Filtros Digitales - Aproximaciones

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FILTROS DIGITALESFILTROS DIGITALES

22

CONCEPTOS GENERALES.CONCEPTOS GENERALES.

FILTRO DIGITALFILTRO DIGITAL:: Proceso computacional que genera una Proceso computacional que genera una secuencia discreta a partir de otra, según una regla secuencia discreta a partir de otra, según una regla preestablecidapreestablecida..

CLASIFICACIÓNCLASIFICACIÓN – En función de la forma del módulo de la respuesta en En función de la forma del módulo de la respuesta en

frecuencias frecuencias – En función del procedimiento de realización En función del procedimiento de realización – En función de la longitud de la respuesta impulsional En función de la longitud de la respuesta impulsional – En función de la característica de fase. En función de la característica de fase.

ANÁLISIS:ANÁLISIS: Proceso por el cual dado un filtro digital Respuesta Proceso por el cual dado un filtro digital Respuesta

en Frecuenciasen Frecuencias

33

SINTESIS O DISEÑO DE FILTROS DIGITALESSINTESIS O DISEÑO DE FILTROS DIGITALES El proceso del diseño del filtro consiste bien en: El proceso del diseño del filtro consiste bien en:

a) La selección de los coeficientes de la ecuación a) La selección de los coeficientes de la ecuación en diferencias, ó en diferencias, ó

b) La determinación de la respuesta impulsionalb) La determinación de la respuesta impulsional

de forma que se cumpla algún criterio sobre las de forma que se cumpla algún criterio sobre las características en el dominio del tiempo o de la características en el dominio del tiempo o de la frecuencia.frecuencia.


44


Ventajas de los filtros digitales:

• Alta inmunidad al ruido• Alta precisión (limitada por los errores de redondeo en la aritmética empleada• Fácil modificación de las características del filtro• Muy bajo coste

Por estas razones, los filtros digitales están reemplazandorápidamente a los filtros analógicos.

55

CLASIFICACIÓN DE CLASIFICACIÓN DE FILTROS DIGITALES FILTROS DIGITALES

•FILTROS FIR

•FILTROS IIR

Un filtro FIR de orden M se describe por la siguiente ecuación diferencia

y(n)=B0 x(n)+B1 x(n-1)+… BM x(n-M)

lo que da lugar a la función de transferencia:

H(z)=B0+B1 z-1+B2 z-2+…+BM z-M

• La secuencia {Bi} son los coeficientes del filtro.

•La respuesta es por tanto una suma ponderada de valores pasados y presentes de la entrada. De ahí que se denomine Media en Movimiento (Moving Average)

• La función de Transferencia tiene un denominador constante y sólo tiene ceros.

• La respuesta es de duración finita ya que si la entrada se mantiene en cero durante M periodos consecutivos, la salida será también cero.

FILTROS FIR

77

Filtros IIR (Infinite Impulse Response)

Filtros AR (Autoregresivo)La ecuación en diferencia de un filtro AR es

lo que da lugar a una función de transferencia:

• La función de transferencia contiene solo polos.

• El filtro es recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada actual sino además de valores pasados de la salida.

• El término autoregresivo tiene un sentido estadístico en que la salida y[n] tiene una regresión hacia sus valores pasados.

NN zAzAzA

zH

....1

1)(

22

11

)()(....)2()1()( 21 nxNnyAnyAnyAny N

AR

ARMA

88

Filtros ARMA (Autoregresivo y Media en Movimiento)

Es el filtro más general y es una combinación de los filtros MA y AR descritos anteriormente. La ecuación diferencia que descibe un filtro ARMA de orden N es:

Y la la función de transferencia:

• Un filtro de este tipo se denota por ARMA(N,M), es decir es Autoregresivo de orden N y Media en Movimiento de orden M.

• Su respuesta a impulso es también de duración infinita y por tanto es un filtro del tipo IIR.

)(...)1()()(....)2()1()( 1021 MnxBnxBnxBNnyAnyAnyAny MN

NN

MM

zAzAzA

zBzBzBBzH

....1

...)(

22

11

22

110

99

1010

1111

El proceso de diseño de un filtro digital requiere tres pasos:

• Establecer las especificaciones del filtro para unas determinadas prestaciones. Estas especificaciones son las mismas que las

requeridas por un filtro analógico : frecuencias de parabanda y pasabanda, atenuaciones, ganancia dc, etc.

