ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 2º ESO 2008-2009 STICA+Y... · PDF filePor todo esto, vemos que los resultados en el último examen de Geometría no son satisfac-torios ya que la mitad

ESTADÍSTICACOLEGIO VIZCAYA 165

La estadística es una parte de las matemáticas que nos proporcionamétodos para planificar y realizar experimentos, obtener datos y luego analizar,interpretar y formular una conclusión basada en esos datos. Es la cienciaencargada de recopilar, organizar, analizar e interpretar información de manera quenos pueda llevar a conclusiones válidas.

Con frecuencia has visto en los periódicos, revistas, y televisión como seusa la estadística para informarnos acerca de determinadas acciones. En estaunidad vas a aprender a hacer estudios estadísticos que te permitirán adquirir recur-sos necesarios para interpretar y analizar información sobre el comportamiento dealgún suceso o evento.

A la hora de realizar un estudio estadístico, como recordaras de cursosanteriores, hay que seguir una serie de pasos si queremos resolver un problemasatisfactoriamente:

1. Definir el problema objetivo de estudio.

2. a) Identificar quién es la población o conjunto sobre el qué se realiza la observación.

b) Identificar cuáles son las variables a analizar.

c) Definir la muestra que serán los elementos representativos de la población.

3. Recoger los datos y clasificarlos, registrándolos en una tabla de frecuencias.

4. Representar los datos gráficamente para su mejor interpretación (diagrama de barras, diagrama de sectores, polígono de frecuencias…)

5. Calcular las medidas de centralización: media aritmética, moda y mediana.

6. Sacar conclusiones y tomar decisiones en base a las conclusiones.

ESTADÍSTICA COLEGIO VIZCAYA166

PPARAARA EMPEZAREMPEZAR

Representa sobre los ejes de coordenadas los siguientes puntos:

(3,2), (-3,5), (4,-2), (0,-3), (-2,0), (-5, -1), (-3,-6), (6,0).

En el siguiente diagrama de barras se han recogido los datos de una encuesta:

a) ¿A cuántas personas se les ha preguntado?

b) ¿Qué se les ha preguntado?

c) ¿Qué porcentaje de personas tiene en su casa más de 3 televisores?

d) ¿Cuál es la media?

El número de pilas recicladas por 15 personas en un mes son:

8 5 4 4 6 6 3 2 1 5 4 4 5 2 3

Representa los datos en un diagrama de barras y calcula la media.

1.

2.

3.

Televisores en las casas de los alumnos de 2º de ESO

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5

Nº de televisores

Nº

de a

lum

nos


PPARAARA APRENDERAPRENDER

Un profesor de Matemáticas ha pedido a sus alumnos que hagan un estudio estadístico sobre las notasobtenidas por los alumnos de 2º de ESO en el último examen de Geometría. Iker y Nagore se han ofrecidovoluntarios para realizar el estudio y éste es el trabajo que le han entregado a su profesor:

TRABAJO DE ESTTRABAJO DE ESTADÍSTICAADÍSTICA

1. DEFINIR EL PROBLEMA.

Se quiere hacer un estudio estadístico para estudiar los resultadosobtenidos por los alumnos de 2º de ESO en el último examen deGeometría.

2. a) IDENTIFICAR LA POBLACIÓN.

La población objeto de estudio es el alumnado de 2º de ESO del colegio.

b) IDENTIFICAR LAS VARIABLES.

La variable a analizar es la calificación obtenida en el examen de Geometría que se trata deun carácter cuantitativo (las notas van de 0 a 10).

c) DEFINIR LA MUESTRA.

El número de alumnos que se van a tomar como muestra para hacer el estudio es de 30individuos.

3. RECOGER LOS DATOS YCLASIFICARLOS, REGISTRÁNDOLOS EN UNATABLADE FRECUENCIAS.

Después de preguntar a 30 alumnos sobre su nota, los datos recogidos son:

0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 7 7 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10

A continuación recogemos los datos en la siguiente tabla de frecuencias:

Variable:Nota

Frecuenciaabsoluta: f

Frecuenciarelativa; f/N

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Dato · f Porcentaje%

Grados para eldiagrama de

sectores (360º · f /N)

0123456789

10

13434212352

1/30 = 0'033/30 = 0'104/30 = 0'133/30 = 0'104/30 = 0'13

2/30 = 0'0661/30 = 0'03

2/30 = 0'0663/30 = 0'105/30 = 0'16

2/30 = 0'066

11 + 3 = 44 + 4 = 88 + 3 = 1111 + 4 = 1515 + 2 = 1717 + 1 = 1818 + 2 = 2020 + 3 = 2323 + 5 = 2828 + 2 = 30

0389

16106

14244520

3%10%13%10%13%6%3%6%

10%16%6%

12º36º48º36º48º24º12º24º36º60º24º

Suma = 30 1 155 100% 360º


4. REPRESENTAR LOS DATOS GRÁFICAMENTE.

5. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.

