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UCB. FIA. UES. Ing. Edgar Rodrguez.

EL CAMPO MAGNETICO

6.1. El campo magntico.

6.2. La fuerza magntica sobre una carga en movimiento.

6.3. Cargas circulantes.6.4. Fuerza magntica sobre una corriente.

6.5. Momento de torsin en una espira de corriente. El dipolo magntico.

6.6. La ley de Biot-Savart.6.7. Aplicaciones de la ley de Biot-Savart.

6.8. Dos conductores paralelos.

6.9. La ley de Ampere.6.10. Solenoides y toroides.

6.1 EL CAMPO MAGNTICO

En las unidades anteriores hemos descrito muchas observaciones e interesantes fenmenos por

medio de fuerzas electrostticas, ahora presentaremos otras observaciones que tienen

similitudes con las anteriores, pero tambin presentan diferencias; estas observaciones acercade las interacciones magnticas se estudiaron a principios del siglo VIII a. de C.

Los griegos descubrieron que un trozo de un mineral llamado magnetita, (conocida como

piedra imn o calamita) un oxido de hierro, atraa un trozo de hierro, pero sin ejercer unafuerza mensurable en la mayora de los otros materiales. Luego se observ que un pedazo de

este material poda repeler a otro del mismo, segn sus orientaciones relativas.

En el siglo XII ya se saba que un pequeo trozo de magnetita en forma de aguja suspendido

de modo que puede girar alrededor de un eje, se orienta sealando hacia el norte geogrfico dela tierra, independientemente del lugar donde se encuentre. Este experimento es el de una

brjula magntica que interacciona con el campo magntico terrestre.

En la figura 1 se muestra como se orienta una brjula en el campo magntico de la tierra y en

el de un imn de barra.

Los imanes naturales poseen un campo magntico permanente, otros materiales se magnetizany su campo magntico decae con el tiempo; los electroimanes crean un campo magntico enun ncleo magntico solo al paso de una corriente elctrica en un embobinado alrededor de

este.

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

Fsica III

Ciclo: II/ 2011

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2

Figura 1. Una aguja magntica en el campo magntico de la tierra y de un imn de barra.

Al acercar la brjula a un conductor que lleva una corriente elctrica se desva, indicando estoque en el espacio que rodea al conductor existe un campo magntico.

Los experimentos anteriores demuestran que las fuentes del campo magntico pueden ser: un

imn permanente o un hierro magnetizado, un conductor que transporta corriente elctrica oun electroimn.

Describimos el espacio alrededor de cualquiera de los dispositivos anteriores como el lugarocupando por un campo magntico.

Una carga elctrica en movimiento o una corriente elctrica generan un campo magntico, el

cual puede entonces ejercer una fuerza magntica sobre otras cargas en movimiento o

corrientes. Las cargas en reposo no producen campo magntico, as mismo, el campo

magntico no ejerce una fuerza magntica sobre cargas estticas.

El campo magntico tambin se representa con lneas de campo, de manera que el campomagntico es tangente en cualquier punto a las lneas de campo y la densidad de lneas es

proporcional a la magnitud del campo. En la figura 2 podemos ver las diferentes fuentes de

campo magntico y la distribucin de las lneas de campo alrededor de ellas.

Las diferencias entre las lneas del campo magntico y las lneas del campo elctrico las

podemos observar en la figura 2, estas son: Las lneas de campo elctrico se inician en lascargas positivas y llegan a las cargas negativas, mientras que las lneas de campo magntico

son cerradas.

La fuerza elctrica sobre una carga es siempre paralela a las lneas del campo elctrico,mientras que la direccin de la fuerza magntica sobre una carga en movimiento o sobre una

corriente es siempre perpendicular a las lneas del campo magntico, como veremos a

continuacin.

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(a) Lneas de campo magntico que

pasan por el centro deun imn permanente.

(b) Lneas de campo magntico

pasan por el centro de una bobinacilndrica portadora de corriente.

(c) Lneas de campo magntico que pasanpor el centro de un electroimn con

ncleo de hierro.

