Estadística avanzada

Indice¿Que es la estadıstica?

Realizando el estudio preliminarTeorıa de la Probabilidad

Distribuciones de Probabilidad

Estadıstica Avanzada

Ing. Andres Alejandro Galvis Correa

Departamento de MatematicasUniversidad de las Americas

27 de septiembre de 2011

Ing. Andres Alejandro Galvis Correa Estadıstica Avanzada




1 ¿Que es la estadıstica?IntroduccionAnalisis exploratorio para informacion cuantitativaAnalisis exploratorio para informacion cualitativaTeorıa de la probabilidad y la inferencia estadıstica

2 Realizando el estudio preliminarFuente de informacionAlgunas medidas clasicasAplicacion

3 Teorıa de la ProbabilidadLa locura de agrupar las cosas y peor aun... contarlas!Definicion de la ProbabilidadIndependencia y CondicionalidadVariables Aleatorias, Esperanza y VarianzaFuncion Generadora de Momentos

4 Distribuciones de ProbabilidadDistribuciones DiscretasDistribuciones ContinuasAplicaciones





IntroduccionAnalisis exploratorio para informacion cuantitativaAnalisis exploratorio para informacion cualitativaTeorıa de la probabilidad y la inferencia estadıstica

Problema

Caso 1

Se desea invertir en una accion que esta dentro del indice S&P500,¿Que harıas?

Caso 2

Se desea estudiar el nivel de probreza, eduacion y salud deEcuador, ¿Como lo harıas?






¿Que resuelve la estadıstica?

Descripcion de datos.

Analisis de muestras.

Medicion de relaciones.

Prediccion.










Prediccion.










Prediccion.










Prediccion.






¿Y la materia prima...?

Poblacion o Universo (N,Ω)

Es una coleccion completa de personas, animales, plantas o cosas.

Muestra (n,A)

Es un subconjunto de la poblacion seleccionado de acuerdo a unaregla de probabilidad que le permite ser una coleccionrepresentativa de la poblacion.

Unidad muestral (xi , ω)

Es una persona, animal, planta o cosa de la cual se desea obtenerinformacion relevante para el analista.






¿Que informacion obtengo de las unidades muestrales? I

Datos cualitativos

Tipo de informacion que describe caracteristicas o atributos de launidad muestral, no son medibles y se clasifican en:

Nominales: se les asigna una etiqueta a cada elemento ypueden ser contados pero no ordenados.

Ordinales: se les asigna una etiqueta a cada elemento ypueden ser contados y ordenados.






¿Que informacion obtengo de las unidades muestrales? II

Datos cuantitativos

Tipo de informacion que describe caracteristicas medibles de launidad muestral, se clasifican en:

Discretos: los valores que toma son contables, (1, 2, 3...); Ej:Numero de personas en la fila de una caja.

Continuos: los valores que toma estan definidos dentro de unintervalo, (a, b); Ej: Peso o estatura de una persona.






¿Que informacion obtengo de las unidades muestrales? III

Datos atıpicos

Es una informacion que se define como diferente o extrema de unamedicion; a veces es el resultado de una mala observacion yocasiona distorsion en la interpretacion de los resultados; NOELIMINAR hasta no tener suficientes argumentos para ello.






¿Que deseo analizar o medir de la informacion?

El proceso de analisis de datos se enfoca en tres caracterısticasfundamentales:

Analisis de localizacion: tiene como objetivo determinar laposicion relativa de los datos, su punto medio.

Analisis de la dispersion: tiene como objetivo determinar ladispersion de los datos respecto a su media, su grado dediseminacion.

Analisis de forma: tiene como objetivo determinar la formaen la cual se agrupan los datos respecto a su localizacion ydispersion.






¿Como vendo mi analisis estadıstico?

Todo analisis estadıstico debe necesariamente estar acompanadode sus respectivos graficos, para que el lector puede entenderlomejor y visualizar rapidamente el comportamiento de lainformacion tabulada; algunos graficos de mayor aplicacion son:

Diagrama de puntos.

Diagrama de tallo y hojas.

Grafico de sectores.

