Exposición Tratamiento de las Ec. Dif. Parciales, Implicitas, Crank Nicholson

DUBAN CASTRO FLOREZHERNAN FULA BOHORQUEZ

DANIEL FERNANDO RODRIGUEZELIANA CATHERINE GOMEZ PINTO

METODOS NUMERICOS EN INGENIERIAINGENIERIA DE PETROLEOS

2010

2.3. MÉTODO IMPLICITO

2.2. MÉTODO EXPLICITO

2.1. DERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITAS

2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIIALES

1. INTRODUCCIÓN

BIBLIOGRAFIA

2.3. MÉTODO CRANK-NICHOLSON

En este trabajo se presentarán algunas de las técnicas numéricas para aproximar la solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) lineales de segundo orden y con dos variables independientes.

Para esto se parte de la modelación de fenómenos físicos como la conducción de calor en una barra aislada.

Dado que las Ecuaciones Diferenciales Parciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde se involucran una función de más de una variable independiente y sus derivadas parciales.

De ahí su importancia, pues prácticamente en todos los fenómenos que se estudian en ingeniería y otras ciencias, aparecen más de dos variables, y su modelación matemática conduce frecuentemente a EDP.

DERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITASDERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITAS

Proceso de discretización: El conjunto infinito de números que representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación

Entre las diferentes formas de discretización posibles (elementos finitos, volúmenes finitos, etc.), una de las más simples es mediante el Método de Diferencias Finitas.Método de Diferencias Finitas.

DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERADIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA

En una solución por este método, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente solucionable por medios comunes (especialmente matriciales).

VALOR EN LA FRONTERAVALOR EN LA FRONTERAConsideremos el problema de encontrar la función φ(x) que satisface la ecuación diferencial:

Sujeta a las condiciones de frontera

Las ecuaciones anteriores son utilizadas para la descripción analítica de muchos procesos físicos, por ejemplo:

Conducción de calor a través de una pared plana (TQ en 1-D)

Flujo en canales y tuberías

Deflexión transversal de cables

Deformación axial de barras (ver Figura).

Entre otros


En la primera condición de frontera, aplicada en x = 0, el valor de la función φ(x) se especifica como φ0, tal como se muestra en la

siguiente ecuación:

φ = φ 0 en x = x0

Una condición de frontera de este tipo se denomina condición de frontera Dirichlet. En la segunda condición, aplicable a la condición remanente de la frontera x = L, el valor de la función corresponde a la ecuación:

Este tipo de condición de frontera se denomina condición de frontera Neumann .


APROXIMACIÓN DE DERIVADAS MEDIANTE DIFERENCIAS FINITASAPROXIMACIÓN DE DERIVADAS MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS

Forma alternativa para obtener aproximaciones de diferencia. Permite deducir:

Fórmulas de diferencia sistemáticamente

Términos de error de truncamiento.

Se pueden obtener las aproximaciones de diferencia hacia atrás, centrada y hacia adelante.

Rnxxxf

xxxfxfxf iii

iiiii ++−+−+= +++ ...)(!2

)(''))((')()( 2

111

La serie de Taylor para una función f evaluada en Xi+1 es:

h

xfxfxf iii

)()()( 1' −= +

Truncando en el término de la primera derivada y realizando los cambios pertinentes se obtiene:

DIFERENCIAS FINITAS EN 1-DDIFERENCIAS FINITAS EN 1-D

A través de los métodos explícitos se calculan los valores en cada nodo para un tiempo posterior, basándose en los valores presentes del nodo y sus vecinos.

•Convergencia:

Conforme a tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximarán a la solución verdadera.

•Estabilidad: Los errores en cualquier etapa del cálculo no se amplifican, sino que se atenúan conforme avanza el cálculo.