(d) Lneas de campo magntico en un (e) Lneas de campo magntico en

plano que contiene el eje de una un plano perpendicular a unespira circular portadora de corriente alambre recto y largo portador

de corriente.

Figura 2. Fuentes y lneas de campo magntico.

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4

6.2 LA FUERZA MAGNTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO

Estudiaremos la fuerza ejercida por un campo magntico sobre una carga en movimiento. Endeterminadas condiciones, la existencia de esta fuerza ser la prueba de la existencia de un

campo magntico en la regin donde se est examinando la fuerza.

1) Probamos la regin en cuestin para cerciorarnos de la no presencia de campo

elctrico colocando la carga de prueba en reposo en varios sitios y verificamos que

la fuerza elctrica sobre la carga de prueba sea cero.

2) Proyectamos a la carga de prueba con una velocidad v en un punto. Si la fuerzamagntica existe actuar siempre en direccin perpendicular a v , independiente dela direccin de v .

3) La magnitud F, cambia desde un valor cero, para una direccin particular y unvalor mximo, para una direccin perpendicular a la anterior; los valores

intermedios varan segn sen, ngulo que forma v con esa direccin particular.Existen dos direcciones para las que Fes cero, 0 y 180 .

4) Al variar la magnitud de la velocidad, hallamos que la magnitud de Fvaria enproporcin directa.

5) Hallamos tambin que Fes proporcional a la magnitud de la carga de prueba q ,

y que Finvierte su direccin cuando q cambia de signo.

Definimos el campo magntico B de la siguiente manera: la direccin de B , ser una de las

dos direcciones de v en la que la F es cero y la magnitud se determina a partir de lamagnitud de Fmxima, ejercida cuando q se proyecta perpendicularmente a la direccin deB . O sea:

(6.1)

En ngulos arbitrarios, nuestras observaciones se resumen por medio de la frmula:

sinF qvB (6.2)

En forma vectorial: F q v B

(6.3)

La fuerza magntica es una fuerza siempre perpendicular a la velocidad, no puede cambiar su

magnitud, solamente su direccin, por eso es una fuerza deflectora. Como es perpendicular aldesplazamiento de la partcula, no puede realizar trabajo sobre ella. Un campo magntico

constante no puede cambiar la energa cintica de una partcula cargada en movimiento. La

fuerza magntica depende de la velocidad, no es una fuerza conservativa, por lo tanto no existeuna funcin de potencial magntico asociado a ella. En la figura 3 se muestra la fuerza

magntica F sobre una partcula con carga q que se mueve con una velocidad v en un campo

magntico B .

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Figura 3. Fuerza magntica sobre una carga q con velocidad v

Las unidades de B en el SI es el tesla, T

1 1 1N m NTC s Am

4

1 10T Gauss

Problema muestra.

Un campo magntico uniforme B , con una magnitud de 1.2mT , apunta verticalmente hacia

arriba en el volumen del cuarto donde usted est sentado, como se muestra en la siguiente

figura. Un protn con una energa cintica de 5.3MeV se dirige horizontalmente hacia el

norte, atravesando cierto punto del cuarto. Qu fuerza magntica de deflexin opera sobre el

protn mientras cruza el punto? El protn tiene una masa de27

1.67 10 kg

.

13 727

2 5.3 1.60 102 3.2 10

1.67 10

MeV J MeVkv m s

m kg

15sin 6.1 10F q vB N 12 23.7 10F

a m sm

La direccin de la fuerza magntica es horizontal hacia el este, como en la figura.

La fuerza de Lorentz:

Si sobre una partcula cargada acta un campo elctrico Ey uno magntico B , entonces lafuerza total sobre la partcula se expresa como:

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6

Esta es la llamada fuerza de Lorentz, es la combinacin de la fuerza elctrica, que ejerce el

campo elctrico ya sea que la partcula se encuentre en reposo o no; con la fuerza magntica

que ejerce el campo magntico solamente si la partcula se encuentra en movimiento.Una aplicacin importante de la fuerza de Lorentz o de campo elctricos y magnticos

combinados es un selector de velocidad. En la figura 4 la partcula cargada no sufre desviacin

alguna al penetrar la regin de los campos perpendiculares entre s, si los componentes de lafuerza elctrica y magntica se anulan. Esto sucede si la magnitud de la velocidad de la

partcula cumple con la condicin:

qE qvB v E B

La direccin de la velocidad es la mostrada en la figura 4. Este valor de velocidad esindependiente de la carga o de la masa de las partculas.

