opción de ayuda de SIMULINK. En la figura
C3, se muestra el diagrama a bloques del modelo PLL monofásico. Los bloques que
componen el modelo PLL monofásico se conectan entre sí para formar los tres bloques
principales de la estructura general del modelo PLL (figura 8, capítulo 2).
Figura C3. Diagrama de bloques para el modelo PLL monofásico
El detector de fase (phase detector), está formado por la multiplicación entre la señal de
entrada y la función coseno, la señal obtenida como resultado de dicha operación, entra a un
filtro promedio que también está conectado con la salida de frecuencia del lazo. Siguiendo la
estructura general la salida del detector de fase debe estar conectada al filtro de lazo (loop
filter), el cual está representado por el bloque PID Controller, en la misma figura, este bloque
tiene también conectado el control de ganancia automática (automatic gain control). El
109
último bloque de la estructura general es el oscilador controlado por voltaje (voltage
controlled oscillator), así también es esta figura se muestra un oscilador controlado
(controlled oscillator). Las señales de salida del modelo PLL monofásico, son la frecuencia
de la señal de entrada (Freq), la cual es obtenida a través de un filtro pasa-bajas y finalmente
la señal de seguimiento del ángulo de fase de la señal de entrada (ωt).
El diagrama de bloques mostrado en la figura C4, es el modelo PLL trifásico, obtenido con
la opción de ayuda de SIMULINK. La estructura es la misma que el modelo PLL monofásico,
la única diferencia radica en el detector de fase (phase detector) debido a que la
multiplicación por la función seno es sustituida por la conversión abc a dq0.
Figura C4. Diagrama de bloques para el modelo PLL trifásico
Como ya se mencionó, cada bloque posee una ventana de dialogo con opciones para editar
sus parámetros correspondientes.
SIMULACIÓN DE PLL CON CONTROLADOR PI
Primero se enuncian los parámetros que requiere el bloque PLL monofásico y las valores que
se asignaron.
1. Frecuencia mínima (Hz) o minimum frequency (Hz) se mantendrá constante con un
valor de: 59.3 Hz, debido a que es el valor mínimo de frecuencia permitido.
2. Entradas iniciales [fase (grados), frecuencia (Hz)] o initial inputs [phase (degrees),
frequency (Hz)] se mantienen en: 0° y 60 Hz, considerando que la señal de tensión de
entrada es ideal.
110
3. Ganancias o regulator gains [Kp, Ki, Kd], son las ganancias del controlador, se
asignan las del PI [100, 5000, 0].
4. Tiempo constante para la acción derivativa (s) o time constant for derivative action
(s) permanece en: 0.0001 s.
5. Tasa máxima de cambio de frecuencia (Hz/s) o maximum rate of change of frequency
(Hz/s) se mantiene en: 12 Hz/s.
6. Frecuencia de corte del filtro para la medición de frecuencia (Hz) o filter cut-off
frequency for frequency measurement (Hz) se mantienen en: 25 Hz.
7. La simulación se considera en tiempo continuo por lo tanto el tiempo de muestreo o
simple time se mantienen en 0.
8. Control automático de ganancia o automatic gain control no se activa, debido a que
se desea probar las constantes que se
En la figura C5, se muestran estos parámetros.
Figura C5. Parámetros asignados al PLL monofásico con controlador PI
Una vez que se aginaron los parámetros al bloque del PLL, se llama a un segundo bloque el
cual genera la señal de entrada y representa la medición de una fase de la red eléctrica. El
bloque sine wave tiene la siguiente ruta: Simulink>Sources>Sine Wave.
111
Los parámetros se asignan de la siguiente manera:
1. Tipo de seno o sine type, se selecciona basado en el tiempo o time based, debido a
que el análisis se hizo de forma continua y no discreta.
2. Tiempo o time (t), se selecciona usar simulación en el tiempo o use simulation time.
3. Amplitud de la señal o amplitud, se selecciona de valor unitario.
4. Offset o bias, se asigna de 0.
5. Frecuencia (rad/s) o frecuency (rad/sec), se asigna de 2*pi*60, que equivale a 60 Hz.
6. Fase (rad) o Phase (rad), se asigna de cero.
7. Tiempo de muestreo o simple time, dado que es un análisis en forma continua se
asigna de cero.
En la figura C6 se muestran estos parámetros.
Figura C6. Parámetros asignados al bloque generador de la señal seno
Para construir la simulación completa se llama a dos elementos más:
Scope, el bloque tiene la siguiente ruta: Simulink>Comonly Used Blocks>Scope, permite
visualizar la salida de cualquier bloque.
Mux o multiplexor, tienen la siguiente ruta: Simulink>Comonly Used Blocks>Mux, permite
unir dos señales o salidas para ser visualizadas en un mismo scope.
112
La última etapa consiste en unir los elementos, el bloque sine wave a la entrada del bloque
PLL, el primer scope para la salida Freq del PLL, las dos entradas de multiplexor con las
salida del sine wave y la segunda salida del PLL wt (ángulo), la salida del mux a la entrada
del segundo scope. Se pueden asignar nombre distintos a los bloques. El diagrama de bloques
final se muestra en la figura C7.
Figura C7. Diagrama de bloques para PLL monofásico
Se observa que el mux se agregó para mostrar la señal wt o de ángulo, en la misma gráfica
que la señal de entrada a través del scope y observar el seguimiento del ángulo efectuado
por el PLL con respecto la señal de entrada. En el menú Simulation y en la opción Model
Configuration Parameters se configura la simulación, tiempo de simulación, el cual se asigna
en la opción Stop time, se simularon 30 ciclos de 60 Hz por lo que se escribió 30/60, el
método numérico para la solución fue ode45 (Dormand Price). En la figura 21 se muestra
la ventana.
