Estad2

7/18/2019 Estad2

http://slidepdf.com/reader/full/estad2 1/26

Probabilidad y Estadística M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.

Noviembre 2009 19

Fundamentos de la teoría de la probabilidad

M. en A. Víctor D. Pinilla Morán

Facultad de Ingeniería, UNAM

Resumen

Fenómenos determinista y aleatorio. Fenómenos aleatorios discretos ycontinuos. Espacio muestral de un fenómeno aleatorio. Puntos o eventos

elementales de un espacio muestral. Eventos, Eventos discretos ycontinuos. Eventos mutuamente excluyentes y colectivamenteexhaustivos.

El concepto de probabilidad a través de diferentes escuelas: clásica,frecuentista y subjetiva.

Definición axiomática de probabilidad. Teoremas derivados de la

definición axiomática.

Probabilidad condicional. Eventos independientes. Probabilidad total.

Teorema de Bayes.

2.1 Experimentos deterministas y aleatorios.Espacio muestral de un experimento aleatorio.Eventos. Eventos discretos y continuos.Eventos mutuamente excluyentes ycolectivamente exhaustivos.

Fenómeno. Un fenómeno es considerado como

un sinónimo de un experimento y se definecomo toda aquella acción que se realiza con elfin de observar el resultado.

Por su naturaleza pueden clasificarse de varias

formas:

Por la capacidad de predecir el resultado:

Determinísticos. Es aquel fenómeno cuyo

resultado se puede predecir con certeza.

Aleatorios. Es aquel fenómeno en el cual

no se puede predecir con certeza el

resultado.

Por la capacidad de enumerar los resultados:

Continuos. Se considera a un fenómeno

como continuo cuando el número posible

de observaciones o resultados no es un

conjunto medible, es decir, los resultados pueden tomar cualquier valor.

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 20

Discretos. Se considera un fenómeno

como discreto cuando el número posible

de observaciones o resultados es un

conjunto, en el cual se puede determinar

con certeza su tamaño, es decir, los

resultados toman valores establecidos.

Espacio muestral. Es el conjunto de todos los

posibles resultados de un experimento;

constituye el conjunto universal de todas las

observaciones. Se suele denotar por la letra S.

En general, un evento es un fenómeno aleatorio,es decir, aquel cuyo resultado depende del azar.

En la práctica, si bien un evento puede denotar

un conjunto total de resultados de experimentos,

para cual se utiliza la notación de conjuntos

denominándolo por una letra mayúscula, en

ocasiones denota también un sólo resultado de un

fenómeno o experimento, es decir, un elemento

de un conjunto.

Evento: Algo que ocurre al azar.

Acto: Algo que ocurre con la intervención

humana.

Hecho: Algo que ocurre al azar con la

intención humana.

Evento Elemental. Un evento elemental o

simple es aquel cuyo espacio muestral está

compuesto por un sólo elemento.

Evento Compuesto. Es aquel que en dos o más

cantidades compone un espacio muestral.

Evento Continuo. Es aquel cuyo resultado que puede tomar cualquier valor.

Evento Discreto. Es aquel cuyo resultado sólo

puede tomar determinados valores.

Eventos mutuamente excluyentes. Si se tienen

dos eventos A y B, los eventos mutuamente

excluyentes son aquellos en donde la ocurrencia

de uno implica que el otro no puede ocurrir.

Eventos colectivamente exhaustivos. Son

aquellos cuya unión conforma totalmente el

espacio muestral.

Donde: S Z C B A =∪∪ ...

A ED U

B G FC

Proceso de conversión analógica – digital en donde seobservan las diferencias entre una señal continua(analó ica ) una señal discreta (di ital binaria)

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 21

2.2 El concepto de probabilidad a través dediferentes escuelas: la clásica, la frecuentista yla subjetivista, mediante el cual se asignanprobabilidades a los eventos. Cálculo deprobabilidades utilizando combinaciones ypermutaciones.

La Probabilidad resulta de la inquietud delhombre por buscar una solución a sucesos cuyo

resultado depende en mayor o menor medida del

azar. Nace con la simple inquietud de establecer

una regla para dominar los juegos de azar, de

buscar la fórmula mágica para conocer de

antemano el resultado de dichos experimentos.

La probabilidad basa sus fundamentos

matemáticos en tres interpretaciones: la clásica,

la frecuentista y la subjetiva. Las tres

interpretaciones partes de un grupo de axiomas

de los cuales se desprende una serie de análisis y

herramientas que permiten establecer patrones de

comportamiento de determinados experimentos.

Enfoque clásico

Este enfoque está basado en el principio de la

razón insuficiente. El principio de la razón

insuficiente, o principio de indiferencia, fue

utilizado por el matemático Jacobo Bernoulli

(1645 – 1705) para definir probabilidades. Este

principio señala que cuando no hay fundamentos

para preferir uno de los posibles resultados o

sucesos a cualquier otro, todos deben

considerarse que tienen la misma probabilidad de

ocurrir.

Si en el caso del lanzamiento de un dado, se

considera que cualquier cara tiene las mismas

probabilidades de aparecer, dado que no hay

elementos que indiquen lo contrario, a menos

que se aclarara que se utilizará un dado cargado.

El matemático francés P. S. Laplace (1749 –

1827) estableció este principio en su libro A

Philosophical Essay on Probabilities de esta

manera: “La teoría de la probabilidad consiste en

reducir todos los elementos de la misma clase a

un cierto número de casos igualmente posibles,

es decir, nosotros debemos estar igualmente

indecisos ante su existencia y para determinar la

cantidad de casos favorables para el suceso que

cuya probabilidad se busca. La relación de este

número con el de todos los casos posibles, es la

medida de la probabilidad, que es, por tanto,

sencillamente una fracción cuyo denominador es

el número de todos los casos posibles”.

Este principio de la razón insuficiente tiene

varias características, una de las cuales es que

supone una simetría entre los sucesos. Así se

habla de un dado no cargado, de una moneda no

cargada, de una baraja de cartas sin trucos, etc.

La otra es que se basa en razonamientos

abstractos y no depende de la experiencia.

