Estáticas de las formas.cj000528.ferozo.com/introduccionalasestruturas2016/ie7... · · 2017-01-05... sección constante, variables altura y base. ... en el esquema de la izquierda

Capítulo 7: Estática de las formas. Jorge Bernal

155

7 Estáticas de las formas.

1. Estática de las formas.

1.1. General.

Para la resolución de muchos problemas de la Estática y del Equilibrio de los

cuerpos, es necesario ubicar el punto donde actúan las resultantes y además cono-

cer la influencia de las formas transversales de las piezas en la resistencia. Algo

hemos visto cuando estudiamos composición de fuerzas, especialmente cuando

debíamos encontrar la posición de la resultante dentro del sistema.

Este análisis tiene una historia muy larga y aún más interesante. Quien co-

mienza a estudiar la relación de las formas de la viga con respecto a las fuerzas

fueron en orden cronológico Leonardo da Vinci y luego, un siglo más tarde Galileo

Galilei. La historia de las ciencias en algunos aspectos es injusta con Leonardo

porque atribuye a Galileo los primeros estudios realizados sobre las vigas y sus

cargas. Esto se puede justificar porque el Códice de Madrid, que contenía los estu-

dios tanto de vigas como de la resistencia de los materiales se mantuvo oculto,

como ya dijimos en capítulos anteriores (figura 7.1).

Figura 7.1

En sus bosquejos aparecen de cinco vigas, del tipo de dos apoyos simples y

las cargas que Leonardo las materializa con pesas que cuelgan en diferentes posi-

ciones. A la izquierda escribe su famosa pregunta “Yo me pregunto”, describe su

duda y luego intenta contestarla. Este estudio es posible que lo haya realizado en la

década del 1490. Leonardo realiza otras investigaciones que están en Códice de

Madrid pero escapan del objeto de este libro. Unos 140 años más tarde, en la déca-


156

da del 1630, sin conocer los escritos de Leonardo, Galileo Galilei realiza ensayos y

experimentos con las vigas y sus formas (figura7.2).

Figura 7.2

El dibujo 7.2 le pertenece a Galileo y se encuentra en su último libro “Dis-

curso sobre dos nuevas ciencias” que es editado en el año 1637. Tanto Leonardo

como Galileo no llegan a resolver la relación definitiva entre forma, carga y mate-

rial en una viga, por una sencilla razón; en esa época recién se iniciaba la matemá-

tica científica y además el método experimental estaba en sus comienzos.

Desde las formas y sus dimensiones se puede establecer el tamaño de una

pieza. Esta cuestión de relacionar el tamaño con la resistencia lo planteó Galileo

por primera vez y en la actualidad se la estudia desde la Mecánica de Fracturas.

1.2. Forma y resistencia.

Primer caso: base constante y altura variable.

Las cargas que solo producen tracción o compresión generan esfuerzos que

están en función de la superficie transversal de la pieza. Pero cuando existe flexión

o pandeo, aparecen otros parámetros además de la superficie: módulo resistente,

inercia de la sección y radio de giro, los estudiamos por separado.

Supongamos cuatro vigas cuyas secciones poseen diferentes alturas pero con

algo en común; todas tienen la misma base de 10 centímetros. La altura aumenta en

escalones de 5 centímetros (figura 7.3).

Figura 7.3

Los cuadrados de su altura serán para cada viga:

Para la viga (1): 100 cm2




Tomando como unidad de resistencia la que posee la viga (1), Leonardo ob-

serva:

La (1) resiste 100/100 = 1,00 la V1 como unidad. La (2) resiste 225/100 = 2,25 veces más que la V1

La (3) resiste 400/100 = 4,00 veces más que la V1


157

La (4) resiste 625/100 = 6,25 veces más que la V1

Es decir que la resistencia de las vigas, cuando mantienen constante su ancho

de base, aumenta proporcionalmente al cuadrado de su altura. Esto es cierto y se

comprueba con la fórmula actual de flexión:

𝜎 =𝑀

𝑊 𝑊 =

𝑏ℎ2

6 𝑀 = 𝜎

𝑏ℎ2

6

El momento resistente “M” es directamente proporcional a la altura de la vi-

ga elevada al cuadrado.

Segundo caso: sección constante, variables altura y base.

Otro descubrimiento que obtuvieron los científicos antiguos es mantener la

superficie constante. Por ejemplo, considerar cuatro vigas de diferentes formas

pero que todas posean la misma superficie: 100 cm2 . Sin embargo las formas son

diferentes. La resistencia flexional aumenta con la altura según la figura (figura

7.4).