• Determinar la función de transferencia que cumpla las especificaciones.

• Realizar la función de transferencia en hardware o software.

1212

¿IIR o FIR?

• Los filtros IIR producen en general distorsión de fase, es decir la fase no es lineal con la frecuencia.

• Los filtros FIR son de fase lineal.

• El orden de un filtro IIR es mucho menor que el de un filtro FIR para una misma aplicación.

• Los filtros FIR son siempre estables.

1313

DISEÑO DE FILTROS IIRDISEÑO DE FILTROS IIR

1414

Se trata de determinar la H(s) de un sistema LIT Se trata de determinar la H(s) de un sistema LIT cuya correspondiente respuesta frecuencial caiga cuya correspondiente respuesta frecuencial caiga dentro del margen de tolerancias especificado. dentro del margen de tolerancias especificado.

APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS

ANALÓGICOSANALÓGICOS

1515

Constituye un problema de aproximación Constituye un problema de aproximación funcional: funcional:

– ButterworthButterworth– ChebyshevChebyshev– ElíticosElíticos

APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOSFILTROS ANALÓGICOS

d

d

ejHjH

sX

sYsH

j

)(

)()(

)(

)()(

)(

222

2

)()()(

)()()(

s

js

jHsHsH

sHsHjH

1616

Ganancia de un filtro:

Atenuación:

Frecuencia de corte Ωc:

En decibelios:

Las pendientes se miden en:

• dB/octava

• dB/decada

jHjHG (log20(log10)(2

jHA

(

1log20)(

max

)(2

1(

jHjH

c

dBjH

jHjHjH

3(log20

2

1log20(log20)(

2

1log(20(log20

max

maxmax

1717

APROXIMACIÓN BUTTERWORTHAPROXIMACIÓN BUTTERWORTH

La aproximación de Butterworth consiste en : La aproximación de Butterworth consiste en :

siendo N en orden del filtro, siendo N en orden del filtro, ΩΩc la frecuencia de corte del c la frecuencia de corte del filtro, (que representa una atenuación de 3dB).filtro, (que representa una atenuación de 3dB).

1818


Se define el filtro Butterworth normalizado como:Se define el filtro Butterworth normalizado como:

Características:Características:

– Esta aproximación es la que presenta una respuesta mas plana Esta aproximación es la que presenta una respuesta mas plana en en ΩΩ =0. ( Para un filtro de orden N, las 2N-1 primeras =0. ( Para un filtro de orden N, las 2N-1 primeras derivadas de |H(jderivadas de |H(jΩΩ)|son nulas en )|son nulas en ΩΩ=0. =0.

– Para altas frecuencias presenta una pendiente asintótica de Para altas frecuencias presenta una pendiente asintótica de

-20N dB/década. -20N dB/década.

– En general, la ganancia es monótona decreciente con En general, la ganancia es monótona decreciente con ΩΩ..

1919


2020

Determinación de la Función de Transferencia

2121

2222

En general la función de transferencia de un filtro de En general la función de transferencia de un filtro de Butterworth de orden N es de la forma:Butterworth de orden N es de la forma:

NN

n sasasasH

12

21 ...1

1)(

2323

Aproximación de ChebyshevAproximación de Chebyshev

La aproximación es: La aproximación es:

εε: Controla la amplitud del rizado en paso banda. : Controla la amplitud del rizado en paso banda.

k: Controla el nivel de ganancia. k: Controla el nivel de ganancia.

TTNN((ΩΩ): Polinomio de Chebyshev de 1ª clase y orden N ): Polinomio de Chebyshev de 1ª clase y orden N

definido por: definido por:

TTNN(Ω) = cos( N cos(Ω) = cos( N cos-1-1 Ω ) , | Ω|<1 Ω ) , | Ω|<1

TTNN(Ω) = cosh(N cosh(Ω) = cosh(N cosh-1-1 Ω) , |Ω|>1 Ω) , |Ω|>1

2424


Propiedades de los polinomios de ChebyshevPropiedades de los polinomios de Chebyshev::

1) T1) TNN(0) =(-1)(0) =(-1)N/2N/2 si N es par, 0 si N es impar si N es par, 0 si N es impar

