Telecomunicaciones I

Viernes 22 de abril de 2005

Trabajo Segundo Corte. Modulación LRC

Introducción.

La modulación nace de la necesidad de transportar una información a través de un canal decomunicación a la mayor distancia y menor costo posible. Este es un proceso mediante el cual dichainformación (onda moduladora) se inserta a un soporte de transmisión.

En telecomunicaciones el término modulación engloba el conjunto de técnicas para transportar informaciónsobre una onda portadora, típicamente una onda senoidal.

Básicamente, la modulación consiste en hacer que un parámetro de la onda portadora cambie de valor deacuerdo con las variaciones de la señal moduladora, que es la información que queremos transmitir.

Desarrollo.

Es importante tener claro antes un concepto de CPM. Modulación de fase continúa.

La modulación continua de la fase (CPM) es una técnica digital de la modulación de la fase que obliga a lafase del portador que sea intervalos que señalan del excedente continuo. El pulso de la fase (el CPM del p(t))se describe cómo la transición que ocurre entre los intervalos que señalan. Este constreñimiento en la faseimplica que el CPM es una modulación con memoria.

Debido al CPM liso de M−ary de las transiciones de la fase, tiene eficacia espectral mejor que otros esquemasde la modulación de la fase como M−PSK. También puesto que el cociente medio de la energía del pico delCPM es el mejor valor posible (0dB) es popular en los usos que tienen picos a medios rigurosos del cocientede la energía.

La modulación continua de la fase (CPM) es una técnica digital que obliga a la fase del portador que estéaparte de estas ventajas, el modulador de la modulación de la fase del CPM se puede descomponer en uncodificador externo (codificador continuo de la fase − CPE) y una memoria menos el modulador, este hechose puede utilizar para mejorar el funcionamiento del sistema realizando la desmodulación iterativa. Ladescomposición del CPM también permite que exploremos diversas realizaciones del CPM fácilmente.

En la representación equivalente del CPM, la corriente de la información de la entrada se pasa al CPE, lasalida entonces tras la señal transmitida por un modulador sin memoria. El número de las señales únicas quese pueden transmitir durante cualquier intervalo que señala es determinado por las características del p(t) delpulso de la fase y es independiente de la naturaleza de CPE.

La modulación LRC( Coseno levantado) puede considerarse como característica en frecuencia que consiste enuna parte plana a baja frecuencia y otra parte decreciente hasta cero o roll−off siguiendo una función coseno.

En nuestro concepto de investigación se utiliza esta modulación para evitar la ISI (Interferencia entresímbolos) ya vista en clase y otro tipo de ruido comúnmente blanco y aditivo. Pues en este sentido vemos quees una herramienta bastante potente y eficaz para nuestro estudio en transmisión de datos binarios.

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He aquí la transmisión de símbolos posibles (Son algunas).

Transmisión de símbolos.

Modulación en fase y en cuadratura.

Podemos modular una secuencia de bits con un seno: en Fase I.•

Y otra con un coseno: en cuadratura.•

Vamos a tratar la modulación de coseno alzado explicándola de la siguiente forma: partiendo de un simplediagrama de bloques y explicando este.

Figura No. 1.

Podemos ver el diagrama de bloques del transmisor digital banda base basada en PAM. La señal aplicada a laentrada del sistema consiste en una secuencia binaria {bk} con una duración de bit de Tb segundos. {bk} en elcaso binario es de la forma 0 ó 1. Gracias al bloque generador de pulsos, cada s�mbolo bk se representa conun pulso g(t) con diferente amplitud ak dependiendo del s�mbolo transmitido, obteniéndose la señal x(t).

La señal PAM (Señal de banda lateral doble) x(t) pasa a través de un filtro de transmisión de función detransferencia ajustable HT(f). La salida de este filtro es la señal que se transmite a través del canal decomunicaciones. Esta señal transmitida se ve modificada de forma deterministica según la función de

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transferencia del canal HC(f) que se supone conocida. Además el canal introduce ruido aleatorio w(t) blancoy aditivo.

La señal ruidosa pasa a través de un filtro de recepción de función de transferencia ajustable HR(f)obteniéndose la señal y(t). Esta se�nal se muestrea manteniendo el sincronismo con el transmisor a una tasade una muestra por bit. Los instantes de muestreo ti = iTb vienen determinados por un reloj o señal detemporización que normalmente se extrae de la propia señal recibida y(t).

