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Deduccin de la Ecuacin de Euler Lagrange utilizando Clculo Elemental

Este trabajo, de carcter didctico, va dirigido a los alumnos de Mecnica, Fsica y Clculo. Su objetivo es mostrar la aplicacin de las herramientas del Clculo elemental para deducir una de las ecuaciones ms importantes de la Fsica.Nos hemos basado en Deriving Lagranges Equation Using Elementary Calculus por Josef Hanc, Edwin F. Taylor y Slavomir Tuleja.

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Lagrange (1736- 1813) y Euler (1707- 1783) fueron dos matemticos eminentes que aportaron enormemente a la ciencia. Utilizando cada uno sus propios procedimientos para encontrar el extremo de una integral dedujeron una de las frmulas ms importantes de la Mecnica, base de su formulacin Variacional. [1]

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Dos Formulaciones de la MecnicaVECTORIAL, se ocupa en determinar todas las fuerzas que actan en una partcula.

VARIACIONAL, se basa en la diferencia entre la Energa Cintica y la Energa Potencial de una partcula.4

La Braquistcrona, Ejemplo Clsico del Empleo del Clculo VariacionalBrachistos y Cronos significan en griego- Corto y Tiempo, respectivamente.La Braquistcrona es la curva de descenso ms rpido.El problema fue originalmente expuesto al pblico por Johannes Bernoulli en 1686.

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Enunciado del Problema de la BraquistcronaDentro de la infinita cantidad de formas que puede tener, descubrir la que debe describir una canaleta, M, por donde se deslizar una cuenta, para que, partiendo del punto a llegue al punto b, situado ms abajo, (pero no debajo del punto a), en el menor tiempo (Fig. 1).

a

b

M

Fig. 16

Arte diablico es puede decir uno parafraseando a Moratn, hallar dentro de todas las formas posibles aquella que minimice el tiempo de recorrido. Sin embargo, adems de J. Bernoulli, tres endiablados matemticos encontraron la respuesta: tanto su hermano James como Newton y Leibniz. La curva determinada result ser una Cicloide, la cual se obtiene integrando:

en donde g es la aceleracin de la gravedad.7

Sin embargo esta solucin no era general, y por lo tanto, el establecimiento de una teora que cubra el conjunto de problemas variacionales era una necesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella.

Su mtodo se bas en la utilizacin de la ecuacin que lleva sus nombres, pero el camino que cada uno tom para descubrirla no fue el mismo y de eso nos ocupamos en las lminas que siguen.

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El primero, Lagrange, utiliz un enfoque analtico [2] y su procedimiento desborda al Clculo tradicional.

Lagrange, para su hallazgo-realizado a los 19 aos de edad!- se apoy en el Principio de Mnima Accin [3] y en su invencin, el Clculo de Variaciones. El segundo, Euler, se encuadr dentro del Clculo, emple una visualizacin geomtrica (su propio diagrama es el de la figura 2) y utiliz el anlisis infintesimal.

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Nosotros nos enfocaremos en el trabajo de Euler.

El carcter explcito de su plan de ataque constituye una excelente herramienta didctica.

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Brevemente, su programa consiste en:Dividir a la curva a-z en intervalos finitos, (Fig. 2). Esta curva representa, por hiptesis, un trayecto extremo. Por ejemplo, puede ser la forma que debe de tener la proa de un submarino para tener la resistencia mnima al agua.

Reemplazar por una suma a la integral a ser minimizada.

Evaluar la suma en M y N (Fig. 2) donde se produce una variacin en la ordenada (de N-n hacia N-v).

Fig. 2Variacin11

El ejemplo de la Braquistcrona nos ayudar a entender lo que significa una variacinSabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendr que recorrer una ruta muy particular y nica para cubrir la distancia en el menor tiempo. Pero as como toma ese camino, es posible imaginar que puede decidirse por otros. A las rutas alternas que se diferencian de la que por hiptesis es la correcta, se les llama variaciones. Euler tom una variacin (ordenada de N-n a N-v en la figura 2) y utilizando un razonamiento muy similar al que veremos a continuacin, compar los trayectos para finalmente descubrir su frmula [4].

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Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrollo utilizaremos dos principios establecidos por los pioneros del Clculo de Variaciones [5] :Principio 1. Cualquier variacin o desvo infinitesimal alrededor de un extremo, es proporcional a (x)2por lo que se puede tomar como nula.Principio 2. Si una curva que representa un trayecto entre dos puntos es una curva extrema (sea mxima o mnima), entonces cualquier segmento tendr las mismas caractersticas, es decir, ser extremo tambin.

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Es muy importante comprender el Principio 1, por lo que lo explicaremos al detalle.Supongamos que necesitamos estimar el valor de f(x) en un punto cercano a , y para ello utilizamos la aproximacin cuadrtica,

Supongamos, adems, que est situada en un

extremo. Entonces, y por la razn de que = 0 en ese punto, la expresin anterior puede escribirse as:

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donde vemos claramente que la diferencia entre

, que es , depende de

un infinitsimo al cuadrado, .

