ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL ... del conocimiento...ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO ESCRITO PARA CECC/SICA DEL SISTEMA DE INTEGRACIÓN CENTROAMERICANA

ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO

ESCRITO PARA CECC/SICA DEL SISTEMA DE INTEGRACIÓN CENTROAMERICANA

POR

TRACEY TOKUHAMA-ESPINOSA, PH.D GRACIELA MARIANA RIVERA BILBAO

QUITO, 27 DE ABRIL DE 2013

1

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 1

Antecedentes ............................................................................................................... 1

El problema .................................................................................................................. 2

Preguntas de investigación .......................................................................................... 3

Contexto y marco teórico ............................................................................................. 3

El propósito del estudio ................................................................................................ 3

El significado del estudio.............................................................................................. 3

Definición de términos.................................................................................................. 3

Presunciones del autor del estudio .............................................................................. 4

Supuestos del estudio .................................................................................................. 4

REVISIÓN DE LA LITERATURA ..................................................................................... 5

Géneros de literatura incluidos en la revisión .............................................................. 5

Fuentes .................................................................................................................... 5

Pasos en el proceso de revisión de la literatura ....................................................... 5

Temas de la revisión de la literatura ......................................................................... 5

El desarrollo infantil temprano .............................................................................. 6

Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas 0-3 años ................................... 9

Antecedentes .................................................................................................... 9

El sentido numérico ......................................................................................... 10

Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años ............................ 13

Procesamiento numérico ................................................................................. 15

Competencias para el aprendizaje de las matemáticas ......................................... 18

1. La habilidad física de ver números y palabras ................................................ 18

El reconocimiento visual .................................................................................. 19

2. La habilidad de utilizar funciones ejecutivas y habilidades de pensamiento de

orden superior ..................................................................................................... 20

3. La habilidad de generalizar en un mismo concepto diferentes símbolos que

representan una misma idea .............................................................................. 22

Modelo de Código Triple ................................................................................. 23

Dos redes neurales para la identificación de símbolos ................................... 27

Primera red neuronal para el procesamiento simbólico .................................. 27

Segunda red neuronal para el procesamiento simbólico ................................. 27

4. Habilidad de estimar o aproximar cantidades ................................................. 30

5. Habilidad de retener información en la memoria ............................................ 33

6. La habilidad para almacenar y utilizar procedimientos ................................... 36

Línea numérica mental .................................................................................... 36

Elección de la memoria verbal ........................................................................ 39

2

Elaboración semántica .................................................................................... 39

Uso de la memoria de trabajo ......................................................................... 40

Estrategias y planificación de procedimientos matemáticos ........................... 40

7. Habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente ...................... 41

8. Habilidades gráficas ........................................................................................ 45

Resumen revisión de la literatura ............................................................................... 47

ANÁLISIS ...................................................................................................................... 55

Bases del aprendizaje futuro de las matemáticas ...................................................... 55

La facultad primitiva del sentido numérico .............................................................. 55

Orden, ubicación y procesos numéricos: la línea numérica mental ........................ 56

Estimación mental: el sistema del número aproximado.......................................... 57

Subáreas ................................................................................................................ 58

Procesamiento y operaciones ............................................................................. 58

Geometría y espacio ........................................................................................... 59

Medición ............................................................................................................. 60

Patrones ............................................................................................................. 61

Representación gráfica de datos ........................................................................ 62

Consideraciones globales en el aprendizaje .......................................................... 64

El factor docente ................................................................................................. 65

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................. 66

Respuestas a las preguntas de investigación ............................................................ 66

¿Hay una edad para alcanzar el procesamiento matemático? ............................... 66

¿Es posible medir el procesamiento inicial matemático? ....................................... 68

¿Existen programas de intervención escolar que contribuyan a mejorar el

pensamiento inicial matemático? ........................................................................... 73

Building Blocks, Pre-K Mathematics, Rightstart .................................................. 74

Herramientas de la mente (Tools of the Mind) .................................................... 74

La carrera del número (The Number Race) ....................................................... 75

Los mundos del número (The Number Worlds) .................................................. 77

Resumen de las posibles intervenciones ............................................................... 79

Limitaciones del estudio ............................................................................................. 79

Recomendaciones para futuros estudios ................................................................... 80

Resumen final ............................................................................................................ 80

Resumen de los circuitos neuronales relacionados con la matemática ................. 81

REFERENCIAS ............................................................................................................. 84

3

FIGURAS Figura 1. Activación neuronal en el procesamiento de cantidad.................................... 11

Figura 2: Esquema mental de la resolución de problemas matemáticos ....................... 14

Figura 3. Activación cerebral en el procesamiento numérico ........................................ 16

Figura 4. Redes visuales activadas ............................................................................... 19

Figura 5. Circuitos relacionados con la atención en el cerebro ..................................... 21

Figura 6. Esquema del Modelo de Código Triple en el cerebro ..................................... 23

Figura 7. Imagen cerebral del Modelo de Código Triple ................................................ 24

Figura 8. Regiones activadas en el cerebro al reconocer letras y símbolos .................. 26

Figura 9. Magnitud y cálculo en niños y niñas con discalculia y sin discalculia ............. 28

Figura 10. Evidencia neural de la convergencia entre representaciones numéricas

simbólicas y no simbólicas ..................................................................................... 29

Figura 11. Aproximación numérica para niños y niñas pequeños ................................. 31

Figura 12. Activación neuronal de respuesta al cambio de número .............................. 31

Figura 13. Activaciones en el cerebro adulto a los cambios en numerosidad ............... 32

Figura 14. Activación cerebral al estimar y comparar .................................................... 33

Figura 15. Memoria de corto a largo plazo .................................................................... 34

Figura 16. Memoria de trabajo ....................................................................................... 35

Figura 17. Activaciones cerebrales en el procesamiento de estímulos no simbólicos

numéricos ............................................................................................................... 36

Figura 18. Representación del número en la línea numérica mental ............................. 37

Figura 19. Activación neuronal al realizar diferentes procesos matemáticos ................ 38

Figura 20. Activación de regiones parietales involucradas en el cálculo ....................... 41

Figura 21. Patrón general de la actividad durante cada operación mental .................... 42

Figura 22. Áreas del cerebro involucradas en procesos matemáticos .......................... 43

Figura 23. Activación cerebral al realizar sumas y restas .............................................. 45

Figura 24. Ejemplos del sistema de Singapur ............................................................... 46

Figura 25. Bloques de Cuisenaire Rods y la correspondencia de colores ..................... 67

Figura 26. The Number Race ........................................................................................ 76

TABLAS

Tabla 1. Sentido numérico ............................................................................................. 12

Tabla 2. Habilidades y circuitos neuronales para las matemáticas en niños de 0-6 años

............................................................................................................................... 15

Tabla 3. Resumen de la revisión de literatura ............................................................... 47

Tabla 4. Áreas de contenido para el aprendizaje de las matemáticas y su posible

medición ................................................................................................................. 68

ESTUDIO DEL ARTE SOBRE PROCESAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO PARA CECC/SICA DEL SISTEMA DE INTEGRACIÓN CENTROAMERICANA Tokuhama-Espinosa Rivera Bilbao

1

INVESTIGACIÓN BIBLIOGRÁFICA SOBRE PENSAMIENTO INICIAL NUMÉRICO

PARA CECC/SICA DEL SISTEMA DE INTEGRACIÓN CENTROAMERICANA

INTRODUCCIÓN

Antecedentes

El Proyecto Regional de Educación de la Coordinación Educativa y Cultural Centroamericana (CECC/SICA) propicia actividades de producción y difusión de conocimiento sobre factores relacionados con la enseñanza de la lectura y la matemática que posiblemente se asocien con el fracaso escolar, medido en indicadores de repetición, extra edad y abandono. El CECC/SICA requiere de la elaboración de un estudio del arte sobre Pensamiento Inicial Numérico. La investigación solicitada sobre Pensamiento Inicial Numérico parte del planteamiento del Ministerio de Educación de Costa Rica que “está especialmente interesado en encontrar aplicación didáctica de los principios científicos que se derivan de los hallazgos de las neurociencias” (CECC/SICA, 2012a, p.1). Para ello, el Ministerio de Educación ha solicitado a la CECC/SICA “realizar una indagación específica sobre si el fracaso escolar podría estar asociado al hecho de que, al comienzo de la escolaridad, los niños y niñas no han logrado el procesamiento inicial matemático en el nivel adecuado previo al aprendizaje escolar de la matemática” (CECC/SICA, 2012a, p.1). A decir de Daniel Ansari, investigador de la Universidad del Oeste de Ontario y miembro de la directiva del International Mind, Brain, and Education Society (IMBES), el Ministerio de Educación de Costa Rica estaría indagando sobre un “tema fundamental” para entender los factores que influyen en los procesos de aprendizaje (Ansari, 4 de septiembre de 2012, comunicación personal). Los Términos de Referencia recibidos sostienen que el abandono de la escuela es un proceso que no ocurre repentinamente. Parten de la hipótesis de que el desarrollo del pensamiento inicial numérico contribuye a un mejor aprendizaje de la matemática (CECC/SICA, 2012a). Argumentan que existen señales previas al abandono en el ámbito pedagógico, posibles de identificar por el sistema educativo y factibles de corregir oportunamente. Además, consideran que directivos y docentes que puedan identificar las posibles deficiencias en la adquisición del pensamiento inicial numérico podrían evitar procesos de no aprendizaje, repetición, extra edad y rezago escolar, los que conllevan a una pérdida en la autoestima de los estudiantes y suelen terminar en abandono de la escolaridad (CECC/SICA, 2012a). En este contexto, la CECC/SICA busca una aclaración conceptual basada en un estudio bibliográfico acerca de cuál sería el nivel de desarrollo normal del pensamiento inicial numérico que niños y niñas debieran alcanzar en la etapa preescolar, a fin de que el aprendizaje posterior de las matemáticas se realice con éxito en los aprendizajes escolares.


2

El problema

Se sabe que la instrucción temprana en matemáticas es beneficiosa: “Los niños que aprenden los fundamentos de matemáticas en la etapa preescolar y en el kindergarten tienen las mejores posibilidades de logros escolares. Pero con demasiada frecuencia, los niños no reciben la instrucción de calidad necesaria que puede hacer esta diferencia” (Moomaw, 2011; United States Department of Education, 2008). La buena instrucción en matemáticas en edades tempranas es un indicador de logro en esta disciplina en los años posteriores (Jordan, Kaplan, Ramineni, & Locuniak, 2009). También se sabe que hay indicadores tempranos que pueden ayudar a identificar problemas potenciales (Jordan, Kaplan, Ramineni, & Locuniak, 2009; Jordan & Levine, 2009; Locuniak & Jordan, 2008; Mazzocco & Thompson, 2005). Por ejemplo, existen varios estudios longitudinales (desde el comienzo hasta el final del kindergarten) que muestran que los indicadores de conocimiento de números como contar, discriminar la cantidad y nombrar los números son predictores de logros (de medio a muy bueno) en el aprendizaje de las matemáticas en niveles superiores (Clarke, & Shinn, 2004; Geary, 1990; Lembke, Foegen, 2009; Methe, Hintze, & Floyd, 2008 citado en Jordan, 2010). Finalmente, se reconoce que niños y niñas que pueden participar en programas de intervención temprana (prekindergarten) de alta calidad, pueden mejorar las consecuencias de la pobreza a través de una enseñanza de calidad y un buen inicio de la escolaridad (Hindman, Skibbe, Miller, & Zimmerman, 2009; Sarama, Clements, Starkey, Klein, & Wakeley, 2008), y que el conocimiento pedagógico del docente sobre qué, cómo y por qué enseñar ciertos conceptos matemáticos en los momentos precisos es fundamental (Bowman, et al., 2001; Darling-Hammond, 1997). El Ministerio de Educación de Costa Rica supone una relación entre el fracaso escolar y el aprendizaje de las matemáticas, el cual va de la mano de una deficiente adquisición del pensamiento inicial numérico. Argumentan que el fracaso escolar podría estar asociado al hecho de que los niños y niñas, al comienzo de la escolaridad, no han logrado desarrollar destrezas relacionadas con el pensamiento inicial numérico en un nivel adecuado previo al aprendizaje escolar de la matemática (CECC/SICA, 2012b). Los datos proporcionados por la CECC/SICA evidencian que un 17,2% de los niños y niñas de primer grado se encuentran en riesgo de fracaso y abandono escolar. Adicionalmente, se ha identificado que son alrededor de 15.000 niños y niñas que no han logrado aprobar el primer grado de primaria (CECC/SICA, 2012b), sea por abandono o por no haber sido promovidos. De acuerdo con los datos proporcionados por la CECC/SICA, y siendo el Ministerio de Educación de Costa Rica el que se plantea la hipótesis de la relación entre el procesamiento inicial matemático y el aprendizaje de la matemática, este estudio pretende aclarar las posibles relaciones entre estas dos habilidades y su probable influencia sobre el abandono escolar.


3

Preguntas de investigación

La pregunta principal de investigación es: ¿Cómo y hasta qué punto la adquisición del pensamiento inicial numérico influye en el aprendizaje de las matemáticas en niños y niñas de primer grado de primaria? Preguntas secundarias incluyen: (a) ¿Hay una edad para alcanzar el pensamiento inicial matemático? (b) ¿Es posible medir la adquisición del pensamiento inicial matemático? y (c) ¿Existen programas de intervención escolar que contribuyan a mejorar el pensamiento inicial matemático?

Contexto y marco teórico

El marco teórico de este estudio se basa en la ciencia de la Mente, Cerebro y Educación, o la intersección de la neurociencia, psicología cognitiva y la pedagogía. Existen pocos estudios que integran fuentes de información sobre cómo funciona el cerebro respecto a conciencia inicial matemática y su aplicación en las escuelas. Por ende, se utilizarán las aproximaciones más cercanas ofrecidas por Stanislas Dehaene, Brian Butterworth, Douglas Clements, Julie Sarama, Nancy Jordan y Daniel Ansari, entre otros líderes neurocientíficos, con años de experiencia en la exploración del uso de sus investigaciones en campos educativos.

El propósito del estudio

El propósito de este estudio del arte es sistematizar los principales hallazgos encontrados en diferentes estudios e investigaciones sobre el desarrollo del pensamiento inicial numérico en función de sus implicaciones y consecuencias para la adquisición de posteriores aprendizajes, particularmente de la matemática. Se busca establecer parámetros dentro de los que el Ministerio de Educación de Costa Rica pueda tomar decisiones sobre intervenciones apropiadas, relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas en la etapa escolar inicial.

El significado del estudio

Los resultados presentados en este estudio permitirán organizar y relacionar importantes aportes conceptuales que contribuirán a identificar posibles factores que se están pasando por alto en el proceso pedagógico de niños y niñas en los primeros años de escolaridad. La identificación de los posibles factores podría derivar en la introducción de medidas iniciales para favorecer los posteriores aprendizajes de las matemáticas.

Definición de términos

Cerebro: para efectos de la presente investigación, es la parte más evolucionada y grande del encéfalo. En el cerebro se dan la cognición, el pensamiento, las emociones, la memoria y el lenguaje, entre otras habilidades. Tiene dos hemisferios, cada uno con cuatro lóbulos: frontal, temporal, parietal y occipital. La parte más externa es la corteza cerebral, que tiene unos repliegues que forman circunvoluciones y cisuras (Enciclopedia Salud, 2013).


4

Ciencia de la Mente, Cerebro y Educación: ciencia transdiciplinaria que emerge de la interrelación de la Psicología (Biosicología, Psicología del Desarrollo y Psicología Cognitiva), las Neurociencias (Neurociencia Cognitiva, Neuroética, Neuropsiquiatría, Neurociencia del Desarrollo, Pediatría) y la Educación (Pedagogía, Educación Especial). Se la nombra con las siglas MCE (Tokuhama-Espinosa, 2011).

Discalculia: trastorno del aprendizaje que se manifiesta con una baja capacidad para el procesamiento numérico y el cálculo (Emerson, 2010).

Mente: para efectos del presente ensayo, se conoce como mente el estudio de los fenómenos cerebrales desde el ámbito psicológico (Tokuhama-Espinosa, 2011).

Vía o red neuronal: el tracto neural que une una parte del sistema nervioso con otra. Por lo general consiste en haces de mielina alargadas, con aislamiento de neuronas, conocidas colectivamente como materia blanca. Las vías neuronales sirven para conectar las zonas relativamente distantes del cerebro o el sistema nervioso, y también sirven como rutas de destrezas distintas en el cerebro (Purves, 2001).

Plasticidad cerebral: se refiere a la habilidad de cambiar la eficacia de la transmisión sináptica, y de las conexiones neuronales en la actividad aferente (Purves, 2001).

Presunciones del autor del estudio

Se presume que los antecedentes contenidos en los Términos de Referencia enviados por la CECC/SICA reflejan la realidad sobre deserción escolar en Costa Rica.

Supuestos del estudio

Se supone que es posible extrapolar a Costa Rica los resultados de los estudios sobre procesamiento inicial matemático realizados en su mayoría en Estados Unidos y Europa, fuera del contexto hispanohablante.

Se supone que existe una relación directa entre una baja adquisición del procesamiento inicial matemático y bajos índices de logro en matemáticas.

Se supone que el aprendizaje de la matemática tiene relación con la adquisición inicial del lenguaje (Denton & West, 2002; Donlan, Cowan, Newton & Lloyd, 2007; Evans, 2008; Miura, 1987; Miura, Kim, Chang & Okamoto, 1988; Park, 2000), y que el aprendizaje de la lectura influye en los logros de otros aprendizajes, como el de las matemáticas, a lo largo de la vida.

Se supone que los resultados del estudio del arte se utilizarán en niños y niñas con cerebros “típicos”, de los que el 95% son sujetos diestros y 70% zurdos, que utilizan el hemisferio izquierdo de acuerdo al idioma que hablan, tal como los individuos de los estudios presentados en este estudio del arte. Cabe resaltar que existe una población importante que NO se refleja en la información contenida en este informe.


5

Por medio de la presente recopilación bibliográfica se pretende contribuir al entendimiento de los procesos cerebrales comprometidos en el aprendizaje de la matemática y el procesamiento numérico bajo el lente de la Ciencia de Mente, Cerebro y Educación (MCE). A continuación una revisión de los estudios más actualizados sobre matemáticas en el campo de MCE.

REVISIÓN DE LA LITERATURA

Géneros de literatura incluidos en la revisión

Fuentes

Las fuentes bibliográficas utilizadas se enmarcan en los avances realizados por la Ciencia de Mente, Cerebro y Educación (MCE), de los centros de investigación más avanzados en este campo como el Canada Research Chair in Developmental Cognitive Neuroscience, la American Association for the Advancement of Science; Journal for Research in Mathematics Education, National Council of Teachers of Mathematics (EEUU) y la International Mind, Brain, and Education Society (IMBES), entre otros. Las investigaciones y documentación vienen de las fuentes primarias y contactos personales con los autores e investigadores de dichos centros. Se otorga prioridad a estudios, investigaciones, artículos científicos, publicaciones y otros con no más de diez años de antigüedad. Además se utilizan todos aquellos estudios y publicaciones que son referencia de otros estudios realizados en este siglo, y que por su trascendencia siguen siendo mencionados.

Pasos en el proceso de revisión de la literatura

La revisión inicial de la literatura general dio lugar a la elaboración de un mapa conceptual que establece las relaciones requeridas por los Términos de Referencia. La lectura en profundidad de la literatura más especializada registra la información en función del marco conceptual. La etapa analítica refleja tendencias que pudieran existir y sugiere, con la claridad que pueda lograrse, la preferencia de la investigadora por tal o cual tendencia en particular. Se escogió, de manera que quede claramente identificado, lo que puede considerarse un hallazgo conclusivo consolidado de lo que está aún en proceso y debiera someterse a posteriores escrutinios.

Temas de la revisión de la literatura

Como en cualquier área de aprendizaje, “todas las decisiones relacionadas con las matemáticas, el currículo y las prácticas de enseñanza deben estar fundamentadas en el conocimiento del desarrollo del niño y su capacidad de aprender en todos los ámbitos relacionados –cognitivo, lingüístico, físico y socioemocional” (NAEYC & NCTM, 2002). Aunque se reconoce la gran importancia de los aspectos físicos y socioemocionales, este estudio está limitado a la revisión de literatura sobre el proceso de aprendizaje de conceptos matemáticos en el cerebro y su posible aplicación a diferentes metodologías de enseñanza.


6

La revisión de la literatura está dividida en tres grandes temas: (a) desarrollo infantil temprano; (b) la matemática en el cerebro de niños y niñas de 0-3 años; y (c) las matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años.

El desarrollo infantil temprano

El análisis del aprendizaje de la matemática desde el punto de vista de MCE lleva también a enriquecer la comprensión de lo que llamamos “desarrollo infantil temprano” y su influencia en los futuros aprendizajes, así como destacar sugerencias generales para alimentar estos procesos de desarrollo con base en evidencia. El National Scientific Council on the Developing Child de la Universidad de Harvard, utilizando distintas investigaciones basadas en los hallazgos de MCE, políticas públicas y economía, propone prácticas orientadas a promover el desarrollo infantil temprano como base del crecimiento de niños y niñas. En las políticas a nivel mundial ya se han planteado recomendaciones para fortalecer el desarrollo infantil en etapas tempranas. Se ha observado que esto ya es una prioridad nacional a lo largo de las Américas, manifestado en declaraciones en Chile, EEUU, Ecuador y Colombia en 2012 y 2013. Al momento, MCE puede apoyar varias recomendaciones basándose en evidencia científica. Entre las recomendaciones fundamentadas en planteamientos internacionales basados en evidencia, como el caso argentino, Hacia un modelo interdisciplinario: Biología, interacción social y desarrollo infantil temprano (Rolla, Hinton & Shonkof, 2011), encontramos las siguientes:

Invertir en servicios de salud, educación y estimulación de alta calidad en edades tempranas con oportunidades de desarrollo adecuadas, como base de una sociedad sana, próspera y sustentable (Rolla, et al., 2012). Desde el punto de vista económico, la inversión en desarrollo infantil temprano asegura un efecto multiplicador en la edad adulta (Lynch, 2004; Rolla, et al., 2012). Por lo tanto, cultivar habilidades y motivación en etapas tempranas de la vida sirve de andamio para desarrollar estas mismas características en edades adultas (Cunha, Heckman, Lochner, & Masterov, 2006). Oportunidades de desarrollo adecuadas son la base de una sociedad sana, próspera y autosustentable.

Estimular y exponer a niños y niñas a experiencias que desarrollen bases que contribuyan a la organización cerebral (Fox, Levitt, & Nelson, 2010; Meaney, 2010) procurando involucrar a niños y niñas “en oportunidades futuras de aprendizaje y de salud física y mental” (Rolla, 2012, p. 74). La arquitectura cerebral se organiza en forma continua y jerárquica, desde los circuitos más simples hasta los más complejos. También se sabe que en los primeros años de vida se forman alrededor de 700 conexiones neuronales por segundo. A los siguientes años se les denomina de poda, que es cuando se van debilitando aquellas redes de poco uso (Center on the Developing Child, 2007). A su vez, Knudsen (2004; 2006) propone que la arquitectura cerebral se encuentra organizada de tal manera, que los circuitos más simples son la base de circuitos más complejos. En el caso de la lectura, los circuitos que se desarrollan en el área visual y fonológica utilizados para el lenguaje


7

y la comunicación en los primeros años de infancia van a ser el andamio donde se construirán los procesos de lectoescritura. El aprendizaje de la lectura y escritura al inicio de la etapa escolar se verá favorecido por la estimulación y desarrollo de los circuitos neurales que involucran el lenguaje, así como las áreas de reconocimiento visual y fonológico relacionadas con la matemática.

Promover relaciones de interacción recíproca de ida y vuelta (serve and return en inglés) entre los niños, niñas y sus padres, así como con las diferentes personas que se encargan de su cuidado en la familia y en la comunidad (Rolla, et al., 2012). Las respuestas empáticas que se producen en las relaciones positivas en función de las necesidades emocionales y comunicacionales de los niños y niñas pueden afectar la arquitectura cerebral de los mismos. De esta manera, si es que en la etapa de balbuceo las expresiones faciales, gestos y movimientos corporales de todos aquellos que se relacionan con los niños y niñas son coordinados de manera coherente con las emociones, se asegurará una mejor organización cerebral, la cual servirá de andamiaje para nuevos aprendizajes, como por ejemplo el procesamiento inicial matemático, objeto de esta investigación.

Propender al bienestar emocional, la salud física, las competencias sociales, las aptitudes cognitivas y el desarrollo del lenguaje de niños y niñas. El cumplimiento de este propósito se sustenta en la complejidad cerebral; el cerebro es un órgano integrado y coordinado, de tal manera que el bienestar emocional y el desarrollo de competencias sociales son una base sólida para el surgimiento de habilidades cognitivas y un buen desempeño escolar.

Prevenir los niveles de estrés tóxico para los niños y niñas. El estrés tóxico tiene relación con una activación abrupta, frecuente y prolongada de los sistemas de respuesta al estrés (Rolla et al. 2012). La exposición permanente a estrés tóxico activa respuestas fisiológicas como el incremento del ritmo cardiaco, la presión sanguínea y la acción de hormonas del estrés. Si niños y niñas se encuentran protegidos por relaciones adultas de contención, es más probable una adaptación a los desafíos de la vida y retomar un estado fisiológico normal. Contribuir a la prevención del abandono o abuso y contar con sistemas de protección a la niñez permite un desarrollo cerebral más equilibrado.

Intervenir en edades tempranas para aprovechar la plasticidad cerebral. Desde intervenciones emocionales que brinden un lugar seguro para el crecimiento de niños y niñas, hasta el aprendizaje y desarrollo de habilidades como la identificación y procesamiento de los números, son deseables mientras más rápido se realice la intervención. Si bien es cierto que no existe una sola edad para las intervenciones, queda claro que en la mayoría de los casos una intervención tan temprana como posible es mucho más efectiva que si es tardía (Rolla, et al., 2012).

Estas seis recomendaciones deben estar incorporadas al momento de planificar cualquier política pública respecto a la enseñanza. El primer punto (Invertir en servicios de salud, educación y estimulación de alta calidad en edades tempranas) concierne a


8

oportunidades y acceso a la educación temprana. El segundo punto (Estimular y exponer a niños y niñas a experiencias que desarrollen bases) refiere a la importancia de la calidad de experiencia de los contactos en las edades tempranas. No es igual una “guardería” donde simplemente protejan a los niños de peligros, sino un ambiente que estimule su interés en conceptos básicos de lenguaje y matemáticas. El tercer punto (Promover relaciones de interacción recíproca de ida y vuelta) mejora la calidad de pensamiento de los niños a través de una habituación de procesos de pensamiento en lenguaje y matemáticas. El cuarto punto (Propender al bienestar emocional) destaca la importancia de un ambiente socioemocional positivo dentro del cual el niño puede empezar a relacionar experiencias educativas con interacción motivadora. El quinto punto (Prevenir los niveles de estrés tóxico para los niños y niñas) extiende el punto cuatro para delinear entre experiencias positivas y negativas, y el rol del cuidador de proteger a los niños de amenazas a su desarrollo debido a estrés tóxico causado por las personas o condiciones del ambiente. El sexto punto (Intervenir en edades tempranas para aprovechar la plasticidad cerebral) refleja el hecho de que, aunque el cerebro puede aprender a lo largo de la vida, hay etapas de más plasticidad en las edades tempranas. Independientemente de la materia enseñada –Matemáticas, Lenguaje, Ciencias, Cívica y Cultura, Arte, Educación Física– las condiciones de aprendizaje influyen en el éxito del estudiante. Además de los seis puntos mencionados por el Center on the Developing Child, hay cuatro puntos adicionales identificados por Tokuhama-Espinosa (2011) relacionados con el aprendizaje de las matemáticas: (a) cómo un niño se siente sobre el proceso (autoestima); (b) cómo el aprendizaje influye en su estatus social y relación con pares; (c) la relación estudiante-docente; y (d) su motivación por la materia (Tokuhama-Espinosa, 2011, p.183, traducido por autor). Aunque no es el enfoque del estudio actual, al considerar la enseñanza exitosa de las matemáticas en edades tempranas es importante tener en cuenta no solo los aspectos de matemáticas en el cerebro, sino estas diez condiciones del aprendizaje que acabamos de mencionar. Finalmente, otra área de importancia dentro de MCE es la conexión entre matemáticas y el lenguaje. El aprendizaje de la matemática se relaciona con el lenguaje y la lectura, ya que son sus medios de enseñanza, los cuales a su vez utilizan y comparten circuitos neuronales (Ansari, 2010; Dehaene, 1997; Dehaene, 2011; Devlin 2010). El aprendizaje de las matemáticas desde la perspectiva MCE pone en evidencia la importancia del aprendizaje del lenguaje y el desarrollo de las áreas involucradas en el procesamiento matemático. El lenguaje, a diferencia del sentido numérico innato, en su fase inicial requiere de estimulación de las rutas cerebrales, base para su desarrollo y posterior adquisición de códigos verbales que se emplean en diferentes destrezas, así como en el desarrollo del Modelo de Código Triple, el cual se explicará más adelante. Desde el segundo año de vida el cerebro de los niños y niñas va formando hasta 700 conexiones o redes neuronales por segundo (Center on the Developing Child, 2007), por lo que se debe aprovechar el estímulo y refuerzo de las rutas cerebrales relacionadas con el lenguaje,


9

el sentido numérico, la línea numérica mental y los procesos de aproximación matemática para contribuir a reafirmar las rutas de adquisición del procesamiento verbal y matemático. La estimulación permanente y adecuada a la edad del niño mencionada anteriormente sentará las bases (neuronalmente hablando) para un futuro aprendizaje del sistema de representación verbal y matemática. Para responder al desarrollo integral de una persona en edades tempranas, las escuelas tienen que tomar en consideración aspectos socioemocionales, cognitivos y de crecimiento físico (Perkins, 2010). Este estudio concierne principalmente el aspecto cognitivo; sin embargo, respuestas provenientes solo de la neurociencia no son la solución a los retos de una mejor educación. Se espera que el aspecto del desarrollo cognitivo en matemáticas sirva como un elemento dentro de todo el rompecabezas de la formación integral de los niños y niñas en la escuela.

Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas 0-3 años

El primer tema, La matemática en el cerebro de niños y niñas de 0-3 años, está subdividido en: (a) antecedentes (b) sentido numérico.

Antecedentes

¿Por qué los seres humanos tardaron 25.000 años en desarrollar sistemas simbólicos para la enumeración y los niños han logrado dominarlos en pocos años? Hace 30.000 años, los seres humanos mantuvieron registros de cantidades numéricas haciendo marcas en fragmentos de los huesos. La evolución de un sistema numérico se tardó aproximadamente 25.000 años (por ejemplo, el sumerio cuneiforme). Hoy en día, los niños adquieren el significado de las palabras para contar, los procesos para contar, los números arábigos, números escritos en palabras y los procesos de aritmética básica como sumar y restar en apenas seis años (entre 2 y 8 años de edad). ¿Qué habilidades cognitivas permitieron a nuestros ancestros lograr contar en primer lugar? Además, ¿qué habilidades cognitivas permiten que los niños adquieran conocimientos matemáticos rápidamente mientras nuestros ancestros se demoraron varios miles de años en crearlas? (Cantlon, 2012, p. 10725).

Hipótesis del reciclaje neuronal:

Dehaene (2009) plantea la hipótesis del reciclaje neuronal afirmando el hecho de que la arquitectura del cerebro humano se rige a marcados contrastes genéticos, y que ciertos circuitos pueden tolerar variaciones. Uno de los sistemas estudiados por Dehaene relacionado con el aprendizaje de la lectura es el visual. Hace miles de años, los seres humanos utilizaban áreas de la corteza occipital para inspeccionar las amplias llanuras e identificar los animales que podrían atacarlos; en la actualidad no hace falta el uso de estas redes visuales, y éstas pueden dedicarse a otras funciones. El sistema visual,


10

ubicado en la región occipito-temporal, es muy plástico y puede sufrir cambios por la influencia del ambiente. Esto ha dado paso a la oportunidad de observar símbolos que permiten desarrollar el sistema de identificación y relación entre los números arábigos, las letras con que se escribe el nombre de dichos números, y los grupos de objetos que pueden representarlos. Por otro lado, el concepto del Efecto de Baldwin (1896) indica que si hay algún factor que pueda ser utilizado para la supervivencia de la especie, éste se transmitirá a los genes de las futuras generaciones. Por ejemplo, se ha identificado en la región occipito-temporal de cerebros humanos, un alargamiento de esta región, lo que indica un mayor uso en los humanos. El alargamiento de la región occipito-temporal se atribuye a la asociación de regiones de procesamiento de lenguaje y redes semánticas utilizadas en los procesos de aprendizaje en general (inclusive el de las matemáticas), especialmente en los lóbulos temporales anterior y lateral (Dehaene, 2009). La hipótesis del reciclaje neuronal también propone que, para que exista un proceso como el del aprendizaje de las matemáticas, significa que ya existe un nicho de conexiones neuronales propicio para desarrollar esta habilidad (Dehaene, 2009). De acuerdo a la hipótesis del reciclaje neuronal, cuando el hombre de las cavernas hizo las primeras representaciones pictográficas, su cerebro utilizó redes o vías neuronales visuales que identificaban a los animales en las llanuras, y otras redes neuronales conceptuales que elaboraban el acto de cazar estos animales, haciendo que sus capacidades de reconocimiento simbólico se incrementaran (Deacon, 2001; Dehaene, 2008; Mussolin, Mejias, & Noel, 2010; Wolf, 2008). El cerebro de los seres humanos aprendió a conectar áreas visuales con áreas conceptuales que permitieran el entendimiento de símbolos, cantidades y áreas de lenguaje donde emerge una nueva habilidad: la capacidad de leer primero los símbolos pictóricos y después los alfabetos, o los números arábigos, y transmitir una forma escrita de lenguaje, preservada de generación en generación (Wolf, 2008). La importancia de entender el concepto de reciclaje neuronal en el contexto del presente estudio del arte es reconocer que algunos estudios sugieren que, al ser el aprendizaje de la matemática una destreza en continuo desarrollo en el cerebro de los seres humanos, existen más problemas (ej., discalculia) por falta de refinamiento de las redes (Tokuhama-Espinosa, 2011) que por su desarrollo per se.

El sentido numérico

Uno de los primeros conceptos necesarios para entender los procesos involucrados en el aprendizaje de las matemáticas desde la mirada de la ciencia de MCE es el sentido numérico (o Number Sense en inglés), una facultad primitiva del ser humano. En el año de 1954, el investigador Tobias Dantzing definió el sentido numérico como “la facultad que permite al hombre reconocer que algo se ha modificado en un pequeño grupo de cosas cuando, sin su conocimiento directo, un objeto ha sido eliminado o añadido a dicho grupo” (Dantzing, 2005, p. 1, traducción de la autora). Este sentido numérico es diferente a contar. Según Dantzing (1954), es un proceso más complejo que evolucionó con el tiempo.


11

Algunos conceptos proporcionados por Dantzing (1954) han contribuido al trabajo neurocientífico de investigadores como Stanislas Dehaene y Daniel Ansari, dos de los científicos que han identificado las bases neurocientíficas del aprendizaje de las matemáticas. Figura 1. Activación neuronal en el procesamiento de cantidad

Fuente: Dehaene, Moiko, Cohen, & Wilson, (2004), Arithmetic and the Brain, (traducido por autoras)

Uno de los investigadores de sistemas de representación en el área de lectura y matemáticas, Stanislas Dehaene (2011), retoma el concepto del sentido numérico como parte de la evolución, desarrollado en función de las necesidades de los seres humanos. Los niños y niñas desarrollan el “sentido numérico primario” antes de entrar a la escuela; éste es preverbal (antes de que se expresen por medio del lenguaje) (Dehaene, 1997; Xu, Fei, Spelke & Goddard, 2005) y no requiere de instrucción directa. La representación precisa de números pequeños precede a la de números grandes, y se desarrolla desde una percepción de representaciones aproximadas (Feigenson & Carey, 2003). Después del desarrollo inicial del sentido numérico primario aparece el “sentido numérico secundario” o verbal ( Fiegenson, et al., 2004; Halberda, Mazzocco, & Feigenson, L. (2008Le Corre & Carey, 2007). En esta etapa, alrededor de los tres años de edad, los niños pueden contar y comprender valores simbólicos de los números. La representación precisa de cantidades es evidente en la segunda etapa, y permite a los niños entender que cada número tiene un sucesor único. A diferencia del sentido


12

numérico primario y preverbal, el sentido numérico secundario está relacionado con los símbolos, y su desarrollo depende de la educación (Clements & Samara, 2007). Tabla 1. Sentido numérico 0-3 años 3 años+

Comprensión de la cantidad

Conceptualización de estimación aproximada

Valores simbólicos

Representación precisa

Cada número tiene un sucesor único

Cantidad representada por el número final del serie (set)

Sentido numérico primario, o pre verbal

x X

Sentido numérico secundario, o verbal

x x x x

Fuente: Autoras

Aunque el concepto de cantidades es innata, la capacidad de contar, entender símbolos numéricos y aritméticos depende del sentido numérico y de la manera explícita en que lo están enseñando en la escuela (Sarnecka & Carey, 2008). El poder relacionar un símbolo con un valor, entender el orden fijo de cada número en el acto de contar (ej. 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.), así como que el último número indica el total del set, todo eso es el sentido numérico (Gelman & Gallistel, 1978). Este sentido está influenciado por la forma de representar los símbolos (Tang, Zhang, Chen, Feng, Ji, Shen, Reiman & Liu, 2006), basado en el desarrollo de la conceptualización de cantidades en las edades tempranas (0 a 3 años). El sentido numérico es clave en el éxito escolar debido a que los problemas en matemáticas están relacionados con el inadecuado desarrollo de destrezas como contar, reconocer símbolos, comparar valores y entender la transformación de sets de números (Geary, 1990; Mazzocco, & Thompson, 2005). El sentido numérico es vital para establecer los fundamentos de todo aprendizaje matemático (Baroody, Lai, & Mix, 2006; Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004; Jordan, Glutting, Ramineni, & Locuniak, 2009). Desgraciadamente, se ha encontrado que niños y niñas que viven en condiciones socioeconómicas bajas tienen más problemas en desarrollar el sentido numérico (Baroody, Thompson, Eiland, & Thompson, 2009), especialmente si sus padres no participan en su educación (Blevins-Knabe, & Musun-Miller, 1996). Más adelante se explicará sobre la relación entre el sentido numérico y la línea numérica mental.


13

El sentido numérico ayuda construir el concepto de números generando las interacciones entre ellos, es decir, que las operaciones matemáticas se aprenden a partir del sentido numérico (Dantzing, 1954; Dehaene, 1997; Dehaene, 2011; Devlin, 2010). Los circuitos neuronales y los procesos para el aprendizaje de las matemáticas que los emplean serán descritos a lo largo del presente estudio a través de 13 temas de suma importancia. En niños y niñas de 0 a 3 años de edad es común ver el desarrollo del sentido numérico (la comprensión del número y cantidad) a través del juego visual y concreto. Como el niño ya entiende cantidades en términos de “más” y de “menos” que se dan en las etapas preverbales (Leslie, Gelman & Gastille, 2008), el trabajo en los primeros años de vida es empezar a ayudarle a conectar el concepto de cantidad con el concepto de nombre. Es decir, en vez de “más o “menos” se puede desarrollar un concepto de “uno, dos, tres,” para finalmente conectar los nombres a los símbolos. En esta etapa, las actividades que facilitan la observación y etiquetación de símbolos y después de grupos de símbolos (sets) facilita su futura comprensión de los números. Otras actividades de mucha utilidad en esta etapa son las que involucran secuencias, orden de los números, cantidad y sus relaciones (como pocos y muchos), y el aumento o disminución de cantidades a través de ejercicios en donde se reúnen objetos (sumándolos y restándolos en cajas que permitan visualizar los grupos). Cada ejercicio contribuirá a que niños y niñas rescaten de la memoria primitiva el sentido numérico innato.

Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años

En su libro Construcción de sentidos y estrategias matemáticas (Construction of Arithmetical Meaning and Strategies), Steffe y Cobb (1998) identificaron subáreas básicas en el aprendizaje de conceptos matemáticos que fueron ratificadas en el año 2002 por investigadores como Clemente, Sarama y DiBiase, las cuales se encuentran en el esquema de la Figura 2.


14

Figura 2: Esquema mental de la resolución de problemas matemático

Fuente: Clemente, Samara y DiBiase, (2002), (traducido por autoras)

Se sabe que ciertas destrezas aprendidas en los primeros años escolares son de gran importancia como base para el futuro aprendizaje de las matemáticas, incluyendo tres competencias básicas: (a) estimación de líneas numéricas; (b) agrupación de (sets) de números y; (c) poder contar (Namkung, & Fuchs, 2012). Otra manera de visualizar las subáreas básicas en el aprendizaje de conceptos matemáticos relacionados con diferentes circuitos neuronales es a través de la interpretación de Clements y Samara (2007) citada por el NAYCE (que se encuentra en este documento en la sección de Análisis, con indicadores precisos para su medición). El conjunto de las fuentes mencionadas arriba se resume en la Tabla 2 indicando los conocimientos básicos de los niños de 0-6 años. El sentido numérico más los procesamientos matemáticos son las destrezas fundamentales para el logro de aprendizajes relacionados con las matemáticas en edades tempranas.


15

Tabla 2. Habilidades y circuitos neuronales para las matemáticas en niños de 0-6 años

Procesamientos matemáticos

Estudios ejemplares

en el campo

Sentido numérico primaria

Sentido numérico

secundaria

Números y operaciones

Geometría y espacio

Medida

Patrones/álgebra

Visualiza-ción y

análisis de datos

Poder contar

Agrupa-ción de sets de

números

Estimación de líneas

numéricas

Namkung & Fuchs 2012

x X

Clemente, Sarama y DiBiase (2002)

x X x x x

NAYCE & NCTM (2002);

x x x x x

Clemente & Sarama 2009

x x x x x

Dehaene, 1997; Xu, Fei,

Spelke & Goddard, 2005

x

Feigenson,

2004; Le Corre &

Carey, 2007

x

Fuente: Autora

Procesamiento numérico

Procesar números y/o cantidades es una actividad humana permanente, desde verificar la hora en el reloj que nos anuncia si estamos a tiempo o no para las actividades diarias, realizar operaciones de compra y venta para suplir las necesidades básicas, hasta poder calcular la distancia a la que se encuentra el vehículo de adelante en el tráfico. Son todos actos de la vida cotidiana que involucran números y su procesamiento. La actividad de procesar números y cantidades es tan importante que nos permite guiar el comportamiento y la toma de decisiones de una manera tal (Ansari, De Smedt, & Grubner, 2012) que la educación le ha asignado una parte importante en el currículo educativo, con la intención de asegurar el éxito en el aprendizaje y en la vida (Ansari, et al., 2012). La incorporación de la enseñanza de las matemáticas en el currículo ha sido alimentada por teorías provenientes del área de la psicología, como es el caso de las teorías de Piaget y su etapa de operaciones concretas.


16

Partiendo de los hallazgos de Piaget (1952) y la etapa de operaciones concretas, una de las primeras recomendaciones didácticas que puede realizarse tiene relación con el paso de lo concreto a lo abstracto. Así, un buen aprestamiento en el aprendizaje de las matemáticas emplea material tangible, físico y palpable antes de iniciar una transición al mundo abstracto. Según Dehaene (2010), el mundo abstracto puede aprenderse a través de una línea matemática mental que esté inicialmente visualizada, ya sea en el aula (a manera de un gran cartel que rodee la clase), ya sea individual para cada estudiante, pero que esté permanentemente visible en los momentos de aprendizaje de números y operaciones. La línea mental permite iniciar una transición de conteo para cada número (cuando la maestra señala en la línea matemática un determinado número, contando para que se vea el aumento de cantidad en la línea), y luego para realizar operaciones matemáticas (utilizando la línea mental contando el primer número para luego sumar o restar el segundo, etc.). Jean Piaget planteaba que la construcción del conocimiento matemático se realiza alrededor de los seis años (Piaget, 1952). Sin embargo, existe evidencia que sostiene que los niños desde los seis meses pueden discriminar la cantidad (Dehaene, 1997; 2010; Gelman & Gallistel, 1978), es decir que utilizando la comparación de dos grupos de elementos (diferentes en cantidad) pueden identificar si hay mayor o menor cantidad de objetos. Estos primeros indicios son la evidencia de una intuición matemática inicial (Gelman & Gallistel, 1978), tema que se desarrollará a lo largo del presente estudio. Figura 3. Activación cerebral en el procesamiento numérico

Fuente: Dehaene, Cohen (2007), Cultural Recycling of Cortical Maps, (traducido por autoras)

La integración de los procesamientos (números y operaciones; poder contar, agrupar sets de números; estimar líneas numéricas; geometría y espacio; medición; patrones y conceptos de preálgebra; y visualización y análisis de datos) a las habilidades que se


17

describen a continuación muestra los diferentes aspectos del aprendizaje de las matemáticas. En niños y niñas de 3 a 6 años se desarrolla el conocimiento del número y sus operaciones, se aumentan los ejercicios de contar y descontar pero aumentando el número de objetos, además del uso de patrones hasta de seis elementos presentados con objetos concretos o dibujos de los objetos. Los ejercicios son los mismos pero se llega hasta el 10. Luego se encuentra el procesamiento numérico como una actividad que se emplea a lo largo de la vida; por ello su aprendizaje y desarrollo forma parte del currículo. La actividad de procesar números y cantidades es tan importante que nos permite guiar el comportamiento y la toma de decisiones. Por ello, se debe tomar en cuenta la relación existente entre el desarrollo del Procesamiento Numérico y las Funciones Ejecutivas. Las áreas en que se ha dividido el aprendizaje de la matemática (números y operaciones; poder contar, agrupar sets de números; estimar líneas numéricas; geometría y espacio; medición; patrones y conceptos de preálgebra; y visualización y análisis de datos) forman parte de un complejo aprendizaje que envuelve amplias redes y regiones en el cerebro como la de los lóbulos frontales utilizados en procesos cognitivos de orden superior, que se analizarán posteriormente. Para mejorar el aprendizaje de las matemáticas, se han organizado sus áreas a través de habilidades que permiten, por una parte, diagnosticar posibles problemas en el aprendizaje de la matemática, y por otra, mejorar el aprendizaje de la matemática con un claro entendimiento de las varias posibles raíces de los problemas potenciales. Cabe destacar que existen factores sensoriales que pueden impedir el aprendizaje. Por ejemplo, problemas en la percepción sensorial pueden impedir el aprender normalmente. Este estudio solo se enfoca en las redes neuronales directamente relacionadas con las matemáticas. Por ello, detectar si existen factores sensoriales que impiden el aprendizaje en general, es decir, tomar en cuenta la revisión de vista y oídos como estrategia temprana y general (a todos los estudiantes y en todos los niveles) permitirá evitar dificultades en el aprendizaje que no tienen nada que ver con las habilidades de procesamiento matemático. Para unir estos conceptos en un esquema donde se relacionan con los estudios en neurociencia sobre los procesos cerebrales matemáticos, presentamos en la siguiente parte una resumen de las competencias más destacadas en el desarrollo de las matemáticas en el cerebro.


18

Competencias para el aprendizaje de las matemáticas

A pesar de la juventud de la ciencia de MCE, una de sus metas es mejorar la enseñanza de las matemáticas. De manera similar a la lectura, el procesamiento matemático en el cerebro presenta un claro enlace entre las matemáticas, el lenguaje, las habilidades de lógica, y el sistema de pensamiento crítico, según MCE. Con ayuda de la transdisciplinariedad y reconociendo la complejidad del aprendizaje del procesamiento matemático, se han logrado identificar las redes neuronales relativas a los sistemas de enlace como el de lenguaje, y además se han logrado identificar algunos de los mejores métodos basados en evidencia para su aprendizaje. Empleando información proveniente de la literatura proporcionada por MCE se han identificado doce competencias, es decir, una mezcla de conocimientos, destrezas y actitudes que son necesarias para desarrollar el aprendizaje de las matemáticas (Tokuhama-Espinosa, 2011 basado en documentos de los siguientes autores: Ansari, Donlan, & Karmiloff-Smith, 2007; Ansari & Karmiloff-Smith, 2002; Bisanz, Sherman, Rasmussen, & Ho, 2005; Byrnes, 2008; Cohen, Dehaene, Chochon, Lehericy, & Naccahe, 2000; Dehaene, 2008; Dehaene, Moiko, Cohen, & Wilson, 2004; LeFevre, Smith-Chant, Fast, Skwarchuk, Sargla, et al., 2006; Sherman & Bisanz, 2007). A continuación mencionaremos las diferentes competencias para el aprendizaje de las matemáticas.

1. La habilidad física de ver números y palabras

El mundo se percibe a través de los sentidos (Aristóteles, 384-322 AC). La capacidad de identificar o ver un número está determinada por el estímulo que entra por los ojos, que actúan como el “scanner” del cuerpo. Existen dos partes importantes para la estimulación visual: la retina, que recibe el estímulo de la luz sobre una página escrita, y la fóvea (Dehaene, 2009). La fóvea es una depresión situada en el centro de la mácula del ojo que constituye el punto de máxima agudeza visual, y es la parte especializada para leer e identificar símbolos. Si existe un daño a nivel de la retina, en la fóvea, una lesión en el córtex visual o un bloqueo en la fóvea, estas actividades resultan imposibles (Dehaene, 2009). El tamaño del estímulo, es decir el número o la letra, juega un papel en su aprendizaje. Siempre será más sencillo leer números y letras grandes, requiriendo más esfuerzo para leer números y letras pequeñas. La razón es que mientras más grandes son, más espacio ocupan en la retina, y la fóvea permitirá tener la precisión máxima en el centro de la misma (Dehaene, 2009; Nieder & Dehaene, 2009). El cerebro utiliza la atención selectiva: atiende más a lo que le llama más la atención.


19

Figura 4. Redes visuales activadas

Fuente: Redes neuronales principalmente en la corteza occipital. Geriniani, D’Agata, Sacco, Duca, Bagshaw & Cavanna (2010)

El reconocimiento visual

La observación del cerebro de un individuo por medio de resonancia magnética (fMRI) al inicio de la lectura muestra la activación de las áreas visuales en pocos segundos (Hasson, Levy, Behrmann, Hendler, & Malach, 2002) en el área denominada fisura tempo-occipital izquierda, aunque se lea de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. En el estudio de las redes involucradas en la visión, se las han categorizado de acuerdo a las formas que identifican (Grill-Spector, Sayres, & Ress, 2006; Tsao, Freiwald, Tootell, & Livingstone, 2006). Existen diversas zonas que identifican caras, objetos, dígitos o letras. A medida que los niños y niñas van creciendo se va incrementando el lenguaje y van organizándose las redes comprometidas con los sistemas visuales en el cerebro. Según algunas investigaciones (Bhatt, Hayden, Reed, Bertin, & Joseph, 2006; Dehaene, 2009; Kraebel, West, & Gerhardstein, 2007; Wang, & Baillargeon, 2008), en los primeros meses de vida el sistema visual permite que niños y niñas tengan la habilidad de distinguir objetos y rastrearlos cuando los mueven; hasta el primer año de vida pueden distinguir texturas con solo mirarlas, diferenciar objetos cóncavos de convexos, y realizar inferencias sobre la tridimensionalidad de los objetos. El desarrollo neuronal dado por la habilidad de diferenciar los objetos es la base de la interpretación visual que se requiere para distinguir los bordes de dicho objeto que satisfagan una forma T, X, O y L, base de la mayoría de los alfabetos en el mundo (Sigman & Gilbert, 2000; Sigman, Pan, Yang, Stern, Silbersweig, & Gilbert, 2005).


20

La escritura de las palabras en las culturas a nivel mundial se basa en sistemas simbólicos. En occidente, el sistema simbólico entiende el alfabeto como una serie de combinaciones de las uniones curvas o anguladas que utilizan las formas T, X, L y O (Dehaene, 2009, 2011; Shuwuari, Albert, & Johnson, 2007). En el primer año de vida se inicia el desarrollo del reconocimiento de este sistema de formas y uniones curvas o anguladas (Shuwuari, Albert, & Johnson, 2007). En el segundo año, los bebés reconocen escuetas versiones de objetos y caras fuera de contexto, lo que indica que son capaces de abstraer los elementos esenciales de la forma de una imagen (Pascalis, de Haan, & Nelson, 2002; Pastalis, Scott, Kelly, Shannon, Nicholson, Coleman, & Nelson, 2005; Robinson & Pascalis, 2004). Al inicio de la etapa escolar, es decir alrededor de los cinco años, la red neuronal del proceso clave del reconocimiento visual se encuentra en su lugar, aunque mantiene su plasticidad a lo largo de la vida. En este período es factible la adquisición de nuevas formas visuales como letras y palabras (Dehaene, 2009).

2. La habilidad de utilizar funciones ejecutivas y habilidades de pensamiento de orden superior

La ciencia de MCE define las funciones ejecutivas (FEs) como un conjunto de funciones neurales que permiten relacionar la metacognición, como un proceso inteligente, con la actividad cerebral que define la toma de decisiones, la planificación y la autorregulación (Puebla, 2009). La intrincada red de funciones ejecutivas realiza procesos neuronales que son la base biológica de diferentes estrategias cognitivas. Las estrategias cognitivas se han desarrollado en el ser humano ante la necesidad de comunicarse. Es así que, a partir del surgimiento del lenguaje, se va planteando la resolución de problemas, formación de conceptos, planificación de tareas y ejecución de trabajos de manera eficiente (Puebla, 2009). Adele Diamond (2013) dice que existen tres FEs centrales: (a) Flexibilidad Cognitiva: incluye el cambio de perspectiva y la posibilidad de ver situaciones, problemas, etc. con otros ojos, alimentados con información nueva y diferente; (b) Control Inhibitorio: que incluye el autocontrol y la disciplina; y (c) Memoria de Trabajo: mantiene la información en la mente y trabaja con ella. Estas tres funciones están relacionadas con diferentes redes neuronales que van desarrollándose a lo largo de la vida del individuo. Además, Diamond se refiere a tres FEs de orden superior: (a) Atención Selectiva: que permite focalizar la atención a pesar de las distracciones; (b) Disciplina: iniciar una actividad y permanecer en ella hasta terminarla; y (c) Autocontrol o autorregulación: inhibirse a actuar impulsivamente y considerar las reacciones o respuestas (Diamond, 2013). Igual que las FEs centrales, las de orden superior están relacionadas con diferentes redes neuronales que se pueden desarrollar por medio de intervenciones, como por ejemplo un andamiaje sencillo en el caso de las matemáticas (Clements, Sarama, Unlu & Layzer, 2012). Las FEs se relacionan con la atención que se presta a lo que se piensa aprender, relacionando nuevos conceptos con los antiguos (Meltzer, Sales & Barzialli, 2007). Además, un proceso de aprendizaje no es solamente cognitivo, involucra emociones,


21

motivaciones y recuerdos (Moran & Gardner, 2007). Es decir, que para atender a lo que se está leyendo o aprendiendo, es necesario el razonamiento cognitivo, así como otras manifestaciones que influyen en la atención como las emociones y la motivación (Moran & Gardner, 2007). Figura 5. Circuitos relacionados con la atención en el cerebro

Fuente: Posner, Sheese, Odludas & Tang (2006), (traducido por autoras)

Según Michael Posner (1998), hay por lo menos tres circuitos relacionados con la atención en el cerebro: (a) alerta (para llamar la atención de un estímulo); (b) sustento (para mantenerse enfocado) y (c) de funciones ejecutivas. Stanislas Dehaene (1997; 2011) reconoce que el cálculo es un proceso esforzado que requiere intensa concentración, elección de estrategias apropiadas y recuperación de recursos almacenados en la memoria de trabajo. En el cerebro, estos factores se reflejan en una activación muy intensa de la corteza prefrontal, esa extensa área ubicada justo detrás de la frente. La corteza prefrontal es un área del cerebro esencial para desarrollar la capacidad de diseñar y seguir nuevas estrategias rutinarias (Dehaene, 1997; 2011). Además de ser un centro de recursos único que no comparte tareas, la corteza prefrontal es responsable de que no se puedan realizar varias operaciones simultáneamente (Dehaene, 1997; 2011). La corteza prefrontal se encarga de la automatización de las operaciones aritméticas, y cuando los niños y niñas se vuelven más expertos en una tarea, la cantidad de actividad de la corteza prefrontal disminuye (Dehaene, 1997; 2011) y la activación se traslada al sistema cerebral más automático en la parte posterior de la cabeza. Si la automatización no se realiza, el área prefrontal se encuentra absorbida en la mecánica


22

del cálculo, olvidando aspectos importantes como la revisión, la pertinencia de la solución al problema, el significado del problema y la respuesta al mismo (Dehaene, 1997; 2010). Dentro del desarrollo de las FEs se encuentran dos procesos importantes para todo aprendizaje: atención y memoria (Tokuhama-Espinosa, 2011). En el caso de la atención, los estudios refieren que el rango va entre 10 y 20 minutos. En el aula, los docentes pueden aumentar la atención de los estudiantes al cambiar el tema, o el espacio físico o la persona que está hablando, en ese mismo rango de tiempo (de 10-20 minutos) (Tokuhama-Espinosa, 2012). La atención puede desarrollarse a través de ejercicios propuestos por los docentes, como por ejemplo, que los niños y niñas caminen a lo largo de una línea imaginaria siguiendo a su maestro. Asimismo, la atención se focaliza en aquello que es interesante, importante y tiene valor de supervivencia, personal o emocional para quien recibe la información. Es por eso que el profesor debe tratar de crear ambientes de aprendizaje que tengan orden lógico, sentido y significado para la vida de los estudiantes. También el docente debe recordar el Efecto de Primacía, aquel que evidencia que los estudiantes recuerdan mejor lo que sucede primero y al final de la clase, mientras que recuerdan menos lo que sucede en la mitad (Tokuhama-Espinosa, 2012). Por lo tanto, los docentes deberían utilizar los momentos de mayor atención –al principio y final de la clase–, dando la información más importante y/o en retroalimentar lo aprendido antes, dejando los momentos de la mitad de la clase para realizar actividades enfocadas en los alumnos y mantener su atención (Tokuhama-Espinosa, 2012). La atención selectiva es una función ejecutiva de orden superior. Diamond (2011) realizó un estudio que mostró intervenciones respaldadas por evidencia que contribuyen a desarrollar las FEs, entre ellas la atención. En el estudio de Diamond (2011) se propone incluir diversas actividades para entrenar a niños y niñas mediante ejercicios aeróbicos, artes marciales, yoga, ejercicios de concentración y el uso de la computadora. Estas actividades dentro del currículo escolar podemos encontrarlas en dos programas que comparten similitudes importantes en relación a estos mismos tipos de ejercicios, demostrando así el mejoramiento de las FEs. En relación a las matemáticas, se presume que el mejoramiento de la concentración en los estudiantes mejorará las destrezas en el área de atención y memora.

