Embed Size (px)
Citation preview
1
MANUAL DE EXCEL PARA EL CURSO DE
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA CBS
Rubén Becerril Fonseca
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS UAM-IZTAPALAPA
BREVE INTRODUCCIÓN El objetivo de escribir el presente manual es proporcionar al alumno de Métodos Numéricos de la División de CBS una herramienta con la cual pueden implementar los diversos métodos aprendidos durante el curso. Las ventajas de este manual es que el alumno no necesita saber algún lenguaje de programación, de que la implementación de los diversos métodos es muy simple y que la hoja de cálculo se encuentra casi en cualquier computadora que usen. Esperamos que este pequeño manual sea de utilidad y cualquier comentario, sugerencia, etc. Favor de hacérnosla llegar. Quisiéramos agradecer al Dr. Gustavo Viniegra por haber propuesto esta forma de trabajar el curso y por supuesto a los alumnos de Métodos Numéricos del trimestre 00-O que fueron con los primeros que hicimos este acercamiento y en particular a Leticia Pascual por habernos facilitado un manual introductorio de Excel y a Meyli Escobar por ayudarnos en la parte de las gráficas.
UAM-Iztapalapa
Enero 2001.
2
CAPÍTULO 1
REPASO DE CONCEPTOS ELEMENTALES
1.1 Ecuaciones lineales Para conocer la hoja de cálculo de Excel, y algunas de sus instrucciones básicas, empezamos con unos ejemplos simples que han sido vistos en cursos anteriores. El primer ejemplo tiene que ver con la ecuación lineal
2317 =x que, como sabemos, tiene por solución
1723
=x
Más generalmente, se conoce la solución de la ecuación lineal:
abxbxa =⇔=
Podemos usar la hoja de cálculo para resolver la ecuación anterior y, a continuación se muestra como hacerlo. Primero ponemos título a nuestro trabajo marcando1
1 Esto también puede hacerse como sigue: Se coloca el cursor en la celda A1, se oprime la tecla shift y sin soltarla se mueve el cursor con las flechas direccionales hasta llegar a la celda E1 y entonces se sueltan las teclas.
las celdas A1,..., E1 como sigue: se coloca el cursor en la celda A1, se oprime la tecla shift, se coloca el cursor en la tecla E1, se hace clic con el botón principal y se suelta la tecla shift. Ahora se oprime el botón, que se encuentra en la barra de herramientas, combinar y centrar, y escribimos el título: SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES.
Ahora se escribe en las celdas A2, B2 y C2 los nombres de las constantes: a=, b=, y de la solución x=, respectivamente. En la celda A3 se escribe el valor de a , que en este caso vale 17; en la celda B3 el de b , que es 23, y se calcula la solución, x , en la celda C3, escribiendo =B3/A32
Si quiere resolverse otra ecuación lineal, simplemente se cambian los valores de las constantes
.
a y b que aparecen en las celdas A3 y B3, sin embargo, si se quieren mantener los valores de las constantes y de la solución de la ecuación anterior, entonces, se escriben los valores de las nuevas constantes en las celda A4 y B4 y la
2 Esto puede hacerse alternativamente como sigue: Se coloca el cursor en la celda C3, se escribe =, pues toda fórmula debe empezar así, se coloca el puntero del mouse en la celda B3 y con el botón principal se hace clic, se escribe / y finalmente se coloca el puntero en la celda A3 y se hace nuevamente clic con el botón principal.
3
celda C3 se copia o arrastra3
Ejercicios 1.1
a la C4, donde aparecerá, automáticamente, la nueva solución.
1. Una ecuación lineal también puede escribirse en la forma
cbax =+ Usar la hoja de cálculo para resolver las siguientes
ecuaciones: a) 723 =−x
b) 259
34
=+− x
c) ex 5834 =+π 4
2. Una función lineal tiene la forma
bmxxf +=)( Donde m es la pendiente de la recta que determina, y bes la ordenada al origen. Considérese la función lineal 53)( += xxf . Usando la hoja de cálculo: (a) Encontrar los siguientes valores: ),2(−f ),1(−f
)0(f y )2(f . (b) Encontrar el valor de x que cumpla 5)( −=xf . (c) Bosqueje la gráfica de f .
3. La fórmula que relaciona los grados Fahrenheit con los grados Celsius es:
3259
+= CF
(a) Escribe un procedimiento en la hoja de cálculo que te permita encontrar los grados Fahrenheit que corresponden a ciertos grados Celsius dados.
3 Se coloca el cursor en la esquina inferior derecha de la celda hasta que cambie de forma, se oprime el botón principal del mouse y, sin soltarlo, se mueve, hasta la celda deseada y se suelta el botón . 4 El número π aparece escribiendo =PI(), mientras que el número e aparece escribiendo EXP(1).
(b) Calcula los grados Fahrenheit que corresponden a: 0oC, 10oC, 18oC, 25oC, 30oC, 100oC, -10oC, -40oC. (c) Despeja C de la ecuación dada y repite el inciso (a) para esta situación.
4. Usar la hoja de cálculo para encontrar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos que se da a continuación (a) (-1,2); (4,5) (b) (0,2); (3,-5) (c) (e,2e); (-3,2) (d) (-1,-1); (0,3)
1.2 Ecuaciones cuadráticas
El segundo ejemplo tiene que ver con la conocida ecuación de segundo grado
02 =++ cbxax Se sabe que las soluciones (raíces) de esta ecuación se obtienen usando la fórmula
aacbbx
242 −±−
=
Podemos usar nuestra hoja de cálculo para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Se usarán los siguientes valores para a , b y c respectivamente: 4, -13 y 3. Como antes, primero se escribe el título de la hoja, nombre de las celdas, etc. Todo esto lo hacemos en las celdas A1...G2. Obsérvese que en la celda D2 se ha escrito Disc=, pues debajo de ésta se calculará el discriminante de la ecuación y, en E2, escribimos Raíz(Disc), ya que allí calcularemos la raíz cuadrada del discriminante. En las celdas A3, B3 y C3 escribimos los valores de a , b y c . En la celda D3 se encuentra el discriminante =B3^2-4*A3*C3 y en E3 la raíz de éste =RAIZ(D3), por último, en las celdas E3 y F3 se encuentran las raíces de la ecuación cuadrática escribiendo: =(-B3-E3)/(2*A3) y =(-B3+E3)/(2*A3) respectivamente.
4
Como antes, si se quieren resolver otras ecuaciones, se escriben los nuevos valores en las celdas A4, B4 y C4 y, para encontrar las nuevas soluciones, se arrastran las celdas D3...G3 hacia las D4...G4 (se coloca el cursor en D3, marcamos5
Ejercicios 1.2
hasta la celda G3 y se arrastra un renglón hacia abajo).