- La media aritmética es:.

- La moda, como es el dato de mayor frecuencia absoluta, es decir, el que más se repite, es:

Mo = 9

- La mediana es el valor que está en el centro una vez ordenados los datos, como 30 : 2 = 15, el valor que ocupa el lugar 15 es:

Me = 4

6. SACAR CONCLUSIONES Y TOMAR DECISIONES.

Por término medio los alumnos de 2º de ESO han aprobado el examen de Geometría ya quela media sacada es de 5'16. Por otro lado la mediana es de 4, lo que significa que al menos lamitad de los alumnos ha suspendido el examen. Como la nota que más se repite es un 9, aunquehaya suspendido la mitad de los alumnos, este valor hace que la media de los alumnos sea deaprobado.

Por todo esto, vemos que los resultados en el último examen de Geometría no son satisfac-torios ya que la mitad de los alumnos ha suspendido, por lo que habrá que considerar el realizaractividades de refuerzo con el fin de que los alumnos recuperen la asignatura y mejoren sus resul-tados.

155X = = 5,1630

Diagrama de barras

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Nº

de a

lum

nos

Diagrama de sectores

03% 1

10%

213%

310%

413%

57%

63%

77%

810%

917%

107%

Polígono de frecuencias

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Nº

de a

lum

nos


De esta unidad tienes que saber definir los siguientes conceptos:

Estadística: ciencia que mediante la observación de hechos recoge, clasifica y anali-za los datos para después interpretar los resultados.

Característica cuantitativa: se puede expresar mediante un número.

Característica cualitativa: representa una cualidad y no se expresa mediante unnúmero.

Población: conjunto sobre el que se realiza la observación.

Variable estadística: Es el sobre qué nos queremos informar.

Muestra: Es una serie de personas o elementos representativos de la población. Acada persona o elemento de la muestra se le llama individuo.

Modalidad: cada una de las facetas que puede presentar la variable.

Frecuencia absoluta, f : número de veces que se repite una modalidad.

Frecuencia relativa, f/N : cociente entre la frecuencia absoluta y el número total deindividuos.

Frecuencia absoluta acumulada: la frecuencia acumulada de un dato es la suma desu frecuencia absoluta y la de los datos menores que él.

Medidas de centralización:

Media aritmética X: es el valor que correspondería a cada modalidad si fueran todas iguales.

Mediana, Me: es el valor que se encuentra en el centro, una vez ordenados los datos.

Moda, Mo: Modalidad de mayor frecuencia.


1. En un estudio estadístico en una fábrica de tornillos se van a evaluar estos caracteres.

a) La producción diaria de tornillos.b) Las longitudes de los tornillos.c) El color de los tornillos.d) Las anchuras de los tornillos.e) Los materiales para hacer los tornillos.

Indica, entre estos caracteres, cuáles son cuantitativos y cuáles cualitativos.

2. Clasifica, como cualitativos o cuantitativos, los siguientes caracteres estadísticos estudiados en coches de cierta marca.

a) Modelo de coche.b) Color de su carrocería.c) Potencia de su motor.d) Consumo medio en 100 kilómetros.e) Número de plazas.

3. En un diagrama de barras:

a) ¿Qué valores han de colocarse en el eje horizontal?b) ¿Y en el vertical?

4. La estatura media de 5 personas es de 167 cm. Irene se junta al grupo y la estatura media de las 6 personas es de 169 cm. ¿Cuál es la estatura de Irene?

5. Dada la tabla de frecuencias siguiente, calcula:

Variable 1 2 3 4F. absoluta k 8 2 3

a) El mayor valor que puede tener k para que la moda sea 2.b) El mayor valor que puede tener k para que la mediana sea 2.c) El valor de k para que la media sea 2.

6. Se ha realizado un estudio sobre el color de coche de un grupo de familias, y se ha obtenido la siguiente tabla:

Variable Amarillo Azul Blanco Gris RojoF. absoluta 6 8 10 20 6

Completa la tabla, dibuja el diagrama de sectores y calcula las medidas de centralización que tengan sentido. Interpreta los resultados.

7. Se ha realizado una encuesta a 40 personas de una localidad sobre el tipo de música que prefieren, yse han obtenido los siguientes resultados:

Música Blues Clásica Grunge Hip Hop Rock ReaggeF. absoluta 8 2 6 5 12 7

Representa los datos en un diagrama de barras e interpreta el gráfico obtenido.