Figura 7.4

Adoptando como resistencia unitaria al de la viga (1), hacemos las siguientes

relaciones:

La V1 resiste 10/10 = 1,0 la V1 como unidad de resistencia.

La V2 resiste 15/10 = 1,5 veces más que la V1.



En resumen, cuando se mantiene la sección constante y se varían la base y la

altura, la resistencia de la viga aumenta de manera lineal a su altura. Más adelante

veremos que lo supuesto por Da Vinci hace más de 500 años, es rigurosamente

cierto y tiene vigencia.

1.3. Baricentros de líneas.

En algunos casos muy especiales, se utiliza el concepto de línea. Por ejemplo

en el esquema de la izquierda se muestra una viga cargada con fuerzas uniformes y

constantes (figura 7.5).

Figura 7.5

Esa configuración, se la puede asimilar a una viga con una carga única cen-

trada, para solo para la determinación de las reacciones donde:


158

longitud de viga (metros): l

carga repartida (kN/metros): q

Recordemos las unidades y sus equivalencias: 1.000 N = 1 kN ≈ 100 kg

= 100 daN.

Q (kN) = l . q (kN) RA = RB = Q/2

Esta simplificación solo sirve para la determinación de las reacciones, por-

que en la flexión la carga repartida genera esfuerzos internos distintos a los de car-

gas concentradas.

1.4. Baricentros de superficies.

General.

En otros casos debemos conocer el baricentro de una superficie para aplicar

una carga. En el caso de las columnas es necesario que las cargas se ubiquen en los

baricentros de sus secciones (figura 7.6). El caso más simple, una columna cuadra-

da. La carga “P” debe centrarse en el baricentro “G” de la sección. Si la carga

estuviera desplazada de dicho punto, existiría una excentricidad “e” de la carga

que produciría tensiones parásitas a las columnas (flexo compresión).

Figura 7.6

En algunos casos cuando la carga no está centrada, la columna se transforma

en una especie de viga vertical con solicitaciones de flexión y además con la carga

de compresión.

Las cargas fuera de bari-

centros pueden ser del tipo “pre-

vistas” (e1) y las otras “no previs-

tas” (e2) o accidentales. Las pri-

meras son aquellas que fueron

detectadas y aceptadas en el pro-

ceso de diseño y cálculo del edi-

ficio. Las segundas responden a

errores cometidos por olvido o

descuido tanto en el diseño como

en la construcción (figura 7.7).

Figura 7.7

El caso de (e1) es la que presentan columnas en medianera por dimensiones

diferentes. Esta situación crea efectos de flexo compresión que se tienen en cuenta


159

en el proceso de cálculo. Parte de esta cuestión la observamos en el capítulo ante-

rior.

Una excentricidad por descuido se genera cuando la posición de las barras

longitudinales de las columnas no guardan simetría de diámetros y posición (figura

7.8).

Figura 7.8

Gran parte de los esfuerzos parásitos generados por la excentricidad, son to-

mados por el “nudo” que posee una elevada rigidez y son redistribuidos a colum-

nas, vigas y losas que llegan a ese lugar.

Recordemos que está en nuestras manos la decisión de orientar las fuerzas y

además de controlarlas, tanto en la fase de diseño, de cálculo y por último en la

ejecución de la obra. En "Aplicaciones" estudiamos una columna con barras asimé-

tricas.

2. Momentos estáticos de superficie.

2.1. General.

Los próximos temas que estudiaremos “Momentos Estáticos”, "Módulos Re-

sistentes" y “Momentos de Inercia”, en la mayoría de los libros y manuales apare-

cen como temas teóricos. Emplearemos una modalidad distinta para su análisis y

secuencia de estudio. Trataremos de justificarlos en la realidad mediante ejemplos

prácticos y luego haremos el desarrollo teórico.

2.2. Ejemplo: la forma y la resistencia.

Habíamos dicho respecto a las secciones de las vigas, que si manteníamos

constantes sus superficies, variando la altura y el ancho de base, obtendríamos vi-

gas más resistentes, en una relación directa al aumento de la altura (figura 7.9).

Figura 7.9

El “Me” (Momento Estático) de las secciones mostradas es el producto de su

superficie por la distancia de la base a su baricentro. Veamos:

Caso (1): 100 cm2 . 5,0 cm = 500 cm2.


160

Caso (2): 100 cm2 . 7,5 cm = 750 cm2.

Caso (3): 100 cm2 . 10,0 cm = 1.000 cm2.

Caso (4): 100 cm2 . 12,5 cm = 1.250 cm2.

