Introducción:

El filtro es un sistema diseñado para obtener una característica

de trasferencia deseada.

Clasificación:

Según la función se clasifican en :

Filtro Pasa Bajo Filtro Pasa Alto

Filtro Pasa Banda Filtro Rechaza Banda

Filtro Butterworth

Filtro Chebyshev

Filtro Bessel

Para el filtro de Bessel es preciso enfocarnos en los filtros activos

por su función de transferencia.

Clasificación:

Los filtros activos según los diseños:

Según sus componentes:

Pasivos

Activos

De capacidades conmutadas

Digitales

Describe el grado de aceptación o rechazo de frecuencias por

arriba o por debajo, de la respectiva frecuencia de corte.

Un filtro de primer orden, cuya frecuencia de corte sea igual a

(F), presentará una atenuación de 6 dB en la primera octava (2F),

12 dB en la segunda octava (4F), 18 dB en la tercera octava (8F) y

así sucesivamente.

Para realizar filtros de órdenes más altos se conecta en serie de

filtros de 1º o 2º.

Orden de un filtro

De acuerdo a los decibelios

por octava (pendiente)

tenemos un retardo y un

orden:

Número de circuitos RC. Se lo aproxima con el número de capacitores.

Filtros activos

Orden de un filtro activo :

Atenuación

Relacion entre el voltaje de entrada y salida.

𝐴𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑉𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎/𝑉𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜

𝐴𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑑𝐵 = −20 ∗ 𝑙𝑜𝑔𝐴𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Diagrama básico de orden de un filtro

Filtros paso-bajo primer orden

𝐴𝑣 = 1

𝑓𝑐 =1

2𝜋 ∙ 𝑅1 ∙ 𝐶1

𝐴𝑣 =𝑅2𝑅1+ 1

𝑓𝑐 =1

2𝜋 ∙ 𝑅3 ∙ 𝐶1

𝐴𝑣 = −𝑅2𝑅1

𝑓𝑐 =1

2𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ 𝐶1

Filtros paso-alto primer orden

𝐴𝑣 = 1

𝑓𝑐 =1

2𝜋 ∙ 𝑅1 ∙ 𝐶1

𝐴𝑣 =𝑅2𝑅1+ 1

𝑓𝑐 =1

2𝜋 ∙ 𝑅3 ∙ 𝐶1

𝐴𝑣 =−𝐶1𝐶2

𝑓𝑐 =1

2𝜋 ∙ 𝑅1 ∙ 𝐶2

Filtros con configuración de Sallen-Key

BABA

cCCRR

f2

1

roll-off de -40dB/dec

a) Configuración de

filtro pasa-bajo de Sallen-Key

a) Configuración de

filtro pasa-alto de Sallen-Key

BABA

cCCRR

f2

1

𝑄 =𝑅𝐴𝑅𝐵𝐶𝐴𝐶𝐵

CB RA + RB

𝑄 =𝑅𝐵𝐶𝑋

𝑅𝐴𝑅𝐵𝐶𝐴𝐶𝐵

𝐶𝑋 =𝐶𝐴𝐶𝐵

𝐶𝐴 + 𝐶𝐵

Filtro Sallen –Key de mayor orden

Filtro de tercer orden Filtro de cuarto orden

Filtro de sexto orden

Av=1 fc=1

2𝜋∙𝑅 𝐶1𝐶2

Butterworth: Q=0,707 Kc=1

Bessel : Q=0,577 Kc=0,786

Las dos resistencias tienen el mismo valor , pero los dos condensadores son distintos . Hay un circuito de retardo en la entrada no inversora , pero al mismo tiempo es el mismo camino de realimentación atreves del segundo condensador C2 . Par abajas frecuencias , ambos condensadores están en circuito abierto y el circuito tiene una ganancia unidad . Dado que el amplificador esta conectado como un seguidor te tensión .

Según va aumentando la frecuencia , disminuye la impedancia de C1y disminuye también la tensión en la entrada no inversora . Al mismo tiempo el condensador C2 se realimenta de una señal que esta en fase con la señal de entrada. Como la señal de realimentación se suma a la fuente de señal la realimentación es positiva . Asi se obtiene una disminución de la entrada no inversora producida por C1 no será tan grande como si no estuviera la realimentación positiva.

Cuanto mayor sea C2 con respecto a C1, mas positiva será la realimentación ;esto equivale a aumentar Q en el circuito . Si C2 es lo suficiente grande como par hacer Q mayor a 0,707 , aparecerá un pico en la respuesta de frecuencia

Análisis de un filtro de Sallen -Key

Filtro pasa banda

210

2222

2

1111

1

2

1

2

1

cc

BABA

c

BABA

c

fff

CCRRf

CCRRf

En el circuito, las dos vías de realimentación pasan a través de C1 y R2.

