Espacio vectorial euclídeo - personales.upv.espersonales.upv.es/jromero1/tema5asp.pdf · Introducci on u Hj 6HH U? V U w v f(x) ˇ a 0 2 + n å k=1 a k coskx +b ksenkx Jos e Vicente

Espacio vectorial euclıdeo

Jose Vicente Romero Bauset

ETSIT-curso 2009/2010

Jose Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacio vectorial euclıdeo. 1

Introduccion

��

��

��HHj

6HH

U⊥

u

V

U

w v

f (x)≈ a0

2+

n

∑k=1

ak coskx +bksenkx


Producto escalar

Sea V un espacio vectorial sobre C. Una aplicacion que asocia unnumero complejo < u,v > a cada pareja de vectores u y v en V ,se dice que es un producto escalar sobre V si satisface lassiguientes propiedades para cualesquiera u,v,w ∈ V y α ∈ C:

i) < u,v >= < v,u >.

ii) < u,v + w >=< u,v > + < u,w >.

iii) < αu,v >= α < u,v >.

iv) < u,u >≥ 0.

v) < u,u >= 0↔ u = 0.

A un espacio vectorial con un producto escalar se le denominaEspacio Euclıdeo.


Producto escalarPropiedades

< 0,u >=< u,0 >= 0.

< u + v,w >=< u,w > + < v,w >

< u,αv >= α < u,v >

Ejemplos

Rn : < u,v >=n

∑i=1

uivi = utv.

Cn : < u,v >=n

∑i=1

uiv i = utv.

C([a,b]) : < f ,g >=∫ b

af (x)g(x)dx (funciones reales).

C([a,b]) : < f ,g >=∫ b

aw(x)f (x)g(x)dx , w : [a,b]→ R+ y

las funciones toman valores reales.

Pn : p(x) =n

∑k=1

akxk y q(x) =

n

∑k=1

bkxk , < p,q >=

n

∑k=1

akbk


Norma y angulo

Sea V un espacio euclıdeo. Llamamos norma de un elemento u de V alnumero real positivo

‖u‖= +√< u,u >

Propiedades

‖u‖ ≥ 0.

‖u‖= 0⇔ u = 0.

‖αu‖= |α|‖u‖.‖u + v‖ ≤ ‖u‖+‖v‖ (Desigualdad triangular).

��1

��

��

xy

��1

��

x + y

|< u,v > | ≤ ‖u‖‖v‖ (Desigualdad de Cauchy-Schwartz).

‖u + v‖2 +‖u−v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2 (Ley del paralelogramo).


Norma y angulo

Si V es un espacio vectorial real

−‖u‖‖v‖ ≤< u,v >≤ ‖u‖‖v‖

y para ‖u‖ 6= 0 y ‖v‖ 6= 0

−1≤ < u,v >

‖u‖‖v‖≤ 1.

Existe un unico θ ∈ [0,π] tal que

cosθ =< u,v >

‖u‖‖v‖.

A θ se le llama angulo entre u y v y se denota por θ = ang(u,v).


Norma y angulo

Sea V un espacio euclıdeo. Dados u,v ∈ V se dice que sonortogonales si < u,v >= 0. Ademas, si u es ortogonal a cadavector de un conjunto W ⊂V , se dice que u es ortogonal a W .

Teorema de Pitagoras

Si u y v son dos vectores ortogonales en un espacio euclıdeo V ,entonces

‖u + v‖2 = ‖u‖2 +‖v‖2 .


Proyecciones sobre subespaciosSubespacio ortogonal

Sea V un espacio euclıdeo y U un subespacio vectorial de V . Sellama ortogonal de U en W ,U⊥, al conjunto de todos losvectores de V ortogonales a cualquiera de U

U⊥ = {v ∈ V tal que < v,u >= 0 ∀ u ∈ U} .

Sea V un espacio euclıdeo y U un subespacio vectorial dedimension finita. Entonces todo vector v de V se puede expresarde forma unica como

v = u + w

donde u ∈ U y w ∈ U⊥.