Grafico de barras

Histograma (funcion de probabilidad o densidad)

Polıgono de frecuencias

Ojiva (funcion de distribucion)






El estudio unidimensional cuantitativo

Descripcion

Comprende el analisis exploratorio tanto para la informaciondiscreta como continua para una sola caracterıstica de la poblacionX ; donde las medidas de localizacion, dispersion y forma secaraterizan por estructuras donde las observaciones tiene la mismaprobabilidad de ocurrir.






El estudio multidimensional cuantitativo

Descripcion

Comprende el analisis exploratorio tanto para la informaciondiscreta como continua para un vector de caracterısticas de lapoblacion X; donde las medidas de localizacion, dispersion y forma,se calculan con base a la relacion de la informacion en el espacioRn. La representacion grafica se limita al diagrama de dispersion ycorrelacion.






El estudio unidimensional cualitativo

Descripcion

Comprende el analisis exploratorio con base a un atributo de lapoblacion de estudio, la cual se descompone en diferentesmodalidades; las medidas de localizacion, dispersion y forma selimitan a ciertos conceptos subjetivos fundamentados en conteos.Se destaca la potencia que le da el estudio grafico al analisis.






El estudio multidimensional cualitativo

Descripcion

Comprende el analisis exploratorio con base a varios atributos de lapoblacion de estudio, la cual se descompone en diferentesmodalidades; las medidas de localizacion, dispersion y forma selimitan a ciertos conceptos subjetivos fundamentados en conteos.Se destaca el uso de la tabla de contingencia.






Merlin siglo XX I

Teorıa de la Probabilidad

Se fundamenta en el estudio de la medida de los conjuntos y suinterrelacion a partir de una estructura de informacion llamadaσ-algebra (F);es decir, la informacion que se obtiene en el estudioexploratorio provee una descripcion cuantitativa de la posibilidadde ocurrencia de un evento, una medida de probabilidad (P) quese define como:

(Ω,F,P)






Merlin siglo XX II

Teorema del lımite central (TLC )

La gran importancia del teorema se debe a que constituye el puenteentre la teorıa de la probabilidad y la estadıstica, y se define como:

Z =Y − E (Y )√

Var(Y )

que se aproxima a una ley normal estandar.






Merlin siglo XX III

Modelacion estocastica

Un claro ejemplo de la modelacion estocastica y el mayor error dela ultima decada es el modelo de BSM,

∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2+ rS

∂V

∂S− rV = 0






Hacia el futuro...

Los modelos dınamicos

Estadıstica bayesiana

Redes neuronales y conjuntos difusos

Estadıstica cuantica y econo-fısica (Finanzas cuanticas)





Fuente de informacionAlgunas medidas clasicasAplicacion

Estudio preliminar

Objetivo

Realizar un estudio descriptivo de tal manera que podamos obtenerinformacion respecto al comportamiento de la variable de estudio

Descriptive statistics

Close count 6427 mean 63.1698 sample variance 1,203.6428 sample standard deviation 34.6936 minimum 15.15 maximum 179.94 range 164.79

skewness 0.5853 kurtosis -0.5107 coefficient of variation (CV) 54.92%

1st quartile 28.2400 median 58.8800 3rd quartile 88.5000 interquartile range 60.2600 mode 52.0000






Encuestas

Definicion

Es el metodo por excelencia para la obtencion de informacionprimaria, utiliza una estrategia de consulta mediante un sistema depreguntas internamente consistentes que responden a una preguntade investigacion.

Portal para disenar y realizar encuestas gratis:http://www.encuestafacil.com/.






Observaciones subjetivas

Definicion

Es el metodo que hace uso de los sentidos para obtenerinformacion de la naturaleza sin instrumento de medicion, p. ej:tocar una superficie, degustar de un filete de carne o apreciar unachica de Medellın.






Bases de datos

Definicion

Teoricamente, es el metodo mas preciso para elaborar estudiosestadısticos, tiene como fundamento la medicion de las unidadesmuestrales mediante algun instrumento, se caracteriza por ser unainformacion generalmente publicada por alguna instituciongubernamental o institucion privada que goza de respeto a nivelgeneral.

Portales de informacion confiable:

http://www.inec.gob.ec

http://finance.yahoo.com/






Descarga de informacion

Para llevar a cabo la definicion de las medidas clasicas, vamos autilizar los registros historicos del precio de la accion de Microsoft(MSFT), que se descarga de la siguiente direccion:http://finance.yahoo.com/. En su defecto, la carpeta del cursotiene un archivo Portafolio.xls.