R1 y C1 dan la respuesta paso-bajas, mientras R2 y C2 la paso-altas.

La máxima ganancia se presenta en la frecuencia central f0

Filtros de realimentación múltiple (Raunch)

Diseño de filtro

Frecuencia de polo:

𝑄 = 0.5 ∗𝐶2𝐶1

𝑓𝑝 =1

2 ∗ 𝜋 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2

𝑓𝑝 =1

2𝜋 ∗ 𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2

𝐵𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟𝑤𝑜𝑟𝑡𝑕

Q=0.707

K=1

Bessel

Q= 0.577

K=0.786

Se nombran así en honor al astrónomo, matemático y bailarín

Friedrich Bessel. Para su diseño se emplean los coeficientes de

los polinomios de Bessel.

Diseño de filtro

Filtro Bessel:

Diseño de filtro

Respuestas de Butterwort y Bessel:

Respuestas de Butterworth y Bessel .

Cuando se analiza un circuito como el que aparece en la figura se comienza por calcular Q y F . Si Q=0,707 se tiene una respuesta de Butterworth y un valor para Kc de 1 . Si q=0,577 ,se tiene una respuesta de Bessel y un valor de kc de 0,786. posteriormente , se calcula la frecuencia de corte con:

Fc=Kc fc

Como los filtros de Butterworth y Bessel , ña frecuencia de corte es siempre la frecuencia a la cual la atenuación es de 3dB

El filtro de Bessel tiene: Una banda pasante plana (región de frecuencia donde la señal en la

salida no es atenuada). Una zona de atenuación con pendiente relativamente suave Una banda pasante que no varia.

Su respuesta a la fase es lineal en las bandas pasantes.

Su pendiente de transición (región comprendida entre la banda de paso y la banda de rechazo en la cual la ganancia cae de uno a cero) es peor que la Butterworth.

Se emplean para filtrar pulsos sin distorsionarlos.

Cuando estos filtros se transforman a digital pierden su propiedad de fase lineal

Filtro Bessel

Características :

Diseñados para tener una fase lineal en las bandas pasantes, por lo que no

distorsionan las señales; por el contrario tienen una mayor zona de transición

entre las bandas pasantes y no pasantes.

Filtro Bessel

Funcionamiento:

La aproximación de Bessel esta optimizada para producir un desfase

lineal con la frecuencia, por tanto, estos filtros sacrifican la pendiente en

la atenuación por conseguir un desfase lineal. El desfase lineal significa

que la frecuencia fundamental y los armónicos de una señal no

sinusoidal en la entrada del filtro se desfasarán linealmente a la salida del

mismo. Por ello, la forma de la señal de salida será la misma que la de la

señal de entrada, si se aplica una tensión en la entrada del filtro y se

observa su salida en un osciloscopio, se comprueba que tiene la mejor

respuesta al escalón de todos los filtros.

La forma de comportarse de un filtro se describe por su función de transferencia. Ésta determina la forma en que la señal aplicada cambia en amplitud y en fase al atravesar el filtro.

Los valores que hacen nulo el numerador son los ceros y los que hacen nulo el denominador son polos.

𝐻 𝑠 =𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠

𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠

El número de polos y ceros indica el orden del filtro y su valor determina las características del filtro, como su respuesta en frecuencia y su estabilidad.

Filtro de Bessel

Función de Transferencia

El filtro de Bessel posee únicamente polos pretenden asegurar la fase

lineal en toda la banda pasante. Su respuesta en frecuencia es:

𝐻 𝑠 =1

𝐵𝑁 𝑠 𝐵𝑁 𝑠 = 𝑎𝑘 ∙ 𝑠

𝑘𝑁𝑘=0

N: orden del filtro

Donde N es el orden del filtro y el denominador es un polinomio de

Bessel, cuyos coeficientes son:

𝑎𝑘 =2𝑁−𝑘 !

2𝑁−𝑘∙𝑘!∗ 𝑁−𝑘 ! , con k=0, 1, 2, ..., N

Filtro de Bessel

Polinomio de Bessel

Filtro de Bessel

Y se pueden definir de forma recursiva como:

𝐵𝑁 = 2𝑁 − 1 ∙ 𝐵𝑁−1 𝑠 + 𝑠2 ∙ 𝐵𝑁−2 𝑠

Siendo:

𝐵0 𝑠 = 1 𝐵1 𝑠 = 𝑠 + 1 𝐵2 𝑠 = 𝑠2 + 3𝑠 + 3 𝐵3 𝑠 = 𝑠3 + 6𝑠2 + 15𝑠 + 15

𝐵4 𝑠 = 𝑠4 + 10𝑠3 + 45𝑠2 + 105𝑠 + 105

𝐵5 𝑠 = 𝑠5 + 15𝑠4 + 105𝑠3 + 420𝑠2 + 945𝑠 + 945

∙ ∙ 𝐵𝑁+1 𝑠 = 2𝑁 + 1 𝐵𝑁 𝑠 + 𝑠2𝐵𝑁−1 𝑠

Observándose que el que mejor atenuación produce es el de Chebyshev, seguido de Butterworth y por último de Bessel. Aunque el primero presenta un rizado es de poca importancia con 3dB en su máximo.