2) T2) TNN(1) =(1) =

3) T3) TNN(-1) = 1 si N es par, -1 si N es impar (-1) = 1 si N es par, -1 si N es impar

4) T4) TNN ( (ΩΩ) oscila con rizado constante entre +1 y -1 para ) oscila con rizado constante entre +1 y -1 para

||ΩΩ|<1 |<1

5) Para | 5) Para | ΩΩ|>1, T|>1, TNN((ΩΩ) es monótona creciente, tendiendo a ) es monótona creciente, tendiendo a

infinito como 2infinito como 2N-1N-1 ΩΩNN

N1

2525

Representación gráfica de los polinomios de Representación gráfica de los polinomios de

Chebyshev de distintos órdenes.Chebyshev de distintos órdenes.

2626


A partir de la frecuencia de corte normalizada (A partir de la frecuencia de corte normalizada (ΩΩ=1), =1),

[H[Hnn(j (j ΩΩ)])]22 pasa a ser monótona decreciente. pasa a ser monótona decreciente.

FORMA GENERAL EN LA APROXIMACION CHEBYSHEVFORMA GENERAL EN LA APROXIMACION CHEBYSHEV

a) N par (N=4) b) N impar (N=5)a) N par (N=4) b) N impar (N=5)

2727

En pasabanda oscila entre k (máx.) y k/(1+En pasabanda oscila entre k (máx.) y k/(1+εε22) (mín.) ) (mín.)

Se denomina Se denomina RIZADORIZADO en db (*) a la relación de valores en db (*) a la relación de valores

máximos y mínimos de [Hn(jS)máximos y mínimos de [Hn(jS)22] en pasabanda:] en pasabanda:

K se escoge para ajustar la ganancia en c.c., así para ganancia K se escoge para ajustar la ganancia en c.c., así para ganancia

unitaria en c.c, K debe ser:unitaria en c.c, K debe ser:

A altas frecuencias, la ganancia en dB tiene asintóticamente a:A altas frecuencias, la ganancia en dB tiene asintóticamente a:


2828


Presenta las siguientes características: Presenta las siguientes características:

– Ganancia en paso banda mas balanceada que la Butterworth. Ganancia en paso banda mas balanceada que la Butterworth.

– La ganancia en paso banda oscila con rizado * constante. La ganancia en paso banda oscila con rizado * constante.

– La ganancia en rechazo de banda decrece monótonamente y La ganancia en rechazo de banda decrece monótonamente y

es similar a la Butterworth.es similar a la Butterworth.

2929

Aproximación elípticaAproximación elíptica

La aproximación Chebyshev presenta mejores características La aproximación Chebyshev presenta mejores características que la Butterworth en el paso banda. A altas frecuencias, en el que la Butterworth en el paso banda. A altas frecuencias, en el rechazo de banda, ambas presentan un buen comportamiento, rechazo de banda, ambas presentan un buen comportamiento, pero sus características se deterioran progresivamente al pero sus características se deterioran progresivamente al decrecer la frecuencia. decrecer la frecuencia.

La aproximación elíptica es la que presenta un mejor La aproximación elíptica es la que presenta un mejor comportamiento en este último sentido, al poseer una banda comportamiento en este último sentido, al poseer una banda de transición mas estrecha, comparativamente para un orden de transición mas estrecha, comparativamente para un orden dado del filtro.dado del filtro.

La aproximación elíptica presenta rizado constante en el paso La aproximación elíptica presenta rizado constante en el paso banda y rechazo de banda.banda y rechazo de banda.

3030

Comparación de los tres tipos para un mismo orden

3131

Transformaciones en frecuenciaTransformaciones en frecuencia

A partir de estas aproximaciones pueden obtenerse otros tipos A partir de estas aproximaciones pueden obtenerse otros tipos de filtros analógicos a través de una transformación de la de filtros analógicos a través de una transformación de la variable frecuencial.variable frecuencial.

3232

Transformación paso bajo a paso alto Transformación paso bajo a paso alto


3333

Transformación paso bajo a paso alto Transformación paso bajo a paso alto

– Si el Filtro es Butterworth o Chebyshev, Si el Filtro es Butterworth o Chebyshev, ΩΩohoh es la frecuencia de es la frecuencia de corte del filtro paso altocorte del filtro paso alto (que le corresponderá (que le corresponderá ΩΩohoh / / ΩΩohoh =1 rad/seg =1 rad/seg en el paso bajo normalizado). en el paso bajo normalizado).

