3UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA

INSTITUTO DE INVESTIGACION

“ANILLO DE REPRESENTACIÓN DE LOS GRUPOS DE LIE”

ROEL MARIO VIDAL GUZMAN

(01-12-2009 al 30-11-2010. Resolución N°1300-2009-R)

Lima – Perú

2010

2

IINNDDIICCEE

Pág.

I. RESUMEN......................................................................................... ... 3

II. INTRODUCCION............................................................................... ... 4

III. MARCO TEORICO............................................................................ ... 7

IV MATERIALES Y MÉTODOS.............................................................. ... 35

V RESULTADOS................................................................................... ... 36

VI DISCUSION....................................................................................... ... 47

VII REFERENCIAS ................................................................................. …. 50

3

I

RESUMEN

El presente trabajo toma en cuenta objetos de la física y química que tienen

propiedades que son modelables matemáticamente a través de los grupos

algebraicos y a partir de ellos, aplicando la teoría de las representaciones degrupos y los anillos de representación de los grupos que resultan ser de Lie,

visualizar y descubrir propiedades adicionales a las obtenidas por medios empíricos,

tomando como ejemplo diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica

cuántica: teoría de los átomos, química cuántica, teoría del estado sólido y mecánica

cuántica relativista.

Entre ellas destacan el análisis de la simetría de la función de onda de Schrödinger,

la explicación de la degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y

ciertas cuestiones relacionadas con la teoría del estado sólido.

Se muestra que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden

ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados implicados.

Sorprendentemente también pronostican que las moléculas a veces pueden cambiar

de simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una molécula de alta simetría

cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir de un conjunto de

estados base posible que se relacionan el uno con el otro por las operaciones de

simetría de la molécula.

Del mismo modo, con la teoría de grupos se ha logrado pronosticar los cambios de

propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado y

usar para construir modelos simples e imponer, digamos, la simetría axial sobre una

situación lográndose una simplificación significativa en las ecuaciones que hay que

resolver para proporcionar una descripción física. El grupo completo de simetría es

conocido como el grupo de Poincaré. Por lo que se explica, tiene un papel

fundamental en la relatividad especial y, por implicación, para la teoría cuántica de

campos.

4

II

INTRODUCCION

Una representación de grupo es una "descripción" de un grupo como grupo

concreto de transformaciones (o grupo de automorfismos) de un cierto objeto

matemático. Las representaciones de grupo son una herramienta muy importante en

el estudio de grupos finitos. También aparecen en ciertas aplicaciones de la

cristalografía y en geometría.

La teoría de representación y de anillo de grupo es importante porque permite la

reducción de algunos problemas de la teoría de grupos al álgebra lineal, que tiene

una teoría muy bien entendida. Hay un análogo de esta teoría para muchas clases

importantes de grupos infinitos; tales como las representaciones de los grupos y de

las álgebras de Lie y teorema de Peter-Weyl para los grupos topológicos compactos.

El presente trabajo toma en cuenta objetos de la física y química que tienen

propiedades que son modelables matemáticamente a través de los grupos

algebraicos y a partir de ellos, aplicando la teoría de la representación de grupos y

los anillos de representación de los grupos que resultan ser de Lie, visualizar y

descubrir propiedades adicionales a las obtenidas por medios empíricos, tomando

como ejemplo diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica cuántica

A diferencia de los tratados mencionados, el autor busca que contribuir dotar al

estudiante y al profesional e investigador una herramienta necesaria de consulta,

actualización y orientación básica, usando la didáctica matemática general como

soporte para su desarrollo y aprendizaje.

Muchos de los grupos algebraicos y topológicos modelan el comportamiento de la

mayoría de los grupos importantes de la física, química y geometría, es el caso que

5

estudios teóricos sobre los primeros han descubierto y aun pueden descubrir muchas

propiedades adicionales que podrían traducirse en comportamientos físicos y

químicos; en este trabajo nos proyectamos indagar y descubrir tales relaciones.

Asimismo, se analiza una serie de temas que en otras fuentes bibliográficas o bien

no se estudian o bien se exponen de forma muy superficial. Entre ellas destacan el

análisis de la simetría de la función de onda de Schrödinger, la explicación de la

degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y ciertas cuestiones

relacionadas con la teoría del estado sólido.

Este trabajo está pensado principalmente para los estudiantes de física, y será de

una gran utilidad para los estudiantes de doctorado y científicos ya formados, tanto

físicos como químicos, que deseen estudiar la teoría de grupos para poderla utilizar

como un instrumento más en sus investigaciones.

Los grupos de simetría son grupos que constan de simetrías de objetos matemáticos

dados que son de naturaleza geométrica, como el grupo de simetría introductorio del

cuadrado, o de naturaleza algebraica, como las ecuaciones polinómicas y sus

soluciones. Conceptualmente, la teoría de grupos se puede pensar como el estudio

de la simetría. Las simetrías en matemáticas simplifican en gran manera el estudio

de objetos geométricos o analíticos. En el campo de la química, como por ejemplo la

cristalografía, el espacio se agrupa y los grupos puntuales de simetría describen

simetrías moleculares y simetrías cristalinas. Estas simetrías son subyacentes al

comportamiento físico y químico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite

simplificar el análisis en mecánica cuántica de estas propiedades.

No sólo hay grupos útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en

moléculas, sino que sorprendentemente también pronostican que las moléculas a

veces pueden cambiar la simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una

molécula de alta simetría cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir

desde un conjunto de estados base posibles que se relaciona el uno con el otro por

las operaciones de simetría de la molécula.

6

Del mismo modo, la teoría de grupos ayuda a pronosticar los cambios de

propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado, por

ejemplo, de forma cristalina cúbica a una forma cristalina tetraédrica. Un ejemplo son

los materiales ferroeléctricos, donde el cambio desde un estado paraeléctricos en un

estado ferroeléctricos sucede a la temperatura de Curie y está relacionado con un

cambio desde el estado de paraeléctricos de alta simetría hasta el estado de

ferroeléctricos de más baja simetría, acompañado por un llamado modo de fonó

blando, un modo de enrejado vibracional que pasa por la frecuencia cero a la

transición.[49]

Los grupos de Lie son de importancia fundamental en física: El teorema de Noether

conecta las simetrías continuas con las leyes de conservación. La rotación, así como

las traslaciones en el espacio y el tiempo son simetrías básicas de las leyes de la

mecánica. Se puede, usar para construir modelos simples e imponer, digamos, la

simetría axial sobre una situación y conducirá típicamente a una simplificación

significativa en las ecuaciones que hay que resolver para proporcionar una

descripción física. Por otro las transformaciones de Lorentz, que relacionan las

medidas del tiempo y la velocidad de dos observadores en movimiento relativo el uno

respecto del otro se pueden deducir puramente desde la teoría de grupos,

expresando las transformaciones como simetría rotacional del espacio Minkowski.

La representación de un grupo de Lie desempeña un papel importante en el

estudio de la simetría continua. Una herramienta básica en su estudio es el uso de

las representaciones 'infinitesimales' correspondientes de las álgebras de Lie.

7

III

MARCO TEORICO

Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría. Un

grupo de simetría codifica las características de simetría de uno objeto geométrico,

químico o físico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan inalterable el

objeto, y la operación de combinar dos de estas transformaciones realizando una

después de la otra. Tales grupos de simetría, especialmente los Grupos de Lie

continuos, tienen un papel importante en muchas disciplinas académicas. Los grupos

de matrices, por ejemplo, se pueden usar para entender las leyes físicas

fundamentales en que se basan la relatividad y los fenómenos de simetría en la

química molecular.

Un grupo es un conjunto, G, conjuntamente con una operación binaria "•" que

combina dos elementos cualesquiera a y b de G para formar otro elemento denotado

a • b. El símbolo "•" es un elemento general para representar una operación

concretamente dada. Para poderse calificar como un grupo, el conjunto y la

operación (G, •), tienen que satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas

de grupo:

1. Clausura.

Para todo a, b de G, el resultado de la operación a •btambién pertenece a G.

2. Propiedadasociativa.

Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuación(a • b) • c = a • (b • c).

3. Elemento identidad.Existe un elemento e de G, tal que para todos loselementos a de G, se cumple la ecuacióne • a = a • e = a.

4. Elemento inverso. Para todo a de G, existe un elemento b de G tal quea • b = b • a = e, donde e es el elemento identidad.

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El orden en el cual se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras

palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no tiene que dar

necesariamente el mismo que operando b con a; la ecuación

a • b = b • a

puede no ser siempre cierta. Los grupos, para los que la ecuación a • b = b • a se

cumple siempre, se denominan abelianos (en honor a Niels Abel).

Ejemplos

Las matrices cuadradas de n columnas con coeficientes reales y determinante

distinto de cero forman un grupo con el producto de matrices, grupo que no es

conmutativo cuando n>1.

Otros ejemplos de grupos no conmutativos se obtienen al considerar grupos de

transformaciones, donde la operación es la composición de aplicaciones y el

elemento neutro es la identidad:

El grupo de los movimientos del espacio o grupo de isometría del espacio

euclídeo, el grupo de las semejanzas del plano.

El grupo de Galileo, formado por las transformaciones del espacio y el tiempo

que conservan los sistemas de referencia inerciales).

El grupo de Lorentz de la teoría de la relatividad.

Todos estos últimos ejemplos lo son del concepto de Grupo de Lie, que son los

grupos definidos por operaciones continuas sobre curvas, superficies o variedades

de dimensión mayor.

La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en Física como en Matemática

radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman

siempre un grupo.

Algo parecido sucede en Física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías

del lagrangiano de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las

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partículas elementales de dicho sistema. De hecho, aunque aún no conozcamos las

teorías físicas por venir, la clasificación de grupos de Lie ya nos proporciona la lista

de los posibles grupos de simetrías infinitesimales.