La distribucion de frecuencias

Definicion

Es una herramienta que resume la informacion proveniente de lasencuestas, las observaciones, etc; de manera que facilite el estudiode la localizacion, dispersion y forma de los datos.

Close cumulative lower upper midpoint width frequency percent frequency percent

0.0 < 20.0 10.0 20.0 107 1.7 107 1.7 20.0 < 40.0 30.0 20.0 2212 34.4 2319 36.1 40.0 < 60.0 50.0 20.0 966 15.0 3285 51.1 60.0 < 80.0 70.0 20.0 992 15.4 4277 66.5 80.0 < 100.0 90.0 20.0 1167 18.2 5444 84.7

100.0 < 120.0 110.0 20.0 528 8.2 5972 92.9 120.0 < 140.0 130.0 20.0 326 5.1 6298 98.0 140.0 < 160.0 150.0 20.0 101 1.6 6399 99.6 160.0 < 180.0 170.0 20.0 28 0.4 6427 100.0

6427 100.0






Un acercamiento visual






Medidas de Localizacion

Promedio

x =1

n

n∑i=1

xi

Mediana

Es el punto medio de losdatos, cuando estos se ordenande menor a mayor.

Moda

Se define como el valor quetiene mayor frecuenciaabsoluta.

Media geometrica

MG = n√

x1 × x2 × x3 · · · xn

Media armonica

MH =n

n∑i=1

1xi

Percentiles, cuartiles y quintiles

Es dividir el conjunto de datosen 100, 4 o 5 pedazos igualesrespectivamente.






Medidas de Dispersion

Desviacion estandar

s =

√√√√√ n∑i=1

(xi − x)2

n − 1

Varianza

s2 =

n∑i=1

(xi − x)2

n − 1

Rango

Rango = xmax − xmin

Rango intercuartil

RIQ = Q3 − Q1

donde, Qi es el cuartil i

Coeficiente de variacion

CV =s

x

Si

CV ≤ 1 los datos sonhomogeneos.

CV > 1,5 los datos sonheterogeneos






Medidas de Forma I

Asimetrıa

As =

n∑i=1

(xi−x)3

n

s3

Si

As > 0 Asimetrica a la derecha.

As = 0 Simetrica.

As < 0 Asimetrica a la izquierda.






Medidas de Forma II

Curtosis

Ap =

n∑i=1

(xi−x)4

n

s4− 3

Si

Ap > 0 Leptocurtica.

Ap = 0 Mesocurtica.

As < 0 Platicurtica.






MegaStat

Aplicacion

Con la ayuda del paquete estadıstico para excel MegaStat, realizarun estudio completo de las acciones del portafolio (Portafolio.xls) yde las variables categoricas del archivo (Caso Atraca Facil.xls)





La locura de agrupar las cosas y peor aun... contarlas!Definicion de la ProbabilidadIndependencia y CondicionalidadVariables Aleatorias, Esperanza y VarianzaFuncion Generadora de Momentos

Problema

Caso 3

Suponga que vamos a lanzar 2 dados al mismo tiempo y vamos arealizar una apuesta con respecto a los numeros que resultan delexperimento; ¿A que numero le apuestas?

Caso 4

Si lanzamos una moneda, ¿cuales son los posibles resultados de laprueba?






Teorıa de Conjuntos I

Conceptos Basicos

Conjunto, A.

Elemento, a.

Universo, U.

C. Vacıo, ∅.

Subconjunto, A ⊂ B

C. iguales, A = B.

Cardinalidad Card (A)

C. Potencia P (A)

Union de Conjuntos

A ∪ B denota la union de A y B y se define por:

A ∪ B = a | a ∈ A ∨ a ∈ B






Teorıa de Conjuntos II

Interseccion de Conjuntos

A ∩ B denota la interseccion de A y B y se define por:

A ∩ B = a | a ∈ A ∧ a ∈ B

Diferencia de Conjuntos

A\B denota la diferencia de A en B y se define por:

A\B = a | a ∈ A ∧ a /∈ B






Teorıa de Conjuntos III

Complemento de un Conjunto

Si A ⊂ B, entoncesBA = (B\A)

es el conjunto complemento de A en B; algunas notaciones comoAc o A son muy usadas, pero debe definirse el conjunto al quehace referencia.