La relación de cada uno respecto al del caso (1):

Caso (1): 500 / 500 = 1,00

Caso (2): 750 / 500 = 1,50

Caso (2): 1.000 / 500 = 2,00

Caso (3): 1.250 / 500 = 2,50

Conclusión: la relación de los “Me” tienen la misma relación al de las

resistencias de la vigas. Este ejercicio de figuras, formas, superficies y resisten-

cia se relacionan. Veremos de qué manera.

2.3. Desarrollo teórico.

El “Me” (momento estático) es similar al momento de una fuerza; pro-

ducto de la intensidad de la fuerza (kN) por la distancia al punto de referencia

(metros). Ahora, multiplicamos la magnitud de la superficie por la distancia al

eje baricéntrico (figura 7.10). Las unidades, para recordarlas::

Momento de fuerza (fuerza por distancia): kN . m.

Momento estático (superficie por distancia): m2 . m = m3.

Figura 7.10

La distancia del baricentro al eje "xx" es yG.

“Me”: referido a un eje cualquiera.

El “Me” (Momento estático) cuando está referido el eje horizontal de la figu-

ra, se lo expresa de manera matemática (figura 7.11):

𝑀𝑒 = 𝑆 ∙ 𝑦𝐺 = (𝑏 ∙ ℎ)𝑦𝐺

Utilizando diferencial de superficie: dF = bdy

Figura 7.11


161

𝑀𝑒 = 𝑑𝐹𝑦𝑦2

𝑦1

= 𝑏 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑦𝑦2

𝑦1

= 𝑏 𝑦𝑑𝑦𝑦2

𝑦1

=

= 𝑏 𝑦2

2 𝑦1

𝑦2

=𝑏

2 𝑦1

2 − 𝑦22

Ejemplo:

y1 = 10 cm y2 = 30 cm b = 10 cm

desde la aritmética (superficie por su distancia al eje):

S = 20 . 10 = 200 cm2.

Distancia del eje al baricentro: 20 cm

Momento estático: = 200 . 20 = 4.000 cm3

Desde la ecuación diferencial:

𝑀2 =10

2 302 − 102 = 4.000 𝑐𝑚3

“Me”: referido a un eje de base.

La sección apoya sobre el eje x-x, el valor y1 = 0, y2 = h (figura

7.12).

Figura 7.12

Aquí y1 = 0 b = 10 cm y2 = 20 cm

Mediante la aritmética:

𝑀𝑒 = 𝑆 ∙ 𝑦𝐺 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ℎ

2 = 200 ∙ 10 = 2000𝑐𝑚2

Mediante el cálculo diferencial:


𝑦1


𝑦1

=𝑏ℎ2

2=

10 ∙ 202

2= 2.000𝑐𝑚3

“Me”: referido a un eje baricéntrico.

El “Me” es nulo cuando está referido a un eje baricéntrico (yG = 0).

𝑀𝑒 = 𝑆 ∙ 𝑦𝐺 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 0 = 0

Mediante el análisis matemático y considerando un diferencial de super-

ficie dF, también se lo puede considerar como sigue (figura 7.13):


162


𝑦1

= 𝑏 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑦𝑦2

𝑦1


𝑦1

=

= 𝑏 𝑦2

2 𝑦1

𝑦2

=𝑏

2 𝑦1

2 − 𝑦22 = 0

La expresión se anula por resultar y1 = y2.

Figura 7.13

3. Resistencia, forma y deformada.

3.1. General.

Para estudiar las tensiones que se producen en el interior de la masa de la vi-

ga y las deformaciones externas o flechas debemos hacer uso de dos nuevas enti-

dades que definen a la forma:

W: módulo resistente en flexión (tensión de trabajo interno).

I: momento de inercia (descenso de la viga o curvatura)

Hacemos una introducción para justificar su estudio.

3.2. Desde la teoría general.

General.

En el estudio de una viga cualquiera se deben contemplar dos condiciones

para que resulte apta para ser una pieza de la estructura de un edificio. Una es in-

terna de sus características; la resistencia de flexión debe ser mayor que la solicita-

ción externa y la otra que la deformada o elástica resulte menor a los límites de uso

y estética.

Veremos que en ambas fórmulas, tanto la de resistencia como la de elástica

aparecen las entidades que se refieren a la forma de la sección transversal: el “W”

módulo resistente en la resistencia y el “I” momento de inercia en el cálculo de la

flecha o descenso.

Internas de resistencia:

Tensión de trabajo producida por cargas externas:

𝜎𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 =𝑀𝑒

𝑊


163

Tensión de rotura obtenida en laboratorios:

𝜎𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 =𝑀𝑙

𝑊= 𝜎𝑟𝑜𝑡

Tensión admisible de diseño:

𝜎𝑎𝑑𝑚 =𝜎𝑟𝑜𝑡

𝛾

γ: coeficiente de seguridad que depende del tipo de material y del grado de

control que se ejerza en las fases de diseño y construcción.

