Sistemas Control Espacio Estados

Análisis Básico de sistemas de Control – Ecuaciones de Espacio

- EstadoDr. Ing. Elmer Córdova Zapata

Generalidades

Definiciones y Conceptos de Control

Generalidades

• Ej. Vehículos Espaciales, Sistemas de Guía, Sistemas piloto automático, etc.

• James Watt – Regulador Centrifujo.

• Minorsky, Hazen y Nyquist.

• Teoría de Control Clásica (Univariables) vs. Teoría de Control Moderna (Multivariables – Estados en el Tiempo).

• Control Optimo, Adaptación y Aprendizaje

Glosario• Variable Controlada (Salida del Sistema)• Variable Manipulada (Entrada del Sistema).• Control (valor medio vs. Valor deseado).• Plantas (Objeto físico a controlarse)• Procesos (Operación a controlar)• Sistemas• Perturbaciones (afecta la salida del sistema)• Control Retroalimentado (Operación ->

perturbaciones -> Reducir Salida vs Entrada de Referencia)

Glosario• Sistemas de Control retroalimentado (Mantener

relación entre Salida vs. Entrada de Referencia)• Servosistemas o Servomecanismos (SCR -

>Salida = Control Mecánico (velocidad o aceleración)).

• Sistemas de Regulación Automática (SCR ->Entrada Ref. o Salida son Constantes – Mantener la salida en el valor deseado).

• Sistemas de Control de Procesos (SRA – Salida (Temperatura, Presión, flujo. Ph, etc.) vs. Cronograma establecido)

Glosario• Sistemas de Control de Lazo Cerrado (SCR).

Variaciones no previsibles.• Sistema de Control de Lazo Abierto (Salida no

tiene efecto en el control Ej. Lavadora *- Calibración). Sistemas en los que se conoce bien las entradas y salidas sin perturbaciones.

• SCLA vs. SCLC (Componentes imprecisos, Estabilidad, Costo = f(Potencia)).

• Sistemas de Control Adaptables (Ajustes en el controlador, Características dinámicas).

• Sistemas de Control de Aprendizaje.

Clasificación de los Sistemas de Control

• S.C. Lineales vs. No Lineales.• S.C. Invariantes en el Tiempo (Parámetros

constantes) vs. Variable en el Tiempo (Ej. Aceleración Vehículo espacial).

• S.C. Tiempo Continuo vs. Tiempo Discreto.• S.C. Una Entrada una Salida vs. Múltiples

Entradas y Múltiples Salidas.• S.C. Parámetros Concentrados vs. Distribuidos.• S.C. Determinísticos vs. Estocásticos

Ejemplos: Sistema de Control de Velocidad

Ejemplos: Sistema de Control de Robot

Ejemplo: Control del Brazo del Robot

Ejemplo: Sistema de Control de la Fuerza de Agarre de la mano de un Robot

Ejemplo: Control Numérico de una máquina

Ejemplo: Sistema de Control de Temperatura de Un Horno

Ejemplo: Sistema de Control de Temperatura de un Auto

Otros Ejemplos

• Sistemas de Control de Tráfico

• Sistemas Biológicos (Ecuaciones de Volterra ampliadas)

• Sistemas de Control de Inventario

• Sistemas Empresariales

Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de Control

• Requisitos Generales de los Sistemas de Control– Todo Sistema de Control debe ser Estable. (absoluta

vs. Relativa), velocidad de respuesta, reducir errores razonablemente.

• Teoría de Control Moderna (TCM) vs. Teoría del Control Clásico (TCC).– La TCC utiliza extensamente la función de

transferencia. Realiza el análisis en el dominio de s y/o el dominio de la frecuencia.

– LA TCM se basa en el concepto de Espacio de Estado, utiliza extensamente el análisis vectorial - Matricial


– La TCC Brinda buenos resultados para sistemas de control de una entrada y una salida, siendo inútil para sistemas de múltiples entradas y salidas.

– LA TCM es buena para sistemas con Múltiples entradas y m múltiples salidas.

– La TCC utiliza los métodos de control convencional (PID, Lugar de Raíces, Respuestas de Frecuencia), están basados más en la comprensión física que matemática.