1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 012 =++ xx b) 02142 =−+ xx c) 012 2 =−x d) 09124 2 =++ xx
¿Cómo es el discriminante en cada uno de estos casos? 2. Si alguna de las ecuaciones del ejercicio 1 tiene
discriminante negativo, entonces esa ecuación tiene raíces complejas. Usar la hoja de cálculo para encontrar las raíces de la ecuación
012 =++ xx y escribirlas en la forma bia + . Sugerencias: (1) Se necesita la función lógica SI, que, en la sección 3.1 se explica como usa. (2) Para escribir un
5 Este movimiento se efectúa colocando el cursor en la primer celda, se oprime shift y con la(s) tecla(s) direccional(es) se mueve el cursor hasta la celda deseada y soltamos los botones o, equivalentemente, se coloca el puntero del mouse en la primer celda, se oprime el botón principal y se mueve, el puntero, hasta la celda deseada y se suelta el botón.
número complejo debe usarse la función COMPLEJO que aparece en el menú de las funciones de Ingeniería.
3. (a) Implementar en la hoja de cálculo un procedimiento que resuelva cualquier ecuación cuadrática sin importar el tipo de raíces que tenga: reales o complejas. (b) Usar lo hecho en el inciso (a) para encontrar las raíces de las ecuaciones
0532;0132 22 =++=++ xxxx 4. Una función cuadrática (o parábola) es de la forma
cbxaxxf ++= 2)( Para la función
214)( 2 −+= xxxf encontrar a) ),10(−f ),9(−f ... )10(, f . b) Bosquejar la gráfica de f .
5. Toda parábola cbxaxxf ++= 2)(
puede escribirse en la forma khxaxf +−= 2)()(
donde (h,k) son las coordenadas del vértice (a) Encontrar una fórmula que nos permita obtener las
coordenadas del vértice. (b) Encontrar las coordenadas del vértice de cada una de
las siguientes parábolas 2143)(;1)( 22 −+=++= xxxgxxxf
(c) Bosquejar la gráfica de cada una de las funciones del inciso (b) y comparar con lo hecho en el ejercicio anterior.
5
1.3 Iteraciones
La sucesión
(*),...2,1,0;21
1 =
+=+ k
xAxx
kkk
converge al número A .
Usemos nuestra hoja de cálculo para encontrar, por ejemplo, 2. En las celdas A2, B2 y C2, escribimos: A= , k= y x(k)= respectivamente. Ahora escribimos, en la celda A3, el número al que le sacaremos su raíz cuadrada, que en este caso es 2; en B3 aparece la iteración que estamos haciendo, la cual empieza en 0 y en C3 un valor que sea cercano a 2 , que, por ejemplo, puede ser 1 ( este número corresponde a x(0) ). Para hacer el cálculo de 2 escribimos, en la celda C4, la fórmula (*): =(1/2)*(C3+($A$3/C3))
Las siguientes aproximaciones se hacen arrastrando la celda C4 tantos lugares hacia abajo como queramos. Notemos que en estas nuevas celdas ocupadas la referencia a la celda C3 cambia, en una unidad, al ir hacia abajo, mientras que la referencia a la celda A3 no lo hace, esto se logró al escribir $A$36
6 Se está haciendo una referencia absoluta en este caso.
.
Si queremos ver el número de iteraciones que hicimos, simplemente arrastramos la celda B3 hacia abajo y, sin soltar el botón del mouse, oprimimos ctrl, soltamos el botón del mouse y al final soltamos ctrl.
Ejercicios 1.3
1. Calcular ,5,3 en la misma hoja.
2. Para calcular 3 A , se puede usar la sucesión
(*),...2,1,0;231
21 =
+=+ k
xAxxk
kk
Usar la hoja de cálculo y la sucesión (*) para encontrar 3 2 , 3 3 , 3 8 y 3 100 .
3. Los siguientes, son los polinomios de Taylor de grado n, alrededor de 00 =x , de funciones familiares.
6
∑=
=n
k
kx
n kxeT
1 !)(
∑=
+
+ +−=
n
k
kk
n kxxsenT
0
12
12 )!12()1()(
∑=
−=n
k
kk
n kxxT
0
2
2 )!2()1()(cos
∑=
−−=+n
k
kk
n kxxT
1
1)1())1((ln
Tómese 20=n y sustitúyase 4
,22,4.0,3.0 π
=x en
cada uno de los polinomios anteriores para encontrar el valor aproximado de cada función en esos puntos.
4. Un polinomio )(xp puede evaluarse usando el método de Horner, división sintética o multiplicación anidada. Por ejemplo, un polinomio de grado cuatro.
012
23
34
4)( axaxaxaxaxp ++++= se escribe en forma anidada:
01234 )))((()( axaxaxaxaxp ++++=
Y esto puede implementarse muy fácilmente en la hoja de cálculo como sigue: Después de colocar títulos, ponemos en las celdas A3, B3,...E3 los valores de ,3,4 aa y así sucesivamente. En la celda F3 escribimos el valor de x , por ejemplo 2.13. Para hacer la división sintética, copiamos la celda A3 en la A4, escribimos en la B4 el primer paso: =A4*$F$3+B3 y para terminar arrastramos la celda B4 hasta E4.
5. Evaluar el polinomio
1012.415.3112)( 235 +−+−= xxxxxp en 2,15.3,27.0,2.1=x usando la división sintética.
6. Encontrar el polinomio de Taylor de grado cinco del polinomio del ejercicio 5 alrededor de cada punto que se indica.
7. Usar el método de Horner y tu hoja de cálculo para resolver el ejercicio anterior.
Ejercicios complementarios
1. Usar la hoja de cálculo para investigar la convergencia de las sucesiones de los ejercicios 2-7.
2. n
nx
=
21
3. )1(
161
21
++++=
nnxn
4. nnx21
41
211 ++++=
5. n
n nx
+=
11
6. n
n ny
−=
11
7. n
z nn
1)1(41
31
211 1−−++−+−=
8.
9. ∑=
=n
kn n
x1 !
1
10. ∑=
−
−−=
n
k
kn k
x1
1
124)1(
11. La sucesión geométrica:
xxxx
−=++++
111 32
converge 1<∀ x .
7
Sustitúyase 21
=x para verificar la respuesta del
ejercicio 4. 12. La sucesión de Fibonacci se define por:
.2,,1,0 2110 ≥∀+=== −− nxxxxx nnn Hay una fórmula que nos permite calcular los términos de esta sucesión:
−−
+=
nn
nx2
512
515
1
Encuéntrense los primeros 50 términos de esta sucesión, usando tanto la fórmula de recurrencia, como la algebraica.
13. Repetir el ejercicio anterior con la sucesión definida por:
.2,,2
51,0 2110 ≥∀+=+
== −− nyyyyy nnn
Esta sucesión también puede definirse algebraicamente por:
n
ny
+=
251
14. Cámbiese 5 por 5− en el ejercicio anterior y resuélvase nuevamente.
CAPÍTULO 2
APROXIMACIONES Y ERRORES
2.1 ERRORES Si q es una aproximación de p entonces:
qpEa −= es el error absoluto de la aproximación.
pqp
Er
−= es el error relativo de la aproximación.