Un grupo de Lie es una variedad diferenciable real o compleja que es también un

grupo tal que las operaciones de grupo: multiplicación e inversión son funciones

analíticas. Los grupos de Lie son importantes en análisis matemático, física, química y

geometría porque sirven para describir la simetría de estructuras analíticas.

Mientras que el espacio euclídeo Rn es un grupo de Lie real (con la adición ordinaria

de vectores como operación de grupo), ejemplos más típicos son grupos de matrices

inversibles (multiplicación de matrices), por ejemplo el grupo SO(3) de todas las

rotaciones en el espacio de 3 dimensiones.

Dentro de una clase dada de teoría de representación, los resultados se diferencian

dependiendo de la clase de grupo de automorfismos que se busque. Un posible

'blanco' para el homomorfismo de la definición son los grupos de permutaciones.

Pero los 'blancos' más importantes son grupos de matrices sobre algunos cuerpos, o,

más generalmente, grupos de transformaciones lineales inversibles de un espacio

vectorial.

El caso más importante es el cuerpo de los Números complejos (es decir, las

representaciones son homomorfismos a un grupo de matrices complejas o de

transformaciones lineales inversibles de un espacio vectorial complejo). Si el espacio

vectorial es finito dimensional, entonces las representaciones son también finito

dimensionales.

En general, un conjunto X se dice que soporta una representación conjuntista o

representación por permutación de un grupo G si hay una función, ρ de G a XX, el

conjunto de las funciones de X a X tales que para g1, g2 en G, y x en X

ρ(g1g2)[x] = ρ(g1)[ρ(g2)[x]].

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Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ(g) es una biyección

(permutación) para todo g en G. Así podemos equivalentemente definir una

representación de permutación como un homomorfismo de grupos de G al grupo

simétrico SX de X.

Una representación de un grupo finito G es un homomorfismo de grupos de G en el

grupo general lineal GL(n, C) de las matrices complejas invertibles de orden n. El

estudio de tales representaciones se llama teoría de representación.

Ejemplo

Considere el número complejo u = exp(2πi/3) que tiene la propiedad u³ = 1. El grupo

cíclico C3 = { 1, u, u² } tiene una representación ρ dada por:

(las tres matrices son ρ(1), ρ(u) y ρ(u²) respectivamente).

Esta representación se dice fiel, porque ρ es inyectiva.

Dos representaciones ρ1 y ρ2 se dicen equivalentes si las matrices se diferencian

solamente por un cambio de base, es decir si existe A en GL(n, C) tal que para todo

x en G: ρ1(x) = Aρ2(x)A-1. Por ejemplo, la representación de C3 dado por las matrices:

es una representación equivalente a la mostrada arriba.

Cada matriz cuadrada de orden n describe una función lineal desde un espacio

vectorial n-dimensional V a sí mismo (una vez que se ha elegido una base para V).

Por lo tanto, cada representación ρ: G -> GLn define una acción de grupo en V dada

por g.v = (ρ(g))(v) (para g en G, v en V). Se puede de hecho definir una

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representación de un grupo como acción de ese grupo en un cierto espacio vectorial,

evitando de tal modo la necesidad de elegir una base y la restricción a los espacios

vectoriales finito-dimensionales.

Si V tiene un subespacio propio no trivial W tal que W está contenido en V y es

estable por la representación ρ, entonces la representación se dice reducible. Una

representación reducible se puede expresar como una suma directa de

subrepresentaciones (solamente para los grupos finitos son las representaciones

reducibles necesariamente descomponibles). Si V no tiene ningún tal subespacio, se

dice una representación irreducible.

El carácter de una representación ρ: G -> GLn es la función χ : G -> C que envía g

en G a la traza (suma de los elementos diagonales) de la matriz ρ(g). Por ejemplo, el

carácter de la representación dada arriba se da por:

χ(1) = 2, χ(u) = 1 + u, χ(u²) = 1 + u².

Si g y h son miembros de G en igual clase de conjugación, entonces χ(g) = χ(h) para

cualquier carácter; los valores de un carácter por lo tanto tienen que ser

especificados solamente para las diversas clases de conjugación de G. Más aún, las

representaciones equivalentes tienen los mismos caracteres. Si una representación

es la suma directa de sub representaciones, entonces el carácter correspondiente es

la suma de los caracteres de las sub representaciones. Los caracteres de todas las

representaciones irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres, con

las clases de conjugación de elementos como las columnas, y caracteres como las

filas.

La tabla de caracteres es siempre cuadrada, y las filas y las columnas son

ortogonales con respecto al producto interior en Cm, que permite que se compute las

tablas de caracteres más fácilmente. La primera fila de la tabla de caracteres siempre

consiste en unos, y corresponde a la representación trivial (la representación de

dimensión uno que consiste en las matrices 1×1 que contienen la entrada 1). Ciertas

propiedades del grupo G se pueden deducir de su tabla de caracteres:

12

El orden de G viene dado por la suma de (χ(1))² sobre los caracteres en la

tabla.

G es abeliano si y solamente si χ(1) = 1 para todos los caracteres en la tabla.

G tiene un subgrupo normal no trivial (es decir G no es un grupo simple) si y

solamente si χ(1) = χ(g) para algún carácter χ no trivial en la tabla y un cierto

elemento no-identidad g en G.

La tabla de caracteres en general no determina un grupo salvo isomorfismo: por

ejemplo, el grupo cuaterniónico Q y el grupo dihedral de 8 elementos (D8) tienen la

misma tabla de caracteres.

Un anillo del grupo es un anillo R[G] construido de un anillo R y un grupo G (escrito

multiplicativamente). El anillo del grupo se escribe a veces simplemente como RG.

Bovdi (2001)

Como R- módulo, el anillo R[G] es módulo libre sobre R en los elementos de G. Si R

es un campo K, el anillo del grupo se llama el álgebra del grupo; es un espacio

vectorial sobre K, con vectores de la base dado por los elementos de G. Los

elementos del anillo del grupo son combinaciones lineales finitas de elementos de G

con coeficientes en R. La multiplicación es definida por la operación del grupo en G

extendido por linealidades y distributividad, y el requisito es que los elementos de R

conmuten con los elementos de G. El elemento de la identidad de G es la identidad

multiplicativa del anillo R[G].

Representaciones de un anillo del grupo

Un módulo M sobre R[G] es entonces igual que una representación lineal de G sobre

el campo R. No hay razón particular de limitar R para ser un campo aquí. Sin

embargo, los resultados clásicos fueron obtenidos primero cuando R es un campo

complejo y G es un grupo finito, así que este caso merece la atención cercana.

siempre que la característica del campo R no divida el orden del grupo finito G,

entonces R[G] es semisimple (Teorema de Maschke).

13

Cuando G es un grupo finito abeliano, el anillo del grupo es conmutativo, y su

estructura es fácil de expresar en términos de raíces de la unidad. Cuando R es un

campo de característica p, y el número primero p divide el orden del grupo finito G,

entonces el anillo del grupo es no semisimple: tiene un Radical de Jacobson

diferente de cero, y esto da el tema correspondiente de teoría modular de la

representación más profundo.

En el presente trabajo de investigación nos dedicaremos al estudio de los grupos, el

comportamiento y propiedades de sus elementos además de las diferentes

aplicaciones que estos tienen.

De esta manera el lector podrá preguntarse si este tema es del todo útil y si servirá o

no en la concepción de conocimientos en nuestra formación ya que el concepto de

grupos es natural.

En física, el grupo de Lorentz es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz

del espacio de Minkowski, la composición clásica de todas los fenómenos físicos no

gravitacionales. Matemáticamente es un subgrupo del grupo lineal GL(R4) y también

puede ser dotado de la estructura de grupo topológico. Curtis (1992).

El grupo de Lorentz es isomorfo al grupo ortonormal generalizado O(3,1), es decir,

el grupo de transformaciones lineales que deja invariante la métrica del espacio de

Minkowski o grupo de isometría del espacio de Minkowski. Matemáticamente está

formado por cualquier matriz η que satisfaga la relación:

El grupo de Lorentz no es el conjunto más general de transformaciones que dejan

invariantes las ecuaciones de la teoría general de la relatividad, ya que no incluye las

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traslaciones espacio temporales. De hecho, el grupo de Lorentz es el subgrupo

maximal del grupo de Poincaré tal que no incluye las traslaciones.

El grupo de Lorentz está formado por cuatro componentes conexas, algunos de lossubgrupos más importantes de dicho grupo son:

El subgrupo con transformaciones de Lorentz cuyo determinante es igual a

1.

El subgrupo de Lorentz de trasformaciones propias, que es un subgrupo

del anterior tal que todas las transformaciones dentro de él cumplen que Λ00 >

0.

El subgrupo de rotaciones en isomorfo a , que es un

subgrupo del anterior.

El subgrupo de transformaciones ortocrono formado por todas aquellas

transformaciones tales que Λ00 > 0.

El grupo de Lorentz propio consta de todos los elementos de

determinante unidad, que no incluyan ninguna inversión temporal o espacial. El

grupo de Lorentz propio es un subgrupo conexo, de hecho coincide con la

componente conexa maximal que contiene al elemento neutro o identidad. Dicho

grupo es isomorfo al grupo de Möbius PSL (2,C).

El grupo de Lorentz no es un grupo conexo, aunque sí lo es el grupo formado por las

transformaciones de Lorentz propias. Aunque este subgrupo es conexo no es

simplemente conexo. Su espacio recubridor es precisamente el grupo especial lineal

complejo de dos dimensiones SL (2,C) , que puede identificarse con el grupo de las

matrices de componentes complejas de 2x2 y determinante igual a la unidad.