Diferencia Simetrica de Conjuntos

A4B, es el conjunto de elementos que estan en A y en B pero noen ambos, se define por:

A4B = a | a ∈ A ∨ a ∈ B






¿Sabes Contar?... hagamos la prueba!

¿De cuantas formas diferentes me puedo vestir el dıa demanana?

¿De cuantas formas diferentes nos podemos ubicar en el aula?

¿De cuantas formas diferentes puedo seleccionar un presidentey un vicepresidente con las personas que hay en el aula?

¿De cuantas formas puedo seleccionar un jurado de dospersonas con las personas del curso?






Metodos de Conteos I

Arreglo

Se utiliza cuando la relacion entre los elementos es de uno a uno,se define por:

Arreglo = m × n × s × · · ·

Variacion

Se utiliza cuando el tamano de los subconjuntos a generar esn ≤ k , sin repetir elementos:

V kn =

n!

(n − k)!






Metodos de Conteos II

Permutacion

Se utiliza cuando el tamano de los subconjuntos a generar es elmismo del original sin repetir elementos, se define por:

Pn = n! = n (n − 1) (n − 2) · · · 1

Combinacion

Se utiliza cuando el tamano de los subconjuntos a generar esn ≤ k , y no pueden haber conjuntos iguales,

C kn =

n!

k! (n − k)!






Metodos de Conteos III

Permutacion con repeticion

Se utiliza cuando el tamano de los subconjuntos a generar esn ≤ k , y se pueden repetir arbitrariamente los elementos

Pkn = nk






Aplicaciones

Un entrenador cuenta con 7 defensas, 4 centrales y 4delanteros para componer su equipo de futbol. El entrenadorutilizara la tactica 5-3-2 en referencia al numero de defensas,centrocampistas y delanteros a utilizar. ¿Cuantos equiposdiferentes podrıa formar?

Hallar n si12C 1

n + C 2n+4 = 126

¿Cuantos boletos se pueden emitir para jugar el Pozo?






Modelo Probabilıstico de un Experimento

Definicion

Es un modelo que intenta describir el comportamiento de losposibles resultados de una prueba o experimento aleatorio; en estepunto converge la teorıa de la probabilidad y la teorıa deconjuntos.






Conceptos Basicos I

Experimentos

Es el proceso mediante el cual se lleva a cabo una observacion,este termino considera las observaciones que se obtienen desituaciones que no se pueden controlar y las observacionesobtenidas de situaciones en condiciones controladas de laboratorio.






Conceptos Basicos II

Evento, (A o a)

Es cualquiera de los resultados posibles de un experimento u otrasituacion que involucre incertidumbre, dependiendo del caso puedenotarse como un conjunto A, o como un elemento a.

Evento Simple (a): es aquel que no se puede descomponer; adicho evento corresponde uno y solo un punto muestral.

Evento Compuesto (A): es el conjunto o evento formado porvarios eventos simples.






Conceptos Basicos III

Espacio Muestral (Ω)

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento,o el conjunto de todos los posibles puntos muestrales.

Espacios muestrales finitos:

A = w1,w2, . . . ,wk

Espacios muestrales infinitos numerables:

A = w1,w2, . . . ,wn, . . .

Espacios muestrales continuos:

A = (a, b]

Teorıa de la Probabilidad vs Teorıa de ConjuntosIng. Andres Alejandro Galvis Correa Estadıstica Avanzada





La probabilidad como Frecuencia Relativa, (fr)

Definicion

Si un un experimento aleatorio resulta de n formas igualmenteprobables y mutuamente excluyentes y si ni de estos resultadostiene una caracterıstica A, entonces la probabilidad de A es laproporcion de ni con respecto a n.

fr (i) =ni

n






Definicion Axiomatica de la Probabilidad (Ω,F,P) I

Notacion I

Para a, b ∈ R se define el intervalo:

(a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b

Si a = (a1, a2, . . . , an) y b = (b1, b2, . . . , bn) son puntos enRn, a ≤ b significa que ai ≤ bi para todo i ; se define elintervalo n-dimensional:

(a, b] = x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R : ai < xi ≤ bi






Definicion Axiomatica de la Probabilidad (Ω,F,P) II

Notacion II

Si f : Ω→ Ω′ es una funcion y B ⊆ Ω′, la preimagen de B por f o la imageninversa de B bajo f es el conjunto definido por:

f −1 (B) = w ∈ Ω : f (w) ∈ B

De la definicion se sigue que:

f −1

(⋃i

Bi

)=⋃i

f −1 (Bi )

f −1

(⋂i

Bi

)=⋂i

f −1 (Bi )

yf −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B)

por lo tanto,f −1 (A) = f −1 (A)






Definicion Axiomatica de la Probabilidad (Ω,F,P) III

La estructura de informacion, σ-algebra (F)

Sea Ω un conjunto diferente de vacıo. una coleccion F desubconjuntos de Ω se llama σ-algebra si:

1 Ω ∈ F,

2 Si A1,A2, · · · ∈ F,∪∞i=iAn ∈ F,

3 Si A ∈ F, A ∈ F

Propiedades elementales de una F

1 Si A1,A2, · · · ∈ F,∩∞i=iAn ∈ F.

2 ∅ ∈ F.

3 Si A,B ∈ F entonces:

A ∪ B ∈ F, A ∩ B ∈ F, A \ B ∈ F y A4B ∈ FIng. Andres Alejandro Galvis Correa Estadıstica Avanzada





Definicion Axiomatica de la Probabilidad (Ω,F,P) IV

Espacio medible, (Ω,F)

Sea Ω un conjunto no vacıo Ω 6= ∅ y F es una σ-algebra en Ω,entonces la pareja:

(Ω,F)

recibe el nombre de Espacio Medible; a los elementos de F se lesllama conjuntos medibles.

Hasta el momento se ha introducido la nocion de espacio medible,a continuacion se busca considerar ciertas funciones que le asignena cada elemento A de la σ-algebra F, un valor no negativo µ (A)






Definicion Axiomatica de la Probabilidad (Ω,F,P) V

Funciones de conjunto: la medida µ

Una medida es una funcion definida sobre una coleccion deconjuntos, que a cada conjunto medible le asigna un numero realno negativo; se define como:

µ : F→ R = R ∪ −∞,+∞

Se dice que µ es σ-aditiva si para toda sucesion A1,A2, . . . deconjuntos disjuntos dos a dos en F, tal que A = ∪∞n=1 ∈ F,

µ (A) =∞∑n=1

µ (An)






Definicion Axiomatica de la Probabilidad VI

Espacio de Medida (Ω,F, µ)

Por lo tanto,

1 µ (A) ≥ 0 para todo A ∈ F

2 µ (∅) = 0

3 µ

( ∞⋃n=1

An

)=∑∞

n=1 µ (An) o para el caso finito

µ

(n⋃

i=1Ai

)=∑n

i=1 µ (Ai )






Definicion Axiomatica de la Probabilidad VII

Medida de Probabilidad (Ω,F,P)

Sea Ω 6= 0 y F una σ-algebra definida sobre Ω. La medida P sobre(Ω,F) que satisface la condicion adicional P (Ω) = 1 se llamaMedida de Probabilidad sobre (Ω,F). Al espacio (Ω,F,P) se ledenomina espacio de probabilidad. En este caso, los elementosde F se llaman eventos.

que cumple con los siguientes tres axiomas:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

P(Ω) = 1.

si A y B son incompatibles:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

.Ing. Andres Alejandro Galvis Correa Estadıstica Avanzada





Definicion Axiomatica de la Probabilidad VIII

Algunas relaciones importantes

Si A y B no son incompatibles, entonces:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B)− P(A ∩ B)

Si A ⊆ Ω, entonces:

P(A)

= 1− P (A)

Si A ⊆ B, entonces:

P (A) ≤ P (B)

Si P (A) = 1, entonces es un evento cierto.

Si P (A) = 0, entonces es un evento imposible.Ing. Andres Alejandro Galvis Correa Estadıstica Avanzada





Calculo de Probabilidades I

Espacios muestrales finitos

Si tenemos el evento A = w1,w2, . . . ,wk, su probabilidad sedefine como:

P (A) =k∑

i=1

P (wi )

Es decir,

P (A) =Card (A)

Card (Ω)






Calculo de Probabilidades II

Espacios muestrales infinitos numerables

Sea Ω = w1,w2, . . . ,wn, . . ., su probabilidad se define como:

P (A) =∑wi∈A

P (wi )

Ej: los sets necesarios para ganar un partido de tenis.