3. La habilidad de generalizar en un mismo concepto diferentes símbolos que representan una misma idea

Una de las bases del logro en matemáticas y una de las grandes metas de la educación se encuentra en las interacciones altamente fluidas y automáticas entre las representaciones de cantidad con otras representaciones, sean éstas lingüísticas o los símbolos arábigos de los números, haciendo que se utilice la memoria. Todo tipo de herramientas se pueden utilizar para mejorar este enlace en el desarrollo de las representaciones mentales; juegos de contar, juegos con el ábaco o simples juegos de mesa (ya existentes o diseñados por los docentes) son estrategias altamente eficientes para entrenar el sistema numérico y las relaciones presentadas en el Modelo de Código


23

Triple. La identificación de símbolos puede producirse por dos rutas: una fonológica u otra del significado. El aprendizaje a través de cualquiera de las dos contribuye al desarrollo del Modelo de Código Triple. La habilidad de generalizar un mismo concepto en diferentes símbolos ocurre en el aprendizaje de la lectura y en el aprendizaje de los números, los cuales pueden ser representados de diferentes maneras. Así, podemos decir “tres” en números arábigos “3” o en números romanos “III” o representándolo por figuras “●●●”; estas representaciones acarrean un concepto semántico y otro numérico (Ansari, 2007; Campbell, 1994; Piazza, Pinel, LeBihan & Dehaene, 2007; Cohen Kadhosh, Cohen Kadosh, Kass, Henik & Goebel, 2007; Tokuhama-Espinosa, 2011). En el área de la matemática, la habilidad de generalizar un mismo concepto en diferentes símbolos se encuentra explicada en el Modelo de Código Triple. Figura 6. Esquema del Modelo de Código Triple en el cerebro

Fuente: OCDE (2003), Brain Research and Learning Sciences, (traducido por autoras)

Modelo de Código Triple

Dehaene (1997; 2010; 2011) propone que la evolución ha dotado a la humanidad de una competencia suplementaria: la habilidad para crear complejos sistemas de representación. Los sistemas de representación pueden ser de lenguaje hablado o escrito, palabras o símbolos, que permiten separar conceptos de significado cercano, dando al cerebro el derecho de moverse en los límites de la aproximación (Dehaene, 1997; 2010; 2011).


24

Figura 7. Imagen cerebral del Modelo de Código Triple

Fuente: Arsalidou & Taylor (2011), Is 2+2=4? Meta-analyses of Brain Areas Needed for Numbers and Calculations, (traducido por autoras).

El Modelo de Código Triple utiliza una de las dos redes de reconocimiento simbólico, sea verbal o arábigo (dependiendo de si el estímulo visto sea un número arábigo, la palabra que lo representa o un set de objetos que muestren la cantidad), escogiendo entre ellas para reconocer e identificar el número. Si el cerebro escoge la red de código verbal, ubicada en las regiones de Broca y Wernicke, utiliza la comprensión oral, la producción y la memorización (Coch, et al., 2007; Dehaene, 1997; 2011; Mussolin, Mejias, & Noel, 2010;). Por ejemplo, al observar el número tres escrito, se activan en el cerebro áreas del hemisferio izquierdo pertenecientes al sistema del lenguaje que involucra lo ortográfico, el léxico y lo fonológico para decodificar la palabra. Al identificar el número tres por medio del sistema alfabético o lingüístico se le asignará una cantidad que lo represente. Si es que la representación visual es con gráficos, códigos u otros


25

sistemas de imagen desarrollados por el ser humano a lo largo de la historia (3, III, ●●

●) se realiza el mismo proceso. Por ejemplo, la cultura Maya utilizaba puntos y rayas

para representar los números así: un punto (●) es el uno; dos puntos (●●) es el dos;

tres puntos (●●●) es el tres; etc. (Rodríguez, 2011).

Si la identificación se realiza a través del código arábigo, el proceso asigna una representación simbólica específica a la cantidad mediante los números del sistema arábigo (Dehaene, 1997; 2011; Mundy, & Gilmore, 2009). A través del proceso histórico, la representación escrita de los números se modificó a un formato universal y análogo empleando los números arábigos, muy diferente a los signos utilizados por las diferentes culturas en el mundo (Verguts & Fias, 2008). En el Modelo de Código Triple, el cerebro procesa un número de la siguiente manera: mira la representación –tres–; la

red neuronal de cantidad asigna la cantidad (●●●); y por último, aplica el número

arábigo 3. Debe recalcarse que el orden expuesto de las tres redes no significa que el proceso en el cerebro se realice en este orden determinado. El Modelo de Código Triple es un sistema continuo y permanente de procesamiento numérico. El Modelo de Código Triple de Dehaene y Cohen (1995) contiene en sí mismo las tres habilidades para el aprendizaje de las matemáticas:

Habilidad de visualizar el código arábigo

Habilidad analógica de cantidad o de código de magnitud

Habilidad de código verbal

El aprendizaje de estas representaciones está basado en la idea de la representación abstracta, y los investigadores han observado que el surco intraparietal se activa al observar representaciones abstractas, por lo que la han establecido como una región importante para la cognición numérica (Libertus, Woldorff, & Brannon, 2007). En esta región se representa el número, independientemente de si la anotación de entrada es simbólico (por ejemplo, número de palabras o símbolos) o no simbólicos (por ejemplo patrones de puntos).


26

Figura 8. Regiones activadas en el cerebro al reconocer letras y símbolos

Fuente: Bach, Richardson, Brandeis, Martin & Brem (2011)

Con respecto al reconocimiento del símbolo representado por números y letras, el cerebro activa una pequeña parte perteneciente a la vía visual ventral de la corteza, empleada para la identificación de las formas, objetos, lugares o rostros (Dehaene, 2009; 2011). Mediante estimulación controlada (Szwed, Cohen, & Dehaene, 2009) se ha evidenciado la activación de la corteza visual durante la identificación de número y letras, el área donde las palabras van inscribiéndose naturalmente debido a que este lugar se encuentra preadaptado a las formas que tienen las letras y los símbolos arábigos (Dehaene, 2011). Según Bach, Richardson, Brandeis, Martin y Brem (2011), la detección de símbolos en el preescolar predice la calidad de destrezas de lectura en segundo grado, tanto como el reconocimiento de las habilidades numéricas y matemáticas es predictor del logro de aprendizaje de las matemáticas y del éxito en las habilidades de alfabetismo (Ansari, 2010; Bynner & Parson, 1997; De Smedt, Verschaffel & Ghesquiere, 2009; Duncan, Dowsett, Classens, Magnuson, Huston, Klebanov, et al., 2007). Los dos últimos siglos han arrojado abundante información acerca de las redes neuronales para la identificación de símbolos. Algunos autores dan cuenta de la existencia de una sola ruta para su procesamiento (letras, en el caso de la lectura y números escritos y símbolos para la matemática) (Dejerine, 1892 en Dehaene, 2009; Geschwind, 1965 en Dehaene, 2009). Actualmente, la ciencia de MCE se ha valido de los puntos de vista de la psicología, la pedagogía y las neurociencias, con especial apoyo de la tecnología de escáner cerebral, para la observación directa del


27

funcionamiento del cerebro, su arquitectura, la identificación de modelos de redes neuronales en diferentes procesos, y el funcionamiento de las mismas. De dichos estudios e investigaciones se ha obtenido importante evidencia. Es así como distintos grupos científicos (Coltheart, Rastle, Perry, Langdon, & Ziegel, 2001; Dehaene, 2009; Harm & Seigdenberg, 2004; Perry, Ziegel, & Zorzi, 2007) reportan por lo menos dos redes neuronales utilizadas al momento de identificar símbolos (letras y números).

Dos redes neurales para la identificación de símbolos

Las dos redes neuronales encargadas de identificar los símbolos utilizan dos distintas rutas correspondientes a dos distintos circuitos en áreas neuronales del cerebro, según Dehaene (2009). El funcionamiento de los dos circuitos inicia de la misma manera, a través de un estímulo visual de identificación que se realiza en la región occipito-temporal. Luego del reconocimiento del estímulo, éste puede dirigirse por la primera ruta o circuito de acceso al significado, que utiliza el giro temporal medio, la región temporal basal y el giro frontal inferior (Jobard, Crivello, & Tzourio-Mazoyer, 2003; Zamarian, Ischebeck & Delazer, 2009). La segunda ruta o circuito es la denominada ruta de conversión al sonido hablado, que emplea el giro temporal superior, el giro temporal medio, el giro supramarginal y el giro temporal inferior (Jobard, Crivello, & Tzourio-Mazoyer, 2003; Zamarian, Ischebeck & Delazer, 2009). Las dos redes neuronales de procesamiento de símbolos se relacionan por la forma en la que el cerebro procesa lo que ve. En este caso, letras y números, las dos redes cohabitan (Dehaene, 2009).

Primera red neuronal para el procesamiento simbólico

La primera red o ruta llamada ruta indirecta o fonológica se utiliza cuando el cerebro identifica las palabras raras (neologismos) o regulares, buscando su significado a través del sonido, es decir, utilizando una ruta fonológica que descifra las letras y las convierte en pronunciación (Dehaene, 2009). La ruta indirecta o fonológica emplea la decodificación de letras en sonidos e involucra las regiones superiores del lóbulo temporal, donde las “figuras” o letras inicialmente se conocen con los sonidos (Dehaene, 2009; van Atteveldt, Formisano, Goebel, & Blomert, 2004). Es en la zona denominada plano temporal izquierdo del cerebro donde se discriminan los sonidos en la mayoría de los seres humanos. Dicha zona del cerebro, temporal izquierda, se define al final del primer año de vida en momentos en que se está aprendiendo a hablar e identificar los sonidos del lenguaje cotidiano. En el caso del aprendizaje de las matemáticas, los símbolos arábigos se escriben con letras (3, tres). La ruta fonológica se emplea al identificar el sonido de la palabra “tres”.

Segunda red neuronal para el procesamiento simbólico

La segunda ruta, denominada directa o del significado, se emplea con las palabras más usuales, por ejemplo las que nombran los números, y con aquellas que tienen un sonido excepcional (Dehaene, 2009). Por ejemplo, para encontrar el significado del símbolo “3” el cerebro pone en movimiento un amplio conjunto de regiones, las cuales se activan inmediatamente cuando los conceptos (la cantidad ••• y cómo se escribe el


28

número “tres”) convergen en palabras habladas o en imágenes (Binder, Frost, Hammake, Bellgowan, Springer, Kaufman, & Possing, 2000; Dehaene, 2009; Kotz, Cappa, von Cramon, & Friederich, 2002). Figura 9. Magnitud y cálculo en niños y niñas con discalculia y sin discalculia

Fuente: Kucian, Loenneker, Dietrich, Dosch, Martin, & von Aster, (2006)

Las redes de identificación de símbolos realizan un trabajo de doble ruta con las áreas del cerebro que codifican el significado. Las redes del significado no se limitan a procesar palabras. Por ejemplo, el Área de Broca y de Wernicke (ubicadas en la región frontal y parietal respectivamente) se encargan de la combinación del significado de palabras para formar una oración (Dehaene, 2009; Lee, Lim, Yeong, Venkatraman & Chee, 2007; Vandenberghe, Norbre, & Price, 2002). En el caso de las matemáticas y, desde el punto de vista de MCE, se explica cómo el cerebro es capaz de comprender el concepto de número y cómo puede entender sus diferentes representaciones simbólicas (3, tres, III, •••) ya mencionadas anteriormente. Entender las redes neuronales que intervienen en la comprensión de las distintas representaciones simbólicas forma parte del aprendizaje de las matemáticas.


29

Figura 10. Evidencia neural de la convergencia entre representaciones numéricas simbólicas y no simbólicas

Fuente: Piazza (2010). Neurocognitive Star-up Tools for Symbolic Number, (traducido por autoras)

Manuela Piazza (2010) realiza un estudio en el que explica que el asignar un significado a los símbolos arbitrarios (palabras) es un proceso complejo y prolongado. Para el caso de los números, sugiere que este proceso se basa en dos sistemas preverbales para la cuantificación numérica: el sistema de número aproximado (ANS), y el sistema de seguimiento de objetos (OTS), con los que los niños y niñas están equipados antes de


30

iniciar el aprendizaje simbólico. Cada sistema se basa en circuitos neuronales específicos y cada uno se somete a una trayectoria de desarrollo por separado. Además, pruebas complementarias con neuroimagen evidencian que el cerebro asigna un código de cantidad a los símbolos de los números, mostrando una respuesta en la región parietal ante la cantidad numérica (Piazza, 2010). En primer lugar, las mismas regiones parietales del cerebro y las respuestas similares en ERP (Event-Related Potential) son moduladas por los efectos de la distancia y la magnitud, tanto de los dígitos arábigos como de las cantidades numéricas no simbólicas (Piazza, 2010). Segundo, y más importante aún, evidencia la cantidad de respuestas relacionadas con la transferencia de la corteza media intraparietal a través de formatos simbólicos y no simbólicos (Mussolin, Mejias, & Noel, 2010). Así, en un paradigma de adaptación, la respuesta a la cantidad es proporcional a la relación numérica entre cantidades nuevas y repetidas, incluso cuando están representadas en diferentes formatos (Mundy & Gilmore, 2009; Piazza, 2010). Curiosamente, este efecto no es totalmente bidireccional (especialmente en el hemisferio izquierdo): aunque la adaptación a los puntos se extiende a los dígitos arábigos, lo contrario no ocurre. Un efecto asimétrico similar fue reportado por el estudio de "descodificación", con fMRI, en el que se utilizó un clasificador de patrones multi-voxel, entrenado en la activación de la corteza parietal para predecir los números arábigos (Piazza, 2010). La numerosidad de patrones de puntos también fue correctamente clasificada, pero no al revés. Estos datos son consistentes con la idea de que el código de cantidad símbolica es más preciso que el de cantidad no-simbólica, incluso aunque le falte claridad y comprensión a la numerosidad (Piazza, 2010).

4. Habilidad de estimar o aproximar cantidades

Otro concepto importante es el de “aproximación numérica” (approximate number en inglés). La aproximación numérica se relaciona con los números esperados e inesperados, es decir, encontrar un número que pueda representar la respuesta más cercana a lo que queremos obtener. La aproximación es una habilidad innata que da a los niños y niñas la intuición de cómo resolver un problema a pesar de no tener experiencia previa en el aprendizaje formal de la matemática (Brannon, 2006; Dehaene, 2010; 2011). Por ejemplo, los niños pequeños que inician su escolaridad (3-4 años) perciben que hay una mayor o menor cantidad de objetos observando si están agrupados (hay menos) si están separados (hay más) a pesar de ser la misma cantidad de objetos.


31

Figura 11. Aproximación numérica para niños y niñas pequeños

Fuente: Bressan, Merlo de Rivas, & Scheuer, Los conocimientos numéricos en niños que inician su escolaridad, (2009)

La precisión en la aproximación se va refinando a lo largo del tiempo (si es estimulada) y juega un papel fundamental en el desarrollo del procesamiento numérico (Brannon, 2006; Dehaene, 2010; 2011; Rivera, Reiss, Eckert & Menon, 2005). La aproximación es lo más cercano al sentido numérico, y va evolucionando a medida que los niños y niñas crecen (Dehaene, 2010; 2011). Se ha encontrado que “en ausencia de otro impedimento sensorial o cognitivo, aquellos niños y niñas con dificultades de aprendizaje de por vida en la aritmética muestran una precisión drásticamente alterada en el sistema de número aproximado” (Dehaene, 2010, p. 182). Figura 12. Activación neuronal de respuesta al cambio de número

Fuente: Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan, & Dehaene (2004), Tuning Curves for Approximate Numerosity in the Human Intraparietal Sulcus, (traducido por autoras)


32

Por otro lado, algunos investigadores como Daniel Ansari (2008) aseguran que la capacidad básica para discriminar cantidades numéricas no puede explicar completamente toda la extensión de las habilidades numéricas y matemáticas. La evolución humana ha puesto en evidencia un gran conjunto de habilidades que han proporcionado la capacidad de procesar símbolos numéricos abstractos (como nombres de números y números arábigos) y de realizar cálculos usando nuevas "herramientas mentales" (Ansari, 2008). Figura 13. Activaciones en el cerebro adulto a los cambios en numerosidad

Fuente: Brannon, (2006)

Pasando del proceso de aproximación al entendimiento sobre el número exacto, las investigaciones dicen que entender un número exacto no es un acto espontáneo, más bien es un ejercicio que depende de la educación. Por ejemplo, investigaciones en tribus amazónicas (Brannon, 2006; Pica, Lemer, Izard, & Dehaene, 2004) evidencian la importancia de la aproximación y de la influencia del aprendizaje para la identificación de la cantidad con su representación simbólica (número) en niños y adultos alejados del contacto escolar. Por lo tanto, al igual que en las tribus amazónicas, los niños y niñas que inician su aprendizaje en matemáticas pueden rápidamente superar las limitaciones presentadas por la falta de identificación de la cantidad con un número, y pasar a un sistema exacto de número ayudados de la aproximación y exponiéndolos a un sistema de conteo (Dehaene, 2010). La transición desde la aproximación hasta la construcción de un número exacto (con su símbolo), ocurre lentamente desde los dos años y medio hasta los cuatro años (Dehaene, 2010) con ayuda de una rutina de conteo. Entender la importancia de la aproximación y la habilidad de juzgar cantidades permite utilizarla en el aula como estrategia de enseñanza de operaciones formales (suma, resta, multiplicación y división). Por ejemplo, operaciones en la mente donde se aproxime al resultado con números enteros o múltiplos de cinco (si la pregunta es 23 x 5, se aproxima el 23 a 25 y


33

se multiplica por 5 para tener el resultado). Es un tipo de operación que utiliza la memoria, el razonamiento y la aproximación. Figura 14. Activación cerebral al estimar y comparar

Fuente: Heim, Amunts, Drai, Eickhoff, Hautvast & Grodzinsky, 2012

5. Habilidad de retener información en la memoria

La habilidad de retener información en la memoria, o conocimiento declarativo, es la que se encarga de almacenar los “hechos matemáticos” (LeFevre, DeStefano, Coleman & Shanahan, 2005), como por ejemplo las tablas de multiplicar. Según autores como Devlin (2010), el aprendizaje de las tablas de multiplicar es esencialmente una actividad lingüística, cuando niños y niñas repiten las tablas sin comprender el concepto que existe detrás de la multiplicación. Niños y niñas que repiten la tabla de multiplicar sin comprender cómo y por qué se llega a ese resultado están ejercitando la memoria: repitiendo la operación y su resultado hasta que queda grabado en la misma (4 x 3 = 12). La memoria es fundamental para el aprendizaje (Levine, 2001; Tokuhama-Espinosa, 2011) y su función en el cerebro es permitir codificar, almacenar y recuperar la información utilizando conexiones sinápticas, que con el tiempo crean redes neuronales que mantienen la información relativamente estable (Baddeley, 2001). El problema con la memoria en las matemáticas es que es posible memorizar fórmulas y el orden de los procesos, sin necesariamente comprenderlos. Existen diferentes tipos de memoria y distintas clasificaciones. Para el presente estudio se toma en cuenta la clasificación dada por Atkinson & Shiffrin (1968) y utilizada por Baddeley (2003). Para estos autores, la memoria puede ser de largo plazo, es decir, abarca una serie de procesos para retener la información incluso días, meses y años.


34

La memoria de largo plazo incluye la memoria implícita o procedimental (habilidades sensomotoras) y la declarativa (detalles autobiográficos, hechos, semántica). También se encuentra la memoria de trabajo, una forma de memoria de corto plazo que sirve para cumplir procesos, como por ejemplo recordar la fórmula escrita en la pizarra para procesar el problema en que puede emplearse dicha fórmula y realizar el proceso en un papel (Tokuhama-Espinosa, 2011). La memoria también es de corto plazo: un sistema de almacenamiento temporal que se basa en la capacidad de pensar del individuo (Baddeley, 2003). La memoria de trabajo difiere de la memoria de corto plazo en que la memoria de corto plazo tiene que ver con el recuerdo de 7 ± 2 ítems, mientras la memoria de trabajo tiene que ver con procesos. Por ejemplo, recordar un número de teléfono hasta llegar a marcarlo en el celular es de corto plazo, mientras que poder acordarse de una fórmula de matemáticas que está en la pizarra hasta seguir los pasos en el propio papel es memoria de trabajo. Atkinson y Shiffrin (1968) proponen un sistema de procesamiento de información en la memoria. Un sistema de procesamiento de información en la memoria permite comprender cómo se la recupera cuando se encuentra almacenada en la memoria de largo plazo, conectando con ella la recién integrada. La información que recogen los sentidos ingresa al cerebro como impulsos eléctricos, que son procesados por el tálamo (memoria sensorial), la parte del cerebro encargada de filtrar o seleccionar permanentemente la información recibida, eliminándola, si no es relevante. La información recopilada pasa a la corteza cerebral y, dependiendo de la persona y sus experiencias, la información se retiene o elimina, en función de la importancia que se le conceda. También se ha identificado (Miller, 1956) que el procesamiento de información en la memoria de corto plazo tiene un límite en términos de unidades numéricas que pueden ser procesadas en cualquier momento. Miller (1956) determinó que el número de unidades que procesa la memoria es de 7 ± 2, a pesar de que se deben tomar en cuenta las particularidades de cada persona, por lo que existen estudiantes que pueden procesar 5 ± 2 y hasta 3 ± 2 unidades o pedazos de información (Huitt, 2003). Figura 15. Memoria de corto a largo plazo

Fuente: Atkinson & Shiffrin, (1968), (traducido por la autora)

La memoria es un sistema complejo y de vital importancia para el aprendizaje. La información se almacena y se recupera de varias maneras, implicando que l


35

os educadores deberían variar sus métodos de enseñanza para crear una diversidad de vías a través de las cuales se puede recuperar información, facilitanto así el proceso de recordar. Si bien es cierto que al momento existe escasa información de los sistemas de memoria en el aula bajo criterios de MCE, es posible plantear un sistema de memoria como el de la Figura 15. La memoria a largo plazo es la que almacena la información por mayor tiempo, y la información que llegue ahí debe cumplir tres requisitos: (a) tener valor de supervivencia, (b) ser fácil de relacionar con conocimientos previos (c) y tener valor personal o emocional (Sousa, 2002, citado en Tokuhama-Espinosa, 2010). La educación constructivista muchas veces ha desmerecido la importancia de la memorización frente al razonamiento. Lo que se debe recalcar es que el uso de la memoria es tan importante como razonar y ser crítico en los aprendizajes. Existen estrategias para recordar la información almacenada en la memoria de largo plazo que el docente debe tomar en cuenta, como por ejemplo la predicción, asociación con conocimientos previos o aprendizajes recientes, la repetición simple o acumulativa, entre otras. De ahí la importancia de que el aprendizaje de la matemática debe establecerse por medio de diferentes estímulos y vías sensoriales. Se ha especulado que muchos problemas de matemáticas son realmente déficits de memoria de trabajo y no de la comprensión de matemáticas en sí (Wilson & Swanson, 2001). En muchos casos, se sospecha que al mejorar la memoria, es posible mejorar los procesos matemáticos. Figura 16. Memoria de trabajo

Fuente: http://teresadejesus.files.wordpress.com/2009/12/semiologia-figura2.jpg?w=497

Fuente: http://usablealgebra.landmark.edu/wp-content/uploads/2008/12/working-memory-2.gif


36

6. La habilidad para almacenar y utilizar procedimientos

En el aprendizaje de las matemáticas es necesaria la intervención de los tres factores que participan en el Modelo de Código Triple: (a) la habilidad de visualizar el código de números arábigos, (b) la de atribuir una cantidad o código de magnitud, y (c) la de visualizar el código verbal (Tokuhama-Espinosa, 2011). Además es importante el uso de la memoria y de los procesos cerebrales involucrados en cómo se desarrollan los procedimientos y la conceptualización en matemáticas. Una aclaración se puede lograr mediante la introducción de una distinción entre los niveles de complejidad en las tareas de cálculo, teniendo en cuenta los diferentes procesos que pueden contribuir a dicho proceso (Dehaene, & Cohen, 1995; Halberda, Mazzocco & Feigenson, 2008). Para poder procesar fórmulas matemáticas hay que tener un entendimiento claro de la relación entre los números. El desarrollo de una línea mental numérica juega esa función Rivera, S.M., A.L. Reiss, M.A. Eckert, & Menon, V. (2005. Figura 17. Activaciones cerebrales en el procesamiento de estímulos no simbólicos numéricos

Fuente: Kaufmann, Vogel, Wood, Kremser, Schocke, Zimmerhackl & Koten, 2008

Línea numérica mental

En la introducción de la revisión de la literatura se había dicho que el sentido numérico emplea una línea numérica mental que permite “acomodar” los números en las redes neuronales, así como la codificación de los mismos. La habilidad de utilizar la línea numérica mental se ha denominado analógica de cantidad o de código de magnitud (Ashkenazi, Mark-Zigdon & Henik; 2009; Tokuhama-Espinosa, 2011). El sistema de codificación numérica se denomina “codificación por puesto” (Place Coding en inglés)


37

(Dehaene & Changeux, 1993; Dehaene, 2011). En la codificación por puesto o lugar, cada número activa un conjunto específico de neuronas en el cerebro (un puesto o lugar). En el caso de dos números cercanos uno del otro, o de dos puestos, se activan parcialmente conjuntos superpuestos de neuronas. En el caso de la representación de un número más pequeño, no está contenida en la representación de un número mayor. Cada sistema de codificación se asemeja a una recta numérica mental. Cabe recalcar que no se debe confundir este término (recta numérica mental) con el modelo específico de codificación por puesto. El cerebro identifica este modelo como se ve en la Figura 18. Figura 18. Representación del número en la línea numérica mental

Fuente: Vergus & Fias, 2008

Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan y Dehaene (2004) pudieron confirmar la codificación por puesto utilizando fMRI (Imagen de Resonancia Magnética funcional), donde los resultados obtenidos sirvieron para identificar las representaciones no simbólicas en el cerebro. Piazza, Pinel, Le Bihan y Dehaene (2007) obtuvieron los mismos resultados en un diseño similar con las representaciones simbólicas. Estos procesos, señalan los investigadores, emplean áreas del surco intraparietal (IPS) y representan el número, independientemente de si la notación de entrada es simbólica (tres, 3) o no simbólica (

●●●), e independientemente de si los estímulos se presentan visual o auditivamente

(Ansari, 2008; Dehaene, Piazza, Pinel & Cohen, 2003).


38

Figura 19. Activación neuronal al realizar diferentes procesos matemáticos

Fuente: Arsalidou & Taylor (2011), Is 2+2=4? Meta-analyses of Brain Areas Needed for Numbers and Calculations (traducido por autoras)

La organización proporcionada por el Modelo de Código Triple permite entender el desarrollo numérico en el cerebro humano. Su funcionamiento se ha identificado a través de la activación de la zona intraparietal, desde los tres meses de edad, durante simple identificación numérica (Dehaene, 2010). La evidencia proporcionada en la investigación por Dehaene sustenta la idea de que el sentido numérico se encuentra definido en la genética básica humana (Dantzing, 1954), mientras que los sistemas de codificación verbal y de números arábigos son una invención cultural reciente que es necesario que otro la enseñe (Dantzing, 1954). Teniendo en cuenta estas dos posibilidades, el desarrollo numérico en el cerebro consiste en establecer conexiones de forma permanente, eficiente y automatizada. Establecer las representaciones de los números en varias formas es una labor permanente en la educación. En los niños, las conexiones neuronales son mucho menos eficientes y tardan años en automatizarse (Dehaene, 2011). Estas conexiones


39

ya han sido identificadas a través de los métodos de imagen; por ejemplo, la activación de la región intraparietal izquierda indica que la formación aritmética desarrolla el sistema de cantidad aproximada, además de las otras representaciones simbólicas de números que reconocen sus formas verbales (Ansari, 2008; Dehaene, 2011). Estas investigaciones sugieren ciertas recomendaciones que serán analizadas posteriormente. Aquí se exponen cuatro procedimientos matemáticos: elección de la memoria verbal, elaboración semántica, memoria de trabajo, y estrategia y planificación del procesamiento matemático (Ashkenazi, Mark-Zigdon & Henik, 2009; Dehaene, & Cohen, 1995).

Elección de la memoria verbal

La elección de la memoria verbal es el nivel más simple. Estudios de sujetos normales han sugerido repetidamente que los hechos aritméticos más sencillos, como 3 x 4=12 se almacenan y se recuperan de la memoria (Ashcraft, 1992). Operaciones de suma y multiplicación se pueden activar de forma automática, incluso cuando son irrelevantes para el problema o tarea que se intenta resolver (LeFevre, Bizanz, & MrKonjic, 1988). Esta evidencia es consistente con la hipótesis de que los hechos rutinarios de aritmética pertenecen a la clase general de memorización de recuerdos verbales. Dehaene y Cohen (1995) proponen que ningún conocimiento semántico se requiere con el fin de recuperar la mayor parte de simples procedimientos aritméticos. Más bien, pueden ser recuperados mecánicamente, sin tener en cuenta las cantidades implicadas.