Para ver la relación entre el grupo de Lorentz y su grupo recubridor, consideremos un

punto del espacio de Minkowski en forma de matriz hermítica:

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Cuyo determinante es precisamente Y entonces la

acción del grupo sobre el espacio de Minkowski puede escribirse como:

Y esa acción sobre matrices hermíticas es equivalente a la acción del grupo de

Lorentz sobre el espacio-tiempo de Minkowski. Un detalle importante es que tanto la

matriz P como su negativa -P inducen la misma transformación de Lorentz. De

hecho, la aplicación inducida de SL(2,C). en el grupo de Lorentz es dos a uno.

Una propiedad interesante del grupo SL(2,C) es que es semisimple lo cual permite

construir sus representaciones de una manera peculiar simple, como suma directa de

representaciones irreducibles. Este hecho es muy importante en las aplicaciones

físicas. Esta propiedad hace que en realidad el grupo de Lorentz de la relatividad

especial más sencillo de manejar matemáticamente que el grupo de Galileo de la

mecánica newtoniana.

Grupo especial ortogonal

El grupo especial ortogonal (o grupo ortonormal especial), abreviado usualmente

, es un grupo de Lie que puede ser representado como un subgrupo del

grupo ortogonal . El grupo real SO(n) se puede identificar con el grupo de

rotaciones del espacio .

El grupo especial unitario ordinariamente se toma como real, es decir,

aunque también se han definido generalizaciones complejas

.

El grupo SO(2)

El grupo especial unitario real puede identificarse con el grupo de rotaciones del

plano euclídeo. Y por tanto se trata de un grupo de Lie unidimensional. Existen varias

representaciones de este grupo:

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1. SO(2) puede identificarse con el círculo unidad con la operación:

donde

2. SO(2) puede identificarse con los números complejos de módulo unidad de la

forma

3. SO(2) es isomorfo a U(1), y por tanto identificable con él.

4. Finalmente SO(2) admite representación como matrices 2x2 de la forma:

Este grupo no es simplemente conexo, su grupo recubridor universal es .

El grupo SO(3)

Este grupo es isomorfo al grupo de rotaciones del espacio euclídeo tridimensional y

es representable por el conjunto de matrices ortogonales 3x3 y con determinante

igual la unidad.

El grupo SO(4)

Admite además de la representación como conjunto de matrices ortogonales de

determinate uno, una representación basada en el álgebra de los cuaterniones.

De hecho cada uno de los subgrupos tridimensionales de las rotaciones isoclínicas

de SO(4) puede ser identificado con el conjunto de los cuaterniones unitarios.

El grupo SO(2,C)

Este grupo resulta ser isomorfo al grupo multiplicativo de los complejos .

Topológicamente pueden ser representados por el plano complejo al que se le ha

quitado el punto de origen (z = 0) y por tanto es un grupo conexo aunque no

simplemente conexo.

Grupos SO(p,q) reales

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Estos grupos constituyen una generalización de los grupos SO(n) reales.

Grupo lineal general de un espacio vectorial

Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo F, entonces escribimos GL(V) o Aut(V)

para el grupo de todos los automorfismos de V, es decir el conjunto de todas las

transformaciones lineales biyectivas V → V, junto con la composición funcional como

operación de grupo. Si la dimensión de V es n, entonces GL(V) y GL(n,F) son

isomorfos. El isomorfismo no es canónico; depende de una elección de una base en

V. Una vez que se haya elegido una base, cada automorfismo de V se puede

representar como una matriz inversible n por n, que establece el isomorfismo.

Grupo lineal del espacio euclídeo

Si consideramos el espacio euclídeo n-dimensional o Rn como espacio vectorial su

grupo lineal estará representado por todas las aplicaciones lineales que admiten

inversa. Si escojemos una base cualquiera para ese espacio vectorial, cada

aplicación lineal podría expresarse mediante una matriz. Entonces el grupo lineal

vendrá representado por el conjunto de todas las matrices que representan

aplicaciones lineales que admiten inversa, y por tanto, por matrices cuyo

determinante es diferente de cero (ya que el álgebra lineal establece que una

aplicación lineal invertible viene representada en una base por una matriz de

determinante diferente de cero).

Grupo lineal especial

El grupo lineal especial, SL(n, F), es el grupo de todas las matrices con determinante

1. Que esto forma un grupo se sigue de la regla de multiplicación de determinantes.

SL(n, F) es un subgrupo normal de GL(n, F).Curtis (1992).

Si escribimos F× para el grupo multiplicativo de F (excluyendo el 0), entonces el

determinante es un homomorfismo de grupos

det: GL(n, F) → F×.

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El núcleo de la función es precisamente el grupo lineal especial. Por el primer

teorema del isomorfismo vemos que GL(n, F)/SL(n, F) es isomorfo a F×. De hecho,

GL(n, F) se puede escribir como producto semidirecto de SL(n, F) por el F×:

GL(n, F) = SL(n, F) ⋊ F×

Cuando F es R o C, SL(n) es un subgrupo de Lie de GL(n) de dimensión n²-1. El

álgebra de Lie de SL(n) consiste en todas las matrices n × n sobre F con traza nula.

El grupo lineal especial SL(n, R) se puede caracterizar como el grupo de las

transformaciones lineales de Rn que preservan el volumen y la orientación.

El grupo SL(n, C) es simplemente conexo mientras que no lo es SL(n ,R). SL(n, R)

tiene el mismo grupo fundamental que GL+(n, R), es decir, Z para n = 2 y Z2 para n >

2.

Los llamados grupos clásicos son subgrupos de GL(V) que preserven una cierta

clase de producto interior en V. Éstos incluyen el

grupo ortogonal, O(V), que preserva una forma bilineal simétrica en V,

grupo simpléctico, Sp(V), que preserva una forma bilineal anti-simétrica en V,

grupo unitario, U(V), que preserva una forma hermitiana en V (cuando F = C).

Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de los grupos de Lie.

Los cuales resultan útiles en física por ejemplo el grupo SO(3,1) puede identificarse

con el grupo de Lorentz especial que aparece en la teoría de la relatividad especial.

El uso de la teoría de las representaciones de grupos se ilustra tomando como

ejemplo diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica cuántica: teoría

de los átomos, química cuántica, teoría del estado sólido y mecánica cuántica

relativista.

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Asimismo, se analiza una serie de temas que en otras monografías o bien no se

estudian o bien se exponen de forma muy superficial. Entre ellas destacan el análisis

de la simetría de la función de onda de Schrödinger, la explicación de la

degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y ciertas cuestiones

relacionadas con la teoría del estado sólido.

Este trabajo está pensado principalmente para los estudiantes de física, y será de

una gran utilidad para los estudiantes de doctorado y científicos ya formados, tanto

físicos como químicos, que deseen estudiar la teoría de grupos para poderla utilizar

como un instrumento más en sus investigaciones.

grupo de simetría

Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un

grupo denominado un grupo diédrico, y se denota D4. Tiene las siguientes simetrías:

La operación identidad que lo deja todo tal como estaba, denotada id;

rotaciones del cuadrado de 90 ° a la derecha, 180 ° a la derecha, y 270 ° a la

derecha, notadas r1, r2 y r3, respectivamente;

reflexiones respecto de los ejes vertical y horizontal (fv y fh), o respecto de las

dos diagonales (fd y fc).

Como: fh • r1 = fc pero r1 • fh = fd. D4 no es abeliano.

Homomorfismos de grupo

Los homomorfismos de grupo son las funciones que conservan la estructura del

grupo. Una función a: G → H entre dos grupos es un homomorfismo si la ecuación

a(g • k) = a(g) • a(k).

se cumple para todos los elementos g, k de G, es decir el resultado es el mismo tanto

si se hace la operación de grupo antes como si se hace después de aplicar la función

a. Este requisito asegura que a(1G) = 1H, y también que a(g)−1 = a(g−1) para todo g de

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G. Así un homomorfismo de grupo respeta toda la estructura de G proporcionada por

los axiomas de grupo.

Dos grupos G y H se denominan isomorfos si existen homomorfismos de grupo a: G

→ H y b: H → G, tales que aplicando las dos funciones una después del otro (en

cada uno de los dos órdenes posibles) dan la función identidad de G y H,

respectivamente. Es decir, a(b(h)) = h y b(a(g)) = g para cualquier g de G y h de H.

Desde un punto de vista abstracto, los grupos isomorfos comportan la misma

información. Por ejemplo, demostranr que g • g = 1 para algún elemento g de G es

equivalente a demostrar que a(g) • a(g) = 1, porque aplicando a a la primera igualdad

da la segunda, y aplicando b a la segunda da otro golpe la primera.

Ejemplos y aplicaciones

Existen muchas aplicaciones prácticas de los grupos. La criptografía depende de la

combinación del enfoque de teoría de grupos abstractos conjuntamente con el

conocimiento algorítmico obtenido en la teoría de grupos computacional. Las

aplicaciones de la teoría de grupo no se restringen a las matemáticas; las ciencias

como la física, la química y la informática también se benefician del concepto.

Grupos cíclicos

Las 6 raíces complejas de la unidad forman un grupo cíclico.

Un grupo cíclico es un grupo todos los elementos del cual son potencias.

Un ejemplo típico para esta clase de grupos es el grupo de raíces complejas

enésimas de la unidad, formado por los números complejos z que satisfacen zn = 1

(y la operación de multiplicación). Cualquier grupo cíclico con n elementos es

isomorfo a este grupo. Nussbaum (2005)

Grupos de simetría

En el campo de la química, como por ejemplo la cristalografía, el espacio se agrupa y

los grupos puntuales de simetría describen simetrías moleculares y simetrías

21

cristalinas. Estas simetrías son subyacentes al comportamiento físico y químico de

estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis en mecánica

cuántica de estas propiedades. Por ejemplo, la teoría de grupos se usa para mostrar

que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir

simplemente debido a la simetría de los estados implicados.