Calculo de Probabilidades III

Espacios muestrales continuos

Sea Ω el area de una cancha de futbol y A el area del circulo de lamitad de la cancha, entonces:

P (A) =Medida de A

Medida de Ω

.






Definicion

Definicion

La probabilidad condicional de un evento A dado que ocurrio elevento B, es igual a:

P (A | B) =P (A ∩ B)

P (B)

siempre y cuando P (B) > 0






Independencia

Definicion

Se dice que dos eventos A y B son independientes si cumplencualesquiera de las siguientes condiciones:

P (A | B) = P (A)

P (B | A) = P (B)

P (A ∩ B) = P (A) P (B)

de lo contrario los eventos A y B no son independientes.






Probabilidad Completa y Bayes I

Probabilidad Completa

Si B1,B2, . . . ,Bk constituye una particion de Ω tal queP (Bi ) > 0, para i = 1, 2, 3, . . . , k . entonces para cualquier eventoA,

P (A) =k∑

i=1

P (Bi ) P (A | Bi )






Probabilidad Completa y Bayes II

Formula de Bayes

Sea B1,B2, . . . ,Bk una particion de Ω tal que P (Bi ) > 0, parai = 1, 2, 3, . . . , k . entonces,

P (Bi | A) =P (Bi ) P (A | Bi )∑ki=1 P (Bi ) P (A | Bi )






Aplicacion

El 35 % de los creditos de un banco es para vivienda, el 50 %para industrias y el 15 % para consumo. Resultan morosos el20 % de los creditos de vivienda, el 15 % de los creditos paraindustrias y el 70 % de los creditos para consumo. Calcule laprobabilidad de que se pague un credito elegido al azar.






Variables Aleatorias I

Definicion

Es una funcion definida en un espacio muestral Ω con rango en unconjunto finito o infinito de R

f : Ω→ R

Variable Aleatoria Discreta

Es una variable aleatoria X que solo puede adoptar una cantidadfinita o infinita contable de valores distintos, donde cumple que:

P (X = xi ) > 0

Si pi = P (X = xi ), entonces∑∞

i=1 pi = 1

La funcion de distribucion es F (x) = P (X ≤ xi )






Variables Aleatorias II

Variable Aleatoria Continua

Es una variable aleatoria X que adopta valores definidos en unintervalo (a, b), donde cumple que:

P (X = xi ) = 0

f (x) ≥ 0∫∞∞ f (x) dx = 1

P (a ≤ X ≤ b) =∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a)

Si F (x) =∫ x−∞ f (t) dt, entonces f (x) = F ′ (x)

donde f (x) es la funcion de densidad y F (x) es la funcion dedistribucion.






Variables Aleatorias III

Esperanza

Es un numero real que cuantifica la localizacion de una variablealeatoria, segun el caso se divide en:

VadE [g (x)] =

∑x

g (x) p (x)

Vac

E [g (x)] =

∫ ∞−∞

g (x) f (x) dx






Variables Aleatorias IV

Propiedades de la Esperanza

E (c) = c , donde c es una constante.

E (cX ) = cE (X )

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

Si X y Y son dos variables aleatorias independientes, entonces

E (XY ) = E (X ) E (Y )






Variables Aleatorias V

Varianza

Es un numero que cuantifica la dispersion y la variabilidad de unavariable aleatoria,

V [X ] = σ2 = E[(X − E [X ])2

]igualmente se divide en:

vad

V [X ] =n∑

i=1

[xi − E (X )]2 p (x)

vac

V [X ] =

∫ ∞−∞

[x − E (X )]2 f (x) dx

Propiedades de la Varianza

V (c) = 0, donde c es cte.

V (cX ) = c2V (X ).

Si X y Y son dos variables aleatorias independientes, entonces

V (X + Y ) = V (X ) + V (Y )

caso contario

V (X + Y ) = V (X ) + V (Y )− 2Cov (X ,Y )

donde, Cov (X ,Y ) = E (XY )− E (X ) E (Y )






Aplicacion

Sea el modelo de valuacion de proyectos de inversion, VPN,definido por:

VPN = −I0 +n∑

t=1

ft

(1 + i)t

Construir un modelo probabilıstico de tal manera que se puedacalcular su valor esperado y su varianza.