Este selector fue un componente importante del aparato de Thomson al encontrar la relacine m de un haz de electrones; tambin es un componente importante de un espectrmetro de

masas, dispositivo para separar los iones por su masa.

6.3 CARGAS CIRCULANTES.

Una partcula con carga q , penetra con una velocidad v a una regin donde existe un campo

magntico uniforme B perpendicular a la velocidad, como se muestra en la figura 5. Por las

propiedades de la fuerza magntica, la partcula describir una trayectoria circular, la segunda

ley de Newton da para la aceleracin centrpeta:

2q vB mv r Bq

mvr (6.3)

La velocidad angular del movimiento circular es: w v r qB m

y la frecuencia correspondiente a este movimiento es:m

Bqwf

22

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7

La frecuencia asociada con el movimiento no depende de la velocidad de la partcula

(frecuencia de ciclotrn)

Figura 4. Selector de velocidad.

Figura 5. Trayectoria circular de una carga en un campo magntico uniforme.

Problema muestra.

La figura muestra un arreglo con que se miden las masas de los iones. Un ion de masa m ycarga q se produce esencialmente en reposo dentro de la fuente S , cmara donde se lleva a

cabo una descarga de gases. Una diferencia de potencial V lo acelera y le permite entrar a uncampo magntico B uniforme. En este describe un semicrculo, chocando contra una placa

fotogrfica una distancia x de la ranura de entrada. Demuestre que la masa del ion est dadapor:

22

8

B qm x

V

El ion es acelerado por la diferencia de potencial V, alcanzando una energa cinticaK= q V,entonces la magnitud de la velocidad con la que el ion penetra al campo es:

La fuerza magntica juega el papel de una fuerza centrpeta, es decir que:

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y con 2r x

y sustituyendo la velocidad, obtenemos la expresin pedida.

6.4 LA FUERZA MAGNTICA SOBRE UNA CORRIENTE

Un campo magntico debe ejercer una fuerza lateral sobre los electrones de conduccin en unconductor, puesto que los electrones no pueden escapar lateralmente, la fuerza debe

transmitirse al conductor mismo. La figura 6 muestra un alambre que atraviesa una regin

donde existe un campo magntico; cuando el alambre no transporta corriente no se observaninguna deflexin, pero cuando la corriente fluye en el alambre, este experimenta una

deflexin; si la corriente invierte su sentido o el campo invierte su polaridad, la deflexin en el

alambre tambin se invierte.Consideremos el modelo de electrn libre para la corriente en un conductor, el electrn se

mueve con una velocidad constante, dv , si el conductor se encuentra en una regin donde

existe un campo magntico uniforme, este ejercer una fuerza lateral sobre cada electrn, que

estara dada por:

La fuerza lateral total Fsobre una porcin de conductor de longitud L , como el de la figura 7es igual al nmero N de electrones multiplicado por la fuerza sobre cada electrn:

(6.5)

Donde: dv i nAe Y adems se define el vector L como la longitud del segmento y apunta en la direccin de la

corriente, opuesta al vector dv , o sea:

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Figura 6. Fuerza sobre un conductor con corriente en un campo magntico.

Figura 7. Alambre conductor con una corriente en un campo magntico uniforme perpendiculara la direccin de la velocidad de arrastre.

En general L y B pueden tener cualquier orientacin, como se muestra en la figura 8,

entonces la magnitud de la fuerza magntica es:

BF iLBsen

Cuando L es paralela a B , entonces la fuerza es cero. Si el segmento es perpendicular a la

direccin del campo, la magnitud de la fuerza puede escribirse como:

F iLB (6.6)

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10

Si el alambre no es recto o el campo no es uniforme:

(6.7)

La fuerza total del segmento de longitud L se encuentra integrando lo largo de la longitud.