Elaboración semántica

La elaboración semántica es un segundo nivel de complejidad; sin embargo, ciertos problemas matemáticos requieren de ella antes que se pueda acceder a la información necesaria para resolverlos en la memoria (Dehaene & Cohen, 1995). Los sujetos normales carecen de una memoria completa y sin errores, incluso para realizar operaciones como sumas y multiplicaciones con un solo dígito (Campbell & Graham, 1985). Por lo tanto, cuando se enfrentan a información desconocida o difícilmente recuperable, los sujetos pueden recurrir a estrategias que contribuyen a la recuperación de la información en la memoria. Por ejemplo, los problemas de suma pueden ser descompuestos en simples hechos memorizados (cuando en aproximaciones, se multiplica por 10 en vez de 9 debido a que no se recuerda la tabla del 9). Estas estrategias de memorización obviamente requieren una buena comprensión de las cantidades involucradas en el problema original (Dehaene & Cohen,1995). Para comprobar la veracidad de las respuestas recuperadas es necesario el uso de la elaboración semántica, tanto antes como después de la realización de las operaciones (Dehaene & Cohen, 1995); especialmente cuando se representan magnitudes numéricas de información recuperada de resultados filtrados, resultados falsos y resultados obtenidos lugo de realizar operaciones erróneas o confusas (Winkelman & Schmidt, 1974). De esta manera, Dehaene y Cohen (1995) postulan que el éxito en la recuperación de operaciones y resultados matemáticos se puede aumentar


40

considerablemente utilizando una representación semántica de la magnitud de las operaciones y los resultados tentativos.

Uso de la memoria de trabajo

En el tercer nivel de complejidad, los problemas matemáticos requieren el uso de la memoria de trabajo (Dehaene & Cohen, 1995). El uso de la memoria de trabajo es requerido debido a que las operaciones matemáticas se presentan auditivamente y debe recordarse a lo largo del proceso de cálculo. También es necesaria para el almacenamiento temporal de los resultados intermedios, como cuando sucede en las operaciones de resta cuando se “llevan” las cantidades. La investigación con sujetos normales demostró la participación de un centro de almacenamiento verbal a corto plazo, llamado bucle articulatorio, en el cálculo complejo (Hitch, 1978; Logie, Gilhooly & Wynn, 1994). También se puede utilizar un almacenamiento visoespacial para mantener en línea la disposición espacial y los dígitos de un cálculo continuo de varios dígitos.

Estrategias y planificación de procedimientos matemáticos

El cuarto nivel de complejidad determina que los problemas matemáticos de orden complejo requieren la estrategia y planificación del procesamiento matemático (Dehaene & Cohen, 1995). La resolución de operaciones que se realizan con varios dígitos debe escoger cómo hacerlo, y en su ejecución se debe controlar y corregir cada operación mental, lo cual pone en acción los recursos visoespaciales, (es común ver en el aula a los estudiantes que miran hacia arriba o hacia el frente al realizar operaciones mentales). Para la mayoría, las operaciones complejas, especialmente de sustracción y división, implican secuencias de ensayo y error (Dehaene & Cohen, 1995). Incluso en otro tipo de problemas, como aquellos planteados con palabras, la estrategia de solución a menudo se desconoce o es necesario plantearlos en forma numérica en una secuencia específica por medio de un nuevo algoritmo matemático (Dehaene & Cohen, 1995). Utilizar correctamente las operaciones mentales es otro ejercicio que relaciona el razonamiento y la memoria. Las investigaciones dieron cuenta de que en el cerebro no existe un solo centro de cálculo, por lo que se identificó que el cálculo se realiza en distintas áreas cerebrales que pueden ocuparse en más de una tarea cognitiva. Por ejemplo, si se piensa en la secuencia u orden que se sigue en la resolución de operaciones como la división, se ve que se colocan los términos de una forma (en la educación hispana es diferente a la anglosajona), y se resuelve la operación a través de un número determinado de divisiones, multiplicaciones y restas. Por el contrario, en la resolución de problemas de aritmética y álgebra (ya sean planteados directamente con números o con palabras) es el razonamiento el que lleva a tomar una determinada secuencia de procedimientos. En los dos casos mencionados anteriormente se identifica la importancia de contribuir a que niños y niñas desarrollen la atención, memoria y razonamiento desde el inicio del aprendizaje formal de la matemática. Además se debe contribuir al desarrollo de


41

patrones de repetición, como por ejemplo con objetos y luego dibujándolos en cuadernos. Este ejercicio permitirá desarrollar más adelante las nociones de generalizaciones como las de álgebra (una de las cinco áreas de procesamiento numérico). Los cuatro niveles de procesamiento de operaciones matemáticas descritos en los párrafos anteriores reflejan la importancia de la memoria, la codificación arábiga para procesar símbolos espacialmente, y el sistema de cantidad para recuperar el resultado correspondiente. Es aquí donde se refleja la importancia de la memoria tanto en los procesos de lectura como en los de desarrollo matemático. Figura 20. Activación de regiones parietales involucradas en el cálculo

Fuente: Piazza, Pinel, Le Bihan, Dehaene (2007), A Magnitude Code Common to Numerosities and Number Symbols in Human Intraparietal Cortex, (traducido por autoras)

7. Habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente

Al realizar tareas de resta o sustracción, los resultados mostraron activaciones extensas en la región parietal inferior y premotora, prefrontal y la corteza motora (Appolonio, et al., 1994; Roland & Frieberg, 1985); las activaciones fueron bilaterales, aunque tienden a ser mayores en el hemisferio izquierdo. De manera global, los resultados de las investigaciones mencionadas confirman que el cálculo mental complejo implica una red


42

ampliada de las zonas parietal y frontal inferior (Appolonio, et al., 1994; Roland & Frieberg, 1985). La tarea de la resta implica un amplio uso de la memoria de trabajo y de seguir pasos en secuencia, por lo que estas investigaciones eran específicas para el dominio numérico relacionado con la secuenciación global de la atención, así como el uso de la memoria de trabajo (Appolonio, et al., 1994; Roland & Frieberg, 1985). En la enseñanza de las matemáticas se ha visto que los niños y niñas desde antes de los cuatro años pueden aprender de memoria las palabras que representan los números, es decir uno, dos, tres, etc., sin saber lo que la palabra significa ni qué cantidad representa. De acuerdo a las investigaciones (Le Corre & Carey, 2006), les tomará al menos seis meses después de aprender las palabras de memoria, poder entender las relaciones de orden (es decir, uno primero, luego dos, etc.), y a medida que el tiempo pase irán entendiendo por completo la correspondencia entre lo verbal (o nombre del número) y la cantidad, modificando su concepto de sentido numérico radicalmente (Dehaene, 2010; 2011). Cabe resaltar que los procesos de aprendizaje no dependen solamente de la edad tanto como de la madurez del cerebro; de esta manera existirán niños y niñas que aprendan con mayor facilidad a memorizar los números (uno, dos, tres, etc.) que otros. Figura 21. Patrón general de la actividad durante cada operación mental

Fuente: Hanakawa, Honda, Okada, Fukuyama, & Shibasaki, 2003.


43

Otra experimentación realizada con tareas de multiplicación mental de números arábigos vistos en la pantalla de la computadora requería que los participantes de la investigación multiplicaran mentalmente dos dígitos o seleccionaran el mayor de los dos dígitos presentados, manteniendo el resultado en su cabeza (Dehaene & Cohen, 1995). Estas tareas implicaron similares procesos de entrada y salida, operaciones de multiplicación o de comparación que activaron las siguientes partes: la corteza occipital lateral izquierda y derecha, el área motora suplementaria, y el giro precentral izquierdo (el giro precentral derecho estaba activo durante la comparación, pero su activación no tuvo relevancia en la multiplicación) (Dehaene & Cohen, 1995). Las investigaciones descritas anteriormente han permitido llegar a determinar que no existe un “centro de cálculo” o una región específica para el conocimiento numérico (Dehaene & Cohen, 1995). Más bien, se cree que el procesamiento numérico de cálculo emplea áreas cerebrales ampliamente distribuidas, cada una de las cuales realiza solo transformaciones elementales (Dehaene & Cohen, 1995). Muchas de estas transformaciones no tienen que ser específicas para los números y pueden ser utilizadas para varias tareas cognitivas diferentes (Dehaene & Cohen, 1995). Al igual que en la habilidad de almacenar y recuperar procedimientos matemáticos, la habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente apela al uso del sistema de memoria del cerebro. Inicialmente, al almacenar en la memoria el significado se moviliza un amplio conjunto de regiones que se activan al pensar en un concepto, ya sea de números dichos verbalmente, símbolos arábigos o imágenes de conjuntos de números (Binder, et al., 1999; Kotz, et al., 2002; Vandhenberghe, Price, Wise, Josephs, & Frackwiak, 1996). Las regiones que movilizan el significado se distribuyen a lo largo del córtex cerebral en donde las regiones frontal y temporal son la parte inicial. A pesar de que se activan con el significado esencial de una palabra (tres) o símbolo (3), no almacenan el significado pero permiten encontrar la información semántica dispersa en el córtex. Figura 22. Áreas del cerebro involucradas en procesos matemáticos


44

Fuente: Psychologie (2012), (traducido por autoras)

En los últimos 15 años se ha encontrado evidencia sobre el papel vital de la memoria de trabajo en el aprendizaje de las matemáticas (Ashcraft & Krause, 2007). Las investigaciones generalizan la relación positiva entre la complejidad de los problemas aritméticos o matemáticos, y la demanda de memoria de trabajo para la resolución de los mismos (Ashcraft & Krause, 2007; LeFevre, DeStefano, Coleman, y Shanahan, 2005). La memoria de trabajo está cada vez más involucrada en la resolución de problemas. Por ejemplo, cuando los números en un problema de aritmética (los operandos) son más grandes, toma más tiempo resolver las operaciones planteadas, y las respuestas pueden ser menos precisas (por ejemplo, es más fácil resolver 2x3 y 4+5 que 6x7 y 9+6) (Zbrodoff & Logan, 2005). El Efecto de Complejidad estudiado sobre los números y cantidades más grandes, además de la solución de problemas más complejos, contribuye a explicar la manera en que el cerebro los soluciona (Hamann & Ashcraft, 1986; Siegler & Shrager, 1984). La primera parte del Efecto de Complejidad puede explicarse gracias a la estructura de representación mental de la información matemática en la memoria a largo plazo. Mientras más complejo el problema, menor es la frecuencia con que se lo plantea. Por lo tanto, las conexiones en la memoria para retener y almacenar los procedimientos para solucionar problemas no se refuerzan (“usarlo o perderlo”: if you don´t used it, you lose it) (Hamann & Ashcraft, 1986; Hebb, 1949; Siegler & Shrager, 1984). La segunda parte del Efecto de Complejidad es la tendencia creciente a resolver los problemas matemáticos más grandes utilizando algún proceso de prueba y error, o dejando de lado el uso de la memoria ya sea contando, o usando problemas conocidos como guía, u otras estrategias (Campbell & Xue, 2001; LeFevre, Sadesky, & Bisanz, 1996). Dado que el procesamiento a través de prueba y error puede ser más lento y más propenso a la equivocación que los procesos que utilizan la memoria de recuperación, los estudios (Campbell & Xue, 2001; LeFevre, Sadesky, & Bisanz, 1996) reconocen que utilizar la memoria requiere de un proceso de aprendizaje más complejo pero mejor, debido a la automatización de los procesos en la memoria, si es que el proceso de aprendizaje ha incentivado la repetición de los procesos. Nuevamente se refuerza la importancia del ejercitar la memoria sobre los procedimientos de resolución de problemas, desde los más simples hasta los más complejos, contribuyendo así a la sistematización de los pasos que se utilizan para resolver problemas matemáticos. Otras investigaciones (ej., Gobel & Rushworth, 2004; Grabner, Ansari, Koschutnig, Reishofer, Ebner & Neuper, 2009; Nieder, 2005) muestran incluso la forma en que el cerebro entiende cómo utilizar los números y calcular acertadamente, es decir, cómo el cerebro toma la lectura simbólica del número y manipula ese símbolo para un cálculo que en realidad representa otra cosa. Por ejemplo, cuando a los estudiantes se les presenta una operación matemática con objetos, cinco tazas sumadas a tres tazas, el cerebro identifica la cantidad de tazas, la relaciona con el número arábigo y realiza la operación de suma. Hay varios estudios que tratan de explicar exactamente por qué se produce una ruptura de ciertos mecanismos neuronales que llevan a los individuos a equivocarse en matemáticas, y que los profesores deberían utilizar en su beneficio.


45

Estas explicaciones no pretenden disculpar el pobre desempeño de algunos niños y niñas en matemáticas, sino más bien dar una explicación de por qué puede darse esto. Queda por lo tanto en manos de los docentes hacer uso de dicha información para diseñar mejor el contenido y las intervenciones de sus cursos, y así satisfacer las necesidades de los estudiantes que tienen dificultades en su red neuronal de habilidad matemática. Por ejemplo, si un docente identifica un déficit en la relación de cantidades con el respectivo número arábigo (aprendizaje que se realiza en los primeros años de educación primaria) podrá planificar ejercicios de reconocimiento de objetos, identificando el número que los representa.

8. Habilidades gráficas

En la historia de las matemáticas siempre ha existido una conexión profunda entre las representaciones numéricas y las espaciales (Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005). Desde los aspectos básicos de la matemática como la noción de medida, la línea numérica mental (que puede dibujarse a lo largo del aula como una serpiente por ejemplo), el plano cartesiano y sus coordenadas, e incluso la prueba del último teorema de Fermat, –metáfora por la que los números corresponden a posiciones espaciales–, traspasan el pensamiento matemático (Butterworth, 1999; Dehaene, 1997; Singh, 1997). Figura 23. Activación cerebral al realizar sumas y restas

Fuente: Silk, Bellgrove, Wrafter, Mattingley & Cunnington, 2010

El Modelo de Código Triple de procesamiento numérico propone que los números pueden ser representados mentalmente en un sistema visual, un sistema verbal y una


46

representación de cantidad no verbal, que dependen de diferentes sustratos neurales (Dehaene, 1992; Holloway, & Ansari, 2009; Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005). Para explicar la relación número–espacio es necesario retomar la información sobre el sistema de cantidad que proporciona una representación semántica del tamaño y la distancia de las relaciones entre los números; se cree que esta función se encuentra en la corteza parietal, y podría ser crucial para la mediación de las interacciones observadas entre las representaciones numéricas y espaciales (Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005). Las implicaciones de la relación numéricoespacial para el presente estudio se centran en la importancia de contribuir al desarrollo de habilidades de representación gráfica en niños y niñas. Los inicios del aprendizaje de las matemáticas deben estar llenos de juegos de contar, juegos con ábacos, pizarrones, material visible para el aprendizaje de la línea numérica mental (por ejemplo una serpiente numerada que rodee el aula y ayude a identificar los números, posiciones, aproximaciones y distancias, que los docentes usarán permanentemente). Se puede apreciar el éxito del sistema de Singapur, el cual implementa precisamente estos conceptos visuales y gráficos en su enseñanza de matemáticas en los primeros años. Figura 24. Ejemplos del sistema de Singapur

Fuente: Ejemplos de “Singpore Math” http://www.singaporemath.com


47

El dibujo en educación inicial debe ser visto como una herramienta de trabajo en el aula, que permite desarrollar las tres dimensiones (altura, ancho y profundidad), el tamaño, la distancia entre objetos, la proporción, entre otras características que tienen relación directa con el futuro aprendizaje de las matemáticas. Los niños y niñas necesitan desarrollar con eficiencia las conexiones entre lo escrito, lo verbal y la aproximación numérica, ejercicio que se automatiza con años de práctica y aprendizaje. El desarrollo de las habilidades gráficas se debe, inicialmente, a la profunda conexión que existe entre las representaciones de los números y el espacio. La recta numérica mental, la posición de los números y el colocar objetos en diferentes sets proporcionan una representación semántica del tamaño y la distancia que contribuyen al desarrollo de habilidades gráficas. Por ejemplo, ejercicios para niños y niñas que incluyan dibujar y hacer gráficas sencillas, hacer manualidades que incluyan alineamiento de fideos, fríjoles, diferenciar tamaños, agrupar y organizar sets de objetos, entre otras actividades, mejora la habilidad de refinar el sistema simbólico en el cerebro. Junto con el desarrollo del aprendizaje de las habilidades gráficas se debe ejercitar la identificación de figuras en 2D y 3D, primero de igual tamaño y orientación, luego en figuras de distintos tamaños y en orden aleatorio, así como la construcción de figuras o dibujos utilizando formas conocidas como triángulos, cuadrados, etc. Para iniciar el aprendizaje de problemas matemáticos, ya se habrán realizado ejercicios de ordenamiento y comparación de objetos, gráficas sencillas, visualización de datos, y relación entre los datos y sus representaciones gráficas en, por ejemplo, gráficos de barras o pastel. El desarrollo de las habilidades gráficas es un ejemplo de los aprendizajes empleados en todos los niveles de educación; las pruebas de ingreso a la universidad, por ejemplo, cuentan con ejercicios de identificación espacial (figuras tridimensionales y bidimensionales que se deben armar mentalmente, o escoger la figura que se arma con una maqueta plana, entre otros ejercicios).

Resumen revisión de la literatura

Tabla 3. Resumen de la revisión de literatura

Habilidad 1 Problema Estudios

Habilidad física de ver números y palabras.

El niño no logra ver la pizarra desde su asiento.

Dehaene, 2009, 2011; Hasson, Levy, Behrmann, Hendler, & Malach, 2002; Grill-Spector, Sayres, & Ress, 2006; Tsao, Freiwald, Tootell, & Livingstone, 2006; Pascalis, de Haan, & Nelson, 2002; Pastalis, Scott, Kelly, Shannon, Nicholson, Coleman, & Nelson, 2005; ; Shuwuari, Albert, & Johnson, 2007; Sigman & Gilbert, 2000; Sigman, Pan, Yang, Stern, Silbersweig, & Gilbert, 2005.


48

Fuente imagen: Universidad de La Coruña, Facultad Ciencias de la Salud


49


Habilidad en el manejo de las funciones ejecutivas y habilidades de pensamiento de orden superior.

El niño tiene una falta de una o más de estas destrezas:

FEs centrales:

-Flexibilidad Cognitiva: incluye el cambio de perspectiva y ver situaciones, problemas, etc. con otros ojos, alimentado por información nueva y diferente;

-Control Inhibitorio: que incluye el autocontrol y la disciplina; y

-Memoria de Trabajo: mantiene la información en la mente y trabaja con ella.

FEs de orden superior:

-Atención selectiva: que permite focalizar la atención a pesar de las distracciones;

-Disciplina: iniciar una actividad y permanecer en ella hasta terminarla; y

-Autocontrol o autorregulación: inhibirse a actuar impulsivamente y considerar las reacciones o respuestas.

Clements, Sarama, Unlu & Layzer, 2012; Dehaene, 1997, 2011; Diamond, 2013; Meltzer, Sales & Barzialli, 2007; Moran & Gardner, 2007; Posner, 2007; Puebla 2009; Posner, Sheese, Odludas & Tang (2006).

Fuente imagen: Posner, Sheese, Odludas & Tang (2006).


50


Habilidad de generalizar en un mismo concepto diferentes símbolos que representan una misma idea (el código triple).

El niño no domina una o más de las siguientes:

-Habilidad de visualizar el código arábigo

-Habilidad analógica de cantidad o de código de magnitud

-Habilidad de código verbal

Ansari, 2007, 2008, 2010; Bach, Richardson, Brandeis, Martin y Brem, 2011; Binder, Frost, Hammake, Bellgowan, Springer, Kaufman, & Possing, 2000; Bynner & Parson, 1997; Campbell, 1994; Coch, et al., 2007; Cohen Kadhosh, Cohen Kadosh, Kass, Henik & Goebel, 2007; Coltheart, Rastle, Perry, Langdon, & Ziegel, 2001; Dehaene & Changeux, 1993; Dehaene, 2009, 2010; Dehaene, Piazza, Pinel & Cohen, 2003; Dejerine, 1892; Duncan, Dowsett, Classens, Magnuson, Huston, Klebanov, et al., 2007; Geschwind, 1965; Harm & Seigdenberg, 2004; Jobard, Crivello, & Tzourio-Mazoyer, 2003; Kotz, Cappa, von Cramon, & Friederich, 2002; Libertus, Woldorff, & Brannon, 2007; Perry, Ziegel, & Zorzi, 2007; Piazza, 2010; Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan, & Dehaene,2004; Piazza, Pinel, LeBihan & Dehaene, 2007, 2009, 2011; Rodríguez, 2011; Tokuhama-Espinosa, 2011; van Atteveldt, Formisano, Goebel, & Blomert, 2004; Vandenberghe, Norbre, & Price, 2002; Verguts & Fias, 2008.

Fuente: Arsalidou & Taylor (2011)


51

Habilidad 4

Problema

Estudios

Habilidad de estimar o aproximar cantidades.

Imprecisión en la estimación de cantidades.

Ansari, 2008; Brannon, 2006; Dehaene, 2010, 2011; Heim, Amunts, Drai, Eickhoff, Hautvast & Grodzinsky, 2012; Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan, & Dehaene, 2004; Pica, Lemer, Izard, & Dehaene, 2004.

Fuente imagen: Heim, Amunts, Drai, Eickhoff, Hautvast & Grodzinsky, 2012


Habilidad de retener información en la memoria.

Dificultades con uno o más de los sistemas de memoria (corta, de trabajo, o de largo plazo).

Atkinson & Shiffrin, 1968; Baddeley, 2001, 2003; Devlin, 2010; Huitt, 2003; LeFevre, DeStefano, Coleman & Shanahan, 2005; Levine, 2001; Miller, 1956; Tokuhama-Espinosa, 2011.

Fuente: http://iescarin.educa.aragon.es


52


Habilidad para almacenar y utilizar procedimientos.

Dificultad en recordar secuencias matemáticas.

Ashcraft, 1992; Dehaene, & Cohen, 1995; Campbell & Graham, 1985; Hitch, 1978; Kaufmann, Vogel, Wood, Kremser, Schocke, Zimmerhackl & Koten, 2008; LeFevre, Bizanz, & MrKonjic, 1988; Levine, 2002; Shannon, 1984; Logie, Gilhooly, & Wynn, 1994; Piazza, Pinel, Le Bihan, Dehaene, 2007; Winkelman & Schmidt, 1974.




Habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente.

Inhabilidad de aplicar, recordar y usar en forma correcta fórmulas o reglas matemáticas.

Ashcraft & Krause, 2007; Appolonio, et al., 1994; Binder, et al., 1999; Campbell & Xue, 2001; Dehaene, 2010; 2011; Dehaene & Cohen, 1995; Gobel & Rushworth, 2004; Hamann & Ashcraft, 1986; Kotz, et al., 2002; Le Corre & Carey, 2006;


53

Fuente: Hanakawa, Honda, Okada, Fukuyama / Shibasaki, 2003

LeFevre, DeStefano, Coleman, y Shanahan, 2005; LeFevre, Sadesky, & Bisanz, 1996; Nieder, 2005; Roland & Frieberg, 1985; Siegler & Shrager, 1984; Vandhenberghe, Price, Wise, Josephs, & Frackwiak, 1996; Zbrodoff & Logan, 2005.


Habilidades gráfico-espaciales

La inhabilidad de representar conceptos matemáticos en forma gráfica, visual o espacial (ej., expresar 2+2=4 en un dibujo).

Butterworth, 1999; Dehaene, 1992, 1997, 2010; Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005; Singh, 1997.

Fuente: Silk, Bellgrove, Wrafter, Attingley & Cunnington, 2010


54

En el nuevo campo de la Ciencia de MCE se tendrán mayores investigaciones y hallazgos, apoyados en la tecnología de scanner cerebral, de manera que lo que se ha presentado aquí no debe considerarse como definitivo. Se ha detectado que al momento de complementar la observación de un comportamiento con escaneo del cerebro (como el proceso de aprendizaje de matemática, por ejemplo), se pueden aclarar mitos y malas concepciones, como por ejemplo que existen lóbulos cerebrales dedicados a la matemática, o sitios del cerebro únicamente para el procesamiento de la matemática. El sentido numérico utiliza la línea numérica mental que permite desarrollar relaciones espaciales numéricas. Las relaciones espaciales numéricas desarrolladas en el cerebro a través de la línea numérica mental son los andamiajes previos que permiten nuevos aprendizajes en la matemática. El desarrollo cerebral basado en las redes neuronales primitivas, perfeccionadas a lo largo del tiempo y a través de la continua educación del ser humano, contribuye al reciclaje de los circuitos evolutivamente más antiguos, reforzando aquellos que tienen valor de supervivencia, transmitiéndose a los genes de las futuras generaciones. Por ejemplo, los conceptos de número y de aritmética tienden a expandirse a más circuitos cerebrales partiendo desde la visión, con el reconocimiento de objetos antiguos, hasta los movimientos espaciales. Niños y niñas emplean estos circuitos neuronales con el fin de ampliar sus conocimientos y aprender (con la guía del maestro), utilizando su intuición o sentido numérico para cumplir los objetivos de aprendizaje (Dehaene, 2010; 2011).


55

ANÁLISIS

La presente investigación fue predefinida como bibliográfica y documental. A continuación se explica la conexión entre las diferentes fuentes de literatura, con la esperanza de entender el proceso completo del aprendizaje de las matemáticas en los primeros años de edad. Este análisis está seguido por conclusiones y comparaciones de procesos existentes, intervenciones posibles y recomendaciones de futuros estudios.

Bases del aprendizaje futuro de las matemáticas

La pregunta central de la presente investigación se refiere a la adquisición del pensamiento inicial numérico como factor de influencia en el aprendizaje de la matemática. A lo largo de este estudio se ha establecido que la conceptualización del pensamiento inicial numérico incluye por lo menos tres conceptos básicos en las edades tempranas: el sentido numérico, el desarrollo de una línea numérica mental, y el desarrollo del sistema numérico aproximado y refinado con la introducción de símbolos. Al lograr estos tres aspectos generales, se pueden dominar las siguientes subáreas: procesamiento secuencial y operaciones; geometría y espacio; medición; patrones; y representación gráfica.

La facultad primitiva del sentido numérico

Entre las bases del aprendizaje de la matemática se encuentra la del sentido numérico, una facultad primitiva que le permite distinguir a niños y niñas la diferencia entre dos sets con diferente número de objetos. El sentido numérico no es lo mismo que contar y tiene dos etapas: primaria y secundaria. La forma primaria es preverbal y su desarrollo es sin intervención o sin instrucción escolarizada. El sentido numérico primario influye de manera directa en el aprendizaje de las matemáticas; por ejemplo, los niños y niñas que han sido estimulados desde los primeros meses de vida en la diferenciación sobre cantidad de objetos cotidianos tienen mejores posibilidades de aprender matemáticas con mayor facilidad. El sentido numérico secundario es verbal, se desarrolla a través de la enseñanza (escolaridad) y permite comprender la cantidad y los símbolos de los números. La etapa secundaria del sentido numérico influye en el aprendizaje de las matemáticas ya que cimenta la comprensión de la noción de cantidad, la secuencia de numeración (primero uno, luego dos, etc.) y la relación de una cantidad con sus símbolos, ya sean números arábigos, sets de objetos o las palabras que identifican dichos números (3, ●●●, tres). Los estudios incluidos en la revisión de la literatura evidencian que los problemas asociados al fracaso en el aprendizaje de las matemáticas se deben a un inadecuado desarrollo del sentido numérico.


56

Orden, ubicación y procesos numéricos: la línea numérica mental

La línea numérica mental es otro de los recursos que emplea el sentido numérico para dar una “posición” al número dentro del cerebro, permitiendo acomodar los números, codificarlos y ayudar a intuir la distancia entre ellos. Una línea numérica mental es un instrumento desarrollado con el sentido numérico, para permitir relacionar los números con la cantidad a la que representan. Comprender y utilizar adecuadamente la línea numérica mental contribuye al aprendizaje de las matemáticas, al permitir enlazar las diferentes representaciones de cantidad (ya sean números del código arábigo, palabras que designen el número o un set de objetos) con un símbolo que ayuda a reconocer dicha cantidad. La línea numérica mental es una de las bases más importantes para que niños y niñas puedan desarrollar los aprendizajes futuros en matemáticas. La línea numérica mental debe convertirse en una de las herramientas físicas para que los maestros ayuden a los estudiantes a comprender las relaciones de aumento o disminución de cantidad. La línea numérica mental puede utilizarse en la práctica docente de forma lúdica. Por ejemplo, con regletas creadas por los estudiantes o colocando una línea numérica a manera de serpiente a lo largo del aula, y que el docente utilizará al realizar cualquier ejercicio de identificación y operación matemática que permita a los estudiantes grabar en su mente al número y la cantidad encontrada. En la práctica en el aula debe reforzarse el uso de la línea mental como un ejercicio visual; por ejemplo, colocándola en lugares estratégicos para que los niños y niñas la observen al momento de realizar identificación de números y operaciones. La línea numérica mental es un instrumento para el docente al que puede apelar continuamente, contribuyendo al paso de lo concreto (contando objetos tangibles) a lo abstracto (observando que el número de objetos tiene una posición dentro de la línea numérica). La línea numérica mental permite el desarrollo del área de medida en niños y niñas de 0-3 años de edad que pueden reconocer la medida de los objetos con preguntas de más grande, más pequeño, más largo o más corto, más o menos pesado, es decir, utilizando los atributos de los objetos y aplicándolos a situaciones prácticas (armar puentes largos o cortos, torres más anchas, etc.). En niños y niñas de 3-6 años de edad se van introduciendo los conceptos de unidad y las herramientas de medición, por ejemplo las reglas y los centímetros para medir diferentes objetos. Los ejercicios de medida permiten desarrollar varias áreas del aprendizaje. Por ejemplo, en el aspecto verbal se va manejando un mayor vocabulario de atributos, relacionándolo con significado (mi papá es alto, mi mamá es pequeña, etc.). También se utiliza la comparación entre objetos permitiendo el desarrollo de conceptos que serán almacenados en la memoria.


