FISICA

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ANÁLISIS

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro Año Secundaria FÍSICA3ro Año Secundaria

IntroducciónEn los últimos años, el conocimiento más profundo de la ciencia y el progreso de la tecnología se basa en principios ya establecidos y de preferencia de métodos analíticos, tales como el análisis vectorial.El conocimiento de la teoría vectorial, actualmente se ha convertido en un requisito indispensable para ingenieros, matemáticos, físicos y otros científicos; porque no sólo proporciona un método conciso para analizar matemáticamente los fenómenos físicos y geométricos, si no que también ayuda a desarrollar la comprensión intuitiva de dichos fenómenos.La teoría vectorial o estudio de los vectores se aplica a la geometría elemental, a la mecánica, a la teoría electromagnética y al estudio de los fluidos. Por lo tanto en el presente capítulo trataremos básicamente sobre las magnitudes escalares y vectoriales, el concepto de vector, su clasificación y sus operaciones principales.

1. TEORÍA VECTORIALEn el campo de la Física, encontramos en forma frecuente cantidades que tienen dirección y magnitud, tales como el desplazamiento (12 km en dirección norte sur), la velocidad (45 km/h), la fuerza (300 newtons), etc. Para poder trabajar con facilidad con estas cantidades, es necesario conocer nuevos conceptos, como la idea de. vector.El vector es un objetivo físico o magnitud que posee un valor, dirección y sentido; el cual se mantiene independiente de los ejes coordenados rectangulares; por esta razón todo fenómeno físico, se expresa en forma vectorial, de ahí la gran importancia que reviste para nosotros.

2. MAGNITUDES VECTORIALESImaginemos un automóvil que se dirige de Lima con rumbo a Piura, Cuzco y Arequipa, siguiendo la ruta que se indica con las flechas.El auto sufre un cambio de posición: de Lima a Piura, de Lima a Cuzco y de Lima a Arequipa, ESTOS CAMBIOS DE POSICIÓN INDICAN DESPLAZAMIENTOS. En el caso específico de Lima a Arequipa estará definido por el segmento de recta orientado que une dichos puntos. Además es muy necesario precisar su orientación y magnitud.

Por lo tanto una cantidad vectorial posee: magnitud (valor), dirección (línea de acción), punto de origen (Lima) y sentido (orientación). En consecuencia los desplazamientos de Lima a Piura, Cuzco y Arequipa son magnitudes vectoriales, que se representan mediante flechas.

3. VECTORES Y SU REPRESENTACIÓNUna parte de la matemática tiene por finalidad estudiar a entes imaginarios, llamados vectores y analizar las diferentes operaciones que con ellos se efectúan. Vector, es un segmento orientado a lo largo de una línea recta de acción, que sirve para representar a las magnitudes vectoriales, mediante una punta de flecha colocada en sus extremos así por ejemplo:

Se acostumbra representar cada vector con una letra, la cual lleva una flechita encima de sí: Así mismo es importante indicar la siguiente notación:

; se lee: vector VV = | | ; se lee: módulo o valor del vector V.

4. ELEMENTOS DE UN VECTORUn vector queda completamente definido cuando se conoce su valor, dirección y sentido.4.1. Punto de Aplicación. Está dado por el origen del vector (Lima).4.2. Módulo o Intensidad. Está representado por el valor o longitud del

vector. (1 030 Km).Generalmente se representa a escala.

S3FI31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...” S3FI31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

03 04COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro Año Secundaria FÍSICA3ro Año Secundaria

4.3. Sentido. Está dado por la cabeza o flecha del vector que indica hacia adonde apunta el vector (De Lima hacia Arequipa).

4.4. Dirección. Está dada por la línea de acción del vector (Dirección de Norte a Sur), o sea la recta que contiene al vector.

