Solucion del examen de diciembre de Fısica 3

Instituto de Fısica, Facultad de Ingenierıa

17 de diciembre de 2010

Ejercicio 1a) Elegimos como superficie gaussiana un cilindro de seccion A, cuyo eje sea perpendicular al

plano y que atraviese el mismo. Por simetrıa en la direccion del eje del cilindro, el campo en las tapasdel mismo tiene la misma magnitud, y apunta en la direccion de la normal saliente. Aplicando Gaussobtenemos: ∮

~E ·d~A =qin

ε0⇒ 2EA =

σAε0⇒ E =

σ

2ε0

Si x es el versor normal a la superficie del plano, ~E = σ

2ε0x si x > 0 y ~E = − σ

2ε0x si x < 0.

b) Para calcular el campo en x, superponemos la contribucion de los planos (de espesor infinitesi-mal dx), cada uno con densidad superficial de carga ρ ·dx. Los planos a la izquierda de x contribuyencon un campo positivo y los planos a la derecha con un campo negativo. Integramos la contribucionde cada plano:

E(x) =∫ x

0

ρ0

(x′d

)dx′

2ε0−∫ d

x

ρ0

(x′d

)dx′

2ε0=

ρ0

4ε0d

(2x2−d2)⇒ ~E =

ρ0

4ε0d

(2x2−d2) x

Si x > d, el campo es constante: ~E = ρ0d4ε0

. Si x < 0 tambien es constante, pero vale ~E = −ρ0d4ε0

.

c)

1

Ejercicio 2

a) El flujo magnetico es ΦB = B(

x2

2 ·2)= Bx2. Aplicando Faraday, obtenemos la fem inducida:

εind = −dΦB

dt= −2Bv

(L2+ vt

)L2+ vt ≤ L

cuando la barra pierde contacto con los rieles, la fem inducida pasa a ser nula. b) La intensidad secalcula como i = ε

R , donde R es la resistencia, que depende de la distancia: R = RL 2x = 2R

L

(L2 + vt

).

i =2Bv

(L2 + vt

)2RL

(L2 + vt

) =BvL

R0≥ t ≤ L

2v

y tiene sentido horario (ley de Lenz). La corriente se anula cuando la barra pierde contacto con losrieles t ≥ L

2v .c) i = dq

dt . Dado que i es constante: q = i · t = BL2

2R

Ejercicio 3a) La espira forma un angulo θ (t) = ωt) con el campo magnetico ~B. El flujo magnetico vale:

ΦB =∮~B · ndA =

∮BsenθdA = Babsen(ωt)

Por Faraday: εind = −ndΦBdt ⇒ εind = −nBabωcos(ωt).

b) En complejos, ε = I · z, donde z = iωL+R+ 1iωC es la impedancia del circuito. Para que la

corriente tenga la misma fase que la fuente, la fase de z debe ser nula, es decir que z tiene que serreal. Anulando la parte imaginaria de la impedancia, llegamos a ω = 1√

LC.

c) z = R⇒ i(t) = ε(t)R = Babnω

R cos(ωt)

La potencia media disipada en la resistencia vale: PD = 12Ri2max =

(Babnω)2

2R

2