ffr-05-2.pdf

Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Examen Parcial Ingenieros de Montes 31 mar 06

Departamento de Física Aplicada Universidad de Córdoba

1. Una viga uniforme, de longitud 2l y masa m, está sostenida horizontalmente por dos apoyos, A y B, a una distancia x del centro G de la viga. a) Deter-minar la distancia x para que, al suprimirse súbitamente uno de los apoyos, no varíe en ese instante la reacción en el otro. b) Justamente después de suprimir el apoyo B, calcular la aceleración del punto G de la viga.

x x A B

G

a) Los puntos A y B deben ser conjugados; de modo que sus distancias al punto G deben cumplir la condición de Huygens para el centro de percusión, cm'mhh I= , de modo que debe ser

( )22 21 1 32 0.5812 3 33

lmxx mx m l ml x l l= = = → = = =

b) Antes de retirar el apoyo B, serán 1

A B 2F F mg= =

Justamente después de retirar el apoyo B, en las condiciones del apartado anterior, la viga estará sometida a las fuerzas

x x A B

G

P

FBFA

1A 2F mg P mg= =

Aplicamos la primera ecuación cardinal de la dinámica del sólido rígido para calcular la aceleración del centro de masas de la viga:

1 1A cm cm cm2 2P F ma mg mg ma a g− = → − = → =

xA

G

P

FA

Otro método Antes de retirar el apoyo B, serán

1A B 2F F m= = g

Justamente después de retirar el apoyo B, en las condiciones que impone el enunciado del problema, la viga estará sometida a las fuerzas

1A 2F mg P m= = g

Aplicamos las ecuaciones cardinales de la dinámica del sólido rígido, tomando momentos en G, y tenemos en cuenta que tendrá lugar una rotación instantánea alrededor de A:

( )11

cm 2cm2

2 231 12 3 2

2 2 2 2 331 1cm 2 2 3 3

/

/

a gmg mg ma

mgx ml gx l

a x g gx l x l x l

α α

α

⎧ =− =⎧ ⎪⎪ ⎪= → =⎨ ⎨⎪ ⎪= = → = → =⎩ ⎪⎩

Creación: 29/03/2006 - Revisión: 14/04/2006 - Impresión:14/04/2006



2. a) Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de un aro de radio R colgado de la pared mediante un clavo horizontal. ¿Cuál es la longitud reducida de este péndulo físico? b) Repetir el apartado anterior si se suprime la mitad inferior del aro.

a) El Teorema de Huygens para los puntos conjugados en un péndulo compuesto nos permite escribir

2G

G' ' I mRmhh I h Rmh mR

= → = = =

de modo que el conjugado de O es O’ (obvio) y la distancia entre ellos es la longitud reducida del péndulo físico constituido por el aro en sus pequeñas oscilaciones; eso, es

O

O’

G

h

h’ ' 2h h R R Rλ = + = + = La frecuencia de las pequeñas oscilaciones será:

1 12 2

g g2R

νπ λ π

= =

b) Aplicamos el Primer Teorema de Pappus-Guldin para determinar la posición del c.m. (G) de medio aro, siendo CG=δ:

2 2 24 2 GOS sL R R R h R Rππ π πδ δ δπ π

−= → = × → = → = = − =

uuuv

El Teorema de Steiner nos permite determinar el momento de inercia de medio aro con respecto a su c.m.:

( )22 2 2 2

C G G C 2 2

44 2I I m I I m mR m R mRπ

δ δπ π

−= + → = − = − =

De nuevo, el Teorema de Huygens nos permite determinar el conjugado O’ de O: O

O’

C

h

h’

G δ

( )( )

( )2G

G 2

4 2' ' GO'

2Imhh I h R Rmh

π π ππ π π

− += → = = = =

−

uuuuv

( )22' 2h h R R Rππλ

π π+−

= + = + =

de modo que, de nuevo, el conjugado de O es el punto O’ diametralmente opuesto y la longitud reducida del péndulo físico es 2R. La frecuencia de las pequeñas oscilaciones será:

1 12 2

g g2R

νπ λ π

= =




zuncho

pilar3. Un pilar cilíndrico, de 20 cm de diámetro y 3 m de altura, de hormigón (E = 2.8H1010 N/m2,

μ = 0.4), está revestido exteriormente con un zuncho de acero que impide las dilataciones trans-versales. a) Determinar la contracción longitudinal que experimenta el pilar cuando soporta una carga vertical de 8000 kg. b) Calcular el esfuerzo transversal que soporta el zuncho.