5. TIPOS DE VECTORES

5.1. Vectores Colineales. Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción.Ejemplo:

5.2. Vectores Concurrentes. Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un solo punto.Ejemplo:

5.3. Vectores Coplanares. Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.Ejemplo:

5.4. Vectores Iguales. Son aquellos sectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido, pudiendo ser de direcciones paralelas o igualesEjemplo:

5.5. Vector Opuesto. Se llama vector opuesto (-A) de un vector A cuando aquel tiene el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.Ejemplo:

5.6. Vector Deslizante. Es el vector que puede moverse a lo largo de una dirección, sin que varíe su efecto; es decir que su módulo y sentido se mantienen intactos.

Ejemplo: Cuando se jala ( ) o empuja ( ) un carrito, siendo el efecto en ambos casos el mismo.



y son equivalentes, el vector deslizante es .

6. OPERACIONES CON VECTORES

Para un mejor estudio desarrollaremos las siguientes operaciones; cada una de ellas en forma gráfica y analítica, es decir mediante dos soluciones.

6.1. SUMA DE VECTORES PARALELOSComo todos los vectores tienen la misma dirección, entonces el vector resultante , tendrá la misma dirección, el módulo se obtiene sumando algebraicamente los módulo de los vectores, teniendo en cuenta los signos (sentidos).

Ejemplo: Sean los vectores que se muestran en la figura. Hallar

a) Según la figura |a| = 4u, |b| = 6u, entonces:|a + b| = 4u + 6u = 10u

Es decir que el vector resultante (+10u), se orienta hacia la derecha, así:

b) De acuerdo a la figura = 4u; = - 6c = -2u = 4u; = 4u + (-2) = -2u

El vector resultante (-2u) está orientado hacia la izquierda, así:

Nota: La forma correcta de indicar el módulo (valor de un vector) es así:| = 3u o a =3u

Sin embargo en el ejemplo anterior por comodidad hemos obviado esta regla.

6.2. SUMA DE DOS VECTORES CONCURRENTESPara sumar dos vectores que tienen el mismo origen (concurrentes), se construye un paralelogramo, trazado por el extremo de cada vector una paralela al otro. Geométricamente el módulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores, por esta razón se le conoce como el Método del paralelogramo.Así por ejemplo: sean los vectores y separados bajo un ángulo

Al sumar dichos vectores obtenemos el vector resultante :



Analíticamente, el módulo del vector resultante se determina aplicando la siguiente fórmula:

R2 = A2 + B2 + 2ABcos

Esta fórmula se conoce como la Ley de los cosenos, cuya demostración es la siguiente:

a) En el triángulo rectángulo PQH, tenemos:

R2 = m2 +(B + n)2 ................................(1)

b) En el triángulo rectángulo QSH, tenemos:

= sen m = A sen

= cos n = A cos (2) ...............(2)

c) Reemplazando la ecuación (2) en (1) tenemos:

R2 = (Asen)2 + (B + Acos)2R2 = A2sen2 + B2 + 2BAcos + A2cos2R2 = A2(sen2 + cos2) + B2 + 2BAcosR2 = A2(1) + B2 + 2BAcos A2

R2 =A2 + B2 + 2ABcos

Esta fórmula se ha obtenido en función del ángulo formado por los vectores , pero si consideramos el ángulo opuesto al vector resultante , donde = 180 - , la fórmula es:

R2 = A2 + B2 + 2ABcos(180 - ), o sea

R2 = A2+ B2 - 2ABcos

Ahora: la dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos tomando como referencia el siguiente triángulo vectorial.

Ejemplo 1:

Halla la magnitud y dirección de la resultantes de los vectores concurrentes, sabiendo que: A = 4cm; B = 3 y = 60°

a) Aplicando la fórmula tenemos:

R2 = A2 + B2 + 2ABcosR2 = 42 5+ 32 + 2ABcos60°R2 = 16 + 9 + 24(0,5) = 37R = = 6,08 cm R = 6,08 cm



b) Aplicando la ley de senos, encontramos la dirección del vector resultante, que preferentemente está dada por el ángulo que forma la resultante con un vector horizontal, que en nuestro caso es el valor del ángulo

Este valor se busca en la tabla de funciones trigonométricas. Interpolamos en caso de que no exista exactamente en dicha tabla, o sea:

sen = 0,427 a = 25°30’

Rpta.: R = 6,08 cm; = 25°30’

Ejemplo 2: Encuentra la magnitud y la dirección de la resultante de los vectores A = 9 cm y B = 7 cm; siendo el ángulo que forman = 120°.