��

��

��HHj

6HH

U⊥

u

V

U

w v


Proyecciones sobre subespacios

Propiedades

U⊥ es subespacio vectorial de V .

U ∩U⊥ = 0.

Si v ∈ V es ortogonal a una base de U entonces v ∈ U⊥.

Si U ⊂W entonces W⊥ ⊂ U⊥.

U =(U⊥)⊥

.

Al vector u se le llama Proyeccion ortogonal de v sobre U y sedenota por proyU(v). El vector w = v −proyU(v) se conoce comoComponente de v ortogonal a U (en ocasiones se le llamatambien Proyeccion ortogonal de v sobre U⊥).


Proyecciones sobre subespacios

Propiedades

proyU es una aplicacion lineal.

ker proyU = U⊥ e Im proyU = U

proyU ◦proyU = proyU

proyU deja invariantes a los elementos de U.

Teorema de la mejor aproximacion

Sea V un espacio vectorial euclıdeo y U ⊂ V un subespaciovectorial de dimension finita. Dado v ∈ V , se cumple

‖v−proyU(v)‖ ≤ ‖v−u‖ , ∀u ∈ U.

U

proyU(v)

v

u

v−u


Bases ortogonales

Sea V un espacio euclıdeo. Un sistema de vectores no nulo de V ,{v1,v2, . . . ,vk} se dice que es un sistema ortogonal si cada vectordel sistema es ortogonal con todos los demas, es decir

< vi ,vj >= 0, i , j = 1,2, . . . ,k , i 6= j .

Si ademas los vectores del sistema son normales o unitarios, esdecir ‖vi‖= 1, i = 1,2, . . . ,k , se dice que es un sistemaortonormal.

Proposicion

Sea V un espacio euclıdeo. Todo sistema ortogonal es linealmenteindependiente.

Sea V un espacio euclıdeo de dimension n. Un sistema de vectores{v1,v2, . . . ,vn} es una base ortogonal (ortonormal) si es unabase y es ortogonal (ortonormal).


Bases ortogonales

Sea {v1,v2, . . . ,vn} una base ortogonal de un espacio euclıdeo V .Dado v ∈ V

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.ww�< vi ,vj >= 0, i 6= j

αi =< v,vi >

< vi ,vi >ww�v =

< v,v1 >

< v1,v1 >v1 +

< v,v2 >

< v2,v2 >v2 + · · ·+ < v,vn >

< vn,vn >vn.

Sea V un espacio euclıdeo y U un subespacio vectorial dedimension finita con una base ortogonal {u1,u2, . . . ,um}, entonces

ProyU(v) =m

∑i=1

< v,ui >

‖ui‖2ui .


Series de Fourier

Se dice que la funcion f definida en R es periodica si existealgun valor T > 0, llamado periodo, tal que

f (x +T ) = f (x), x ∈ R.

Si f es periodica y existe un periodo T0 > 0 mınimo, a T0 sele llama periodo principal.

Ejemplos:

funcion periodo ppal

f (x) = senxf (x) = cosx

2π

f (x) = tanx π

f (x) = k,k ∈ R @Si f es periodica de periodo T entonces∫ T

0f (t)d t =

∫ T+a

af (t)d t,a ∈ R


Series de Fourier

f (x)≈ a0

2+

n

∑k=1

ak coskx +bksenkx


Series de Fourier

El sistema trigonometrico

{1,cosx ,senx ,cos2x ,sen2x , . . . ,cosnx ,sennx}

es ortogonal con respecto al producto usual definido enC([0,2π])(< f ,g >=

∫ ba f (x)g(x)dx)

sena senb =cos(a−b)

2− cos(a+b)

2

senacosb =sin(a−b)

2+

sin(a+b)

2

cosacosb =cos(a−b)

2+

cos(a+b)