La pieza estructural en su vida de servicio debe cumplir con:

σadm > σtrabajo

La tensión admisible mayor que la tensión de trabajo.

Externas de la deformada o elástica:

La otra condición es externa, se la puede observar desde afuera: la deforma-

da o la curva elástica que se genera en la viga con las cargas. Se la mide en centí-

metros y debe ser menor a las límites permitidas por reglamentos y usos:

𝑓𝑙í𝑚 < 𝐶𝑞𝑙4

𝐸𝐼

f: flecha máxima de la viga (descenso).

C: constante en función de las condiciones de borde (tipos de apoyos).

q: carga uniforme repartida (acción externa).

l: longitud de la viga (geometría longitudinal).

E: módulo de elasticidad (característica mecánica del material).

I: momento de inercia de la sección (variable geométrica).

3.3. Desde la geometría general.

La viga del esquema en flexión tiene una flecha “f” y un esquema en detalle

de su deformación interna (figura 7.14). Para establecer la tensión de trabajo en el

interior de la viga utilizamos la relación de los triángulos sombreados cuyos lados

menores son “δc” y “δt” y los lados mayores “h/2”.

Esa geometría interna está relacionada con la externa de la viga deformada.

La deformación “f” de la viga en su longitud puede ser perceptible a la visión

común, incluso es posible medirla con una regla en milímetros. Lo interesante son

otros parámetros relacionados a esa elástica o flecha; dos perpendiculares muy

próximas a esa curva se encuentran en el punto “O”.

La distancia entre ese punto y el eje de la viga se indica con la letra “r” y se

denomina radio de curvatura.


164

Figura 7.14

“δc” : acortamiento de fibras.

“δt” : alargamiento de fibras.

Si comparamos el esquema externo de la viga con el interno, nos encontra-

mos que los triángulos sombreados son proporcionales. Desde el radio de curvatura

surge el momento de inercia “I” de la sección, mientras que desde las tensiones

internas de trabajo aparece el módulo resistente “W”. Esto lo veremos en el Capí-

tulo 19 “Deformación”.

Las expresiones anteriores poseen como variables todos los parámetros que

pueden definir la resistencia y conducta de una viga: carga (q), material (E), resis-

tencia (σ), pero también las distancias que definen la forma final de la viga: longi-

tud (l),ancho (b), alto (h) y flecha (f) .

4. Módulo resistente.

4.1. General.

Hemos visto que existe relación entre la forma de las sección transversal de

la pieza de una viga y su resistencia a la flexión. Ahora, en el estudio que sigue

incorporamos el concepto de tensión:

𝜎 =𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎

𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒=

𝑀𝑁

𝑚2= 𝑀𝑃𝑎

Para el análisis elegimos una viga con material que resiste por igual la trac-

ción y la compresión, por ejemplo la madera o el hierro.


165

Figura 7.15

La viga del esquema responde a apoyos simples con carga uniforme reparti-

da y con simetría de forma y de cargas (figura 7.15). La máxima solicitación a

flexión se da en la mitad de su longitud (l/2). Llamamos Mf (Momento Flector) a la

solicitación que dobla a la viga.

Figura 7.16

En el interior de la viga se crean cuplas resistentes cuya intensidad varían de

acuerdo al Mf externo (figura 7.16). La cupla de mayor intensidad se da en el punto

medio de la viga, sección (1-1): Me = ql2/8. La parte superior de la viga se encuen-

tra comprimida y la inferior traccionada. La distribución de los esfuerzos internos

(tensiones) tienen la forma triangular de la figura superior. Las resultantes de ese

volumen de tensiones es "C" para la compresión y "T" para la tracción.

𝑀𝑓 = 𝐶 ∙ 𝑧 = 𝑇 ∙ 𝑧

Para la geometría del volumen consideramos solo los esfuerzos de compre-

sión de la parte superior (figura 7.17).

Figura 7.17


166

Ese prisma se compone de fuerzas que se las denomina tensiones y considera

la cantidad de daN por centímetro cuadrado de superficie de la sección. Entonces el

valor de “C” será:

𝐶 = 𝜎 ∙ 𝑏 ∙ ℎ

2

1

2=

𝜎𝑏ℎ

4

La tensión “σ” que utilizamos es la de rotura, la máxima que soporta el ma-

terial en las fibras más alejadas. Esa resultante “C” se ubica a una distancia (2/3)h

de la resultante de tracción “T”. Esa cupla o resistencia interna a la rotura por

flexión se denomina “Mi”, momento interno.

