Estructura temporal de tipos de interés (ETTI)

La estructura temporal de tipos de interés (ETTI) se define como la relación que existe entre los distintos tipos de interés en el mercado, en función del plazo en que se aplican. Existen diversos métodos para obtener la ETTI, pues para su estimación se da a partir de los precios de los títulos u otras características similares, en los cuales influyen diversos factores como el riesgo de crédito, fiscalidad, riesgo de liquidez, entre otros.

La ETTI tiene diversas medidas en las cuales puede expresarse: curva de tipos de interés al contado (spot), curva de tipos de interés a plazo (forward), función de descuento, cupón corrido y la tasa interna de retorno (TIR), de las cuales las mas comunes en aplicarse son las tres primeras, aunque de ellas la más habitual es la de spot, pero suele ser más útil la de forward y de descuento en el ambiente financiero. Es por ello que a continuación se describirán las tres primeras medidas de tipos de interés mencionadas.

La medida de tipo de interés al contado (spot) se define como el tipo de interés vigente en el mercado en un momento determinado t y para un plazo M establecido. En el régimen financiero se utiliza el interés compuesto con periodicidad anual y en tiempo discreto de esa forma obtendremos

Pt,M = N*(1+Rt.M)-M……….(1)

Donde: P= precio teórico de un titulo

N= Valor Actual del pago nominal del titulo

Rt.M = Tipo efectivo anual.

Mientras que en tiempo continuo se expresa:

Pt,M = N*exp (-zt,m*M)……….(2)

Donde: zt,m = tipo de interés nominal estricto con capitalización continua.

Ambos títulos son llamados títulos de cupón cero, pues garantizan un único pago en el vencimiento y no hay intermedios, en algunas ocasiones se tendrán que ‘pagar cupones a lo largo del vencimiento y el precio teórico del titulo en caso de tiempo discreto será:

Pt,M = C*(1+Rt,1)-1 + C*(1+Rt,2)-2 + … + C*(1+Rt,M)-M + N*(1+Rt,M)-M……….(3)

Y en tiempo continuo:

Pt,M = ∑ C*exp (-zt,m*m) + N* exp(-zt,m*M)……….(4)

Por lo que son los Rt.M o zt,m, los que nos van a dar una estructura temporal de los tipos al contado.

Los tipos de interés a plazo (forward) representan el tipo de interés en un momento futuro en el tiempo y para un cierto plazo; los tipos forward se derivan de los tipos de interés spot, esto indica una relación que puede ser expresada en tiempo discreto como:

(1+Rt,m)m = Пmv=1 (1+ft,v)……….(5)

donde: ft;g =tipo forward para el plazo futuro y podemos observar que g=1,…,m tal manera que en tiempo discreto la formula quedaría:

ft,v = . (1+Rt,v) v . - 1………. (6)

(1-Rt,v)v-1

Y en tiempo continuo en relación con el tipo de interés al contado y el tipo de interés a plazo instantáneo obtendremos:

Zt,m = Sm+tt . f (t,v) dv . ………. (7)

m

mientras que el tipo forward instantáneo puede considerarse como un tipo marginal para un periodo de tiempo infinitesimal, y derivando de la anterior ecuación se puede encontrar el tipo de interes forward instantaneo:

f (t,m) = zt,m + v dzt,m/ dv………. (8)

Asimismo podemos concluir que el precio de un título puede representarse mediante el tipo de interes a plazo tanto en tiempo discreto como continuo:

Pm,M = ∑m=1 C* ∏m-1t=0

(1+ft,t+1) + N∏M-1t=0 (1+ft,t+1)………. (9)

Pt,M = ∑m=1 C* exp (-Smv f (t,v)dv) + N*exp(-SM

v f (t,v)dv)………. (10)

El factor de descuento equivale al valor presente de una unidad monetaria que se pagara en algun momento futuro; y es a partir del tipo de interes al contado que se puede expresar en tiempo discreto y continuo:

dt,m = (1+Rt,m)-m………. (11)

фt,m = exp (-zt,m*m)………. (12)

De esta forma obtenemos el precio del titulo en un pago único, en función del factor de descuento, en tiempo discreto y continuo será:

Pt = N (1+Rt,M)-M………. (13)

Pt = N *exp (-zt,M*M) ………. (14)

Y el precio con cupones al vencimiento equivale a:

Pt,m= C*dt,1 + C*dt,2 + … + C*dt,M + N*dt,M…………. (15)

Pt,m= C*фt,1 + C*фt,2 + … + C*фt,M + N*фt,M…………. (16)

Existe una estrecha relación algebraica entre las tres medidas de tipos de interés (spot, forward, descuento) ya que pueden ser definidas a través del tiempo discreto y continuo .Pero es el factor de descuento el que se puede a llegar a calcular por medio de simples transformaciones, y es por ello que tomando como base el tipo de factor descuento se pueda pasar de una medida a otra de una manera sencilla.

