Lab #2 DSP: Short-time Fourier Transform Andrés Nicolás Ballesteros Villamizar

20101005053 – Ing. Electrónica

Brayan Andrés Tapiero Vanegas

20101005023 – Ing. Electrónica

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

I. INTRODUCCIÓN

Una herramienta implementada a la hora de observar de manera detallada el comportamiento de

una serie de tiempo, o una señal, es la Transformada de Fourier, cuyo valor absoluto describe en

forma de amplitud las componentes frecuenciales de dicha función y la fase, si se entra a mirar el

argumento de la operación.

La transformada de Fourier resulta una herramienta no tan adecuada a la hora de realizar

procesamiento de señales, ya que concentra toda la información en frecuencia de la función, pero

descarta todo lo relacionado con el tiempo, lo que no permite observar, como se espera, las

características de la serie en este dominio. Para realizar un análisis adecuado, que permita observar

las componentes de frecuencia y tiempo al tiempo se puede recurrir al Short-time Fourier

Transform, que es una operación similar, implementada para determinar componentes frecuenciales

y de fase de secciones pequeñas de una señal.

La transformada de Fourier se define como:

𝐹𝑇(𝑡) = ∫ 𝑥(𝑡) ∗ 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡 ∗ 𝑑𝑡∞

−∞

Mientras que en el ST Analysis (Short-time Analysis) se declara una ventana de tiempo a

analizar, que puede ser de tipo Hamming (como se implementó en el laboratorio #1) dada como

𝑔(𝑛) = 0,54 − 0,46 ∗ 𝐶𝑜𝑠 (2𝜋𝑛

𝑁−1), y queda entonces su transformada de Fourier definida como:

𝑆𝑇𝐹𝑇(𝑡, 𝜏) = ∫ 𝑥(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡 − 𝜏) ∗ 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡 ∗ 𝑑𝑡∞

−∞

Donde se puede observar que únicamente se contemplan los componentes de frencuencia en un

instante de tiempo, determinado por la ventana, que debería envolver la señal en dicho espacio. Las

ventanas (como en el laboratorio #1) poseen 3 características principales, el tamaño (𝑉), la

separación de ellas (𝐷) y la distancia del espacio a trabajar (𝐿). De acuerdo con lo cual se puede

obtener el número de ventanas 𝑁 = 𝑐𝑒𝑖𝑙((𝐿 − 𝑉)/𝐷).

Una de las maneras de representar este tipo de análisis es mediante un espectrograma, cuyos ejes

son las ventanas de tiempo, la frecuencia y la magnitud (que puede ser representada en dBs). Ya ha

sido visto cómo se puede obtener este último valor, ahora, para el tiempo y la frecuencia se realizan

las siguientes operaciones:

𝑡𝑗 =(𝑗 − 1)𝐷 + 𝑉

2⁄

𝑓𝑠

𝑠𝑒𝑔 𝑦 𝑓𝑘 =𝐾

𝑉𝑓𝑠 𝐻𝑧

; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓𝑠 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙

II. ESPECTROGRAMA SEÑAL DE VOZ FEMENINA

En este reporte se presenta el espectrograma (ST analysis) de la señal de voz femenina, junto con

observaciones realizadas al variar el tamaño y separación de las ventanas implementadas.

Debido a que la señal de voz se considera una señal de naturaleza no estacionaria y que por ende

posee información, se hace necesario realizar el respectivo análisis de esta misma a través de

ventanas, para lo cual se implementa una de tipo Hamming (ver sección anterior).

La señal consta de 39120 muestras, la frecuencia de muestreo corresponde a 8000 muestras por

segundo y el número de bits por muestra es 16. La clasificación se desea realizar en ventanas de

50ms de duración, es decir, ventanas de 400 muestras, y cada ventana a su vez se ha separado entre

si 200 muestras. Luego, el número de ventanas es de 194. Una vez determinado el número de

ventanas, se procede a realizar el espectrograma de la señal. La Figura 2, muestra los resultados

respectivamente.

Fig. 2 Espectrograma de la señal con ventanas de 400 muestras separadas por 200 muestras.

Al experimentar un poco variando el tamaño de la ventana y la separación de estas se puede

observar lo siguiente:

Fig. 3 Espectrograma de la señal con diferentes ventanas y diferentes separaciones.

Donde se pueden notar diferencias, pequeñas en algunos y en otras significativas, con respecto al de

referencia (el de la mitad), lo que podría indicar mayor o menor cantidad de información

recolectada en frecuencia para ese instante de tiempo que abarca la ventana.

III. CONCLUSIONES

La STFT (short-time Fourier transform) propone una solución al problema de una única gráfica

para mostrar todos los componentes de frecuencia para una señal completa, ésta son transformadas

de Fourier en instantes de tiempo más cortos, determinado por una ventana de cierta forma

(Hamming). Al variar el tamaño de dichas ventanas y su distancia, se puede ver que las

concentraciones de amplitud sobre ciertas frecuencias en espacios determinados se incrementan o

disminuyen, permitiendo notar diferencias, un poco menos difíciles de entender, entre una letra y

otra, para algunas de las combinaciones. Por ejemplo, para las ventanas más grandes con

separaciones más grandes, componentes de magnitud en momentos de silencio se filtran, haciendo

más difícil su diferenciación (mostrando un color más oscuro). Otro es el caso de las ventanas más

pequeñas con separaciones también de esta medida, en las que en los instantes de tiempo se

observan componentes de todas las frecuencias, lo que hace difícil su diferenciación del resto.

Por lo observado se puede inferir que se presenta un problema de resolución entre frecuencia y

tiempo, para lo cual se debe buscar un valor intermedio entre ambas variables que permita la mejor

observación posible de las concentraciones de amplitud dada por la pronunciación de cada letra.

BIBLIOGRAFÍA

ALZATE, Marco Aurelio. Apuntes de clase. 2015

FLORES, Andrés. Reconocimiento de palabras aisladas en castellano. Inictel, Dirección de

investigación y desarrollo; 1993.