La hipótesis de la simetría reduce el campo de

aplicación de este principio, ya que, como se

advertirá más adelante, muchos experimentos no

poseen simetría. Por otra parte, puesto que loscálculos de la probabilidad no dependen de la

experiencia, esto permite calcular las

probabilidades sin realizar una gran serie de

ensayos. Este tipo de experimentos se denominan

algunas veces a priori.

Enfoque frecuentista

En su libro Foundations of the theory of

probality (1933), el matemático ruso A.N.

Kolmogorow explica este enfoque en relacióncon los experimentos de lanzar una moneda al

aire. Existen dos posibles resultados, E1 (águila)

y E2 (sol); Kolmogorow se dio a la tarea de

repetir el experimento 200 veces y tabular los

resultados. A partir de la ordenación de losmismos, obtuvo las frecuencias relativas de los

resultados, dividiendo el número de águilas entre

el total de resultados, concluyendo que las

fluctuaciones de las frecuencias relativas varían

considerablemente cuando n (número deexperimentos) es pequeña, pero cuando n es

grande , la amplitud de las fluctuacionesdisminuye. Este fenómeno se expresa diciendo:

La frecuencia relativa resulta estable o la

frecuencia relativa presenta regularidad

estadística conforme n crece.

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 22

Con esto podemos suponer (formar una opinión

o juicio con evidencia insuficiente) que cuando

el experimento E i se repite una gran cantidad de

veces, la frecuencia relativa de un experimento

podría ser prácticamente igual a un valor P, con

un elevado grado de certeza.

Siguiendo este tipo de razonamiento se construyeun modelo matemático ideal y abstracto de este

experimento que se postula como sigue: dado un

experimento E y un evento A, podemos asignar

un número P al evento A, el cual se denomina

probabilidad del evento A. Ese número P tiene

las siguientes características: Cuando el

experimento E se repite una gran cantidad de

veces (n) y el experimento sucede m veces, la

frecuencia relativa m/n será prácticamente igual a

ese número P.

El número P, que se llama probabilidad del

evento A, se denota por P(A).

La P(A) cumple con ciertos preceptos: Primero,

m ≤ n; es decir, el número de casos que aparece

m es igual o menor al número de veces n queaparece el experimento. Es decir, la frecuencia

relativa es igual o menor a la unidad.

1≤nm

Segundo, si no se presenta la ocurrencia de un

águila, entonces m = 0 y

0=n

m

por lo tanto:

10 ≤≤nm

lo que equivale a:

1)(0 ≤≤ AP

Puede percibirse que el hecho de que P(A) = 0 no

asegura que el evento A sea imposible. De la

misma forma, P(A) = 1 no asegura la ocurrencia

cierta del evento A.

Este enfoque posee cuatro características:

1.

Supone una gran cantidad de ensayos.

2. Supone la regularidad estadística.

3. La P(A) se estima por la frecuencia

relativa de A.

4. Está basada en la experiencia.

Este enfoque es el principio en el cual se

fundamentas los estudios probabilísticos

desarrollados en los años cincuenta,

principalmente en Inglaterra y los Estados

Unidos. No obstante, este enfoque presenta

limitaciones, particularmente en lo que a susvalores extremos se refiere, frente a la necesidad

de evaluar experimentos que no se producen

realmente o no se pueden repetir.

Una corrección a este enfoque, citado en la

literatura como segundo enfoque frecuentista,

define a la probabilidad como el límite de m/n

cuando n tiende a infinito:

n

m Lim AP n ∞→=)(

Obsérvese que en el primer enfoque se dice sólo

que P(A) y m/n son prácticamente iguales

cuando n es grande, mientras que en el segundo

enfoque se dice que P(A) es el límite de m/n

cuando n tiende a infinito.

En el primer punto de vista se da un número

P(A) para el evento A y se le llama probabilidad

de A. En el segundo P(A) es el límite de un

proceso.

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 23

Enfoque subjetivo

Formulado por L.J. Savage (1954) establece:

“Un punto de vista personalista sostiene que la

probabilidad mide la confianza que tiene un

individuo determinado en la verdad de una

proposición particular ”.

Este punto de vista permite interpretar a las

probabilidades como ponderaciones atribuidas

conforme la confianza personal) o subjetiva) en

el resultado de un experimento. Este enfoque se

aplica a experimentos que todavía no ocurren o

que lo hacen una sola vez y no requiere un

experimento con gran cantidad de ensayos ni la

hipótesis de regularidad estadística.

El primer enfoque frecuentista se puede

interpretar con base en el enfoque subjetivista. El primer enfoque frecuentista asigna un número

P(A) a la ocurrencia del evento A, que proviene

de la frecuencia relativa m/n del evento A

(cuando el experimento se realiza un número

grande de veces). En el enfoque subjetivo, P(A)

es la medida de la confianza que una persona

razonable asigna a la ocurrencia del evento A. En

ambos casos, la frecuencia relativa y la

asignación con base en la confianza de

ocurrencia, dependen de la experiencia.

Eventos colectivamente exhaustivos. Son

aquellos cuya unión conforma totalmente el

espacio muestral.

Donde: S Z C B A =∪∪ ...

Teoría del Conteo. También conocida como

análisis combinatorio; permite determinar el

número posible de resultados lógicos que cabe

esperar al realizar algún experimento o evento

sin necesidad de enumerarlos todos.

El análisis combinatorio contempla varios casos:

Principio fundamental del Conteo. Aunque

algunos autores consideran que el Principio

Fundamental del Conteo se compone únicamente

de la Regla del Producto, es un hecho que dicha

regla, junto con la Regla de la Suma conforman

los elementos fundamentales que permites

definir a cualquiera de los casos que conforman a

la Teoría del Conteo.

Regla de la suma. Si un evento puede ocurrir de

m formas distintas y otro puede ocurrir de n

formas distintas, existen entonces m+n distintas

formas en las que uno de esos dos eventos puede

ocurrir.

Regla del producto. Si un evento puede ocurrir

de m formas diferentes y otro puede ocurrir de n

formas distintas, existen entonces mxn distintas

formas en las que los dos eventos pueden ocurrir.

Ejemplo. Se dispone de una urna que contiene

esferas grabadas con alguna letra de acuerdo a lo

siguiente:

A = { a, b, c, d, e} B = { α,β,γ }

A ED U

B G FC

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 24

Primer experimento: de cuántas formas se

puede seleccionar una sola esfera, sin importar el

alfabeto al que pertenezca la letra grabada en

ella.