“El método es convergente y estable si ≤1/2 o”

Se tendrá un valor óptimo ≤1/6 al minimizar los errores de truncamiento

Método ExplícitoMétodo Explícito

x y t∆ ∆

λλ

, 1i j +

1jx x −=

t

1jt +

jt

1jt +

ab

jx x= 1jx x +=

( ),i iT x t

( )1,i j jx t+ +

( )1,i j jx t− −

0t0x 1ix − ix 1ix + 1nx L+ =


( )

( )

( )

2

2

2

max

,0 20 0

0, 100 0

1, 100 0

1

1

1

o

o

o

T T

t x

PVF T x F x L

T t F t

T t F t

pieh

L pie

t h

α

α

∂ ∂=∂ ∂

= < <

= >

= >

=

==

Resolver el siguiente ejercicio con las condiciones iniciales y de frontera que se dan a continuación:


t

x

0,03

0,02

0,01ab

0 0,250t

0,50 1,000,75

0,04

,i jT


, 1 , 1, , 1,

2

2i j i j i j i j i jT T T T T

b aα+ − +− − +

=

1,1 1,0 0,0 1,0 2,0

2

2T T T T T

b aα

− − +=

( )1,1 0,0 1,0 2,0 1,022

bT T T T T

aα= − + +

( )( )1,1 2

1,1

0,011 60 2 20 20 200,25

26,4

T

T

= − + +

=

2,1 2,0 1,0 2,0 3,0

2

2T T T T T

b aα

− − +=

( )2,1 1,0 2,0 3,0 2,022

bT T T T T

aα= − + +

( )( )2,1 2

2,1

0,011 20 2 20 20 200,25

20

T

T

= − + +

=

( )( )3,1 2

3,1

0.011 20 2 20 60 200,25

26,4

T

T

= − + +

=

1,2 1,1 0,1 1,1 2,1

2

2T T T T T

b aα

− − +=

( )1,2 0,1 1,1 2,1 1,122

bT T T T T

aα= − + +

( )( )1,2 2

1,2

0,011 100 2 26,4 20 26,40,25

37,152

T

T

= − + +

=

2,2

3,2

22,048

37,152

T

T

==


Tiempo(h)x

0 0,25 0,5 0,75 10 60 20 20 20 60

0,01 100 26,4 20 26,4 1000,02 100 37,152 22,048 37,152 1000,03 100 44,791 26,881 44,791 1000,04 100 50,759 32,612 50,759 1000,05 100 55,734 38,419 55,734 1000,06 100 60,046 43,96 60,046 1000,07 100 63,865 49,108 63,865 1000,08 100 67,285 53,83 67,285 1000,09 100 70,367 58,136 70,367 1000,1 100 73,151 62,05 73,151 1000,2 100 89,968 85,812 89,968 1000,4 100 98,599 98,018 98,599 1000,6 100 99,804 99,723 99,804 1000,8 100 99,973 99,961 99,973 1001 100 99,996 99,995 99,996 100

•Aunque utilizan algoritmos más complicados que los métodos explícitos, mejoran los problemas de estabilidad y no excluyen información de importancia para la solución.

La derivada espacial se aproxima en un nivel de tiempo posterior.

Método ImplícitoMétodo Implícito

Para el ejemplo de la barra visto anteriormente, la segunda derivada se aproxima mediante:

Tiene una exactitud de segundo orden. Cuando esta ecuación se reemplaza en la EDP original, resulta una ecuación con varias incógnitas que no puede resolverse como en el método explícito.

2

11

111

2

2

)(

2

x

TTT

x

T li

li

li

∆+−≅

∂∂ +

−++

+


El sistema debe resolverse simultáneamente pues con las condiciones de frontera, las formulaciones implícitas dan como resultado un conjunto de m ecuaciones lineales algebraicas con el mismo número de incógnitas. Así, el problema se reduce a la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas en cada punto en el tiempo.