Finalmente, la secuencia de muestras y(ti) obtenida se utiliza para reconstruir la señal original utilizando undispositivo decisor. La amplitud de cada muestra se compara con un umbral. Si la muestra es mayor que elumbral se decide que se transmitió un 1, en caso contrario se decide en favor de 0, obteniéndose la secuencia{^bk}. El objetivo es que esta secuencia sea exactamente igual a la original {bk}.

La señal recibida y(t) se muestrea en los instantes ti = iTb, con i entero, obteniéndose la ecuación:

donde Ai es la amplitud del bit i transmitido. El segundo término de esta ecuación representa el efecto residualdel resto de bits transmitidos en la detección del bit i. Este efecto se denomina interferencia entre símbolos oISI (Inter−Symbol Interference). El último término representa el ruido muestreado en el instante ti.

En ausencia de ISI y ruido la ecuación anterior quedar�a y(ti) = Ai, por lo que el bit i se decodificar�a deforma correcta siempre. La inevitable presencia de ISI y ruido en el sistema va a dar lugar a bits erróneos en laetapa de decisión.

A la hora de diseñar los filtros de transmisión HT(f) y recepción HR(f) habrá que minimizar el efecto de laISI y del ruido para que el decisor cometa el menor numero de errores posible, lo que en definitiva aumentarala calidad del sistema.

Debemos evitar la ISI debido al solapamiento de los extremos de los otros pulsos que se suman al pulso deinterés Ai(t"iTb) que se observa en el instante Tb. Si esta forma de interferencia es muy fuerte, el decisorpuede cometer errores. El control de la ISI en el sistema se logra controlando en el dominio del tiempo laforma de los pulsos recibidos p(t) o en el dominio de la frecuencia su transformada de Fourier P(f). Unaforma de señal que no produce ISI esta definida temporalmente por la función sinc dada por la ecuación:

donde sinc cumple que en el instante de muestreo del bit de interés esta normalizada valiendo p(0) = 1 y enlos instantes de muestreo del resto de bits se anula, es decir, p(iTb) = 0 para i " 0.

En la ecuación anterior BT es el ancho de banda de este pulso p(t) que viene relacionado con la duración delbit Tb a través de:

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En el dominio de la frecuencia P(f) corresponde a una señal paso bajo ideal de ancho de banda BT dada por laecuación:

Esto significa que no hace falta ninguna componente frecuencial que exceda la mitad de la tasa binaria.

Como ya se ha dicho el pulso p(t) tiene su valor de pico en el origen igual a la unidad y se anula paramúltiplos enteros de Tb. Si la señal recibida se muestrea en t = 0, ±Tb, ±2Tb, . . . los pulsos definidos porAip(t " iTb) con amplitud Ai para i = 0,±1,±2, . . . no interferirán entre s�.

Usando el ancho de banda menor posible existen otras soluciones para la forma de p(t) que evitan la ISI ypermiten salvar los dos inconvenientes anteriores. Una de las soluciones más interesantes fue descrita porprimera vez por Nyquist: la forma de P(f) que posee muchas de las propiedades deseables es el cosenoalzado. Esta característica en frecuencia consiste en una parte plana a baja frecuencia y otra parte decrecientehasta cero o roll−off siguiendo una función coseno. En la ecuación:

Ahora se tiene la expresión anal�tica para P(f). El ancho de banda de este pulso es 2BT "f1 siendo f1 unparámetro frecuencial dado por la ecuación:

� se denomina factor de roll−off y cumple que 0 "�" 1. El factor de roll−off es un parámetro de diseño delpulso. Usando dicho factor, el ancho de banda Bw del pulso viene dado por la ecuación:

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Figura 2.

podemos ver el espectro P(f) para factor de roll−off � = 0, � = 0,5 y � = 1. El eje de frecuencias estanormalizado con respecto a BT y las amplitudes con especto al valor en el origen de P(f). Para � = 0, se tieneque Bw = BT y f1 = BT En este caso la ecuación de P(f) coincide con:

ya mencionada anteriormente por lo que P(f) es un pulso baso bajo ideal con m�nimo ancho de banda deforma que la parte con caída sinusoidal desaparece, es decir, tenemos el pulso en el dominio del tiempo p(t)con forma de sinc. Si ahora � = 1, se tiene que Bw = 2BT y f1 = 0. En este caso el ancho de banda es el dobleque el pulso en el dominio del tiempo p(t) con forma de sinc.