00100
00 ×
−=
pqp
E es el error relativo porcentual de la
aproximación.
qpqp
Em +−
= 2 es el error relativo modificado de la
aproximación. La aproximación q tiene d cifras significativas si d es el mayor entero positivo tal que
)(2
10⊗<
−=
−
d
r pqp
E
Ejercicios 2.1
1. En la sección 1.3 se calculó 2 . Encuéntrese el error en
cada uno de los pasos hechos, es decir, en la celda D3 encuentra el valor exacto de 2 , después calcúlese en las celdas D4..., por ejemplo, el error absoluto, =ABS(C4-$D$3). En las celdas E4... puede calcularse el error relativo =(ABS(C4-$D$3))/D3, etc.
2. Hacer la gráfica de cada uno de los errores del ejercicio 1.
3. Despejar d de la ecuación )(⊗ . 4. Calcular el número de cifras correctas para cada
aproximación que se hizo en el ejercicio 1. 5. La siguiente igualdad es algebraicamente correcta
xxxxxxxf++
=−+=1
)1()(
(a) Calcular )200(f y )649(f , usando la función REDONDEAR a cuatro cifras decimales en cada una de las expresiones.
8
(b) Encontrar el valor exacto de cada cálculo. (c) Encuentra cada uno de los errores. (d) ¿Con qué expresión se obtuvo un error menor ? (e) Repite los incisos anteriores usando la función
TRUNCAR a cuatro cifras. 6. Por las propiedades de la función exponencial tenemos
xx
ee 1
=−
y por lo tanto
++++=+−+−
!3!21
1!3!2
1 32
32
xxx
xxx
(a) Con 6 dígitos calcular 4.8−e con cada una de las expresiones anteriores usando 25 sumandos.
(b) Comparar con el valor exacto 410248673241.2 −× y encontrar el error relativo en cada caso.
(c) ¿Con cuál de las dos expresiones se obtuvo una mejor aproximación?
7. (a) Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para la función )(arctan)( xxf = alrededor de 00 =x . Sugerencia: Usar la sucesión geométrica del ejercicio 8 de los ejercicios complementarios del capítulo 1. Cambiar x por y− , después cambiar y por 2x y, finalmente, calcular la integral de cada lado de la igualdad. (b) Calcular una aproximación de )1(arctan4 usando el polinomio de grado 100,50,10=n del inciso (a). (c) ¿A qué valor se aproximan los cálculos del inciso (b)?
8. Una forma alternativa de calcular π es usar la fórmula de Machin que dice
−
=
2391arctan
51arctan4
4π
como puede verificarse con la hoja de cálculo. (a) Usar la aproximación de Taylor de grado 5 a la función arco tangente para aproximar el valor de π . (b) ¿Cuántas cifras significativas se encontraron?
(c) ¿Porqué las dos sucesiones para arco tangente convergen tan rápidamente aquí, en tanto que la sucesión usada en el ejercicio anterior lo hace en forma más lenta?
9. La función error se define por
dtexerfx
t∫ −=0
22)(π
(a) Sustitúyase en la serie de la exponencial 2t− e integrar término a término para tener una serie de )(xerf. (b) Ahora encuéntrese el desarrollo de Taylor, alrededor de 00 =x , directamente. Para hacer esto es necesario que se recuerde el teorema fundamental del Cálculo. (c) ¿Se obtuvieron las mismas series? (d) Por último, calcular )1(erf usando cuatro sumandos y encontrar el error relativo si el valor correcto a cuatro decimales es 0.8427.
10 La ecuación cuadrática 02 =++ cbxax
se resuelve alternativamente con las fórmulas
acbbcx
42
2 −±−
−=
(a) Usar esta expresión para calcular las raíces de la ecuaciones
0113.772 =−+ xx 041103 2 =−− xx
018.552 =+− xx usando cuatro dígitos. (b) Resolver las ecuaciones anteriores usando la fórmula usual. ¿Hay alguna diferencia en los resultados?
11 Si 65.877.49.37.2)( 23 −+−= xxxxp
(a) Usar la hoja de cálculo, junto con la función REDONDEAR a cuatro decimales para calcular )35.2(p.
9
(b) Usa el método de Horner, redondeando a cuatro decimales, para resolver el inciso anterior. (c) Encuéntrese el valor correcto y calcúlense los errores relativos que se cometieron en los incisos (a) y (b).
12 Resolver el ejercicio 11 usando la función TRUNCAR.
CAPÍTULO 3
LOCALIZACIÓN Y APROXIMACIÓN DE RAÍCES
3.1 LOCALIZACIÓN DE RAICES Si ℜ→ℜ:f es una función, cualquier número r tal que
0)( =rf llama raíz de la ecuación 0)( =xf o cero de la
función. Por ejemplo, 5 es un cero de la función
55)( 23 −−+= xxxxf como puedes verificarlo directamente. Teorema del valor intermedio. Si ℜ→ℜ:f es continua y además 0)()( <bfaf , para
ba < , entonces hay un cero de f en [ ]ba, . Por ejemplo, podemos encontrar un intervalo que contenga un cero de la función xsenxxf −= 2)( . Obviamente esta función tiene un cero en 0=x , sin embargo, buscaremos otro cero de )(xf . Después de colocar títulos, en la celda A3 colocamos el valor del ”paso” que daremos que, para este ejemplo es 1.0=h . En la celda B3 el valor de la variable con el que empezaremos a evaluar la función, mientras que en C3 evaluamos la función (=B3^2-SENO(B3)).
A continuación modificamos el valor de x sumándole el paso y evaluamos la función en este nuevo punto. Repetimos esto, arrastrando las celdas B4 y C4 hacia abajo, hasta encontrar dos celdas sucesivas donde tengamos un cambio de signo. En este caso tenemos que un cero de la función se encuentra en el intervalo [ ]9.0,8.0 .
10
Podemos bosquejar la gráfica de esta función para visualizar el corte de esta con el eje x . Ayudándonos de la hoja de cálculo obtenemos el siguiente gráfico7
7 Recuérdese que en el apéndice A se muestra como se elabora la gráfica de una función.
:
Ejercicios 3.1
1. Verificar que cada una de las ecuaciones siguientes tiene una raíz en el intervalo indicado
[ ]1,0;0133 =−+ xx
[ ]1,0;01=−xex
[ ]1,1;0236)(6 32 −=−−−− xxxe x
[ ]4,2.3;05)(ln =+− xx
[ ]6.1,8.0;01)(cos =−+ xx
[ ]2,1;03323 =−−+ xxx 2. Bosquejar la gráfica de cada una de las funciones del
ejercicio anterior evaluándola en al menos diez puntos. 3. Encontrar un intervalo que contenga una raíz de cada una
de las siguientes ecuaciones 0523 =−− xx *
01cos =−xx
02 =−− xex 01843 23 =−−+ xxx
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
F(X)
X
FUNCION X2-SEN(X)
11
4. Bosquejar la gráfica de cada una de las funciones del ejercicio anterior.
3.2 EL MÉTODO DE BISECCIÓN Si [ ] ℜ→baf ,: es continua y además 0)()( <bfaf ,
entonces hay un cero de f en [ ]ba, . Se toma el punto medio del
intervalo 21
bar += , y tenemos tres posibilidades
a) 0)( 1 =rf , en cuyo caso 1r es un cero.
