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EXAMEN LGEBRA CIENCIAS FSICAS LGEBRA I Febrero 2001 Primera
PP
Primera semana Corregido y comentado por Antonio Luis Martnez
Rico
[email protected]
http://www.matematicas.net
1.- Sean ( ) ( ) ( ){ }1,0,0 , 2,1,3 , 0, 2, 2B = y ( ) ( ) ( ){
}' 1,1,1 , , 1,1, 2 , 1,0,1B = dos bases de 3R . Hallar la matriz
del cambio de base y las coordenadas respecto a B del vector
de coordenadas ( )1,2,3 respecto de 'B . Respuesta:
Vamos a averiguar la matriz de cambio de base (o de paso) de 'B
a B . Esta matriz
servir para hallar las coordenadas en la base B de cualquier
vector v de 3R si previamente conocemos sus coordenadas en la base
'B . Cmo obtenemos esta matriz?
Debemos hallar las coordenadas de los vectores de la base 'B en
la base B .
Procedamos
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1,1,1 1,0,0 2,1,3 0,2,2
1,1, 2 1,0,0 2,1,3 0, 2, 2
1,0,1 1,0,0 2,1,3 0,2,2
a b c
a b c
a b c
= + +
= + +
= + +
Resolvemos la primera de las igualdades mediante el sistema
lineal siguiente
( ) ( ) ( ) ( )1 1 11,1,1 1,0,0 2,1,3 0,2,2a b c= + +
1 1
1 1
1 1
1 21 21 3 2
a bb cb c
= + = + = +
Multiplicamos la segunda ecuacin por ( )1 y se la sumamos a la
tercera
1 1 1 11 1
1 20 2 0
1 3 2b c
b bb c
= = == +
Sustituimos el valor de 1b en las dems ecuaciones
-
1
1 1 1
1
111 2 1,2
1 2
ac a cc
= = = ==
Es decir, las coordenadas del vector ( )1,1,1 en la base ( ) ( )
( ){ }1,0,0 , 2,1,3 , 0, 2, 2B =
son 1012
(observemos que las coordenadas las pongo en columna. Esto es
realmente
importante a la hora de manejarlas en el contexto de la matriz
de paso). En efecto, como
podemos comprobar
( ) ( ) ( ) ( )11 1,0,0 0 2,1,3 0, 2,2 1,1,12
+ + =
Las coordenadas obtenidas con este clculo son la primera columna
de la matriz de
paso. Es decir, la matriz de paso ser de la forma
1 . .0 . .1 . .2
P
=
Vamos a hallar las restantes coordenadas y as podremos completar
las otras dos
columnas. Procediendo del mismo modo tenemos
2 2 21 10, ,2 4
a b c= = = 3 3 31 10, ,2 4
a b c= = =
por lo que las coordenadas respectivas sern
01214
01214
y la matriz de paso queda
-
1 0 01 102 2
1 1 12 4 4
P
=
Cmo usamos esta matriz para obtener las coordenadas? Pues
simplemente cogemos
las coordenadas en la base 'B del vector (es decir ( )1,2,3 ) y
las ponemos en columna
123
Bastar multiplicar la matriz de paso por esta matriz columna
para hallar las
coordenadas del vector en la base B
1 0 0 111 1 50 22 2 2
31 1 1 12 4 4 4
P
= =
Es decir, las coordenadas pedidas son 5 11, ,2 4
. Vamos a comprobarlo. Como el vector
tiene por coordenadas ( )1,2,3 en la base 'B , entonces resulta
( ) ( ) ( ) ( )1 1,1,1 2 1,1,2 3 1,0,1 6,3,8+ + = Si sus
coordenadas en la base B son 5 11, ,
2 4 , entonces
( ) ( ) ( ) ( )5 11 1,0,0 2,1,3 0,2,2 6,3,82 4
+ + =
Esto prueba que la matriz de paso de 'B a B es la correcta
(sugerimos al lector que
comprueba que la matriz de paso de B a 'B es la inversa de P
).
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2.- Definimos en Z Z la relacin R como sigue ( ) ( ) 2 1 2 11 1
2 2, , y2 3
y y x xx y R x y Z Z
Determinar si R es una relacin de equivalencia, y si lo fuera
hallar el conjunto
cociente
Respuesta:
Podemos expresar la relacin anterior de la siguiente manera:
dos pares ordenados de nmeros enteros estn relacionados si y slo
si la diferencia
entre las segundas componentes de los pares es un mltiplo de dos
y la diferencia entre
las primeras componentes es un mltiplo de tres. En efecto, la
nica forma de que la
divisin de un entero entre dos sea un entero es que el dividendo
sea par (mltiplo de
dos). Anlogamente si la divisin de un entero entre tres es
tambin entero, el dividendo
es un mltiplo de tres.
Veamos si se trata de una relacin de equivalencia a travs de las
propiedades que
cumple.
a) Propiedad reflexiva: Para todo par ( )1 1,x y es ( ) ( )1 1 1
1, ,x y R x y ya que 1 1 1 10, 0
2 3y y x x
= =
y el cero es un nmero entero.
b) Propiedad simtrica: Si es ( ) ( )1 1 2 2, ,x y R x y entonces
2 1 2 1y2 3y y x x
Z Z , de donde los opuestos de estos cocientes tambin son
enteros. Es decir,
1 2 1 2y2 3
y y x x Z Z y esto significa que ( ) ( )2 2 1 1, ,x y R x y
.
c) Propiedad transitiva: Supongamos que ( ) ( )1 1 2 2, ,x y R x
y y tambin que ( ) ( )2 2 3 3, ,x y R x y . En este caso, 2 1 2 1y2
3
y y x x Z Z y tambin
3 2 3 2y2 3
y y x x Z Z . La suma de enteros es siempre un entero por lo
que
3 2 3 1 3 2 3 12 1 2 1y2 2 2 3 3 3
y y y y x x x xy y x x + = + = Z Z . Es decir,
( ) ( )1 1 3 3, ,x y R x y . Al cumplir las propiedades
reflexiva, simtrica y transitiva la relacin es de
equivalencia.