Figura 8. B y L tienen direcciones arbitrarias.

Problema muestra.

Un segmento recto y horizontal de alambre de cobre transporta una corriente de 28 A. Qu

magnitud y direccin debe tener el campo magntico para flotar el alambre, es decir para

equilibrar su peso? Su densidad lineal de masa es 46.6g m . La siguiente figura muestra el

arreglo con una longitud L de alambre.

Para el equilibrio: mg iLB , entonces: 16B mT

Problema muestra.

En la siguiente figura se muestra un segmento de alambre, colocado en un campo magnticouniforme B que apunta al plano de la figura.

Si el alambre lleva una corriente iqu fuerza magntica acta sobre l?

El alambre consta de tres secciones: dos rectas (secciones 1y 3) y la parte en forma de

semicrculo (seccin 2). De acuerdo con la ecuacin 6.6, la fuerza magntica que acta sobre

cada una de las secciones rectas es de magnitud:

iLBFF 31

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Dirigidas hacia abajo, como se indica en la figura. La fuerza sobre un segmento de longituddiferencial ds sobre la seccin curva es :

iBRdiBdSdFB

Y de direccin radial hacia O, el centro del arco. La simetra permite observar que la

componente horizontal de la fuerza total se hace cero; as, la fuerza total sobre la seccin curvaes hacia abajo y su magnitud es:

iBRseniBRdsendFF B 200

2

As pues la fuerza resultante en el alambre entero es:

)22(2321 RLiBiLBiBRiLBFFFF

La misma fuerza operar sobre un alambre similar al de la figura, donde el segmento centralsemicircular est sustituido por un segmento de cualquier forma (incluso una lnea recta) que

conecte a los puntos ay b.

6.5 MOMENTO DE TORSIN EN UNA ESPIRA DE CORRIENTE. EL DIPOLOMAGNTICO.

En un motor elctrico, se pone una bobina de alambre que transporta una corriente elctrica en

un campo magntico. Una versin simplificada aparece en la figura 9 para una bobina

rectangular de longitud ay ancho b en un campo magntico uniforme de modo que los lados

1 y 3 siempre son perpendiculares al campo magntico. La espira puede rotar alrededor de uneje horizontal que pasa por el centro de masa de la espira, Las fuerzas sobre los conductores 2

y 4 actan sobre la misma lnea de accin en direcciones opuestas, por lo tanto la resultante de

la suma de F2con F4es cero.

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Figura 9. Momento de torsin sobre una bobina con una corriente elctrica.

Sobre los conductores 1 y 3 las fuerzas tienen la misma magnitud iaBFF 31 y direcciones

opuestas, como se muestra en la figura. Con la espira vista desde la derecha y con una orientacinarbitraria con respecto al campo magntico, figura 9 b). Las fuerzas F1 y F2no estn sobre la

misma lnea de accin, sin embargo, fuerza neta sobre la espira es cero, pero existe un torque quehace rotar a la espira en el sentido de las manecillas del reloj en torno a la lnea xx. El torque

magntico se puede calcular multiplicando la magnitud de cualquiera del par de fuerzas Fpor la

distancia dde separacin entre las lneas de accin de ellas, es decir:

seniaBbFd ( 6.8 )

Este torque acta sobre cada espira de la bobina, si esta se enrolla con Nespiras, el torque totalsobre la bobina es:

senNiABN ( 6.9 )

DondeAes el rea de la bobina y es el ngulo entre la normal al plano de la espira y el campo B.Si definimos el momento bipolar magnticopara una bobina con una corriente i, reaAy N nmero

de vueltas, como un vector con magnitud NiA y direccin a lo largo de una normal positiva al

rea de la bobina, el torque en forma vectorial ser:

6.10

Problema muestra:

La figura muestra, en forma rudimentaria, el principio de operacin de un galvanmetro, que es el

mecanismo operativo bsico de los ampermetros y los voltmetros. La bobina tiene 2.1 cm de

altura, 1.2 cm de ancho, 250 vueltas y est montada de tal forma que puede girar en torno de un ejevertical en un campo magntico radial uniforme B= 0.23 T. Un resorte produce un contrapar queequilibra al par magntico, ocasionando una deflexin angular estacionaria que corresponde a

determinada corriente estacionaria ien la bobina. Si una corriente de 100 A produce una deflexin

angular de 280( 0.49 rad), Cul debe ser la constante torsional del resorte?

