101

Las vigas son uno de los elementos estructurales mas comnmente empleados en ingeniera.

Dos de las primeras labores que debi afrontar el hombre primitivo fueron las de cubrir espacios(para guarecerse) y salvar distancias (para cruzar una quebrada o un ro).

Seguramente lo primero que emple fueron troncos de rboles para cubrir ramadas y vadearquebradas.

a) Geomtricamente es un elemento estructural que tiene una de sus tres dimensiones muchomas larga que las otras dos.

102

b) Puede estar en voladizo o soportada por dos o mas apoyos y las fuerzas actanperpendicularmente a su eje longitudinal.

Para entenderlo comparmoslas con otros conocidos elementos estructurales: arcos y cerchas

103

Los arcos producen empujes horizontales en los apoyos.

Para contrarrestar este empuje producido sobre los muros, en las catedrales gticas se emplearonlos contrafuertes y los arbotantes.

Otra posibilidad para cubrir el espacio entre dos muros es utilizar dos barras articuladas segn semuestra:

Como se observa, esta conformacin tambin produce empujes horizontales sobre los muros.Para evitarlo en la Edad Media se empez a utilizar una barra adicional en la base (tensor) que impideque las barras se abran y generen empujes horizontales.

Esta estructura simple es considerada la precursora de las cerchas.

104

Recordemos que en el curso de mecnica se vi que una cercha trabajaba de la siguiente forma:

Las barras de la cuerda superior de la cercha quedan a TENSIN y las de la cuerda inferior aCOMPRESIN mientras que las diagonales quedan unas a TENSIN y otras a COMPRESIN.

La aleta superior de la viga en voladizo queda a TENSIN y la aleta inferior a COMPRESINmientras que el alma absorbe las fuerzas internas de TENSIN y COMPRESIN que se generan.

105

Las aletas haran el trabajo equivalente al de las cuerdas inferior y superior: una a tensin y la otraa compresin.

El alma de la viga remplazara las diagonales absorbiendo los efectos de corte.

En resumen: una viga bajo el efecto de fuerzas transversales queda sometida a dos efectosprincipales: FLEXIN y CORTE:

En las vigas la flexin est asociada a momentos flectores y a esfuerzos de tensin en la partesuperior de la viga y de compresin en la parte inferior.

El corte est asociado a esfuerzos cortantes

Estos esfuerzos normales y cortantes deben ser calculados.

106

El primero en estudiar sistemticamente los esfuerzos producidos en las vigas fue Galileo quienen su libro "Discursos y demostraciones matemticas sobre dos nuevas ciencias" publicado en1638 trat el tema de los esfuerzos en una viga en voladizo.

Antes de deducir las expresiones para los esfuerzos establezcamos unas hiptesis iniciales:

El material de la viga es homogneo (el material es el mismo en todos los puntos)

Es continuo (no consideramos poros ni espacios vacos)

Es isotrpico (propiedades iguales en todas direcciones)

Se comporta linealmente y cumple la Ley de Hooke: ( E )

Las secciones de la viga permanecen planas despus de la flexin

Los esfuerzos normales en las vigas son producidos por los momentos flectores.

Por tanto, para calcularlos utilicemos una viga en voladizo sometida slo a momento flector(flexin pura).

107

Para el anlisis separemos como cuerpo libre un tramo de viga de longitud dz :

108

Si las fibras superiores estn a tensin y las inferiores a compresin, debe haber una fibra intermediaque al estar en el punto de transicin entre los dos estados de esfuerzos no quede sometida a ningnesfuerzo: LA FIBRA NEUTRA.

Comportamiento de las fibras

Esfuerzo normal en la fibra 1: 1E Ley de Hooke

yd

ydL1

11

Ey

La ecuacin nos dice varias cosas:

El esfuerzo es directamente proporcional al mdulo de elasticidad E

Mientras mas alejada est la fibra de la fibra neutra, mayor ser el esfuerzo (depende de ladistancia y

El esfuerzo es inversamente proporcional a la curvatura

La ecuacin adems nos muestra que el esfuerzo vara linealmente a travs de la seccintransversal.