b) 0)()( 1 <rfaf y hay un cero en [ ]1,ra
c) 0)()( 1 <rfbf y hay un cero en [ ]br ,1 Entonces 1r es una aproximación de un cero de f . Si se da (a) hemos terminado. Si se da (b) repetimos el proceso con el intervalo [ ] [ ]bara ,, 1 = . Si la condición que se cumple es (c), se
repite el proceso con [ ] [ ]brba ,, 1= . Enseguida se muestra como puede implementarse este método en Excel. Para ejemplificar se aproximará la raíz de la ecuación:
074 3 =−+ xx Primeramente encontramos un intervalo que contenga una raíz de la ecuación, que en este caso puede ser [1,2]. En la celda A2 escribimos ei= extremo izquierdo del intervalo, en B2 ponemos pm= punto medio del intervalo y en C2 ed= extremo derecho. En la celda F2 escribimos f(ei)= que será el valor de la función en ei, en E2 escribimos f(pm)= y en F2 el valor de la función en el extremos derecho del intervalo f(ed)= . Ahora escribimos los valores de los puntos. En B3 el valor de ei=1, en C3 el de pm=1.5 y en D3 el de ed=2. Procedemos a calcular los valores de la función en estos puntos. En D3 escribimos
=4*(A3)^3+A3–78
Las iteraciones se calculan como sigue: En la celda A4 escribimos =SI(D3*E3<0,A3,B3) y obtendremos el valor del extremo izquierdo del nuevo intervalo que bisecaremos. La explicación es la siguiente: En la función lógica SI debemos incluir la prueba que haremos, posteriormente el valor que tendrá la celda, A4, en caso de que la prueba sea cierta y por último el valor que tendrá la celda en caso que la prueba sea falsa. La prueba es
y arrastramos esta celda hasta la celda F3.
0)5.1(*)1( <ff y, si es cierta, entonces habrá una raíz en [1,1.5] y el extremo izquierdo será A3, si la prueba es falsa la raíz se encuentra en [1.5,2] y el extremos izquierdo será el valor que se encuentra en la celda B3. En la celda C4 escribimos = SI(D3*E3<0,B3,C3)
8 Para evaluar polinomios puede usarse el Método de Horner como una “subrutina”.
12
La prueba es la misma, pero observemos que si es cierta entonces la raíz se encuentra en el intervalo [1,1.5] y el extremo derecho será B3 y si es falsa entonces la raíz se encuentra en [1.5,2] y el extremo derecho será C3. En la celda C4 calculamos el nuevo punto medio =(A4+C4)/2
Ahora evaluamos la función en estos nuevos puntos; esto lo hacemos arrastrando las celdas D3, E3 y F3 hacia abajo.
Finalmente marcamos las celdas A4...F4 y las arrastramos hacia abajo tantas celdas como iteraciones queramos hacer y la aproximación a la raíz de la ecuación es, por ejemplo, el valor que se encuentra en la celda B17.
Ejercicios 3.2
1. Completar los argumentos de la función SI con la prueba:
D3*E3>0. 2. Repetir el ejercicio 1 con la prueba: E3*F3<0. 3. Repetir el ejercicio 1 con la prueba: E3*F3>0. 4. Bosquejar parte de la gráfica de la función
74)( 3 −+= xxxf , que se usó como ejemplo del método de bisección usando los puntos medios de los intervalos encontrados.
5. Usar el método de bisección para aproximar, a tres dígitos, la raíz de la ecuación dada en el intervalo indicado
=−
2,0;0cos πxx
[ ]5.0,1.0;0)(ln2 =+− xx
[ ]4,3;03 2 =− xe x
[ ]2,1;0tan =− xx
13
6. Usar el método de bisección para encontrar el punto de intersección de las curvas dadas por
23 ;12 xyxxy =+−= 7. Bosquejar las gráficas de las funciones del ejercicio anterior
en los mismos ejes. 8. Escribir el procedimiento para un método de “trisección”,
donde el intervalo se divide en tres partes de la misma longitud y se hacen evaluaciones en cada uno de los extremos de estos subintervalos. Usar este procedimiento y la hoja de cálculo, para aproximar las raíces de las ecuaciones del ejercicio 5.
3.3 EL MÉTODO DE LA REGLA FALSA Si f es una función continua y hay dos puntos ba < , tal que
0)()( <bfaf , encontramos la ecuación de la recta que une los puntos ))(,()),(,( bfbafa . La intersección de esta recta con el eje x será una aproximación, c , del cero de f . Tenemos las siguientes posibilidades 1. 0)( =cf , en cuyo caso c es un cero.
2. 0)()( <cfaf y hay un cero en [ ]ca,
3. 0)()( <cfbf y hay un cero en [ ]bc, En el caso (1) ponemos b=c y en el caso (2) a=c. Repetimos el proceso hasta obtener la aproximación deseada. La aproximación se calcula por la fórmula
)()()())(( α
afbfabbfbc
−−
−=
la cual es algebraicamente equivalente a
)()()()()( β
afbfabfbafc
−−
=
y se deja como ejercicio verificarlo. A continuación vemos como se implementa este método en la hoja de cálculo. Usaremos la fórmula )(α Aproximamos la raíz de la ecuación 0cos =− xx que se encuentra en el intervalo [0, 1]. En este caso 1,0 == ba Después de colocar títulos en A3 ponemos 0 y en B3 1. En la celda D3 evaluamos la función en a , esta celda se arrastra hasta F3 para evaluar la función en b y en c . En C3 escribimos =B3-(E3*(B3-A3)/(E3-D3)) Para elegir el nuevo intervalo procedemos en forma similar a lo que se hizo en el método de bisección: En A4 escribimos =SI(D3*F3<0,A3,C3) Mientras que en la celda B4 se escribe =SI(D3*F3<0,C3,B3). Arrastramos las celdas C3...F3 hacia C4...F4. Para hacer más aproximaciones arrastramos las celdas A4...F4 hacia abajo tanto como se quiera.
Ejercicios 3.3
1. Justificar la equivalencia entre las fórmulas )(α y )(β . 2. Completar los argumentos de la condicional SI, cuando la
prueba es: D3*F3>0.
14
3. Repetir el ejercicio anterior con las siguientes pruebas: E3*F3<0 y E3*F3>0.
4. Usar el método de la regla falsa para resolver el ejemplo que se vio en la sección 3.2 ¿Cuántas iteraciones fueron necesarias para obtener la aproximación que se obtuvo con el método de bisección?