En el instante de la rotura de la viga, las acciones externas superan a la resis-

tencia interna que forma la cupla, esta resistencia se denomina "flector nominal" o

"flector interno".

Rotura: Mf > Mi

Para que la viga resulte estable durante su función en el edificio, se debe

cumplirse que:

Estable: Mf < Mi

El modelo matemático de la cupla interna:

𝑀𝑖 = 𝐶𝑧 = 𝑇𝑧 =𝜎𝑏ℎ

4

2

3ℎ = 𝜎

𝑏ℎ2

6

Esto significa que resistencia límite de la viga (cupla interna) es igual a la

tensión de rotura multiplicada por una expresión que depende de la base y la altura

de la viga al cuadrado.

𝑀𝑖 = 𝜎𝑏ℎ2

6= 𝜎𝑊

Entonces el factor de proporcionalidad es:

𝑊 =𝑏ℎ2

6

Esta expresión se llama “Módulo resistente” de una viga de sección rectan-

gular. La fórmula final de la teoría de la flexión desde la tensión:

𝜎 =𝑀

𝑊

4.2. Incógnitas y datos.

Viga de apoyos simples y carga uniforme repartida (figura 7.16):

La ecuación anterior podemos escribirla con todos los parámetros que parti-

cipan en una viga. Tendremos cinco variables (tensión, carga, altura, ancho y longi-

tud), cuatro de ellas pueden ser datos y una la incógnita.

Para despejar la tensión máxima de trabajo de la viga:

𝜎 =𝑀

𝑊=

𝑞𝑙2

8

6

𝑏ℎ2=

𝑞𝑙2

1,33𝑏ℎ2


167

Para conocer la carga necesaria para determinadas condiciones:

𝑞 =1,33𝜎𝑏ℎ2

𝑙2

Para calcular la longitud admisible de una viga según los otros parámetros:

𝑙 = 1,33𝜎𝑏ℎ2

𝑞

Para dimensionar el ancho "b" de la sección rectangular:

𝑏 =𝑞𝑙2

1,33𝜎ℎ2

Para dimensionar la altura "h" de la sección rectangular:

ℎ = 𝑞𝑙2

1,33𝜎𝑏

Viga de apoyos simples y carga centrada al medio:

También tendremos cinco variables (tensión, carga, altura, ancho y longi-

tud), cuatro de ellas pueden ser datos y una la incógnita.

Para despejar la tensión máxima de trabajo de la viga:

𝜎 =𝑃𝑙

4

6

𝑏ℎ2=

1,5𝑃𝑙

𝑏ℎ2

Para conocer la carga necesaria para determinadas condiciones:

𝑃 =𝜎𝑏ℎ2

1,5𝑙

Para calcular la longitud admisible de una viga según los otros parámetros:

𝑙 =𝜎𝑏ℎ2

1,5𝑃

Para dimensionar el ancho "b" de la sección rectangular:

𝑏 =1,5𝑃𝑙

𝜎ℎ2

Para dimensionar la altura "h" de la sección rectangular:

ℎ = 1,5𝑃𝑙

𝜎𝑏


168

5. Momento de inercia.

5.1. General.

Al momento de inercia “I” se lo conceptua-

liza como la suma de los productos de las superfi-

cies por sus distancias al eje baricéntrico elevadas

al cuadrado. Consideramos una superficie elemen-

tal dF = b.dy que está a una distancia “y” del

baricentro (figura 7.18).

Figura 7.18

Entonces la sumatoria de la superficie elemental por su distancia al cuadrado

lo resolvemos con una integral:

𝐼𝑥𝑥 = 𝑑𝐹𝑦2+ℎ2

−ℎ2

= 𝑏𝑦2𝑑𝑦+ℎ2

−ℎ2

= 𝑏 𝑦3

3 −ℎ2

+ℎ2

=

=𝑏

3

ℎ

2

3

− −ℎ

2

3

−ℎ2

+ℎ2

= 𝑏

3 ℎ3

8+

ℎ3

8 =

𝑏ℎ3

12

Entonces:

𝐼𝑥𝑥 =𝑏ℎ3

12 𝑐𝑚4

La inercia puede ser aumentada según la forma y posición de la masa de

la pieza, el bambú presenta en su corte una sección circular hueca, esa configu-

ración le otorga una elevada resistencia al pandeo, además de sus nudos que

actúan como piezas de rigidez de las fibras (figura 7.19).

Figura 7.19

5.2. Relación entre el “W” y el “I”.

Sabemos que ambos provienen de maniobras aritméticas realizadas con la

base “b” y la altura “h”, entonces debe haber una relación entre ellos, hacemos

I/W:

𝐼

𝑊=

𝑏ℎ3

12𝑏ℎ2

6

=ℎ

2


169

𝐼 = 𝑊ℎ

2

El momento de inercia “I” resulta de multiplicar al módulo resistente “W”

por (h/2), la mitad de la altura de la viga.