Además la parte plana desaparece puesto que f1 = 0 y el espectro tiene una caída suave sinusoidal desde elorigen hasta 2BT . Para � = 0,5 el ancho de banda Bw = 1,5BT y f1 = 0,5BT . En este caso para bajas

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frecuencias hasta 0,5BT hay una zona plana y de 0,5BT hasta 1,5BT tenemos la zona de caída sinusoidal. P(f)presenta simetría impar en la frecuencia BT en torno al valor 0,5 de amplitud normalizada como se puedeapreciar en la figura anterior.

Tomando transformada inversa de Fourier en la expresión para P(f) se puede obtener la expresión en eldominio del tiempo para p(t) llegando a la ecuación:

La expresión para p(t) dada consiste en el producto de dos factores. Un primer factor sinc(2BTt) asociado conel pulso con forma de sinc con espectro rectangular y un segundo factor que decrece como 1/|t|2 para |t|grande.

El primer factor asegura que p(t) pase por cero en los instantes de muestreo del resto de s�mbolos para t = iTbcon i un entero distinto de cero. El segundo factor reduce el tamaño de las colas del pulso considerablementepor debajo del pulso con forma de sinc, as� la transmisión de la señal binaria usando estos pulsos va a serrelativamente insensible a los errores de temporización.

De hecho la cantidad de ISI debido a un error de temporización decrece según � crece desde 0 hasta 1.Para elcaso especial de � = 1, la expresión para p(t) de la ecuación inmediatamente anterior se puede simplificarobteniéndose la ecuación:

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Figura No. 3.

El pulso dado por esta ecuación para � = 1 tiene las siguientes propiedades en el dominio del tiempo:

En t = ±Tb /2 = ± 1/4BT•

Se cumple que p(t) = 1/2, es decir, el ancho del pulso medido a mitad de amplitud es exactamente Tb.

Hay cruces en t = ±3Tb/2, ±5Tb/2, . . ., además de los cruces normales en t =±Tb, ±2Tb, . . .•

Estas dos propiedades son particularmente útiles a la hora de regenerar la señal de reloj en el receptor parasincronización. Sin embargo, el precio a pagar para el caso � = 1 es la necesidad del doble ancho de bandaque para el caso � = 0 como se puede ver en la figura No. 3

Conclusiones.

En el caso de modulaciones lineales y bajo algunas hipótesis de fácil cumplimiento, la densidadespectral de potencia de la señal transmitida no es más que la representación en frecuencia del pulsoutilizado.

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Si mandamos un pulso cuadrado:

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Usando el ancho de banda menor posible existen otras soluciones para la forma de p(t) que evitan laISI, una de las soluciones la forma de P(f) que posee muchas de las propiedades deseables es elcoseno alzado. Esta característica en frecuencia consiste en una parte plana a baja frecuencia y otraparte decreciente hasta cero o roll−off siguiendo una función coseno

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Bibliografía.

http://www.comsoc.org/livepubs/50_journals/pdf/RightsManagement_eid=131096.pdf.• http://viento.us.es/~murillo/docente/ radio/documentos/tema6v2.pdf• 138.4.43.1/LSim/teoria_2.pdf• www.diac.upm.es/.../plan2000/Curso_04−05/Sistemas_Teleco/Segundo/Teoria_Comunicacion/Teoria_Comunicacion.htm

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www.diac.upm.es/.../Troncales_Obligatorias/Sistemas_Telecomunicacion/Sistemas_Telecomunicacion.htm

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CAPACITY ESTIMATION AND CODE DESIGN PRINCIPLES

FOR CONTINUOUS PHASE MODULATION (CPM).

CAPACITY ESTIMATION AND CODE DESIGN PRINCIPLES

FOR CONTINUOUS PHASE MODULATION (CPM)

Esquema de un sistema de banda base para explicar coseno alzado.

Espectro del pulso P(f) con forma de coseno alzado para tres valores del factor de roll−off _.

Forma de p(t) en el dominio del tiempo para el pulso con espectro con forma de coseno alzado

para tres valores del factor de roll−off _.

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