– Si el Filtro es elípticoSi el Filtro es elíptico


3434

Transformación paso bajo a paso bandaTransformación paso bajo a paso banda

siendo siendo ΩΩohoh y B constantes a determinar de forma que se y B constantes a determinar de forma que se

cumplan las especificaciones del filtro paso banda.cumplan las especificaciones del filtro paso banda.

3535

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES IIRDISEÑO DE FILTROS DIGITALES IIR

MetodologíaMetodología: : Dado un filtro analógico, generar un filtro digital Dado un filtro analógico, generar un filtro digital con características similares. con características similares.

– Aprovechar las ventajas y la simplicidad del diseño Aprovechar las ventajas y la simplicidad del diseño analógico. analógico.

– Simular con filtros digitales las características de los filtros Simular con filtros digitales las características de los filtros analógicos.analógicos.

Condiciones:Condiciones:

1)1) Que se conserven las propiedades esenciales de la Que se conserven las propiedades esenciales de la respuesta en frecuencia del Filtro Analógico en la respuesta en frecuencia del Filtro Analógico en la correspondiente al Filtro Digital. (es decir, que se mapee el correspondiente al Filtro Digital. (es decir, que se mapee el eje imaginario del plano S en el círculo unidad del plano Z)eje imaginario del plano S en el círculo unidad del plano Z)

2) Que se garanticen los requisitos de Estabilidad2) Que se garanticen los requisitos de Estabilidad

3636

Método de la Respuesta Impulsional Invariante

Método de la aproximación numérica de la ecuación diferencial

Método de la Transformación Bilineal

3737

MÉTODO DE LA RESPUESTA MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTEIMPULSIONAL INVARIANTE

Criterio: Criterio: Encontrar un filtro digital cuya respuesta Encontrar un filtro digital cuya respuesta Impulsional sean muestras equiespaciadas de la respuesta Impulsional sean muestras equiespaciadas de la respuesta Impulsional del filtro analógico. Impulsional del filtro analógico.

h(n)=hh(n)=haa(t)(t)t=nTt=nT

– Las respuestas en frecuencias del filtro digital estarán Las respuestas en frecuencias del filtro digital estarán relacionadas con la respuesta en frecuencia del filtro relacionadas con la respuesta en frecuencia del filtro

analógico por:analógico por:

Es decir, la respuesta en frecuencias del filtro digital Es decir, la respuesta en frecuencias del filtro digital consiste en la suma de infinitos términos de consiste en la suma de infinitos términos de

respuestas respuestas analógicas frecuenciales analógicas frecuenciales escaladas y escaladas y desplazadas.desplazadas.

3838

A partir del Teorema del muestreo sabemos que:A partir del Teorema del muestreo sabemos que:

Si Ha(jSi Ha(jΩΩ)= 0 para )= 0 para ΩΩ ≥ ≥ ππ/T, entonces: /T, entonces:

H(eH(ejwjw) = 1/T Ha(j) = 1/T Ha(jΩΩ) para w≤) para w≤ππ

La siguiente expresión constituye una generalización de la La siguiente expresión constituye una generalización de la

anterior:anterior:


3939

Correspondencia entre polos: Correspondencia entre polos: Sea un polo en s = Sea un polo en s = σσ + j + j ΩΩ , que , que se corresponderá con:se corresponderá con:

Preserva la estabilidad del filtro: Preserva la estabilidad del filtro:

Observamos que si:Observamos que si:

Lo cual da lugar a una ambigüedad en la localización de los polos, si Lo cual da lugar a una ambigüedad en la localización de los polos, si estos tienen una parte imaginaria no comprendida entre [-estos tienen una parte imaginaria no comprendida entre [-ππ/T, /T, ππ/T] /T]


Tw

e siendo

T

jwTjTsTz eeeeP

10

10

10

z

para

21

112

111

)/2(

zz

Tjs

js

4040

Relación entre el plano S y el Relación entre el plano S y el plano Zplano Z

Cada franja horizontal de ancho Cada franja horizontal de ancho ΩΩs en el plano S se mapea s en el plano S se mapea en la totalidad del plano Z. Esta ambigüedad es otra en la totalidad del plano Z. Esta ambigüedad es otra manifestación del fenómeno aliasing, encontrado al manifestación del fenómeno aliasing, encontrado al muestrear señales analógicas. muestrear señales analógicas.