Momentos y Funcion Generadora de Momentos

Momentos

Sea X una variable aleatoria y n un numero natural. Cuandoexiste, el numero µk = E

(X k)

es el k-esimo momento de X

Funcion Generadora de Momentos

La funcion generadora de momentos (f.g.m) de una variablealeatoria X se define por:

M (t) = E(

etX)

Ademas,

µk = E(

X k)

=∂

∂xkM (t)

para t = 0





Distribuciones DiscretasDistribuciones ContinuasAplicaciones

Distribucion Binomial, Bin (n, p)

Definicion

Es la ley que describe el numero de k exitos en una sucesion de npruebas independientes, con probabilidad p,

P (X = k) = C kn pkqn−k

sus medidas de localizacion y dispersion son:

E (X ) = np V (X ) = npq

Ej: Una encuesta revela que el 20 % de la poblacion es favorable aun polıtico, si se eligen seis personas al azar, construya la ley deprobabilidad de la variable aleatoria y calcule su esperanza yvarianza.






Distribucion Hipergeometrica, H (N .n, r)

Definicion

Es la ley que describe el numero de k casos favorables, en unaextraccion de r elementos de un conjunto de tamano N, formadopor dos o mas atributos.

P (X = k) =C kn C r−k

N−nC rN


E (X ) =rn

NV (X ) = r

n

N

(1− n

N

)(N − r

N − 1

)Ej: Seleccionar 3 estudiantes y encontrar personal de Tesoreria






Distribucion Binomial Negativa, BN (r , p)

Definicion

Es la ley que describe el numero de intentos k para obtener rexitos con una probabilidad p.

P (X = k) = C r−1k−1pr (1− p)k−r


E (X ) =r

pV (X ) = r

1− p

p2






Distribucion Geometrica, G (p)

Definicion

Es un caso particular de la ley binomial negativ cuando r = 1

P (X = k) = p (1− p)k−1


E (X ) =1

pV (X ) =

1− p

p2






Distribucion de Poisson, P (λ)

Definicion

Es la ley que describe el numero de k ocurrencias favorables acambios en alguna unidad de tiempo o espacio.

P (X = k) =e−λt (λt)k

k!


E (X ) = λ V (X ) = λ

Ej: En un hotel, el promedio de pedidos de servicio a la habitaciondes igual a 2 cada media hora, halle la probabilidad de que en unahora se reciban menos de 3 pedidos.






Distribucion Uniforme Continua, U (a, b)

Definicion

Es la ley que describe el comprtamiento de una variable aleatoria que seencuentra definida en un intervalo (a, b), y se caracteriza por conservar lamisma probabilidad de ocurrencia en todos sus puntos.

f (x) =

1

b−a si x ∈ (a, b)

0 si x 6= (a, b)F (x) =

0 si x < a

x−ab−a si a ≤ x ≤ b

1 si x > b)


E (X ) =a + b

2V (X ) =

(b − a)2

12






Distribucion Exponencial, E (λ)

Definicion

Es la ley que describe el comportamiento de una variable aleatoria queposee un decrecimiento exponencial, pj: propagacion radiactiva, la vidade una persona y la duracion de aparatos electronicos.

f (x) =

0 si x < 0

λe−λx si x > 0F (x) =

0 si x < 0

1− e−λx si x > 0


E (X ) =1

λV (X ) =

1

λ2






Distribucion Normal, N(µ, σ2

)Definicion

Es la ley de mayor uso en la ciencias, describe el comportamiento de unagran cantidad de fenomenos aleatorios, bajo un argumento centralizadorde la naturaleza.

f (x) =1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 F (x) =1√2πσ

∫ x

−∞e−

(x−µ)2

2σ2 dx


E (X ) = µ V (X ) = σ2






Distribucion Normal Estandar, N (0, 1)

Definicion

Utilizando la trasformacion

Z =x − µσ

se obtiene

f (x) =1√2π

e−x2

2 F (x) =1√2π

∫ x

−∞e−

x2

2 dx


E (X ) = 0 V (X ) = 1






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Estadística avanzada