8. La tabla recoge el mes en que nacieron 100 personas.

Mes E F Mz Ab My Jn Jl Ag S O N DF. A. 7 9 10 6 8 8 7 9 8 9 9 10

a) Construye la tabla de frecuencias y dibuja un polígono de frecuencias.b) ¿Cuántas personas nacieron antes de junio?c) ¿Cuántas personas nacieron después de agosto?

PPARAARA ENTRENARENTRENAR


9. La tabla muestra el dinero que envían a ocho países centroamericanos sus emigrantes:

Países Millones de euros

Costa Rica 252El Salvador 2101Haití 846Honduras 935Guatemala 2210Nicaragua 668Panamá 190República Dominicana 2010

a) Construye la tabla de frecuencias y un diagrama de barras.b) ¿A qué países se envían más de 2000 millones de euros?c) ¿Qué porcentaje de dinero se envía a la República Dominicana?

10. El número de días que en una ciudad se han dado distintos factores climáticos han sido los siguientes:

Variable Lluvia Soleado Nubes y claros NubladoF. absoluta 9 12 5 4

Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido, e interpreta el resultado.

11. Los días que faltaron los integrantes del equipo de fútbol juvenil a un entrenamiento, durante elúltimo mes, fueron los siguientes. Haz un estudio completo.

Nº días 0 1 2 3 4F. absoluta 10 6 5 2 2

12. Las notas que un grupo ha obtenido en un examen de Lengua han sido:

Nº días 3 4 5 6 7 8 10F. absoluta 2 3 9 5 3 2 1

Realiza un estudio con estos datos.

13. La ludoteca de cierta localidad quiere comprar nuevos libros para ampliar su biblioteca y ha pregunta-do a un grupo de jóvenes sobre sus preferencias de lectura.(Novela = N, Aventuras = A, Ciencia ficción = C, Poesía = P). Haz un estudio sabiendo que las respuestas han sido las siguientes:

N A C A N A C N A C P C P N A A N A C AC A C C N N C P A C C A N C N N P A A A

14. Haz un estudio sobre los hábitos alimenticios de los alumnos de un colegio si el número diario depiezas de fruta que comen 50 de ellos son:

0 1 2 1 3 1 2 1 3 0 2 4 1 4 0 3 0 1 1 2 1 0 2 1 4 1 2 1 3 0 0 2 0 4 1 0 1 0 1 1 1 1 3 0 3 1 2 1 0 1

15. Una empresa envasadora ha detectado que en los últimos 26 días el número de botes defectuosos ha sido:

1 3 2 4 3 2 3 0 3 2 3 2 4 1 3 2 5 3 3 2 3 2 3 2 1 1

Analiza los datos recogidos.


16. Se ha realizado una encuesta para averiguar el número de hijos de las familias de una urbanización. Se han recogido los siguientes datos después de preguntar en dos edificios. En el edificio A viven: 2 familias sin hijos, 8 familias con 1 hijo, 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10 hijos.En el edificio B viven: 1 matrimonio sin hijos, 3 familias con 1 hijo, 2 familias con 2 hijos, 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos.

a) Completa la tabla de frecuencias para cada edificio.b) Calcula la medidas de centralización de los dos edificios y compara los resultados.c) Junta en una sola muestra los datos y calcula la tabla de frecuencias y las medidas de centralización.

Compara los resultados con los obtenidos en b).

17. Las notas obtenidas por un grupo de alumnos en una asignatura han sido:

0 2 3 1 3 1 4 5 6 7 8 9 5 5 109 9 6 7 8 8 7 6 4 4 7 7 8 6 4

a) Haz un recuento de las respuestas obtenidas y realiza la tabla de frecuencias.b) ¿Cuántos alumnos han sacado un 4 de nota?c) ¿A qué notas corresponde el 4 obtenido en la columna de frecuencias absolutas.d) ¿Y a qué notas corresponde el 3 obtenido en la columna de frecuencias absolutas?e) ¿Qué notas ha sacado el 10 % de los alumnos?

18. Un casino ha comprado varias de cajas de dados y ha seleccionado dos de ellos al azar. Después delanzar cada uno de ellos 33 veces se han anotado los resultados obtenidos. ¿Podrías decir si alguno de los dos dados está trucado?

Dado 1: 4 3 2 4 1 5 6 6 4 1 1 2 2 4 4 5 6 3 5 5 5 1 4 3 6 3 1 3 2 6 3 2 1

Dado 2: 1 2 5 1 2 3 5 1 6 4 2 5 3 2 6 2 4 3 5 6 4 6 3 6 4 6 5 2 5 6 3 6 4

19. El siguiente diagrama representa la evolución de dinero recaudado por una agrupación ecologista. Haz la tabla de frecuencias e interpreta los datos.