57

Estimación mental: el sistema del número aproximado

La habilidad para estimar o aproximar cantidades es heredada del pasado evolutivo. El sistema del número aproximado es un sistema con el que los niños y niñas se encuentran equipados, y que la educación puede utilizar, ya que es uno de los instrumentos junto con la línea numérica mental con que cuenta el sentido numérico para desarrollar un buen aprendizaje de las matemáticas. El sistema de número aproximado permite intuir o deducir la cantidad de objetos en un set determinado. Por ejemplo, los niños y niñas menores de tres años de edad pueden identificar si un set de cinco objetos es más grande o más pequeño que un set de tres. Contribuir al desarrollo del número aproximado en niños y niñas facilitará el aprendizaje de las matemáticas, haciendo por ejemplo ejercicios con material concreto o con hojas impresas comparando las cantidades de objetos, pidiendo que armen sets de objetos donde las instrucciones especifiquen si los sets son más grandes o más pequeños, o adicionando o quitando elementos a los sets armados para que los estudiantes comprendan el aumento o la disminución, la suma o la resta. Cimentar el sistema del número aproximado en los primeros grados de primaria contribuye a un mejor aprendizaje de las matemáticas en niveles superiores. Es así que el currículo de países del Primer Mundo promueve la enseñanza de la aproximación como método inicial para la resolución de problemas. Antes de realizar una operación por escrito se pide pensarla y aproximar la respuesta, contribuyendo a desarrollar las áreas de medición, números y operaciones, visualización y análisis de datos. El sistema de aproximación contribuye además a la comprensión de la cantidad. Ya se ha visto que, si bien no es la única habilidad necesaria para el desarrollo de las matemáticas, los niños y niñas con dificultades de aprendizaje de por vida en matemáticas (que no hayan sido por impedimentos sensoriales o cognitivos) es porque muestran alteraciones en el sistema de número aproximado. El paso del entendimiento de un número aproximado a un número exacto es un acto que depende de la educación. Contribuir a este aprendizaje requiere ayuda en las rutinas de conteo. Desde el inicio de la escolaridad es necesario contar todo lo que se encuentre en el ambiente. La estimulación visual, auditiva, la manipulación de objetos, el juego de contar al caminar, enumerar al realizar actividades con los niños y niñas, como por ejemplo al guardar los objetos, al ordenar, al ayudar a identificar sets con diferente número de objetos, son actividades que contribuyen al desarrollo de la aproximación. La transición desde la aproximación hacia la construcción de un número exacto (con su símbolo), se fortalece con la ayuda de una rutina de conteo. Entender la importancia de la aproximación y la habilidad de juzgar cantidades permite utilizarla en el aula como estrategia de enseñanza de operaciones formales. El procesamiento matemático utiliza el ya mencionado sistema de aproximación, que contribuye al aprendizaje de la matemática sentando las bases para la comprensión de


58

la cantidad y su posterior relación con los símbolos que representan los números arábigos. El sistema de aproximación se desarrolla a través de ejercicios de conteo, donde se vaya aumentando poco a poco más elementos u objetos para que los estudiantes identifiquen si hay más o menos. El uso del vocabulario de atributos de cantidad contribuye a desarrollar la habilidad de la aproximación. Por ello, el docente puede aprovechar cualquier actividad en la que utilice las expresiones relacionadas con la cantidad (mucho, poco). En estudiantes que ya dominan la comprensión de cantidad es posible utilizar la aproximación para la resolución de problemas, como por ejemplo al proponer problemas que puedan realizar mentalmente descomponiendo los datos (120x16 es igual a 120x10 + 120x5 + 120), utilizando las operaciones más conocidas para encontrar el resultado antes de escribirlo o realizar la operación completa.

Subáreas

Además de estas tres áreas fundamentales, existen subáreas importantes para diferentes aspectos de las matemáticas que ya se habían nombrado: procesamiento secuencial y operaciones; geometría y espacio; medición; patrones; y representación gráfica de datos. Estas subáreas están resumidas a continuación.

Procesamiento y operaciones

Para poder añadir, restar y seguir en el aprendizaje de operaciones más complejas, un niño tiene primero que entender el orden secuencial y los procesos de las operaciones. Por ejemplo, entender cantidades y operaciones de suma y resta se aprende a través del conteo (contar añadiendo objetos), una secuencia básica en matemáticas. El aprendizaje de las matemáticas se ve favorecido cuando al ingresar a la escuela se utilizan los conocimientos previos en niños y niñas (como el sentido numérico que debe ser firme antes de los tres años de edad). Por ello es importante la estimulación en el hogar (o en centros de cuidado diario) para la comprensión de las diferencias de cantidad en grupos de objetos, la relación de la cantidad de objetos con el número arábigo que los representa, y la secuencia que sigue al aumentar los objetos. De tal manera, que la planificación del aula debe contar con actividades que permitan desarrollar habilidades relacionadas con el entendimiento de los números y las secuencias. El procesamiento numérico o la manera en que procesamos los números y las posibles operaciones que los involucran influye en el aprendizaje de las matemáticas en diferentes aspectos. El procesamiento numérico es una actividad que se emplea a lo largo de la vida, por ello su aprendizaje y desarrollo forma parte del currículo. La actividad de procesar números y cantidades es tan importante que nos permite guiar el comportamiento y la toma de decisiones. El procesamiento numérico como parte de las bases para el aprendizaje de la matemática involucra el desarrollo de las funciones ejecutivas, conformada por atención, disciplina y autocontrol.


59

El desarrollo de las funciones ejecutivas en niños y niñas es un trabajo conjunto entre el hogar y la escuela. Los docentes conocen el tiempo que logran cautivar la atención de sus estudiantes (desde 3 hasta 15 minutos, dependiendo de la edad); aumentar ese tiempo es un ejercicio de constancia y de planificación. La atención se mantiene planificando anticipadamente actividades interesantes, motivadoras y participativas. Por ejemplo, para niños y niñas de preescolar, la manipulación, el diseño y el juego de inventar historias sobre los objetos identificando y nombrando las figuras geométricas permite aumentar los tiempos de concentración y desarrollar el área de geometría y espacio. La disciplina es un hábito que permite a los estudiantes (de todas las edades y a lo largo de toda la vida) iniciar una tarea y terminarla. En el aprendizaje de la matemática, la disciplina es de suma importancia y puede desarrollarse desde las edades más tempranas. Algunos ejercicios para el desarrollo de la disciplina pueden ser la clasificación de objetos; por ejemplo, pedir a los niños y niñas que separen cuentas de colores en diferentes envases. Este ejercicio permite mantenerlos atentos para escoger los colores (una sola actividad) y concentrados, para no confundirse. Promueve asimismo la constancia y la disciplina porque implica terminar la actividad. La disciplina se desarrolla gracias al autocontrol. Para fortalecer el autocontrol, los docentes deben presentar reglas claras en todas las actividades que piensen realizar, y reforzarlas si no las están cumpliendo. En el ejemplo anterior, los niños y niñas se mantienen en un solo espacio, conversando, pero en la actividad de escoger no se levantan a pasear hasta acabar de separar las cuentas, llevando la actividad hasta el final. El procesamiento de operaciones y secuencias ordenadas involucra circuitos neuronales muy complejos en el cerebro. Levine (2001) ha mostrado que entender el orden de procesos está relacionado con conceptos temporales, porque es muy probable que el tiempo sea una de las cosas menos flexibles en el orden mental. Como los niños menores de cinco años rara vez entienden el tiempo, el entrenamiento de la comprensión de operaciones es una proceso que demora años en concretarse dentro del espectro de destrezas de un niño. Para facilitar este proceso, un docente tiene que tomar en consideración que está involucrando no solo el sentido numérico, la línea mental de números y los sistemas, sino también circuitos relacionados con el tiempo para lograr el orden correcto.

Geometría y espacio

Los seres humanos comienzan la vida conociendo el mundo a través del movimiento. El espacio y la autoconceptualización dentro del espacio es uno de los primeros aprendizajes adquiridos por un infante en su proceso de acercar objetos o personas. Un aspecto fundamental en habilidades matemáticas nace del poder entender el espacio alrededor de uno. Desde edades tempranas, los niños aprenden sobre formas, sus diferentes posiciones, relaciones espaciales y las distintas figuras que pueden surgir al utilizarlas. El aprendizaje de las matemáticas comprende manejar las figuras geométricas, las formas y la ubicación espacial.


60

Por ello, cuando en la escuela primaria se realizan ejercicios que pretenden desarrollar habilidades espaciales, (por ejemplo, los trabajos dados por los docentes en dibujo y arte les permiten identificar si los estudiantes han logrado entender las diferencias de dos y tres dimensiones, el tamaño y proporción de los objetos) se contribuye a mejorar las destrezas que permiten el logro en matemáticas. Las destrezas aprendidas por medio del dibujo servirán para armar objetos, diseñar y comprender mapas de ubicación y, posteriormente, resolver problemas que incluyan gráficos en el plano cartesiano. Los circuitos neuronales relacionados con el entendimiento del espacio son complejos porque las diferentes partes del cuerpo se relacionan con diferentes comprensiones del espacio, y están representadas en diferentes circuitos neuronales en el cerebro. Por ejemplo, el sentido del tacto al presionar un objeto puede ser no solo un indicador de temperatura y forma, sino también de peso y volumen. Al tocar algo con la mano, diferentes redes neuronales reaccionan en el cerebro, que si se tocara con los labios o con los pies. En el entendimiento de las formas geométricas no solo hay una relación con el tamaño y el volumen, sino que también involucra un entendimiento de relaciones semánticas y conceptuales. Comprender que un cubo es un cubo, independientemente de su color o tamaño, es un reto para muchos niños pequeños porque les falta poder esquematizar “cubo” a más dimensiones. Para ayudar a un niño a desarrollar destrezas de espacio y geometría, un docente debe entender que el uso de una variedad de materiales es uno de los mejores aliados en este proceso. Mostrar un cubo en una o dos formas no es igual de eficiente que mostrar un cubo en 10 o 20 formas; y mostrar no es igual que pedirle al niño hacerlo él mismo. Y pedir que el niño dibuje esto debe ser seguido de experiencias tridimensionales de las mismas formas (como ver una pelota o un dado). Cada uno de estos pasos tiene que ser ejecutado en el orden (constructivismo) y en la edad apropiada (etapas de desarrollo) correctos.

Medición

Muy ligado a la posibilidad de estimar cantidades y su relación a objetos similares es la capacidad de medir o contar unidades. La medida es un indicador del tamaño de los objetos y las distancias. Para un buen aprendizaje de las matemáticas, los niños y niñas aprenden inicialmente a reconocer las diferencias de medida a través de los atributos de los objetos (tamaño, peso, cantidad, tiempo, espacio, distancias, entre otros). Al avanzar en este aprendizaje, los atributos de los objetos son reemplazados por las diferentes unidades de medida. Una actividad común en las aulas es medir la estatura de los niños. Esto puede ayudar en forma significativa, porque el entendimiento del espacio más cercano a un niño es su propio cuerpo. Medir el tamaño del pie, de la mano, la distancia entre los ojos, así como otras partes del cuerpo sirve para relacionar algo conocido (el cuerpo) con algo nuevo (el concepto de medición).


61

De igual forma, el docente puede pedir a los estudiantes contar el número de letras de sus nombres y compararlos con los de los compañeros (¿quién tiene el nombre más largo?). En el recreo, el docente puede combinar medición con ejercicio físico. ¿Cuánto (qué distancia) saltó Pepito? ¿cuántos goles marcó María? ¿quién pesa más en la clase? O en un ejercicio de clase se puede pedir a los estudiantes que calculen cuánto tiempo se demoran en llegar a la escuela (no necesariamente por reloj, sino una estimación de su propio reloj interno). Además de las actividades obvias, hay otras actividades que introducen conceptos más avanzados en matemáticas que deben ser considerados en las clases de niños preescolares. Por ejemplo, la clase puede cocinar algo entre todos y medir cantidades y volumen (aunque las fracciones y el volumen son más complejos, la introducción temprana de estos conceptos es importante en la escolaridad de los niños). Se puede combinar la práctica de medición en casi toda actividad. Por ejemplo, en la clase de música se puede introducir el concepto de ondas de sonido midiendo su longitud. La medición es una función compleja en el cerebro porque, así como la geometría, tiene varias dimensiones. Poder medir una distancia es diferente en el cerebro a medir peso o tiempo. Esto significa que en el aula, el profesor tiene que trabajar varias dimensiones a la vez para poder dominar esta subárea de la medida. Si el docente genera actividades que trabajen cada subdominio de medición (tamaño, peso, cantidad, tiempo, espacio, distancia, volumen, ondas), se puede asegurar una buena base de conceptos matemáticos. Entender la medición y los aprendizajes asociados contribuye a encaminar a los estudiantes a comprender la resolución de problemas matemáticos, así como las diferentes vías de resolución de ejercicios desde el nivel más simple de aritmética hasta el cálculo (en niveles superiores).

Patrones

El cerebro humano está preprogramado para identificar patrones y novedades porque éstos ayudan en la sobrevivencia. Al entender cómo algo es parecido o diferente es fundamental en el aprendizaje del entorno. Los patrones representan la forma lúdica de aprender la secuencia. Seguir patrones es una tarea que aparenta simpleza pero en realidad contribuye al desarrollo de diferentes habilidades en niños y niñas. Identificar y continuar con patrones de repetición es un ejercicio que puede realizarse con material concreto inicialmente, ya que contribuye a entender cómo un número aumenta al aumentar la cantidad de objetos que lo representa. Los ejercicios con patrones permiten adentrar al estudiante a las generalizaciones. Por lo tanto, el manejo de patrones favorecerá el aprendizaje de las matemáticas porque ayuda a entender cómo aumenta y disminuye la cantidad, y porque a través de ellas se pueden generalizar conceptos para todas las cantidades: por ejemplo, cuando se suma cero a cualquier cantidad, seguirá siendo la misma cantidad. Los docentes pueden emplear la enseñanza de patrones como un juego con sus estudiantes a través de material concreto y luego con ejercicios escritos.


62

En la clase, las actividades de clasificación y categorización son importantes para desarrollar destrezas de identificación de patrones. Un ejercicio fácil de diseñar y que es clave en el desarrollo de procesos matemáticos en el futuro, se relaciona con un ejercicio de pensamiento crítico que pide que grupos pequeños de niños clasifiquen animales. Puesto que hay diversas maneras de clasificar animales (con cola o no; los que comen carne o no; los que vuelan/nadan o no; los que viven en la selva/finca/casa o no; los que son pequeños o grandes, entre otras opciones) los niños tienen que justificar su selección frente a sus compañeros. Al articular el racionamiento por su categorización, el niño está desarrollando la metacognición sobre su propio proceso de pensar. Después de la clasificación, el docente puede preguntar a los niños sobre los patrones identificados. Por ejemplo, ¿hay algo especial de los dientes de los animales que comen carne? ¿Qué tienen todos los animales que pueden volar? El proceso de clasificar y generalizar características fortalece el hábito de observación de los niños y estimula su proceso de reconocer patrones. Una vez dominado este ejercicio básico, el docente puede hacer la misma cosa con formas y símbolos (ej.: ¿Qué patrón hay en las características de los triángulos? ¿Qué tienen en común todos los números menores de 10?). Al dominar la clasificación y patrones en objetos diarios, formas y algunos símbolos, el docente puede trabajar en patrones menos tangibles, como patrones de comportamiento. Esto ayuda a un niño a empezar a identificar “lo normal” (el patrón) de lo diferente (la novedad). Los circuitos neuronales en el cerebro relacionados con patrones están muy relacionados con el sistema de memoria: no se puede identificar patrones si no se recuerda lo que es normal de lo que es diferente. Al fortalecer el reconocimiento de patrones, el docente está estimulando sistemas de memoria. Esta estimulación sirve no solo para el reconcomiendo de patrones, sino para otros atributos relacionados con las funciones ejecutivas.

Representación gráfica de datos

La visualización y análisis de datos se encarga de distribuir los datos obtenidos en una representación numérica como barras y gráficos que permiten contar el número de unidades de cada grupo. Visualizar los datos de un problema a través de representaciones numéricas contribuye al aprendizaje de la matemática, orientando a niños y niñas a organizar, seleccionar y asociar datos para solucionar problemas planteados. Además, la visualización y análisis de datos contribuyen a desarrollar procesos inductivos y deductivos que se utilizarán en la resolución de problemas a lo largo de toda la escolaridad y estudios universitarios. La enseñanza de las matemáticas debe ejercitar a los estudiantes desde los primeros años en la comprensión de las pistas que


63

entregan los datos en tablas, barras de gráficos estadísticos y gráficos de unión y dispersión de puntos. Una de las primeras introducciones al concepto de representación gráfica viene con el entendimiento del sistema numérico y su representación simbólica. Como se mencionó en la descripción del Modelo de Código Triple, es la habilidad de generalizar un mismo concepto con diferentes símbolos. Reconocer que 3 es equivalente a “tres” o equivalente a ●●● es una habilidad básica para el aprendizaje de las matemáticas. Al dibujar “2+2=4” en la forma “��+ ��= ��” el niño empieza a entender que el mismo concepto (“dos” en este caso) puede tener varias representaciones a través de dibujos, objetos u otras formas. El docente que toma el tiempo de ofrecer varios ejemplos de la representación del mismo concepto numérico en varias formas, fortalece las posibilidades de éxito en el campo matemático en el futuro. Por ejemplo, el docente no solo debe enseñar “2+2=4” y “��+ ��= ��”, sino que debe pedir que los niños muestren su propio gráfico del mismo concepto. Esto puede tomar la forma de dos frutas más dos frutas, y un dibujo de su familia (dos adultos, dos niños), o de autos, perros, o cualquier otro objeto. Para reforzar esto, el docente puede cambiar los materiales e introducir plastilina, “palitos” o pintura, y pedir que el niño muestre el mismo concepto a través de otros medios. Al repetir la enseñanza a través de diferentes modalidades, el docente está fortaleciendo diferentes redes neurales en el cerebro, lo cual facilita la recolección en el futuro. El sistema gráfico en el cerebro es difícil de identificar porque involucra tantas diferentes áreas del cerebro dependiendo del medio usado y el concepto tratado. La clave en la enseñanza de representación gráfica está, otra vez, en la variedad de formas que puede tomar. Entre más alta la cantidad de veces con la mayor variedad de medios que un docente puede introducir la conceptualización de 2+2=4, mejor. El planteamiento y la resolución de problemas en matemáticas encuentran una herramienta de trabajo muy útil en la representación gráfica. Inicialmente, los niños y niñas aprenden las nociones de tamaño, profundidad, perspectiva y dimensión dibujando su entorno; por ejemplo, al realizar el retrato familiar, el papá suele ser el más grande, la mamá un poco más pequeña, pero más grande que el niño o niña y sus hermanos. Las nociones utilizadas y entendidas por medio del dibujo son la base que permiten desarrollar habilidades gráficas en niveles superiores. Las habilidades gráficas utilizadas a nivel superior sirven para plantear y resolver, y facilitan el aprendizaje de la matemática, si es que los estudiantes ya las manejan y comprenden. Además, las habilidades gráficas contribuyen al aprendizaje de las matemáticas al relacionar las representaciones gráficas de los números y las cantidades que los representan. Los docentes pueden contribuir al desarrollo de esta habilidad a través de ejercicios de cotejar el número con la cantidad que la represente por medio de diferentes objetos, utilizar una línea numérica física (puede ser en el piso o alrededor del aula) para ubicar objetos de forma correspondiente (en el 2 colocar dos objetos), proporcionar a niños y niñas plantillas con cada número dibujado en la mayor parte de la hoja para repasarlo


64

con diferentes colores, utilizando el resto de la hoja para graficar la cantidad (con objetos y marcando los bloques que representan el número), y escribir el número en letras. Ejercicios como estos involucran habilidades gráficas, creatividad, identificación de cantidad, e identificación de número en código alfabético (Tobar, 2013).

Consideraciones globales en el aprendizaje

Además de estas subáreas de matemática, cabe recalcar la importancia de algunos aspectos que están relacionados a todo tipo de aprendizaje. Se ha dicho que los dos procesos importantes para todo aprendizaje son: atención y memoria (Tokuhama-Espinosa, 2011). La atención es un ejercicio que debe ser desarrollado por los docentes. En la práctica, los maestros conocen cuál es el tiempo de atención de sus estudiantes. Los estudios refieren que el rango de atención es entre 10 y 20 minutos, por lo que en el aula la atención se desarrolla al cambiar el enfoque de la persona, tópico o espacio físico en ese mismo rango de tiempo (de 10-20 minutos) (Tokuhama-Espinosa, 2012). Asimismo, el profesor debe tratar de crear ambientes de aprendizaje que tengan orden lógico, sentido y significado en la vida de los estudiantes. La atención se focaliza en aquello que es interesante, importante y tiene valor de supervivencia, personal o emocional, para quien recibe la información. También el docente debe recordar el Efecto de Primacía, aquel que evidencia que los estudiantes recuerdan mejor lo que sucede primero y al final de la clase, y recuerdan menos lo que sucede a la mitad (Tokuhama-Espinosa, 2012). Los docentes deben utilizar los momentos de mayor atención al principio y final de la clase, dando la información más importante y/o en retroalimentar lo aprendido antes, dejando los momentos de la mitad de la clase para realizar actividades enfocadas en los alumnos y mantener su atención (Tokuhama-Espinosa, 2012). Cabe recalcar que si bien es cierto que la memoria y la atención son habilidades fundamentales para el aprendizaje en general, desarrollar la memoria sin razonamiento y sin pensamiento crítico es simple repetición de contenidos y no aprendizaje. El aprendizaje de la matemática requiere el almacenaje de una gran cantidad de contenidos conceptuales, procedimientos y estrategias de resolución de problemas que deben ir acompañados de ejercicios para aprender a razonar, juzgar información y enlazar los conceptos con los problemas planteados. Por otro lado, seleccionar la estrategia más adecuada, y tal vez la más simple, para resolver un problema depende del razonamiento que tenga el estudiante, de su habilidad de juzgar los datos que le han proporcionado, y de la capacidad de unir sus conocimientos para resolverlo. Por ejemplo, los docentes pueden presentar situaciones cotidianas de manejo de dinero (tienda, mercado para los más pequeños y mercado de acciones y bolsa de valores para los más grandes) para enseñar bajo una situación real las diferentes operaciones matemáticas, ganancia, pérdida, inversión, entre otros conceptos. Actividades como la sugerida pueden aprovecharse para incluir tanto


65

contenidos curriculares como destrezas y habilidades como razonamiento y pensamiento crítico. Tanto la habilidad de retener información en la memoria como el almacenamiento de información y procedimientos de conceptos para el aprendizaje de la matemática, son habilidades basadas en la dupla atención y memoria. Estas habilidades que utiliza la memoria son importantes para el presente estudio debido a que el almacenamiento de información, desde las etapas iniciales, permite realizar los enlaces teórico-prácticos que la matemática demanda. La información almacenada en los sistemas de memoria es necesaria para el desarrollo del sentido numérico y del Modelo de Código Triple inicialmente. La memoria de trabajo es importante para aprender y tiene un papel crucial en el aprendizaje de los números (en sus distintas representaciones), y en el almacenamiento de conceptos, procedimientos, ideas y su recuperación. La memoria debe ejercitarse en todas las edades. Para contribuir a su desarrollo en niños pequeños se pueden promover ejercicios de conteo al caminar que permiten grabarse los nombres de los números, ejercicios de patrones que permitan visualizar el patrón mentalmente y escoger cómo continúa, tareas de repetición como con la canción un tren va cargado de…., juegos de memoria con cartillas, o aprendizaje de trabalenguas que pueden incluir números. Este tipo de ejercicios contribuyen también al desarrollo de las áreas conceptuales de números y operaciones, patrones y álgebra. El aprendizaje de las matemáticas utiliza la memoria para la resolución de problemas y para el cálculo de operaciones; así, los estudiantes recuperan la información almacenada y escogen la mejor para cada una entre las estrategias de solución que tienen en la memoria.

El factor docente

Este estudio se enfoca en los procesos mentales durante el aprendizaje de las matemáticas, pero el aprendizaje de todos estos procesos depende de la calidad y conocimiento del docente. El aprendizaje de las matemáticas es un complejo sistema compuesto por los factores expuestos en la revisión de la literatura y el análisis del presente estudio del arte. Para enseñar matemáticas, el docente debe dominar los contenidos de la materia y atender cada factor específicamente; dejar de lado cualquiera de ellos repercutirá en un aprendizaje inadecuado de las matemáticas, pudiendo inhabilitar al estudiante de adquirir contenidos más avanzados. Adicionalmente, la habilidad del docente para enseñar, motivar y detectar posibles problemas en la adquisición de los aprendizajes influye en el logro de los estudiantes.


66

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Respuestas a las preguntas de investigación

El presente estudio del arte se había planteado tres preguntas de investigación que permitan aclarar la edad en que se alcanza el procesamiento matemático, si existe una sola manera de medirlo, y si es posible realizar recomendaciones sobre intervenciones que contribuyan al aprendizaje de la matemática desde la mirada de la ciencia de MCE. De la investigación realizada se desprende lo siguiente.

¿Hay una edad para alcanzar el procesamiento matemático?

La adquisición del procesamiento matemático no está condicionada a una edad determinada. A pesar de ello, la ciencia de MCE presenta evidencia sobre varios aspectos importantes que influyen en la identificación de períodos más efectivos para el aprendizaje de la matemática y sus diferentes procesos, y la importancia de las edades preescolares (0 a 6 años). La etapa preverbal del niño que corresponde al sentido numérico primario y que ocurre en la mayoría de los niños entre 0-3 años, parece ser fundamental en la construcción de conocimientos matemáticos. En esta etapa el niño define su comprensión de la cantidad con una correlación verbal de la misma. El desarrollo del sistema del sentido numérico secundario entre 3-6 años en la etapa verbal también parece ser importante para futuros aprendizajes en el campo matemático. Se puede decir que, aunque las destrezas matemáticas son naturales en los seres humanos (Butterworth, 1999), es la plasticidad cerebral o la capacidad del cerebro de modificarse a través de la estimulación recibida, lo que permite la construcción de conexiones cerebrales para fortalecer los fundamentos matemáticos en los niños pequeños. El sistema numérico aproximado, refinado con la introducción de símbolos se desarrolla en esta etapa, y el proceso puede ser mejorado por un docente experimentado a través de una variedad y selección de actividades apropiadas. Aunque parece que el cerebro está por disposición evolutiva listo para la conceptualización de aspectos básicos de matemáticas a esta edad, no se puede surgir sin la guía específica de un docente o un cuidador. La enseñanza explícita de conceptos como el procesamiento y las operaciones, la geometría y el espacio, la medición, los patrones y la representación gráfica de los datos, son necesarios a esta edad. La estimulación permanente (dentro y fuera de la escuela), así como la exposición a niños y niñas desde las edades más tempranas a situaciones de aprendizaje que les permitan el desarrollo de estos sistemas matemáticos, ayudarán a formar el andamiaje necesario para los futuros aprendizajes.


67

Ya se había precisado en el presente estudio que la transición desde la aproximación hasta la construcción de un número exacto (con su símbolo), ocurre lentamente desde los dos años y medio hasta los cuatro años (Dehaene, 2010) con ayuda de una rutina de conteo. Figura 25. Bloques de Cuisenaire Rods y la correspondencia de colores

Fuente: Gattegno & Cuisenaire, 1954, Numbers in colours

Luego de acostumbrar a niños y niñas a jugar con el material, armar casas, mapas en la mesa, caminos, entre otras actividades, los docentes pueden realizar ejercicios de aproximación comparando el tamaño de los diferentes bloques (Gattegno & Cuisenaire, 1954). Este tipo de ejercicios son parte de la rutina de aprendizaje de aprestamiento a la matemática, y depende de cada niño y niña el tiempo que necesite para interiorizar la mecánica del juego de comparación y relación de cada bloque con un número. Los ejercicios con el material cuisenaire rods se trabajan paralelamente a las tareas de reconocimiento del modelo de código triple. Es común que los niños logren memorizar una serie sin comprender la serie. Por ejemplo, niños y niñas pueden memorizar las palabras que representan los números, es decir uno, dos, tres, etc., sin saber lo que la palabra significa ni qué cantidad representa. Se debe enseñar entonces que el número arábigo 1 representa una cantidad determinada. Además, el docente debe incluir el razonamiento y a pensar de manera crítica. Por ejemplo, al realizar ejercicios de aproximación con material concreto como el cuisenaire rods, puede presentar situaciones que lleven a inferir (¿será que tres amarillos entran en uno café?), lo cual llevaría más allá en la enseñanza de la matemática.