Es importante remarcar que, cuando el ángulo es mayor que 90°, realizamos la reducción respectiva, en este caso: cos 120° = - cos(180° -120°) = - cos 60° = -05a) Aplicando la fórmula respectiva tenemos:

R2 = A2 + B2 + 2ABcos

R2 = 92 +72 +2(7)(9) cos120°R2 = 81 + 49 + 126(-0,5)R2 = 81 + 49 - 63 = 67R = = 8,19 cm. R = 8,19 cm

b) Encontramos la dirección de la resultante por la ley de los senos:

Luego, empleamos la ley de senos, nuevamente para verificar el valor del ángulo

sen =

sen = 0,9516 = 72°Rpta: R = 8,19 cm; = 48°; = 72°Dichos valores los comprobamos, aplicando el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo; o sea:

+ + = 180° 72° + 48° + 60° = 180°

Casos particulares. Se presentan tres casos particulares:1. Resultante Máxima: La resultante de dos vectores es máxima,

cuando forman entre sí un ángulo igual a cero grados. Por lo tanto tienen igual dirección y sentido. Así tenemos:

Rmax = a + b



2. Resultante Mínima: la resultante mínima de dos vectores concurrentes es mínima, cuando forman entre sí un ángulo igual a 180°. Por lo tanto tienen sentidos opuestos. Así tenemos:

Rmin = a - b

3. La resultante de dos vectores concurrentes, se obtiene mediante el teorema de Pitágoras, si forman entre sí un ángulo igual a 90°; porque el término: 2ABcos se anula ya que cos 90° = 0

Ejemplo:Calcula la resultante de los vectores: A = 8u y B = 6u, los cuales forman un ángulo de 90°. ¿Cuál es el valor máximo de la resultante de ambos vectores?a) Gráficamente:

b) Analíticamente: aplicamos el teorema de Pitágoras.

R =

R =

c) La resultante máxima es:

Rmax = A + B Rmax = 8u + 6u = 14u

Rpta: R = 10u; Rmax = 14u

6.3 SUMA DE VECTORES

Para determinar la resultante de “n” vectores, se aplica el método del polígono, que consiste en construir un polígono con los vectores

sumandos, conservando sus mismas características (módulo, dirección y sentido); de tal forma que los vectores se forman uno a continuación de otro, uniendo el origen del segundo vector con el extremo del primero; el origen del tercero con el extremo del segundo, así sucesivamente hasta el último vector. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primero con el extremo del último vector.

Ejemplo 1.Dados los vectores , que se muestran en la figura, halla su resultante.

Aplicando el método del polígono, se obtiene la resultante de la siguiente forma:

Ejemplo 2:Halla la resultante de las fuerzas A = 500 Kg en dirección norte, B = 400 Kg en dirección oeste y C = 300 Kg en dirección sur.a) Llenamos una tabla de datos para hacer un gráfico en escala de

1cm/100Kg.

Fuerzas

Valor Real

Valor Escala

Dirección

A 500 Kg 5 cm norteB 400 Kg 4 cm oesteC 300 Kg 3 cm sur

b) Dibujamos los vectores, sin cambiar la dirección y sentido; luego cambiamos la resultante R, y la medimos para aplicarle la escala respectiva.



c) El resultado a escala 0,6 cm/100Kg, es:

R = 4,5 (100) R = 450kgd) Midiendo el ángulo y encontrando la dirección tenemos:

Dirección: = 152°Rpta: R = 450 kg; = 152°

Ejemplo 3:Halla el módulo y dirección del siguiente sistema de fuerzas por el

método gráfico:

V1 = 840 N V2 = 1 000 NV3 = 960 N V4 = 1 200 N

a) Formando la tabla de datos y llevando a escala de 1 cm/400N, tenemos:

Fuerzas

Valor Real

Valor Escala

Dirección

V1 840 N 2,1 cm

En la figura

V2 1 000 N

2,5 cm

V3 960 N 2,4 cmV4 1 200

N3,0 cm

b) Dibujamos las fuerzas, conservando sus direcciones y sentidos (método del polígono). Calculamos la resultante, usando la escala respectiva.

c) El resultado a escala es:

d) Encontrando la dirección tenemos:Dirección = 118°

Rpta: R = 1 200 N; = 118°

6.4. DIFERENCIA DE DOS VECTORESSean los vectores , la diferencia se obtiene sumando el vector con el opuesto del vector , que es ; o sea:

Otro método práctico consiste en unir los extremos de los vectores de modo que el vector diferencia indique el vector minuendo, así:

Ejemplo 1:Halla si son vectores colineales y miden respectivamente:

.Aplicando la expresión analítica de la sustracción de vectores se tiene:

A - B = A + (-B) = 6 kg + (-4kg) = 2 kg



Rpta: R = 2 Kg

La solución gráfica se plantea análogamente al de la suma de vectores colineales, teniendo presente que el vector (-B) es opuesto de B:

Ejemplo 2:Los vectores (8 kg) y (6 kg) forman un ángulo de 60°, halla

.

Para determinar gráficamente la resultante , utilizamos el método del paralelogramo con los vectores teniendo en cuenta que es vector opuesto de , tal como se indica en la siguiente figura:

Analíticamente se aplica la misma fórmula para la suma vectorial:(A - B)2 = A2 + B2 + 2AB cos siendo: = 120° y R = A - BR2 = 82 + 62 = 2(8)(6) (cos120°)R2 = 64 + 36 =96 (-0,5) = 52

R = A - B = 7,2 kg R = 7,2 kgAplicando el método práctico, el vector diferencia

Rpta: R = 7,2 kg

6.5. DESCOMPOSICIÓN RECTANGULARUn vector se puede escribir en función de dos o más componentes. En nuestro caso escribiremos el vector en función de dos componentes que forman entre sí un ángulo recto. Así tenemos el vector que forma un ángulo con la horizontal (eje Ox).

Luego las componentes del vector se obtienen uniendo el origen de coordenadas (O), con cada intersección que da por la aplicación del método del paralelogramo, es decir que dichas componentes serán los vectores tal como se muestra en la figura:

Como observarás en la figura se forma un sistema equivalente, donde:Ax es componente de A en el eje x. Ay es componente de A en el eje y.Asimismo:

cos = Ax = A cos



sen = Ay = A sen

Para determinar la resultante de un sistema de vectores por éste método se sigue los siguientes pasos:a) Cada vector se descompone regularmente, respecto a los ejes

coordenados del modo ya indicado.b) Se determina la suma de las componentes sobre el eje xx’, o sea Vx

i sobre el eje yy’: Vy.c) El módulo del vector resultante R, se obtiene aplicando el Teorema

de Pitágoras.

d) La dirección del vector resultante respecto del eje x, se calcula mediante la función tangente.

Ejemplo 1:Un vector de 10 N forma un ángulo de 37° con la horizontal. Halla el valor de sus componentes sobre los ejes coordenados. (Escala: 1 cm = 2 N)Datos:V = 10 N = 37Vx = ? Vy = ?a) Para graficar el origen de V lo hacemos coincidir con el centro de las

coordenadas rectangulares, formando un ángulo de 37° con el eje horizontal.

b) Calculamos el valor de los vectores componentes, aplicando las funciones trigonométricas:Vx = V cos 37°Vx =10 N (0,7986)

Vx = 7,986 N Vx = 8 NVy = V sen 37°Vy = 10 N (0,6018)Vy = 6,018 N Vy = 6NRpta: Vx = 8N ; Vy = 6N

c) Como verificación calculamos el vector resultante V aplicando el Teorema de Pitágoras.