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El par magntico debe equilibrarse con el par restaurador del resorte, entonces,

senNiAB

= 900, ngulo entre la normal al plano de la bobina y el campo, que es radial en todas las

posiciones del apuntador.

Sustituyendo los datos, obtenemos: = 3.0 x 10-6

Nm/rad.

6.6 LA LEY DE BIOT-SAVART.

El campo magntico de una corriente.

Si recordamos la aplicacin de ley de Coulomb, en el clculo del campo elctrico de una

distribucin continua de carga, donde se considera una carga diferencial en la distribucin como

carga puntual y se integra el campo de esta carga, sumando todas las contribuciones al mismo de ladistribucin completa; de la misma manera, la ley de BiotSavart, nos permite calcular el campo

magntico producido por cualquier distribucin de corriente.

Esta consiste en considerar un elemento de corriente contenido en la distribucin, idS, dondedSesuna longitud diferencial a lo largo de la distribucin de corriente.En un punto a una distancia r, esteelemento de corriente, produce un campo tambin diferencial dB, dado por la siguiente expresin,

conocida por ley de Biot- Savart:

3

0

2

0

44 r

rsid

r

rsidBd

( 6.11 )

La constante 0se conoce tradicionalmente como constante de permeabilidad, pero la designaremos

como simplemente como constante magntica y tiene un valor de:

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ATmx /104 70 ( 6.12 )

La direccin de dBes la misma que la de

rSd y la magnitud del elemento de campo es:

2

0

4 r

senidsdB

( 6.13 )

Donde es el ngulo entre ids, vector que indica la direccin de la corriente y el vector rdesde elelemento de corriente al punto de observacinP.

Si queremos determinar el campo total Bproducido por la distribucin total de la corriente, hay queintegrar en todos los elementos de la corriente ids.

3

0

2

0

44 r

rsid

r

rsidBdB

( 6.14 )

6.7 APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT-SAVART.

La ley de Biot Savart, se aplica para calcular el campo magntico de alambres portadores de

corriente de forma arbitraria, como en la figura 10. Como ejemplo tenemos un conductor recto quetransporta una corriente elctrica o de un anillo de corriente.

El campo magntico producido por un segmento de conductor recto de longitud Ly que lleva unacorriente i, lo encontramos a travs de la Ley de Biot-Savart. Como muestra la figura 11, la simetra

indica que el campo en el plano de la figura es en la direccin negativa de x.

Donde: 22 dzr y22

)(dz

dsensen

Sustituyendo en 6.13, se tiene:2/322

0

2

0

)(44 dz

dzdi

r

sendzidB

Integrando y evaluando enzdesdeL/2 hastaL/2, tenemos:2/122

0

)4/(4 dL

L

d

iB

En un alambre muy largo,Ld.

d

iB

2

0 ( 6.15 )

Generalizando para cualquier punto a una distancia rdesde el conductor, la magnitud de B, serproporcional al inverso de ry su direccin tangente a un crculo alrededor del conductor como en lafigura 2 e). Adems, la densidad de lneas es proporcional a la magnitud B.

El campo magntico de un conductor recto y largo que transporta una corriente i,entonces, posee

simetra cilndrica, es decir que la magnitud de Bsolo depende de r, adems de la corriente i:

r

iB

2

0

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Fig 10. Aplicacin de la ley de BiotSavart sobre un conductor de forma arbitraria.

Figura 11. Campo magntico de un alambre largo.