20. El siguiente diagrama muestra las películas que prefieren un grupo de 80 jóvenes encues-tados según el género del filme:

a) Clasifica el carácter estudiado.b) Haz la tabla de frecuencias.c) Calcula las medidas de centralización e

interpreta los resultados

0

2

4

6

8

10

12

14

2003 2004 2005 2006 2007 2008

Años

Millo

nes

de e

uro

s

Películas preferidas

Ciencia ficción15%

Comedia25%

Terror10%

Aventura50%


Natalidad

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6

Nº de hijos

Fre

cuen

cias

1. Clasifica los caracteres estadísticos siguientes como cualitativos o cuantitativos.

a) Tipo de música preferida por un grupo de alumnos.b) Cantidad de personas asistidas en los hospitales de Bizkaia durante un día.c) Número de futbolistas en las ligas de Primera División en países europeos.d) Equipos de balonmano de los que son seguidores los alumnos de un colegio.

2. Clasifica los siguientes caracteres estadísticos en cualitativos o cuantitativos.

a) Número de aprobados en un curso.b) Peso de los recién nacidos en un hospital.c) Color de las manzanas de una frutería.d) Número de hermanos.e) Color de un coche.f) Deporte favorito.g) Número de calzado.h) Estatura.i) Goles marcados en una jornada por todos los equipos de primera división.j) Tipos de plantas de un invernadero.

3. Se quiere hacer un estudio sobre las aficiones en las que emplean el tiempo libre las personas jubiladasen Euskadi. Para ello se entrevista a los socios de todos los clubes de jubilados de Bilbao. Indica la pobla-ción del estudio, la muestra elegida y la variable.

4. Entre los 120 alumnos de un centro escolar se han obtenido los siguientes datos sobre su intención decontinuar los estudios:

Respuestas Sigue No sigue No sabeF. absoluta 96 18 6

Haz un diagrama de sectores que represente la información.

5. En una camisería quieren hacer un estudio sobre el tipo de camisas que venden para saber el gusto desus clientes. Haz un estudio completo sabiendo que los datos que han recogido son los siguientes:

Camisas Blanca Rayada Cuadros LisaF. absoluta 20 30 45 12

6. En la tabla se muestra el deporte que prefieren practicar 40 de los alumnos de 2º de ESO de un institu-to. Haz un estudio con los siguientes datos:

Deporte Baloncesto Balonmano Fútbol Ajedrez TenisF. absoluta 10 1 20 4 5

7. Realiza un diagrama de sectores con los siguientes datos, correspondientes a la distribución del gastoen alimentación según los tipos de alimentos.

Alimentos Porcentajes %Carne 26Pasta y cereales 14Pescado 14Frutas 9Patatas y hortalizas 8Lácteos y huevos 13Otros 16

8. Se ha realizado un estudio en una heladería preguntando a 40 personas sobre los sabores más solicita-dos, y se han obtenido los resultados de la tabla siguiente. Haz un estudio estadístico completo.

Sabor Chocolate Vainilla Turrón Nata OtroF. absoluta 10 1 20 4 5

PPARAARA APRENDER MÁSAPRENDER MÁS


9. En esta tabla se muestra el número de suspensos en una evaluación de los estudiantes de una clase:

Nº de suspensos 0 1 2 3 4 5Nº de estudiantes 10 4 5 2 4 3

Completa la tabla de frecuencias, dibuja el diagrama de barras e interpreta los datos después de calcular lasmedidas de centralización.

10. Se quiere estudiar el rendimiento de un equipo de fútbol. Para ello se han recogido el número de golesque ha marcado en los últimos 20 partidos. Haz un estudio completo de los resultados.

Nº de goles 0 1 2 3 4 5Nº de partidos 2 5 8 2 2 1

11. Una empresa de telefonía quiere saber la opinión de sus clientes sobre el servicio de la línea de ADSLque ofertan. Haz un estudio estadístico completo si los datos que se han recogido son: (Mala = M, Regular = R, Buena = B)

M B R B R B R B M B R B B B R B R M R B R M R R M

12. Las edades de varios de los componentes de una compañía de teatro juvenil son las siguientes:

15 17 14 19 17 16 13 12 15 16 13 12 19 13 12 18 17 16 15 14 13 12

Forma la tabla de frecuencias, dibuja el diagrama de barras y calcula las medidas de centralización.

13. Se quiere saber acerca de las veces que van al cine en un mes los jóvenes de 12 años. Haz un estudioestadístico completo si se han recogido estos datos:

0 1 2 2 1 0 0 0 2 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 1

14. El siguiente conjunto de datos representa el número de libros que han leído durante un año un grupo deestudiantes encuestados:

3 4 7 8 2 1 5 0 7 2 6 3 5 4 6 3 3 5 2 3 5 4 7 6 3 3 1 5 4 3 5 4 9 5 7 4

Haz un estudio estadístico completo.

