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ESPACIO DE ESTADOS
CONTROL CLSICO
El modelado y control de sistemas basado en la transformada de
Laplace, es un enfoque muy
sencillo y de fcil aplicacin. Permite analizar sistemas
utilizando una serie de reglas algebraicas en
lugar de trabajar con ecuaciones diferenciales. En este enfoque
tiene ms valor la simplicidad que
la exactitud.
Sin embargo, la descripcin de sistemas mediante la funcin de
transferencia tiene las siguientes
limitaciones:
No proporciona informacin sobre la estructura fsica del
sistema.
Solo es vlida para sistemas lineales con una entrada y una
salida e invariantes en el tiempo.
No proporciona informacin de lo que pasa dentro del sistema.
Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean
nulas.
Ningn sistema dinmico de inters cumple con estos requisitos, es
decir: Los sistemas reales
presentan no linealidades, pueden tener ms de una entrada o
salida, sus parmetros cambian en
el tiempo y sus condiciones iniciales no siempre tienen un valor
de cero.
Afortunadamente, para muchos sistemas es posible considerar esas
limitaciones, trabajar sobre un
punto de inters, linealizar y utilizar las ventajas del anlisis
por Laplace. Sin embargo otros
sistemas son tan complejos que no es posible utilizar este
enfoque. Para este tipo de sistemas se
utiliza la representacin en espacio de estado. La representacin
es espacio de estado presenta las
siguientes ventajas:
Aplicable a sistemas lineales y no lineales.
Permite analizar sistemas de ms de una entrada o ms de una
salida.
Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo.
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Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.
Proporciona informacin de lo que pasa dentro del sistema.
Resultados sencillos y elegantes.
Sistemas dinmicos y variables de estado
Definiciones bsicas:
Sistema, se entender como una relacin entre entradas y salidas.
Un Sistema es determinista, si a
cada entrada le corresponde una y solo una salida.
Sistema Monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una
salida. Si el sistema tiene ms
de una entrada o ms de una salida se llamar Multivariable.
Sistema causal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para
cierto tiempo t1, no depende de
entradas aplicadas despus de t1. Obsrvese que la definicin
implica que un sistema no causal es
capaz de predecir entradas futuras, por lo tanto la causalidad
es una propiedad intrnseca de
cualquier sistema fsico.
Sistema dinmico. Es aquel cuya salida presente depende de
entradas pasadas y presentes. Si el
valor de la salida en t1 depende solamente de la entrada
aplicada en t1, el sistema se conoce como
esttico o sin memoria.
La salida de un sistema esttico permanece constante si la
entrada no cambia.
En un sistema dinmico la salida cambia con el tiempo aunque no
se cambie la entrada, a menos
que el sistema ya se encuentre en estado estable.
Sistema invariante en el tiempo. Es aquel que tiene parmetros
fijos o estacionarios con respecto
al tiempo, es decir, sus caractersticas no cambian al pasar el
tiempo o dicho de otra forma, sus
propiedades son invariantes con traslaciones en el tiempo.
Estado. Es el conjunto ms pequeo de variables (denominadas
variables de estado) tales que el
conocimiento de esas variables en t=t0 conjuntamente con el
conocimiento de la entrada para t>t0,
determinan completamente el comportamiento del sistema en
cualquier tiempo t>t0.
Representacin por medio de Espacio de Estados
Con la representacin en espacio de estado tenemos la capacidad
de conocer y controlar en cierta
medida la dinmica interna de un sistema y su respuesta. Este
mtodo principia con la seleccin
de las variables de estado, las cuales deben de ser capaces en
conjunto de determinar las
condiciones de la dinmica del sistema para todo tiempo. Pueden
existir varias representaciones
en variables de estado para un sistema.
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El sistema anterior tiene p entradas, q salidas y n variables de
estado.
Analizar el sistema consiste en predecir la respuesta, ante una
excitacin, conocida la energa
inicial del sistema.
La salida depende de las entradas y de las variables de estado
del sistema:
y(t) = f(u(t),x(t))
Para sistemas lineales se tiene que:
y(t) = C x(t) + D u(t) Ecuacin de Salida
Para que la ecuacin sea dimensionalmente compatible se requiere
que:
C debe ser una matriz de q x n
D debe ser una matriz de q x p
En cuanto al comportamiento dinmico del sistema, la ecuacin
diferencial que mide la variacin
del vector de estado con respecto al tiempo, es una ecuacin
diferencial lineal de la forma:
d x(t) = A x(t) + B u(t) Ecuacin de Estado dt
Representada en forma matricial:
x(t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t) + D u(t)
Ecuacin de Estado
(t)u
....
(t)u
(t)u
p
2
1
(t)x
....
(t)x
(t)x
n
2
1
(t)y
....
(t)y
(t)y
q
2
1
(t)u
(t)u
(t)u
bbb
bbb
bbb
(t)x
(t)x
(t)x
aaa
aaa
aaa
(t)x
(t)x
(t)x
pnpnn
p
p
nnnnn
n
n
n
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
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Ecuacin de Salida
Obtencin de Ecuaciones de Estado:
La representacin en espacio de estado puede ser derivada desde
las ecuaciones diferenciales que
representan a un sistema, o desde cualquier arreglo de
ecuaciones diferenciales aunque estas no
representen ningn sistema.
1. Identificar las leyes o teoras que gobiernan el
comportamiento del sistema. Leyes
de termodinmica, Leyes dinmicas, segunda ley de Newton, Ley de
voltajes y
corrientes de Kirchoff, Ley de Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle,
etc.
2. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mnimas
que determinan el
comportamiento dinmico del sistema.
3. Encontrar la dinmica de cada estado. Es decir, encontrar la
razn de cambio
respecto al tiempo de cada variable de estado (su derivada).
Ejemplo:
Sistema Mecnico Masa, Resorte y Amortiguador, encuentre la
representacin en espacio de
Estado
(t)u
(t)u
(t)u
ddd
ddd
ddd
(t)x
(t)x
(t)x
ccc
ccc
ccc
(t)y
(t)y
(t)y
pqpqq
p
p
nqnnq
n
n
q
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