•que se puede expresar como:

Donde:

Esta ecuación se aplica a todos los nodos interiores, excepto al primero y al último de los nodos, los cuales deben modificarse para considerar las condiciones de frontera.

t

TT

x

TTTk

li

li

li

li

li

∆−=

∆+− ++

−++

+1

2

11

111

)(

2

li

li

li

li TTTT =−++− +

+++

−11

111 )21( λλλ 2)( x

tk

∆∆=λ


Para el extremo izquierdo de la barra (i=0):

Donde es una función que describe cómo cambia la temperatura con el tiempo de la frontera.

Sustituyendo en la ecuación de diferencias, se obtiene la ecuación para el primer nodo interior:

)( 110

++ = lo

l tfT

)( 1+lo tf

)()21( 112

11

+++ +=−+ lo

li

ll tfTTT λλλ


De manera similar se obtiene la ecuación para el último nodo interior (i=m):

Donde describe los cambios específicos de temperatura en el

extremo derecho de la barra. (i=m+1)

Cuando se escriben las ecuaciones de diferencias para todos los nodos, se obtiene el sistema de ecuaciones a resolver. El método tiene la ventaja de que el sistema es tridiagonal.

)()21( 11

111

++

++− +=++− l

mlm

lm

lm tfTTT λλλ

)( 11

++

lm tf


Aunque este método es estable y convergente, presenta una deficiencia: la aproximación en diferencias temporal tiene una exactitud de primer orden; y la aproximación en diferencias espacial tiene una exactitud de segundo orden. Además, hay un límite de exactitud para el uso de pasos de tiempo grandes.

El método de Richardson tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y para el tiempo, pero presenta serios problemas de estabilidad. El método conocido como Crank- Nicholson ofrece un esquema implícito que tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y para el tiempo y es incondicionamente estable.


Resuelva:

Condiciones Iniciales:

Condiciones de Frontera 1:

Condiciones de Frontera 2:

2 2

21

T T pieEDP y

t x hα α∂ ∂= =

∂ ∂

( ,0) 20 , 1oT x F L pie= =

max( , ) 100 , 1oT x t F t h= =

(1, ) 100 oT t F=


Solucion:

Se construye la malla con n=4 y m=100, con lo que a=0,25 y b=0,01.Si (i,j)=(1,1), entonces:

La temperatura en los nodos (0,1) y (1,0) está dada por las condiciones frontera e inicial, respectivamente, pero se desconoce la temperatura en los nodos (1,1) y (2,1). Entonces se tiene una ecuación con dos incógnitas que rearreglada queda:

, , 1 1, , 1,

2


b aα− − +− − +

=

1,1 1,0 0,1 1,1 2,12

2T T T T T

b aα

− − +=

1,1 2,1 1,0 0,1(1 2 )T T T Tλ λ λ+ − = + 2

b

a

αλ =


El procedimiento se repite en el nodo (2,1) y la ecuación diferencial parcial queda aproximada por:

En esta ecuación hay tres incógnitas , y ; así pues, al rearreglarla queda

Análogamente para el nodo (3,1), la ecuación diferencial parcial (EDP) queda aproximada por:

En esta ecuación sólo hay dos incógnitas, que son y : así pues, al rearreglarla resulta:

2,1 2,0 1,1 2,1 3,12

2T T T T T

b aα

− − +=

1,1T 2,1T 3,1T

1,1 2,1 3,1 2,0(1 2 )T T T Tλ λ λ− + + − =

3,1 3,0 2,1 3,1 4,12

2T T T T T

b aα

− − +=

2,1T 3,1T

2,1 3,1 3,0 4,1(1 2 )T T T Tλ λ λ− + + = +


Se tiene un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en las incógnitas , , que son precisamente las temperaturas que se quieren conocer. Esto es:

Con la sustitución de valores:

Y resolviendo la matriz:

1,1 2,1(1 2 )T Tλ λ+ − 0,1 1,0T Tλ= +

1,1 2,1 3,1(1 2 )T T Tλ λ λ− + + − 2,0T=

2,1 3,1(1 2 )T Tλ λ− + + 3,0 4,1T Tλ= +

0 01,0 2,0 3,0 0,1 4,10.16 20 , 100T T T F T T Fλ = = = = = =

1,1 2,1 3,129.99, 22.42, 29.99.T T T= = =


Ahora, mediante los mismos procedimientos que los descritos, se procede:

Al sustituir los valores conocidos:

Y al resolver, se tiene:

Que son las temperaturas correspondientes a t=0.02 h y a x=0.25, x=0.5, y x=0.75 pies, respectivamente.