La respuesta es: se puede seleccionar una esfera

con una letra latina o una con una letra griega.

1° Experimento = ⎨ selecciona una esfera ⎬ →

5+3 =8

Segundo experimento: de cuántas formas se

puede seleccionar dos esferas simultáneamente si

cada una de ellas debe tener letras de alfabetos

diferentes.

2° Experimento = ⎨ selecciona dos esferas ⎬ →

5X3 = 15

Puede percibirse que en el primer experimento

no hay relación alguna entre los alfabetos, ya que

no importa a cual de ellos pertenece la letra

grabada en la esfera; es decir, no hay

dependencia entre el evento A y B.

Por otra parte, en el segundo experimento sí hay

una relación directa entre los posibles resultados,

ya que deben ser las letras de cada una de las dosesferas de alfabetos diferentes.

En el experimento uno, hay independencia entre

los eventos. En el segundo, los eventos son

dependientes. Asociando estas definiciones a la

lógica matemática:

Corolario:

1) Cuando se trata de eventos independientes se

aplica la regla de la suma.

2) Cuando se trata de eventos dependientes se

aplica la regla del producto.

Ejemplo. Para ir de CU a la Villa se dispone de5 camiones. ¿De cuantas maneras diferentes

puede ir una persona de CU a la Villa y regresar

a CU en camiones diferentes?

1° viaje → CU a la Villa = 5 camiones

2° viaje → La Villa a CU = 4 camiones porque

se utiliza uno menos

El 1° y 2° viajes son eventos dependientes, por lo

que

5X4 = 120 formas diferentes

Ejemplo. En un librero se tienen 22 libros, de los

cuales 5 están en inglés, 7 en alemán y 10 en

francés.

a) ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 2

libros que están escritos en idiomas

diferentes?

Los posibles resultados son extraer parejas de

libros en:

Inglés y Alemán, ó Inglés y Francés, ó Alemán y

Francés.

Aritmética LógicaMatemática

Álgebra deConjuntos

+SUMA

“o”CONJUNCIÓN

∪ UNIÓN

X

PRODUCTO

“y”

DISYUNCIÓN

∩

INTERSECCIÓNA

BC

D

EΑ

Β

Γ

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 25

Lo cual matemáticamente es:

(5)(7) + (5)(10) + (7)(10) = 155 formas

diferentes

b) ¿ De cuántas maneras se pueden seleccionar 2

libros sin importar el idioma en que están

escritos?

1° libro 22 opciones

2° libro 21 opciones

∴(22)(21) = 462 formas diferentes.

Ejemplo. Para ir del punto A al punto B existen

3 caminos y para ir del punto B al C hay dos

caminos.

a)

¿De cuántas maneras diferentes se puede

viajar de A a C pasando por B?

A → B = 3

B → C = 2 2X3 = 6 formas

b) De cuantas maneras diferentes se puede ir de

A a C pasando por B y regresar a B?

A → C = 6

C → B = 2 6 X 2 = 12 formas

c) ¿De cuántas maneras diferentes se puede

hacer un viaje redondo de A a C a A si no se

permite usar cada camino más que una vez?

A → B = 3

B → C = 2

C → B = 1

B → A = 2 3X2X1X2 = 12 formas

Ejemplo. ¿De cuántas maneras se pueden hacer

viajes redondos que inicien en A y regresen al

mismo punto, teniendo en cuenta que los tramos

sólo pueden ser recorridos en el sentido indicado

en la figura?

A → B = 2

B → C = 1

C → B = 1

B → A = 2 2X1X1X2 = 4

Ejemplo. Cuántos números diferentes mayores

de 246 se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,

si no se permite repetir dígitos en un mismonúmero formado?

Números de 3 cifras.

> 246

2op. 3op 2op ⇒ (2)(3)(2) = 12

Números de 4 cifras.

> 246

4op 3op 2op 1op ⇒ (4)(3)(2)(1) = 24

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 26

Si ahora se pretende la repetición en la formación

del número mayor que 246, ¿De cuántas maneras

se pueden formar de 3 y 4 dígitos?

a) De tres dígitos.

> 246

2op 4op 4op ⇒ (2)(4)(4) = 32

De cuatro digitos.

> 246

4op 4op 4op 4op⇒ (4)(4)(4)(4) = 256

Ordenaciones sin repetición. Se entiende por

ordenaciones de n objetos tomando r de ellos a la

vez, sin repetirlos, a los diferentes grupos que se

pueden formar al seleccionar r de los n objetos

guardando cierto orden.

Conjunto A = { a, b, c } n = 3

• Ordenaciones tomando 1 elemento (r = 1)

a b c

. . . Tres formas

• Ordenaciones tomando 2 elementos (r = 2)

ab ac ba

bc ca cb

. . . Seis formas

• Ordenaciones tomando 3 elementos (r = 3)

abc acb bac bca cab cac

. . . Seis formas

Se les conoce como ordenaciones porque al

existir un orden al formar los diferentes arreglos,

son ordenaciones diferentes ab y ba o abc y bac.

El número de formas en que se pueden ordenar r

de n objetos equivale a colocarlos en r

localidades. Existen n formas de llenar la primera

localidad, n-1 formas de llenar la 2ª

, y asísucesivamente, existirán n-r+1 formas de llenar

la r-ésima localidad.

n n-1 n-2 n-r+1

1 2 3 ……… r r 0n ≥ r

A partir de la regla del producto:

( ) ( )( )( ) ( )1...321, +−−−−= r nnnnnr nO

Por otra parte:

( )( )( ) ( )( )( )123...1,! −−−= r nr nr nOn

( ) ( )( ) ( )( )( )123...1! −−−=− r nr nr n

( )( )!,! r nr nOn −=

( )( )!

!,

r n

nr nO

−=

Del ejemplo anterior:

Arreglos de una letra r = 1

( )( )

3!13

!31,3 =

−=O

Arreglos de dos letras r = 2

( )( )

6!23

!32,3 =

−=O

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 27

Arreglos de tres letras r = 3

( )( )

6!33

!32,3 =

−=O

Para este tipo de arreglos se cumple nr <

Ejemplo. Calcular el número de arreglos

diferentes de 4 letras que se pueden formar con

las letras de la palabra Volkswagen si en los

arreglos no se permite tener letras repetidas.

