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Examen 1 Liga de Matem´aticas UNAM 2016-1 1. Aldo y Berenice juegan un juego con dos montones de fichas. En su turno cada jugador debe tomar el mont´on con menos fichas (en caso de empate puede elegir cualquiera de los dos) y las elimina (se retiran del juego). A continuacion debe repartir todas las fichas del mont´ on restante en dos montones con al menos una ficha cada uno. Si un jugador no es capaz de hacer esto en su turno, el juego acaba y se le declara perdedor, al otro jugador se le declara ganador. En este juego Aldo siempre empieza. A continuacion se exhibe un juego posible cuando los montones inician con 5 y 1 fichas: (5, 1) (3, 2) (1, 2) (1, 1) Como se puede ver, en el primer turno Aldo elimina el mont´ on con una ficha y distribuye las cinco fichas restantes en dos montones, de 3 y 2 cada uno. Despu´ es de esto Berenice elimina el mont´ on con dos fichas y distribuye las tres fichas restantes en dos montones, de 1 y 2 fichas cada uno. Finalmente Aldo elimina el mont´ on con una ficha y distribuye las dos fichas restantes en dos montones, ambos con una ficha. En este momento Aldo se convierte en el ganador, pues Berenice es incapaz de eliminar un mont´ on y despu´ es formar dos montones con al menos una ficha cada uno, pues solo quedar´ ıa una ficha restante. Supongamos que el juego empieza con un mont´ on de n fichas y un mont´on de una ficha. Encuentre los valores de n en los que Aldo tiene estrategia ganadora y los valores de n en los que Berenice tiene estrategia ganadora. 2. Sea α un real positivo e irracional. Encuentre todas las funciones continuas f : R R tales que f (x)= f (x + α) para todo x R y la sucesi´ on {f (n)|n Z + } converge. 3. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, llamemos S A al conjunto de biyecciones con dominio y codo- minio A. ¿Para cu´antas funciones f S A existe g S A tal que f = g g? 4. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita sobre el campo F y T unatransformaci´on lineal T : V V . Dado un polinomio P = a n x n + a n-1 x n-1 + ...a 0 con coeficientes en F definimos P T : V V como sigue: para x V tenemos P T (x)= a n (T n (x)) + a n-1 (T n-1 (x)) ··· + a 0 (T 0 (x)), donde T 0 (x)= x para todo x V y T n = T n-1 T para n Z + . Demuestre que existe v 0 V tal que para cualquier polinomio Q con coeficientes en F , si Q T (v 0 ) = 0, entonces Q T (v) = 0 para todo v V . 5. Se construye una familia B i de sucesiones finitas de n´ umeros positivos de forma recur- siva como sigue: B 1 =1, 1 y en general B n se obtiene a partir de B n-1 insertando el n´ umero n entre todas las parejas consecutivas de B n-1 que suman n. A continuaci´ on se encuentra B i explicitamente para algunos valores de i: B 2 =1, 2, 1 B 3 =1, 3, 2, 3, 1 B 4 =1, 4, 3, 2, 3, 4, 1 B 5 =1, 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 1¿Cu´antas veces aparece 2015 en B 2015 ? 1

Examen1 Liga universitaria de matematicas

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primer exámen de entrenamiento

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Examen 1 Liga de Matematicas UNAM 2016-1

1. Aldo y Berenice juegan un juego con dos montones de fichas. En su turno cada jugadordebe tomar el monton con menos fichas (en caso de empate puede elegir cualquiera delos dos) y las elimina (se retiran del juego). A continuacion debe repartir todas lasfichas del monton restante en dos montones con al menos una ficha cada uno. Si unjugador no es capaz de hacer esto en su turno, el juego acaba y se le declara perdedor,al otro jugador se le declara ganador. En este juego Aldo siempre empieza.

A continuacion se exhibe un juego posible cuando los montones inician con 5 y 1 fichas:

(5, 1)→ (3, 2)→ (1, 2)→ (1, 1)

Como se puede ver, en el primer turno Aldo elimina el monton con una ficha y distribuyelas cinco fichas restantes en dos montones, de 3 y 2 cada uno. Despues de esto Bereniceelimina el monton con dos fichas y distribuye las tres fichas restantes en dos montones,de 1 y 2 fichas cada uno. Finalmente Aldo elimina el monton con una ficha y distribuyelas dos fichas restantes en dos montones, ambos con una ficha. En este momento Aldose convierte en el ganador, pues Berenice es incapaz de eliminar un monton y despuesformar dos montones con al menos una ficha cada uno, pues solo quedarıa una ficharestante.

Supongamos que el juego empieza con un monton de n fichas y un monton de una ficha.Encuentre los valores de n en los que Aldo tiene estrategia ganadora y los valores de nen los que Berenice tiene estrategia ganadora.

2. Sea α un real positivo e irracional. Encuentre todas las funciones continuas f : R→ Rtales que f(x) = f(x+ α) para todo x ∈ R y la sucesion {f(n)|n ∈ Z+} converge.

3. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, llamemos SA al conjunto de biyecciones con dominio y codo-minio A. ¿Para cuantas funciones f ∈ SA existe g ∈ SA tal que f = g ◦ g?

4. Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre el campo F y T una transformacionlineal T : V → V . Dado un polinomio P = anx

n + an−1xn−1 + . . . a0 con coeficientes

en F definimos PT : V → V como sigue: para x ∈ V tenemos PT (x) = an(T n(x)) +an−1(T

n−1(x)) · · · + a0(T0(x)), donde T 0(x) = x para todo x ∈ V y T n = T n−1 ◦ T

para n ∈ Z+.

Demuestre que existe v0 ∈ V tal que para cualquier polinomio Q con coeficientes enF , si QT (v0) = 0, entonces QT (v) = 0 para todo v ∈ V .

5. Se construye una familia Bi de sucesiones finitas de numeros positivos de forma recur-siva como sigue:

B1 = 1, 1 y en general Bn se obtiene a partir de Bn−1 insertando el numero n entretodas las parejas consecutivas de Bn−1 que suman n. A continuacion se encuentra Bi

explicitamente para algunos valores de i:

B2 = 1, 2, 1B3 = 1, 3, 2, 3, 1B4 = 1, 4, 3, 2, 3, 4, 1B5 = 1, 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 1 ¿Cuantasveces aparece 2015 en B2015?

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