68

El aprendizaje de las matemáticas es un proceso continuo que puede iniciarse desde los primeros meses de vida, (mientras más pronto mejor), desarrollándose tanto en centros de cuidado diario y estimulación temprana y en la escuela, como con los padres y madres de familia, con instrumentos cotidianos y accesibles, creando vínculos de relación, de afecto y aprendizaje. La literatura no demuestra estudios indicando o sugiriendo un periodo crítico para el aprendizaje de matemáticas. Se puede ver por los estudios de desarrollo cognitivo de Piaget y Vygotsky que hay etapas sensibles para ciertos aspectos del lenguaje, pero no existen iguales indicaciones para las matemáticas. Lo que sí se puede confirmar es que el desarrollo de destrezas y prácticas en conceptos matemáticos de un niño en los primeros seis años de vida depende mucho de la calidad de contacto que él o ella tendrá en contextos escolares. Los niños que tengan mayor contacto con materiales didácticos y actividades que varíen la presentación de conceptos y los diferentes niveles de profundidad tales como el orden, la forma y los símbolos de matemáticas, tendrán más éxito que los niños que no tengan ese contacto.

¿Es posible medir el procesamiento inicial matemático?

En ciencia es posible medirlo todo, pero en procesos mentales esto se complica por la falta de tecnología que permita la visualización del cerebro en el momento del aprendizaje sin un costo elevado. No obstante, es posible establecer ciertos parámetros de medida en todo proceso de aprendizaje. Para medir las habilidades de aprendizaje en los estudiantes se deben tomar en cuenta las diferencias individuales y su ritmo de aprendizaje que implican, en tests previos y posteriores del individuo. En el caso concreto del procesamiento inicial matemático es posible que se pueda medir el logro de las competencias propuestas en cada área de contenido definidas para su aprendizaje, a través de las cinco subáreas básicas del aprendizaje de conceptos. La tabla 4 ilustra un ejemplo de ello. Tabla 4. Áreas de contenido para el aprendizaje de las matemáticas y su posible medición

Aprendiendo caminos y enseñando estrategias en matemáticas tempranas

Ejemplos de logro típicos de 3-6 años y enseñanza de estrategias para promoverlas

La base de investigación para dibujar una imagen para el desarrollo matemático para niños varía considerablemente de un área

de las matemáticas a otra. Esbozar un camino de aprendizaje, por otra parte, no quiere decir que podamos predecir con

confianza que un niño de una determinada edad desarrollará sus habilidades en esa secuencia. Variación en el desarrollo es la

norma, no la excepción. Sin embargo, los niños tienden a seguir secuencias similares o rutas de aprendizaje a medida que van

creciendo. Este gráfico ilustra en cada área algunas de las cosas que muchos niños saben y hacen –de forma temprana y

tardía– en el grupo de edad 3-6. Estos son simplemente dos puntos a lo largo del itinerario de aprendizaje que pueden tener

muchos pasos intermedios. Para cada área de contenido, las estrategias de enseñanza muestran algunas de las muchas

acciones del profesor que promueven el aprendizaje, cuando se utilizan dentro de un contexto del aula que recoge las

recomendaciones establecidas en esta declaración de posición. En general, son estrategias útiles con pequeñas adaptaciones, a

lo largo de todos los rangos de edad.


69

Contenido

del área

Ejemplos típicos de conocimiento y

habilidad

Muestra de estrategias

de enseñanza

Ejemplo de indicadores

aceptables para medir

la competencia Desde los 3 años Hasta los 6 años

Número y

operación

Contar un grupo de uno

a cuatro elementos e

iniciar el entendimiento

de la última palabra de

conteo: “cuántos”

Contar y producir

(descontar)

grupos de objetos

mayores a 100

usando grupos de

10.

Modelos de conteo de

pequeños grupos de

elementos y guiar a los

niños y niñas a contar en

toda situación diaria,

enfatizando el uso de una

palabra de conteo para

cada objeto, por ejemplo:

♥ ♥ ♥

“uno…dos…tres…”

Modelos de conteo de 10

en 10 (ejemplo: 10, 20,

30…. o 14, 24, 34…).

El niño o niña recita los números inicialmente del

uno al cuatro, y posteriormente del uno al

diez.

El niño o niña señala los

números que le pide el

maestro en la línea

numérica en orden

secuencial.

El niño o niña es capaz

de retener en la memoria

la cantidad que

representa cada número.


de identificar las

relaciones de la cantidad

con los símbolos que la

representan.


de identificar la posición

de los números en la

línea numérica.


de memorizar la posición

de los números en la

línea numérica mental.


de realizar

comparaciones entre los

números.

Rápidamente “mirar” y

etiquetar grupos de uno

a tres elementos con un

número.

Rápidamente

“mirar” y etiquetar

con el número

correcto

colecciones con

“patrones”

(ejemplo:

dominós) y sin

patrones de por lo

Se da a niños y niñas un

breve vistazo (un par de

segundos) de un pequeño

grupo de artículos y se

les pregunta cuántos hay.


de identificar un grupo de

objetos, inicialmente de

hasta cuatro objetos, y

posteriormente de hasta

diez objetos.


de relacionar un set de


70

menos seis

elementos.

objetos determinado con

el símbolo arábigo que le

corresponde.


de recontar siguiendo al

maestro.


de recontar solo.

Sumas y restas no

verbales cuando son

pocos elementos. Por

ejemplo, cuando se tiene

un balón y se coloca otro

dentro de una caja, se

espera que la caja

contenga dos balones.

Sumas y restas

usando el

recuento basado

en estrategias

como contar

(añadiendo 3 a 5,

dice "cinco. . .,

seis, siete, ocho

"), cuando los

números y los

totales no van

más allá de 10.

Contar a niños y niñas

historias reales que

involucren números y

problemas con números.

Realizar preguntas de

“cuántos hay” (por

ejemplo, ¿cuántos

dejamos?, ¿cuántos hay

ahora?, ¿con cuántos

iniciamos?, ¿cuántos

añadimos?).

Mostrar a los niños y

niñas el uso de objetos,

dedos, conteo,

adivinanza, y revisando la

solución de los problemas

planteados.


de identificar y reconocer

el aumento y disminución

de objetos en un set.


de hacer y reconocer un

set de hasta diez objetos.

El niño o niña comprende

y utiliza los adverbios de

cantidad (cuántos, pocos,

muchos).

El niño o niña resuelve

problemas relacionando

diferentes objetos con los

números arábigos, en

sets de hasta diez

elementos.

El niño o niña utiliza

objetos para la resolución

de problemas

matemáticos.

El niño o niña soluciona

problemas matemáticos

utilizando el conteo.

Geometría y

Inicia con unir y nombrar

figuras 2D y 3D, primero

del mismo tamaño y

orientación, luego figuras

de diferente tamaño y

orientación (por ejemplo

un triángulo grande al

lado de uno pequeño).

Reconocer y

nombrar una

variedad de

figuras en 2D y

3D (por ejemplo:

cuadriláteros,

trapezoides,

rombos,

hexágonos,

esferas, cubos.)

Presentar y etiquetar una

amplia variedad de

formas (por ejemplo,

triángulos delgados y

gordos, rectángulos,

prismas) que se

encuentran en una

variedad de posiciones

(por ejemplo, un

cuadrado o un triángulo

El niño o niña identifica

las figuras geométricas.

El niño o niña diferencia

el tamaño y la forma entre

las figuras geométricas.


posiciones y la ubicación

de sí mismo y de los


71

espacio en cualquier

orientación.

Describir las

características

básicas de las

formas (por

ejemplo, número

de lados o

ángulos).

de pie en una esquina, un

cilindro "de pie arriba" u

horizontal).

Involucrar a los niños en

la construcción de

formas, hablando de sus

características.

objetos.

El niño o niña reconoce

las diferentes figuras

geométricas contenidas

en un dibujo o modelo

armado.

Usar formas separadas

para crear una figura:

Describir la localización

de objetos con palabras

que indiquen lugar

espacial, es decir, debajo

y detrás. Construir

mapas simples pero con

significado utilizando

juguetes como casas,

autos y árboles.

Hacer una figura

combinando

formas.

Construir, dibujar

y seguir mapas

simples de

lugares

conocidos, tanto

en la clase como

en el patio de

juegos.

Animar a niños y niñas a

realizar dibujos o modelos

de objetos familiares

usando figuras de

bloques, formas de papel

u otros materiales.

Animar a los niños y

niñas a hacer y hablar

sobre modelos armados

con bloques y otros

juguetes parecidos.

Retar a niños y niñas a

marcar un camino desde

la mesa hasta el basurero

con cinta adhesiva, luego

dibujar un mapa del

camino añadiendo dibujos

y objetos que aparezcan

a lo largo del camino,

como un borrador o una

mesa.


figuras geométricas para

diseñar objetos familiares.

El niño o niña arma

modelos con bloques y

figuras geométricas.


de ubicar y colocar

objetos en diferentes

puntos.


de orientarse en relación

a objetos.

El niño o niñas es capaz

de caminar a lo largo y

ancho de espacios

delimitados.

El niño o niña establece

las relaciones espaciales

entre objetos y personas.

Medición

Reconocer y etiquetar

medidas de los objetos

(Necesito una cadena

larga; ¿está pesada?).

Empiezar a comparar y

clasificar de acuerdo con

estos atributos:

más /menos,

pesado/ligero.

(Este bloque es

demasiado corto para ser

Llevar a cabo

diversos procesos

y unidades para la

medición y

comenzar a

anotar diferentes

resultados de un

método u otro

(por ejemplo,

¿qué sucede

cuando no

usamos la misma

unidad

Utilizar la comparación de

palabras para modelar y

discutir sobre las

medidas: (éste se siente

más pesado que el

bloque. Me pregunto si

esta torre es más alta que

el escritorio).

Usar y crear situaciones

que enfoquen la atención

de los niños y niñas al

problema de medida


los atributos de medida

de diferentes objetos.


las unidades de medida

aprendidas.


apropiadamente los

instrumentos de medida.

El niño o niña mide

diferentes objetos con los


72

el puente). estándar?).

Hacer uso de

herramientas de

medición no

estándar o utilizar

herramientas

convencionales

tales como una

taza o formas no

estándar (por

ejemplo, tres

reglas de largo).

utilizando dos unidades

diferentes ( por ejemplo:

haciendo filas de cuatro

pares de zapatos en el

patio, primero usando los

zapatos de la profesora y

luego de los niños y

niñas).

instrumentos de medida.


atributos de medida para

comparar diferentes

objetos.

El niño o niña utiliza el

aprendizaje de la medida

de objetos y distancias

entre los objetos en la

resolución de problemas

de la vida diaria.

Patrones /

álgebra

Notar y copiar simples

patrones de repetición,

como una pared de

bloques como largo,

corto, largo, corto, largo,

corto….

Notar y discutir

patrones

aritméticos (por

ejemplo, sumar 1

a todo número,

dando resultado

el siguiente

número cardinal).

Proponer modelos y

discutir patrones (por

ejemplo, ¿qué falta? ¿por

qué? ¿Crees que es un

patrón? (Necesito uno

azul en el siguiente).

Involucrar a los niños en

la búsqueda del color y

formar patrones en el

ambiente de clase,

patrones numéricos y

calendarios gráficos (por

ejemplo, con los mismos

números de 1-100),

patrones en aritmética

(por ejemplo, reconocer el

cero cuando se añade a

un número, la suma es

siempre ese número).

El niño o niña identifica y

completa patrones con

objetos concretos y en

hojas de trabajo.

El niño o niña crea

patrones con objetos y en

hojas de trabajo.

El niño o niña arma

patrones con objetos

concretos.

El niño o niña relaciona

patrones para encontrar

generalizaciones.

Visualización

y análisis de

datos

Ordenar los objetos,

contarlos y comparar los

grupos formados.

Ayudar a hacer gráficas

sencillas (por ejemplo, un

pictograma formado

como cada niño y niña

coloca su propia foto en

la fila indicando su

preferencia, probando

galletas o pretzels).

Organizar y

visualizar datos a

lo largo de una

representación

numérica, como

barras de gráficos

y contar el

número de cada

grupo.

Invitar a niños y niñas a

ordenar y organizar

colecciones de objetos de

diferentes materiales por

color, tamaño, forma, etc.

Preguntarles cuál de los

grupos tiene más o

menos objetos.

Utilizar la palabra “no”

como parte del lenguaje

que ayude a los niños a

analizar los datos (por

ejemplo, todos estos

objetos son rojos y estos


de clasificar objetos para

contarlos.


de contar un set de

objetos.

El niño o niña compara

sets de objetos.

El niño o niña dibuja

pictogramas de patrones

o series de hasta 10


73

no son rojos).

Funciona hacer con los

niños y niñas sencillos

resúmenes numéricos

tales como tablas y

gráficos de barras,

comparando las partes de

los datos.

objetos.

Fuente: Indicadores generados por la autora. Basado en imagen original descargada de oldweb.naeyc.org/about/positions/pdf/mathchart.pdf (traducido por autora) combinado con UNICEF-Ministerio de Educación de Venezuela, Educación Inicial Procesos Matemáticos, (2005), Imagen original descargada de http://www.unicef.org/venezuela/spanish/educini6.pdf.

El procesamiento matemático se puede medir atendiendo las diferentes subáreas básicas del aprendizaje de las matemáticas, tal como sugiere cada intervención en el presente estudio del arte. Medir el aprendizaje de las matemáticas en niños y niñas de primer grado y/o en cursos preparatorios para el primer grado debe realizarse de manera continua. La continuidad en la medición permite corregir debilidades y reforzar conocimientos sobre la marcha, sin llegar a perjudicar el aprendizaje de conceptos más complejos. Se recomienda que la medición para el aprendizaje de las matemáticas basada en las subáreas de aprendizaje se haga de manera conjunta, es decir, los ejercicios y problemas planteados deben tratar de medir más de un área a la vez. Por ejemplo, un instrumento de medición puede contener: (a) identificación oral de números donde se pueda interactuar con niños y niñas para que digan el nombre del número que el docente señala, o digan el número que el docente señala, o digan el número cuando se señala un set de objetos; (b) identificación escrita de números donde se realicen los mismos ejercicios pero equiparando las respuestas de la hoja de ejercicios; (c) identificación de patrones donde deben continuar y crear patrones (Tobar, 2013). Con el tipo de ejercicios descritos en este párrafo se logra medir las subáreas de número y operación, patrones y medida. El planteamiento de problemas como sistema de medida para niños y niñas de primer año de educación básica puede realizarse involucrando material tangible y complementando con ejercicios propuestos por alguno de los programas sugeridos en el presente estudio del arte. Por ejemplo, se puede medir la comprensión de la aproximación planteando preguntas mientras se utiliza el material cuisenaire rods, y realizar preguntas que permitan identificar, seleccionar e inferir a través del uso del material.

¿Existen programas de intervención escolar que contribuyan a mejorar el pensamiento inicial matemático?


74

Hay algunos programas de intervención sobre la enseñanza de matemáticas en edades tempranas que merece ser considerado por el gobierno de Costa Rica, porque han sido probados en otros contextos con éxito. A continuación una breve lista con algunos de los más conocidos que han aplicado las guías de MCE en su construcción.

Building Blocks, Pre-K Mathematics, Rightstart

Building Blocks, desarrollado por Sarama y Clements en 2003 y modificado en 2007; el proyecto de Pre-K Mathematics Curriculum, desarrollado por Klein y colegas en 2002; y Rightstart (Griffin, Case & Stiegler, 1994) muestran muchos logros. Building Blocks ayuda a los niños a extender y “matematizar” actividades en su vida diaria a través de bloques, canciones y rompecabezas, que pueden ser apoyadas por la tecnología (computadoras en el aula y a veces en las casas). Un atractivo de este programa es que está disponible en español. Los niños de 3 y 4 años aprenden destrezas de “precontar”, contar números pequeños, producir números pequeños, y contar y producir simultáneamente (Sarama, Clements, Starkey, Klein & Wakeley, 2008). En el modelo de Sarama y Clements se tratan los siguientes temas: (a) cantidad, enumeración (símbolos); (b) contar en forma verbal y después con objetos; (c) comparar, ordenar y evaluar; (d) aritmética (estrategias de adición y resta); (e) comprensión de la aritmética en términos de secuencia, orden de símbolos, etc.; (f) pensamiento espacial; (g) formas; (h) composición y descomposición de formas; (i) geometría y medición; (j) geometría y área, volumen y ángulo; y (k) procesos matemáticos. También se toman en cuenta aspectos socioemocionales, con capacitación a los docentes en aspectos de cognición, afecto y equidad (Clements & Samara, 2009). Se ha demostrado que los programas que incluyen estos pasos son exitosos para mejorar destrezas matemáticas en los niños (Sarama, Clements, Starkey, Klein & Wakeley, 2008). Los ejercicios presentados por el programa Building Blocks, Pre-K Mathematics, Rightstart pueden trabajarse en línea; además proporcionan hojas de trabajo con ejercicios que se enfocan en las cinco subáreas básicas del aprendizaje.

Herramientas de la mente (Tools of the Mind)

Tools of the Mind o “Herramientas de la Mente” es un plan de estudios para preescolar y kindergarten desarrollado por Bodrova y Leong (2007) sobre la base de las teorías de Vygotsky (Diamond, 2011). Las teorías de Vygotsky destacaron la importancia del juego de simulación social para el desarrollo temprano de las funciones ejecutivas. Mientras el juego de ficción se desarrolla, los niños y niñas deben inhibir su carácter y adecuarlo a su rol dentro del juego, recordar sus propios roles y los de los otros, y ajustarse con flexibilidad a cómo sus amigos improvisan (Diamond, 2011). El juego de roles ejercita las tres principales funciones ejecutivas: flexibilidad cognitiva, control inhibitorio y memoria de trabajo fundamentales como herramientas para todo aprendizaje (Diamond, 2011).


75

Bodrova y Leong (2007) inicialmente implementaron el uso de las herramientas de simulación como complemento a los programas ya existentes, encontrando que los niños y niñas mejoraron el uso de las funciones ejecutivas a medida que avanzaban en el uso de las herramientas. También se identificó que los beneficios no se generalizaban, por lo que fue necesario presentarlas como parte de las actividades que se realizaban todo el día en la escuela, y por lo tanto se entrelazaron a todas las actividades académicas (Diamond, 2011). Por ejemplo, los juegos encontrados en el programa Herramientas de la mente utiliza la imaginación dentro del juego permitiendo crear ambientes, escenarios y situaciones, haciendo que los niños y niñas adopten personajes que deben permanecer en un rol, determinado por ellos mismos. El personaje que escogen debe ejercer su autocontrol sabiendo de antemano que hay cosas que pueden o no pueden hacer. El programa permite realizar trabajos en línea, y con ayuda de la tecnología utilizar los recursos que proporciona para utilizarlos dentro del aula.

La carrera del número (The Number Race)

Gracias a la investigación sobre los circuitos neuronales involucrados en el procesamiento matemático, Anna Wilson y Stanislas Dehaene han desarrollado un programa para prevenir e intervenir en la discalculia, permitiendo desarrollar el sentido numérico en niños y niñas. Al experimentar con el programa a lo largo de casi una década, se ha encontrado que The Number Race sirve no solo para la población con discalculia, sino que ayuda a niños sin problemas de matemática porque estimula la revisión de conceptos básicos a través del juego. Es un programa de software diseñado para la rehabilitación de la discalculia en niños y niñas desde los cuatro hasta los ocho años, según su página web (Wilson, Dehaene, Pinel, Revkin, Cohen & Cohen, 2006). “También puede ser útil para enseñar el sentido numérico en preescolares sin discapacidades específicas de aprendizaje” (The Number Race, 2012; Wilson, Dehaene, Pinel, Revkin, Cohen & Cohen, 2006)). A diferencia de otras intervenciones, este software está disponible en código abierto en sus diferentes versiones, inglés, francés y español. Los resultados preliminares de una investigación realizada en el año 2006, aunque efectuada en una población pequeña, mostraron resultados muy positivos. El software proporcionado permite entrenar a niños y niñas en tareas de comparación numérica de forma lúdica y entretenida, utilizando problemas que están adaptados al nivel de rendimiento de cada uno. El programa emplea un espacio de aprendizaje multidimensional con tres niveles de dificultad: distancia numérica, plazo de respuesta y complejidad conceptual (de procesamiento de numerosidad no simbólica a operaciones simbólicas cada vez más complejas) (Tokuhama-Espinosa, 2011). El programa se basa en cuatro ideas que se ocupan de las subáreas básicas del aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo, en un escenario del programa colocan un camión que tiene una línea numérica mental que debe ser llenada con naranjas (cada


76

espacio representa un número) evidenciando la relación entre el número o símbolo arábigo y la cantidad de naranjas colocadas en la línea numérica (The Number Race, 2012). En un segundo ejercicio, los niños y niñas pueden utilizar un serrucho para cortar los diferentes grupos de naranjas y completar la línea numérica contenida en el camión sin que falten o sobren espacios (The Number Race, 2012). El objetivo general del programa es aumentar el sentido numérico, es decir, ayudar a los estudiantes a entender la representación de cantidad, y desarrollar un mejor esquema mental de las relaciones numéricas. En segundo lugar, el programa está diseñado para "consolidar los vínculos entre las representaciones del número" (The Number Race, 2012, p. 3), es decir, ayudar a los estudiantes a aclarar las representaciones simbólicas de números y cantidades. En tercer lugar, el diseño ayuda a los estudiantes a conceptualizar y mejorar la "aritmética automática", es decir, a ser más fluidos en la suma y la resta, y de esta manera consolidar su comprensión conceptual de los valores numéricos. Por último, el cuarto elemento clave es aumentar al máximo la motivación del estudiante para utilizarlo. El programa fue diseñado en torno a una serie de juegos para mantener la atención y motivación del estudiante, proporcionando un refuerzo positivo constante (esto se consigue mediante un algoritmo que adapta continuamente la dificultad de la tarea para mantener el desempeño correcto en un 75%). Figura 26. The Number Race

Fuente: The Number Race (2012), descargado de http://www.thenumberrace.com/nr/home.php


77

Tal vez una de las razones por las que The Number Race parece tener tanto éxito se debe al carácter limitado de la intervención. El programa no trata de cubrirlo todo para todos los estudiantes de matemáticas, sino que se centra principalmente en ayudar a los niños pequeños a superar la discalculia (Wilson, Dehaene, Pinel, Revkin, Cohen & Cohen, 2006). Parte de su éxito es que gusta mucho y los niños y niñas se enganchan en el juego fácilmente. El diseño del software se basa en la premisa de que "la discalculia se debe a un déficit básico en el sentido del número o de la relación entre el sentido numérico y las representaciones simbólicas de los números", por lo que la intervención se limita a este déficit. Parece que "menos es más", en el sentido de que el programa se enfoca en una población específica, y esta precisión ha dado excelentes resultados (Tokuhama-Espinosa, 2011). Hay pocas intervenciones en matemática que están respaldadas en evidencia de la ciencia de MCE, pero está demostrado que son superiores a otras opciones disponibles para padres y maestros. Diferentes estudios evidencian las ventajas del uso del programa The Number Race, entre ellos se encuentran: un estudio realizado en Francia (Wilson, Dehaene, Dubois, & Fayol, 2009), con niños y niñas de bajo nivel socioeconómico ha reportado resultados positivos en cuanto al desarrollo del sentido numérico. Los niños y niñas mejoraron en la vinculación de las representaciones simbólicas con las no simbólicas. Otra investigación (Butterworth & Laurillard, 2010) da cuenta que la intervención con el programa The Number Race proporcionó a los estudiantes herramientas para desarrollar el sentido numérico. La intervención al utilizar el programa The Number Race es puntual y contribuye al desarrollo del sentido numérico a través de la comprensión de la línea numérica mental para la resolución de problemas. Además permite el desarrollo de la aproximación, trabajando las subáreas básicas de aprendizaje como las de número, operaciones y medición. Un atractivo del programa es que está disponible gratuitamente y en español.

Los mundos del número (The Number Worlds)

Es un programa interactivo para iniciar el aprendizaje de las matemáticas en los primeros cuatro años de educación (incluido prekínder), enfocado en la enseñanza del conocimiento del número y del sentido numérico que incluye la línea numérica mental. El programa se basa en tres grandes ideas provenientes de la investigación sobre el desarrollo cognitivo (Griffin, 2004): (a) los números representan cantidades, no son solamente símbolos (Griffin, 2004); (b) los símbolos de números escritos (1, 2, 3, etc.) y los símbolos de números en letras (uno, dos, tres, etc.) son formas diferentes de representar las cantidades (Griffin, 2004); (c) las cantidades representadas por los símbolos tienen relaciones inherentes entre sí (7 es mayor que 5), y es esta característica de las cantidades la que nos permite utilizar representaciones simbólicas de números para resolver problemas (ordenar, contar, agrupar en conjuntos, entre otros) (Griffin, 2004).


78

Los tres conceptos trabajados por el programa The Number Worlds constituyen las habilidades necesarias para desarrollar el sentido numérico. Case, Griffin y Siegler (1994), autoras del programa The Number Worlds, encontraron que niños y niñas que tienen el sentido numérico bien desarrollado son capaces de tener éxito en el inicio del aprendizaje de las matemáticas y los procesos que implican (Connell, 2012). Por el contrario, los niños y niñas que no tienen un buen desarrollo del sentido numérico corren un riesgo mucho mayor de no poder adelantar en el aprendizaje de las matemáticas y empezar a verla como una materia difícil (Connell, 2012). Case y sus colegas demostraron que cualquier niño o docente que comprenda el juego puede utilizarlo si tiene el acceso a un programa de aprendizaje bien diseñado, en el que la intervención sea focalizada, que ofrezca oportunidades para explorar y debatir los conceptos clave, establecer conexiones entre diferentes conceptos y desarrollar su comprensión a un ritmo adecuado y tras una adecuada secuencia conceptual y de desarrollo (Connell, 2012; Griffin, 2004). El plan de estudios contiene 25 actividades que se organizan en cinco subdestrezas, definidas con base en la investigación sobre la adquisición del sentido numérico, así como las normas pertinentes del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Las subdestrezas se enlistan a continuación.

Conceptos de números: conectar nombres de los números y sus cantidades. Esta destreza permite el desarrollo de la subárea básica del aprendizaje de números y operaciones.

Relaciones de los números: desarrollar un sentido de los números enteros y sus relaciones a través de diferentes representaciones ("uno", 1, una tortuga, etc.). Esta destreza tiene relación con la subárea básica del aprendizaje de números y operaciones.

Número de pedido: comprender la posición relativa y magnitud de los números enteros. Iniciar el cálculo. Esta destreza permite el desarrollo del sentido numérico, la comprensión del concepto de línea numérica mental y de la aproximación, y además se relaciona con el desarrollo de la subárea básica del aprendizaje de números y operaciones.

Comprensión del número: entender los números ordinales y cardinales y sus conexiones. Esta destreza permite el desarrollo de la subárea básica del aprendizaje de números y operaciones, patrones y álgebra, medición, y es un inicio para la visualización y análisis de datos.

Conteo: contar comprendiendo y reconocer "cuántos" hay en grupos de diferentes objetos. Esta destreza permite desarrollar la subárea básica del aprendizaje de números y operaciones, patrones y álgebra, medición, geometría y espacio.

Dicho programa aplica cinco principios instruccionales básicos: (a) sigue el desarrollo natural de las secuencias; (b) introduce representaciones verbales y simbólicas en contextos espaciales; (c) usa una gran variedad y cantidad de problemas/representaciones para fortalecer la comprensión; (d) provee múltiples oportunidades para la exploración y la apropiación; (e) provee muchas oportunidades


79

para dialogar sobre los contenidos, y a la vez hacer ejercicios de matemáticas (Connell, 2012; Griffin, 2004). Iniciar el proceso de aprendizaje de la matemática reforzando el sentido numérico contribuye a mejorar el logro de los niños y niñas en la adquisición de operaciones y razonamientos más complejos. Los programas presentados en la presente revisión bibliográfica se emplean para desarrollar las bases del aprendizaje de las matemáticas: el sentido numérico y el entendimiento de la línea matemática mental.

Resumen de las posibles intervenciones

Las intervenciones sugeridas en el presente estudio del arte cuentan con actividades que permiten el desarrollo de las subáreas básicas para el aprendizaje de la matemática explicadas en la revisión de la literatura. Cada intervención tiene sus virtudes y permite desarrollar subáreas determinadas. Building Blocks, Pre-K Mathematics, Rightstart, Tools of the Mind, The Number Race y The Number Worlds coinciden en aportar al desarrollo del sentido numérico, el uso de la línea numérica mental y la aproximación como herramienta básica para la comprensión de la relación número-cantidad. Además coinciden en reforzar las subáreas básicas de aprendizaje de la matemática de número, operaciones y medición. El programa The Number Worlds tiene la particularidad de contribuir al desarrollo de las funciones ejecutivas, factor de suma importancia para cualquier aprendizaje. Presentando actividades que conectan a niños y niñas con una realidad creada e invitándolos a participar a través de ciertas reglas, produce ganas de permanecer jugando por largos periodos. Building Blocks, Pre-K Mathematics y Rightstart contribuyen al desarrollo de las cinco subáreas básicas de aprendizaje de las matemáticas a través de diferentes actividades lúdicas que pueden bajarse para trabajar en el aula o que pueden utilizarse con el apoyo de la computadora.