V2 = Vx2 + Vy

2

V2 = (8N)2 + (6N)2 = 100N2

V = = 10N V = 10NRpta: V = 10N

Ejemplo 2:Halla el valor y dirección de la resultante del siguiente sistemas de

vectores:

a) Para graficar el punto de concurrencia de los 4 vectores (0), los hacemos coincidir con el origen de las coordenadas rectangulares y efectuamos la descomposición de vectores:

b) El valor de la resultante V se obtiene por la fórmula siguiente:V2 = Vx2 + Vy2V2 = (Ax + Bx - Cx)2 + (By - Cy - Dy)2

V2 = (6 + B cos 60° - C cos 45°)2 + (B sen 60° + C sen 45° - 8)2

V2 = (6 + 2 - 1,41)2 + (3,46 + 1,41 - 8)2



V2 = (6,59)2 + (-3,13)2 = 43,428 + 9,796V2 = 53,22; V = = 7,30 kg

c) Calculamos la dirección del vector resultante V, aplicando la fórmula respectiva:

d) Buscando este valor en la tabla trigonométrica tenemos que: = -25°30’, donde la resultante está en el cuarto cuadrante.

Rpta: = 7,30kg ; = 25°30’

6.6. MULTIPLICACIÓN DE VECTORESEn la multiplicación de vectores existen tres casos: producto de un vector por un escalar, producto escalar de vectores y producto vectorial de vectores. Por razones didácticas sólo estudiaremos el primer caso.

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAREl producto de un vector por un escalar o número real (), es un producto , con magnitud igual a tantas veces el escalar por la magnitud Cuando un vector multiplica por un escalar, conserva su carácter vectorial y lo único que se altera es su magnitud si el escalar es un número positivo y también su sentido cuando este es un número negativo.

Para realizar el producto de un vector por un escalar sugerimos tener en cuenta lo siguiente:

a) Si es un escalar mayor que la unidad, el vector aumenta su magnitud y conserva su sentido, así tenemos:

b) Si el número es un escalar mayor que cero pero menor que la unidad, el vector disminuye su magnitud pero conserva su sentido.

Ejemplo:

c) Si es un escalar menor que cero pero mayor que -1, disminuye su magnitud y cambia su sentido por el, opuesto.Ejemplo:

d) Si a es un escalar menor que -1, el vector aumenta su magnitud pero cambia su sentido opuesto.Ejemplo:

A continuación te presentamos el desarrollo de un ejemplo, aplicando la secuencia del producto de un vector por un escalar.

Ejemplo: Dados los vectores siguientes:

Halla gráfica y analíticamente lo siguiente:



a) + ; si ambos vectores son concurrentes, coplanares y están

formando un ángulo de 45°.b) forman un ángulo de 75° y

forman un ángulo de 120°.

Solución: Para mayor comprensión en el desarrollo del problema lo analizaremos por separado.

a) Encontramos gráfica y analíticamente la resultante y el ángulo que forman los vectores .

(Escala: 1u = 1,2cm)

Aplicando la fórmula de la ley de los cosenos, hallamos el valor de los resultantes.

R2 = A2 + B2 + 2ABcosR2 = (2)2 + (3)2 + 2(2)(3)cos45°R =

Ahora, encontramos la dirección de la resultante, mediante la ley de senos:

sen = 0,307 = 17°52’

b) Encontramos gráfica y analíticamente la resultante y el ángulo entre los vectores 3 + +23 = 3(3u) = 9u; = 6u; 2 =2(4u) =8u(Escala: 1u = 0,58 cm)

Descomponemos cada vector rectangularmente, respecto a los ejes coordenados; luego determinamos la suma de los componentes y finalmente se obtiene el módulo del vector resultante, aplicando el Teorema de Pitágoras.

Vx = 9 + 6 cos 75° - 8 cos 15°Vx = 9 + 1,553 - 7,727 = 2,826uVy = 6 sen 75° - 8 sen 15°Vy = 5,796u - 2,070u = 3,726u

R=

R = 4,7u

Ahora calculamos la dirección del vector resultante mediante la función tangente.

tan = =



tan = 1,318 = 52°48’Rpta.: a) R = 4,6u; 17°52

b) R = 4,7u; 52°48°

PRÁCTICA DE CLASE

Resuelve los problemas por el método gráfico y analítico:

01. Determina la resultante de los siguientes vectores colineales, cuyos módulos son:A = 5; B = -3; C =-2 y D = -5.

02. Los vectores a y b que se muestran en la figura 2.38, representan desplazamiento cuyos módulos son: a = 5 cm y b = 2 cm. Determina el valor de la resultante en los tres casos.