10 Letras n = 10 r = 4

5040!6

!6*7*8*9*10

)!410(

!10)4,10( ==

−=O

arreglos

Ejemplo. Se dispone de los dígitos 2,3,5,6,7,9

a) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden

formar?

120

)!36(

!6)3,6( =

−

=O números.

b) ¿Cuántos son pares?

2Para el dígito menos

significativo (par)

6

5 posibilidades para el resto

Total = (2)(20) = 40 números pares

¿Cuántos son impares?

3,5

7,9

O(5,2) = 20

Total = ( 4 )( 20 )= 80 números impares.

d) ¿Cuántos múltiplos de 5?

5

Total = ( 1 )( 20 ) = 20 números múltiplo de 5.

Ordenaciones con repetición. Son aquellas

ordenaciones en las cuales pueden repetirse los

objetos que la forman.


Tomando 1 letra : a b c

. . tres arreglos

Tomando 2 letras: aa ab ac

ba bb bc

ca cb cc

. . . nueve arreglos

Tomando 3 letras: aaa aab aac

aba abb abc

aca acb acc

2)!12(

!2)1,2( =

−=O

20)!25(

!5)2,5( =−=O

4)!14(

!4)1,4( =

−=O

1)!11(

!1)1,1( =

−=O

20)!25(

!5)2,5( =

−=O

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 28

baa bab bac

bba bbb bbc

bca bcb bcc

caa cab cac

cba cbb cbc

cca ccb ccc

. . . 27 arreglos

Si consideramos que tenemos r lugares

disponibles para colocar n objetos, los cuales se

pueden repetir, existen n formas para la primera

posición, n para la segunda, n para la tercera y

así consecutivamente.

1 2 3 r

Por la regla del producto:

OR(n,r) = n*n*n*n*n*………n = nr

( ) r nr nOR =,

En este caso, r ≥ n.

Ejemplo. Para controlar a los vehículos de la

República Mexicana se tiene una placa de

identificación que consiste de 3 letras y tres

números con este sistema. ¿Cuántos vehículos se

pueden controlar como máximo?

Total Letras = 26 Total Dígitos = 10

OR (26,3) = 17,576 OR(10,3) = 1,000

Total de vehículos = (17,576)(1000)

= 17,576,000

Para el DF, la placa se forma con el número

primero y las letras después de estas últimas la

primera sólo puede ser a,b,c,d

OR (26,2) = 676 OR (10,3) = 1000

Total de vehículos = (676)(1000)(4)= 2,704,000

Ejemplo. Se tienen 20 banderas de las cuales 5

son blancas, 5 son rojas, 5 negras y 5 azules.

Calcular el número de señales diferentes que se

pueden formar al colocar 5 banderas

simultáneamente en un asta bandera.

Colores = 4 n = 4 Posiciones = 5

Total de señales = OR(4,5) = 45 =1024

Ejemplo. Cuántos lenguajes se pueden formar

con el punto y la raya del alfabeto morse, si en

cada uno de ellos se puede utilizar hasta 4

elementos.

N = 2 (dos signos)

Lenguaje 1 signo OR ( 2,1 ) = 2




Total = 30 lenguajes

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 29

Permutaciones. Son las ordenaciones de esos

mismos n objetos tomados todos a la vez.

En este caso: r = n

Pn = O(n,n) = n!

Ejemplo. Si se tienen 3 letras = a b c ; ¿Cuantas

ordenaciones de tres letras se pueden hacer?

abc, acb, cba, cab, bac, bca = 6 formas

P3 = 3! = 6

Ejemplo. ¿De cuántas maneras se pueden

colocar 10 libros, si 4 de ellos deben estar

siempre juntas?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dado que cuatro de ellos deben permanecer

juntos, en realidad existen siete libros permutables.

P7 = 7! = 5040

Por otra parte, los cuatro libros que deben

permanecer juntos también son permutables.

P4 = 4! = 24

Total de arreglos = 5040X24 = 120,960

Si ahora se desea que el grupo de 4 libros esté

siempre en el mismo lugar, de cuantas maneras

se pueden colocar.

P6 = 6! = 720 (seis libro permutables)

P4 = 4! = 24

Total de arreglos = 720 * 24 = 17,280

Permutaciones con repetición. Son las

ordenaciones con repetición cuando se toman los

n elementos a la vez, es decir, cuando r = n.

( ) nn nnnORPR == ,


aaa aab aac

aba abb abc

aca acb acc

baa bab bac

bba bbb bbc

bca bcb bcc

caa cab cac

cba cbb cbc

cca ccb ccc

. . . 27 arreglos

Permutaciones con grupos de elementosrepetidos. A partir del siguiente ejemplo:


Las seis permutaciones son:

abc, acb, cba, cab, bac, bca

Ahora, si en el conjunto A se hace el cambio de

un elemento:

Conjunto A = { a, b, a } n = 3

Las seis permutaciones son:

a ba, aa b, a ba, aa b, baa, baa

Los colores son para notar la sustitución. Puede

observarse que:

a ba = a ba aa b = aa b baa = baa

En realidad sólo hay tres permutaciones

diferentes.

!)!(

!),( n

nn

nr nO =

−=

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 30

Supóngase que se tienen n objetos dados dentro

de los que hay un grupo de α objetos iguales y

otro de β objetos iguales entre sí. Para

determinar el número de permutaciones distintas

que se pueden formar con los no objetos dados,

supóngase que están formadas todas las

permutaciones y que x es su número.

En cada una de las x permutaciones formadas,

sustitúyanse los α objetos iguales por α objetos

distintos y permútense de las !α maneras

posibles. Se obtendrán !α ⋅ x permutaciones de n

objetos en las que figuran solamente β objetos

iguales.

En cada una de las !α ⋅ x últimas permutaciones

formadas, sustitúyanse ahora los β objetos

iguales por β objetos distintos y permútense

también de las ! β maneras distintas. Seobtendrán !! β α ⋅⋅ x permutaciones de n objetos

en las que no figuran ni el grupo de α objetos

repetidos ni el de β objetos iguales entre sí. Pero

este número es precisamente el de las

permutaciones de n objetos distintos, por lo que

se puede escribir:

!!! n x =⋅⋅ β α

despejando

!!

