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Examen Final de Estadística II

Facultad Politécnica UNA

Prof. Emilio Ramón Ortiz Trepowski

Total de puntos: 155 puntos. 5 temas. Tiempo máximo 2 horas y media. Éxitos.

1. Gregor Mendel fue un monje que propuso en 1865 una teoría de la transmisión hereditaria basada en la genética. Identificó individuos heterocigóticos que portaban dos genes alelos para el color de las flores (un r alelo recesivo para el color blanco y un R alelo dominante para el color rojo). Al cruzar a estos individuos se observó que 3 / 4 de los descendientes tenían flores rojas y 1/ 4 flores blancas. La siguiente tabla presenta los resultados del cruce: cada progenitor da uno de sus alelos para formar el gen del descendiente. Progenitor 2 Progenitor 1 r R r rr rR R Rr RR Supongamos que existe la misma probabilidad de que cada progenitor dé uno de los dos alelos y de que el descendiente tenga flores rojas si uno o dos de los alelos que

forman un par es dominante .R

a) (15 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un descendiente tenga por lo menos un alelo dominante?

b) (15 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un descendiente tenga por lo menos un alelo recesivo?

c) (15 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un descendiente tenga un alelo recesivo, dado que el descendiente tiene flores rojas?

2. La vida útil de cierta clase de fusibles se modela con la distribución exponencial

/31 , 0

30, en cualquier otro punto

ye yf y (1.1)

(Las medidas de tiempo se expresan en cientos de horas.) a) (15 puntos) Si los dos fusibles tienen vidas útiles 1Y y 2Y independientes, encuentre

la función de densidad de probabilidad conjunta de 1Y y 2Y .

b) (10 puntos) Uno de los fusibles del inciso a) está colocado en un sistema principal y el otro en un sistema de reserva que comienza a funcionar sólo si falla el sistema principal. Por lo tanto, la vida útil de los dos fusibles es de 1 2Y Y . Calcule

1 2 1 .P Y Y

2

3. (25 puntos) El tiempo que se requiere para dar mantenimiento periódico a un automóvil, u otra máquina, por lo general posee una distribución de probabilidad acampanada. Esta distribución tiende a sesgarse a la derecha debido a que los tiempos de servicio a veces se prolongan. Suponga que el tiempo que se necesita para dar servicio a un automóvil nuevo con 5000 millas de recorrido tiene una media de 1,4 horas y una desviación estándar de 0,7 horas. Suponga también que el departamento de servicio planea dar mantenimiento a 50 automóviles en una jornada de 8 horas; por lo tanto, sólo puede dedicar un promedio máximo de 1,6 horas a cada uno. ¿Cuántos días tendrá que trabajar horas extras el departamento de servicios?

4. (25 puntos) Suponga que se observan dos muestras aleatorias independientes:

1 2, ,..., ,nY Y Y denota una muestra aleatoria tomada de una distribución normal con

media 1 y varianza 21 ; y 1 2, ,..., mX X X , denota una muestra aleatoria tomada de

otra distribución normal con media 2 y varianza 22 . La diferencia entre las medias

muestrales, Y X , constituye una aproximación de 1 2 . Calcule E Y X y

V Y X .

5. Si Y tiene una distribución binomial con parámetros n y p , entonces 1Ypn

es un

estimador insesgado de .p Otro estimador de p es 2

1.

2Y

pn

a) (15 puntos) Deduzca el sesgo de 2.p

b) (10 puntos) Obtenga el error cuadrático medio de 1p y el error cuadrático medio

de 2p .

c) (10 puntos) ¿Para qué valores de p se satisface la relación

1 2MSE p MSE p ?