ESPACIOS VECTORIALES

Álgebra Lineal

ESPACIO VECTORIAL Se utilizará la palabra “escalar” para

designar una magnitud. Si los escalares utilizados pertenecen a

números reales , entonces es un espacio vectorial real; y si los escalares pertenecen a los números complejos , entonces es un espacio vectorial complejo.

Al hablar de un vector se refiere a un elemento de un espacio vectorial determinado.

Un espacio vectorial es una colección de vectores

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar .

Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones.

La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v.

La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u.

Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:• axioma de cerradura bajo la suma:

La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.• axioma de la conmutatividad de la suma:

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

axioma de la asociatividad de la suma:

En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado

será siempre el mismo. axioma de la existencia del elemento neutro:

Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo

segundo elemento. axioma de la existencia de inversos aditivos:

Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado

con el da el neutro aditivo. axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:

El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la

suma (de vectores):

En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados.

SUBESPACIO VECTORIAL Se llama subespacio vectorial de un espacio

vectorial V a cualquier subconjunto no vacíoS ⊆ V que es espacio vectorial con las mismas

operaciones definidas sobre V .Debe de cumplir las siguientes condiciones:

El conjunto U es cerrado bajo la suma;

Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que también esta en

U. El conjunto U es cerrado bajo la multiplicación por

escalares;

Cualquier elemento de U multiplicado por cualquier escalar da como resultado un elemento que también está en U.

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