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Examen de Estadística II

Facultad Politécnica UNA

Prof. Emilio Ramón Ortiz Trepowski

Junio de 2010

Final

Total de puntos: 125 puntos. Tiempo: 2 horas.

1. (25 puntos) Sea x cualquier punto en el intervalo 0, y 00

xP x x para

cualquier 0x en ese intervalo. Definamos el conjunto de todos los puntos en el

intervalo 0 01 1,x xn n

como .nA Muestre que nA es una secuencia monotónica.

¿Es creciente o decreciente? ¿Cuál es conjunto límite de nA ? Compute .nP A

Derive las consecuencias del Teorema 2.9. (que se recuerda más abajo) para la

secuencia de conjuntos.

Ayuda: Teorema 2.9.

Si 1 2, ,..., ,...nA A A es una secuencia monotónica, entonces:

lim limn nn nP A P A

2. (15 puntos) Se dice que tres eventos, A, B y C, son mutuamente independientes si:

,

,

,

.

P AB P A P B

P BC P B P C

P AC P A P C

P ABC P A P B P C

Suponga que una moneda simétrica se lanza dos veces de forma independiente. Defina los siguientes eventos: A: Aparece una cara en el primer lanzamiento. B: Aparece una cara en el segundo lanzamiento. C: Los dos lanzamientos arrojan el mismo resultado. ¿Son A,B y C eventos mutuamente independientes?

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3. (25 puntos) Se tiene la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta para las variables aleatorias 1Y y 2Y , las cuales representan las proporciones de dos sustancias

en una muestra de una mezcla de insecticida:

1 2 1 21 2

2, 0 y 1, 0 y 1, 0 y 1,

0, en cualquier otro puntoy

f y y (1.1)

Una cantidad importante para los productos químicos en cuestión es la proporción

total de químicos 1 2Y Y encontrada en cualquier muestra. Calcule 1 2E Y Y y

1 2 .V Y Y

4. (20 puntos) En un invernadero se instalan 25 lámparas caloríficas de tal manera que si

una falla, se enciende otra automáticamente (una a la vez). Las lámparas funcionan en forma independiente y cada una tiene una vida media de 50 horas y una desviación estándar de 4 horas. Si no se practica ninguna inspección en el invernadero durante un período de 1300 horas después de encender el sistema de lámparas, ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas se funda al término del período de 1300 horas?

5. (20 puntos) Suponga que 1Y y 2Y están uniformemente distribuidas en el triángulo

sombreado de la siguiente figura.

a) Encuentre 1 23 / 4, 3 / 4 .P Y Y

b) Encuentre 1 2 0 .P Y Y

6. (20 puntos) Si Y es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de

probabilidad

2 1 , 0 y 10, en cualquier otro punto

yf y (1.2)

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Encuentre la función de densidad de 1 2U Y y halle la .E U