6. Radio de giro “i”.

El radio de giro es una longitud cuya unidad puede ser el centímetro o el me-

tro. También es una entidad matemática que expresa una condición geométrica de

la sección, en realidad es parte del Momento de Inercia “I”.

El “I” es una longitud elevada a la cuarta potencia (m4), si la dividimos por

la superficie “S” de la figura nos quedará la unidad (m2). Si por fin le aplicamos

una raíz cuadrada conseguimos una distancia (m). Veamos, para una sección rec-

tangular:

𝑖 = 𝐼 𝑚4

𝑆 𝑚2 =

𝑏ℎ3

12

𝑏ℎ =

ℎ2

12=

ℎ

3,46𝑐𝑚

El significado de “i” está muy bien definido en el libro “Intuición y razona-

miento del diseño estructural” de Moisset, al decir que el radio de giro es una lon-

gitud que representa la distancia a la que habría que colocar la totalidad del área

para obtener el mismo momento de inercia que la sección maciza (figura 7.20).

Figura 7.20

La superficie total de la figura: S = bh

La mitad de esa superficie: S/2 = bh/2

La inercia de la sección maciza: bh3/12

Imaginemos una sección donde b = 10 cm y h = 20 cm.

El momento de inercia de masa total:

I = bh3/12 = 10 . 203 / 12 = 6.667 cm4


170

La misma inercia anterior la obtenemos usando el radio de giro:

I = 2 . (bh/2) . i2 = 2 . (10.20/2) . (20/3,46)2 = 6.667 cm2

La función o utilidad del “i” la veremos en el Capítulo 21 de “Pandeo”.

7. Relación entre la geometría y las cargas.

7.1. General.

En este espacio consideramos a la geometría de las secciones transversales

de las piezas estructurales de dos formas: superficie y forma. Por otro lado conside-

ramos las cargas también de dos maneras: aquellas que actúan en la misma direc-

ción que el eje longitudinal de la pieza (columnas) y las otras que descargan en

forma perpendicular a ese eje (vigas).

Con esta propuesta de geometría y cargas, vamos a ver la manera que se

combinan y obtendremos una interesante respuesta.

7.2. Cargas en la misma dirección que el eje.

Son los tensores o cables que trabajan a tracción, las cargas por su dirección

y sentido corrigen cualquier desviación de la pieza, son auto correctivas. La tensión

o esfuerzo dentro del material será:

𝜎 =𝑃(𝑘𝑁)

𝑆(𝑐𝑚2)=

𝑃(𝑀𝑁)

𝑆(𝑚2) =

𝑃

𝑆(𝑀𝑃𝑎)

Participa la superficie de la sección transversal. En el caso que las cargas se-

an de compresión, si la pieza es robusta y no exista excentricidad, la expresión del

esfuerzo es igual al del efecto de tracción: fuerza sobre superficie.

Resumen: la tensión es la relación de la carga con la superficie.

7.3. Cargas normales a la dirección del eje.

Son las piezas sometidas a flexión, las vigas. Veremos que ahora participa la

forma de la sección. En estos casos la tensión de trabajo en la sección media, será:

𝜎 =𝑀(𝑘𝑁𝑚)

𝑊(𝑐𝑚3)=

𝑀(𝑀𝑁𝑚)

𝑊(𝑚3) =

𝑀 𝑀𝑁

𝑊 𝑚2 =

𝑀

𝑊(𝑀𝑝𝑎)

Recordemos que:

𝑊 =𝑏ℎ2

6

Resumen: la tensión es la relación del Me con la forma "W" de la sección

transversal.


171

7.4. Pandeo.

En el suceso de pandeo aparece otra entidad: la relación entre la forma longi-

tudinal de la columna (altura de pandeo) con la forma transversal (radio de giro) y

nos cuantifica su esbeltez:

𝜆 =𝑠

𝑖

Cuando las columnas son muy esbeltas, las cargas de compresión producen

un fenómeno de inestabilidad geométrica que se llama pandeo. Mostramos en for-

ma directa la expresión matemática que lo representa, luego en capítulos próximos

desarrollamos la teoría. Para aliviar la lectura advertimos que la transcribimos solo

para ver como se relacionan las cargas con las formas y las características del mate-

rial.