03. Encuentra la resultante en Newtons de dos fuerzas de 4 000 y 5 000 newtons de intensidad, que forman un ángulo recto entre sí.

04. ¿cuál es la resultante en toneladas de dos fuerzas iguales entre sí, de 10 toneladas de intensidad cada una, si forman un ángulo de 90°?

05. La magnitud de la resultante de dos fuerzas varía desde un valor mínimo de 3 hasta un valor máximo de 12 a medida que varía el ángulo comprendido entre las fuerzas. ¿Cuál es el valor de la fuerza mayor?

06. Dos vectores desplazamientos a y b, perpendicular es entre sí, miden: a = 8 kg y b = 6kg.Calcula el módulo de la resultante.

07. En el siguiente conjunto de vectores, halla el valor de la resultante sí: M = 5 unidades; N = 3 unidades.

08. Halla la resultante de dos fuerzas F1 = 6 kg y F2 = 8kg que forman entre sí un ángulo de 30°.

09. Halla la resultante de dos fuerzas F1 = 6 kg y F2 = 8 kg que forman entre sí un ángulo de 150°.

10. Una carga eléctrica es impulsada por una fuerza eléctrica de 400 N, e ingresa a un campo magnético que la desvía de su trayectoria debido a una fuerza deflectora de 100 N, que forma un ángulo de 90°. Halla el módulo de la resultante.

11. Dos fuerzas de 10 y 20 N respectivamente actúan simultáneamente sobre un pequeño auto, formando entre ellas un ángulo de 60°. Halla el módulo de la resultante, utilizando el método analítico.

12. La resultante entre dos vectores de 10 y 15 unidades es 20 unidades. Calcula el ángulo que forman los dos vectores.

13. Sobre una masa puntual localizada en el origen de los ejes coordenados, se aplican las fuerzas que se indican en la figura del problema 07. Calcula:

a) El módulo de la resultante.b) La dirección con qué se mueve la masa.



14. Aplicando la descomposición de vectores, halla el valor de la resultante del siguiente sistema de vectores, cuyos módulos son:

V1 = 3 kg ; V2 = 6 kg y V3 = 9 kg

15. Sean A y B dos vectores concurrentes y coplanares, halla: , si el ángulo

que forman ambos vectores es = 90°.

16. Calcula el módulo de la resultante, sabiendo que A = 2; B =

17. En el siguiente sistema de vectores, calcula el módulo de la resultante.

18. Dos vectores de 20 y 18 unidades hacen un ángulo de 60°. Halla la magnitud de la diferencia.

19. Un nadador se lanza para cruzar perpendicularmente las aguas de un río con una velocidad de 3 m/s. La velocidad del caudal del agua es 4 m/s. ¿Cuál es la velocidad real con que cruza el nadador?

20. Halla las componentes rectangulares del vector V = 10 N que forma un ángulo de 60° con el eje de x.

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03

01. En relación al gráfico mostrado es incorrecto que:

a) b) c)

d) e) S3FI31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...” S3FI31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”


02. En base al problema anterior y en relación a los vectores unitarios de los vectores dados, es correcto que:

a) b) c)

d) e)

03. Sabiendo que: . ¿En qué región se encontrará el vector ?

a) En I b) En II c) En III d) En IV e) En V

04. Para el conjunto de vectores mostrados es falso que:

a) b) c)

d) e)

05. Señalar la proposición correcta:

a) Si son las componentes rectangulares de ; se cumplirá que:

b) Si:

c) d) Si tres vectores forman un triángulo, entonces su resultante es

necesariamente nula.e)

06. Si: , determinar el módulo del vector:

a) 14 b) 17 c) 16 d) 13 e) N.a.