Refirindonos otra vez al grfico de la figura 2, la variacin v, que Euler imprime a la curva a-z, es de segundo orden (est situada sobre un trayecto que, por hiptesis es ya un mnimo) y por lo tanto su diferenciacon el segmento m-o, es, en la prctica, nula. Nota: a esto es lo que se refieren los matemticos cuando dicen ignoremosla variacin de segundoorden.

Fig. 215

En palabras del Marqus de LHpital, dos cantidades que difieren entre s infinitesimalmente, pueden tomarse por iguales; con mayor razn si la diferencia es un infinitsimo al cuadrado [6]. En efecto, el Anlisis Infinitesimal moderno, el cual se basa en la Teora de las Categoras, tiene como elemento fundamental al infinitsimo. Dentro de este anlisis el infinitsimo de segundo grado es llamado nilpotente y se define como idntico a cero.

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La idea fundamental del Clculo de Variaciones es el estudio entre un mnimo y su entorno, pero en este caso el mnimo no es un punto; es ms bien una funcin integral que describe un trayecto. Para estudiar dicha diferencia infinitesimal,Se asume una ruta mnima dada como correcta- que existe dentro de una familia de rutas.Se compara la correcta con otra apenas alejada de ella.Por la razn de que la correcta es, por hiptesis, un trayecto mnimo, cualquier diferencia es proporcional a un infinitsimo al cuadrado y por lo tanto, despreciable.

Repaso a guisa de aclaracin:17

Notemos que, contrariamente a encontrar el mnimo de una funcin, el tema de la Curva de Menor Tiempo consiste en hallar la funcin mnima dentro de un conjunto infinito de posibilidades. En otras palabras, buscar el extremo de la funcin f(x) (un tema del Clculo) no es lo mismo a buscar aquella funcin y = f(x) que

haga que la integral sea un extremo (un

tema del Clculo de Variaciones).

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En la prctica (cf. la integral de la Braquistcrona), la expresin depende de y, y, y en muchos casos, de x tambin, razn por la cual los problemas variacionales se generalizan con una funcin F de tres variables,

F = F ( y, y, x)

y la integral definida,

que se busca minimizar.

Con esto en mente, regresemos al trabajo de Euler.

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Retomando los pasos de Euler,Primero dividimos la curva a-z (Fig. 2) en intervalos finitos y escogemos dos puntos cualesquiera, Xk , Xk+1. Por la razn de que han sido escogidos arbitrariamente, el Segundo Principio nos asegura que sea donde quiera que estemos sobre la curva a-z, siempre estaremos en un segmento extremo.

Segundo, reemplazamos la integral a ser minimizada por una suma:

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Tercero, evaluamos la suma en x k y xk+1 justo donde est la variacin v, para formar los elementos Lk y Lk+1 siendo,

y Estas son las funciones cuya estructura trataremos de dilucidar cuando se alejan respecto a la ordenada y en una cantidad infinitesimal de segundo orden.

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Con tal fin, derivamos con respecto a yk,

=

Arreglando trminos,

o, lo que es lo mismo,, ypor la razn de que,22

Operando de la misma manera con Lk+1 y teniendo en cuenta que la pendiente del segmento v o es negativa, obtenemos,

Como buscamos el comportamiento de todo el segmento m-o, sumamos y, para encontrar

la diferencia mnima, igualamos a cero:

+

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Arreglando nuevamente trminos y teniendo en cuenta que obtenemos:

Recordando que estamos tratando con cantidades tan cercanas como queramos [7], finalmente escribimos la ltima expresin como

que no es otra que la famosa Ecuacin de Euler-Lagrange.

Ren F. Gastelumendi, 5 de Diciembre de 2004 / 5 de Febrero de 2005.24

Referencias [1] A diferencia de la formulacin vectorial de Newton que se ocupa en determinar todas las fuerzas que actan en una partcula, la variacional o analtica se basa en la diferencia entre la Energa Cintica y la Energa Potencial de una partcula.

[2] Un orgullo de Lagrange fue escribir su tratado Mecnica Analtica, sin utilizar una sola figura.

[3] Maupertuis, en 1746, reflexionando sobre la perfeccin de la Naturaleza enuncia que dicho ideal debera de incluir una economa en la administracin de la energa y postul su principio basado en una cantidad llamada por l, Accin. Para un objeto que se desplaza en un campo de fuerzas conservativas se define como el producto del tiempo, t, multiplicado por su vis viva, mv2 -el doble de la energa cintica. Este producto debe de ser siempre un mnimo, o tener una Mnima Accin.

[4] Ver Cornelius Lanczos - The Variational Principles of Mechanics, para una breve exposicin de la deduccin de Euler.

[5] Ver Woodhouse A History of the Calculus of Variations in the Eighteenth Century.

[6] Citado en la p 241 de The Mathematical Experience de Hersh y Davis, primera edicin.

[7] El primer trmino lo podemos interpretar como el punto medio en v del segmento m-o 25