Escribimos las ecuaciones elásticas, imponiendo las condiciones de imposibilidad de dilataciones transversales debidas al zuncho rígido:

1 ( )

1 ( )

1 ( )

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

E

E

E

ε σ μσ μσ

ε σ μσ μσ

ε σ μσ μσ

⎧ = − −⎪⎪⎪ = − −⎨⎪⎪ = − −⎪⎩

0

0

=

=

de modo que disponemos de tres ecuaciones con tres incógnitas ( , ,zz xx yyε σ σ )

Resolviendo las dos primeras y sustituyendo los resultados en la tercera, tenemos:

zuncho

pilar

z

yx

1xx yy zz

xx yy zxx yy zz

σ μσ μσ μzσ σ σ

μσ σ μσ μ

− =⎧⎪ → = =⎨− + = −⎪⎩21 2( ) 1

1zz

zz zz xx yyE Eσμε σ μσ μσ

μ⎛ ⎞

= − − = −⎜ ⎟−⎝ ⎠

Sustituyendo los datos

10 2 2 2 6 214

8000 9.82.8 10 N/m ; 0.4; 0.20 0.0314 m ; 2.50 10 N/m0.0314xxE Sμ π σ ×

= × = = × = = − = − ×

en los resultados algebraicos anteriores, tenemos 2 6

5 510

2 0.4 2.50 101 4.16 10 4.16 10 3 0.125 mm1 0.4 2.8 10zz zzx hε ε− −⎛ ⎞× − ×

= − = − × → Δ = = − × × = −⎜ ⎟− ×⎝ ⎠

( )6 60.4 2 2 2.50 10 1.67 10 N/m1 0.4 3 3xx yy zz zzσ σ σ σ= = = = − × = − ×−

2




agua

30º

1 m

1.5 m

B

A

4. a) Determinar la fuerza total debida a la presión del agua sobre la compuerta inclina-da, de 3 m de anchura, que se muestra en la figura. b) Calcular el momento de dicha fuerza respecto a la bisagra (B). c) Localizar la línea de acción de dicha fuerza resul-tante. d) Determinar la reacción de la solera sobre el borde inferior (A) de la compuerta.

a) Aplicamos la expresión: ( )cF ghρ= S , con

2c 1 0.75sen 30º 1.375 m; 1.5 3 4.5 m

1000 9.8 1.375 4.5 60 638 N 6188 kg

h S

F

= + = = × =

= × × × = =

c) Aplicamos la expresión: , con c cp /xxy y I S=

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 1cc 12 12

cp pc

1.5 2.75 1.5 2.75 7.75 m

/ 7.75 2.82 m BC 2.82 2.00 0.82 m2.75

xxxx

xx

II I SD S SS

I Syy

= + = + → = + =

= = = → = − =uuuuv

b) Aplicamos el Teorema de Varignon para una distribución de fuerzas paralelas, tomando momentos en B:

B pBC 0.82 60638 49723 m NM F= = × = ⋅

d) Puesto que la compuerta está en equilibrio, los momentos en B de F y de FA deben ser iguales y opuestos; esto es,

( ) BB A A

49 723BA cos30º 38 277 N 3906 kg1.5 0.866BA cos30º

MM F F= → = = = =×

agua

30º

1 m

1.5 A

B

x

1 mhc hcp

2.75 m

ycp

2 m

30º

FA

x

F




5. Un sifón es un dispositivo que se utiliza para extraer líquido de un depósito. Su forma de operar se muestra en la figura adjunta. El extremo del tubo que está sumergido en el líquido puede estarlo a cualquier profundidad. Naturalmente, para que el sifón funcione deberá estar inicialmente lleno de agua; pero una vez que está lleno, el sifón succionará líquido del depósito hasta que el nivel en éste descienda por debajo del nivel del extremo del tubo abierto al aire libre. Supongamos que el líquido sea agua a 15.5 EC (ps = 13 Torr) y despreciemos totalmente la fricción. a) Determinar la velocidad de salida del líquido por el extremo inferior del tubo del sifón. b) ¿Cuánto vale la presión absoluta en el punto más alto del tubo? c) ¿A qué altura máxima sobre el extremo inferior del tubo puede estar el punto más alto del tubo sin que el sifón falle por cavitación?

a) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre A-C

atmp A atm0gz p+ + =ρ 2A

10 22

v v gzρ+ + → =

A

B

C z=0

Esto es, la velocidad de salida viene dada por el Teorema de Torricelli, siendo h la diferencia de niveles entre la superficie libre del líquido (A) y la salida del tubo de desagüe (C). b) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre B-C

2B B

12

z vρ ρ+ +p g 2atm

102

p vρ= + +

B atm B 0p p gzρ∴ = − >

c) Se presentará cavitación, esto es, la formación de burbujas de vapor en el seno del líquido, causada por las variaciones que este experimenta en su presión, si la presión en B es inferior a la presión de vapor saturante del agua:

( )B atmB atm B s B

760 12.788 101328 10.2 m1000 9.8 760

p pp p gz p zg

ρρ

−−= − > → < = =

×


Documents

ffr-05-2.pdf