15. La valoración del 1 al 10 dada a un nuevo producto que se ha lanzado al mercado por 30 personas esla siguiente:

2 4 5 5 6 6 7 8 9 7 2 2 3 6 10 10 3 2 10 9 7 8 5 4 3 5 6 9 7 10

Haz un estudio estadístico completo.


16. El diagrama representa el número de profesores de idiomas que hay en los centros escolares de unaprovincia. Calcula la tabla de frecuencias y las medidas de centralización.

17. El número de hijos que tienen 40 familias de una localidad se recogen en el siguiente polígono de fre-cuencias. Haz un estudio estadístico completo.

18. El siguiente diagrama representa la opinión de 60 vecinos sobre la actuación de su alcalde. Haz latabla de frecuencias y calcula las medidas de centralización oportunas.

0

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6

Nº de profesores

Nº

de c

en

tros

esc

ola

res

Valoración del alcalde

Muy mala10%

Mala20%

Regular30%

Buena25%

Muy buena15%

Natalidad

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6

Nº de hijos

Fre

cuen

cias


19. En el siguiente gráfico se refleja las edades de los jóvenes que participan en un campamento de vera-no. Estudia los datos.

37

51

32

26

19

0

10

20

30

40

50

60

11 12 13 14 15

Edad

Nº

de p

ers

on

as

PROBABILIDADCOLEGIO VIZCAYA 177

ESPACIO MUESTRAL

SUCESO

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Tipos de sucesos

Frecuencia absoluta y relativa de un suceso

Ley deLaplace

- Imposible- Seguro- Incompatibles- Compatibles- Contrarios- Equiprobables

Resolución de problemas

Ley de los grandes números

Probabilidad de un suceso

PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA178


1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS.

En nuestra vida diaria nos vamos encontrando con muchos acontecimientos. En algunos casos podríamos predecir que ocurrirá, pero en otras situaciones no sabemos predecir qué es lo que sucede-rá porque dependen del azar.

- De los siguientes experimentos señala cuales dependen del azar y cuáles no:

a) Lanzar una moneda al aire.

b) Abrir un grifo.

c) Extraer una carta de una baraja.

d) Tirar una moneda trucada con dos caras.

e) Tirar un dado.

2. ESPACIO MUESTRAL.

- Indica para cada uno de los siguientes experimentos que resultados se pueden obtener al realizarlo:

a) Lanzar un dado.

b) Lanzar una moneda.

c) Extraer una carta de una baraja.

d) Lanzar un dado de quinielas.

e) Hacer girar la ruleta.

3. SUCESOS.

- Vamos a considerar el experimento aleatorio de lanzar un dado.

¿Quién es su espacio muestral? E = { }

Tomamos ahora varios subconjuntos de E, por ejemplo:

- Salir un número par: A = {2, 4, 6}- Salir un número impar: A = {1, 3, 5}- Salir un múltiplo de 3: A = {3, 6}- Salir un divisor de 4: A = {1, 4}- Salir el 5: A = {5}

A todos estos subconjuntos de E se les llama sucesos o sucesos aleatorios.

Experimento aleatorio: Es aquella situación o acontecimiento en cuya realizacióninfluye el azar y por lo tanto no se puede predecir el resultado que se va a obtener alrealizarlo.

Espacio muestral: Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de unexperimento aleatorio. Se designa con la letra E.

Sucesos: Son los subconjuntos del espacio muestral.


PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

¿Cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios?

a) Abrir un libro por una página cualquiera y anotar el número de la página de la derecha.b) Realizar el sorteo del cupón de la ONCE.c) Extraer sin mirar una bola de una bolsa que contiene 5 bolas azules y 6 verdes.d) Abrir las compuertas de un pantano lleno de agua.e) Medir la longitud de una circunferencia de 5 m de radio.f) La celebración de las elecciones generales.g) Lanzar un dado y anotar el resultado que se obtiene.

Lanzamos una chincheta y observamos si cae con la punta hacia arriba o no.

a) ¿Es una experiencia aleatoria?

b) ¿Escribe el espacio muestral.

En una urna hay 10 bolas de colores numeradas.

a) ¿Es una experiencia aleatoria?

b) Escribe el espacio muestral y seis sucesos.

1.

1 2

3 4 5 6

7 8 9 10


4. TIPOS DE SUCESOS.

- Vamos a volver a lanzar un dado. Recuerda que E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Relaciona la columna de la izquierda con el suceso correspondiente de la derecha.

