EXAMEN Febrero 2010 Tiempo 90 minutos

EJERCICIO 1 (10 puntos)

Te piden que dimensiones, utilizando el método racional, los colectores AB y BC de la red de saneamiento unitaria de la urbanización que aparece en la Figura 1 y que está situada en Logroño (Fig. 2). Debido a su escasa contribución a los caudales punta, decides despreciar los caudales de aguas negras. 1.- La lluvia de cálculo tiene un 20 % de probabilidad de que no sea excedida durante la vida útil del proyecto N (= 25 años). ¿Podrías calcular el tiempo de retorno T para el diseño hidrológico con estos datos? (1.5 puntos) 2.- Construye una función Intensidad-Duración para el proyecto, utilizando el método de la Dirección General de Carreteras DGC (no tienes que dibujarla, sólo construirla). El mapa de la Fig. 1 incluye las iso-líneas del parámetro (I1h / I24h) que necesitas para construir la curva I-D del proyecto. Para construir esta curva I-D, consigues una serie de datos de lluvia diaria de 20 años recogida en una estación pluviométrica en la zona de estudio. Seleccionas los máximos anuales de intensidad media diaria (I24h) de los 20 años, y calculas la media muestral x y la desviación estándar sx de los máximos anuales. Encuentras que x = 43 mm/día, y sx = 12.14 mm/día respectivamente. Supones que los valores extremos siguen una distribución de Valores Extremos tipo I (o distribución de Gumbel). (2 puntos) 3.-Dimensiona los colectores AB, BC, con el método racional (6.5 puntos). En el diseño decides utilizar tuberías circulares de hormigón con un coeficiente n de rugosidad de Manning igual a 0.014. La superficie, tiempos de entrada y los coeficientes de cada una de las subcuencas aparecen en la Tabla 1..

El caudal de diseño debe ser aproximadamente un 85% del caudal circulante en la tubería en régimen completamente lleno. Utiliza esta condición para determinar el diámetro nominal, que debes elegirlo ente los siguientes diámetros comerciales, DN(mm) 500; 600; 700; 800; 1000; 1200; 1400; 1500; 1600; 1800 Comprueba que la velocidad del agua en los colectores satisface los criterios de velocidad máxima (5 m/s) y velocidad mínima (0.6 m/s).

Cuenca Área (has) Tiempo de entrada (minutos)

Coeficiente de escorrentía C

1 9 22 0.700 2 6 11 0.600 3 7 15 0.500

Figura 1. Mapa de localización con isolíneas del parámetro I1h/I24h utilizado en el método de la dirección general de carreteras DGC.

Figura 2. Croquis de la urbanización y diseño de la red principal de alcantarillado.

Zona de estudio

Algunas fórmulas que necesitarás 1) Método de la Dirección General de Carreteras –

1.0)(679.1529.3

) min;1440() min;60(

) min;1440() ;(

t

M

M

M

M

i

i

Ti

Tti∆−

−

−=

∆con ∆t en minutos

2) Función de distribución de Gumbel

α

πα

α

5772.0

6

expexp)()(

−=

=

−−−=≤=

xu

s

uxxXPxF

x

donde sx = desviación estándar y x = media muestral. 3) Ecuación de Manning

3/82/1311.0DS

nQ

≈

donde Q es el caudal, n es el factor de rugosidad de Manning, S es la pendiente y D el diámetro de la tubería. 4) Tablas de Thormann y Franke.

A.- CÁLCULO DEL PERIODO DE RETORNO: Sea “p” la probabilidad de un evento extremo: p=P (X ≥≥≥≥ xT)

Esa probabilidad está relacionada con el periodo de retorno T en la forma: p=1/T

Por tanto, la probabilidad de no ocurrencia de un evento extremo, para un año, será:

Para N años, vida útil del proyecto, la probabilidad de no ocurrencia de la lluvia de

cálculo es:

En el caso que nos ocupa:

- Periodo de vida útil del proyecto es de: N=25 años.