Figura C8. Ventana con parámetros de simulación para el PLL monofásico
113
SIMULACIÓN DE PLL CON CONTROLADOR PID
Para la simulación del PLL monofásico con controlador PID se utilizó el diagrama a bloques y
configuración de la simulación anterior; únicamente se cambió la asignación de ganancias para el
controlador PID, la ventana donde se asignan dichas variables se muestra en la figura C9.
Figura C9. Parámetros asignados al PLL monofásico con controlador PID
114
115
APENDICE D
SIMULACIÓN DEL PLL EN LabVIEW
SOFTWARE LabVIEW
LabVIEW es un software que emplea un lenguaje y un entorno de programación gráfica; los
programas creados pueden funcionar como un instrumento virtual, de tal manera que con un
hardware adicional se pueden adquirir y procesar señales eléctricas, aunque también se puede
realizar simulación. El entorno de programación se muestra en la figura D1 y consisten en
dos ventanas, el Panel Frontal (izquierda), se crea la carátula del instrumento virtual con
ayuda de la ventada de Controles, el Diagrama de Bloques (derecha), se programa el código,
con ayuda de la ventana de Funciones.
Figura D1. Entorno de programación de LabVIEW
BLOQUE PLL EN LabVIEW
LabVIEW cuenta con dos bloques PLL, desde el panel de funciones se pueden encontrar con
la siguiente ruta: Addons>Jitter Analysis>Clock Recovery> PLL, ambos bloques se muestran
en la figura D2. El bloque de la izquierda es el modelo del PLL que requiere coeficientes de
un filtro o controlador distinto a los estudiados; el bloque de la derecha es el modelo PLL de
segundo orden perfecto y representa el modelo estudiado. A diferencia del bloque PLL de
116
SUMULINK este bloque entrega una señal de seguimiento sobre la señal de referencia por
lo que se estima el ángulo y frecuencia con un bloque adicional.
Figura D2. Bloques PLL programados en LabVIEW
Los parámetros que emplea el bloque PLL de segundo orden perfecto son:
1. Señal de entrada o waveform, representa la fase medida de tensión a la entrada del
PLL.
2. Ganancia o gain, representa la k calculada usando lugar geométrico de las raíces, en
cada controlador (PI=100, PID=8.01).
3. Factor de amortiguamiento o damping, parámetro calculado con el lugar geométrico
de las raíces en cada controlador (1 en ambos).
4. Frecuencia del OCV o VCO carrier freq (Hz),se asignó de 3 Hz, después de realizar
varias simulaciones.
SIMULACIÓN DEL PLL CON CONTROLADOR PI Y PID
Los pasos efectuados para realizar el programa de simulación fueron los siguientes:
1. Se llama al bloque PLL de segundo orden perfecto y se crean sus parámetros que
aparecerán en el panel frontal, los cuales son: ganancia de filtro de lazo, factor de
amortiguamiento y oscilador de frecuencia, sus valores ya se mencionaron.
2. Se llama al bloque Simulate Signal y se crean sus parámetros, frecuencia (60 Hz),
amplitud (1 pu), desfase (0°), se debe configurar internamente el bloque para que
genere a una determinada frecuencia de muestreo y un número total de muestras, para
este caso se asignó de 720 Hz y 3000 respectivamente.
3. Se construyen dos arreglos con tamaño igual al número de muestras por ciclo o
NMPC y se conectan a la salida del bloque simulate signal y a la salida del bloque
PLL, después se usan dos bloques biuld waveform que construyen nuevamente las
117
señales que entregan ambos bloques, esto para permitir que la estimación de ángulo
y frecuencia se haga adecuadamente.
4. Se llama al bloque estimador de frecuencia y ángulo de LabVIEW o extract single
tone information, conectándose con la salida de los bloques build waveform
provenientes del PLL y del simulador de la fase de tensión (uno por cada bloque).
5. Se llama al graficador o waveform graph para visualizar la diferencia entre el ángulo
estimado de la señal que simula la fase de tensión la cual se nombra como referencia
y el ángulo estimado de la señal generada por el PLL la cual se nombra como
seguimiento.
6. Se llama al graficador o waveform graph para visualizar el error relativo (se expresa
en %), entre la frecuencia estimada de la señal de referencia y la frecuencia estimada
de la señal de seguimiento.
118
En la figura D3 se muestra el diagrama a bloques del programa.
Figura D3. Diagrama de bloques del simulador para PLL de segundo orden en LabVIEW
119
En la figura D4 se muestra el panel frontal del programa creado, se observan los controles
del PLL, después se visualizan los controles y grafica de la señal de referencia, se muestra la
gráfica de la señal generado por el PLL o seguimiento. En las gráficas siguientes se muestra
el error de ángulo (punto a punto), así como el error relativo de frecuencia en la gráfica
frecuencia de referencia y seguimiento.
Figura D4. Panel frontal del programa para simular el PLL de segundo orden en LabVIEW
120
APENDICE E
DIAGRAMA ELÉCTRICO DE SENSORES DE TENSIÓN
En la figura E.1 se muestra el diagrama eléctrico de los sensores de tensión montados sobre la PCB elaborada como parte del proyecto
de investigación SIP-20140457.
Figura E.1 Diagrama eléctrico de la PCB con cuatro sensores de tensión LV-25P