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FUNCIONES
FUNCIÓN Definición:
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una regla, correspondencia o relación que asigna a cada elemento x del conjunto A un, y sólo un, elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio de f; B es el codominio de f. Se expresa como: f: A B
x f(x) = y (x: variable independiente; y: variable dependiente)Si y = f(x), se dice que y es la imagen de x mediante f y que x es la preimagen de f(x) = y. El recorrido de f es el conjunto de las imágenes de f. Se denota por Rf .
FUNCIÓN
Conceptos:
Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Df.
Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (y), y se denota Rf.
Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable
dependiente. Función Decreciente: es aquella que al aumentar la
variable independiente, la variable dependiente disminuye.
Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor
FUNCIÓN
Conceptos Fundamentales:
Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde un, y sólo un, valor en el conjunto de llegada B.
El conjunto de partida A es el dominio y el conjunto de llegada B es el codominio de f.
f(x)
A Bf
a
x
b = f(a)
f(x)
Conceptos Fundamentales: La variable x corresponde a la variable independiente y
la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.
A Bf
a
x
b = f(a)
f(x)
FUNCIÓN
o Conceptos Fundamentales
Se dirá: f : A B Si (a, b) f , entonces b B es la imagen de a A bajo
la función f y se denota por b= f(a) o f(a) = b.
Df =A Si (x, y) f ^ (x, z) f y = z . (Unicidad)
Toda función es relación, pero no toda relación es función.
FUNCIÓN
Rango, Imagen, Campo de Valores o Recorrido de f:Es aquel subconjunto del codominio en el cual cada uno de sus elementos es imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rf.
1234567
Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.
abcde
1234567
A Bf
FUNCIÓN
Luego para la función f denotada:
Dominio de f = Df = A = {a, b, c, d, e} Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Rango o Recorrido de f = Rf = {1, 2, 3, 4, 7}
abcde
1234567
A Bf
Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .
CLASIFICACIÓN
a) Función inyectiva o uno a uno: Una función f de A en B es inyectiva o uno a uno si a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B. Esto es, cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una).
De otras formas: Si a b en A, entonces f(a) f(b) en B. Si f(a) = f(b) en B, entonces a = b.
Como se ve, 4 B y no es imagen de ningún elemento de A.
abcd
12345
A Bf
b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una función f de A en B es epiyectiva o sobreyectiva o sobre si cada elemento del codominio B es imagen de, al menos, un elemento del dominio A. Esto es, cada elemento de B es imagen de, por lo menos, un elemento de A. En este caso, el codominio de f es igual al recorrido de f .
abcd
1
2
A Bf
c) Función Biyectiva: una función f de A en B es biyectiva si, y sólo si, la función f es tanto inyectiva como epiyectiva a la vez. Por to tanto, cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y a cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.
abc
123
A Bf
FUNCIÓN
La Respuesta correcta es B
FUNCIÓN
La Respuesta correcta es D
FUNCIÓN
La Respuesta correcta es E
FUNCIÓN LINEAL
Es de la forma f(x) = mx + b o y = mx + b. La gráfica de f es una línea o recta con:
m : Pendiente
b : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y.
Ejemplo:
La gráfica de la función f(x) = 5x – 3 tiene pendiente 5 e intersecta (interseca) al eje Y en la ordenada -3.
Ejercicios:
1. Determine f(-2) , f(x + h) - f(x) , 2. Determine los ceros de f . h
f(x)h)f(x
FUNCIÓN LINEAL
Análisis de la Pendiente
Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.• Si m < 0, entonces la función es decreciente.• Si m = 0, entonces la función es constante.• Si m > 0, entonces la función es creciente.
FUNCIÓN LINEAL
I) II)
X
Y
n
m > 0b > 0
X
Y
n m < 0b > 0
X
Y
n
m > 0b < 0
X
Y
n
m < 0b < 0
III) IV)
FUNCIÓN LINEAL
Propiedades:
El dominio de una función lineal es IR, el conjunto de los números reales.
Las rectas coplanarias diferentes que tienen la misma pendiente son paralelas.
Las rectas coplanarias que al multiplicar sus pendientes se tiene que el producto es -1, son perpendiculares.
FUNCIÓN CUADRÁTICA Es de la forma:
a, b, c son números reales; a 0. Df = IR = {números reales}
Gráfica:Siempre es una parábola cuya forma y
ubicación depende de sus coeficientes a, b y c.
Ejemplo: f(x) = x² + 2x – 15 Ejercicios:
1. Determine f(-2) , f(x + h) - f(x) , 2. Determine los ceros de f .
f(x) = ax² + bx + c
hf(x)h)f(x
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Concavidad:
El coeficiente a de la función cuadrática determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
x
y
0 x0
y
a > 0, abre hacia arriba a < 0, abre hacia abajo
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Eje de simetría y vértice:
El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y o que coincide con él y que pasa por el vértice de la parábola.
El vértice está dado por:
Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.-b 2a
_ b² - 4ac 4a
x
y
·
-b 2a
x0
y
·_ b² - 4ac 4a
-b 2a
a > 0 a < 0
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Intersección con los ejes Intersección con el eje Y
El coeficiente c o término constante nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)
0
c·
y
x
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Intersección con el eje X
para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.
Se define el discriminante como:
D = b² - 4ac
FUNCIÓN CUADRÁTICA
a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.
0 ·
Y
X
a > 0
(x = x , 0)
1 2
FUNCIÓN CUADRÁTICA
b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X
0 ·
Y
X
a > 0
·
(x ,0) y (x , 0)1 2
FUNCIÓN CUADRÁTICA
c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.
0
Y
X
a > 0
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Tipos de solucionesDependen del valor del Discriminante D:
a) Si D = 0, 2 soluciones reales iguales.
b) Si D > 0, 2 soluciones reales distintas.
c) Si D < 0, 2 soluciones complejas distintas .
D = b² - 4acax² + bx + c = 0
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo: Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las
soluciones de esta ecuación?Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas
por
En este caso a = 1 b = 2 c = -15Luego,
Luego,
x = 3 x = -5
x = -b ±√b²- 4ac 2a
x = -2 ±√2²- 4·1·(-15) 2·1x = -2 ±√4- 60 2x = -2 ±√64 2x = -2 ±8 2
x = -2 + 8 2
1
x = -2 - 8 2
2
1 2