– La TCM utiliza más métodos (Espacio de Estados) con fuerte análisis matemático, siendo más difíciles de entender que el clásico


• Modelado Matemático– Componentes de un SC (Electromecánicos,

hidráulicos, neumáticos, electrónicos, etc.), los cuales se reemplazan con modelos matemáticos.

– No deben ser muy complicados ni muy simples, representando los elementos esenciales de tal forma que sus predicciones sean bastante precisas.

– Se deben tener en cuenta los isomorfismos.– En Ingeniería del Control se usan ecuaciones

diferenciales parciales invariantes en el tiempo, funciones de transferencia y ecuaciones de estado para modelos matemáticos de sistemas lineales invariantes en el tiempo.

– Las relaciones entradas- salida no lineales se linealizan en la vecindad de los puntos de operación.


• Análisis y Diseño de sistemas de Control.– Análisis: La investigación bajo condiciones

específicas del comportamiento de un sistema, cuyo modelo matemático se conoce.

– Análisis de respuesta transitoria: La determinación de respuesta de una planta a señales y perturbaciones de entrada.

– Análisis de Respuesta en Estado Estacionario: La determinación de la respuesta tras la desaparición de la respuesta transitoria.

– Diseño: Hallar un sistema que cumpla la tarea dada.– Síntesis: Encontrar, mediante un procedimiento

directo, un sistema de control que se comporte de un modo específico.


• Método básico de diseño de Control.– Es necesaria la utilización de procedimientos de

tanteo, por las diversas perturbaciones en los sistemas los cuales incluyen no linealidades

– Índice de Comportamiento: Es una medida cuantitativa del comportamiento, que indica la desviación respecto al comportamiento ideal. Se determina por los objetivos del S.C. Ej. Integral de error a minimizar.

– Ley de Control: La especificación de la señal de control durante el intervalo de tiempo de tiempo operativo. Se busca determinar la ley de control óptimo.


• Pasos de Diseño– Dada una planta industrial, primeramente se deben

elegir sensores y actuadores a apropiados.– Construir Modelos Matemáticos apropiados de la

planta.– Diseñar un controlador de tal modo que el sistema de

lazo cerrado satisfaga las especificaciones dadas.– El controlador es una solución a la versión

matemática del problema de diseño.– Simular el modelo en una computadora para verificar

el comportamiento del sistema, en respuesta a diversas señales y perturbaciones.

– Con los resultados de simulación se debe rediseñar el sistema y completar el análisis correspondiente.

– Construir un prototipo del sistema físico.– Probar el Prototipo hasta cumplir con los requisitos.

Modelado Matemático

Representación de Sistemas Dinámicos en Espacio de Estados

Modelos

• Mentales• Lingüísticos• Gráficos• Matemáticos• Software

Construcción de los Modelos Matemáticos

Modelos Matemáticos

Conceptos Matemáticos Preliminares

• Propiedades de la Transformada de Laplace.– Método Operacional para resolver ecuaciones

diferenciales lineales (EDL).– La EDL se transforma en una operación algebraica

en función de una variable compleja s, se resuelve la f(s) y luego se aplica la transformada inversa de Lapalace.

– Laplace se puede utilizar en técnicas de análisis gráfico para predecir el funcionamiento del sistema sin resolver las EDL.

– Resolviendo las EDL se obtienen componentes de estado transitorio y estacionario en la solución simultáneamente.


• Variables Complejas y Función Compleja.

Conjugado Complejo )(

F(s) de Angulo )/(tan

F(s) de Magnitud )(

realesson F,F :dónde )(

1

22

yx

yx

xy

yx

yx

sFFsF

FF

FFsF

FFsF

js


• Teorema de Euler

)(2

14) )(

2

1)3

de Conjugado Complejo y

:

...!4!3!2

1

:

...!7!5!3

)2 ...!6!4!2

1)1

432

753642

jjjj

jjjj

x

eej

SeneeCos

eeejSenCosejSenCos

entonces

xxxxe

como

SenCos


• Transformada de Laplace

)0( *)(2

1)()(

:Inversa daTransforma

*)()()(

f(t) de Laplace de daTransforma )(

:Laplace de integral lapor sformarse tran

debe precede que cantidad la que indica que Símbolo

compleja variable

0 tpara 0 f(t) que tal t,de tiempodefunción )(

j-c

1

0

0

tdsesF j

tfsFL

dtetfsFtfL

sF

dte

L

s

tf

jc st

st

st


• Aplicar Laplace a las funciones: (Ejemplo)

s

AsF

dteAdteAesFAeL

Aef(t) f(t)

ststtt

t

)(

*)(

: tenemosLaplace de daTransforma la Aplicando

0. tpara ; 0 tpara ;0

:lexponenciafunción la Sea

0

)(

0

Función de Transferencia• Permite caracterizar las relaciones entre la entrada y la

salida de componentes o de sistemas que pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.