109

cuando )max(yy

cuando 0y

cuando )max(yy

Esta distribucin de esfuerzos fue establecida por primera vez por Parent (1666-1716) y Coulomb(1736-1806).

Previamente Galileo (1564-1642)) haba planteado que la distribucin de esfuerzos era de lasiguiente forma:

Y mas tarde, J. Bernoulli (1654-1705) haba propuesto la siguiente distribucin:

compresinmax

tensionmax

0Ey

110

Se ve pues, como transcurrieron mas de 100 aos para llegar a conocer la distribucin correctade los esfuerzos normales a travs de la seccin transversal de una viga.

La ecuacin Ey es til para conocer la variacin del esfuerzo y para entender su relacin

con E y con pero desde el punto de vista prctico no presta ninguna utilidad para calcular el esfuerzopuesto que no conocemos de antemano el radio de curvatura de la viga.

Por tanto, debemos encontrar una expresin que sea til desde el punto de vista prctico:

dAdF

dAdF

111

0xM 0dAyM

0dAEyyM

02

dAEyM

02

dAEyM

02dAyEM

Pero: xIdAy2 (Momento de inercia del rea)

Por tanto: 0EIM

EIM1

Curvatura

Pero tenamos que: Ey por tanto 1Ey

EIM

Ey

Finalmente:

IMy

Frmula de la flexin

112

Ubicacin de EJE NEUTRO:

0zF 00 ydAEdAEydA

0ydAE

0E Puesto que al estar flectada la viga

Por tanto, necesariamente 0ydA

Esto significa que el centro de gravedad de la seccin est sobre el eje neutro, ya que:

AyydA 0 y 0y

En conclusin

Esfuerzo normal producido por flexin I

My

Ubicacin de eje neutro: coincide con el centro de gravedad de la seccin.

113

Ubicacin del eje neutro:

Como se demostr, coincide con el centro de gravedad de la seccin transversal de la viga.

SMM

IMC

cIcompresinmximotensinmax

cIS : Mdulo de la seccin

114

Para vigas con secciones asimtricas:

I

Mc

I

cMmaxmax COMPRESIONTENSION maxmax

1

11 S

MI

Mc

2

22 S

MI

Mc

IMc1

1

IMc2

2

115

MPamcm

cmN

cmcmcmN

IcM

COMPRESIONTENSION 26.911093.925

48609500000

2

24

24max

maxmax

2200 cm/KgENSIONadmisibleT

280 cm/KgOMPRESIONadmisibleC

116

2200 cm/KgENSIONadmisibleTNSIONactuanteTEmax

280 cm/KgOMPRESIONadmisibleCMPRESIONactuanteCOmax

IcM

NSIONactuanteTE1max

max IcM

MPRESIONactuanteCO2max

max

8

2

maxLM

117

112508

3008

22

maxcmLM

322 67353450176673578 cm...AdII B

2200 cm/KgENSIONadmisibleTNSIONactuanteTEmax

280 cm/KgOMPRESIONadmisibleCMPRESIONactuanteCOmax

2AdIIB

21

2211AA

yAyAy

cm.c 5101 55510162 ..c

cm.c 5101 55510162 ..c

510522116

51352255116.

..y

118

200673534

51011250.

.11 985 cm/Kg.

80673534

5511250.

.22 574 cm/Kg.

m/Kgcm/Kg.admisible 4575742

IMc

5.192705.730075.340035

0

B

B

A

RR

M

119

41.25.7225.177

35.722

5.1773

5.722

5.7225.19275.7300400

0

b

bb

R

F

A

y

cmAAA

yAyAyAy 88.5424224

742742224

321

332211

4333

42

56163143

346

3143

96.188188.51085616

cmI

cmI

cmKgmKgM 8706161.870)max(

120

2)max(

2)max( /64.37596.1881

12.887061/01.27296.1881

88.587061 cmKgcmKg CT

2)max(

2)max( /91.29296.1881

88.593750/50.40496.1881

12.893750 cmKgcmKg CT

121

Al actuar una fuerza transversal sobre una viga, produce efectos de corte verticales, debidos a lafuerza cortante V que se genera a lo largo de la viga.