A = Salir un número mayor de 3. {2, 4, 6} {1, 3, 5}

B = Salir un número mayor de 6. {6}

C = Salir menor de 4. {3, 4}

D = Salir el 6. {1, 3, 5}

E = Salir un número mayor de 2 y menor de 5. oF = Salir impar. {2, 4, 6}

G = Salir par. {2, 4, 6} {2, 3, 5}

H = Salir múltiplo de 2. {4, 5, 6}

I = Salir par y salir número primo. {2, 4, 6}

J = Salir par y salir impar. {1, 2, 3, 4, 5, 6}

K = Salir menor que 7. {1, 2, 3}

2.

3.


Lee las definiciones y después contesta a las siguientes preguntas relacionadas con el ejercicio anterior.

a) ¿Qué tipo de suceso es J?

b) ¿Qué observas en los sucesos F y G?

c) ¿Encuentras algún elemento en común en los sucesos I y J? ¿Cómo son estos sucesos?

d) ¿Y en C y G?

e) ¿Qué tipo de sucesos son A, B y D?

f) ¿Cómo son G y H?

g) ¿Son equiprobables los sucesos F y G?

- Suceso imposible: El que nunca se verifica. Se designa por O.- Suceso seguro: El que siempre se verifica.- Sucesos incompatibles: Los que no se pueden verificar a la vez.- Sucesos compatibles: Los que se pueden verificar a la vez.- Sucesos contrarios: Si se verifica un suceso entonces el otro no.- Sucesos equiprobables: Los que tienen la misma probabilidad de ocurrir.


Di si son compatibles o incompatibles los siguientes sucesos asociados al experimento de lan-zar un dado.

a) A = {1, 3} y B = {4, 5, 6}b) A = {3, 4, 5} y B = {2, 4, 6}c) A = {2} y B = {1, 2}d) A = {3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 6}

Observa las siguientes bolsas y di en cuál de ellas son equiprobables los sucesos: A = {extraer bola blanca} y B = {extraer bola negra}

En una caja hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Escribe los sucesos contrarios de los siguien-tes sucesos.

A = {2, 3, 6} B = {1, 5, 9, 10} C = {6} D = {2, 5}

4.

5.

6.



5. PROBABILIDAD DE UN SUCESO.

- Considera el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire:

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) ¿Qué porcentaje de posibilidades tenemos de sacar cara al lanzar una vez la moneda?

c) ¿Y cruz?

d) Expresa los los porcentajes anteriores en forma de fracción irreducible y de nº decimal.

e) Suma las fracciones y suma los números decimales. ¿Qué número se obtiene?

- Considera ahora el experimento de extraer una bola de la bolsa siguiente:

Completa:

a) ¿Qué bola tiene más posibilidades de salir? c) ¿Qué no puede salir nunca?

b) ¿Y menos? d) ¿Qué sacamos siempre?

Suceso Oportunidades Fracción DecimalSacar una bola blanca 2 2/11 0'18

Sacar una bola negra

Sacar una bola roja

Sacar una bola verde

Sacar una bola amarilla

Suma

Ley de Laplace: Si todos los sucesos de un experimento aleatorio son equiprobables:

nº de casos favorables al sucesoProbabilidad de un suceso =

nº total de casos posibles

- La probabilidad de un suceso es un número que está entre 0 y 1.- Si la probabilidad es 0, el suceso es imposible.- Si la probabilidad es 1, el suceso es seguro.- Cuanto más cerca esté una probabilidad del 0, menos probable será el suceso.- Cuanto más cerca esté una probabilidad del 1, más probable será el suceso.

Observaciones:Observaciones:



En un campamento hay 32 alumnos europeos, 13 americanos, 15 africanos y 23 asiáticos. Seelige al azar un alumno para que sea el portavoz. ¿Qué probabilidad hay de que sea europeo?

Una bolsa contiene 5 bolas rojas y 7 azules y otra bolsa contiene 9 bolas rojas y 13 azules. ¿Enqué bolsa es más fácil obtener bola azul?

Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 verdes y dos amarillas, y se extrae una bola sin mirar. Hallala probabilidad de que sea:

a) amarilla b) roja c) verde d) no amarilla e) no verde f) no roja

Se lanza un dado de quinielas. Halla la probabilidad de que salga el 1, el 2 y la X.

7.


6. FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA DE UN SUCESO.

Realiza los siguientes experimentos aleatorios y anota los resultados que obtengas en cada caso.

- Lanzar 50 veces un dado:

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar cualquiera de las caras?

b) ¿Las frecuencias relativas son próximas a la probabilidad de cada suceso?

Cara Nº de vecesFrecuencia absoluta = fa

Frecuenciarelativa = fr

123456

Suma

8.

9.

10.