2


Series de Fourier

Si f ∈ C([0,2π]) la funcion mas proxima a f de las que pertenecena la envoltura lineal del sistema trigonometrico es

a0

2+

n

∑k=1

(ak coskx +bksenkx)

ak =1

π

∫ 2π

0f (x)coskxdx , k = 0,1,2, . . . ,n

bk =1

π

∫ 2π

0f (x)senkxdx , k = 1,2, . . . ,n


Series de Fourier (periodo arbitrario)

Si f ∈ C([0,T ]) la funcion mas proxima a f de las que pertenecena la envoltura lineal del sistema trigonometrico es

a0

2+

n

∑k=1

(ak cos

2πkx

T+bksen

2πkx

T

)

ak =2

T

∫ T

0f (x)cos

2πkx

Tdx , k = 0,1,2, . . . ,n

bk =2

T

∫ T

0f (x)sen

2πkx

Tdx , k = 1,2, . . . ,n


Ortogonalizacion de Gram-Schmidt

Dado un sistema de vectores linealmente independientes {a1,a2, . . . ,an},vamos a obtener un sistema de vectores ortogonales (ortonormales) quegeneren el mismo subespacio

L(v1, . . . ,vk) = L(a1, . . . ,ak) k = 1, . . . ,n

v1 = a1

v2 = a2−< a2,v1 >

< v1,v1 >v1

v3 = a3−< a3,v1 >

< v1,v1 >v1−

< a3,v2 >

< v2,v2 >v2

...

vn = an−< an,v1 >

< v1,v1 >v1−

< an,v2 >

< v2,v2 >v2−·· ·−

< an,vn−1 >

< vn−1,vn−1 >vn−1

q1 = v1/‖v1‖q2 = v2/‖v2‖

...

qn = vn/‖vn‖



Ejemplo

Calcular una base ortogonal que genere el mismo subespacio queL(1,x ,x2) en el intervalo [−1,1]. Calcular a partir de la baseanterior una base ortonormal.

v1 = 1, < x ,1 >=∫ 1

−1x dx = 0, ‖v1‖2 =

∫ 1

−11dx = 2,

v2 = x−< x ,1 >

< 1,1 >1 = x , < x2,1>=

∫ 1

−1x2 dx =

[x3

3

]1

−1

=2

3, < x2,x >= 0,

‖v2‖2 =< x ,x >=2

3, v3 = x2−< x2,1 >

< 1,1 >1−< x2,x >

< x ,x >x = x2− 1

3,

q1 =v1

‖v1‖=

1√2, q2 =

v2

‖v2‖=

√3√2x , q3 =

v3

‖v3‖=

√45√8

(x2− 1

3

)Jose Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacio vectorial euclıdeo. 19


v1 = 1, ‖v1‖2 =∫ 1

−11dx = 2, q1 =

v1

‖v1‖=

1√2, < x ,

1√2>=

∫ 1

−1

x√2

dx = 0,

v2 = x− < x ,q1 >

< q1,q1 >q1 = x , ‖v2‖2 =< x ,x >=

2

3, q2 =

v2

‖v2‖=

√3√2x ,

< x2,1√2>=

∫ 1

−1

x2

√2

dx =

[x3

3√

2

]1

−1

=

√2

3, < x2,x >= 0,

v3 = x2− < x2, q1 >

< q1,q1 >q1−

< x2,q2 >

< q2,q2 >q2 = x2− 1

3,

‖v3‖2 =< x2− 1

3,x2− 1

3>=

8

45, q3 =

v3

‖v3‖=

√45√8

(x2− 1

3

)


Matrices ortogonales. Factorizacion QR

Una matriz A ∈Mn×n(K) se dice que es ortogonal si sus columnasson vectores ortonormales.

Propiedades

AtA = I

AAt = I

A−1 = At

A conserva el producto escalar canonico, es decir

< Ax,Ay >=< x,y >, ∀ x,y ∈ Rn.