!

β α ⋅=

n x

en forma general, las permutaciones de n objetos

con grupos de nqqqq ...,, 321 elementos iguales:

( )!,...,!,!,!

!,...,,,,

321

321

n

nqqqq

nqqqqnP =

donde : nqqqqn ≤++++ ...321

Ejemplo. Un fabricante de vestidos produce 12

unidades al día y por la moda necesita entregar 3

azules, 2 rojos, 2 verdes, y 5 blancos. ¿De

cuántas formas diferentes puede fabricarlos?

n = 12

q 1 = 3 q 2 = 2 q 3 = 2 q 4 =5

( ) 320,166!5!2!2!3

!125,2,2,3,12 =

⋅⋅⋅=P

formas diferentes

Permutaciones circulares. Estas permutaciones

se refieren al número de maneras distintas en que

pueden colocarse n objetos alrededor de un

círculo de manera que queden igualmente

espaciados y sin que importen las posiciones

absolutas de los objetos en el círculo, sino

únicamente las posiciones relativas de losobjetos con respecto a sí mismos. Dos

permutaciones circulares son iguales si todos sus

elementos tienen el mismo precedente y

consecuente.

Estas permutaciones circulares son iguales

Para determinar la respectiva expresión,

considérese la permutación lineal de n

elementos:

nn α α α α α 1321 ... −

Si se lleva el último elemento de la permutaciónal primer lugar, se obtiene la nueva permutación.

1321 ... −nn α α α α α

a

bc ab

c

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 31

A ésta se le conoce como permutación cíclica de

la anterior y puede observarse que si el proceso

de llevar el último elemento al primer lugar se

repite n veces se llega a la permutación inicial.

Además, puede verse fácilmente que si las n

permutaciones cíclicas se colocan alrededor de

un círculo, no se distinguen entre sí, sino que

forman una sola permutación circular. Luego puede concluirse que n permutaciones cíclicas de

n objetos generarán una permutación circular y,

razonando en forma inversa, que recíprocamente

una permutación circular genera n permutaciones

cíclicas que son linealmente diferentes.

Supóngase ahora que PCn es el número de

permutaciones circulares distintas que se pueden

formar con n objetos. Por lo antes visto puede

afirmarse que, por cada una de las permutaciones

circulares se obtienen n permutaciones cíclicas.

Luego, el número de permutaciones ordinariasobtenidas a partir de las permutaciones circulares

es nPC n ⋅ y puede escribirse:

nn PPC n =⋅ !nPC n n =⋅ despejando

( )( )!1

!1!−=

−== n

n

nn

n

nPC n

( )!1−= nPC n

De acuerdo con esta expresión, con las tres letras

a, b, c pueden formarse (3-1)! = 2 permutaciones

circulares distintas:

Puede observarse que si el círculo uno se

proyectara como espejo sobre el círculo dos,

ambas permutaciones se confundirían. En

consecuencia, puede afirmarse que si el círculo

en donde se colocan los objetos al formar

permutaciones circulares puede voltearse, o verse

por sus dos lados, el número de permutaciones

esencialmente distintas se reduce a la mitad. Así,

la fórmula para calcular las permutaciones

circulares de n objetos en este caso será:

( )2

!1−=

nPC n

Ejemplo. Calcular el número de maneras

diferentes en que cinco personas pueden

colocarse:

a) En fila P5 = 5! = 120

b) Alrededor de una mesa PC5 = (5-1)! = 24

siempre que no se permita al observador

asomarse por debajo de la mesa.

c) Alrededor de una mesa si una persona debe

ocupar un lugar determinado. PC5 = (5-1)! = 24

Como en las permutaciones circulares no interesa

la posición absoluta de los objetos en el círculo,

sino sólo la relativa con respecto a sí mismos, se

resuelve el inciso igual que el anterior, pidiendo

a las personas colocadas en la mesa que giren

alrededor de la mesa, sin perder sus posiciones

relativas, hasta que quede en el lugar adecuado la

persona de la condición.

d) Alrededor de una mesa si dos personas deben

estar siempre juntas. ( ) 12!2!1424 =⋅−=⋅ PPC

Se considera como una a las dos personas que

deben estar juntas y después se permutan de

todas las maneras posibles esas dos personas.

d) En la rueda de la fortuna.

( )12

2

!155 =

−=PC

Combinaciones sin repetición. Se les llamancombinaciones de n objetos de orden r a los

diversos grupos que pueden formarse al elegir r

de n objetos dados, de tal manera que dos

combinaciones se consideran distintas si difieren

en uno de sus objetos por lo menos.

a

bc

a

b c

1 2

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 32

A diferencia de las ordenaciones, en las

combinaciones no interesa el orden de los

objetos, sino únicamente la clase de los mismos.



. . . tres arreglos

Tomando 2 letras: ab bc ca

. . . tres arreglos

Tomando 3 letras: abc

. . . un arreglo

Para determinar el número de las combinaciones

de n objetos de orden r, considérense formadas

todas las combinaciones O(n,r). Si en todas se

permutan sus r objetos de las r! Maneras

posibles, se obtendrán en total r! O(n,r)!ordenaciones de los n objetos dados de orden r.

En la forma antes descritas , se han formado

todas las ordenaciones de n objetos de orden r, ya

que las provenientes de una misma combinaciónson diferentes porque difieren en el orden de sus

objetos, y las que vienen de combinaciones

distintas difieren por lo menos en uno de sus

objetos.

( ) ( )r nOr nC r ,!,! =

)!,(!

!

!

),(),(

r nr

n

r

r nOr nC == nr ≤

Ejemplo. De un grupo de diez personas debe

elegirse un comité formado por cinco. Calcular el

número de comités diferentes que se pueden

elegir si:

a) Las diez personas son elegibles libremente.

( )( )

252!5!510

!105,10 =

−=C

b)

Dos de las personas elegibles no pueden

aparecer juntas en el comité.

Si las dos personas de la condición están en el

comité, los otros tres miembros se elegirán de las

ocho personas restantes de:

( )( )

56!3!38

!83,8 =−

=C

Por lo tanto, hay 252 – 56 = 196 comités en los

que no están juntos las dos personas aludidas.

c)

Dos de las personas elegibles deben estar

siempre juntas, dentro o fuera del comité.