No sólo hay grupos útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en

moléculas, sino que sorprendentemente también pronostican que las moléculas a

veces pueden cambiar la simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una

molécula de alta simetría cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir

desde un conjunto de estados base posibles que se relacionan el uno con el otro por

las operaciones de simetría de la molécula.

Del mismo modo, la teoría de grupos ayuda a pronosticar los cambios a propiedades

físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado, por ejemplo, de

forma cristalina cúbica a una forma cristalina tetraédrica. Un ejemplo son los

materiales ferroelèctricos, donde el cambio desde un estado paraelèctrico en un

estado ferroelèctrico sucede a la temperatura de Curie y está relacionado con un

cambio desde el estado de paraelèctrico de alta simetría hasta el estado de

ferroelèctrico de más baja simetría, acompañado por un llamado modo de fonó

blando, un modo de enrejado vibrational que pasa por la frecuencia cero a la

transición.

Tal ruptura espontánea de la simetría ha encontrado aplicación más allá, en física de

partículas elementales, donde su aparición está relacionada con la aparición de

bosons de Goldstone.

Los grupos de simetría mencionados como por ejemplo los grupos de Mathieu se

usan en teoría de códigos, que se aplica en la corrección de errores en los datos

transmitidos, y a los reproductores de CDs. Otra aplicación es la teoría diferencial de

Galois, que caracteriza funciones que tienen primitivas de una forma prescrita, dando

criterios teóricos de grupo para cuando las soluciones de ciertas ecuaciones

diferenciales tienen soluciones en determinadas formas analíticas. Las propiedades

22

geométricas que permanecen estables bajo acciones de grupo se investigan en la

teoría de los invariantes geométricos.

Grupo lineal general y teorías de la representación

Los grupos de matrices constan de matrices junto con la multiplicación de matrices.

El grupo lineal general GL(n,R) consiste en todas las matrices de n por n invertibles

con coeficientes reales. Para referirse a sus subgrupos se habla de grupos de

matrices o grupos lineales. El ejemplo de grupo diédrico mencionado más arriba

puede ser visto como un (muy pequeño) grupo de matrices.

La teoría de representación es al mismo tiempo una aplicación del concepto de

grupo y elemento importante para una comprensión más profunda de los grupos.

Estudia los grupos por sus acciones de grupo sobre otros espacios. Una clase ancha

de representaciones de grupo son las representaciones lineales, es decir el grupo

está actuando sobre un espacio vectorial, como por ejemplo el espacio euclídeo

tridimensional R3. Una representación de G en un espacio vectorial real n-

dimensional es simplemente un homomorfismo de grupo

ρ: G → GL(n, R)

desde el grupo hasta el grupo lineal general. De este modo, la operación de grupo,

que se puede dar de manera abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices

que lo hacen accesible a cálculos explícitos.

Dada una acción de grupo, esto da otros medios para estudiar el objeto sobre el que

se actúa. Por otro lado, también produce información sobre el grupo. Las

representaciones de grupo son un principio de organización en la teoría de grupos

finitos, Grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos, especialmente grupo

(localmente) compactos.

Un grupo se denomina finito si tiene un número limitado de elementos. El número de

elementos se denomina la orden del grupo G. Una clase importante es la de los

grupos simétricos. Por ejemplo, el grupo simétrico sobre 3 letras es el grupo que

23

consta de todas las posibles permutaciones de las tres letras ABC, es decir contiene

los elementos ABC, ACB ..., hasta CBA, en total 6 (o 3 factorial) elementos. Esta

clase es fundamental en la medida que cualquier grupo finito se puede expresar

como subgrupo de un grupo simétrico . Herstein (2000).

El orden de un elemento a en un grupo G es el entero positivo más pequeño n tal

que a n = e.

En grupos infinitos, tal n puede no existir, en este caso el orden de a se llama que es

infinito. El orden de un elemento es igual a el orden del grupo cíclico generado por

este elemento.

Técnicas de recuento más sofisticadas, por ejemplo recuento de clases laterales,

producen afirmaciones más precisas sobre grupos finitos: El teorema de Lagrange

establece que para un grupo G el orden de cualquier subgrupo H es un divisor del

correspondiente G. Hall (2006)

Grupos topológicos

La circunferencia goniomètrica al plano complejo con la multiplicación compleja es un

Grupo de Lie y, por eso, un grupo topológico. Es topológico puesto que la

multiplicación y división complejas son continuas. Es una variedad y por lo tanto un

Grupo de Lie.

Algunos espacios topológicos se pueden dotar de una ley de grupo. De forma que la

ley de grupo y la topología encajen bien, las operaciones de grupo tienen que ser

funciones continuas, es decir, g • h, y g−1 no tienen que variar repentinamente si g y h

varían sólo un poco. Tales grupos se denominan grupos topológicos, y son los

objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos. Los ejemplos más básicos

son los reales R con la adición, (R \ {0}, •), y de forma similar con cualquiera otro

cuerpo topológico como los números complejos o los números de p-ádicos.

Grupos de Lie

24

Los grupos de Lie (en honor a Sophus Lie) son grupos que también tienen una

estructura de variedad diferenciable, es decir son espacios que se asemejan

localmente un poco al espacio euclídeo de dimensión adecuada. Otra vez, la

estructura adicional, aquí la estructura de variedad diferenciable, tiene que ser

compatible, es decir las funciones que corresponden a la multiplicación y la inversa

tienen que ser suaves.

Los grupos de Lie son de importancia fundamental en física: El teorema de Noether

conecta las simetrías continuas con las leyes de conservación. La rotación, así como

las traslaciones en el espacio y el tiempo son simetrías básicas de las leyes de la

mecánica. Se pueden, por ejemplo, usar para construir modelos simples e imponer,

digamos, la simetría axial sobre una situación y conducirá típicamente a una

simplificación significativa en las ecuaciones que hay que resolver para proporcionar

una descripción física. Fulton (2006). Otro ejemplo son las transformaciones de

Lorentz, que relacionan las medidas del tiempo y la velocidad de dos observadores

en movimiento relativo el uno respecto del otro. Se pueden deducir puramente desde

la teoría de grupos, expresando las transformaciones como simetría rotacional del

espacio Minkowski. Este espacio sirve en can la ausencia significativa de gravitación

como modelo del espacio-tiempo en relatividad especial. El grupo completo de

simetría del espacio de Minkowski, es decir incluyendo traslaciones, es conocido

como el grupo de Poincaré. Por el que se ha explicado, tiene un papel fundamental

en la relatividad especial y, por implicación, para la teoría cuántica de campos. Las

simetrías que varían con la posición son centrales a la descripción moderna de

interacciones físicas con la ayuda de la teoría de gauge. Sierro (2003).

Formalmente, una representación del grupo de Lie G en un espacio vectorial V

(sobre un cuerpo K) es un homomorfismo de grupo G → Aut(V) desde G al grupo de

automorfismos de V. Si se elige una base para el espacio vectorial V, la

representación se puede expresar como homomorfismo en el GL(n, K). esto se

conoce como representación matricial.

Si el homomorfismo es de hecho un monomorfismo, la representación se dice fiel.

Una representación unitaria se define de la misma manera, excepto que G va en las

25

matrices unitarias; las álgebras de Lie entonces mapean en matrices anti-

hermitianas.

Si G es un grupo semisimple, sus representaciones finito-dimensionales pueden ser

descompuestas como sumas directas de las representaciones irreducibles.

Si G es un grupo de Lie compacto conmutativo, entonces sus representaciones

irreducibles son simplemente los caracteres continuos de G: Una representación

cociente es un módulo cociente del anillo grupo.

En física, y específicamente, en la física de partículas, el isospín (espín isotópico oespín isobárico) es un número cuántico relacionado a la interacción fuerte y

aplicado a las interacciones del neutrón y el protón. Este término se deriva de espín

isotópico, pero éste término se confunde con dos isótopos de núcleos que tengan

diferentes cantidades de nucleones, mientras la rotación del isospín mantiene el

número de nucleones. Los físicos nucleares prefieren llamarlo espín isobárico, que

es más preciso en su significado. La simetría del isospín es un subconjunto de la

simetría del sabor que se ve en forma más amplia en las interacciones de bariones y

mesones. La simetría de isospín conserva un concepto importante en la física de

partículas y una cerrada examinación de esta simetría históricamente lleva

directamente al descubrimiento y entendimiento de los quarks y la teoría de Yang-

Mills. Passman (2007).

El isospín fue introducido por Werner Heisenberg para explicar muchas simetrías

relacionadas:

La masa de los neutrones y los protones son casi idénticos: son casi

degenerados y se los llama nucleones. Así el protón tiene carga positiva y el

neutrón es neutro, son casi idénticos en todos los otros aspectos.

La fuerza de la interacción fuerte entre cualquier par de nucleones es la

misma, independiente de si interactúan como protones o como neutrones.

La masa de un pión que media entre la interacción fuerte y los nucleones es la

misma. En particular, la masa de un pión positivo (y su antipartícula) es

cercamente idéntica a la de un pión neutro.

26

En mecánica cuántica, cuando un hamiltoniano tiene una simetría, esta simetría se

manifiesta en si misma a través de un conjunto de estados que tienen (casi) la misma

energía; esto es, los estados son degenerado. En la física de partículas, la masa es

sinónimo de energía (desde que se conoce que E = mc²) y así la masa degenerada

del neutrón y el protón en una simetría hamiltoniana describe la interacción fuerte. El

neutrón tiene la masa ligeramente superior: la masa degenerada no es exacta. El

protón está cargado, el neutrón no. Sin embargo, en este caso se podría en general

por mecánica cuántica, la apariencia de la simetría puede ser imperfecta, como si

fuera una perturbación de otras fuerzas. que dan lugar a ligeras diferencias entre

estados.