La tensión crítica en pandeo:

𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝜋2𝐸

𝜆2(𝑀𝑝𝑎) =

𝜋2𝐸

𝑠2

𝑖2 (𝑀𝑝𝑎) =

𝜋2𝐸𝑖2

𝑠2(𝑀𝑝𝑎)

Complicada la fórmula. Observemos solo el último término; nos dice que la

tensión crítica, cuando la pieza ingresa en pandeo es función de:

π: pi.

E: Módulo de elasticidad del material (Mpa).

i: radio de giro (m).

s: altura de la columna (m).

Notable; no figura la carga, tampoco la superficie de la sección de columna.

Desde el aspecto geométrico, esta tensión es función:

Del radio de giro “i” que es una expresión matemática que indica la se-

paración teórica de las masas del material respecto del eje neutro.

De la altura “s” de la columna.

Del “Módulo de Elasticidad”, característico en cada material.

8. Resumen.

En todas las piezas donde actúas las cargas, el esfuerzo interior es una fun-

ción que tiene por variables la solicitación, la superficie y la forma.

En el caso de cargas simples (tracción y compresión): se toma la su-

perficie.

En el caso de flexión simple: se utiliza el módulo resistente "W".

En los casos de las elásticas de viga: se utiliza la rigidez "EI".

En los casos de pandeo: se adopta el radio de giro "i".


172

En todos los sucesos aparece la forma de la sección transversal de la pieza

interpretada de una u otra manera. Este tema de la dimensión longitudinal fue un

dolor de cabeza para los sabios del Renacimiento.

La discusión se presentaba también en la forma longitudinal. Se creía que un

cable aumenta su resistencia cuando mayor es su longitud. En realidad no aumenta,

pero surge un nuevo fenómeno que no se lo conocía en ésa época: la energía o el

trabajo. Sabemos ahora que el trabajo es el producto de la fuerza por su desplaza-

miento: en el cable corto el desplazamiento para la rotura es reducido. Para un ca-

ble muy largo por la propia elasticidad del cable, la fuerza debe desplazarse una

distancia mayor.

Si bien no es tema de este capítulo, es conveniente destacar la diferencia en-

tre “trabajo” y “energía”. El primero, el trabajo, dijimos que es el producto de la

fuerza por la distancia que se desplaza; es trabajo exterior. Pero en el interior de la

pieza ese trabajo se acopia; eso es energía de deformación acumulada. El trabajo

exterior se transforma en energía elástica interna en el edificio y en su estructura.

9. Aplicaciones

9.1. Columna de sección en "L"-

Mostramos columnas con secciones complejas, por ejemplo aquellas con

formas de tipo “L” (figura 7.21).

Figura 7.21

Para conocer el grado excentricidad de las cargas que sostienen estas colum-

na, es necesario calcular la posición de baricentro. De manera analítica se procede

como sigue y supongamos la columna con las siguientes dimensiones:

d1 = 60 cm. b2 = 20 cm

d2 = 40 cm b1 = 20 cm

Dividimos la superficie total en dos rectángulos:

S1 = 20 . 60 = 1.200 cm2 (d1.b2)

S2 = 20 . 20 = 400 cm2 (d2 - b2).b1

Superficie total St = 1.600 cm2

Usamos ejes coordenados (x-y) coincidente con los lados exteriores de la

sección de la columnas. Aplicamos la Ley de Momentos, ahora, en vez de fuerzas

maniobramos con superficies:


173

Según el eje x-x:

𝑆𝑖𝑦𝑖 = 𝑆1 ∙ 30𝑐𝑚 + 𝑆2 ∙ 10𝑐𝑚

𝑦 =1200𝑐𝑚2 ∙ 30𝑐𝑚 + 400𝑐𝑚2 ∙ 10𝑐𝑚

1600𝑐𝑚2 = 25 𝑐𝑚

Según el eje y-y:

𝑆𝑖𝑥𝑖 = 𝑆1 ∙ 10𝑐𝑚 + 𝑆2 ∙ 30𝑐𝑚

𝑦 =1200𝑐𝑚2 ∙ 10𝑐𝑚 + 400𝑐𝑚2 ∙ 30𝑐𝑚

1600𝑐𝑚2 = 15 𝑐𝑚

El baricentro de la columna se encuentra en la intersección de los nuevos

ejes x1 –y1. Es allí donde se debe ubicar el eje de las cargas superiores.