1,2 2,2(1 2 )T Tλ λ+ − 0,2 1,1T Tλ= +

1,2 2,2 3,2(1 2 )T T Tλ λ λ− + + − 2,1T=

2,2 3,2(1 2 )T Tλ λ− + + 3,1 4,2T Tλ= +

0 00,2 4,2 1,1 3,1 2,10.16 100 , 29.99 22.42,T T F T T F Tλ = = = = = =

1,2 2,2 3,238.02, 26.2, 38,02.T T T= = =


Al aproximar la EDP por diferencias divididas en la fila j+1, se obtiene el siguiente sistema:

Hay que observar que en todos los casos por resolver, se tiene la misma matriz coeficiente, que es tridiagonal y simétrica.

Todo el sistema se soluciona estableciendo y resolviendo secuencialmente los sistemas de tres ecuaciones simultaneas para cada fila a partir de la segunda.

1, 1 2, 1(1 2 ) j jT Tλ λ+ ++ − 0, 1 1,j jT Tλ += +

1, 1 2, 1 3, 1(1 2 )j j jT T Tλ λ λ+ + +− + + − 2, jT=

2, 1 3, 1(1 2 )j jT Tλ λ+ +− + + 4, 1 3,j jT Tλ λ+= +


t(horas)x (pies)

0 0,25 0,5 0,75 10 60 20 20 20 60

0,01 100 29,99 22,43 29,99 1000,02 100 38,02 26,2 38,02 1000,03 100 44,64 30,67 44,64 1000,04 100 50,23 35,41 50,23 1000,05 100 55,04 40,17 55,04 1000,06 100 59,25 44,8 59,25 1000,07 100 62,97 49,2 62,97 1000,08 100 66,29 53,35 66,29 1000,09 100 69,28 57,21 69,28 1000,1 100 71,97 60,79 71,97 100

: : : : : :0,2 100 88,62 83,91 88,62 1000,4 100 98,1 97,32 98,1 1000,6 100 99,68 99,55 99,68 1000,8 100 99,95 99,93 99,95 1001 100 99,99 99,99 99,99 100

Se desarrollan aproximaciones por diferencias en el punto medio del incremento del tiempo.

Así, la primera derivada temporal, para el caso de la barra, se aproxima en tl+1/2 por:

t

TT

t

T li

li

∆−≅

∂∂ +1

Método de Crank - NicholsonMétodo de Crank - Nicholson

La segunda derivada en el espacio puede determinarse en el punto medio promediando las aproximaciones por diferencias al principio (tl) y al final (tl+1) del incremento del tiempo:

∆

+−+∆

+−≅∂∂ +

−++

+−+2

11

111

211

2

2

)(

2

)(

2

2

1

x

TTT

x

TTT

x

T li

li

li

li

li

li


Sustituyendo y reagrupando:

Se determinan las condiciones de frontera

para obtener versiones de la ecuación de diferencias para los nodos interiores primero y último.

Para el primer nodo:

Para el último nodo:

li

li

li

li

li

li TTTTTT 11

11

111 )1(2)1(2 +−

+−

++− +−+=−++− λλλλλλ

)()1(2)()1(2 121

11

11

++−

+ ++−+=−+ lo

lllo

li

l tfTTtfTT λλλλλλ

)( 110

++ = lo

l tfT )( 11

11

++

++ = l

mlm tfT

)()1(2)()1(2 1111

111

++−+

++− ++−+=++− l

mlm

lm

lm

lm

lm tfTTtfTT λλλλλλ


Dada una función u que depende tanto de x como de y, la derivada parcial de u con respecto a x en un punto (x,y) esta definida como:

( ) ( ), ,limu x x y u x yu

x x

+ ∆ −∂ =∂ ∆0x∆ →

De manera similar la derivada parcial con respecto a y esta definida como:

( ) ( ), ,limu x y y u x yu

x y

+ ∆ −∂ =∂ ∆

0y∆ →


Se dice que una EDP es lineal en la función desconocida y en todas sus derivadas con coeficientes que dependen solo de las variables independientes. Por ejemplo:

2 2

2 22 1

u uxy u

x y

∂ ∂+ + =∂ ∂

2 2 2

2 20

u u uA B C Dx x y y

∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

Para ecuaciones diferenciales de 2 orden con dos variables independientes se tiene:


Donde A,B y C son funciones de “x” y “y” y D es una función de:

, , , ,u u

x y ux y

∂ ∂∂ ∂

Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segunda derivada de la segunda derivada(A, B y C), la ecuación puede clasificarse en tres categorías como la muestra la siguiente tabla:


Este método es uno de los mas importantes por su estabilidad y alto orden de convergencia.

0,2

0,1

0,0

1,2

1,1

1,0

2,2

2,1

2,0

3,2

3,1

3,0

4,2

4,1

4,0

1, 1i j− +

1,i j−

, 1i j +

,i j 1,i j+

1, 1i j+ +t

X

Fig. 1 Nodos usados en el Método de

Crank-Nicholson


T

t

∂∂ 2

2

T

x

∂∂

Al aproximar en el nodo con

diferencias hacia adelante y de con

diferencias centrales, se obtiene:

( , )i j

, 1 , 1, , 1,

2


t xα+ − −− − +

=∆ ∆


T

t

∂∂ 2

2

T

x

∂∂

Al aproximar en el nodo con

diferencias hacia atrás y a con

diferencias centrales, se obtiene:

( , 1)i j +

, 1 , 1, 1 , 1 1, 1

2


t xα+ − + + + +− − +

=∆ ∆


, 1 , 1, , 1,

2


t xα+ − −− − +

=∆ ∆

, 1 , 1, 1 , 1 1, 1

2


t xα+ − + + + +− − +

=∆ ∆

( ), 1 , 1, , 1, 1, 1 , 1 1, 12 22i j i j i j i j i j i j i j i jT T T T T T T Tλ

+ − + − + + + +− = − + + − +

ALGORITMO DE CRANK-NICHOLSON


• Vamos a aplicar los nodos (1,0) y (1,1) , es decir:

1i = 0j =

0,2

0,1

0,0

1,2

1,1

1,0

2,2

2,1

2,0

3,2

3,1

3,0

4,2

4,1

4,0

1, 1i j− +

1,i j−

, 1i j +

,i j 1,i j+

1, 1i j+ +t

X

( )1,1 1,0 0,0 1,0 2,0 0,1 1,1 2,12 22

T T T T T T T Tλ− = − + + − +

( )1,1 2,1 1,0 0,0 2,0 0,1(1 ) (1 )2 2

T T T T T Tλ λλ λ+ − = + + + +



2i = 0j =

0,2

0,1

0,0

1,2

1,1

1,0

2,2

2,1

2,0

3,2

3,1

3,0

4,2

4,1

4,0

1, 1i j− +

1,i j−

, 1i j +

,i j 1,i j+

1, 1i j+ +t

X

( )2,1 2,0 1,0 2,0 3,0 1,1 2,1 3,12 22

T T T T T T T Tλ− = − + + − +

1,1 2,1 3,1 1,0 2,0 3,0(1 ) (1 )2 2 2 2T T T T T T

λ λ λ λλ λ− + + − = + − +



3i = 0j =

0,2

0,1

0,0

1,2

1,1

1,0

2,2

2,1

2,0

3,2

3,1

3,0

4,2

4,1

4,0

1, 1i j− +

1,i j−

, 1i j +

,i j 1,i j+

1, 1i j+ +t

X

( )3,1 3,0 2,0 3,0 4,0 2,1 3,1 4,12 22

T T T T T T T Tλ− = − + + − +

2,1 3,1 2,0 4,0 4,1 3,0(1 ) ( ) (1 )2 2T T T T T T

λ λλ λ− + + = + + + −


• Las ecuaciones anteriores forman un sistema cuya solucion es la temperatura T en los nodos (1,1) (2,1) y (3,1)