Si las dos personas de la condición están en el

comité, las tres personas restantes se escogen de:

( )( )

56!3!38

!83,8 =

−=C

Los comités en los que la pareja no está es:

( )( )

56!5!5,8

!85,8 ==C

El total de comités es: 56 + 56 = 112

d)

En el comité debe haber un presidente.

Existen 10 formas de elegir un presidente y

( )( )

126!4!49

!94,9 =

−=C

El total de comités es: 10 x 126 = 1260

Combinaciones con repetición. Este tipo de

arreglos permite repetir objetos en una misma

combinación, por lo que el orden puede ser

mayor que el número de objetos dados.


7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 33


. . . tres arreglos

Tomando 2 letras:

aa bb cc

ab bc

ac

. . . seis arreglosTomando 3 letras:

aaa bbb ccc

aab bbc

aac bcc

abb

abc

acc

. . . diez arreglos

La expresión que denota el número de

combinaciones con repetición es:

( ) ( )r r nC r nCR ,1, −+=

Ejemplo. En una escuela mixta, de hombres y

mujeres, se va a formar un comité de cinco

alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden

formar, con respecto a su composición de

hombres y mujeres?

Deberán seleccionarse cinco de dos objetos

diferentes (hombre y mujer):

( ) ( )( )

6!2!26

!62,1252,5 =

−=−+= C CR

Números combinatorios. A los números

generados por la expresión( ) !!,

!

r r n

n para

cuando r varía desde 1 hasta n reciben el nombre

de números combinatorios y tienen la notación

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

r

n, donde n es el numerador y r es el

denominador del número combinatorio.

Los números combinatorios poseen tres

propiedades:

1. Los números combinatorios de orden cero

valen la unidad. Asimismo, los números

combinatorios de orden igual a n también

valen la unidad.

10 =⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ n 1=⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ nn

Demostración:

Si)!(!

!

r nr

n

r

n

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ , sustituyendo:

1!

!

)!0(!0

!

0==

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n

n

n

nn

por lo tanto: 10

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ n

Por otra parte:

1!

!

)!(!

!==

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

n

nnn

n

n

n

por lo tanto: 1=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

n

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 34

2.

Los números combinatorios de órdenes

complementarios son iguales entre sí.

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ r n

n

r

n

Demostración:

Si:)!(!

!

r nr

n

r

n

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ , sustituyendo:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

−=

−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

r

n

r n

n

r

n

r r n

n

r nnr n

n

r n

n

!)!(

!

)]!([)!(

!

3.

La suma de los números combinatorios de

igual numerador y órdenes diferentes en una

unidad es igual a un número combinatorio de

numerador igual a una unidad más grande

que la de los sumandos y orden igual almayor de los órdenes de los combinatorios

sumandos.

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − k

n

k

n

k

n 1

1

Demostración:

Si:)!(!

!

r nr

n

r

n

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Para hacemos para (n,k-1) + (n,k) debemos

obtener (n+1,r) de ahí que sustituyendo nos

queda:

Triangulo de Pascal. Los números

combinatorios pueden ser acomodados en un

arreglo piramidal, en el cual se observan

plenamente sus propiedades.

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ 0

0

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0

1

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1

1

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0

2

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1

2

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 2

2

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

0

3

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

1

3

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

2

3

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

3

3

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0

4

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1

4

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 2

4

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 3

4

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 4

4

Observando el Triangulo de Pascal pero con sus

valores:

1

1 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Propiedad Uno: Los números que están sobre los

vértices del triangulo denotan esta propiedad

(color verde).

Propiedad dos: Los números que están a la

misma distancia a la derecha y a la izquierda delos vértices del triangulo denotan esta propiedad

(colores naranja).⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

+−+

=+−

+=

+−+−+

=

+−+−+

=−

++−−

k

n

k nk

n

r nr

nn

k nk

nk nk

k nk

nk nkn

k nk

n

k nk

n

1

)!1(!

)!1(

)!1(!

!)1(

)!1(!

!)1(

)!1(!

!)1(!

)!(!

!

)!1()!1(

!

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 35

Propiedad tres: Al sumar dos números

combinatorios en el mismo nivel, resulta el

número de un nivel posterior en medio de los

mismos.

Teorema del Binomio. A partir de cualquier binomio elevado a una potencia entera, por

ejemplo:

( ) 4322344464 babbabaaba ++++=+

puede observarse que los coeficientes de los

sumandos del binomio coinciden con los

números combinatorios de orden n = 4.

Una expresión general para obtener el desarrollo

de cualquier binomio elevado a una potencia es:

( ) ∑=

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =+

n

r

r r nnba

r

nba

0

Diagrama de Árbol. Es una herramienta gráfica

usada para enumerar todas las posibilidades

lógicas de una secuencia de datos que ocurren de

una forma finita de maneras.

El árbol está formado por puntos o nodos que

representan instantes en el tiempo o lugares en elespacio y por líneas o ramas que representan las

posibles acciones que puedan tomarse; los nodos

y las ramas siempre están unidos.

El diagrama de árbol conforma el espacio

muestral en una dimensión de un evento.

Ejemplo. Los toros de Chicago y los Celtics de

Boston participan en un torneo de Basketbol; el

primero que gane dos juegos consecutivos o un

total de tres será el vencedor del torneo.¿Cuántas maneras posibles podría terminar el

torneo?

Existen diez formas de desarrollar el torneo.

En todo caso, el diagrama de árbol conforma el

espacio muestral de un evento.

2.3 La definición axiomática de probabilidad.

Algunos teoremas derivados de la definiciónaxiomática.

Un Axioma en una verdad evidente que no

requiere de demostración. La probabilidad basa

sus desarrollos en tres axiomas:

1) P(A) ≥ 0

2) P(S) = 1

3)

P(A1+A2+…+An) =

P(A1)+P(A2)+)+…+P(An)

donde A1, A2, A3 ... An son eventos

mutuamente excluyentes.

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 36

Teoremas derivados de la definición

axiomática.

Estos teoremas se obtienen de una aproximación

entre la teoría de conjuntos y la aritmética y el

álgebra. Principalmente es necesario contar con

lo antecedentes de las operaciones con conjuntos(unión, intersección, complemento, etc.) para

desarrollarlos.