- Lanzar 100 veces un dado:

a) Cuando aumentamos el número de lanzamientos, ¿cómo son las frecuencias relativas respecto a la probabilidad de cada suceso?

b) ¿Qué crees que ocurrirá si lanzamos el dado 1000 veces?

Esta propiedad resulta muy útil para evaluar las probabilidades de los sucesos que se obtienen en experimentos cuya probabilidad no se puede obtener de antemano.

- Aitor quiere saber cuál es la probabilidad de que al lanzar al aire una chincheta caiga con la punta hacia arriba o hacia abajo. El piensa que la probabilidad de ambos sucesos es la misma(P = 0'5), ¿podrías ayudarle a salir de su duda?

- Ana que juega todas las tardes con sus amigos al parchís, se ha hecho un dado de madera. Desde que juega con ese dado no hace más que ganar partidas, y sus amigos creen que el dado de Ana está trucado. Para saber si el dado está defectuoso lo han lanzado 1000 veces y han obtenido los siguientes resultados.

a) ¿Se puede afirmar que el dado está trucado?

b) ¿Por qué?

Cara fa fr123456

Suma

Ley de los grandes números:Al repetir muchas veces una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de cada suce-so toma valores parecidos a su probabilidad. Además, cuanto más veces repitamos elexperimento más se parecerán la frecuencia relativa y la probabilidad.

Posición fa frHacia arribaHacia abajo

Suma 100

Cara fa fr1 100 0'12 893 1084 1405 2806 283

Suma 1000



7. DIAGRAMAS DE ÁRBOL.

Calcula la probabilidad de que la bolita caiga en cada recinto.

Problema resuelto:Problema resuelto:

En principio no tenemos ni idea de cómo afrontareste problema, así que vamos a hacer una simu-lación. Imagínate que en lugar de una bola intro-ducimos 16 bolas.

En la primera bifurcación la mitad de las bolas irápor el camino de la izquierda y la otra mitad porel de la derecha:

En la segunda bifurcación la mitad de las bolasde cada camino irán repartiéndose en partesiguales por los otros caminos y así sucesiva-mente hasta llegar al final.

Volviendo ahora a nuestro dibujo original:

1P (llegar a A) = = 0'12583P (llegar a B) = = 0'375 83P (llegar a C) = = 0'375 81P (llegar a D) = = 0'1258

16

8 8

16

8 8

4 44+4

2 2+4 4+2 2

1

1 12 2

1 2 14 4 4

1 3 3 18 8 8 8A B C D


1. Calcula la probabilidad de que una bolita caiga por cada recinto. a) b)

2. Calcula la probabilidad de que la bolita caiga en cada recinto.

3. En una urna hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. ¿Son compatibles o no los siguientes pares de suce-sos?

a) A = {salir par} y B = {salir impar}b) A = {salir múltiplo de 3} y B = {salir número primo}c) A = {salir múltiplo de 4} y B = {salir múltiplo de 5}d) A = {salir número menor que 4} y B = {salir número mayor que 6}

4. En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos una bola y anotamos su color. ¿Es una experiencia aleatoria?

5. ¿Cuáles de los siguientes números pueden corresponder a valores de una probabilidad? Razona tu respuesta.

6. Observa las siguientes bolsas. ¿En cuál de ellas los sucesos {obtener una bola blanca} y {obtener unabola negra} son equiprobables?

7. Explica por qué es necesario experimentar si queremos conocer las probabilidades de las caras de undado mal construido.

PPARAARA ENTRENARENTRENAR

a) b) c)

4 20'001, , - 0'5, 0'76, 1'0005,

3 6


8. ¿De cuál de las siguientes bolsas es más probable sacar una bola blanca?

9. De una bolsa con 7 bolas rojas, 5 verdes, 3 amarillas, 11 negras y 3 azules, sacamos una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? ¿Y de qué no sea negra?

10. Halla las siguientes probabilidades cuando se lanza un dado al aire:

a) El resultado es par.b) El resultado es un número primo.c) El resultado es múltiplo de 3.d) El resultado es múltiplo de 2.e) El resultado es mayor de 1.f) El resultado es menor de 5.g) El resultado es menor de 1.

11. En un examen de geografía hay que saber situar obre un mapa del mundo 20 ríos. Aitana sólo se haestudiado 15 de ellos.

a) Si en el examen le piden situar uno, ¿cuál es la probabilidad de que sea uno de los que sabe? ¿Y de los qué no sabe?

b) Si le piden que sitúe uno de los que no sabe y, en lugar de no contestar, lo hace a boleo. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte?