La contribución de Heisenberg fue al señalar que la formulación matemática de esta

simetría es en algunos aspectos similar a la formulación matemática del espín, de

donde se deriva su nombre "isospín". Para ser preciso, la simetría isospín está dada

por la invarianza del hamiltoniano de las interacciones fuertes bajo la acción de un

grupo de Lie SU(2). El neutrón y el protón están asignados a un doblete (el espín-1/2

o una representación fundamental) de SU(2). Los piones son asignados a un triplete

(el espín-1 o representación adjunta) de SU(2).

Solo si es el caso de un espín regular, el isospín está descrito por dos números, I, el

isospín total y I3 el componente del espin de vector en la dirección dada. El protón y

el neutrón tienen ambos I=1/2, cuando ellos permanecen en el doblete. El protón

tiene I3=+1/2 o ísospín-arriba' y el neutrón tiene I3=-1/2 o 'isospín-abajo'. Los piones,

que permanecen en el triplete, tienen I=1 y π+, π0 y π− tienen, respectivamente I3=+1,

0, −1.

La mecánica cuántica (conocida originalmente como mecánica ondulatoria) es

una de las ramas principales de la física, y uno de los más grandes avances del siglo

veinte para el conocimiento humano, que explica el comportamiento de la materia y

de la energía. La mecánica cuántica describe en su visión más ortodoxa, cómo

cualquier sistema físico, y por lo tanto todo el universo, existe en una diversa y

variada multiplicidad de estados los cuales, habiendo sido organizados

matemáticamente por los físicos, son denominados autoestados de vector y valor

27

propio. De esta forma la mecánica cuántica explica y revela la existencia del átomo y

los misterios de la estructura atómica; lo que por otra parte, la física clásica, y más

propiamente todavía la mecánica clásica, no podía explicar debidamente.

Mecánica cuántica es la base de los estudios del átomo, los núcleos y las partículas

elementales (siendo ya necesario el tratamiento relativista), pero también en teoría

de la información, criptografía y química.

Las suposiciones más importantes de esta teoría son las siguientes:

Al ser imposible fijar a la vez la posición y el momento de una partícula, se

renuncia al concepto de trayectoria, vital en mecánica clásica. En vez de eso,

el movimiento de una partícula queda regido por una función matemática que

asigna, a cada punto del espacio y a cada instante, la probabilidad de que la

partícula descrita se halle en tal posición en ese instante (al menos, en la

interpretación de la Mecánica cuántica más usual, la probabilística o

interpretación de Copenhague). A partir de esa función, o función de ondas, se

extraen teóricamente todas las magnitudes del movimiento necesarias.

Existen dos tipos de evolución temporal, si no ocurre ninguna medida el

estado del sistema o función de onda evolucionan de acuerdo con la ecuación

de Schrödinger, sin embargo, si se realiza una medida sobre el sistema, éste

sufre un "salto cuántico" hacia un estado compatible con los valores de la

medida obtenida (formalmente el nuevo estado será una proyección ortogonal

del estado original).

Existen diferencias perceptibles entre los estados ligados y los que no lo

están.

La energía no se intercambia de forma continua en un estado ligado, sino en

forma discreta lo cual implica la existencia de paquetes mínimos de energía

llamados cuantos, mientras en los estados no ligados la energía se comporta

como un continuo.

28

Descripción de la teoría bajo la interpretación de Copenhague. Robinson (1998)

Para describir la teoría de forma general es necesario un tratamiento matemático

riguroso, pero aceptando una de las tres interpretaciones de la mecánica cuántica (a

partir de ahora la Interpretación de Copenhague), el marco se relaja. La Mecánica

cuántica describe el estado instantáneo de un sistema (estado cuántico) con una

función de onda que codifica la distribución de probabilidad de todas las propiedades

medibles, u observables. Algunos observables posibles sobre un sistema dado son la

energía, posición, momento y momento angular. La mecánica cuántica no asigna

valores definidos a los observables, sino que hace predicciones sobre sus

distribuciones de probabilidad. Las propiedades ondulatorias de la materia son

explicadas por la interferencia de las funciones de onda.

Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo. Esta evolución

es determinista si sobre el sistema no se realiza ninguna medida aunque esta

evolución es estocástica y se produce mediante colapso de la función de onda

cuando se realiza una medida sobre el sistema (Postulado IV de la MC). Por ejemplo,

una partícula moviéndose sin interferencia en el espacio vacío puede ser descrita

mediante una función de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de

alguna posición media. Según pasa el tiempo, el centro del paquete puede

trasladarse, cambiar, de modo que la partícula parece estar localizada más

precisamente en otro lugar. La evolución temporal determinista de las funciones de

onda es descrita por la Ecuación de Schrödinger.

Algunas funciones de onda describen estados físicos con distribuciones de

probabilidad que son constantes en el tiempo, estos estados se llaman estacionarios,

son estados propios del operador hamiltoniano y tienen energía bien definida.

Muchos sistemas que eran tratados dinámicamente en mecánica clásica son

descritos mediante tales funciones de onda estáticas. Por ejemplo, un electrón en un

átomo sin excitar se dibuja clásicamente como una partícula que rodea el núcleo,

mientras que en mecánica cuántica es descrito por una nube de probabilidad estática

que rodea al núcleo.

29

Cuando se realiza una medición en un observable del sistema, la función de ondas

se convierte en una del conjunto de las funciones llamadas funciones propias o

estados propios del observable en cuestión. Este proceso es conocido como colapso

de la función de onda. Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de

los estados propios posibles son descritas por la función de onda instantánea justo

antes de la reducción. Considerando el ejemplo anterior sobre la partícula en el

vacío, si se mide la posición de la misma, se obtendrá un valor impredecible x. En

general, es imposible predecir con precisión qué valor de x se obtendrá, aunque es

probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas, donde la

amplitud de la función de onda es grande. Después de que se ha hecho la medida, la

función de onda de la partícula colapsa y se reduce a una que esté muy concentrada

en torno a la posición observada x.

La ecuación de Schrödinger es en parte determinista en el sentido de que, dada una

función de onda a un tiempo inicial dado, la ecuación suministra una predicción

concreta de qué función tendremos en cualquier tiempo posterior. Durante una

medida, el eigen-estado al cual colapsa la función es probabilista y en este aspecto

es no determinista. Así que la naturaleza probabilista de la mecánica cuántica nace

del acto de la medida.

En la formulación matemática rigurosa, desarrollada por Dirac y von Neumann, los

estados posibles de un sistema cuántico están representados por vectores unitarios

(llamados estados) que pertenecen a un Espacio de Hilbert complejo separable

(llamado el espacio de estados). Qué tipo de espacio de Hilbert es necesario en cada

caso depende del sistema; por ejemplo, el espacio de estados para los estados de

posición y momento es el espacio de funciones de cuadrado integrable ,

mientras que la descripción de un sistema sin traslación pero con un espín nh es el

espacio . La evolución temporal de un estado cuántico queda descrita por la

ecuación de Schrödinger, en la que el hamiltoniano, el operador correspondiente a la

energía total del sistema, tiene un papel central.

El operador cuántico es el operador matemático que representa a una magnitud

física (observable) en el formalismo de la mecánica cuántica. Matemáticamente los

30

operadores de la mecánica cuántica son aplicaciones lineales definidas sobre un

conjunto o dominio en un espacio de Hilbert, y que deben satisfacer ciertas

propiedades formales como la de ser autoadjuntos.

Algunos operadores están definidos sobre todo el espacio de Hilbert, estos

operadores se llaman continuos o acotados. Sin embargo, otros operadores

cuánticos están definidos solo sobre un dominio denso en el espacio de Hilbert, pero

no en todo el espacio de Hilbert. Por ejemplo el operador hamiltoniano, que

representa la energía del sistema, suele ser un operador no-acotado, lo cual se

corresponde con el hecho físico de que muchos sistemas no imponen un límite

superior para el valor de la energía

Operadores posición y momento lineal

Resultan de especial interés las correspondencias entre la mecánica clásica y la

cuántica de los operadores correspondientes a la posición y al momento lineal:

Así, por ejemplo, la energía cinética, que se desarrolla como:

al pasar los operadores a su versión cuántica queda de esta forma:

Conmutación de operadores

Se dice que dos operadores conmutan cuando cumplen:

31

Un teorema de importancia capital en la mecánica cuántica es el que sigue:

"Si y solo si dos operadores conmutan, tienen un conjunto de funciones propias en

común".

Como se puede ver de forma muy sencilla a partir de las relaciones del apartado

anterior, para una dirección espacial dada (digamos la x) los operadores posición y

momento lineal no conmutan. Esto implica que no tienen ninguna función propia en

común. Así pues, para cualquier función de ondas, si es posible determinar de forma

reproducible la posición, en la determinación del momento lineal habrá siempre una

contribución estadística. Este es un caso particular del principio de indeterminación

de Heisenberg.

Representación matricial de un operador

Se dice que un operador es lineal cuando, para cualquier x, y, se cumple:

De esta forma, un operador lineal esta completamente determinado si se conoce su

efecto sobre todo vector. Como cualquier vector se puede definir como combinación

lineal de los vectores de una base ( ), basta conocer como afecta un

operador lineal a cada vector de una base para determinarlo completamente. Por

otro lado, como también es un vector, siempre se puede describir como:

32

donde Oij es el componente del vector en la dirección . Estos componentes

se pueden ordenar en forma de una matriz (cuadrada) , que constituye otra

descripción completa de , y recibe el nombre de representación matricial de un

operador.

Un anillo del grupo G es el anillo R[G] construido de un anillo R y un grupo G

(escrito multiplicativamente). El anillo del grupo se escribe a veces simplemente

como RG.