Representación de la función de transferencia

Filtro de Bessel

Especifica la eficacia del filtro. Es la proporción establecida

entre la frecuencia de corte y el ancho de banda:

𝑄 =𝑓𝑚

𝑓2 − 𝑓1

Fm= Frecuencia de corte

F2,F1 Frecuencia de corte superior e inferior

Para filtros paso alto y paso bajo.

Q=𝑏𝑖

𝑎𝑖

Filtro de Bessel

Factor de calidad

Filtro Bessel

Constantes

Esquema Pasa Alto Primer Orden Esquema pasa bajo primer orden

Filtro Bessel

Constantes

Esquema Pasa Alto Tercer Orden

ESQUEMA PASA BAJO TERCER ORDEN

Filtro Bessel

Constantes

Para un filtro de 3er orden solo se modifican los

coeficientes de la tabla en Bessel.

Primer orden

Segundo orden

Filtro Bessel

Constantes

Filtro de Bessel

Respuestas paso bajo

Filtro de Bessel

Respuestas paso banda

Filtro de Bessel

Respuestas elimina banda

¿Cuál es la frecuencia del polo y Q del filtro de la fig.? ¿Cuál

es la frecuencia de corte?

Filtro de Bessel

Ejemplo 1

Filtro de Bessel

Simulación Ejemplo 1

Filtro de Bessel

Diagrama de Bode ejemplo1

Filtro Bessel

Ejemplo 2: filtros de orden superior

Diseñar un Filtro Pasa Bajo de 5º Orden con estructura: Sallen-Key y Rauch con

frecuencia de Corte de 50 KHz.

Para poder resolver filtros de orden superior se necesitara de tablas para las constantes a, b, k, que se muestran a continuación. n: Orden del filtro i: Número del filtro parcial. ai, bi: Coeficientes del filtro Ki: Cociente entre la frecuencia de corte de cada filtro parcial con

respecto a la frecuencia de calidad del filtro total. Qi: Factor de calidad de cada filtro parcial. Tgro: Retardo normalizado para los filtro pasa-todo

Solución de ejemplo 2

Se necesita de un filtro de 1º orden en serie con dos Filtros de 2º Orden:

Filtro de Bessel

Se elije las coeficientes: a1=0,6656 b1=0; a2=1,1402 b2= 0,4128 a3=0,6216 b3=0,3245

Y consideramos C1=C2=C4=1nF

Solución de ejemplo 2

67.2118101·50000·2

6656.0

··2 9

1

11

Cfc

aR

nFa

bCC 27.1

1402.1

4128.0·101·4··42

9

2

2

223

68.18141027.1·101·50000·4

1027.1·101·4128.0·4)1027.1·1402.1(1027.1·1402.1

···4

···4)·(·99

99299

32

322

2

3232

2 CCfc

CCbCaCaR

68.18141027.1·101·50000·4

1027.1·101·4128.0·4)1027.1·1402.1(1027.1·1402.1

···4

···4)·(·99

99299

32

322

2

3232

3 CCfc

CCbCaCaR

nFa

bCC 359.3

6216.0

3245.0·101·4··42

9

2

3

345

30.9861035.3·101·50000·4

1035.3·101·3245.0·4)1035.3·6216.0(1035.3·6216.0

···4

···4)·(·99

99299

54

543

2

5353

4 CCfc

CCbCaCaR

30.9861035.3·101·50000·4

1035.3·101·3245.0·4)1035.3·6216.0(1035.3·6216.0

···4

···4)·(·99

99299

54

543

2

5353

5 CCfc

CCbCaCaR

Filtro de Bessel

Solución de ejemplo 2

Filtro de Bessel

Simulación ejemplo 2 con estructura Sallen key

Diagrama de bode ejemplo 2 con estructura Sallen key

Simulacion ejemplo 2

Ahora necesitaremos un filtro de 3º orden en serie con un filtro de 2º

orden y utilizamos las constantes K de tabla de Bessel.

Filtro de Bessel

Solución del ejemplo 2 con estructura Rauch

Se elije las coeficientes: k1=0,76 k2=0,39 k3=0,12 k4=0,64 k5=0,09

R=1KΩ

Filtro de Bessel

Ejemplo 2 con estructura Rauch

Simulación del ejemplo 2 con estructura Rauch

Diagrama de Bode ejemplo 2 con estructura Rauch