4141

T debe escogerse suficientemente pequeño, de forma que T debe escogerse suficientemente pequeño, de forma que todos los polos del filtro analógico, caigan dentro de la todos los polos del filtro analógico, caigan dentro de la primera franja.primera franja.

La técnica de la repuesta Impulsional invariante puede La técnica de la repuesta Impulsional invariante puede distorsionar la forma de la respuesta frecuencial por el distorsionar la forma de la respuesta frecuencial por el "aliasing", aun cuando todos los polos del filtro analógico "aliasing", aun cuando todos los polos del filtro analógico están en la primera franja.están en la primera franja.


4242

Ajuste Directo de las Respuestas Impulsionales:Ajuste Directo de las Respuestas Impulsionales:

Objetivo: Objetivo: Computar H(z) directamente a partir de Ha(s).Computar H(z) directamente a partir de Ha(s).

Expandir Ha(s) en fracciones simples: Expandir Ha(s) en fracciones simples:


4343


0 ; 0

0 ; A(t)h :sea H i

ii

t

te

ps

AcadaPara

tp

i

ii

0

iii )(H 0 ; A(k)h : :k

kkTpi

kTtp zeAztekTtoMuestreand ii

4444

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIALDIFERENCIAL

Criterio:Criterio: Obtener el filtro digital aproximando las derivadasObtener el filtro digital aproximando las derivadas

de la ecuación diferencial correspondiente a un filtro de la ecuación diferencial correspondiente a un filtro analógico, mediante diferencias finitas.analógico, mediante diferencias finitas.

M

kka

k

k

N

kka

k

k dt

txdd

dt

tydc

00

)()(

)()( )(

)1()()(

)(

1)-(k(1)(k)

(1)

nynydt

tyd

T

nynyny

dt

tdy

nTt

Ka

K

nTt

a

4545


N

k

kk

M

k

kk

N

k

k

k

M

k

k

k

sc

sdsH

T

zc

Tz

d

zH

0

0

0

1

0

1

)(

1

1

)(

Comparando ambas funciones de transferencia:

Podemos concluir que: T

zssHzH 11)()(

4646

Análisis del mapeo S Análisis del mapeo S →→ Z: Z:

Sustituyendo s=jSustituyendo s=jΩΩ , resulta: , resulta:

y expresando el cociente en forma polar:y expresando el cociente en forma polar:

4747

– Luego, el mapeo de polos es "semiplano izquierdo de s al Luego, el mapeo de polos es "semiplano izquierdo de s al círculo anterior en z". Observar que aunque el eje jS no se círculo anterior en z". Observar que aunque el eje jS no se mapea en el círculo unidad, los polos caen dentro de éste y mapea en el círculo unidad, los polos caen dentro de éste y por tanto el filtro digital resulta estable.por tanto el filtro digital resulta estable.

– Hay una noción intuitiva según la cual, la simulación Hay una noción intuitiva según la cual, la simulación discreta del operador derivada mediante diferencias finitas discreta del operador derivada mediante diferencias finitas es mejor cuanto mas pequeña es la distancia entre es mejor cuanto mas pequeña es la distancia entre muestras (periodo de muestreo). muestras (periodo de muestreo).

Esta idea resulta consistente de acuerdo con los resultados Esta idea resulta consistente de acuerdo con los resultados obtenidos. Si T es suficientemente pequeño en L obtenidos. Si T es suficientemente pequeño en L (1)(1) [y(n)], la [y(n)], la respuesta en frecuencias del filtro digital se concentra en la respuesta en frecuencias del filtro digital se concentra en la vecindad de z=1, es decir donde ambos círculos son vecindad de z=1, es decir donde ambos círculos son tangentes, por lo que el filtro digital sera bastante tangentes, por lo que el filtro digital sera bastante aproximado al analógico.aproximado al analógico.


4848

– Una aproximación alternativa consiste en reemplazar las Una aproximación alternativa consiste en reemplazar las derivadas por una aproximación en diferencias hacia derivadas por una aproximación en diferencias hacia adelante:adelante:

LL(1)(1) [y(n)] = [y(n+1)-y(n)]/T [y(n)] = [y(n+1)-y(n)]/T

la cual presenta la desventaja de que puede dar lugar a la cual presenta la desventaja de que puede dar lugar a filtros digitales inestables.filtros digitales inestables.