Limitaciones del estudio

Hay por lo menos cuatro limitaciones importantes que es necesario resaltar en estas conclusiones. Primero, las limitaciones propias de un estudio bibliográfico radican en la imposibilidad de contrastar los hallazgos de la ciencia, en este caso MCE, con la realidad de la educación costarricense a través de experimentación. Segundo, el contexto de este estudio ha sido de perspectiva macro en términos de conceptos sobre el cerebro sin tomar en cuenta el contexto de Costa Rica. Por ejemplo, si bien es cierto que al momento se cuentan con datos sobre la deserción escolar, no existe aparentemente una investigación que permita corroborar o refutar los hallazgos con evidencia presentados en el presente documento en la realidad de Costa Rica.


80

Aunque las investigaciones utilizadas en el presente documento proceden de científicos europeos y de otros países del primer mundo, la información proporcionada contribuye a despejar dudas conceptuales que pueden ser confirmadas con investigación del aula. Tercero, a lo largo de los meses de esta investigación se ha publicado más información en este campo. Las investigaciones sobre el cerebro y las matemáticas continua expandiéndose, y esto significa que casi a diario hay más fuentes que agregar. Una limitación de este trabajo es que solo seleccionó los estudios más importantes en el área y que la lista de referencias no fue exhaustiva. Cuarto, dicho estudio fue elaborado por una equipo de educadores, con consultas a expertos en neurociencia y psicología. Esto significa que lo encontrado puede tener sesgos del campo educativo, aunque la revisión de la literatura tomó en cuenta la mayoría de las fuentes directamente de las neurociencias. Se esforzó en realizar una perspectiva de MCE a lo largo del estudio, pero puede haber una tendencia a analizar los datos con lente de educador.

Recomendaciones para futuros estudios

Luego de la investigación bibliográfica sobre los procesos involucrados en el aprendizaje de las matemáticas, y siendo evidente la importancia del desarrollo temprano y eficiente del sistema de representación simbólico y no simbólico, es pertinente plantear una futura investigación que permita contrastar el nuevo currículo de matemáticas de Costa Rica con la información proporcionada por la ciencia de Mente, Cerebro y Educación. Posteriormente, sería importante hacer un estudio de campo para ver qué está pasando en las clases en Costa Rica para confirmar la buena aplicación de los conceptos recomendados. 1. Se recomienda que los próximos pasos deban incluir una revisión de los cambios

curriculares, metodológicos e intervenciones puntuales ya ocurridos al momento en Costa Rica, e identificar si encuentran respaldo en la ciencia de Mente, Cerebro y Educación.

2. Se sugiere la investigación en el aula sobre la práctica docente para el aprestamiento de la enseñanza de matemáticas a nivel inicial para identificar si la práctica docente se encuentra orientada por los procesos descritos en el presente estudio del arte.

3. Se recomienda una actualización de datos anuales debido a los cambios continuos

en neurociencias. 4. Se recomienda una evaluación externa de este estudio por parte de neurocientíficos.

Resumen final

La ciencia de MCE explica los procesos de aprendizaje de la matemática uniendo criterios de tres ramas de la ciencia: Psicología, Neurociencias y Educación. Los


81

aportes y hallazgos de MCE han permitido entender las redes y circuitos neuronales involucrados en el aprendizaje de las matemáticas, evidenciado la importancia de los procesos de aprendizaje de la lectura y el lenguaje como parte del andamiaje necesario para un buen desarrollo del procesamiento matemático y numérico. Los estudios e investigaciones incorporados en el presente estudio del arte están basados en evidencia científica y describen los circuitos neuronales que intervienen en varios de esos procesos. La ciencia de MCE ha servido para alimentar y sustentar propuestas realizadas en áreas tales como economía, educación y salud, como por ejemplo el desarrollo infantil temprano. Desde la intervención en las áreas de salud a partir del inicio de la vida, pasando por la importancia de la interacción sociofamiliar de los niños y niñas, hasta la identificación de programas de intervención acordes a sus necesidades, estas prácticas son parte de los cimientos que los estudiantes requieren para desarrollar procesos de aprendizaje efectivos para la lectura, las matemáticas y la vida escolar en general.

Resumen de los circuitos neuronales relacionados con la matemática

Se han identificado más de tres docenas de circuitos neuronales distintos involucrados en los procesos matemáticos. Entre los circuitos neuronales descritos en el presente estudio se encuentran: el Modelo de Código Triple que implica el aprendizaje del código verbal (arábigo y de cantidad), y el reconocimiento de símbolos (ya sean letras o números) en la comprensión del significado de palabras, así como de los procesos involucrados en el aprendizaje del lenguaje y la lectura. Hay por lo menos 38 diferentes circuitos neuronales relacionados con las siguientes destrezas. Algunos de ellos pueden imponerse uno sobre el otro, y todos deben estar desarrollados en su propio tiempo para asegurar buenas bases en matemáticas:

MATEMÁTICAS

1. CANTIDAD a. Discriminar la cantidad b. Poder contar c. Estimar o aproximar cantidades d. Procesar cantidades e. Comparar valores

2. MEDICIÓN

a. Estimación i. Estimar líneas numéricas ii. Desarrollar el sistema numérico aproximado y refinado

3. SÍMBOLOS

a. Poder relacionar un símbolo con un valor i. Habilidad de visualizar el código arábigo ii. Habilidad analógica de cantidad o de código de magnitud iii. Habilidad de código verbal

b. Reconocer símbolos c. Sistemas simbólicos:

i. Ej.: verificar la hora en el reloj ii. Ej.: usar una regla


82

iii. Ej.: usar un peso d. Procesamiento simbólico

4. ORDEN

a. Entender que el último número indica el total del set b. Entender la transformación de sets de números c. Entender el orden fijo de cada número en el acto de contar (ej. 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) d. Agrupación de (sets) de números e. Relaciones de los números: f. Habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente

i. Operaciones

g. Reconocer patrones

5. FORMAS a. Geometría

6. ESPACIO

7. HABILIDADES GRÁFICAS

a. Visualización b. Análisis de datos c. Conceptualización de datos en varias formas y medios

RELACIONADAS CON EL APRENDIZAJE EN GENERAL

1. HABILIDAD FÍSICA DE VER NÚMEROS Y PALABRAS

2. HABILIDAD DE UTILIZAR FUNCIONES EJECUTIVAS Y HABILIDADES DE PENSAMIENTO DE ORDEN SUPERIOR a. Metacognición b. Toma de decisiones c. Planificación d. Autorregulación y autodisciplina e. Autocontrol o autorregulación f. Flexibilidad cognitiva g. Control inhibitorio

3. ATENCIÓN

a. Alerta (para llamar la atención de un estímulo) b. Sustento (para mantenerse enfocado) c. Funciones ejecutivas d. Selectiva

4. MEMORIA

a. largo plazo i. memoria implícita o procedimental (habilidades senso-motoras) y ii. la declarativa (detalles autobiográficos, hechos, semántica).

b. memoria de trabajo c. memoria de corto plazo

5. MOTIVACIÓN


83

Las matemáticas tienen un rol importante en los logros de aprendizaje y conceptualización del entorno de un niño. El verdadero entendimiento del mundo depende de una adecuada manera de ordenar, estimar y procesar la realidad alrededor. Desgraciadamente, las matemáticas no han sido apreciadas por su alcance e importancia, y más bien han sido criticadas como una materia escolar “lejos de la realidad de los niños”, cuando se puede advertir que el mundo está conformado de conceptos matemáticos. Se espera que una mejor apreciación de la complejidad del conjunto de habilidades de las matemáticas ayuden a los docentes a valorar su rol en el desarrollo del pensamiento en general de un niño. Al apreciar los aportes de MCE en el análisis de procesos de enseñanza, queda la esperanza de desagregar procesos a unidades más manejables para que los docentes puedan alcanzar logros en los niños de Costa Rica y otras partes del mundo.


84

REFERENCIAS

Ansari, D. (2007). Does the parietal cortex distinguish between “10,” “ten,” and ten dots. Neuron, 53(2), 165-167.

Ansari, D. (2008). Effects of development and enculturation on number representation in the brain. Nature, 9, 278-291.

Ansari, D. (2010). The computing brain. In D. Sousa (Ed), Mind, Brain, and Education: neuroscience implications for the classroom, (pp. 200-225). Bloomington, NI: Solution Tree Press.

Ansari, D. 2008. Effects of development and enculturation on number representation in the brain. Nature Reviews. Neuroscience 9(4), 278–291.

Ansari, D., & Karmiloff-Smith, A. (2002). Atypical trajectories of number development: A neuroconstructivist perspective. Trends in Cognitive Sciences, 6(12), 511–516.

Ansari, D., De Smedt, B., & Grubner, R. (2012). Introduction to the special section on “Numerical and mathematical processing”. Mind, Brain, and Education, 6(3), 117-118.

Ansari, D., Donlan, C., & Karmiloff-Smith, A. (2007). Atypical and typical development of visual estimation abilities. Cortex: Special Issues on Selective Developmental Disorders, 6, 758–768.

Ansari, D., Donlan, C., Thomas, M.S.C., Ewing, S.A., Peen, T. & Karmiloff-Smith A. (2003). What makes counting count: Verbal and visuo-spatial contributions to typical and atypical number development. Journal of Experimental Child Psychology, 85, 50–62.

Appolonio, I., Rucecket, L., Partiot, A., Litvan, I., Sorenson, J., Le Bihan, D., & Grafman, J. (1994). Functional magnetic resonance imaging (F-MRI) of calculation ability in normal volunteers. Neurology, 44(2), 262

Arsalidou, M., & Taylor, M. (2011). Is 2+2=4? Meta-analyses of brain areas needed for numbers and calculations. Neuroimage, 54(3), 2382-2393.

Ashcraft, M.H. (1992). Cognitive arithmetic: A review of data and theory. Cognition, 44 75-106.

Ashcraft, M.H., & Krause, J. (2007). Working memory, math performance, and math anxiety. Psychonomic Bulletin & Review, 14(2), 243-248.

Ashkenazi, S., N. Mark-Zigdon, and A. Henik. (2009). Numerical distance effect in developmental dyscalculia. Cognitive Development 24(4), 387–400.


85

Atkinson, R. C., Shiffrin, R. M. (1968). Human memory: A proposed system and its control processes. In: K. Spence & J.T. Spence. (Eds.) The psychology of learning and motivation, (pp. 89-195). Orlando, FL: Academic Press.

Bach, S., Richardson, U., Brandeis, D., Martin, E. & Brem, S. (2011). Print-specific multimodal brain activation in kindergarten improves prediction of reading skills in second grade. Neuroimage. Available on: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1053811911007841

Baddeley, A. (2002). Is working memory still working? European Psychologist, (2), 85-97.

Baddeley, A. (2003). Working memory and language: an overview. Science Direct, 36,189-208.

Baldwin, J. (1896). A new factor in evolution. The American Naturalist, 30(354), 441-451.

Balfanz, R. (2001). Developing and assessing young children's mathematical knowledge. Washington, DC: National Institute for Early Childhood Professional Development and the National Association for the Education of Young Children.

Ballestra, M., Martínez, J., & Argibay, P. (2006). Matemáticas y cerebro. Revista del Hospital Italiano de Buenos Aires, 26(2), 79-84.

Baroody, A.J., & Coslick, R.T. (1998). Fostering children's mathematical power: An investigative approach to K-8 mathematics instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Baroody, A.J., Lai, M-L & Mix, K.S. (2006). The development of young children's early number and operation sense and its implications for early childhood education. In: Spodek B, Saracho O, (Eds). Handbook of research on the education of young children (pp. 187–221). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Baroody, A.J., Thompson Eiland, M. & Thompson, B. (2009). Fostering at-risk preschoolers’ number sense. Early Education and Development, 20, 80–128.

Bhatt, R. S., Hayden, A., Reed, A., Bertin, E., & Joseph, J. E. (2006). Infants’ perception of information along object boundaries: Concavities versus convexities. Journal of Experimental Child Psychology, 94, 91-113.

Binder, J. R., Frost, J. A., Hammake, T. A., Bellgowan, P. S., Springer, J. A. Kaufman, J. N., & Possing, E. T. (2000). Human temporal lobe activation by speech and nonspeech sounds. Cerebral Cortex, 10(5), 512-528.

Bisanz, J., Sherman, J., Rasmussen, C., & Ho, E. (2005). Development of arithmetic skills and knowledge in preschool children. In J. I. D. Campbell (Ed.), Handbook of mathematical cognition (pp. 143–162). New York: Psychology Press.


86

Blevins-Knabe, B. & Musun-Miller, L. (1996). Number use at home by children and their parents and its relationship to early mathematical room. Early Development and Parenting, 5(1), 35–45.

Bodrova, E., & Leong, D.J. (2007). Tools of the Mind: The Vygotskian approach to early childhood education. New York: Merrill/Prentice Hall.

Brannon, E. (2006). The representation of numerical magnitude. Current Opinion in Neurobiology 16, 222–229.

Brannon, E.M. (2006). The representation of numerical magnitude. Current Opinion in Neurobiology, 16(2), 222-229.

Bressan, A., Merlo de Rivas, S., & Scheuer, N. (2009). Los conocimientos numéricos en niños que inician su escolaridad. Bajado marzo 30, 2013, de http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2009/noviembre/anteaula162.htm.

Bugden, S., Ansari, D. (2011). Individual differences in children´s mathematical competence are related to the intentional but not automatic processing of Arabic numerals. Cognition, 118, 32-44.

Burton, M., Small, S., & Blumstein, S. (2000). The role of segmentation in phonological processing: an fMRI investigation. Journal of Cognitive Neuroscience, 12(4), pp. 679-690.

Butterworth, B, & Laurillard, D. (2010). Low numeracy and dyscalculia. Mathematics Education, 42, 527-539.

Butterworth, B. (1999). The mathematical brain. New York: Simon & Schuster.

Butterworth, B. (2003). Dyscalculia screener. London: NFER Nelson Publishing Company Ltd.

Bynner, J., & Parson, S. (2007). Does numeracy matter? London: Basic Skills Agency.

Byrnes, J. (2001). Minds, brains, and learning: Understanding the psychological and educational relevance of neuroscientific research. New York: Guilford Press.

Byrnes, J. (2008). Math skills (pp. 301-330). In The Jossey-Bass reader on the brain and learning San Francisco, CA: Wiley.

Campbell, J.I. (1994). Architectures for numerical cognition. Cognition 53(1), 1–44.

Campbell, J.I.D., & Xue, Q. (2001). Cognitive arithmetic across cultures. Journal of Experimental Psychology, 130(2), 299-315.

Campell, J. I. D., & Graham, D. J. (1985). Mental multiplication skill: Structure, process, and acquisition. Canadian Journal of Psychology, 39, 338-366.


87

Cantlon, J. (2012). Math, monkeys, and the developing brain. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 109(Supplement 1). Downloaded 25 March 2013 from http://www.pnas.org/content/109/suppl.1/10725.full

Casey, M.B., E. Pezaris, & R.L. Nuttall. (In press). Evidence in support of a model that predicts how biological and environmental factors interact to influence spatial skills. Developmental Psychology.

Center on the Developing Child. (2007). A science-based framework for early childhood policy: Using evidence to improve outcomes in learning, behavior, and health for vulnerable children. Bajado noviembre 23, 2012 de: http://developingchild.harvard.edu/index.php/resources/reports_and_working_papers/policy_framework/.

Clarke, B. & Shinn, M.R. (2004). A preliminary investigation into the identification and development of early mathematics curriculum-based measurement. School Psychology Review, 33(2), 234-248.

Clements, D.H. & Sarama J. (2007). Early childhood mathematics learning. In F.K. Lester FK Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning, (pp.461-555). New York, NY: Information Age Publishing.

Clements, D.H. & Sarama, J. (2008). Experimental evaluation of the effects of a research-based preschool mathematics curriculum. American Educational Research Journal, 45, 443-494.

Clements, D.H. & Sarama, J. (2009). Learning and teaching early math: The learning trajectories approach. New York: Routledge.

Clements, D.H. & Sarama, J. (2011), Early childhood mathematics intervention. Science, 333(6045), 968-970.

Clements, D.H. (1999). Geometric and spatial thinking in young children. In J.V. Copley (Ed.), Mathematics in the early years, (pp.66-79). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Clements, D.H. (2001). Mathematics in the preschool. Teaching Children Mathematics, 7, 270-75.

Clements, D.H. (2004). Conference Working Group. Part one: Major themes and recommendations. In D.H. Clements, J. Sarama and A.M. DiBiase (Eds.), Engaging young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics education, (pp.1-72). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Clements, D.H., & Sarama, J. (2007). Effects of a preschool mathematics curriculum: Summative research on the Building Blocks project. Journal for Research in Mathematics Education, 38, 136.


88

Clements, D.H., S. Swaminathan, M.-A. Hannibal, & J. Sarama. (1999). Young children's concepts of shape. Journal for Research in Mathematics Education 30, 192-212.

Clements, D.H., Sarama, J. & DBiase, A.M. (2002). Preschool and kindergarten mathematics: a national conference. Early Childhood Corner, May.

Clements, D.H., Sarama, J., Unlu, F., & Layzer, C. (2012). The efficacy of an intervention synthesizing scaffolding designed to promote self-regulation with an early mathematic curriculum: Effects on executive function. SREE Spring 2012 Conference Abstract

Cobb, P. & Liao Hodge, L. (2007). Culture, identity, and equity in the mathematics classroom. In N.S. Nasir and P. Cobb’s Improving access to mathematics: Diversity and equity in the classroom, (pp.159-171). New York, NY: Teachers College Press.

Coch, D., Fischer, K. W., & Dawson, G. (Eds). (2007). Human behavior, learning, and the developing brain: Atypical development. New York: Guilford Press.

Cohen Kadosh, R., Cohen Kadosh, K., Kass, Henik, A. & Goebel, R. (2007). Notation-dependent and independent representations of numbers in the parietal lobes. Neuron, 53(2), 307-314.

Cohen, L., Dehaene, S., Chochon, F., Lehericy, S., & Naccache, L. (2000). Language and calculation within the parietal lobe: A combined cognitive, anatomical, and fMRI study. Neuropsychologia, 38, 1426–1440.

Coltheart, M., Rastle, K., Perry, C., Langdon, R., & Ziegler, J. (2001). DRC: A dual route cascaded model of visual word recognition and reading aloud. Psychological Review 108(1), 204-256.

Connell, M. (2012). Number Sense: What it is, why it´s important, and how it develops. Native Brain. Bajado en Marzo 10, 2013, de http://www.nativebrain.com/2012/11/number-sense-what-it-is-why-its-important-and-how-it-develops/.

Copley, J.V. 2000. The young child and mathematics. Washington, DC: National Association for the Education of Young Children.

Cross, C.T., Woods, T.A. & Schweingruber, H. (2009). Mathematics learning in early childhood: Paths toward excellence and equity. In National Research Council, Committee on Early Childhood Mathematics (Ed.). Washington, DC: National Academies Press.

Cunha, F., Heckman, J., Lochner, L. J., & Masterov, D.V. (2006). Interpreting the Evidence on Life Cycle Skill Formation. In E. A. Hanushek, & F. Welch (Eds)


89

Handbook of the Economics of Education, (pp. 697-812). Amsterdam: North-Holland.

D’Arcangelo, M. (2001 Nov). A conversation with Brian Butterworth. Educational Leadership.

Damasio, A. R. (1989). The brain binds entities and events by multiregional activation from convergence zones. Neural Computation, 1, 123-132.

Dantzing, T. (2005). Number: The language of science. New York: Pi Press.

Darling-Hammond, L. (1997). The right to learn: A blueprint for creating schools that work. San Francisco, CA: The Jossey-Bass Education Series.

De Smedt, B., & L. Verschaffel. (2010). Travelling down the road from cognitive neuroscience to education.... and back. ZDM The International Journal on Mathematics Education 42, 49–65.

De Smedt, B., L. Verschaffel, & Ghesquiere, P. (2009). The predictive value of numerical magnitude comparison for individual differences in mathematics achievement. Journal of Experimental Child Psychology 103(4), 469–479.

Deacon, W. (2001). Heterochrony in brain evolution. In Parker (Eds), Biology, Brains, and Behavior, (pp. 41-88). New Mexico: SAR Press.

Dehaene S. (1997). The number sense: How the mind creates mathematics. New York, NY: Oxford University Press.

Dehaene S., Bossini S., Giraux P. (1993). The mental representation of parity and numerical magnitude. Journal of Experimental Psychology: General 122(3), 371–396.

Dehaene, S. (2008). Cerebral constraints in reading and arithmetic: Education as a “neuronal recycling” process. In A. Battro, K. W. Fischer, & P. J. Léna (Eds.), The educated brain (pp. 232–247). Cambridge, UK: Cambridge University Press.

Dehaene, S. (2009). Reading in the brain. Londres: Penguin Books.

Dehaene, S. (2010). The calculating brain. In D. Souza (Ed), Mind, Brain, and Education: neuroscience implications for the classroom, (pp. 178-200). Bloomington, NI: Solution Tree Press.

Dehaene, S. (2011). The number sense: How the mind creates mathematics, (revised and updated edition). New York: Oxford University Press.

Dehaene, S., & Changeux, J. P. (1993). Development of elementary numerical abilities: A neuronal model. Journal of Cognitive Neuroscience, 5, 390-407.


90

Dehaene, S., & Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematic Cognition, 1, 83–120.

Dehaene, S., & Cohen, L. (2007). Cultural recycling of cortical maps. Neuron, 56(2), 384-398.

Dehaene, S., Cohen, L., Sigman, M., & Vinckier, F. (2005). The neural code for written words: A proposal. Trend in Cognitive Sciences 9(7), 335-341.

Dehaene, S., Moiko, N., Cohen, L., & Wilson, A. J. (2004). Arithmetic and the brain. Current Opinion in Neurobiology, 14(2), 218–224.

Dehaene, S., Piazza, M., Pinel, P. & Cohen, L. (2003). Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506.

Dehaene-Lambertz, G., Dehaene, S. & Hertz-Pannier, L. (2002). Functional neuroimage of speech perception in infants. Science, 298, 2013-2015.

Denton, K., & West, J. (2002). Children's reading and mathematics achievement in kindergarten and first grade. Washington, DC: National Center for Education Statistics.

Devlin, K. (2010). The mathematical brain. In D. Sousa (Ed), Mind, Brain, and Education: Neuroscience implications for the classroom, (pp. 162-177). Bloomington, NI: Solution Tree Press.

Diamond, A. (2013). Executive functions and cognitive training. Mind, Brain, Health, & Education: The Science of Development, Learning, and Well-Being, curso Psych 1609 de la Universidad de Harvard, primavera 2013.

Diamond, A., & Lee, K. (2011). Interventions shown to aid executive function development in children 4-12 years old. Science, 333(6045), 959-964.

Diamond, A., Barnett, W.S., Thomas, J., & Munro, S. (2007). Preschool programs improve cognitive control. Science, 318(5855), 1387-1388.

Donlan, C., Cowan, R., Newton, E.J. & Lloyd, D. (2007). The role of language in mathematical development: Evidence from children with specific language impairments. Cognition, 103, 23–33.

Duncan, G.J., Dowsett, C.J., Classens, A., Magnuson, K., Huston, A.C., Klebanov, P., et al. (2007). School readiness and later achievement. Developmental Psychology, 43(6), 1428-1446.

Emerson, J. (2010). The dyscalculia assessment pack. New York, NY: Bloomsbury Academic


91

Evans, M. (2008). Underlying cognitive process in reading, math, and comorbid Reading and math learning disabilities. Dissertation (Ph.D.), Waterloo, Canada: University of Waterloo.

Feigenson, L., & Carey, S. (2003). Tracking individual via object files: evidence from infants manual search. Developmental Science, 6(5), 568-584.

Feigenson, L., Dehaene, S. & Spelke, E. (2004). Core systems of number. Trends in Cognitive Sciences, 8(7), 307–314.

Fennema, E.H., Carpenter, T.P., Frank, M.L., Levi, L., Jacobs, V.R. & Empson, S.B. (1996). A longitudinal study of learning to use children's thinking in mathematics instruction. Journal for Research in Mathematics Education 27, 403-434.

Fox, S., Levitt, N., & Nelson, C.A. (2010). How the timing and quality of early experiences influence the development of brain architecture. Child Development, 81, 28-40.

Gattegno, C. & Cuisenaire, G. (1954). Numbers in colour. New York, NY: Heinemann, Gelman, R., & Gallistel, C.R. (1978). The child´s understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Gattegno, C. & Cuisenaire, G. (1954). Numbers in colour. New York, NY: Heinemann.

Geary, D.C. (1994). Children's mathematical development: Research and practical applications. Washington, DC: American Psychological Association.Gelman, R., & Gallistel, C.R. (1978). The child´s understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Gelman, R., & Gallistel, C.R. (1978). The child´s understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Germiniani, C.F., D’Agata, F., Sacco, K., Duca, S., Bagshaw, A.P. &Cavanna, A.E. (2010). Functional connectivity of the posteromedial cortex. Open I Beta, Lister Hill National Center for Biomedical Communication. Available on: http://openi.nlm.nih.gov/detailedresult.php?img=2948030_pone.0013107.g006&query=the&fields=all&favor=none&it=none&sub=none&uniq=0&sp=none&req=4&simCollection=2138192_JCB.14484f6a&npos=64&prt=3

Geschwind, N. (1965). Disconnection syndromes in animals and man. Brain, 88, 237-294.

Ginsberg, H.P. (2011). Early mathematics education and how to do it. In. O. Barbarin and B. Wasik’s Handbook of child development and early education: Research to practice. New York, NY: Guilford Press.

Ginsburg, H.P., A. Klein, & Starkey, P. (1998). The development of children's mathematical thinking: Connecting research with practice. In Handbook of child


92

psychology, Volume 4: Child psychology in practice, eds. W. Damon, I.E. Sigel, & K.A. Renninger, 401-76. New York: John Wiley & Sons.

Ginsburg, H.P., N. Inoue, & K.-H. Seo. (1999). Young children doing mathematics: Observations of everyday activities (pp.88-100). In J.V. Copley (Ed.), Mathematics in the early years, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Ginsburg, H.P., S. Pappas, & K.-H. Seo. (2001). Everyday mathematical knowledge: Asking young children what is developmentally appropriate (pp.181-219). In S.L. Golbeck (Ed.), Psychological perspectives on early childhood education: Reframing dilemmas in research and practice. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Gobel, S., & Rushworth, M. F. (2004). Cognitive neuroscience: Acting on numbers. Current Biology, 14(13), R517–R519.

Goodway, J.D., Rudisill, M. E. , Hamilton, M.L. & Hart, M.A. (1999). Math in motion (pp.175-81). In J.V. Copley (Ed.), Mathematics in the early years. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Grabner, R.H., & De Smedt, B. (2011). Neurophysiological evidence for the validity of verbal strategy reports in mental arithmetic. Biological Psychology 87 (1), 128–136.

Grabner, R.H., D. Ansari, K. Koschutnig, G. Reishofer, F. Ebner, & Neuper, C. (2009). To retrieve or to calculate? Left angular gyrus mediates the retrieval of arithmetic facts during problem solving. Neuropsychologia 47(2), 604–608.

Griffin, S. (2004). Teaching number sense. Educational Leadership, 61(5), 39-42.

Griffin, S. Case, R. & Siegler, R.S. (2009). Classroom lessons: Integrating cognitive theory and classroom practice (pp. 25–49), In K. McGilly, (Ed.) Cambridge, MA: MIT Press.

Grill-Spector, K., Sayres, R., & Ress, D. (2006). High-resolution imaging reveals highly selective nonface cluster in the fusiform face area. Nature Neuroscience, 9(9), 1177-1185.

Halberda, J., M.M. Mazzocco, & Feigenson, L. (2008). Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement. Nature 455(7213), 665–668.

Hamann, M.S., & Ashcraft, M.H. (1991). The development of the basic addition, Cognition and Instruction, 3, 173-192.

Hanakawa, T., Honda, M., Okada, T., Fukuyama, H. / Shibasaki, H. (2003). Neural correlates underlying mental calculation in abacus experts: a functional magnetic resonance imaging study. NeuroImage, 19(2), 296-307.


93

Harm, M. W., & Seigdenberg, M. S. (2004). Computing the meaning of words in reading: cooperative division of labor between visual and phonological processes. Psychological Review, 111(3), 662-720.

Hasson, U., Levy, I., Behrmann, M., Hendler, T., & Malach, R. (2002). Eccentricity bias as an organizing principle for human high-order objects areas. Neuron 34(3), 479-490.

Hebb, D. (1949). The organization of behavior. New York: Wiley & Sons

Heim, S., Munts, K., Drai, D., Eickhoff, S.B., Hautvast, S. & Grodzinsky, Y. (2012). The language-number interface in the brain: a complexparametric study of quantifiers and quantities. Frontiers In Evolutionary Neuroscience. doi: 10.3389/fnevo.2012.00004

Hindman, A., Skibbe, L.E., Miller, A. & Zimmerman, M. (2009). Ecological contexts and early learning: Contributions of child, family, and classroom factors during Head Start, to literacy and mathematics growth through first grade. Early Childhood Research Quarterly, 25(2), 235-250.