0,2

0,1

0,0

1,2

1,1

1,0

2,2

2,1

2,0

3,2

3,1

3,0

4,2

4,1

4,0

1, 1i j− +

1,i j−

, 1i j +

,i j 1,i j+

1, 1i j+ +t

X


( )1,1 2,1 1,0 0,0 2,0 0,1(1 ) (1 )2 2

T T T T T Tλ λλ λ+ − = + + + +

1,1 2,1 3,1 1,0 2,0 3,0(1 ) (1 )2 2 2 2T T T T T T

λ λ λ λλ λ− + + − = + − +

2,1 3,1 2,0 4,0 4,1 3,0(1 ) ( ) (1 )2 2T T T T T T

λ λλ λ− + + = + + + −

2

j

i

αλ ∆=∆

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, con las condiciones de frontera, se realiza el mismo procedimiento, pero aplicado en los nodos (1,1), (1,2); (2,1), (2,2) y (3,1), (3,2).


1j jAt Bt C+ = +

( )

( )

( )

( )

1 0 ... 02

1 .2 2.

..

. 12 2

0 ... 12

A

λλ

λ λλ

λ λλ

λ λ

− +

− − + = − − + − +

( )11, 1 2, 1 3, 1 1, 1...

Tjj j j n jt T T T T++ + + − +=


( )

( )

( )

( )

1 0 ... 02

1 .2 2.

..

. 12 2

0 ... 12

B

λλ

λ λλ

λ λλ

λ λ

− − = − −

( )1, 2, 3, 1,...Tj

j j j n jt T T T T −=

( ) ( )0, 0, 1 , , 10...0 ...2 2

T

j j n j n jc T T T Tλ λ

+ + = +


2 4B AC−

2 2

2 20

T T

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

2

2'

T Tk

t x

∂ ∂=∂ ∂

2 2

2 2 2

1y y

x c t

∂ ∂=∂ ∂

EJEMPLOCATEGORIA

<0

0

>0

ELIPTICA

PARABOLICA

HIPERBOLICA

ECUACION DE LAPLACE

ECUACION DE CONDUCCION DE

CALOR

ECUACION DE ONDA


ExplícitoExplícito ImplícitoImplícito Crank-NicolsonCrank-Nicolson

Solución directa Sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones

Condicionalmente estable

Incondicionalmente estable

Incondicionalmente estable

Segundo orden en espacio O(∆x2) y primer orden en tiempo O(∆t)

Segundo orden en espacio O(∆x2) y primer orden en tiempo O(∆t)

Segundo orden en espacio y en tiempo O(∆x2+∆t2)

COMPARACIÓN DE LOS COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOSMÉTODOS

[1] Douglas Wilhelm Harder, M.Math. Numerical Methods and Analysis for Engineers. University of Waterloo. Department of Electrical and Computer Engineering. http://www.ece.uwaterloo.ca/~ece204/TheBook/

[2] Chapra and Canale. Métodos numéricos para ingenieros. 4ª ed. Mc Graw Hill,2002

[3] Jeffery Cooper . Mathematics Department. The University of Maryland. http://www.math.umd.edu/~jec/

[4] Scientific Educational Matlab Database. Universidad de Stutgart. http://matlabdb.mathematik.uni-stuttgart.de/index.jsp

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

http://www.ece.uwaterloo.ca/~ece204/TheBook/

http://www.math.umd.edu/~jec/

http://matlabdb.mathematik.uni-stuttgart.de/index.jsp

Documents

Exposición Tratamiento de las Ec. Dif. Parciales, Implicitas, Crank Nicholson