5. Usar el método de la Regla falsa para resolver los ejercicio 5 y 6 de la sección 3.2.
3.4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Si )´´(),´(),( xfxfxf son continuas cerca de un cero, r , de f, podemos encontrar una sucesión { }kr que converge a r como
sigue: Comenzamos con una primera aproximación 0r ,
calculamos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ,
que pasa por el punto ))(,( 00 rfr , la intersección de esta con el
eje x nos da la siguiente aproximación 1r . Repetimos este procedimiento para obtener la sucesión que converge a r . La sucesión está dada por
...,3,2,1;)´()(
1
11 =−=
−
−− k
rfrf
rrk
kkk
Para ver como implementar este método en la hoja de cálculo encontramos la raíz de la ecuación
0)( 2 =−= − xexf x que se encuentra cerca de cero. Una vez localizado el valor inicial, 00 =r , calculamos la derivada
de la función f :
12)´( 2 −−= − xexf en nuestra hoja de cálculo escribimos k= en la celda A2, rk= en la celda B2, etc. Posteriormente, en la celda A3 escribimos 0, ya
que estamos por empezar la iteraciones. En la celda B3 escribimos la primer aproximación a nuestra raíz, 0r , que en este caso es 0. En la celda C3 hacemos la evaluación de nuestra función9 )(xf y en la celda D3 se evalúa la derivada de .
Ahora calculamos la aproximación de nuestra raíz en la celda B4 (escribimos en esa celda: = B3-(C3/D3) ).Para realizar más iteraciones copiamos las celdas A3, C3 y D3 en las celdas A4, C4 y D4. Finalmente se arrastran las celdas A4...D4, por ejemplo, hasta las celdas A8...D8.
9 Para evaluar una función se hace clic el icono pegar función que se encuentra en la barra de herramientas, se busca en Matemáticas y trigonométricas la función EXP.
15
Ejercicios 3.4
1. Usar la función Axxf n −=)( para encontrar la
sucesión que aproxima 0,; ≥nAAn . 2. Usando la sucesión que se obtuvo en el ejercicio anterior
calcular ,...28,28,28,28 6543 ¿Converge esta sucesión de raíces?
3. Repetir el ejercicio anterior con A=0.5 ¿Qué sucede? 4. Considerar la sucesión ,...6,5,4,3 6543 ¿converge?
En caso afirmativo ¿a qué converge? 5. Aproximar la raíz positiva de la ecuación
0523 =−− xx * 6. Resolver los ejercicios 5 y 6 de la sección 3.2 usando el
método de Newton. 7. Usar el método de Newton-Raphson para resolver los
ejemplos de las secciones 3.2 y 3.3 y compárese la rapidez de convergencia de cada método.
8. Aproximar la raíz positiva de la ecuación 02 =− xsenx
9.
3.5 MÉTODO DE LA SECANTE Si 10 , xx son dos aproximaciones a una raíz de 0)( =xf , consideremos la intersección, con el eje x , de la recta que pasa por los puntos ))(,(),(,( 1100 xfxxfx . La abscisa de esta intersección es una aproximación de la raíz. Esta puede calcularse por una “fórmula” similar a )(α , que se obtuvo en el método de la regla falsa:
)(...3,2,1)()())((
1
11 γ=
−−
−=−
−+ k
xfxfxxxf
xxkk
kkkkk
La implementación de este método en la hoja de cálculo es muy similar a la de la regla falsa, salvo que no necesitamos el condicionante SI y se deja como ejercicio su implementación.
Ejercicios 3.5
1. Escribir las diferencias y semejanzas entre el método de la secante y la regla falsa.
2. Escribir las diferencias y semejanzas entre el método de la secante y Newton.
3. Resolver los ejercicio 5 y 6 de la sección 3.2 usando el método de la secante.
EL MÉTODO DE NEWTON PARA SISTEMAS NO LINEALES
Si
16
CAPÍTULO 5
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Enfocamos nuestra atención en el problema de valor inicial )()();,(´ 00 αytyytfy ==
y decimos que una solución del problema de valor inicial )(α en
un intervalo [ ]ba, es una función derivable )(tyy = tal que
00 )( yty = y además [ ]batytfty ,),()´( ∈∀= . Nótese que la gráfica de la solución )(tyy = debe pasar por el
punto ),( 00 yt .
En el problema )(α la variable t se interpreta como el tiempo y
att == 0 como el instante inicial. Queremos poder determinar el
valor de y en cualquier tiempo t después de 0t . Anteriormente se han aprendido métodos analíticos para resolver cierto tipo de problemas de valor inicial, sin embargo, estos son muy limitados. Aquí daremos varios métodos numéricos para aproximar la solución del problema )(α . Nuestras soluciones numéricas generalmente aparecerán como un conjunto finito de puntos y de estos podemos obtener, aproximadamente, la gráfica de la solución e interpretarla.
5.1 EL MÉTODO DE EULER Para encontrar los puntos que aproximan a nuestra solución en el intervalo [ ]ba, , dividimos este en N subintervalos de la misma longitud
Nabh −
=
que se llama tamaño de paso. En consecuencia Nkkhatk ...,1,0=∀+=
nos da una partición del intervalo [ ]ba, . La función y se aproxima por su polinomio de Taylor de grado
uno, alrededor de at =0 y se obtiene
))(´()()( 000 tttytyty −+≈
17
y si ponemos ))(,()´(, 00001 tytftytth =−= se obtiene
),()( 00011 ythfyyty +=≈ la cual se llama aproximación de Euler. El procedimiento general se da a continuación: Dado h , el tamaño de paso y el punto ),( kk yt se calcula
(a) La pendiente ),( kkk ytfm = , usando la ecuación diferencial
(b) El siguiente punto ),( 11 ++ kk yt por las fórmulas
htt kk +=+1
),(1 kkkkkk ythfyhmyy +=+=+ para .1...,2,1,0 −= Nk Para ejemplificar aproximemos la solución al problema de valor inicial
1)0(;2´ 2 =−= yyty
con el tamaño de paso 41
=h en el intervalo [ ]2,0 .
Después de colocar títulos, en las celdas A4... aparecen las iteraciones que haremos, en la celda B4 aparece el tamaño de paso, en las celdas C4... el tiempo, mientras que en la celda D4 aparece la condición inicial, en las E4... el cálculo de las pendientes y en las celdas D5... los valores aproximados calculados por medio del método de Euler
Ahora se copia la celda E4 a la E5 y arrastramos las celdas C5...E5 hasta que 2=kt .
Vemos la gráfica de la aproximación de la solución eligiendo las celdas C4...D12
18
Podemos cambiar el tamaño de paso, por ejemplo,
81
=h y ver
las dos gráficas sobrepuestas. Observamos que la gráfica con la línea más gruesa corresponde al tamaño de paso =1/4, mientras que la línea más delgada corresponde al tamaño de paso =1/8. Se queda de ejercicio tomar el tamaño de paso = 1/64 y elaborar la gráfica.
Ejercicios 5.1
1. Resolver el problema de valor inicial 1)0(;´ =−= yyty
(a) En forma analítica. (b) Usar el método de Euler para aproximar la solución
en el intervalo [ ]2,0 tomando el tamaño de paso =1/4.
(c) Evaluar la solución analítica en cada uno de los tiempos en los que se está aproximando la solución.
(d) Bosquejar la gráfica de la solución aproximada y la de la solución analítica sobrepuestas.
(e) Calcular el error absoluto en cada uno de los pasos hechos en la aproximación.