– De todos modos, los métodos hasta ahora comentados De todos modos, los métodos hasta ahora comentados suelen dar lugar a resultados insatisfactorios si el filtro que suelen dar lugar a resultados insatisfactorios si el filtro que se diseña no es paso bajo.se diseña no es paso bajo.


4949

METODO DE LA TRANSFORMACIÓN METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEALBILINEAL

CRITERIO: CRITERIO: Obtener el filtro digital integrando la ecuación Obtener el filtro digital integrando la ecuación diferencial correspondiente al filtro analógico y realizando diferencial correspondiente al filtro analógico y realizando una aproximación numérica de la misma.una aproximación numérica de la misma.

La transformación se puede expresar como:La transformación se puede expresar como:

5050

Haciendo z= eHaciendo z= ejwjw, se comprueba que le corresponde F=0, por lo , se comprueba que le corresponde F=0, por lo que en este caso el eje imaginario jS se mapea sobre el círculo que en este caso el eje imaginario jS se mapea sobre el círculo unitario del plano Z y además la parte izquierda de S se mapea unitario del plano Z y además la parte izquierda de S se mapea en el interior de dicho círculo. en el interior de dicho círculo.

Las partes positiva y negativa del eje imaginario son mapeadas Las partes positiva y negativa del eje imaginario son mapeadas en las mitades superior e inferior del círculo unitario en el plano en las mitades superior e inferior del círculo unitario en el plano Z.Z.

Análisis del mapeo S → Z:Análisis del mapeo S → Z:

2T

22

Tarctag 2w

resulta ez

jws dosustituyen

)2/(1

)2/(1

1

12jw w

tagsT

sTz

z

z

Ts

• Para pequeños valores frecuenciales: Ω=w/T

• A altas frecuencias, la compresión no lineal produce que la A altas frecuencias, la compresión no lineal produce que la función de transferencia resulte distorsionada cuando se traslada al función de transferencia resulte distorsionada cuando se traslada al dominio w. dominio w.

5151


La transformación bilineal da lugar a filtros digitales estables La transformación bilineal da lugar a filtros digitales estables partiendo de filtros analógicos estables. partiendo de filtros analógicos estables.

La respuesta en frecuencias del filtro digital será:La respuesta en frecuencias del filtro digital será:

5252


– Para evitar la distorsión frecuencial lo que se hace esPara evitar la distorsión frecuencial lo que se hace es

predistorsionar las especificaciones originales. Es decir, predistorsionar las especificaciones originales. Es decir,

predistorsionar wpredistorsionar wcc y w y wrr según la relación: según la relación:

con el objeto de determinar los valores apropiados de con el objeto de determinar los valores apropiados de ΩΩc c y y ΩΩc para el correspondiente diseño continuo.c para el correspondiente diseño continuo.

– Después de aplicar la TB daría:Después de aplicar la TB daría:

wTw

tagT

arctagTarctagw 2

)2

2(2)2/(2

5353

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIRFIR

Ventajas:Ventajas:

– Facilidad de diseño para filtros de fase lineal Facilidad de diseño para filtros de fase lineal

– Realización eficiente en forma tanto recursiva como no recursivaRealización eficiente en forma tanto recursiva como no recursiva

– Factible implementación utilizando la FFT Factible implementación utilizando la FFT

– Los filtros FIR no recursivos, son siempre estables. Los filtros FIR no recursivos, son siempre estables.

– El ruido de redondeo puede hacerse fácilmente pequeño con El ruido de redondeo puede hacerse fácilmente pequeño con realizaciones no recursivas.realizaciones no recursivas.

Desventajas: Desventajas:

– Se requiere un número de puntos N alto para aproximar filtros Se requiere un número de puntos N alto para aproximar filtros de transición brusca. de transición brusca.

– El retardo de fase puede no ser entero.El retardo de fase puede no ser entero.