• Def.:La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de Entrada (función excitación), bajo la suposición que todas las condiciones iniciales son cero.

)( para

...

...

: tiempoelen invariante lineal sistema el Sea

110

110

mn

xbxbxbxb

yayayaya

mm

nn

Función de Transferencia

nnnn

mmmm

ceroInicialesCondicioes

asasasa

bsbsbsb

sX

sY

EntradaL

SalidaL G(s)

11

00

11

00

...

...

)(

)(

ciaTransferen deFunción

• Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.

• El concepto de función de transferencia esta limitado a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.

• La FT es un método operacional apara expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.

• La FT es una propiedad de un sistema en sí, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función impulsora.

Función de Transferencia• La FT incluye las unidades necesarias para

relacionar la entrada con la salida: no obstante, no brinda ninguna información con respecto a la estructura física del sistema.

• Si se conoce la FT de un sistema, se puede estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una comprensión de la naturaleza del sistema.

• Si se Conoce la FT de un sistema, se puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida del sistema, brindando la descripción de las características dinámicas del sistema.

Sistema de Representación de un Sistema de Control

• Diagrama de bloques:

G(s)

Bloque Funcional Punto de Suma

+-

G(s)+-

R(s) E(s) C(s)

B(s)

G(s)+-

R(s) E(s) C(s)

H(s)

Diagrama de Bloques de un Sistema de Lazo Cerrado

Señales

x y=G(s)*x

Punto de Bifurcación

Funciones de Transferencia del Ejemplo anterior

)(*)()(

)(sHsG

sE

sBFunción de Transferencia

De Lazo Abierto:

)()(

)(sG

sE

sCFunción de Transferencia

Directa:

)(*)(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

Función de Transferencia

De Lazo Cerrado:

Función de TransferenciaDe Lazo Cerrado con AmplificaciónDe la Señal de Entrada K: )(*)(*1

)(

)(

)(

sHsGK

sG

sR

sC

Representación de un SLC sometido a perturbación

• Se pueden considerar las respuestas de las entradas por separado y luego sumarlas.

B(s)

G1(s)+-

R(s) E(s) C(s)

H(s)

++

N(s)

G2(s)

Perturbación

Representación de un SLC sometido a perturbación

)]()(*)([)(*)(*)(1

)(

)()()(

)(*)(*)(1

)(*)(

)(

)(

)(*)(*)(1

)(

)(

)(

121

2

21

21

21

2

sNsRsGsHsGsG

sG

sCsCsC

sHsGsG

sGsG

sR

sC

sHsGsG

sG

sN

sC

NR

R

N

Procedimientos para trazar un Diagrama de Bloques

1. Escribir las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente.

2. Tomar las transformadas de Lapace de éstas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero. Cada transformada se representa individualmente en forma de Bloque.

3. Se integran los elementos en un Diagrama de Bloques completo.

Conversión de Diagramas de BloquesSuma de Señales:

Conexión en Cascada:

=

Conexión en Paralelo:

Conversión de Diagramas de BloquesRetroalimentación:

=

Traslado del Sumador:

Traslado del Punto de Salida:

Ejemplo 1: DB de Circuito

Cs

sIsE

R

sEsEsI

C

idte

R

eei

i

i

)()(;

)()()(

;

00

00

R

iei e0

Laplace:

C

-

+

Ejemplo 1: DB Circuito

1/R+-

Ei(s) E(s) I(s)

E0(s)

(1)

1/CsI(s) E0(s)

(2)

1/R+-

Ei(s) E(s) I(s)

E0(s)

(3)

1/Cs E0(s)

Método del Espacio de Estados

• Teoría de Control Moderna (1960) Concepto de Estado.• Teoría de Control Moderna vs. Teoría de Control

Clásica.– Multivariable vs. Una entrada una Salida– Dominio en el tiempo vs. Dominio en Frecuencia Complejas.