(f) Hacer la gráfica del error. (g) Repetir los incisos (b)-(f) cambiando el tamaño de
paso a 1/16. (h) Repetir los incisos (b)-(f) con el tamaño de paso =0.1
2. Repetir el ejercicio 1 para el problema de valor inicial 1)0(;)1(´ =+= yyty
en el intervalo [ ]1,0 . 3. Repetir el ejercicio 1 para
00.20.40.60.8
11.21.41.61.8
2
0 1 2 3
y
t
y´=2t-y^2
y´=2t-y^2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3
y
t
y´=2t-y^2
Y´=2T-Y^2
19
1)0(;´ == ytsenyy
en el intervalo [ ]3,0 . 4. Modelo exponencial de crecimiento. Si la velocidad de
crecimiento de una población es directamente proporcional a la población presente, puede modelarse, por ejemplo, por el siguiente problema de valor inicial
5000)0(;002.0´ == yyy
en [ ]5,0 (a) Aplicar el método de Euler para aproximar )5(y con
el tamaño de paso = 1, 1/12 y 1/360. (b) Calcular la solución exacta y encontrar el error que se
comete en cada caso. (c) Hacer la gráfica de la solución exacta y de cada
aproximación calculada en (a). 5. Esparcimiento de rumores. En una población de 25 000
habitantes se conoce un rumor. Se sabe que la velocidad de esparcimiento es directamente proporcional al producto de las personas que conocen el rumor por el número de personas que lo desconocen. Esto podría modelarse por el problema de valor inicial
250)0();25000(00003.0´ =−= yyyy
Tomar el tamaño de paso =0.2 en el intervalo [ ]60,0 . Dibujar la gráfica de la aproximación calculada.
6. Suponga que cierta comunidad tiene 15 000 personas que son susceptibles a una enfermedad contagiosa. En el instante 0=t el número )(tN de personas que tienen la enfermedad es de 5 000 y aumenta 500 por día. ¿Cuánto tiempo pasará para que otras 5 000 personas contraigan la enfermedad? (Responder a la pregunta anterior encontrando tanto la solución explícita como una aproximación numérica). Supóngase que )´(tN es proporcional al producto del número de aquellos que tienen la enfermedad y los que no la tienen.
5.2 EL MÉTODO DE EULER MEJORADO
Si se quiere resolver el problema de valor inicial )(α se integran ambos lados de la ecuación diferencial para obtener
dttytfdttyt
t
t
t
))(,()´(1
0
1
0
∫∫ =
que, al integrar el lado izquierdo y, usando la regla del trapecio. con dos puntos, para integrales en el lado derecho de la igualdad y tomando 01 tth −= obtenemos
))(,())(,((2
)()( 110001 tytftytfhtyty +=−
Hacemos la aproximación )( 11 tyy ≈ , por medio del método de Euler, en el lado derecho de la igualdad y tenemos el procedimiento general del método de Euler mejorado Dado h , el tamaño de paso y el punto ),( kk yt se calcula
(a) La pendiente ),( kkk ytfm = , usando la ecuación diferencial
(b) 1~
+ky con el método de Euler
kkk hmyy +=+1~
(c) El siguiente punto ),( 11 ++ kk yt por las fórmulas
htt kk +=+1
))~,(),((2 111 +++ ++= kkkkkk ytfytfhyy
para .1,...,2,1,0 −= Nk Para ejemplificar este método aproximamos la solución al problema de valor inicial
1)0(;2´ 2 =−= yyty
con el tamaño de paso 41
=h en el intervalo [ ]2,0 .
Después de colocar títulos, en las celdas A4... aparecen las iteraciones que haremos, en la celda B4 aparece el tamaño de
20
paso, en las celdas C4... el tiempo, mientras que en la celda D4 aparece la condición inicial, en las E4... el cálculo de las pendientes y en las celdas F4... los valores calculados por medio del método de Euler. En G4... se calculan las pendientes en los puntos calculados con Euler. En las celdas D5... aparecen los valores aproximados por este método.
Hacemos las aproximaciones arrastrando las celdas C5...G5 hacia abajo hasta que en la columna C aparezca .2=t Podemos bosquejar la gráfica de nuestra aproximación eligiendo las celdas C4...D12.
5.2 Ejercicios
1. Resolver los ejercicios de la sección 5.1 usando el método de Euler mejorado y, cuando sea posible, comparar los errores cometidos en cada uno de los métodos. ¿Cuál es más exacto?
2. Para cada uno de los problemas de valor inicial haga lo siguiente: (a) Trabajar en [ ]2,0 con 1.0=h y después con
05.0=h . (b) Comparar con los valores correctos que nos da la
solución exacta. (c) Hacer la gráfica tanto de la solución exacta como de
la aproximación. 22.1)0(;´ 22 +−+−==−= − tteyyyty t
22
11.1)0(;2´t
yytyy−
===
00.20.40.60.8
11.21.41.61.8
2
0.00 1.00 2.00 3.00
y
t
y´=2t-y^2
y´=2t-y^2
21
teyyyyy
2123.2)0();3)(1(´−+
+−=−=++−=
3. Hacer las gráficas de los errores, tanto del método de Euler, como del método de Euler mejorado. ¿Cuál tiende más rápido a cero?
4. 5.
5.3 EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA (RK4)
Para encontrar el valor aproximado 1+ky a partir de ky se
emplean cuatro pendientes, que llamaremos kkk pnm ,, y kq , junto con algunos puntos intermedios. El procedimiento general se da a continuación: Dado h , el tamaño de paso y el punto ),( kk yt se calcula
(a) La pendiente ),( kkk ytfm = , usando la ecuación diferencial (b) El valor intermedio
kkk mhyy2
~ +=
(c) La nueva pendiente
)~,2
( kkk yhtfn +=
(d) Un nuevo valor intermedio
kkk nhyy2
ˆ +=
(e) Una tercer pendiente
)ˆ,2
( kkk yhtfp +=
(f) El punto al final del intervalo
kkk hpyy += (g) La última pendiente
),( kkk yhtfq += (h) El promedio ponderado de las pendientes encontradas
)22(61
kkkk qpnmMk+++=
(i) El valor aproximado de la solución
kkk hMyy +=+1 Para ejemplificar este método aproximamos la solución al problema de valor inicial visto antes
1)0(;2´ 2 =−= yyty
con el tamaño de paso 41
=h en el intervalo [ ]2,0 .
Como siempre, después de colocar los títulos colocamos el tamaño de paso en la celda B3, en C3 el tiempo kt , el valor de la
solución, ky , en D3, mientras que en E3...L3 los cálculos que se mencionan en los incisos (a)-(h) anteriores.
22
Incrementamos el tiempo en las celdas C3...C11, hasta que tengamos 2=t y finalmente calculamos las siguientes aproximaciones en las celdas E4...E11. Para hacer los cálculos necesarios arrastramos las celdas E4...M4 hacia E11...M11.
Podemos hacer la gráfica de nuestra aproximación y compararla con las obtenidas con los métodos anteriores. Se deja como ejercicio hacer, las tres gráficas obtenidas, sobre el mismo sistema de coordenadas.