9.2. Diferencias entre circunferencia y anillo.

El tronco del bambú es hueco y con forma de circunferencia; es un anillo o

cilindro. Veamos cómo la naturaleza supo aprovechar la condición de la estática de

las formas. Suponemos las siguientes dimensiones del radio exterior e interior del

tronco:

r1 = 5 cm

r2 = 4 cm

De tabla 6 "Momento inercia y módulo resistente" (figura 7.22):

Figura 7.22

Superficie del anillo: S = 28 cm2

Módulo resistente: W = 58 cm3

Momento de inercia: I = 289 cm4

Realizamos la comparativa entre un tronco con igual superficie maciza que

la del anillo del tronco de bambú.

r = 3 cm

Superficie: = 28 cm2

Módulo resistente: W = 7 cm3

Momento de inercia: I = 64 cm4

La tacuara de bambú con su característica forma posee un módulo resistente

más de ocho veces que la rama maciza de igual superficie. Además tiene un inercia

superior a cuatro. La resistencia a flexión interna (Mi = σ.W) es función directa del

módulo; la capacidad de sostener las fuerzas horizontales de viento con la sección

hueca aumenta también ocho veces.


174

Figura 7.23

Para evitar el pandeo de sus largas fibras genera nudos separados unos 15 a

20 centímetros (figura 7.23).

9.3. Baricentro columna de hormigón.

Una columna de hormigón con lados de 20 centímetros posee una armadura

asimétrica, tal como se la muestra (figura 7.24).

Figura 7.24

De una lado fueron colocadas dos barras de diámetro 12 mm y del otro dos

barras de diámetro 16 mm. El módulo de elasticidad del acero es una once veces

superior al del hormigón, el momento estático respecto a la cara izquierda de las

superficies equivalentes de manera aproximada se resuelve:

Área equivalente barras 12 mm: Se = 1,13 . 2 . 11 ≈ 25 cm2

Área equivalente barras 16 mm: Se = 2,00 . 2 . 11 ≈ 44 cm2

Superficie total: 69 cm2.

Adoptamos como eje de referencia la cara izquierda de la columna y calcu-

lamos el momento estático de estas superficies.

Me = 25 . 17 cm + 44 . 3 cm = 557 cm3

Por ley de momentos calculamos la distancia del eje baricéntrico:

x = 557 / 69 = 8,07 cm

Desplazamiento del baricentro: xG = 10 - 8,07 = 1,93 cm

La carga sobre la columna es de 30 toneladas, con ese desplazamiento se

produce una flexión:


175

Mf = 1,93 . 30 = 57,9 tn cm = 57.900 daN cm = 579 daNm

Por este desplazamiento del baricentro la columna está solicitada por flexo

compresión.

9.4. Resistencia en flexión según la forma

El problema es determinar la carga última máxima que puede soportar la vi-

ga de apoyos simples con carga concentrada al medio, según la forma que se colo-

ca la sección transversal. (figura 7.25).

Figura 7.25

La sección rectangular de canto (figura 7.26).

Figura 7.26

Longitud de la viga: l = 5 metros.

Material: madera dura.

Tensión de rotura en flexión: 45 Mpa.

Lado “b”: 12,5 cm

Lado “h”: 25,0 cm

Momento flector externo: Mf = Pl/4

Momento de cupla interno: Mi = σW

W = bh2/6 = 12,5 . 252 / 6 = 1.302 cm3 = (1.302 cm3 / 1.000.000 cm3/m3)

Mi = 45 Mpa . 0,0013 m3 = 0,0585 Mpa . m3 = 0,0585 (MN/m2) . m3 =

0,0585 MNm = 58,5 kNm

La carga de rotura será:

Mi = Mf Mi = 58,5 kNm = Mf = Pl/4 = P . 5 / 4 = P . 1,25

P = 58,5 / 1,25 = 46,8 kN ≈ 4.680 kg

Esta es la carga que lleva a la rotura a la viga. Luego, en el capítulo de es-

fuerzos internos vamos a desarrollar el concepto de tensión admisible y coeficiente

de seguridad para el dimensionado final de las piezas.

La sección rectangular apaisada (figura 7.27).

El módulo resistente "W" se reduce a la mitad al girar 90° la sección, lo ve-

mos:

Figura 7.27


176

Lado “b”: 25,0 cm

Lado “h”: 15,5,0 cm

W = bh2/6 = 25,0 . 12,52 / 6 = 651 cm3 = (651 cm3 / 1.000.000 cm3/m3)

Mi = 45 Mpa . 0,00065 m3 = 0,02925 Mpa . m3 = 0,02925 (MN/m2) . m3

= 0,02925 MNm ≈ 29,25 kNm

La carga de rotura será:

Mi = Mf Mi = 29,25 kNm = Mf = Pl/4 = P . 5 / 4 = P . 1,25

P = 29,25 / 1,25 ≈ 23 kN = 2.340 kg

La carga de rotura se reduce a la mitad.

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Estáticas de las formas.cj000528.ferozo.com/introduccionalasestruturas2016/ie7... · · 2017-01-05... sección constante, variables altura y base. ... en el esquema de la izquierda