Facultad Regional Mendoza. UTN Álgebra y Geometría ... · Un barco envía una señal de auxilio en el momento en el que se encuentra a 100 millas de ... los focos y que el barco

Facultad Regional Mendoza. UTN Álgebra y Geometría Analítica

2015

Trabajo Práctico N°9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

Ejercicio 1:

Halle la ecuación normal y general de la circunferencia que tiene centro en (- 2; 3) y que pasa por el punto ( 2; -1). Grafique. Ejercicio 2:

Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.

R

L

R L

y

p/2

h

k

x

F V

p/2

●

h

k

x

F

V

y

ECUACIÓN CANÓNICA

2 p ( x – h ) = ( y – k)²

EJE FOCAL //

EJE X

VÉRTICE

V( h; k) Ecuación de la DIRECTRIZ x = h – p/2

FOCO

F(h+p/2; k) LADO RECTO LR = 2p.

● p/2

DIRECTRIZ

p/2 DIRECTRIZ

EJE FOCAL

ECUACIÓN CANÓNICA

2 p ( y – k ) = ( x – h)²

EJE FOCAL //

EJE Y

VÉRTICE

V( h; k) Ecuación de la DIRECTRIZ y = k – p/2

FOCO

F(h; k+p/2) LADO RECTO LR = 2p.

EJE FOCAL EJE FOCAL EJE FOCAL


2015

Ejercicio 3:

Halle la ecuación normal y general de la parábola cuyo vértice es el punto V( - 4, 3) y su foco es F (- 1; 3). Represente gráficamente. Ejercicio 4:

Las torres de una línea de alta tensión están separadas 100 m y tienen una altura de 16 m. Los cables de la línea no deben estar a menos de 6 m sobre el nivel del suelo. Halle la ecuación de la parábola que determinan los cables. Indique la altura de un punto que está situada a 20 m del vértice. [Observación: Un cable que cuelga entre dos postes describe una curva llamada “catenaria”, pero en la práctica puede calcularse aproximadamente como una parábola.]

Ejercicio 5:


R

L

A`

B`

B

AA` b

a

c h k

y

x

F

F` ●

EJE FOCAL // EJE X

ECUACIÓN CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

=−+−b

ky

a

hx

CENTRO C( h, k) VÉRTICES

A( h + a; k ) A`( h – a; k ) B( h; k + b ) B`( h; k – b )

SEMIEJES MAYOR: a MENOR : b

FOCOS:

F( h + c; k ) F`( h – c; k )

SEMIDISTANCIA FOCAL

c FÓRMULA DE CÁLCULO

a2 = b²+ c²

EXCENTRICIDAD a

ce = LADO RECTO

a

bLR

22=

C ●

EJE FOCAL


2015

Ejercicio 6:

Halle la ecuación normal de la elipse con eje focal paralelo al eje y, con centro C ( 1, 1 ), que tiene uno de sus vértices en A ( 1, 6 ) y cuya excentricidad es 3/5. Represente gráficamente. Ejercicio 7:

Un río es cruzado por una carretera por medio de un puente cuyo arco central tiene la forma de media elipse. En el centro del arco la altura es de 20 m. El ancho total del arco elíptico es de 50 m. a) Determine la ecuación de la elipse que describe dicho puente. b) A una distancia de 5 m de cada uno de los pilares, se encuentran estructuras de protección para los mismos. ¿Cuál es la altura del arco del puente en correspondencia con estos elementos?

R L

y

B` B

A

A`

b

a c

h k

x

F ●

F` ●

EJE FOCAL // EJE Y

ECUACIÓN CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

=−+−a

ky

b

hx


A( h; k + a ) A`( h; k – a ) B( h + b; k ) B`( h – b; k )

SEMIEJES MAYOR: a MENOR : b

FOCOS:

F( h; k + c ) F`( h; k – c )

SEMIDISTANCIA FOCAL

c FÓRMULA DE CÁLCULO

a2 = b²+ c²

EXCENTRICIDAD a

ce = LADO RECTO

a

bLR

22=

EJE FOCAL


2015

Ejercicio 8:


Ejercicio 9:

Halle la ecuación de la hipérbola con centro en C(4;2), con uno de sus focos en F( - 6; 2) y con excentricidad e = 5/4. Represente gráficamente.

