INTRODUCCIN

Se ha dicho que si la desviacin estndar de una poblacin es desconocida, como suele ocurrir casi siempre, es posible estimarla calculando la desviacin estndar de una muestra grande (no menor de 50); pero, Qu hacer si no se puede extraer una muestra grande?Para muestras pequeas (menor de 30), la desviacin estndar calculada suele ser muy distinta de la desviacin estndar de la poblacin, y se cometer un error considerable si se emplea la distribucin normal con desviacin estndar s en vez de .Ante esta situacin se puede emplear la distribucin t de Student en vez de la distribucin normal.El nombre de la distribucin se debe a su autor W.S. Gosset, quien le dio el seudnimo de T de Student ante la imposibilidad de presentar sus trabajos so pena de perder su empleo, esto sucedi a principio del siglo XX.Esta distribucin es recomendada cuando se requiere estimar la media poblacional y no se conoce la desviacin estndar y por lo tanto, hay que estimarla, eso s, siempre y cuando la distribucin original sea aproximadamente normal.

MARCO TERICO

LA DISTRIBUCIN T DE STUDENT: Es una distribucin muy parecida a la distribucin normal, pero a diferencia de ella es leptokrtica. Esto significa que la parte central de esta distribucin es ms delgada y elevada con colas ms anchas con respecto a la distribucin normal. Esta ltima caracterstica (colas anchas) implica que la probabilidad de eventos extremos es ms alta con la distribucin t de Student que en la distribucin normal. Tiene un parmetro adicional a la media y desviacin estndar, que se conoce como los grados de libertad. Cuanto menores sean los grados de libertad, mayor ser el ancho de las colas. Por otro lado, en el lmite cuantos ms altos sean los grados de libertad, esta distribucin tender hacia la distribucin normal.En el campo de la Ingeniera Civil, juega un rol protagnico en los test de hiptesis donde la varianza poblacional es desconocida, utilizada cuando se evalan nuevas tecnologas, tomando como referencia la tecnologa actual, o aplicadas en problemas que requieren muestras comparativas.

DISPOSICION ADECUADA PARA ESTA DISTRIBUCIN:1.- Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar Ia media de una poblacin a partir de muestras pequea (n < 30). 2.- Para probar hiptesis cuando una investigacin se basa en muestreo pequeo. 3.- Para probar si dos muestras provienen de una misma poblacin.PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIN T STUDENT:1.- Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.2.- Cada curva t, est ms dispersa que Ia curva normal estndar. 3.- A medida que k aumenta, Ia dispersin de Ia curva t correspondiente disminuye.4.- A medida que k-> , la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva normal estndar.

La funcin densidad de probabilidad de la variable t de Student es la siguiente:

FEsta funcin es simtrica con media igual a cero. Su desviacin estndar es:

DISTRIBUCIN T DE LA MEDIA MUESTRAL: Si se extraen varias muestras de tamao (menor que 30), de una poblacin normal con media y desviacin estndar desconocida, entonces la siguiente variable:

Siendo:X= media.= el valor a analizar.s = desviacin estndar.n= tamao de la muestra.

La probabilidad de error (P), se aplica por medio de la frmula:

Se ha definido la desviacin estndar s con denominador n; pero, cuando se extraen muestras pequeas, el mejor estimador estndar de la poblacin emplea (n 1) como denominador. Se distinguen entonces:

En conclusin, cuando es pequeo conviene usar () para estimar , y cuando n es grande ambas expresiones dan prcticamente el mismo valor.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA MEDIAS T DE STUDENT (MUESTRAS MENORES A 30):El procedimiento obedece a los 5 pasos esenciales:PASO 1:Plantear Hiptesis Nula (Ho) e Hiptesis Alternativa (Hi). La Hiptesis alternativa plantea matemticamente lo que queremos demostrar. La Hiptesis nula plantea exactamente lo contrario.PASO 2:Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptacin de hiptesis alternativa). Se considera: 0.05 para proyectos de investigacin. para aseguramiento de calidad. 0.10 para encuestas de mercadotecnia y polticas.PASO 3:Evidencia Muestral. Se calcula la media y la desviacin estndar a partir de la muestra.PASO 4Se aplica la Distribucin t de Student para calcular la probabilidad de error (P) por medio de la frmula:

PASO 5:En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hiptesis alternativa. Si la probabilidad de error (P) es mayor que el nivel de significancia: SE RECHAZA HIPTESIS ALTERNATIVA. Si la probabilidad de error (P) es menor que el nivel de significancia: SE ACEPTA HIPTESIS ALTERNATIVA.

Ejemplo: 1.- La seleccin de las proporciones de los materiales que intervienen en la mezcla deber permitir que el concreto alcance la resistencia en compresin promedio determinada en la seccin. El concreto ser fabricado de manera de reducir al mnimo el nmero de valores de resistencia por debajo del fc especificado.Solucin:Como resultado de 22 ensayos a especmenes de concreto de una obra de construccin de un colegio. La desviacin estndar es igual a . En promedio se obtiene una resistencia a la compresin promedio de .Nivel de significancia: = 0.01, para aseguramiento de calidad. La resistencia a la compresin de diseo es .

Con los datos obtenidos podemos demostrar que no hay problemas de resistencia a la compresin en los elementos de la estructura?PASO 1: Hiptesis alternativa:No hay problemas de resistencia a la compresin en los elementos de la estructura, valor mayor o igual a 337 . Hiptesis nula:Hay problemas de resistencia a la compresin en los elementos de la estructura, valor menor a .PASO 2:Determinar nivel de significancia:Nivel de significancia: = 0.01, para aseguramiento de calidad. PASO 3:Evidencia muestral:X=.S=

PASO 4:Aplicacin de la distribucin de probabilidad:Calculando:

Grados de libertad: n-1 = 22-1 = 21Usando la tabla, encontramos el valor del rea:

Grados de libertad: 21

Podemos interpolar para hallar una aproximacin al valor del rea:0.30.532 X 0.59660.20.859

PASO 5:Resultados P = 0.2802 y = 0.01. Siendo Por tanto se acepta hiptesis: Hay problemas de resistencia a la compresin en los elementos de la estructura, valor menor a .

TABLA DE VALORES DE LA T DE STUDENT:

PROBLEMAS APLICADOS A LA INGENIERIA CIVIL1. Los valores de las matrculas de los estudiantes de ingeniera civil del 3er ciclo en la universidad privada Antenor Orrego tienen un comportamiento aproximadamente normal, donde el promedio es de 2.100.000. Se seleccionan 8 liquidaciones, siendo los valores los siguientes: 1.950.000, 2.100.000, 2.250.000, 1.890.000, 2.250.000, 1.950.000, 2.050.000, 2.350.000. Determine la probabilidad de que:a) El promedio sea menor de 2.000.000.b) El promedio se encuentre entre 2.000.000 y 2.200.000c) El promedio sea mayor o igual a 2.500.000Solucin: Sea X = Liquidacin matriculas.m = 2.100.000; s =?=2.098.750 s=168.644.8085 n=8

a) P (