Por otra parte, debe tomarse en cuenta los

fundamentos de la lógica matemática que

establece las relaciones entre diversas

operaciones matemáticas:

“Y” (conjunción) ⇔ ”x” (producto) ⇔ Evento

Dependiente

“O” (disyunción) ⇔ ”+” (suma) ⇔ Evento

Independiente

Teorema 1: P(∅) = 0

Demostración:

Si P(S ∪ ∅) = P(S) + P(∅)

(por el axioma 3) y

S ∪ ∅ = S, entonces

P(S ∪ ∅) = P(S) = 1 (axioma 1)

∴ 1 = 1 + P(∅) ⇔ P(∅) = 0 e.q.d.

Teorema 2: P( A ) = 1 – P(A)

Demostración:

Si P(A) + P( A ) = P(S)

y P(S) = 1

∴ P(A) + P( A ) = 1 ⇔ P( A ) = 1 – P(A)

e.q.d.

Teorema 3: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Si ( ) B A A B A ∩∪=∪

y ( ) ( ) B A B A B ∩∪∩=

luego entonces

( ) A BP AP B AP ∩+=∪ )()(

y ( ) ( ) B AP B AP BP ∩+∩=)(

restando ambas ecuaciones

simplificando

( ) B AP AP BP B AP ∩−=−∪ )()()(

( ) B AP BP AP B AP ∩−+=∪ )()()( e.q.d.

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 37

Este teorema se reduce al axioma 3 cuando los

conjuntos son disjuntos1.

Teorema 4:

Teorema 5:

)()()()( B AP BP AP B AP ∪−+=∩

Leyes de D’Morgan

'')'( B A B A ∩=∪ ⇔ B A B A ∩=∪ )(

'')'( B A B A ∪=∩ ⇔ B A B A ∪=∩ )(

2.4 Probabilidad condicional. Diagramas de

árbol. Eventos independientes. Probabilidadtotal. Teorema de Bayes.

Si A y B son dos eventos del espacio muestral S,

la probabilidad de que el evento B ocurra con la

condición de que previamente haya ocurrido el

evento A, se le conoce como probabilidad

condicional de B y se representa como P(B I A)

( Léase probabilidad de B dado A ) A partir de

los eventos A y B :

1 Si dos conjuntos A y B no tienen elementoscomunes, es decir, ningún elemento de A está en B

y si ningún elemento de B está en A, se dice que Ay B son disjuntos.

Al realizar el experimento correspondiente,

supóngase que ocurre el evento A y una vez

ocurrido éste, se desea observar si también

ocurrió el B. Puesto que ya ocurrió el evento A,

el evento B sólo puede ocurrir si tiene eventos

elementales en A es decir si existe A ∩ B.

Además, en ese momento el evento A es el

espacio total de eventos posibles. Luego P(B I A)

se puede calcular como.

P(BIA) = Eventos elementales en A y en B

Eventos elementales en A

Lo que puede escribirse como:

)(

)()(

An

B An BIAP

∩= si n(A) ≠ 0

se define

)(

)()(

S n

B A ABP

∩=

y)(

)()(

S n

An AP =

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 38

de tal forma

P(B I A) =

finalmente P(B I A) =)(

)(

AP

ABP

P(A) ≠ 0

La secuencia en que ocurren los eventos pueden

mostrarse con claridad a través de un diagrama

de árbol, siempre y cuando se trate de eventos

mutuamente excluyentes, colectivamente

exhaustivos con un número finito de resultados.

A partir de la información del experimento a

estudiar, primeramente deben especificarse los

eventos, posteriormente la secuencia o

subordinación entre ellos.

En la generalidad, las probabilidades

condicionales se advierten porque los eventos sesubordinan con la conjunción si (condicional, de

diferente significado que el sí afirmativo). De la

misma forma, suele detectarse en la definición

del experimento que la probabilidad condicional

es un dato histórico, tal que cuando es

mencionada aún no se produce el evento.

Asimismo, la probabilidad simultánea

corresponde a dos eventos que ocurren al mismo

tiempo, en el instante en que se estudia el

experimento y la subordinación entre ellos sedetecta a través de la conjunción Y .

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 39

Ejemplo. Con base en la experiencia un médico

ha recabado la siguiente información, relativa a

las enfermedades de sus pacientes:

5% creen tener cáncer y lo tienen

45% creen tener cáncer y no lo tienen

10% no creen tener cáncer y lo tienen 40% no creen tener cáncer y no lo tienen

Si se selecciona un paciente al azar. Determine

las siguiente probabilidad.

a) Que tenga cáncer si cree tenerlo

b) Que tenga cáncer si no cree tenerlo

EventoA → El paciente cree tener cáncer

B → El paciente tiene cáncer

a) P(B I A) = %101.05.0

05.0

)(

)(===

AP

ABP

b) P(B I A ) = %202.05.0

1.0

)(

)(===

AP

B AP

Eventos Independientes. Dos eventos son

independientes si :

P(A \ B) = P(A) ----------- 1

)(

)()/(

BP

ABP B AP = --------2

⇒=)(

)()(

BP

ABP AP P(A) P(B) = P(AB)

del ejemplo anterior

P(A) = 0.50 (0.5)(0.15) ≠ 0.05

P(B) = 0.15

P(AB) = 0.05 ∴ A y B no son independientes

Ejemplo. Suponiendo la siguiente información

CONTRAE

CA NCER

NO CO NTRAE

CA NCER

FUMADOR 0.5 0.2 0.7

NO FUMADOR 0.1 0.2 0.3

0.6 0.4

1. Encontrar la probabilidad de que un

individuo contrae cáncer dado que es

fumador

2.

Encontrar la probabilidad de que un

individuo tenga cáncer dado que no es

fumador

3. Determinar si son eventos independientes

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 40

1) P(B / A) = ¿?

71.07.0

5.0

)(

)()/( ===

AP

ABP A BP

2) P(B / A) = ¿?

333.03.0

1.0

)(

)()/( ===

AP

B AP A BP

3) P(A) = 0.7

(0.7) (0.6) ≠ 0.5

P(B) = 0.6

no son ind.