R L

B’ k

B

x

F ●

y

A’ k

B B’

Aa b

c

h

x F`

F

●

●

y

F`

A’ ●

b a

h A

c

x

EJE FOCAL // EJE X

ECUACIÓN CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

=−−−b

ky

a

hx


A( h + a; k ) A`( h – a; k ) B( h; k + b ) B`( h; k – b )

SEMIEJES REAL: a

IMAGINARIO: b FOCOS:

F( h + c; k ) F`( h – c; k )

SEMIDISTANCIA FOCAL

c FÓRMULA

DE CÁLCULO

c2 = a²+ b²

EXCENTRICIDAD a

ce = LADO

RECTO a

bLR

22=

ECUACIÓN ASÍNTOTAS khxa

by +−±= )(

EJE FOCAL // EJE Y

ECUACIÓN CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

=−−−b

hx

a

ky


A( h; k + a ) A`( h; k – a ) B( h + b; k ) B`( h – b; k )

SEMIEJES REAL: a

IMAGINARIO: b FOCOS:

F( h; k + c ) F`( h; k – c )

SEMIDISTANCIA FOCAL

c FÓRMULA

DE CÁLCULO

c2 = a²+ b²

EXCENTRICIDAD a

ce = LADO

RECTO a

bLR

22=

ECUACIÓN ASÍNTOTAS khxb

ay +−±= )(

EJE FOCAL

L

R

EJE FOCAL


2015

Ejercicio 10:

Un barco envía una señal de auxilio en el momento en el que se encuentra a 100 millas de la costa. Dos estaciones guardacostas Q y R, ubicadas a 200 millas de distancia entre sí, reciben la señal. A partir de la diferencia entre los tiempos de recepción de la señal, se determina que la nave se encuentra 160 millas más cerca de la estación R que de la estación Q. Elija un sistema de referencia apropiado e indique las coordenadas correspondientes a la ubicación de la embarcación. Represente gráficamente.

Por definición de hipérbola sabemos que es el lugar geométrico formado por todos los puntos del plano tales que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos permanece constante y esta diferencia es igual a 2a, siendo a el semieje real. Teniendo en cuenta esta definición, si consideramos que las guardacostas Q y R son los focos y que el barco es un punto ubicado sobre la hipérbola, entonces, conociendo la ecuación de la misma, podremos determinar las coordenadas del barco. d + 160 - d = 2 a D(R,Q) = 2c = 200 mi ( distancia focal) 160 = 2 a c = 100 mi a = 80 mi c² = a² + b² b² = c² - a² b² = 100² - 80² b² = 3600 b = 60 mi

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola será: 1²60

²

²80

² =− yx

De donde si y = - 100 mi entonces x será: Reemplazando el valor de y en la ecuación y despejando x obtenemos x = 155,49 mi El barco se encuentra a 100 millas al sur de la costa y a 155,49 mi al este medida desde el punto medio ubicado entre ambos guardacostas.


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Ejercicio 11:

Dadas las ecuaciones de las siguientes cónicas, encuentre su ecuación normal, determine sus elementos principales y grafique. Escriba la ecuación trasladada respecto de las coordenadas del nuevo sistema.

a) 9 y2 + 4 x2 – 18 y – 27 = 0

b) x2 + 4 x – 4 y + 16 = 0

c) y2 – x2 + 4 y + 2 x – 1 = 0

d) y2 + 2 x – 10 y + 23 = 0 Ejercicio 12:

Dadas las siguientes ecuaciones:

i) 4 x2 + 4 x y + 4 y2 – 3 = 0

ii) 4 x y – 3 2 x + 2 y – ½ = 0

iii) x2 - 2 x y + y2 – 2 y – 2 x = 0

iv) x y – 2 = 0

a) Exprese la ecuación en forma matricial b) Identifique la cónica a partir de los valores propios c) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática d) Verifique que la matriz hallada representa una rotación e) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado f) Halle el ángulo de rotación g) Grafique

ii) 4 x y – 3 2 x + 2 y – ½ = 0

1) Forma matricial

[ ] [ ] [ ] 02/122302

20=−+

−+

y

x

y

xyx , siendo A =

02

20

2) Valores y vectores propios de A

0402

2 2 =−⇒=−

−λ

λλ

22 21 −== λλ y

Para 21 =λ

=

−−

0

0

22

22

y

x - 2 x + 2 y = 0 x = y v1 =

x

x

SOLUCIÓN:


2015

Para 22 −=λ

=

0

0

22

22

y

x 2 x + 2 y = 0 x = - y v1 =

−x

x

3) La matriz P para la diagonalización ortogonal es : P =

−

21

21

21

21

La matriz diagonal semejante a la matriz de la forma cuadrática es: D = P-1 A P =

− 20

02

4) Considerando que X = P X´, la nueva ecuación matricial es:

[ ] [ ] [ ] 02/1´

´

21

21

21

21

223´

´

21

21

21

21

02

20

21

21

21

21

´´ =−+

−−+

−

− y

x

y

xyx

[ ] [ ] [ ] 02/1´

´

21

21

21

21

223´

´

20

02´´ =−+

−−+

− y

x

y

xyx

2 x´2 – 2 y´2 – 2 x´ + 4 y´ = 1/2 2 ( x´2 – x´ ) – 2 ( y´2 – 2 y´ ) = ½ 2 ( x´2 – x´ + ¼ - ¼ ) – 2 ( y´2 – 2 y´ + 1 – 1 ) = 1/2 2 ( x´ – ½ )2 – ½ – 2 ( y´ – 1)2 + 2 = ½ 2 ( x´ – ½ )2 – 2 ( y´ – 1)2 = - 1 - 2 ( x´ – ½ )2 + 2 ( y´ – 1)2 = 1

5) La ecuación normal de la cónica es: 12/1

)1´(

2/1

)´( 222

1

=−+−− yx

▪ Tipo de cónica: Hipérbola ▪ Centro: C ( ½; 1) [ C (h; k) ]


2015

▪ Semiejes: a = b = 1/2 ▪ Semidistancia focal: c = 1 [ c2 = a2 + b2 ]

▪ Vértices: A ( ½ ; 1 + 2/1 ) A´ ( ½ ; 1 - 1/ 2 ) [ A ( h; k ± a ) ]

B ( ½ + 1/ 2 ; 1 ) B´ ( ½ - 1/ 2 ; 1 ) [ B ( h ± b; k ) ] ▪ Focos: F ( ½ ; 2 ) F´( ½ ; 0 ) [ F ( h; k ± c )]

▪ Lado recto: LR = 2 [ LR = 2 b2/a ]

Ejercicio 13:

Analice las relaciones que existen entre las gráficas dadas y las ecuaciones indicadas.

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas


2015

Elipsoide

Superficie cónica

Paraboloide elíptico

Paraboloide hiperbólico

Cilindro elíptico

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Cilindro hiperbólico

12

2

2

2

=−b

x

a

y

Cilindro parabólico

2yax = Cilindro circular

222 ayx =+

Ejercicio 14:

Halle los elementos de la siguiente cuádrica e identifique el nombre:


2015

Ejercicio 15:

Dada la siguiente ecuación:

144 x2 + 100 y2 + 81 z2 – 216 x z – 540 x – 720 z = 0

a) Exprese la ecuación en forma matricial. b) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática. c) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado.

Dada la ecuación de la cuádrica:

a x2 + b y2 + c z2 + d xy + e xz + f yz + g x + h y + i z + j = 0

expresamos dicha ecuación en forma matricial:

XT A X + K X + [ j ] = O

Siendo:

=cfe

fbd

eda

A

2/2/

2/2/

2/2/

[ ]ihgK=

=z

y

x

X

a)

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:


2015

[ ] [ ] 07200540

810108

01000

1080144

=

−−+

−

−

z

y

x

z

y

x

zyx

Con

−

−=

810108

01000

1080144

A y [ ]7200540 −−=K

b) Buscamos los valores propios:

0

810108

01000

1080144

=−−

−−−

=−λ

λλ

λ IA

( 144 - λ ) ( 100 - λ ) ( 81 - λ ) – 1082 . ( 100 - λ ) = 0

( 100 - λ ) ( λ² - 225λ+ 11664 – 1082 ) = 0

( 100 - λ ) ( λ² - 225λ) = 0

λ1 = 0 λ2 = 100 λ3 = 225

λ1 = 0

=

−

−

0

0

0

810108

01000

1080144

c

b

a

=+−=

=−

081108

0100

0108144

ca

b

ca

a = 3/4 c ; b = 0 ; v1 =

4

0

3

;

=5/4

0

5/3

ˆ1v

λ2 = 100

=

−−

−

0

0

0

190108

000

108044

c

b

a

=−−=−

019108

010844

ca

ca a = c = 0 ; b ∈ IR; v2 =

0

1

0

;

=0

1

0

ˆ2v

λ3 = 225

=

−−−

−−

0

0

0

1440108

01250

108081

c

b

a


2015

=−−=−

=−−

0144108

0125

010881

ca

b

ca

a = - 4/3 c ; b = 0 ; v3 =

−

3

0

4

;

−=

5/3

0

5/4

3̂v

P =

−

5/305/4

010

5/405/3

P - 1 =

− 5/305/4

010

5/405/3

c) Reemplazando X por P X’

[ ] [ ]

−−−+

'

'

'

5/305/4

010

5/405/3

7200540

'

'

'

22500

01000

000

'''

z

y

x

z

y

x

zyx

0'900'225'100 22 =−+ xzy

0'36'9'4 22 =−+ xzy PARABOLOIDE ELÍPTICO

4

'

9

''

22 zyx +=

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