Campo de una espira circular de corriente.

De la figura 12 deducimos que nicamente existe la componente z del campo magntico, por lotanto, su magnitud es:

zdBB Donde: 20 90

4 r

sendsidB

y cosdBdBz

2

0 cos

4 r

dsidBz

, donde: 22 Rzr y

22cos

Rz

R

Entonces: dszR

iRdBz 2/322

0

)(4

Luego: dszR

iRBz

2/322

0

)(4

El integral es simplemente la circunferencia de la espira, entonces:

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16

2/322

2

0

)(2 zR

iRBz

(6.160

Si hacemosz= 0, tenemos el campo en el centro de la espira, es decir:

R

iB

2

0

(6.17)

Si el punto est muy alejado de la espira,z R, entonces, se tiene3

2

0

2z

iRB

Figura 12. Campo magntico de una espira de corriente.

Problema muestra.

En el modelo del tomo de hidrogeno de Bohr, el electrn circula en una rbita circular de radio

5.29 x 10-11

m, con una frecuencia de 6.60 x 1015

Hz. Cul es el valor de B en el centro de larbita?

Con Axefi 31006.1 ; TR

iB 6.12

2

0

Problema muestra.

En la figura siguiente, supongamos que AieAi 3215 21 , cma 3.5 . Determinar el campo

magntico resultante en un punto a una distancia 2/a , a lo largo de la lneaperpendicular que conecta a los dos alambres.

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17

Con: 2/21 add Td

iB

80

2 1

101 y T

d

iB

171

2 2

202

El campo total es TBBB 1902221 y 02

11 25tan BB

Problema muestra:

Dos alambres largos paralelos, separados una distancia 2b, transportan corrientes iguales endirecciones opuestas, como se ve en la figura. Obtenga una expresin del campo magntico en un

punto sobre la lnea que conecta a los alambres y a una distancia x del punto intermedio entre ellos.

)()(2)(2 22000

21xb

ib

xb

i

xb

iBBB

6.8 DOS CONDUCTORES PARALELOS.

La fuerza magntica entre dos conductores rectos y largos que transportan corrientes elctricas, sepuede calcular a travs de la intermediacin del campo magntico, es decir, uno de los conductores

produce un campo magntico donde el otro conductor se encuentra; y es este el que ejerce una

fuerza magntica sobre el otro conductor y viceversa.Consideremos dos conductores rectos, largos, con corrientes paralelas(o anti paralelas) i1 e i2

respectivamente, como se muestra en la figura 13. El campo magntico producido por el conductor

uno a una distancia d, donde el conductor 2 se encuentra es:

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18

d

iB

2

101

En la direccin mostrada, este campo magntico ejerce una fuerza sobre una porcin de longitudL

del conductor 2 de magnitud:

d

iiLLBiF

2

2101221 (6.18)

Esta fuerza es de atraccin; con el mismo anlisis se puede demostrar que la fuerza que el conductor

2 ejerce sobre el conductor 1 es de la misma magnitud que la encontrada anteriormente, pero dedireccin opuesta; igualmente se puede demostrar que si los conductores llevan corrientes anti

paralelas, estos se repelen.

Figura 13. Fuerza de atraccin entre dos conductores con corrientes paralelas.

Problema muestra

Un alambre largo, horizontal y rgidamente sostenido transporta una corriente de 96 A. arriba del

alambre paralelamente a l, un alambre fino lleva una corriente de 23 A y pesa 0.073 N/m. A qu

altura del alambre inferior debera este segundo alambre estar tendido, si esperamos que lo sostengauna repulsin magntica?

mmLF

iid 0.6

)/(2

210

6.9 LA LEY DE AMPERE.

La ley de Gauss lleva a una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, contiene a la

ley de Coulomb y se aplic para encontrar el campo elctrico de distribuciones de carga simtricas.