Hitch, G.J. (1978). The role of short-term working memory in mental arithmetic. Cognitive Psychology, 10, 302-322.

Holloway, I.D., & Ansari, D. (2009). Mapping numerical magnitudes onto symbols: the numerical distance effect and individual differences in children’s mathematics achievement. Journal of Experimental Child Psychology 103(1), 17–29.

Houde, O., & Tzourio-Mazoyer, N. (2003). Neural foundations of logical and mathematical cognition. Nature Reviews Neuroscience, 4(6), 507–514.

Hubbard, E., Piazza, M., Pinel, P., & Dehaene, S. (2009). Numerical and spatial intuitions: A role for posterior parietal cortex? (pp. 221-246). In L. Tommasi, L. Nadel, & M. A. Peterson, (Eds.), Cognitive biology: Evolutionary and developmental perspectives on mind, brain and behavior, Cambridge, Mass: MIT Press.

Hubbard, E.M., Ranzini, M., Piazza, M. & Dehaene, S. (2009). What information is critical to elicit interference in number-form synesthesia? Cortex: Special Section on Synaesthesia and Visuo-spatial Forms, 45(10):1200-1216

Huitt, W. (2003). The information processing approach to cognition. Educational Psychology Interactive. Valdosta, GA: Valdosta State University. Retrieved April, 3, 2013, from, http://www.edpsycinteractive.org/topics/cognition/infoproc.html.

Jobard, G., Crivello, F., & Tzourio-Mazoyer, N. (2003). Evaluation of the dual rout theory of reading: A metanalysis of 35 neuroimaging studies. Neuroimage 20(2), 693-712.


94

Jordan, N.C,. Kaplan, D., Olah, L. & Locuniak, M.N. (2006). Number sense growth in kindergarten: A longitudinal investigation of children at risk for mathematics difficulties. Child Development, 77, 153-175.

Jordan, N.C. & Levine, S.C. (2009). Socioeconomic variation, number competence, and mathematics learning difficulties in young children. Developmental Disabilities Research Reviews, 15, 60-68.

Jordan, N.C. (2010). Early predictors of mathematics achievement and mathematics learning difficulties. In R.E: Tremblay, R.G. Barr, R. Peters M. Boivin M (Eds.) Encyclopedia on Early Childhood Development [online]. Montreal, Quebec: Centre of Excellence for Early Childhood Development; 2010:1-6. Available at: http://www.child-encyclopedia.com/documents/JordanANGxp.pdf.

Jordan, N.C., Glutting, J. & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and Individual Differences, 20, 82-88.

Jordan, N.C., Kaplan, D., Locuniak, M.N. & Ramineni, C. (2007). Predicting first-grade math achievement from developmental number sense trajectories. Learning Disabilities Research & Practice, 22(1), 36-46.

Jordan, N.C., Kaplan, D., Olah, L. & Locuniak, M.N. (2006). Number sense growth in kindergarten: A longitudinal investigation of children at risk for mathematics difficulties. Child Development, 77, 153–175.

Jordan, N.C., Kaplan, D., Ramineni, C. & Locuniak MN. (2009). Early math matters: Kindergarten number competence and later mathematics outcomes. Developmental Psychology, 3(45), 850-867.

Kamii, C.K., & Housman, L.B. (1999). Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget's theory (2d ed.) New York, NY: Teachers College Press.

Kaufmann, L., Vogel, S.E., Wood, G., Kremser, C., Schocke, M., Zimmerhackl, L.-B. & Koten, J.W. (2008). A developmental fMRI study of nonsymbolic numerical and spatial processing. Cortex, 44(4), 376-385.

Kirk, E.P. & Ashcraft, M.H. (2001). Telling stories: the perils and promise of using verbal reports to study math strategies. Journal of Experimental Psychology. Learning, Memory, and Cognition 27(1), 157–175.

Knudsen, E. (2004). Sensitive periods in the development of the brain and behavior. Journal of Cognitive Neuroscience, 16, 254-284.

Knudsen, E. (2006). Economic, neurobiological and behavioral perspectives on building America´s future workforce. Proceedings of The National Academy of Science, 103, 10155-10162.


95

Kotz, S. A., Cappa, S. F., von Cramon, D. Y., & Friederici, A. D. (2002). Modulation of the lexical-semantic network by auditory semantic priming: An event-related functional MRI study. NeuroImage, 17(4), 1761-1772.

Kraebel, K. S., West, R., &Gerhardstein, P. (2007). The influence of training views on infants’ long-term memory for simple 3D shapes. Developmental Psychobiology, 49(4), 406-420.

Kucian, K., Loenneker, T., Dietriich, T., Dosch, M., Martin, E., & von Aster, M. (2006). Impaired neural networks for approximate calculation in dyscalculia children. A functional MRI study. Behavioral and Brain Functions, 2, 31. doi:10.1186/1744-9081-2-31

Kuhl, P.K. (2004). Early language acquisition: Cracking the speech code. Nature Reviews Neuroscience, 5(11), 831-843.

Landerl, K., A. Bevan, & Butterworth, B. (2004). Developmental dyscalculia and basic numerical capacities: a study of 8-9-year-old students. Cognition 93(2), 99–125.

Le Corre M, & Carey S. (2006). Revisiting the competence/performance debate in the acquisition of counting principles. Cognitive Psychology,52,139–169.

Le Corre, M. & Carey, S. (2007). One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles. Cognition, 105, 395–438.

Lee, K., Z.Y. Lim, S.H. Yeong, S.F. Ng, V. Venkatraman, & Chee, M.W. (2007). Strategic differences in algebraic problem solving: neuroanatomical correlates. Brain Research 1155, 163–171.

Leeb-Lundberg, K. (1996). The block builder mathematician. In E.S. Hirsh (Ed.). The block book Washington, DC: National Association for the Education of Young Children.

LeFevre J, Fast L, Skwarchuk SL, Smith-Chant BL, Bisanz J, Kamawar D, Penner-Wilger M. (In press). Pathways to mathematics: Longitudinal predictors of performance. Child Development.

LeFevre, J., Bizans, J., & Mrkonjic, L. (1988). Cognitive arithmetic: Evidence for obligatory activation of arithmetic facts. Memory and Cognition, 16, 45-53.

LeFevre, J., DeStefano, D., Coleman, B. & Shanahan, T. (2005). Mathematical cognition and working memory (pp. 361–377). In J.I.D. Campbell (Ed.), Handbook of mathematical cognition. New York, NY: Psychology Press

LeFevre, J., Sadesky, G., & Bisanz, J. (1996). Selection of procedures in mental addition: reassessing the problem size effect in adults. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory and Cognition, 22, 216-230.


96

LeFevre, J., Smith-Chant, B. L., Fast, L., Skwarchuk, S. L., Sargla, E., Arnup, J. S., et al. (2006). What counts as knowing? The development of conceptual and procedural knowledge of counting from kindergarten through Grade 2. Journal of Experimental Child Psychology, 93, 285–303.

Lembke, E., & Foegen, A. (2009).Identifying early numeracy indicators in for kindergarten and first-grade students. Learning Disabilities Research and Practice, 24, 2-20

Leslie, A.M., Gelman, R. & Gallistel, C.R. (2010). The generative basis of natural number concepts. Trends in Cognitive Sciences, 12(6), 213-218.

Levine, M. (2000). A mind at a time. New York: Simon & Schuster.

Levine, S.C., Jordan, N.C., & Huttenlocher, J. (1992). Development of calculation abilities in young children Journal of Experimental Child Psychology 53, 72–103.

Libertus, M. E., Woldorff, M. G. & Brannon, E. M. (2007) Electrophysiological evidence for notation independence in numerical processing. Behavior Brain, 3, 1-6.

Linder, S.M., Powers-Costello, B. & Stegelin, D.A. (2011). Mathematics in early childhood: Research-based rationale and practical strategies. Early Childhood Education Journal, 39, 29-37.

Lindquist, M.M., & Joyner, J.N. (In press). Moving ahead in support of young children's mathematical learning: Recommendations to conference organizers and participants. In D.H. Clements, J. Sarama, & A.-M. DiBiase (Eds.), Engaging young children in mathematics: Findings of the 2000 National Conference on Standards for Preschool and Kindergarten Mathematics Education. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Locuniak, M.N. & Jordan, N.C. (2008). Using kindergarten number sense to predict calculation fluency in second grade. Journal of Learning Disabilities, 41(5):451-459.

Logie, R.H., Gilhooly, K.J., & Wynn, W. (1994). Counting on working memory in arithmetic problem solving. Journal of Neurology, Neurosurgery, and Psychiatry, 56, 304-307.

Loucks-Horsley, S., & Matsumoto, C. (1999/2010). Research on professional development for teachers of mathematics and science: The state of the science. School Science and Mathematics, 99(5), 258-271. doi: 10.1111/j.1949-8594.1999.tb17484.x

Lynch, R.G. (2004). Exceptional returns: Economic, fiscal, and social benefits of investment in early childhood development. Washington, DC: Economic Policy Institute. Bajado en noviembre 25, 2012 de: www.epinet.org/books/exceptional/exceptional_returns_(full).pdf


97

Lyons, I.M., & Beilock, S.L. (2012). When math hurts: Math anxiety predicts pain network activation in anticipation of doing math. PLoS ONE 7(10), e48076. doi:10.1371/journal.pone.0048076

MacDonald, A., Davies, N., Dockett, S. & Perry, B. (2008). Early childhood mathematics education. In B. Perry, et al. (Eds.) Research in Mathematics Education in Australiasia, (pp.169-192). Rotterdam, The Netherlands: SensePublishers.

Martin, A., & Chao, L. L. (2001). Semantic memory and the brain: Structure and processes. Current Opinion in Neurobiology, 11(2), 194-201. doi:10.1016/S0959-4388(00)00196-3

Mazzocco, M.M. & Thompson, R.E. (2005). Kindergarten predictors of math learning disability. Learning Disabilities Research and Practice, 20(3), 142–155.

Meaney, M. (2010). Epigenetics and the biological definition of gene X environment interaction. Child Development, 81, 41-79.

Mei, L., Xue, G., Chen, C., Xue, F., Zhang, M. & Dong, Q. (2010). The “visual word form area” is involved in successful memory encoding of both words and faces. NeuroImage, 52(1), 371-378.

Meltzer, L., Sales, L., & Barzillai, M. (2007). Executive functions in education. From theory to practice. New York: The Guillford Press.

Methe SA, Hintze JM, Floyd RG. Validation and decision accuracy of early numeracy skill indicators. School Psychology Review 2008;37:359-373

Miller, G. (1956). The magical number seven, plus or minus two: some limits on our capacity for processing information. The Psychological Review, 63, 81-97.

Mills, D., C. Prat, R. Zangl, C. Stager, H. Neville, & Werker, J. (2004). “Language experience and the organization of brain activity to phonetically similar words: ERP evidence from 14- and 20-month-olds.” Journal of Cognitive Neuroscience 16(8),1452–1464.

Miura, I.T. (1987). Mathematics achievement as a function of language. Journal of Educational Psychology, 79, 79–82.

Miura, I.T., Kim, C., Chang, C.M., & Okamoto, Y. (1988). Effects of language characteristics on children's cognitive representation of number: Cross-national comparisons. Child Development 59, 1445-50.

Möller, J., Streblow, L. & Pohlmann, B. (2009). Achievement and self-concept of students with learning disabilities. Social Psychology of Education, 12, 113–122.


98

Montie, J. E., Xiang, Z., & Schweinhart, L. J. (2006). Preschool experience in 10 countries: Cognitive and language performance at age 7. Early Childhood Research Quarterly, 21, 313–331.

Moran, S., & Gardner, H. (2007). Executive functions in education. From theory to practice. New York: The Guilford Press.

Mundy, E., & Gilmore, C.K. (2009). Children’s mapping between symbolic and nonsymbolic representations of number. Journal of Experimental Child Psychology 103 (4), 490–502.

Mussolin, C., De Volder, A., Grandin, C., Schlogel, X., Nassogne, M.C., & Noel, M.P. (2009). Neural correlates of symbolic number comparison in developmental dyscalculia. Journal of Cognitive Neuroscience.

Mussolin, C., Mejias, S., & Noel, M.P. (2010). Symbolic and nonsymbolic number comparison in children with and without dyscalculia. Cognition 115(1), 10–25.

NAEYC & NCTM (National Association for the Education of Young Children / National Council of Teachers of Mathematics, USA). (2002). Early childhood mathematics: Promoting good beginnings. Position statement. Disponible en: http://oldweb.naeyc.org/about/positions/psmath.asp

Nakamura, K., Honda, M., Okada, T., Hanakawa, T., Toma, K., Fukuyama, H., Konishi, J., & Shibasaki, H. (2000). Participation of the left posterior inferior temporal cortex in writing and mental recall of Kanji orthography: A functional MRI study. Brain, 123(Pt 5), 954-967.

Namkung, J.M. & Fuchs, L.S. (2012). Early numerical competencies of students with different forms of mathematics difficulty. Learner Disability Residency Practice, 27(1), 2-11. doi:10.1111/j.1540-5826.2011.00345.x

National Mathematics Advisory Panel. (2008). Foundations for success: The final report of the National Mathematics Advisory Panel. Washington, DC: U.S. Department of Education

Nieder, A. (2005). Counting on neurons: The neurobiology of numerical competence. Nature Reviews Neuroscience, 6(3), 177–190.

Nieder, A., & S. Dehaene. (2009). Representation of number in the brain. Annual Review of Neuroscience 32, 185–208.

OCDE. (2003). Brain research and learning science. France: OCDE. Bajado en febrero 20, 2013, de http://www.oecd.org/edu/ceri/18268884.pdf.

Park, M. 2000. Linguistic influence on numerical development. The Mathematics Educator 10(1), 19-24.


99

Pascalis, O., de Haan, M., & Nelson, C. A. (2002). Is face processing species-specific during the first year of life? Science, 296(5571), 1321–1323.

Pascalis, O., Scott, L. S., Kelly, D. J., Shannon, R. W., Nicholson, E., Coleman, M., et al. (2005). Plasticity of face processing in infancy. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 102, 5297–5300.

Peña, M., Maki, A., Kovačić, D., Dehaene-Lambertz, G., Koizumi, H., Bouquet, F., & Mehler, J. (2003). Sounds and silence: An optical topography study of language recognition at birth. Proceedings of the National Academy of Science, 100(20), 11702-11705.

Perkins, D. 82010). Making learning whole. How seven principles of teaching can transform education. San Francisco, CA: Jossey-Bass.

Perry, C., Ziegel, J., & Zorzi, M. (2007). Nested incremental modeling in the development of computational theories: the CDP+ model of reading aloud. Psychological Review, 114(2), 273-315.

Piaget, J. (1952). The child’s conception of number. London: Routledge & Kegan Paul.

Piaget, J., & Inhelder, B. (1967). The child's conception of space. New York: W.W. Norton.

Piazza, M. (2010). Neurocognitive start-up tools for symbolic number representations. Trends in Cognitive Science, 14(12), 542-551.

Piazza, M., Izard, V., Pinel, P., Le Bihan, D., & Dehaene, S. (2004). Tuning curves for approximate numerosity in the human intraparietal sulcus. Neuron, 44, 547–555.

Piazza, M., Pinel, P., Le Bihan, D., & Dehaene, S. (2007). A magnitude code common to numerosities and number symbols in human intraparietal cortex. Neuron, 53, 293–305.

Pica, P., Lemer, C., Izard, V., & Dehaene, S. (2004). Exact and approximate arithmetic in an Amazonian indigene group. Science, 306(5695), 499–503.

Pinel, P., Piazza, M., LeBihan, D., & Dehaene, S. (2004). Distributed and overlapping cerebral representations of number size, and luminance during comparative judgments. Neuron, 41, 983-993.

Posner, M.I., Sheese, B.E., Odludas, Y., & Tang, Y.Y. (2006). Analyzing and shaping human attentional networks. Neural Networks, 19(9), 1422-1429.

Price, G.R., I. Holloway, P. Rasanen, M. Vesterinen, & Ansari, D. (2007). Impaired parietal magnitude processing in developmental dyscalculia. Current Biology 17(24), R1042–R1043.


100

Proyecto Regional de Educación de la Coordinación Educativa y Cultural Centroamericana-CECC/SICA. (2012a). Términos de referencia para presentación de propuestas para una consultoría que realice un estudio del arte sobre conciencia fonológica y pensamiento inicial matemático. Recibido vía email 18 julio 2012 de Jorge Rivera P.

Proyecto Regional de Educación de la Coordinación Educativa y Cultural Centroamericana-CECC/SICA. (2012b). Serie Regional de Indicadores CECC/SICA. Recibido vía mail noviembre 24, 2012 de Jorge Rivera P.

Puebla, R. S. (2009). Las funciones cerebrales del aprendiendo a aprender (una aproximación al sustrato neurofuncional de la metacognición). Revista Iberoamericana de Educación, 50(3), 1-10.

Purves, D. (2001). Invitación a la neurociencia. Argentina: Editorial Médica Panamericana.

Ramani, G.B. & Siegler, R.S. (2008). Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games. Child Development 79, 375-394.

Rivera, S.M., A.L. Reiss, M.A. Eckert, & Menon, V. (2005). Developmental changes in mental arithmetic: evidence for increased functional specialization in the left inferior parietal cortex. Cerebral Cortex 15(11), 1779– 1790.

Robinson, A., & Pascalis, O. (2004). Development of flexible visual recognition memory in human infants. Developmental Science, 7, 527–533.

Roland, P.E., & Friberg, L. (1985). Localization of cortical areas activated by thinking. Journal of Neurophysiology, 53(5), 1219-1243.

Rolla, A., Hinton, C., & Shonkof, J. (2011). Hacia un modelo interdisciplinario: Biología, interacción social y desarrollo infantil temprano (pp.71-89). En S. Lipina y M. Sigma (Eds), La pizarra de Babel. Buenos Aires: Libros del Zorzal.

Sarama, J. (2004). Technology in early childhood mathematics: Building Blocks™ as an innovative technology-based curriculum. In D. H. Clements, J. Sarama & A.M. DiBiase (Eds.), Engaging young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics education, (pp. 361-375). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Sarama, J., & Clements, D.H. (2002). Building Blocks for young children’s mathematical development. Journal of Educational Computing Research, 27(1&2), 93-110.

Sarama, J., & Clements, D.H. (2009). Early childhood mathematics education research: Learning trajectories for young children. New York, NY: Routledge.


101

Sarama, J., & DiBiase, A.M. (In press). The professional development challenge in preschool mathematics. In D.H. Clements, J. Sarama, & A.M. DiBiase. Mahwah (Eds.). Engaging young children in mathematics: Findings of the 2000 National Conference on Standards for Preschool and Kindergarten Mathematics Education. NJ: Lawrence Erlbaum.

Sarama, J., Clements, D. H., & Henry, J. J. (1998). Network of influences in an implementation of a mathematics curriculum innovation. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3, 113-148.

Sarama, J., Clements, D.H., Starkey, P., Klein, A. & Wakeley, A. (2008). Scaling up the implementation of a pre-kindergarten mathematics curriculum: Teaching for understanding with trajectories and technologies. Journal of Research on Educational Effectiveness, 1(2), 89-119.

Sarama, J., Clements, D.H., Starkey, P., Klein, A. & Wakeley, A. (2008). Scaling up the implementation of a pre-kindergarten mathematics curriculum: Teaching for understanding with trajectories and technologies. Research on Educational Effectiveness, 1, 89-119. doi: 10.1080/19345740801941332

Sarnecka, B.W. & Carey, S. (2008). How counting represents number: What children must learn and when they learn it. Cognition, 108(3), 662–674.

Schatschneider, C., Carlson, C.D., Francis, D.J., Foorman, B.R., & Fletcher, J.M. (2002). Relationship of rapid automatized naming and phonological awareness in early reading development: Implications for the double-digit hypothesis. Journal of Learning Disabilities, 35(3), 245-256.

Shane, R. (1999). Making connections: A "number curriculum" for preschoolers. In J.V. Copley’s (Ed.), Mathematics in the early years, (pp.129-134). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Shannon, B. (1984). The polyglot mismatch and monolingual tie. Observations regarding the meaning of numbers and the meaning of words. New Ideas in Psychology, 2, 75-79.

Shapiro, E. S. (2004). Academic skills problems: Direct assessment and intervention. New York: Guilford Press.

Sherman, J., & Bisanz, J. (2007). Evidence for use of mathematical inversion by three-year-old children. Journal of Cognition and Development, 8, 333–344.

Shonkoff, J.P., & D.A. Phillips, (Eds). (2000). From neurons to neighborhoods: The science of early childhood development. Washington, DC: National Academy Press.

Shuman, M. & Kanwisher, N. (2004). Numerical magnitude in the human parietal lobe: Tests of representational generality and domain specificity. Neuron, 44, 557-569.


102

Shuwuari, S. M., Albert, M. K., & Johnson, S. P. (2007). Discrimination of possible and impossible objects in infancy. Psychological Science, 18(4), 303-307.

Siegler, R.S., & Shrager, J. (1984). Stratey choices in addition and subtraction: How do children know what to do? In C. Sophian (Ed.), Origins of cognitive skill. Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Sigman, M. (2004). Bridging psychology and mathematics: Can the brain understand the brain? PLoS Biology, 2(9), E297.

Sigman, M., & Gilbert, C. D. (2000). Learning to find the shape. Nature Neuroscience, 3(3), 264-269.

Sigman, M., Pan, H., Yang, Y., Stern, E., Silbersweig, D., & Gilbert, C. D. (2005). Topdown reorganization of activity in the visual pathway after learning a shape identification task. Neuron, 46(5), 823-835.

Silk, T.J., Bellgrove, M.A., Wrafter, P., Mattingley, J.B., Cunnington, R. (2010). Spatial working memory and spatial attention rely on common neural processes in the intraparietal sulcus. Neuroimage, 53, 718-724.

Starkey, P., & Cooper R.G. Jr. (1980). Perception of numbers by human infants. Science 210, 1033-35.

Starkey, P., & Cooper R.G. Jr. (1980). Perception of numbers by human infants. Science 210, 1033-35.

Starkey, P., Spelke, E.S. & Gelman, R. (1990). Numerical abstraction by human infants. Cognition 36, 97-128.

Steffe, L.P. (1991). Mathematics curriculum design: A constructivist's perspective (pp.389-398). In L.P. Steffe & T. Wood’s (Eds.) International perspectives on transforming early childhood mathematics education. Hillsdale, NY: Lawrence Erlbaum.

Steffe, L.P., & Cobb, P. (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag.

Szwed, M., Cohen, L., & Dehaene, S. (2009). The role of invariant line junctions in object and visual word recognition, Vision Research, 49, 718-725.

Tang, Y., Zhang, W., Chen, K., Feng, S., Ji, Y., Shen, J., Reiman, E.M. & Liu, Y. (2006). Arithmetic processing in the brain shaped by cultures. PNAS, 103(28), 10775-10780.

Tanner, H., & Jones, S. (2000). Becoming a successful teacher of mathematics. New York: Routledge.


103

Tobar, C. Entrevista personal realizada en abril 18 de 2013.

Tokuhama-Espinosa, T. (2008). The scientifically substantiated art of teaching: A study in the development of standards in the new academic field of neuroeducation (Mind, Brian, and Education Science). Dissertation (PhD), Capella University. AAT 3310716.

Tokuhama-Espinosa, T. (2010). Los diez mandamientos de la enseñanza. Quito: IDEA. Bajado Marzo 10, 2013, de http://www.educacionparatodos.com/recursos/Diez_Mandamientos_de_la_ensenanza(Tracey_Tokuhama-Espinosa).pdf.

Tokuhama-Espinosa, T. (2011). Mind, brain, and education science. A comprehensive guide to the new brain-based teaching. New York: W.W. Norton & Company.

Tokuhama-Espinosa, T. (2012). Memoria y atención. Quito: IDEA. Bajado Marzo 10, 2013, de http://www.educacionparatodos.com/recursos/Memoria_y_Atencion_julio_2012.pdf.

Tokunaga, H., Nishikawa, T., Ikejiri, Y., Nakagawa, Y., Yasuno, F., Hashikawa, K., Nishimura, T., Sugita, Y., & Takeda, M. (1999). Different neural substrates for Kanji and Kana writing: a PET study. NeuronReport, 10(16), 3315-3319.

Tondelli, M., Wilcock, G.K., Nichelli, P., DeJager, C.A., Jenkinson, M., & Zamboni, G. (2012). Structural MRI changes detectable up to ten years before clinical Alzheimr´s disease. Elsevier, 33(4), 25-36.

Trafton, P.R., & Andrews, A. (2002). Little kids--Powerful problem solvers: Math stories from a kindergarten classroom. Portsmouth, NH: Heinemann.

Tsao, D., Freiwald, W., Tootell, R., & Livingstone, M. (2006). A cortical region consisting entirely of face-selective cells. Science, 311, 670-674.

Tzourio-Mazoyer, N., De Schonen, S., Crivello, F., Reutter, B., Aujard, Y., & Mazoyer, B. (2002). Neural correlates of woman face processing by 2-month-old infants. Neuroimage, 15(2), 454-461.

UNICEF-Ministerio de Educación de Venezuela (2005). Educación inicial: procesos matemáticos. Venezuela: Editorial Noriega.

VanAtteveldt, N., Formisano, E., Goebel, R., & Blomert, L. (2004). Integration of letters and speech sounds in the human brain. Neuron, 43, 271-282.

Vandenberghe, R., Norbre, A.C., & Price, C. J. (2002). The response of left temporal cortex to sentences. Journal of Cognitive Neuroscience, 14(4), 550-560.


104

Vandenberghe, R., Price, C., Josephs, O., & Frackowiak, R. S. (1996). Functional anatomy of a common semantic system for words and pictures. Nature, 383(6597), 254-256.

VanDerHeyden, A.M., Broussard, C. & Cooley, A. (2006), Further development of measures of early math performance for preschoolers. Journal of School Psychology, 44, 533-553.

Verguts, T., Fias, W. (2008). Symbolic and nonsymbolic pathways of number processing. Philosophical Psychology, 21(4), 539-554.

Wang, S. & Baillargeon, R. (2008). Detecting impossible changes in infancy: A three-system account. Trends in Cognitive Sciences, 12, 17-23.

Weaver, J. (2013). Sesame Street provides lessons about natural brain development in children. PLoS Biol 11(1), e1001463. doi:10.1371/journal.pbio.1001463.

Wilson, A. J., & Dehaene, S. (2007). Number sense and developmental dyscalculia. In D. Coch, K. Fischer, & G. Dawson (Eds.), Human behavior and the developing brain (pp. 212–238). New York: Guilford Press.

Wilson, A. J., Dehaene, S., Dubois, O. & Fayol, M. (2009), Effects of an Adaptive Game Intervention on Accessing Number Sense in Low-Socioeconomic-Status Kindergarten Children. Mind, Brain, and Education, 3, 224–234

Wilson, A.J., Dehaene, S., Pinel, P., Revkin, S.K., Cohen, L. & Cohen, D. (2006). Principles underlying the design of “The Number Race”, an adaptive computer game for remediation of dyscalculia. Behavioral and Brian Functions, 2, 19. doi:10.1186/1744-9081-2-19.

Wilson, A.J., S. Dehaene, P. Pinel, S.K. Revkin, L. Cohen, & Cohen, D. (2006). Principles underlying the design of “The Number Race”, an adaptive computer game for remediation of dyscalculia. Behavioral and Brain Functions 2, 19.

Wilson, A.J., S.K. Revkin, D. Cohen, L. Cohen, & Dehaene, S. (2006). An open trial assessment of “The Number Race”, an adaptive computer game for remediation of dyscalculia. Behavioral and Brain Functions 2(1), 20.

Wilson, K.M. & Swanson, H.L. (2001). Are mathematics disabilities due to a domain-general or a domain-specific working memory deficit? Journal of Learning Disabilities, 34(3), 237–248.

Winkelman, H.J., & Schmidt, J. (1974). Associative confusions in mental arithmetic. Journal of Experimental Psychology, 102, 734-736.

Wolf, M. (2008). A triptych of the reading brain: Evolution, development, pathology, and its interventions (pp. 183–197). In A. Battro, K. W. Fischer, & P. J. Léna (Eds.), The educated brain. Cambridge, UK: Cambridge University Press.


105

Woolfolk, A. (2006). Psicología educativa. México: Pearson.

Wright, R.J., Martland, J., Stafford, A.K. & Stanger, G. (2009). Teaching number: Advancing children's skills and strategies. London: Paul Chapman Publications/Sage.

Xu, F., Spelke, E.S. & Goddard, S. (2005). Number sense in human infants. Developmental Science 8(1), 88-101.

Zamarian, L., A. Ischebeck, & Delazer, M. (2009). Neuroscience of learning arithmetic-evidence from brain imaging studies. Neuroscience and Biobehavioral Reviews 33(6), 909–925.

Zbrodoff, N. J., & Logan, G. D. (1986). On the autonomy of mental processes: A case study of arithmetic. Journal of Experimental Psychology: General, 115, 118–130

Documents

ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL ... del conocimiento...ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO ESCRITO PARA CECC/SICA DEL SISTEMA DE INTEGRACIÓN CENTROAMERICANA