• Estado: Es el conjunto más pequeño de variables (de Estado) tales que el conocimiento de esas variables en t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t >= t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0.

• Variables de Estado: Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico.

Método del Espacio de Estados• Vector de Estado: Si se requieren n variables para

describir el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como elementos de un vector X. Determinando el estado del sistema dado una entrada U(t) t>=0.

• Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados, consiste en el eje X1, X2, … Xn,.

• Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres tipos de variables (Entrada, Salida, Estado)

SISO

MIMO

Método del Espacio de Estados• Las ecuaciones empleadas son de primer orden, que

operan sobre vectores de estado:

u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema, y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema,x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado del sistema, es decir:

Método del Espacio de Estados• Estudiaremos sistemas dinámicos lineales

invariantes en el tiempo, de múltiples entradas y múltiples salidas. Si el sistema es continuo, su modelo corresponderá a las ecuaciones Matriciales:

Las Matrices deben serde tamaño adecuado:

A = Matriz de EstadoB = Matriz de EntradaC = Matriz de SalidaD = Matriz de Transmisión Directa

Ecuación de Estado

Ecuación de Salida

Método del Espacio de Estados

Función de TransferenciaDe un Integrador

Ejemplo 1: Sistema Eléctrico – Circuito RLC

Aplicando la Leyes de Kirchhoff:


Organizando las ecuaciones:

En forma matricial:


Se desea estudiar el comportamiento de Vr(t) e IL(t), sabiendo que Vr(t) = IL*R:

La representación variable estado del circuito RLC:

Las matrices son:

Ejemplo 2:Motor Eléctrico Controlado por campo

Motor de corriente continua controlado por campo, con corriente de armadura Constante. Mueve una carga J, Coeficiente de fricción viscosa B con velocidadangular w(t).

La ecuación es:


Las Ecuaciones son:

Matricialmente:


Representación 1 Espacio Estado: Salida w(t)

Representación 1 Espacio Estado: Variables de estado T(t) y W(t)

Representación Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales – Salida sin derivadas

Método sencillo para sistemas SISO:

El sistema queda unívocamente determinado si se conocen las condicionesIniciales, así:

Representación Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales – Salida sin derivadas

Así, puede escribirse la ED como:

Matricialmente:

Representación Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales – Salida con derivadas

• Colocar método aquí

Relación entre Funciones de Transferencia y Variables de estado

• Sistemas SISO la función de transferencia es:

DBAsICsG 1)()(

Donde A, B, C y D son matrices de:

I es la matriz idéntica correspondiente

Ejemplo: Se tiene de un Sistema Mecánico las siguientes matrices:

0 01 10

10

DC

mB

m

b

m

kA

Relación entre Funciones de Transferencia y Variables de estado

ksbmssG

solviendo

mm

bs

m

ks

sG

mm

b

m

ks

ssG

2

1

1

1)(

:Re

10

*1

*01)(

010

*10

0

0*01)(

Controlabilidad

• Se dice que el estado Xi es controlable en t0 cuando es posible transformar el estado inicial Xi(t0) en el estado deseado Xi(tf) en un tiempo finito, por medio de la selección apropiada de las entradas t en el intervalo [t0,tf].

• Si todos los estados del sistema son controlables en t0, se dice que el sistema es “completamente controlable” en t0.

Observabilidad

• Se dice que el estado Xi es observable en t0 cuando conocido el valor del estado Xi en el tiempo tf, la salida del sistema en el tiempo tf, y conocidas las entradas en el intervalo de tiempo [t0, tf], se puede establecer en forma única cuál era el valor del estado Xi en el tiempo t0.

• Si todos los estados del sistema son observables en t0, se dice que el sistema es “completamente observable” en t0.

Técnicas para determinar la Controlabilidad y la Observabilidad

La Controlabilidad de un sistema depende de las matrices A y B de la representación matricial del modelo.

Un sistema invariante en el tiempo

y con valores característicos de A

no repetidos es completamente

controlable, si y solo si, no hay fila

cero en la matriz :B

B M B 1

M: Matriz Modal de A

El mismo sistema será completamente observable si no hay columnas cero en la matriz

C

C C M

Bibliografía

Documents

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