Como R-módulo, el anillo R[G] es módulo libre sobre R en los elementos de G. Si R

es un campo K, el anillo del grupo se llama álgebra del grupo; es un espacio

vectorial sobre K, con vectores de la base dado por los elementos de G. Los

elementos del anillo del grupo son combinaciones lineales finitas de elementos de G

con coeficientes en R. La multiplicación es definida por la operación del grupo en G

extendido por linealidades y distributividades, y el requisito es que los elementos de

R conmuten con los elementos de G. El elemento de la identidad de G es la identidad

multiplicativa del anillo R[G].

Si R es conmutativo, entonces R[G] es álgebra asociativa sobre R, y también sellama álgebra del grupo.

Si R y G son ambos comutativos (es decir, R es comutativo y G es grupo abelian),R[G] es comutativo.

Si H es a subgrupo de G, entonces R[H] es un sub anillo de R[G]. Semejantemente,si S es el sub anillo de R, S[G] es el sub anillo de R[G].

Representaciones de un anillo de grupo

Un módulo M sobre R[G] es como una representación lineal de G sobre el campo R.

No hay razón particular de limitar R a ser un campo aquí. Sin embargo, los

resultados clásicos fueron obtenidos primero cuando R es el campo complejo y G es

un grupo finito, así que este caso merece la atención cercana. Fue demostrado que

R[G] es un anillo semisimple, bajo esas condiciones, con las implicaciones profundas

33

para las representaciones de grupos finitos. Más generalmente, siempre que la

característica del campo R no divida el orden del grupo finito G, entonces R[G] es un

anillo semisimple (Teorema de Maschke).

Cuando G es un grupo abeliano finito, el anillo del grupo es conmutativo, y su

estructura es fácil de expresar en términos de raíces de la unidad. Cuando R es un

campo de la característica p, y el número primero p divide el orden del grupo finito G,

entonces el anillo del grupo es no semisimple: tiene un ideal diferente al cero Radical

de Jacobson, y esto da la teoría modular de la representación.

En el estudio de los grupos matemáticos, una representación de grupo es una

"descripción" de un grupo como grupo concreto de transformaciones (o grupo de

automorfismos) de un cierto objeto matemático. Más formalmente, la "descripción"

significa que hay un homomorfismo del grupo a un cierto grupo de automorfismos.

Una representación fiel es una en la cual este homomorfismo es inyectivo.

En álgebra abstracta, una representación de un grupo finito G es un homomorfismo

de grupos de G en el grupo general lineal GL(n,C) de las matrices complejas

invertibles n-por-n. El estudio de tales representaciones se llama teoría derepresentación.

La teoría de representación es importante porque permite la reducción de algunos

Grupos topológicos no compactos: La clase de grupos no compactos es demasiado

amplia para construir cualquier teoría general de representación, pero se han

estudiado casos especiales específicos, a veces usando técnicas ad hoc. Los grupos

de Lie semisimples tiene una teoría profunda, basada en el caso compacto. Los

grupos de Lie solubles no pueden ser clasificados de la misma manera. La teoría

general para los grupos de Lie se ocupa de los productos semidirectos de los dos

tipos, por medio de los resultados generales llamados teoría de Mackey, que es una

generalización de los métodos de clasificación de Wigner. Curtis (1992).

Dentro de una clase dada de teoría de representación, los resultados se diferencian

dependiendo de la clase de grupo de automorfismos que se busque. Un posible

34

'blanco' para el homomorfismo de la definición son los grupos de permutaciones.

Pero los 'blancos' más importantes son grupos de matrices sobre algunos cuerpos, o,

más generalmente, grupos de transformaciones lineales inversibles de un espacio

vectorial.

El caso más importante es el cuerpo de los Números complejos (es decir, las

representaciones son homomorfismos a un grupo de matrices complejas o de

transformaciones lineales inversibles de un espacio vectorial complejo). Si el espacio

vectorial es finito dimensional, entonces las representaciones son también finito

dimensionales. (las representaciones infinito dimensionales son también posibles; el

espacio vectorial puede entonces ser un espacio de Hilbert infinito dimensional, por

ejemplo.)

35

IV

MATERIALES Y METODOS

El presente trabajo se ha desarrollado sobre la base de textos, artículos, manuales,

software especializado y experiencias propias, adecuándolo a nuestras necesidades.

Toda la información ha sido procesada en un computador personal usando Microsoft

Word 2007 para Windows XP, en concordancia con las directivas vigentes, mediante

el cual se han escrito todos los textos y editado todo el formulismo matemático. La

metodología que se ha empleado es la de la deducción lógica o enfoque inductivo,

así como el deductivo y la interpretación cualitativa de los objetos matemáticos que

permite desarrollar la representación de grupos y sus respectivos anillos.

La técnica utilizada se basa en hacerse preguntas más de tipo cualitativo que tipo

geométrico-cuantitativo acerca de estructuras algebraicas de los grupos y sus

representaciones utilizando el conocimiento con el que se cuenta y procurando

definir sin ambigüedad que es lo que significa cada uno de los términos a los que nos

referimos.

El método inductivo deductivo ha hecho posible mostrar el desarrollo del formulismo

que describe los conceptos, así como también el análisis de información.

36

V

RESULTADOS

En las últimas décadas del siglo XX, el mundo, científico fue removido, por la

aparición de nuevas teorías, que tratan de explicar situaciones complejas, dadas en

la Ciencia Matemática; así, tenemos: Teoría de grupos y el anillo derepresentación.

Una de las ramas de la matemática cuyo uso en física es fundamental es la teoría de

grupos, en particular la teoría de grupos de Lie. Reflejo de esa importancia es que el

modelo standard de partículas, la teoría mas sofisticada y fundamental sobre la

naturaleza que está verificada experimentalmente se conoce, incluso en los libros de

divulgación, como SU(3)xSU(2)xU(1). Y en esos mismos libros de divulgación

posiblemente se habrá podido leer de modelos de gran unificación tipo SU(5) ó

SO(10). Aparte está el hecho de que formalmente todas las partículas del modelo

standard pertenecen a representaciones del grupo de Lorentz. Aquí se intenta

explicar qué significan, y qué utilidad tienen, esos símbolos.

Pese a su importancia la teoría de grupos no siempre se enseña en una licenciatura

de física, incluso en la especialidad de física teórica. Por ejemplo, ahora mismo, en

el plan actual de la FCNM-UNAC está ausente. Ciertamente casi cualquier estudiante

de física sabrá, una vez completado el primer curso y el correspondiente curso de

álgebra lineal, que SU(2) es el grupo de matrices unitarias especiales de dimensión

2, pero, ciertamente de saber eso a entender su uso en teoría cuántica de campos

media un pequeño abismo.

Eso sí, a lo largo de los estudios la gente habrá oído comentar varias veces que tal o

cuál cosa de mecánica cuántica (no relativista) se puede explicar de una manera

mas elegante mediante grupos. Eso incluye cosas cómo el momento angular, los

coeficientes de Clebs-Gordon y alguna cosa más. Intento ver algo al respecto, pero

me centro más en los usos de la teoría en física de partículas.

37

Grupo unitario U(n): Conjunto de las matrices unitarias nxn, con la operación “.” el

producto de matrices. Es decir, las matrices que cumplen . Para

n > 1 es no abeliano. Sin embargo U(1) es abeliano. Se corresponde a las

transformaciones de fase .

Grupo especial unitario SU(n): Grupo de las matrices unitarias con determinante

unidad.

Grupo ortogonal SO(n): grupo de la matrices ortogonales, es decir, que cumplen

.

Este último grupo porque nos va a permitir ver el motivo por el cual los grupos son

importantes en física. En los cursos de álgebra lineal elemental se muestra cómo las

operaciones geométricas de girar un vector por un ángulo se corresponde con una

matriz ortogonal de dimensión 2:

Pues bien, esta matriz se puede ver que es, para cualquier valor de un elemento de

SO(2). Igualmente las matrices de SO(3) se corresponden a la operación geométrica

de giros (Si quisiéramos incluir reflexiones tendríamos que permitir matrices con

determinante -1 y tendríamos el grupo O(n)). En física hay muchos problemas que

tiene simetría rotacional, es decir, que el problema no cambia si el conjunto de todas

las partículas y/o campos involucradas en el problema son sometidos a una rotación.

Esto nos da ya una idea de la íntima relación que va a haber entre grupos continuos

y física.

Un poco mas formalmente puede decirse que los grupos de rotaciones son los

grupos que dejan invariante el producto escalar de dos vectores. Este producto viene

definido por una métrica. Los grupos SO(n) se corresponden a la métrica usual en

. grupo de Lorentz es análogo al grupo SO(n) cuando en se tiene, en vez de la

métrica euclidea usual, la métrica de Lorentz, es decir, la métrica

diag (-1,1,1,1).

38

Se suele denotar el grupo de Lorentz mediante la notación SO(3,1). Si además de

rotaciones permitimos traslaciones hablamos del grupo euclideo para el caso de la

métrica usual y del grupo de Poincaré para la métrica de Lorentz.

En física la mayoría de grupos continuos van a ser grupos matriciales y por

“continuo” puede entenderse, hablando vagamente, que los elementos de cada

matriz posible van a estar determinados por ciertos parámetros. Es decir, que los

elementos de la matriz van a ser funciones de un cierto número de variables y la

continuidad del grupo viene a decir que esas funciones son funciones continuas

(entendidas como funciones de variable real).

Sigamos, con algunas nociones más.

Dados dos grupos G = { g1, g2,…} y H= { h1, h2,….} se define su producto directo

con la ley de multiplicación

Esto ya nos permite entender la notación usada al principio cuando decíamos que el

modelo standard es SU(3)xSU(2)xU(1). Ciertamente entender plenamente el

significado de esa notación es mucho mas complicado que todo lo visto hasta ahora,

pero, en esencia, es lo que he puesto antes, el producto directo de esos grupos.