5454


Un filtro FIR de longitud M se describe por la ecuación en Un filtro FIR de longitud M se describe por la ecuación en

diferencias:diferencias:

ó bien por la convolución: ó bien por la convolución:

a partir de ambas expresiones, se deduce que: a partir de ambas expresiones, se deduce que:

bbkk=h(k), k=0,1,2,...,M-1=h(k), k=0,1,2,...,M-1

Filtros FIR simétricos y antisimétricosFiltros FIR simétricos y antisimétricos

5555


El filtro también se puede caracterizar por su función de El filtro también se puede caracterizar por su función de transferencia:transferencia:

que es un polinomio de grado M-1 en la variable zque es un polinomio de grado M-1 en la variable z-1-1..

Un Filtro FIR tiene fase lineal si su respuesta impulsional Un Filtro FIR tiene fase lineal si su respuesta impulsional satisface la condición:satisface la condición:


5656


Teniendo en cuenta estas condiciones de simetría y Teniendo en cuenta estas condiciones de simetría y antisimetría:antisimetría:

Ahora, si sustituimos z-1 por z en la expresión de H(z) y Ahora, si sustituimos z-1 por z en la expresión de H(z) y multiplicamos ambos lados de la ecuación resultante por multiplicamos ambos lados de la ecuación resultante por

zz-(M-1)-(M-1) , obtenemos: , obtenemos:


5757


Las características de respuesta en frecuencia de filtros FIR Las características de respuesta en frecuencia de filtros FIR de fase lineal se obtienen evaluando H(z) en el círculo de fase lineal se obtienen evaluando H(z) en el círculo unidad.unidad.

Cuando Cuando h(n)=h(M-1-n),h(n)=h(M-1-n), H(w) se puede expresar como: H(w) se puede expresar como:

donde Hr( w) es una función real de w y se puede expresar donde Hr( w) es una función real de w y se puede expresar como: como:


5858


La característica de fase del filtro para M impar y par es: La característica de fase del filtro para M impar y par es:

Cuando h(n)=-h(M-1-n) , la respuesta impulsional es Cuando h(n)=-h(M-1-n) , la respuesta impulsional es antisimétrica.antisimétrica.

Para M impar es h((M-1)/2)=0.Para M impar es h((M-1)/2)=0.

En este caso:En este caso:


5959


donde:donde:

La característica de fase del filtro para M par y M impar es: La característica de fase del filtro para M par y M impar es:


6060

DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO VENTANASLINEAL USANDO VENTANAS

Especificación de HEspecificación de Hdd(w) y determinación (mediante la (w) y determinación (mediante la Transformada de Fourier) de hTransformada de Fourier) de hdd(n):(n):

En general, hEn general, hdd(n) es infinita, por lo que para producir un filtro (n) es infinita, por lo que para producir un filtro FIR de longitud M, debe ser truncada en un punto FIR de longitud M, debe ser truncada en un punto

n=M-1. Lo que equivale a multiplicar por una ventana n=M-1. Lo que equivale a multiplicar por una ventana rectangular w(n):rectangular w(n):

6161

La respuesta impulsional del filtro FIR será:La respuesta impulsional del filtro FIR será:

Consideremos el efecto de la función ventana en la Consideremos el efecto de la función ventana en la respuesta en frecuencias deseada Hrespuesta en frecuencias deseada Hdd(w), y recordemos que (w), y recordemos que multiplicar por una función ventana equivale a una multiplicar por una función ventana equivale a una convolución en frecuencias de los espectros, esto es:convolución en frecuencias de los espectros, esto es:


6262

La transformada de Fourier de la ventana rectangular es:La transformada de Fourier de la ventana rectangular es:

La función ventana tiene una respuesta en magnitud:La función ventana tiene una respuesta en magnitud:

Y una fase lineal a tramos: Y una fase lineal a tramos:


6363

La convolución de HLa convolución de Hdd(w) con W(w) tiene el efecto de suavizar H(w) con W(w) tiene el efecto de suavizar Hdd(w)(w)

(a) Proceso de convolución implicado por la truncación de la resp. Impul. deseada(a) Proceso de convolución implicado por la truncación de la resp. Impul. deseada

(b) Aproximación típica resultado del ventaneo de la resp. impulsioal deseada(b) Aproximación típica resultado del ventaneo de la resp. impulsioal deseada


6464

En la elección de la ventana rectangular, hay que llegar a una En la elección de la ventana rectangular, hay que llegar a una solución de compromiso entre: solución de compromiso entre:

Elegir M de forma que W(ejw) sea lo mas estrecho posible.Elegir M de forma que W(ejw) sea lo mas estrecho posible.