07. Dados los vectores de módulos 5 y 3 respectivamente, forman entre sí un ángulo de 60°: calcular el módulo de la resultante.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

08. En el gráfico se muestran los vectores , determinar el módulo de la resultante.


03 04COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro Año Secundaria FÍSICA3ro Año Secundaria a) 10 b) 11 c) 12 d) 3 e) 4

09. Se muestran 3 vectores , determinar el módulo de la resultante de dicho sistema.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10. Se muestran los vectores , y ; encontrar una expresión vectorial para en función de y .

a) b) c) d) e)

11. Se muestran los vectores de módulos | | = 6 y | | = 8 calcular el módulo de ( - )

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

12. Dados los vectores y , calcular el módulo del vector diferencia ( - )

a) 8 b) c) 12 d) e) 6

13. En el siguiente conjunto de vectores, determinar la expresión cartesiana de:

a) (4;2) b) (3;-1) c) (2; -3) d) (3;-3) e) (3;-2)

14. Para sacar un clavo se le aplican dos fuerzas concurrentes de 8 N y 7 N. si las fuerzas forman entre sí un ángulo de 60º. ¿cuál es la fuerza resultante que actúa sobre dicho clavo?



a) 13 N b) 15 N c) 18 N d) 20 N e) 10 N

15. Se tiene dos vectores y de módulos 5 y 1. Hallar el ángulo que forman los vectores si el vector resultante forma un ángulo de 8º con el vector mayor módulo.

a) 45º b) 60º c) 30º d) 53º e) 74º

16. Hallar | + | en:

a) 8 b) 7 c) 6 d) 2 e) 5

17. Dos vectores forman un ángulo de 120º, el de mayor magnitud mide 80º y la resultante es perpendicular al menor. Hallar la magnitud de dicha resultante.

a) 20 b) 40 c) d) 80 e) 15

18. Sean y dos vectores, cuyos módulos son A 0= 10, B = 10, entonces el módulo del,. vector + puede ser:

a) 5 b) 8 c) 25 d) 35 e) 45

19. Calcular el módulo del vector resultante sabiendo que la figura es un hexágono regular de lado .

a) b) c) d) e) 6

20. Calcular el módulo del vector resultante sabiendo que la figura es un hexágono regular de lado 4

a) 8 b) 6 c) 16 d) 12 e) 9

TAREA DOMICILIARIA

01. ¿Qué es, magnitud escalar?. Indica 5 ejemplos.

02. ¿A qué se denomina magnitud vectorial?. Indica 5 ejemplos.

03. ¿Qué es un vector?

04. ¿Establece las características de las siguientes cantidades físicas y clasifícalas según sean vectoriales o escalares: tiempo, masa, velocidad, fuerza, peso, desplazamiento, temperatura, volumen longitud y presión.



05. Indica lo elementos de un vector, mediante un ejemplo práctico que consideres conveniente.

06. Realiza un cuadro resumen de las clases de vectores, indicando sus características principales.

07. ¿Dos vectores deslizantes, pueden tener diferentes direcciones?. Indica tus razones.

08. ¿En qué consiste el método del paralelogramo y cuál es su interpretación real?

09. ¿En qué consiste el método del triángulo y cómo se aplicaría en la sustracción de dos vectores concurrentes?

10. ¿Por qué la solución gráfica de un conjunto de vectores, debe ser igual a la solución analítica?.

11. Determina la magnitud de , donde el módulo de es 3u y el módulo de es 5u.

12. ¿Cuánto mide el ángulo que forman entre sí dos fuerzas, sabiendo que la resultante mide 140 N y es ortogonal a uno de ellos si la otra fuerza mide 500 N.

13. La resultante máxima de dos fuerzas es 18 N y la mínima 0 N. Calcula la magnitud de la resultante cuando formen un ángulo de 75°.

14. Halla la resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura.

15. Halla el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura.

16. Calcula la magnitud de la resultante de los siguientes vectores.

17. Calcula la magnitud de la resultante de los siguientes vectores así como la dirección.



18. Halla la dirección del vector resultante de los siguientes vectores.

19. Si está sobre el eje y calcula la medida del .

20. Halla el módulo de la resultante de los vectores de la figura. El hexágono es regular de lado 3u.


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