Ejercicios 5.3
1. Resolver todos los ejercicios de las secciones 5.1 y 5.2 usando el método de Runge-Kutta y, cuando sea posible, comparar la exactitud de cada método.
2. Resolver
6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES La implementación de los métodos para ecuaciones diferenciales de primer orden hacia los sistemas de primer orden es directa si se usa la notación vectorial. El sistema
00.20.40.60.8
11.21.41.61.8
2
0 1 2 3
y(t)
t
y´=2t-y^2
y´=2t-y^2
23
),,(
),,(
yxtgdtdy
yxtfdtdx
=
=
se escribe en la siguiente forma compacta
),( YtFdtdY
=
donde se ha puesto
==
yx
yxY ),( ;
=
dtdydtdx
dtdY
y
=
),(),(
),(YtgYtf
YtF
Los métodos numéricos expuestos para resolver el problema de valor inicial )(α . Se adaptan a los sistemas
00 )();,( YtYYtFdtdY
==
en forma natural. Por ejemplo, el procedimiento general para el método de Euler queda como sigue: Dado h , el tamaño de paso y el punto ),( kk Yt se calcula
(a) La “pendiente” ),( kkk YtFM = , usando la ecuación
diferencial (b) El siguiente punto ),( 11 ++ kk Yt por las fórmulas
htt kk +=+1
),(1 kkkkkk YthFYhMYY +=+=+ para .1...,2,1,0 −= Nk El procedimiento general para el método de Euler mejorado es como sigue:
Dado h , el tamaño de paso y el punto ),( kk yt se calcula
(a) La pendiente ),( kkk YtFM = , usando la ecuación
diferencial (b) 1
~+kY con el método de Euler
kkk hMYY +=+1~
(c) El siguiente punto ),( 11 ++ kk Yt por las fórmulas
htt kk +=+1
))~,(),((2 111 +++ ++= kkkkkk YtFYtFhYY
para .1,...,2,1,0 −= Nk El procedimiento para el método de Runge-Kutta es: Dado h , el tamaño de paso y el punto ),( kk Yt se calcula
(a) La pendiente ),( kkk YtFM = , usando la ecuación
diferencial (b) El valor intermedio
kkk MhYY2
~ +=
(c) La nueva pendiente
)~,2
( kkk YhtFN +=
(d) Un nuevo valor intermedio
kkk NhYY2
ˆ +=
(e) Una tercer pendiente
)ˆ,2
( kkk YhtFP +=
(f) El punto al final del intervalo
kkk hPYY +=
24
(g) La última pendiente ),( kkk YhtFQ +=
(h) El promedio ponderado de las pendientes encontradas
)22(61
kkkkk QPNMR +++=
(i) El valor aproximado de la solución
kkk hRYY +=+1 Ejemplificamos cada uno de los métodos resolviendo el sistemas de ecuaciones diferenciales dado por las ecuaciones de Lotka-Volterra.
xyydtdy
xyxdtdx
9.0
2.12
+−=
−= )5.0,1()0( =Y
Notamos que la variable x representa a la presa, mientras que y representa al depredador. Usamos el método de Euler. Los datos quedan en la hoja de cálculo como se muestra
Donde en la columna C aparece el tiempo, en la D se calcula la aproximación de la variable x , mientras que en la E la aproximación de y . En las columnas F y G se calculan los valores de las funciones xyx 2.12 − y xyy 9.0+− respectivamente.
Las demás aproximaciones se calculan arrastrando las celdas C5...G5 hacia abajo tanto como se quiera. En este ejemplo lo Después hasta C100...G100. Podemos visualizar el comportamiento de cada una de las especies haciendo los gráficos correspondientes y sobreponiéndolos en un mismo sistema de coordenadas lo que nos queda
Donde se indica que la línea delgada representa el comportamiento de la presa y la gruesa del depredador. Cada gráfica se obtuvo usando las columnas C con D y C con E respectivamente. El plano fase se obtiene al considerar las celdas D4...D100 y E4...E100. El gráfico obtenido es
0123456789
0 5 10 15
x vs t
y vs t
25
Como se observa estos gráficos no corresponden a lo esperado. Se puede mejorar modificando el tamaño de paso, por ejemplo, puede tomarse =0.01 y se deja como ejercicio realizar los gráficos. Repetimos este ejemplo ahora usando el método de Euler mejorado. La hoja de cálculo queda
Al igual que con el método de Euler se arrastran las celdas C4...K4 hasta C100...K100 y hacemos las gráficas correspondientes
y el plano fase
0123456789
0 2 4 6 8
FASE
FASE
00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
0 5 10 15
x vs t
y vs t
26
Que ahora si corresponde a nuestras expectativas. Por último vemos el procedimiento para el método de Runge-Kutta.
00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
0 1 2 3 4
PLANO FASE
PLANO FASE
27
Como antes, hacemos las aproximaciones y arrastramos las celdas C5..V5 hasta las celdas C100...V100. Elaboramos las gráficas
y el plano fase
Después de ver los diferentes métodos implementados en el mismo sistema Depredador-Presa observamos que el método de Runge-Kutta nos dio mejores resultados. Se queda como ejercicio modificar el tamaño de paso, por ejemplo a la mitad, en cada uno de los métodos y hacer los cálculos y gráficos correspondientes.
Ejercicios 6 Resolver cada uno de los ejercicios siguientes usando los tres métodos dados aquí.
1. Resolver los siguiente sistemas de ecuaciones diferenciales para [ ]2,0∈t y con tamaño de paso =0.1, 0.05 y 0.001.
yxdtdy
yxdtdx
23
32
−=
−−= )1,1()0( =Y
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 10 20 30
x vs t
y vs t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 1 2 3 4
PLANO FASE
PLANO FASE
28
yxdtdy
yxdtdx
49
415
415
49
+−=
+−= )1,1()0( =Y
)50(01.0
)40(005.0
xydtdy
yxdtdx
+−=
−= )50,80()0( =Y
xyyydtdy
xyxxdtdx
−−=
−−=
2
2
2116
2114
)1,10()0( =Y
El último sistema con la siguiente condición inicial
)10,5()0( =Y ; )15,35()0( =Y y )30,28()0( =Y . 2. Sobreponer los cuatro últimos planos fase del ejercicio 1 y
tratar de identificar el tipo de interacción que hay entre las especies.
3. Resolver los siguientes sistemas de competencia.
xyydtdy
xyxdtdx
5.1
2
−=
−=
4. Resolver los sistemas de ecuaciones que nos modelan una simbiosis
5. Si tenemos dos tanques conectados entre sí, como se muestra en la figura. Encontrar el sistema de ecuaciones diferenciales que nos modela
6. Convertir la ecuación diferencial de segundo orden en un sistema de ecuaciones diferenciales y resolverla numéricamente.
7. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden que nos modela un oscilador armónico
8. 9.