Cualquier matriz A con columnas linealmente independientes puedefactorizarse en un producto A = QR. Q es una matriz del mismo ordenque A con columnas ortonormales y R es triangular e invertible. Si lamatriz original A es cuadrada, tambien lo son sus factores Q y R, yentonces Q sera una matriz ortogonal.


v1 = a1

v2 = a2−< a2,v1 >

< v1,v1 >v1

v3 = a3−< a3,v1 >

< v1,v1 >v1−

< a3,v2 >

< v2,v2 >v2

...

vn = an−< an,v1 >

< v1,v1 >v1−

< an,v2 >

< v2,v2 >v2−·· ·−

< an,vn−1 >

< vn−1,vn−1 >vn−1



q1‖v1‖ = a1

q2‖v2‖ = a2−< a2,q1 > q1

q3‖v3‖ = a3−< a3,q1 > q1−< a3,q2 > q2

...

qn‖vn‖ = an−< an,q1 > q1−< an,q2 > q2−·· ·−< an,qn−1 > qn−1

ww�A= (a1 a2 . . .an) = (q1 q2 . . .qn)

‖v1‖ < a2,q1 > · · · < an,q1 >

0 ‖v2‖ · · · < an,q2 >...

.... . .

...0 0 · · · ‖vn‖

=QR



Ejemplo

Calcular la factorizacion QR de la matriz

A =

1 1 11 −1 11 1 10 1 1

v1 = a1 =

1110

, ‖v1‖=√

3, q1 =v1

‖v1‖=

1√3

1√3

1√3

0

< a2,q1 >=

1√3



v2 = a2−< a2,q1 > q1 =

1−1

11

− 1√3

1√3

1√3

1√3

0

=

1

3

2−4

23

‖v2‖=

√33

3, q2 =

v2

‖v2‖=

1√33

2−4

23

< a3,q1 >=

3√3, < a3,q2 >=

3√33



v3 = a3−< a3,q1 >q1−< a3,q2 >q2 =

1−111

− 3√3

1√31√31√30

− 3√

33

2√33

− 4

332

333

33

=

1

33

−612−624

‖v3‖=2√22

11, q3 =

v3

‖v3‖=

1√22

−12−14

Q =

1√3

2√33

− 1√22

1√3− 4√

33

2√22

1√3

2√33

− 1√22

03√33

4√22

, R =

√3

1√3

√3

0

√33

3

3√33

0 02√22

11


Resumen Fourier

Objetivo

Aproximar una funcion periodica de periodo T por combinacionesde senos y cosenos de periodo T

{1, sen

2π

Tx , cos

2π

Tx , sen

4π

Tx , cos

4π

Tx , . . . , sen

2πn

Tx , cos

2πn

Tx

}Estas funciones son ortogonales con el producto escalar

< f ,g >=∫ a+T

af (x)g(x)dx , a∈R

(usualmente a = 0 o a =−T

2

).

La mejor aproximacion es la proyecccion ortogonal sobre elsubespacio generado por las funciones anteriores

l

∑i=1

< f ,ui >

< ui ,ui >ui


Resumen Fourier

f (x)≈ < f ,1>

< 1,1>1+

n

∑k=1

(< f ,sen 2πkx

T >

< sen 2πkxT ,sen 2πkx

T >sen

2πkx

T+

< f ,cos 2πkxT >

< cos 2πkxT ,cos 2πkx

T >cos

2πkx

T

)

Como < 1,1>=∫ T

0dx =T , < sen

2πkx

T,sen

2πkx

T>=

T

2, < cos

2πkx

T,cos

2πkx

T>=

T

2

f (x)≈∫ T

0 f (x) dx

T1+

n

∑k=1

(2∫ T

0 f (x)sen 2πkxT dx

Tsen

2πkx

T+

2∫ T

0 f (x)cos 2πkxT dx

Tcos

2πkx

T

)que se puede reescribir como

f (x)≈ a0

2+

n

∑k=1

(bk sen

2πkx

T+ak cos

2πkx

T

)con

ak =2

T

∫ T

0f (x)cos

2πkx

Tdx , k = 0,1,2, . . . ,n

bk =2

T

∫ T

0f (x)sen

2πkx

Tdx , k = 1,2, . . . ,n


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