Elegir M de forma que la duración de w(n) se lo mas corta posible. Elegir M de forma que la duración de w(n) se lo mas corta posible.


Otra solución alternativa consiste en usar ventanas menos Otra solución alternativa consiste en usar ventanas menos abruptas en sus características en el dominio temporal.abruptas en sus características en el dominio temporal.

Todas estas funciones ventanas tienen lóbulos laterales mas bajos Todas estas funciones ventanas tienen lóbulos laterales mas bajos comparados con la ventana rectangular, sin embrago para un comparados con la ventana rectangular, sin embrago para un mismo valor de M el ancho del lóbulo principal es también mas mismo valor de M el ancho del lóbulo principal es también mas amplio, por lo que la región de transición del filtro será mas amplia. amplio, por lo que la región de transición del filtro será mas amplia. Para reducir este ancho, podemos simplemente incrementar la Para reducir este ancho, podemos simplemente incrementar la longitud de la ventana.longitud de la ventana.

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Ventanas usadas para el diseño de filtros FIRVentanas usadas para el diseño de filtros FIR


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Características para los distintos tipos de ventanas:Características para los distintos tipos de ventanas:


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Supongamos que queremos diseñar un filtro FIR de fase Supongamos que queremos diseñar un filtro FIR de fase lineal paso bajo y simétrico con una respuesta en lineal paso bajo y simétrico con una respuesta en frecuencias deseada:frecuencias deseada:


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El retardo (M-1)/2 es para forzar la longitud M. La respuesta El retardo (M-1)/2 es para forzar la longitud M. La respuesta impulsional es:impulsional es:

Observar que hObservar que hdd(n) es no causal y de duración infinita.(n) es no causal y de duración infinita.

Si se selecciona M impar el valor de h(n) en n=(M-1)/2 es:Si se selecciona M impar el valor de h(n) en n=(M-1)/2 es:


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Especificamos la respuesta en frecuencias deseada Hd(w) en Especificamos la respuesta en frecuencias deseada Hd(w) en un conjunto de frecuencias equiespaciadas:un conjunto de frecuencias equiespaciadas:

y calculamos la respuesta impulsional h(n) del filtro FIR a y calculamos la respuesta impulsional h(n) del filtro FIR a

partir de estas especificaciones. Para reducir los lóbulos partir de estas especificaciones. Para reducir los lóbulos

laterales deseable optimizar la especificación de frecuencia laterales deseable optimizar la especificación de frecuencia

en la banda de transición del filtro.en la banda de transición del filtro.

Diseño de Filtros FIR de fase lineal por el método de Muestreo en FrecuenciaDiseño de Filtros FIR de fase lineal por el método de Muestreo en Frecuencia

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Explotando una propiedad básica de simetría de la función Explotando una propiedad básica de simetría de la función de respuesta en frecuencia muestreada para simplificar los de respuesta en frecuencia muestreada para simplificar los cálculos. Sea la respuesta en frecuencia deseada del filtro cálculos. Sea la respuesta en frecuencia deseada del filtro FIR:FIR:

Supongamos que especificamos la respuesta en frecuencias Supongamos que especificamos la respuesta en frecuencias del filtro en las frecuencias anteriores. Entonces, obtenemos:del filtro en las frecuencias anteriores. Entonces, obtenemos:


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Expresando h(n) en función deExpresando h(n) en función de , obtenemos: , obtenemos:

Esta expresión nos permite calcular los valores de h(n) a Esta expresión nos permite calcular los valores de h(n) a partir de la especificación de las muestras en frecuenciapartir de la especificación de las muestras en frecuencia


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Observar que cuando , ambas expresiones se reducen a Observar que cuando , ambas expresiones se reducen a la DFT e IDFT respectivamente.la DFT e IDFT respectivamente.

Al ser h(n) real: Al ser h(n) real:

Esta condición de simetría, junto con las condiciones de Esta condición de simetría, junto con las condiciones de simetría para h(n) ayudan a reducir ala mitad las simetría para h(n) ayudan a reducir ala mitad las especificaciones en frecuencias. Así, las ecuaciones lineales especificaciones en frecuencias. Así, las ecuaciones lineales para determinar h(n) a partir de se simplifican para determinar h(n) a partir de se simplifican considerablemente.considerablemente.


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Filtros Digitales - Aproximaciones