Adems de los efectos de corte verticales tambin se presentan efectos en planos horizontales.Imaginemos la viga formada por una serie de capas horizontales.

Se puede observar el deslizamiento causado por la flexin.

122

Tal como se vi en captulos anteriores la existencia de esfuerzos cortantes verticales exige lapresencia de esfuerzos cortantes horizontales con el fin de garantizar el equilibrio.

Por tanto, un elemento ubicado en el interior de la viga estar sometido a los esfuerzos cortantesque se observan a continuacin.

Si consideramos el elemento mostrado como cuerpo libre no podremos obtener una ecuacunpara debido a que se cancelar en cualquiera de las ecuaciones de equilibrio que establezcamos, ya

sea MFF xyz 00,0

123

Por tanto, tomamos como cuerpo libre un elemento de viga situado de tal manera que su carasuperior coincida con la parte superior de la viga.

124

dAdAbdzF 1z 00 2

bdz

dAdA 12

Ibdz

ydAMM

bdz

dAI

yMdAI

yM12

12

Pero:

dMMM 12 12 My M estn separados una distancia dz

QAyydA Momento esttico del rea. Recordar que:A

ydAy Vdz

dM

La derivada del momento flector es igual a la fuerza cortante.

Por lo tanto:

IbVQ

Variacin del esfuerzo cortante a travs de una seccin transversal rectangular de bxh:

125

En general:

IbVQ

En una viga sometida a una fuerza cortante V tenemos:

V=V AyQ22

1 hyy yhbA2 22

24222

ybyybQ

hhh

12

3bhII b=b

Por tanto: 3

24

12

24

2

3

26

2 bhyV

b

yVb h

bh

h

Si2hy 0

63

224

2

bh

V hh

Si2h

y 06

3

224

2

bh

V hh

El esfuerzo cortante en los diferentes planos de la viga tendr diferenres valores y su variacinser como se ve en las siguientes figuras.

Si y=0 AV

bhV

bhVh

23

33

46

3

2

3

242

6

bh

yV h

126

La curva de variacin de la ecuacin ser:

3

242

6

bh

yV h

es parablica y con los valores encontrados ser la siguiente:

Como se ve, el esfuerzo cortante mximo se presenta a nivel del plano neutro de la viga.

Ib

VQ

127

A

Vmaxmax 2

3

21601610 cmA

0AM KgRR

B

B

18000330005

120018003000

0

A

y

R

F

KgV 900max

A

Vmaxmax 2

322max 44.8160

90023

cmKg

cmKg

128

00yAyQa

01516480900

a

2/46.5151648

150900

1502155

cmKg

AyQ

d

d

Ib

VQ

433

1648512216012

86212

1215900 cmIKgV

129

2/31.2731648

150900

1502155

cmKg

AyQ

c

c

2max

2211

/67.3131648

174900

174305122

cmKg

AyAyAyQ

e

c

130

2max /14 cmKgadmisibleACTUANTE

ACTUANTEmax

131

AV

ACTUANTEmax

max 23

PVmax

21401410 cmcmcmA

2max 14023

cmP

ACTUANTE

22 /141402

3 cmKgcmP

KgPP admisible 67.1306

132

pernocadaresponderdebecuallaporvigaladereaF GAactuanteVIRNOactuantePE

IbVQ

GAactuanteVI

KNV 3

KN.FF ERNOadmisiblePRNOactuantePE 50

133

25224232224

3/1007.1/10/101007.1/1007.1

833.5592915953 mNmcmcmNcmKN

cmcmcmKN

GAactuanteVI

134

0.04emx

F GAactuanteVIRNOactuantePE

maxRNOactuantePE e.m/N.NF 0401007150025

cmcmme 126.11116.0max

Como se dej dicho al principio del curso, existen materiales que son muy resistentes a compresiny muy poco a tensin como el concreto. Dado que en una viga, como se ha visto hay zonas que quedansometidas a esfuerzos de compresin y otras a esfuerzos de tensin, aquellos materiales que como elconcreto son dbiles a tensin debern ser reforzados por materiales que resistan este tipo de esfuerzo,tales como el acero. Este es el principio del concreto reforzado. Se obtiene de esta forma una viga queresistir adecuadamente tanto esfuerzos de tensin (de los cuales se encargar el acero) y de compresin(de los cuales lo har el concreto).