Asimismo transformando el tipo de interés al contado en función del factor descuento en tiempo discreto así como continuo será expresado:

Rt,m = (dt,m)-1/m – 1………. (17)

Zt,m = . In(фt,m) . – 1………. (18)

M

Y de igual forma pasa con el tipo forward en función del factor de descuento en tiempo discreto y continuo (Fontanals y Ruiz, 2001):

ft,m = . dt,m-1 – dt,m ……. (19)

Dt,m

f (t,m) = . d In( d t,m) . ………. (20)

Las ecuaciones 17,18,19,20 sirven para expresar el factor descuento en caso de un pago único del título.

En un principio se hablo de que existen diversos modelos para establecer la curva de tipo de interés, pero muy pocos son aceptados. Esta aceptación se debe a su aplicación, ya que por un lado existen los operadores que se inclinan por los modelos que ajustan mejor las particularidades de los tipos de cada plazo, mientras que hay otros como los del contexto de la política monetaria que aplican

modelos que recogen mejor la tendencia, mientras que los aspectos puntuales pasan a segundo plano.

Un aspecto de importancia es la fuente de donde se obtendrán los datos, para la formación de la curva de los tipos de interés, que básicamente se obtienen de dos fuentes: operaciones de deuda pública y contratos swap. Y una vez elegida la fuente de datos a utilizar, el problema consiste en definir la función sobre la que ajustar los datos. Esto es para conseguir una curva continua que proporcione un tipo de interés para cada plazo. Puesto que de ese modo la elección de la función es crucial ya que implica un trade off entre alisamiento o suavidad y flexibilidad.

Para la definición del modelo de ajuste de tipos de interés es preciso tener en cuenta cada uno de los siguientes aspectos y definir cada opción:

Operaciones utilizadas para deducir los tipos de interés (generalmente deuda pública o swaps).

Ajuste de la curva de tipos al contado, tipos implícitos o función de descuento.

Función base a ajustar. Minimización de error en precio o en tasas de rendimiento. Modelo de ajuste.

Existen diferentes métodos para ajustar un modelo, entre las mas utilizadas es la técnica bootstraping , que cabe señalar debe ser separada de las distintas formas de ajustar ya que esta técnica que consiste en un método recursivo muy simple, aplicable sólo en mercados con mucha información, de los métodos que utilizan técnicas de ajuste por minimización de errores.

El bootstraping es una técnica muy utilizada por los profesionales esta técnica trata de un método recursivo que no precisa de técnicas de ajuste; y que sólo es aplicable cuando existe suficiente información para poder montar toda la curva vencimiento a vencimiento (Bierwag, 1991). Mientras que en la práctica, se aplica en los mercados en que existen muchas referencias cotizando (Geyer y Mader, 1999).

El bootstraping es una metodología muy sencilla y, precisamente por su simplicidad, los resultados que se obtienen utilizándola no son muy buenos en mercados donde el número de títulos que se cotizan no es elevado. Pero en su concepción se refleja claramente la diferencia entre los tipos de interés de la curva cupón cero y las rentabilidades que proporciona el mercado.

Los modelos que se describen a continuación son algunos de los modelos basados en cada una de las tres posibles formas de presentar los tipos de interés que se describieron con anterioridad, función al contado, a plazo o descuento.

En la siguiente tabla se exponen cada una de las tres formas de presentar los tipos de interés, asimismo los modelos más significativos y su autor.

Función de descuentoModelo Autor

Splines polinomicos McCulloch (1971, 1975)Polinomios de Bernstein Schaefer (1981)Splines exponenciales Vasicek y Fong (1982)

B-Splines Steeley (1991)Tipos de interés implícitos

Splines Coleman, Fisher y Ibbotson (1992)Función parsimoniosa Nelson y Siegel (1987)Función parsimoniosa Svenson (1994)

Modelo exponencial Wiseman (1994)Tipos de interés al contado

Splines cúbicos Langetief y Smoot (1989)Splines cúbicos Mastronicola (1991)

Smoothing splines Fisher, Nychka y Zervos (1995)Smoothing splines Gourieroux y Scalliet (1994)

Como se puede observar existe gran variedad de modelos, pero se tomaran en cuenta solo aquellos que se relacionen mas a las funciones descritas con anterioridad, aquellas que nos permitirán recoger las características de la estructura, por lo que funciones simples, como las polinómicas, no son adecuadas para este tipo de ajuste, pues para lograr un nivel de ajuste satisfactorio debería elevarse el grado del polinomio, provocando una pérdida de información relacionada con la tendencia de la curva.

El Modelo de McCulloch (1971 y 1975) modeliza la función de descuento. En sus trabajos nos ubica en un modelo continuo que conlleva un pago de cupones considerado como una corriente continua, durante toda la vida pendiente del título. De esta hipótesis se puede uno percatar que la problemática del cupón corrido. En la siguiente descripción se realiza un planteamiento discreto, con pago de cupones periódico, en función de la fecha de pago de cupones de cada título y considerando el cupón corrido. Este enfoque refleja la realidad del mercado.

McCulloch (1971) define la función de descuento como una combinación lineal de funciones:

k

Βt (m) = 1 + ∑ ah*gh (m), h=1

que cumple la condición básica de la función de descuento, βt (0)=1, con gh (0)= 0.