- Probabilidad de no ocurrencia de la lluvia de cálculo para N=25 años:

P (X < xT)=20%

Sustituyendo en esa expresión:

( )25

10,2 1TP X x

T

< = = −

→

1

25 10.2 1

T= − → 16,0387T = años

2.- CONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN INTENSIDAD - DURACIÓN: Suponemos que los valores extremos siguen una distribución de Valores Extremos

tipo I (o distribución de Gumbel), que tiene la forma:

donde:

Vamos a obtener el valor de precipitación xT para el periodo de retorno T:

Nos dan como datos la media muestral y la desviación estándar:

43x = /mm día

12,14Sx = /mm día

Obtenemos el valor de los parámetros α y u:

6 6 12,149,4655

Sxα

π π

⋅ ⋅= = =

0,5772 43 0,5772 9,4655 37,5365u x α= − ⋅ = − ⋅ =

Hallamos el valor de la precipitación media máxima:

16,0387ln ln ln ln 2,74298

1 16,0387 1T

Ty

T

= − = − =

− −

9,4655 2,74298 37,5365 63,5T Tx y uα= ⋅ + = ⋅ + = /mm día

La precipitación media máxima para un periodo de retorno T = 16,0387años es

Tx = 63.5 /mm día

CURVA INTENSIDAD – DURACIÓN

La DGC nos propone la siguiente relación:

donde:

: Intensidad media máxima para una duración ∆t y un período de retorno T.

: Intensidad media máxima durante 24 h y un período de retorno T.

∆t :Duración (minutos) del intervalo al que se refiere la intensidad.

:Parámetro que representa la relación de la intensidad horaria con la diaria

del mismo período de retorno.

De la figura 1, obtenemos el valor del parámetro I60min/I24h, que para Logroño es:

(60 min; )10

(24 ; )M

M

i

i h

−=

−

La para T=16,0387 años es:

(24 ; ) 63,5 / 2,6458 /Mi h T mm día mm h= =

Por tanto, la expresión que nos proporciona la intensidad media máxima (en mm/día)

para una duración t∆ y un periodo de retorno T=16,0387 años es:

0.13,529 1,679( )( ; ) 63,5 10 t

Mi t T− ∆

∆ = ⋅ , con t∆ en minutos

Y esta en la función Intensidad – Duración que buscábamos.

3. DIMENSIONAMIENTO DE LA RED.

Debido a su escasa contribución a los caudales punta, se decide despreciar los

caudales de aguas negras.

Vamos a calcular cada uno de los tramos por el método racional.

TRAMO AB:

En este tramo únicamente vierte la cuenca 1, en el punto de concentración A.

Dado que no hay tiempo de recorriendo, el tiempo de concentración será el tiempo de

escorrentía de la cuenca 1:

1 22 minc et t= =

La intensidad de lluvia para una duración igual a ese tiempo de concentración es:

0.13,529 1,679(22)63,5 10 1108, 23687 / 46,1765 /Mi mm día mm h−

= ⋅ = =

Para obtener el caudal en 3 /m s , hacemos el siguiente cambio de unidades:

sha

m

ha

m

ms

m

s

m

mm

m

s

h

h

mm

h

mm

⋅=×

×=

×=××=

− 32

2

3

66

3

360

1100001

106.3

1

106.3

110

3600

111

Por tanto la intensidad de lluvia que hemos calculado sería:

0.13,529 1,679(22) 363,5 10 1108,23687 / 46,1765 / 0.1283 /Mi mm día mm h m s Ha−

= ⋅ = = = ⋅

Según el Método Racional, el caudal de lluvia puede calcularse como:

Q C I A= ⋅ ⋅

donde:

C es el coeficiente de escorrentía.

I es la intensidad de lluvia máxima ( 3 /m s Ha⋅ ) para una duración igual al tiempo de

concentración y un periodo de retorno T.