Supongamos una viga de un material que tiene un mdulo de elasticidad E1 la cual va a serreforzada con un material que tiene un mdulo de elasticidad mayor E2.

135

Se trata de que la adhesin entre los dos materiales sea tal, que al producirse la flexin no seproduzca deslizamiento entre la viga y la platina de refuerzo (que trabajen monolticamente).

Variacin de esfuerzos y deformaciones en una viga de 2 materiales:

136

En el punto de contacto B no debe haber deslizamiento entre los dos materiales puesto que justoeste es el fundamento del comportamiento estructural de la viga: que los dos materiales funcionen alunsono, vale decir que la viga trabaje monolticamente.

Por tanto en ese punto de contacto B dos fibras de la viga que dan sometidas a FUERZASIGUALES (pero a ESFUERZOS DIFERENTES).

20 FFF 1x

Por tanto: 2211 AA

137

SiendoA1 y A2 las secciones equivalentes de los dos materiales a fin de que se cumpla el equilibriode fuerzas.

La relacin entre los esfuerzos la obtenemos del hecho de que las deformaciones unitarias de losdos materiales son iguales en el punto de contacto.

21 BB

Como E EntoncesE

Por lo tanto: 22

1

2

2

1

1EE

EE 1

22122

1 AAEE

Y por ltimo 221

21 nAAE

EA

Quiere decir esta ltima expresin que el material 2 puede ser reemplazado por el 1 siempre ycuando su rea se aumente n veces siendo n la relacin entre los mdulos de elasticidad de los dosmateriales. Al aplicarse este concepto se llega al mtodo conocido como el de LA SECCINTRANSFORMADA dado que toda la seccin queda convertida o transformada en una seccin ficticiade uno de los dos materiales. En sta se procede a calcular los esfuerzos tal como se ha hecho en elcaso de secciones homogneas, debiendo tener en cuenta al finalizar el anlisis que el esfuerzoencontrado en la parte que ha sido transformada debe ser multiplicado nuevamente por n con el fin deobtener el esfuerzo que se va a producir en el material real.

12 EE

138

GPaEGPaE maderaacero 10200

KNRKNRRR

FM

AB

AB

yA

2.18.18.13335

00

mKNM 6.328.132.1max

139

2010200

GPaGPa

EEnmadera

acero

Iecc ,, 21

221

2211 67.4200400

12200400 cIAA

yAyAy

33.1767.4221c

140

422 67.2292267.260027200 cmAdII D

433

2720032010

32200 cmID

KPa.mcm

cmN.

cm.cm.cmN

IcMmax

real,madera)max( 627211016272

672292233171003600

2

24

241

KPa.mcm

cmN.

cm.cm.cmN

IcM max

ficticio,madera)max( 4733103473

67229226741003600

2

24

242

KPaKPan ficticiomaderarealacero 149547.74720,)max(,)max(

141

05.020010

GPaGPa

EEn

acero

madera

142

221

2211 67.41020

1210120 cAA

yAyAy

33.1767.4221c

13.114667.2301360 22AdII D

13603

205.03

210 33DI

143

KPan ficticioaceroCrealmaderaC 6.27745549205.0,)max(,)max(

KPaPaficticioaceroC 554921020.554913.114633.171003670 4

,)max(

KPaParealaceroT 7.149531037.149313.114667.41003670 4

,)max(

KParealmaderaC 6.2774,)max(

KParealaceroT 7.14953,)max(

144