Ya para el periodo de 1971, 1975 McCulloch utiliza splines cuadráticos, en su primer trabajo, y splines cúbicos en el segundo. Los splines cúbicos permiten definir los tipos forward con una cierta suavidad a partir de la curva de tipos al contado. Esto se deriva de la relación entre tipos forward y los tipos al contado. Los tipos implícitos se obtienen de la primera derivada de la curva de tipos al contado. Los splines cuadráticos presentan una derivada lineal que difícilmente puede ser utilizada como curva forward.

El número de funciones a incorporar, k, se define arbitrariamente, aunque se obtiene un mejor ajuste si el número de funciones definidas es elevado. Sin embargo, este número ha de tener relación con el número de títulos disponibles en el mercado. Cuando el número de referencias que cotizan es reducido, un número elevado de funciones no proporcionaría un ajuste significativo. McCulloch propone utilizar:

k = E [√ n],

siendo E la parte entera más próxima al resultado y n el número de título utilizados en el ajuste.

La finalidad de la definición de k es establecer la división del plazo en periodos diferentes pero que agrupen el mismo número de títulos en cada tramo. Las funciones gh (∙) se definen para cada uno de los tramos y enlazan, de forma continua, en los vértices de unión. La definición de los vértices ha generado un gran volumen de literatura. De hecho, la modificación de los vértices genera cambios sustanciales en la definición de la curva (Anderson et al., 1996).

La definición de las funciones gh (∙) mediante splines cúbicos, en tiempo discreto, se puede encontrar en Fontanals y Ruiz (2001).

Respecto al proceso de ajuste, se trata de definir un sistema de ecuaciones donde cada ecuación recoge la información de un título, con sus características peculiares. La ecuación de equilibrio de cada título se corresponde con:

Pt + St=C*(1+zt, 1-st)-(1-st) +C*(1+zt, 2-st)-(2-st) +…+ C*(1+zt, M-st)-(M-st)+ N*(1+zt, M-st)-(M-st)

M

Pt + St= ∑C*(1+zt, m-st)-(m-st) + N*(1+zt, M-st)-(M-st)

m=1

Considerando el número total de títulos n que cotizan en el mercado en un momento determinado, o bien durante una sesión, un título determinado j, con j=1,...n , presenta la siguiente ecuación expresada mediante la función de descuento:

Mj

Pt,j + St,j = Cj* ∑βt (ms,j) + Nj *β (Mj) s=1

La función de descuento genérica, β (∙), se sustituye por la función propuesta en el modelo de McCulloch,

Mj k k

Pt,j + St,j = Cj* ∑(1 + ∑ ah*gh (ms,j)) + Nj *[1+ ∑ ah*gh (Mj)] s=1 h=1 h=1

con j =1,...n títulos disponibles.

Este conjunto de n ecuaciones permite estimar los coeficientes h a que configuran la curva de tipos definitiva, ya que los demás parámetros son conocidos. Una aplicación práctica detallada se puede encontrar en Fontanals y Ruiz (2001).

Este método es bastante utilizado entre los operadores del mercado. Presenta algunas ventajas operativas entre las que cabe destacar el hecho de que las ecuaciones resultantes sean lineales, lo que permite la utilización de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) menos complejos y con mayor facilidad de aplicación que los métodos de estimación no lineal. Proporciona una curva continua y derivable para todo el plazo y suficientemente flexible para captar las distintas formas que suele presentar la función de descuento, incluidas concavidades y convexidades puntuales.

Otros modelos que vale la pena destacar es el modelo de Nelson y Siegel (1987) y modelo de Svensson (1994) el primero es uno de los primeros en proponer un modelo basado en una propiedad financiera. Y hace resaltar que la curva de tipos forward debe ser asintótica para plazos muy largos. Cuando el plazo es suficientemente grande los inversores no diferencian el tipo de interés forward de un año y el del siguiente, por lo que la función de ajuste debe incorporar esta propiedad.

De ahí que parten respecto a la función que describe el tipo forward en función del plazo m, Nelson y Siegel (1987) definen:

fm(¥) = ¥0 + ¥1exp(-m/∂1) + ¥2 m/∂1exp(-m/∂1)

Donde ¥= (¥0, ¥1,¥2,∂1) denota el vector de parámetros a determinar.

Y Svensson (1994) aumenta la flexibilidad del modelo introduciendo dos nuevos parámetros, de forma que el tipo implícito se ajusta mediante la función:

fm(¥) = ¥0 + ¥1exp(m/∂1) + ¥2 exp(m/∂1)+ ¥3 m/∂2exp(m/∂2)

con ¥= (¥0, ¥1,¥2, ¥3, ∂1, ∂2).

La estimación de la estructura temporal de las tasas de interés (ETTI) se ha convertido de mayor importancia en países de América Latina, ya que por de la curva de rendimientos se puede predecir las expectativas de inflación, la actividad económica y el déficit fiscal. En el ámbito financiero tiene gran peso la ETTI en los mercados financieros, pues en base de ella se pueden calcular el valor de los activos de renta fija como letras, bono, obligaciones, y asimismo sirve de base para establecer rentabilidades en cualquier sector de los mercados de deuda (empresarial, bancaria, internacional, municipal).