12. Calcula la probabilidad de que la bolita caiga en cada recinto.

13. Se extrae una carta de una baraja española. ¿Son compatibles los siguientes sucesos?

a) A = {salir oros} y B = {salir as}b) A = {salir sota} y B = {salir caballo}c) A = {salir bastos} y B = {salir espadas}d) A = {salir copas} y B = {salir rey}

a) b) c) d)


1. Tengo en la mano 10 cartas con los números del 1 al 10. Una amiga escoge una carta al azar. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Salir un nº menor que 3. c) Salir un nº divisible por 3.b) Salir un nº mayor que 3. d) Salir un nº divisible por 3.

2. ¿En cuál de las siguientes bolsas es más probableobtener una bola blanca?

3. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos asociados a extraer una carta de una baraja española:

a) Que sea un as. e) Que sea el rey de bastos.b) Que sea una espada. f) Que sea una figura.c) Que sea un rey. g) Que sea un número mayor que 7.d) Que sea la sota de copas. h) Que sea el as de bastos.

4. Una bolsa contiene 10 bolas rojas, 6 azules y 4 amarilla. Se extrae una bola sin mirar. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que sea roja. d) Que no sea roja.b) Que sea azul. e) Que no sea amarilla.c) Que sea amarilla. f) Que no sea azul.

5. Señala en cada caso, si se trata de un fenómeno aleatorio o determinista.

a) Acertar el resultado de un partido de baloncesto antes de que se juegue.b) En una bolsa transparente hay canicas de distintos colores y elegimos una verde.c) Soltar una piedra en el aire y ver qué ocurre.d) Saber si lloverá de 10 de mayo del año 2050.

6. Una urna tiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. En otra urna hay 6 bolas blancas y 9 negras. ¿En cuáles más fácil sacar una bola blanca al azar?

7. La urna de un sorteo contiene 100 bolas numeradas del 1 al 100. Asier lleva todas las papeletas de losnúmeros que terminan en 5 y Maitane todas las papeletas de los números que son múltiplos de 11. ¿Quiéntiene más probabilidad de ganar?

8. En una rifa se han vendido 500 papeletas numeradas del 1 al 500. ¿Cuál es la probabilidad de que el pre-mio corresponda a un número de una cifra? ¿Y de dos cifras? ¿Y que empiece por 3?

9. Se lanza un dado tetraédrico como el de la figura que tiene 4 numeradas del 1 al 4, y anotamos el resul-tado de la cara oculta.

a) Halla el espacio muestral.b) Escribe el suceso obtener múltiplo de 3.c) Escribe el suceso obtener múltiplo de 2.d) Halla la probabilidad de los dos sucesos anteriores.e) ¿Son compatibles o incompatibles?

10. En una nevera hay 6 refrescos de cola, 12 de naranja y 5 de limón. Cuando Nekane iba a coger un refres-co se fue la luz, y por tanto, lo tomó al azar. Halla la probabilidad de:

a) Que sea de cola. d) Que sea de cola o limón.b) Que sea de naranja. e) Que no sea de limón.c) Que sea de limón. f) Que no sea de naranja.

11. En una urna hay 3 bolas verdes y 5 bolas rojas. Añadimos cuatro bolas de cada color. ¿Cuándo es másfácil sacar una bola roja?

PPARAARA APRENDER MÁSAPRENDER MÁS

1 2

3


12. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extrae una bola al azar, halla la probabilidad de que sea

a) La bola 5. c) Mayor que 6.b) Inferior a 4. d) Mayor que 2 y menor que 6.

13. Juegos de azar: miles de personas apuestan cada semana a distintos juegos de azar con la esperanzade que algún día la suerte les sonreirá. Pero, ¿sabes cuántas probabilidades hay de ganar?

a) En el sorteo de la Lotería Nacional hay 100000 billetes. ¿Cuál es la probabilidad de acertar el primer premio?

b) En un sorteo de la ONCE entran en juego 100000 números distintos con 1000 series por número. ¿Cuántos boletos entran en juego en un sorteo? ¿Cuál es la probabilidad de llevarse el premio? ¿Durante cuántos años crees que tendríamos que jugar en el sorteo si compramos un boleto por día si queremos ganar?

c) Sabiendo que la probabilidad de ganar el primer premio en la Lotería Primitiva es 1/13983816 y que una apuesta cuesta 1€, ¿cuántos euros nos tenemos que gastar para asegurarnos que nos llevare-mos el primer premio en un sorteo?

14. De esta unidad tienes que saber definir y poner un ejemplo de:

1) Experimento aleatorio.

2) Espacio muestral.

3) Suceso.

4) Tipos de sucesos.

5) Ley de Laplace.

6) Ley de los grandes números.

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 2º ESO 2008-2009 STICA+Y... · PDF filePor todo esto, vemos que los resultados en el último examen de Geometría no son satisfac-torios ya que la mitad