A es el área de la cuenca (Ha)

Q es el caudal de lluvia (m3/s) Así, el caudal de lluvia debido a la cuenca 1 es:

1 3 30,7 0,1283 / 9 0.8083 /Q m s Ha Ha m s= ⋅ ⋅ ⋅ =

Como nos dicen que la relación entre el caudal de diseño y el caudal para la tubería

llena debe ser del 85%:

31 0,80830,9509 /

0.85 0,85ll

QQ m s= = =

Usando la Fórmula de Manning, podemos obtener el diámetro correspondiente a este

caudal:

8

30,311Q S D

n= ⋅ ⋅ →

3

8

0,311

Q nD

S

⋅=

⋅

En nuestro caso:

3

80,9509 0,0141,12

0,311 0,001D m

⋅= =

⋅

Tomaremos como diámetro nominal: 1200nD mm=

Para este diámetro nominal, el caudal que puede transportar la tubería llena es

(utilizando de nuevo Manning):

8 833 30,311 0,311

0,001 1, 2 1,1423 /0,014llQ S D m s

n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

La velocidad media cuando la tubería va llena es:

2

1,14231,01 /

1,24

llll

QV m s

A π= = =

⋅

La velocidad cuando transporta el caudal de diseño es:

1 0,80830,7076

1,1423ll

Q

Q= =

Thormann Franke−→ 1,06

ll

V

V= →

1,06 1,06 1,01 1,07 /llV V m s= ⋅ = ⋅ =

� Cumple, por tanto, la condición que la velocidad < 5 m/s y mayor que 0.6 m/s.

Por último, el tiempo de recorrido del colector AB será:

300280,37 4,673min

1,07r

Lt s

V= = = =

TRAMO BC:

En este tramo vierten las cuencas 1, 2 y 3.

El tiempo de concentración global será el máximo de los tiempos de concentración de

cada recorrido.

• Recorrido 1: AB � Cuenca 1 � 1 1 22 min 4,673min 26,673minAB

c e rt t t= + = + =

• Recorrido 2: Cuenca 2 � 2 2 11minc et t= =

• Recorrido 3: Cuenca 3 � 3 3 15minc et t= =

El tiempo de concentración es: { }1 2 3, , 26,673minc c c c

t máx t t t= =

La intensidad de lluvia para una duración igual al tiempo de concentración global es:

0,13,529 1,679 (26,673) 363,5 10 1000,3527 / 41,6814 / 0,11578 /I mm d mm h m s Ha− ⋅

= ⋅ = = = ⋅

Calculamos el caudal de lluvia mediante el Método Racional.

Q C I A= ⋅ ⋅

Dado que tenemos varias subcuencas con diferentes coeficientes de escorrentía,

obtendremos un coeficiente genérico mediante una ponderación en función de la

superficie de cada cuenca.

1 0,7 9 0,6 6 0,5 70,6091

9 6 7

n

i

T

Ci Ai

CA

=

⋅⋅ + ⋅ + ⋅

= = =+ +

∑

Así, el caudal de lluvia para el tiempo de concentración global será:

1,2,3 3 30,6091 0,11578 / 22 1,5515 /lluviaQ m s Ha Ha m s= ⋅ ⋅ ⋅ =

1,2,3 31,5515 /lluvia lluviaQ Q m s= =

Como no consideramos caudal de aguas negras, este será el caudal de diseño del

colector BC.

Nos dicen que la relación entre el caudal de diseño y el caudal para la tubería llena

debe ser del 85%.

31,55151,8253 /

0,85 0,85ll

QQ m s= = =

Usando la ecuación de Manning, podemos obtener el diámetro correspondiente a ese

caudal:

8

30,311Q S D

n= ⋅ ⋅ →

3

8

0,311

Q nD

S

⋅=

⋅

En nuestro caso:

3

81,8253 0,0141,43

0,311 0,001D m

⋅= =

⋅

Tomamos como diámetro nominal: 1500ND mm=

Para este diámetro nominal, el caudal que puede transportar la tubería llena es:

8 833 30,311 0,311

0,001 1,5 2,0711 /0,014llQ S D m s

n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

La velocidad media cuando la tubería va llena es:

2

2,07111,172 /

1,54

llll

QV m s

A π= = =

⋅

La velocidad media cuando transporta el caudal de diseño es:

1,55150,75 1,07

2,0711Thormann Franke

ll ll

Q V

Q V

−= = → = →

1,07 1,172 / 1,254 /V m s m s= ⋅ =

Por tanto, se cumple que la velocidad de circulación es < 5m/s, y mayor que 0.6 m/s