Examen 1 Liga de Matematicas UNAM 2016-1

1. Aldo y Berenice juegan un juego con dos montones de fichas. En su turno cada jugadordebe tomar el monton con menos fichas (en caso de empate puede elegir cualquiera delos dos) y las elimina (se retiran del juego). A continuacion debe repartir todas lasfichas del monton restante en dos montones con al menos una ficha cada uno. Si unjugador no es capaz de hacer esto en su turno, el juego acaba y se le declara perdedor,al otro jugador se le declara ganador. En este juego Aldo siempre empieza.

A continuacion se exhibe un juego posible cuando los montones inician con 5 y 1 fichas:

(5, 1)→ (3, 2)→ (1, 2)→ (1, 1)

Como se puede ver, en el primer turno Aldo elimina el monton con una ficha y distribuyelas cinco fichas restantes en dos montones, de 3 y 2 cada uno. Despues de esto Bereniceelimina el monton con dos fichas y distribuye las tres fichas restantes en dos montones,de 1 y 2 fichas cada uno. Finalmente Aldo elimina el monton con una ficha y distribuyelas dos fichas restantes en dos montones, ambos con una ficha. En este momento Aldose convierte en el ganador, pues Berenice es incapaz de eliminar un monton y despuesformar dos montones con al menos una ficha cada uno, pues solo quedarıa una ficharestante.

Supongamos que el juego empieza con un monton de n fichas y un monton de una ficha.Encuentre los valores de n en los que Aldo tiene estrategia ganadora y los valores de nen los que Berenice tiene estrategia ganadora.

2. Sea α un real positivo e irracional. Encuentre todas las funciones continuas f : R→ Rtales que f(x) = f(x+ α) para todo x ∈ R y la sucesion {f(n)|n ∈ Z+} converge.

3. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, llamemos SA al conjunto de biyecciones con dominio y codo-minio A. ¿Para cuantas funciones f ∈ SA existe g ∈ SA tal que f = g ◦ g?

4. Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre el campo F y T una transformacionlineal T : V → V . Dado un polinomio P = anx

n + an−1xn−1 + . . . a0 con coeficientes

en F definimos PT : V → V como sigue: para x ∈ V tenemos PT (x) = an(T n(x)) +an−1(T

n−1(x)) · · · + a0(T0(x)), donde T 0(x) = x para todo x ∈ V y T n = T n−1 ◦ T

para n ∈ Z+.

Demuestre que existe v0 ∈ V tal que para cualquier polinomio Q con coeficientes enF , si QT (v0) = 0, entonces QT (v) = 0 para todo v ∈ V .

5. Se construye una familia Bi de sucesiones finitas de numeros positivos de forma recur-siva como sigue:

B1 = 1, 1 y en general Bn se obtiene a partir de Bn−1 insertando el numero n entretodas las parejas consecutivas de Bn−1 que suman n. A continuacion se encuentra Bi

explicitamente para algunos valores de i:

B2 = 1, 2, 1B3 = 1, 3, 2, 3, 1B4 = 1, 4, 3, 2, 3, 4, 1B5 = 1, 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 1 ¿Cuantasveces aparece 2015 en B2015?

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