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Cada una de las clases de equivalencia que podemos obtener estar
definida a travs de
un representante. Sea ( ),a b dicho representante, la clase de
equivalencia ( ),a b est formada por todos los pares ordenados de
enteros que verifican las condiciones
( ) ( ) 1 11 1, , y2 3b y a xx y R a b Z Z .
Es decir, si llamamos k y m , respectivamente, a los enteros
resultados de los cocientes
por 2 y por 3, tenemos
1 1 1 1 1y 2 y 32 3b y a xk m b y k a x m = = = =
Esto significa que 1y es congruente con b mdulo 2 y 1x es
congruente con a mdulo
3. Con ms precisin, 1y y 1b tienen el mismo resto al ser
divididos por 2 y 1x y a
tienen el mismo resto al ser divididos por 3. Los nicos restos
posibles en las divisiones
por 2 son 0 y 1 y en las divisiones por 3 son 0, 1 y 2. As pues,
el conjunto cociente est
formado por seis elementos (3 posibilidades para la primera
componente y 2 para la
segunda)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,0 , 2,0 , 0,1 , 1,1 , 2,1R = Z
Z
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3.- Sea U el subespacio vectorial de 4R generado por los
vectores ( )1 1,1,1, 2u = , ( )2 1,1,0,1u = y ( )3 1,1, 2, 5u = y
sea V el subespacio vectorial de 4R generado por los vectores ( )1
3,1,1,3v = y 2 3 1, ,0,32 2v
=
Hallar la dimensin de U V .
Respuesta:
Disponemos los vectores que generan ambos subespacios como filas
de una matriz
1
2
3
1
2
1 1 1 21 1 0 11 1 2 53 1 1 33 1 0 32 2
uuuvv
y ahora tratamos de llevarla a una forma triangular. El nmero de
vectores fila que
queden diferentes de cero en la forma triangular es la dimensin
del subespacio
vectorial suma. Por el contrario, aquellos vectores iguales a
cero nos servirn para
obtener los vectores que generan la interseccin y la dimensin de
sta.
Multiplicamos la primera fila por ( )1 y se la sumamos a la
segunda y a la tercera
1
1 2
1 3
1
2
1 1 1 20 0 1 30 0 1 33 1 1 33 1 0 32 2
uu uu uvv
+
+
Sumamos a la tercera fila la segunda
1
1 2
1 3 1 2
1
2
1 1 1 20 0 1 30 0 0 03 1 1 33 1 0 32 2
uu u
u u u uvv
+ + +
Esto nos muestra que 1 3 1 2 0u u u u + + = . Es decir
1 2 32 0u u u + + =
-
y los vectores que generan el espacio U no son una base. La
dimensin de U resulta
ser dos. Sumamos a la cuarta fila la primera multiplicada por (
)3 y a la quinta la primera multiplicada por ( )3/ 2
1
1 2
1 2 3
1 1
1 2
1 1 1 20 0 1 30 0 0 0 20 2 2 9 3
3 30 1 62 2
uu uu u uu v
u v
+
+ + + +
Ahora cambiamos de posicin la cuarta y la tercera
1
1 2
1 2
1 1
1 2 3
1 1 1 20 0 1 3
330 1 62230 2 2 9
20 0 0 0
uu u
u v
u vu u u
+ + +
+ +
A la cuarta le sumamos la tercera multiplicada por ( )2
( )
1
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2 3
1 1 1 20 0 1 3
330 1 6 22 32 30 0 1 3
20 0 0 0
2
uu u
u v
u v u v
u u u
+
+
+ +
+ +
Sumamos a la cuarta la segunda
( )
1
1 2
1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 3
1 1 1 20 0 1 3
330 1 6 22 32 30 0 0 0
20 0 0 0
2
uu u
u v
u v u v u u
u u u
+
+
+ + +
+ +
y cambiamos la segunda y la tercera
-
( )
1
1 2
1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 3
1 1 1 23
30 1 6 22
0 0 1 332 30 0 0 02
0 0 0 02
u
u v
u u
u v u v u u
u u u
+
+
+ + +
+ +
La dimensin del espacio suma es igual a tres, recordando que
( ) ( )dim dim dim dimU V U V U V+ = + y conociendo que dim 2U =
y dim 2V = , tenemos
( )3 2 2 dim U V= + , por tanto
( )dim 1U V = . Si queremos hallar una base de la interseccin
utilizamos la relacin
( ) 1 2 1 1 1 232 3 02 u v u v u u
+ + + = .
En efecto,
( ) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 232 3 0 3 2 3 02 u v u v u u u v u v u
u
+ + + = + + =
2 1 1 2 1 2 1 22 0 2v v u u v v u u + + = = Es decir, el vector
1 22v v pertenece a V y es igual al vector 1 2u u que pertenece
a
U . Este vector est en ambos subespacios y pertenece a la
interseccin, como es no
nulo ser una base de dicha interseccin.