En el caso del campo magntico, al igual que la ley de Coulomb para el campo elctrico, existe laley de Biot-Savart, que permite encontrar el campo magntico de cualquier distribucin de

corriente; similarmente al caso electrosttico, existe una ley ms fundamental que lleva a otra de las

ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, esta permite calcular el campo magntico de

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distribuciones de corriente con gran simetra, se conoce como la ley de Ampere y se escribe:

C

encidsB 0 (6.19)

El lado izquierdo de la ecuacin (6.19) se llama integral de lnea, la que se evala a travs de unatrayectoria cerrada; la corriente ienc de la ecuacin (6.19) representa la corriente total encerrada

por la trayectoria, es decir la corriente total transportada por los alambres que cruzan cualquiersuperficie acotada por la trayectoria cerrada.

El campo magntico B, esel campo total a lo largo de la trayectoria de integracin, el cual puedeser producido tanto por las corrientes encerradas por la trayectoria como por corrientes externas aella.

Aplicaciones de la ley de Ampere.

Campo magntico de un conductor recto y largo que transporta una corriente uniformemente

distribuida.

Consideremos un alambre recto y largo de radio Rque transporta una corriente iuniformemente

distribuida en su seccin transversal como muestra la figura 14.

En la regin interior del alambre r

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20

Donde ies la corriente total, R2es la el rea total y r

2es el rea de la superficie encerrada por la

trayectoria; despejando i y sustituyendo en la ley de Ampere, tenemos:

(6.20)

En la regin exterior al conductor, r>R, la espira amperiana es un crculo que encierra a toda la corriente i,

figura 15, dejando para el integral de lnea:

Entonces, el campo magntico es como si se tratara de un alambre muy delgado en el centro del

alambre de radioR, es decir:

Figura 15. Trayectoria cerrada exterior al conductor largo de radioR.

En la figura 16 se muestra la variacin respecto de r desde el centro del conductor, del campo

magntico interior y exterior al conductor largo de la figuras 14 y 15.

El campo interior es proporcional a r, mientras el campo externo es como si la corriente fuera unalambre de radio despreciable en el eje del alambre de radioRy disminuye con el inverso de r.

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Figura 16. Variacin del campo magntico desde el eje de un conductor cilndrico con la

distancia r.

6.10 SOLENOIDES Y TOROIDES.

Con la ley de Ampere podemos calcular el campo magntico de un solenoide ideal, en el que las

bobinas estn muy juntas, acercndose a una lmina cilndrica conductora de corriente. En la figura

17 se muestra un solenoide ideal, el campo magntico interior es uniforme y el campo magnticoexterior es cero. Consideremos una espira amperiana en forma de rectngulo, abcda, el campo es

paralelo al eje del solenoide y tiene magnitud constante a lo largo de la lnea ab, nico tramo de la

trayectoria que contribuye con la integral de lnea. La ley de ampere para esta trayectoria, con unnmero de vueltas por unidad de longitud, n, da:

a

d

d

c

c

b

b

aC

dSBdSBdSBdSBdSB

nhiBh 0

niB 0 (6.21)

Figura 17. Campo magntico uniforme, en el interior de un solenoide o bobina.

Problema muestra

Un solenoide tiene una longitud L = 1.23 m y un dimetro interno d= 3.55 cm. Tiene 5 capas de

devanados de 850 vueltas cada uno y transporta una corriente i= 5.57 A. calcule B en su centro.

ConL/R= 69 pensamos que se trata de un solenoide ideal, luego con la ecuacin 6.21 tenemos:

Un toroide.

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22

Podemos considerar un solenoide que se dobla, formando una rosquilla (dona). Debido a la simetra

las lneas de campo magntico forman crculos concntricos dentro del toroide, tal como se muestra

en la figura 18.La ley de ampere a lo largo de una lnea del campo da:

C

oiNrBdSB )2(

Donde ies la corriente en la bobina del toroide y N es el nmero total de vueltas del embobinado.

Entonces:r

iNB

2

0

En contraste con el solenoide,Bno es constante en la seccin transversal de un toroide, con la ley de

Ampere, tambin es posible demostrar queB= 0 en puntos afuera y en la cavidad del toroide.

Figura 18. Campo magntico dentro de un toroide.

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