Saber si un grupo dado puede o no escribirse como producto de otros grupos es algo

importante. Para poder estudiar eso vamos a introducir otro concepto, el subgrupo

invariante.

Un subconjunto N de un grupo G es un subgrupo invariante de G si

. Es decir, que la operación de multiplicar un elemento de N por

cualquier elemento de G no nos saca de N. Se ve trivialmente que cualquier

componente en un producto directo de grupos es un subgrupo invariante del grupo

producto. Se dice que un grupo que no contiene ningún subgrupo invariante es un

grupo simple. SU(n) es un grupo simple. U(n), por el contrario, no lo es. Puede verse

que U(n) se puede descomponer en el producto SU(n) xU(1). Dada la relevancia de

U(1) se introduce un concepto mas. Se dice que un subgrupo es semisimple cuando

39

puede escribirse como producto de otros grupos mas sencillos ninguno de los cuales

es U(1). Según esto U(n) no sería un grupo semisimple.

En el caso de los grupos que en su definición ya interviene el concepto de matriz

(SU(n), O(n), U(n), etc) esto no parece aportar nada especial. En el caso de otros

grupos, como el caso de los grupos finitos, esto si tiene su utilidad. No obstante es

muy importante dejar claro que incluso en los grupos cuya definición se hace en

términos de matrices tiene sentido hablar de representaciones. Veamos porqué.

Pensemos en SO(3) . En su definición viene dado por matrices 3×3 que actúan sobre

vectores de dimensión 3. En mecánica clásica tenemos una magnitud física, el

momento angular, que está definida para sistemas que tiene invarianza bajo

rotaciones. La expresión convencional para el momento angular es . En

cuántica el radio r y el momento lineal p se sustituyen por los correspondientes

operador posición y operador momento. Análogamente se introduce el operador

momento angular .

Clásicamente el momento angular puede tomar cualquier valor. Sin embargo

cuánticamente el operador momento angular (al menos para ciertos sistemas, como

los estados ligados del átomo de hidrógeno) puede verse que va a tomar una serie

discreta de valores. Más aún, clásicamente pueden medirse simultáneamente el

valor del momento angular total L (o su cuadrado) y todos las componentes, (Lx, Ly,

Lz), del momento angular. Cuánticamente sin embargo los operadores Li aunque

conmutan con el operador L ^2 no conmutan entre sí y por tanto no pueden medirse

simultáneamente sus valores (normalmente, por convenio se opta por medir Lz). Esto

nos lleva a que tendremos que caracterizar los estados en términos de (L^2 ,Lz) .

Esto nos lleva a que tendremos los autoestados caracterizados por valores (l, m)

dónde l es el autovalor respecto a L^2 y m el autovalor respecto a Lz. Se puede

demostrar, además, que si los valores posibles de m para un l dado son m={l, l-1, l-

2,….,0, -(l-1), -(l-2), …,- l}.

Actuando sobre funciones arbitrarias el operador L esta definido en términos de los

operadores r y p, según dijimos antes. Sin embargo si nos restringimos a

40

autofunciones con momento angular y tercera componente angular bien definidos

podremos representar L^2 y los Li mediante matrices nxn. Aquí la dimensión n estará

relacionada con el autovalor l. En concreto será el número de valores posibles de m

para un l dado. Así, para l=0 tenemos un sólo valor posible. Para l=1 tenemos 3, para

l=2 tenemos 5 y, en general n= 2l + 1. Según esto para estados de momento l=1 el

grupo SO(3) vendría representado por matrices 3×3, para l=2 por matrices 5×5, etc.

En realidad en cuántica en vez de SO(3) se va a tomar su grupo recubridor, que es

SU(2) y las cosas son ligeramente diferentes. Más aun, estrictamente el momento

angular esta asociado a los generadores infinitesimales del grupo de Lie (su álgebra

de Lie). De hecho lo que en última instancia se estudia son las representaciones de

ese álgebra, que generan las representaciones del grupo. No obstante se suele

referir a la representación del álgebra como la representación del grupo sin hacer

mayor distinción.

En física de partículas las cosas van a ser ligeramente diferentes. Los grupos SU(n)

se van a corresponder no a simetrías externas globales sino a simetrías internas

locales. Asociados a esos grupos van a estar los bosones vectoriales. En el caso

U(1), correspondiente al electromagnetismo, ese bosón vectorial es el fotón,

mediador de la interacción electromagnética. En el caso de SU(3) esos bosones

serán los gluones, mediadores de la interacción nuclear fuerte.

Vemos que los bosones vectoriales estan asociados a una representación específica

de esos grupos, la representación que los define (conocida como representación

adjunta). Físicamente los bosones interactuan con fermiones cargados bajo ese

grupo de simetría. Así los fotones interactuan con electrones con carga eléctrica y los

gluones sobre quarks que (aparte de carga eléctrica,) tienen carga bajo SU(2),

conocida como carga de color.

En términos matemáticos tenemos que los fermiones van a ser algo así como los

vectores sobre los que actúan las matrices.

41

MODELOS PARA PARTICULAS ELEMENTALES

En Física (teórica) el “mundo” es descrito por el llamado Modelo Estándar. Es un

Modelo porque se puede adaptar a “otras” realidades, a “otros mundos”. Este

principio dice, que hay infinitos conjuntos de leyes físicas posibles, que se puedan

dar, no existe una Única Ley posible, con lo que el conjunto de leyes que “rigen”

nuestro mundo es el que es porque nosotros estamos aquí para poder observarlo,

porque son las que permiten que en “nuestro” Universo, en este “momento”,

existamos nosotros para poderlas determinar.

Brevemente se enuncia este modelo aludiendo a los grupos de simetría que

subyacen al mismo, es decir, SU(3)xSU(2)xU(1), SU(3)c corresponde a la

cromodinámica cuántica, la teoría de los quarks; SU(2)xU(1) corresponde a la teoría

electrodébil que unifica electromagnetismo U(1) y fuerza nuclear débil (responsable

de los procesos en los que intervienen neutrinos).

El modelo SU(3)xSU(2)xU(1) nos dice qué partículas transmisoras de las fuerzas

fundamentales (bosones vectoriales de espín 1) existen (el fotón, los bosones W y Z,

y los gluones). No afirma respecto a las partículas materiales que “sufren” estas

interacciones. Hay que especificar su espín y sus cargas (eléctrica, de color, etc.), es

decir, las representaciones “físicas” del modelo SU(3)xSU(2)xU(1). Desde este

punto de vista “teórico” (matemático, diría el físico teórico) hay infinitas posibles

elecciones para estas representaciones, aunque la observada experimentalmente es

la siguiente

donde se representa los acoplamientos de la materia a los grupos SU(3), SU(2) y

U(1), y donde la L y la R indican helicidad izquierda y derecha, respectivamente. Lo

importante es que muchas otras posibilidades son posibles “teóricamente” (si

se cumplen ciertas condiciones de consistencia, como la invarianza relativista)

42

existen tres generaciones de partículas elementales con exactamente esta misma

estructura. Todas estas generaciones consisten en 2 quarks, un tipo de electrón y un

neutrino de dicho tipo.

De hecho, al Modelo Estándar le podemos añadir muchas “cosas” manteniendo su

validez. Por ejemplo, tantos campos escalares (de espín 0) como queramos con

cualesquiera combinación de cargas posibles (siempre y cuando tengan una masa

en reposo suficientemente alta) sin alterar los resultados experimentales conocidos

hasta el presente. Por ejemplo, la famosa partícula de Higgs, que como aún no ha

sido observada, aunque sí predicha por consistencia y simplicidad, no pertence al

Modelo Estándar, aún. La importancia del bosón de Higgs (la ruptura de simetría que

implica su existencia) en el Modelo Estándar está muy bien explicada. (Steven 2009)

Hay muchos más parámetros en el Modelo Estándar que son libres, es decir, cuyo

valor hay que medirlo experimentalmente y no es posible predecirlo teóricamente,

como las constantes de acoplamiento, o las masas de las partículas. Concretamente,

las 3 constantes de acoplamiento entre gluones. Las 12 masas de los 6 quarks, de

los 3 electrones y de los 3 neutrinos. Los ángulos de interacción (mezcla) por

interacción débil entre los quarks y los de los neutrinos (en el Modelo Estándar estas

partículas son estados “observables” obtenidos por combinación lineal de estados

“puros no observables”, siendo la combinación observada experimentalmente una de

las infinitas posibles desde el punto de vista teórico). El parámetro de violación de la

simetría CP en la interacción fuerte. La masa del bosón de Higgs y su parámetro de

autointeracción. Y muchos más parámetros libres. Depende de quién los cuente son

23 o al menos más de 20. Y no hemos mencionado la “posible” gravedad cuántica, la

posible supersimetría, etc.

Teoría de la gran unificación

Es una teoría que unifica tres de las cuatro fuerzas fundamentales en la naturaleza:

la fuerza nuclear débil, fuerza nuclear fuerte y la fuerza electromagnética. La fuerza

de gravedad no es considerada en las teoría de Gran Unificación.

43

Como ejemplos exitosos de "unificación", se encuentran la demostración, por parte

de Newton, de que la fuerza que mantiene a los planetas girando en torno al sol y la

fuerza que nos mantiene pegados a la superficie de la Tierra es la misma. También

Maxwell llevó a cabo la unificación de los campos eléctricos y campos magnéticos,

que hasta antes de su gran teoría, eran considerados fenómenos separados y

diferentes.

Steven Weinberg y Abdus Salam elaboraron en 1967-1968, (Steven 2009) una teoría

relativista del campo cuántico, que permitía expresar las interacciones

electromagnéticas y débiles de una manera unificada (la interacción electrodébil), y

que predijo hechos que luego fueron comprobados experimentalmente.