7 DIFERENCIAS FINITAS
En esta parte veremos diversas formas de aproximar la derivada de una función de la cual, solo sabemos, sus valores están contenidos en una tabla. Se escribirán las fórmulas de diferencias hacia delante, hacia atrás y las centrales. Estas se obtienen de elegir el polinomio de Taylor adecuado. Escribimos las aproximaciones de Taylor alrededor de 0x , de una función, que utilizaremos:
+−+−+= 200000 ))(´´(
21))(´()()( xxxfxxxfxfxf )(τ
Si escribimos, 01 , xxxx ii ==+ y ii xxh −= +1 y )( ii xff =
entonces )(τ queda
+++=+2
1 ´´21´ hxfhfff iiii )(σ
que, al sustituir h− por h obtenemos
29
−+−=−2
1 ´´21´ hfhfff iiii )(θ
De )(σ y , considerando únicamente hasta la primer derivada obtenemos la aproximación, hacia delante, de la derivada
( )iii ffh
f −≈ +11´
mientras que, si hacemos lo mismo con )(θ obtenemos la correspondiente aproximación hacia atrás
( )11´ −−≈ iii ffh
f
y, si sumamos las dos últimas expresiones obtenemos la aproximación central
( )1121´ −+ −≈ iii ffh
f
Así que, se pueden seguir usando relaciones similares a )(σ y )(θ para obtener aproximaciones de la segunda, tercera o
cualquier otra derivada. También pueden obtenerse aproximaciones de la primera derivada donde aparecen otros puntos. La aproximación que usaremos para la segunda derivada es la central y que queda expresada en la forma
( )112 21´´ −+ +−≈ iiii fffh
f
Estas fórmulas de derivación numérica se implementan muy fácilmente en la hoja e cálculos. Como ejemplo aproximamos la primera y segunda derivada de la función xsenxf =)( en el
punto 75.0=ix usando 01.0=h , 005.0=h y 001.0=h . Usaremos, para la primera derivada, las tres expresiones que escribimos antes y para le segunda la central.
Observamos que la mejor aproximación se obtiene con las diferencias centrales. Ahora calculamos la segunda derivada de la misma función en el mismo punto.
30
Ejercicios 7
1. Calcular la primera derivada de cada una de las siguientes funciones usando cada una de las fórmulas dadas anteriormente con 001.0,005.0,01.0=h y compárese con el valor correcto.
8;2cos)( π
== ixxxf
2);1(ln)( =+= ixxxg
5.1;)(2
== −i
x xexh 2. Calcular la segunda derivada de las funciones del ejercicio 1
usando la fórmula de diferencias centrales 3. Un móvil tiene un movimiento que viene reflejado según la
tabla de abajo. t Y 0 3 1 5 2 11 3 21 4 35 5 53
Calcular el valor aproximado de la velocidad y aceleración en cada uno de los puntos.
4. Repetir el ejercicio anterior para la siguientes tablas
5. Recordemos que para una función de dos variables podemos calcular sus derivadas parciales. Encontrar fórmulas similares a las obtenidas aquí para cada una de sus primeras derivadas parciales y la correspondiente para las segundas derivadas parciales no mixtas.
6.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CON CONDICIONES
DE FRONTERA MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS Las fórmulas obtenidas en 7 nos permiten aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden lineales con condiciones de frontera, como se muestra a continuación La ecuación tiene la forma
BbyAayxryxqyxpy ==++= )(,)();()(´)(´´ que, al usar las fórmulas de diferencias finitas dadas en el capítulo 7, toma la forma
iiiii
iiii ryq
hyy
ph
yyy++
−
=+− −+−+
22 11
211
la cual puede escribirse en la forma
( ) iiiiiii rhyphyqhyph 21
21 2
122
1 −=
−−++
+− +−
para Ni ,...,2,1= . Donde se dividió el intervalo
ECUACIÓN DE CALOR
31
Método de las diferencias finitas
APÉNDICE A
ELABORACIÓN DE GRÁFICAS Bosquejaremos la gráfica de 106)( 2 −−= xxxf como sigue: En A1, A2 escribimos x y )(xf respectivamente. Ahora escribimos en las celdas A2... los puntos en los que evaluaremos la función f y en las celdas B2... encontramos los valores de la función
a continuación seleccionamos las celdas A1...B14, oprimimos el botón de asistentes para gráficos, seleccionamos XY(Dispersión) y el diagrama de puntos
oprimimos el botón y en la próxima pantalla elegimos Serie en la ceja superior. Donde dice Nombre escribimos el nombre que queremos que tenga nuestro gráfico, por ejemplo, GRÁFICA DE f(x)
32
Nótese que a la derecha de la leyenda: Valores de X: aparece el rango de la columna A2...A14 que son los puntos en los cuales evaluamos la función. Mientras que donde dice Valores de Y aparecen los valores calculados de la función. Si queremos darle
formato al gráfico se hace clic en el botón , donde aparecerá
Bajo la leyenda Eje de valores (X) ponemos el nombre que tendrá el eje X, por ejemplo, PUNTOS, mientras que en el Y podemos escribir VALORES. Las celdas superiores nos permiten darle un formato diferente a nuestro gráfico. Si hacemos clic en
aparecerá una pantalla donde nos pregunta el lugar que colocaremos nuestro gráfico. Elegimos: Como objeto en.
Hacemos clic en y obtenemos nuestro gráfico (de puntos).
33
Para visualizar la gráfica, en forma continua, colocamos el puntero del mouse en alguno de los puntos de la gráfica, hacemos clic con el botón secundario y seleccionamos: Agregar línea de tendencia... y en la pantalla que aparezca elegimos la ventana Polinomial, pues nuestra función es de este tipo.
Hacemos clic en para que aparezca la gráfica continua de f .
34
Si queremos hacer la gráfica de la función, )(xg , sobrepuesta con la de )(xf , la cual se ha evaluado en los mismos puntos
colocamos el puntero del mouse en el área del gráfico, hacemos clic con el botón secundario y seleccionamos Datos de origen..., en la pantalla que aparezca seleccionamos Agregar y le damos nombre a la nueva Serie, por ejemplo GRÁFICA DE g(x). A la derecha de la leyenda Valores de X: oprimimos y aparecerá la pantalla
ahora colocamos el puntero del mouse en la celda A2 y lo arrastramos hasta A14. Observamos que la pantalla anterior queda
35
hacemos clic en el botón . Repetimos la selección de celdas, pero con Valores de Y, oprimimos el botón y se seleccionan las celdas C2...C14, oprimimos el botón , hacemos clic en
y aparecerán los puntos de la gráfica de g . Para tener la gráfica de esta función agregamos la línea de tendencia correspondiente. Obtenemos finalmente
APÉNDICE B
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Método de Cramer
La solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=++
=+++=+++
+
2211
22222121
11212111
está dada por
nix ii ,...,1=∀
∆∆
= si 0≠∆
donde ∆ es el determinante de la matriz, A, del sistema y i∆ es el determinante de la matriz que se obtiene de A al cambiar la i-ésima columna por la columna de constantes. Por ejemplo, resolvamos el sistema de ecuaciones:
Método de la matriz inversa
Método de Gauss-Jordan
Método iterativo de Jacobi
Método iterativo de Gauss-Seidel