P(AB) = 0.5

Frecuentemente se desea encontrar la

probabilidad de que ocurran conjuntamente una

serie de eventos A1, A2, A3,……., An ya sea

simultáneamente, o bien, uno a continuación del

otro.

En el caso de dos eventos

P(A1 A2) = P(A2 / A1) P(A1 A2)

En el caso de tres eventos

En general

Si los eventos A son independientes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn AP AP AP AP A A A AP ...... 321321 =

A esta expresión se le conoce como regla de la

multiplicación.

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 41

Ejemplo.

4 Bolas Blancas

3 Bolas Negras

2 Bolas Rojas

9

Experimento: Se extraen 3 bolas (Sin

Reemplazo) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3

sean negras?

Eventos Ni → Sale Negra

Bi → Sale Blanca

Ir → Sale Roja

P(N1N2N3) = P(N1) P(N2/N1)

P(N3/N1N2) 0119.07

1

8

2

9

3=••=

Si se hace con reemplazo

P(N2/N1) = P(N2) = P(N3) =

P(N3/N1N2)

P(N1N2N3) = 3/9 • 3/9 • 3/9 = 0.03

El reemplazo garantiza la independencia de los

eventos.

Teoría de la Probabilidad Total

Sea un conjunto de eventos B1, B2, B3, …,Bn

mutuamente excluyentes y colectivamente

exhaustivas.

Para cualquier evento A, A ⊂ S

De acuerdo a los axiomas de probabilidad

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 42

A = (A∩B1)∪(A∩B2)∪ …… (A ∩ Bn)

Ya que (A∩Bi) son mutuamente excluyentes

P(A) = P(AB1) + P(aB2) + ….+ P(ABn)

Si P(ABi ) = P(A/Bi) P(Bi)

P(A) = →∑=

n

i

BiP Bi AP1

)()/( Teorema de la

Probabilidad total.

Teorema de Bayes

En la práctica no siempre después de haberse

realizado el experimento o evento se conoce elresultado del mismo. De existir esta

incertidumbre, el resultado es aún motivo de una

probabilidad.

A partir de la probabilidad condicional, sean n

eventos A1, A2,, ..., An mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivos, entonces para

cualquier evento B, B ⊂ S que ocurre

posteriormente se tiene:

( ) ∑==

n

i

ii A BP AP BP1

)/()(

Teorema de la Probabilidad Total

( ) ( )( )i

i

i AP

B AP A BP =

Probabilidad condicional

El Teorema de Bayes propone modificar el orden

o la secuencia de los eventos:

( ) ( )( ) BP

B AP B AP

i

i = Sustituyendo el Teorema de

la Probabilidad Total:

Las anteriores expresiones definen al Teorema de

Bayes, que también es conocido como de la

probabilidad a posteriori, ya que denota

probabilidades en forma posterior a la realización

del experimento.

( ) B AP i : Probabilidad de que haya ocurrido

i A dado que ocurrió B .

El cambio en la secuencia de los eventos debe

detectarse a partir de las condiciones delexperimento.

Ejemplo. Raúl está acusado de un crimen. La

probabilidad de que el jurado emita el veredicto

correcto es de 0.95, es decir, la probabilidad de

que el jurado condene a un culpable verdadero y

de que absuelva a un inocente verdadero es de

0.95.

Se sabe que la labor de la policía es tal que el60% de las personas que se presentan a la corte

para ser juzgadas son verdaderamente culpables.

Determinar la probabilidad de que Raúl sea

inocente si el juzgado lo declara culpable.

1er evento

A = Raúl es detenido porque es culpable

A = { Raúl es culpable }

2do evento

B = Raúl es declarado culpable porque lo

es

B = { Raúl es declarado culpable}

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )∑∑∑===

===n

i

i

ii

n

i

i

i

n

i

ii

ii

B AP

AP A BP

B AP

B AP

A BP AP

B AP B AP

111

7/18/2019 Estad2



Noviembre 2009 43

Ejemplo. Una empresa de asesoría alquila autos

de 3 agencias:

20% de la agencia D

20% de la agencia E

60% de la agencia F

Si: 10% de los autos de la agencia D

12% de los autos de la agencia E

4% de los autos de la agencia F

tienen neumáticos en mal estado. ¿Cuál es la

probabilidad de que la empresa rente un auto con

neumáticos en mal estado? Si el auto tiene los

neumáticos en mal estado, ¿Cuál es la

probabilidad de que sea de la agencia F ?

1er evento → Rentar un auto

2do evento → Que tenga los neumáticos

defectuosos

P(M) = ¿?

Por el Teorema de Probabilidad Total

P(F / M) = ¿?

( ) ( )( )

( )( ) ( )

29.002.005.0

02.0=

+=

+==

B AP ABP

B AP

BP

B AP B AP

7/18/2019 Estad2



Ejemplo. En una fábrica, 3 máquinas, A,B y C,

producen la misma pieza. El 6% de las piezas de

la máquina A están defectuosas, el 7% de las de

la máquina B también están defectuosas,

mientras que sólo el 3% de las producidas por la

máquina C lo están.

La producción se distribuye de la siguiente

forma:

Máquina A → 65%

Máquina B → 13%

Máquina C → 22%

¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una

pieza del almacén resulte que está defectuosa, lahaya producido la máquina B?

Evento A → Fabricar la pieza

A = {Fi} = {A,B,C}

Evento B → Pieza defectuosa

Bibliografía

Canavos, Probabilidad y Estadística, Edit.

Mc Graw Hill, México 1988.

Borras, et. al. Apuntes de Probabilidad y

Estadística, Facultad de Ingeniería UNAM,

México 1985.

Villarreal , Probabilidad y Modelos

Probabilísticos, UAEM, México 1989.

Hines, Montgomery; Probabilidad y

Estadística, Edit. CECSA, 3ª edición,

México 1993.

Vilenkin, ¿De cuántas formas?

Combinatoria, Editorial Mir, Moscú 1972.

Iriarte, Apuntes de Métodos Numéricos,

Facultad de Ingeniería UNAM, México.

Vilenkin, ¿De cuántas formas?

Combinatoria, Editorial Mir, Moscú 1972.

Iriarte, Apuntes de Métodos Numéricos,

Facultad de Ingeniería UNAM, México.

Captura y Edición:M.A. María Torres Hernández.

Documents

Estad2