El Modelo estándar de la física de partículas es una teoría de campo (de gauge) que

describe a fermiones elementales (leptones y quarks) en interacción mútua mediante

una serie de campos de Yang-Mills de bosones intermediarios. Puesto que el modelo

electrodébil (que describe la interacción electromagnética y débil) está basado en

una teoría de gauge con grupo gauge de simetría SU(2)xU(1) y la cromodinámica

cuántica (que describe la interacción fuerte) está basa en una teoría con grupo gauge

SU(3); los físicos han encontrado prometedor describir todas estas interacciones

mediante una teoría gauge con un grupo de simetría que tenga como subgrupos a

los grupos gauge mencionados.

Un candidato obvio para grupo de simetría es SU(5) en el que se basa el modelo de

Georgi-Glashow de 1974. (Steven 2009). En ese modelo se incluía un mecanismo de

ruptura espontánea de la simetría por el cual la simetría original completa, se volvía

una simetría menos general U(1)xSU(2)xSU(3) a bajas energía por fenómenos que

rompían la simetría. Aunque a grandes energías los factores de ruptura se vuelven

irrelevantes y los tres tipos de interacción debían aparecer como manifestaciones del

mismo campo. Una de las predicciones de este modelo es que existirían

interacciones que transformarían quarks en leptones violando la conservación de

número bariónico (aunque aún se conservaría la suma del número bariónico más el

número leptónico). Una de esas interacciones mencionadas permitiría la

desintegración del protón en otras partículas leptónicas. Como la propia teoría

44

permite calcular la tasa de desintegración en principio es más o menos directo

someter a prueba la teoría.

Se han propuesto muchas teorías de gran unificación con grupo gauge que tiene

como subgrupos al grupo gauge del modelo estándar (U(1)xSU(2)xSU(3)), aunque

ninguna de ellas tiene aceptación general.

El grupo de Lorentz es isomorfo al grupo ortonormal generalizado O(3,1) , es decir,

el grupo de transformaciones lineales que deja invariante la métrica del espacio de

Minkowski o grupo de isometría del espacio de Minkowski. Matemáticamente está

formado por cualquier matriz que satisfaga la relación:

El grupo de Lorentz no es el conjunto más general de transformaciones que dejan

invariantes las ecuaciones de la teoría general de la relatividad, ya que no incluye las

traslaciones espacio temporales. De hecho, el grupo de Lorentz es el subgrupo

maximal del grupo de Poincaré tal que no incluye las traslaciones.

El grupo de Lorentz está formado por cuatro componentes conexas, algunos de los

subgrupos más importantes que dicho grupo son:

El subgrupo con transformaciones de Lorentz cuyo determinante es igual a

1.

El subgrupo de Lorentz de trasformaciones propias, que es un subgrupo

del anterior tal que todas las transformaciones dentro de él cumplen que Λ00 >

0.

El subgrupo de rotaciones en isomorfo a , que es un subgrupo

del anterior.

45

El subgrupo de transformaciones ortocrono formado por todas aquellas

transformaciones tales que Λ00 > 0.

El grupo de Lorentz propio consta de todos los elementos de

determinante unidad, que no incluyan ninguna inversión temporal o espacial. El

grupo de Lorentz propio es un subgrupo conexo, de hecho coincide con la

componente conexa maximal que contiene al elemento neutro o identidad. Dicho

grupo es isomorfo al grupo de Möbius .

La inversión espacial es una transformación abstracta relacionada con la paridad

física. Matemáticamente una operación de inversión espacial pura tiene la forma:

Siendo alguno de los números α, β, γ un número impar. Si los tres números son

impares entonces se tiene una operación de inversión espacial según las tres

direcciones espaciales denominada simetría P, importante desde el punto de vista de

la teoría cuántica de campos.

El grupo de Lorentz no es un grupo conexo, aunque sí lo es el grupo formado por las

transformaciones de Lorentz propias. Aunque este subgrupo es conexo no es

simplemente conexo. Su espacio recubridor es precisamente el grupo especial lineal

complejo de dos dimensiones , que puede identificarse con el grupo de las

matrices de componentes complejas de 2x2 y determinante igual a la unidad:

Para ver la relación entre el grupo de Lorentz y su grupo recubridor, consideremos un

punto del espacio de Minkowski en forma de matriz hermítica:

46

Cuyo determinante es precisamente Y entonces la

acción del grupo sobre el espacio de Minkowski puede escribirse como:

Y esa acción sobre matrices hermíticas es equivalente a la acción del grupo de

Lorentz sobre el espacio-tiempo de Minkowski. Un detalle importante es que tanto la

matriz P como su negativa -P inducen la misma transformación de Lorentz. De

hecho, la aplicación inducida de en el grupo de Lorentz es dos a uno.

Una propiedad interesante del grupo es que es semisimple lo cual permite

construir sus representaciones de una manera peculiar simple, como suma directa de

representaciones irreducibles. Este hecho es muy importante en las aplicaciones

físicas. Esta propiedad hace que en realidad el grupo de Lorentz de la relatividad

especial más sencillo de manejar matemáticamente que el grupo de Galileo de la

mecánica newtoniana.

47

VI

DISCUSION

La teoría de las representaciones de grupos se ilustra tomando como ejemplo

diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica cuántica: teoría de los

átomos, química cuántica, teoría del estado sólido y mecánica cuántica relativista.

Asimismo, se analiza una serie de temas que en otras fuentes bibliográficas o bien

no se estudian o bien se exponen de forma muy superficial. Entre ellas destacan el

análisis de la simetría de la función de onda de Schrödinger, la explicación de la

degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y ciertas cuestiones

relacionadas con la teoría del estado sólido.

Dentro de una clase dada de teoría de representación, los resultados se diferencian

dependiendo de la clase de grupo de automorfismos que se busque. Un posible

'blanco' para el homomorfismo de la definición son los grupos de permutaciones.

Pero los 'blancos' más importantes son grupos de matrices sobre algunos cuerpos, o,

más generalmente, grupos de transformaciones lineales inversibles de un espacio

vectorial.

Los grupos también se aplican en otras muchas áreas matemáticas. Los objetos

matemáticos se examinan a menudo asociándolos en grupos y estudiando las

propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó el

que ahora se denomina topología algebraica introduciendo el grupo fundamental por

medio de esta conexión, las propiedades topológicas como por ejemplo la proximidad

y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. Por ejemplo, los elementos

del grupo fundamental se representan por bucles. La segunda imagen a la derecha

muestra algunos bucles dentro de un plan menos un punto. El bucle azul se

48

considera una homotopía nula (y por lo tanto irrelevante), porque se puede encoger

continuamente a un punto. La presencia del agujero impide al bucle naranja ser

reducido a un punto. El grupo fundamental del plano con un punto supreso resulta

ser infinito cíclico, generado por el bucle naranja (o cualquiera otro bucle enrollando

una vez alrededor del agujero). De este modo, el grupo fundamental detecta el

agujero.

Además de las aplicaciones teóricas mencionadas, existen muchas aplicaciones

prácticas de los grupos. La criptografía depende de la combinación del enfoque de

teoría de grupos abstractos conjuntamente con el conocimiento algorítmico obtenido

en la teoría de grupos computacional, en particular cuando se implementa para

grupos finitos. Las aplicaciones de la teoría de grupo no se restringen a las

matemáticas; las ciencias como la física, la química y la informática también se

benefician del concepto.

Hoy en día, la teoría de grupos es todavía una rama matemática altamente activa

que impacta de forma esencial en otros muchos campos.

En el campo de la química, como por ejemplo la cristalografía, el espacio se agrupa y

los grupos puntuales de simetría describen simetrías moleculares y simetrías

cristalinas. Estas simetrías son subyacentes al comportamiento físico y químico de

estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis en mecánica

cuántica de estas propiedades. Por ejemplo, la teoría de grupos se usa para mostrar

que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir

simplemente debido a la simetría de los estados implicados.

No sólo hay grupos útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en

moléculas, sino que sorprendentemente también pronostican que las moléculas a

veces pueden cambiar la simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una

molécula de alta simetría cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir

de un conjunto de estados base posibles que se relacionan el uno con el otro por las

operaciones de simetría de la molécula.

49

Del mismo modo, la teoría de grupos ayuda a pronosticar los cambios de

propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado, por

ejemplo, de forma cristalina cúbica a una forma cristalina tetraédrica.

Los grupos de simetría mencionados como por ejemplo los grupos de Mathieu se

usan en teoría de códigos, que se aplica en la corrección de errores en los datos

transmitidos, y a los reproductores de CDs.

Los grupos de Lie son de importancia fundamental en física: El teorema de Noether

conecta las simetrías continuas con las leyes de conservación. La rotación, así como

las traslaciones en el espacio y el tiempo son simetrías básicas de las leyes de la

mecánica. Se pueden, por ejemplo, usar para construir modelos simples e imponer,

digamos, la simetría axial sobre una situación y conducirá típicamente a una

simplificación significativa en las ecuaciones que hay que resolver para proporcionar

una descripción física. Otro ejemplo son las transformaciones de Lorentz, que

relacionan las medidas del tiempo y la velocidad de dos observadores en movimiento

relativo el uno respecto del otro. Se pueden deducir puramente desde la teoría de

grupos, expresando las transformaciones como simetría rotacional del espacio

Minkowski. Este espacio sirve en la ausencia significativa de gravitación como

modelo del espacio-tiempo en relatividad especial. El grupo completo de simetría del

espacio de Minkowski, es decir incluyendo traslaciones, es conocido como el grupo

de Poincaré. Por lo que se ha explicado, tiene un papel fundamental en la relatividad

especial y, por implicación, para la teoría cuántica de campos. Las simetrías que

varían con la posición son centrales a la descripción moderna de interacciones

físicas con la ayuda de la teoría de gauge.

50

VIII

REFERENCIAS

.

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