Eva le dice a Beatriz: “Tengo un buen montón de cubitos de 1 cm de arista y con ellos he formado cubos mayores de 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... cm de arista. A continuación he pintado las seis caras de estos cubos mayores. Adivina cuál es el cubo que tiene la misma cantidad de cubitos con una sola cara pintada, que sin ninguna.”

¿Cuántos cubitos forman el cubo que tiene que adivinar Beatriz? Razona tu respuesta

Problema nº 5: PINTANDO CUBOS

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Solución:

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Comenzamos con 1 cubito:

• Lógicamente va a tener todas sus caras pintadas.

Vamos a ver que ocurre con el cubo de lado 2:

• En este caso todos los cubitos tendrán tres de sus caras pintadas.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Continuamos con el cubo de lado 3:

Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con:

Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda:

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Continuamos con el cubo de lado 4:

Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con:

Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda:

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Continuamos con el cubo de lado 5:

Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con:

Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda:

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Vamos a observar que ha ocurrido con los cubos:

n=5

n=4

n=3

n=2

6·(5-2)2

6·(4-2)2

6·(3-2)2

6·(2-2)2

(5-2)3

(4-2)3

(3-2)3

(2-2)3

Cubos de lado n Cubitos 1 cara pintada Cubitos 0 caras pintada

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Vemos que en cada una de las caras del cubo, los cubitos con una sola cara pintada, si quitamos los cubitos que tienen dos o tres caras pintadas, es igual al cuadrado del número de cubitos de la arista menos 2.

Es decir, cubitos con una cara pintada: (n-2)2

El total de cubitos con una cara pintada será: 6·(n-2)2

El total de cubitos con ninguna cara pintada será: (n-2)3

Como se nos pide que cuál es el cubo que tiene igual cantidad de cubitos con ninguna cara pintada que con una sola cara pintada. Luego tendremos que 6·(n-2)2 =(n-2)3

De donde 6=n-2 por tanto n=8

Luego necesitaremos 83 cubitos pequeños, es decir 512 cubitos de 1cm de arista.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Vamos a verificarlo con una tabla:

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Solución:

EnunciadoEnunciado

HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...

… pero ¿habrá más formas de calcularlas?

El cubo que buscamos es el formado por 8 cubitos en cada lado.

Luego necesitamos 83 cubitos pequeños, es decir:

512 cubitos de 1 cm de arista

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